D03 bài toán liên quan đến hình học muc do 4

Câu 47: [1D2-2.3-4] [1D2-4] (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - Lần 1) Một khối lập phương có độ
dài cạnh là
được chia thành khối lập phương cạnh
. Hỏi có bao nhiêu tam giác
được tạo thành từ các đỉnh của khối lập phương cạnh
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn A.

Có tất cả
điểm.
Chọn điểm trong

có

Có tất cả
Vậy có

bộ ba điểm thẳng hàng.
tam giác.

Câu 44:
[1D2-2.3-4] (THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai - Lần 1 2018) Cho đa giác đều

đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh
của đa giác và có một góc lớn hơn
?
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D.
Gọi

,

,…,

Gọi

là các đỉnh của đa giác đều

đỉnh.

là đường tròn ngoại tiếp đa giác đều

.

Các đỉnh của đa giác đều chia
cung tròn có số đo bằng

thành

cung tròn bằng nhau, mỗi

.

Vì tam giác cần đếm có đỉnh là đỉnh của đa giác nên các góc của tam giác
là các góc nội tiếp của
Suy ra góc lớn hơn
Cố định một đỉnh
Gọi

,

,

.
sẽ chắn cung có số đo lớn hơn

. Có

cách chọn

.

là các đỉnh sắp thứ tự theo chiều kim đồng hồ sao cho

thì

Khi đó

.

và tam giác

là tam giác cần đếm.

là hợp liên tiếp của nhiều nhất

cung tròn này có
cách chọn hai đỉnh

đỉnh. Trừ đi đỉnh
,

.

cung tròn nói trên.
thì còn

đỉnh. Do đó có


Vậy có tất cả

tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Phân tích sai lầm khi giải bài tập này:
Giả sử

thì cung

(không chứa điểm

) sẽ có số đo lớn hơn

.
Tức là cung

(không chứa điểm

) sẽ là hợp liên tiếp của ít nhất

cung tròn bằng nhau nói trên.
Từ đó ta có cách dựng tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán như sau:
+ Bước 1: Đánh dấu một cung tròn là hợp liên tiếp của
cung tròn bằng
nhau nói trên. Có 2018 cách đánh dấu.
+ Bước 2: Trong
điểm không thuộc cung tròn ở bước 1 (bao

gồm cả hai điểm đầu mút của cung), chọn ra
chọn,

điểm bất kì, có

điểm này sẽ tạo thành tam giác có một góc lớn hơn

Vậy có tất cả

cách

.

tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Cách lập luận này là không chính xác, vì ta chưa trừ đi các trường hợp trùng
nhau!