Ứng dụng tính chất hình học vào bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

NGUOIDIEN - DIENDANKIENTHUC.NET 1
ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT HÌNH HỌC
VÀO BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO S ÁT HÀM SỐ
.
1. Bài toán liên quan đến tiếp tuyến:
Bài toán 1. Cho hàm số y=f(x). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ
thị hàm số cắt hai trục tọa độ lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB
cân, với O là gốc tọa độ.
Cách giải:
Để ý rằng hai trục tọa độ vuông góc với nhau và các đường thẳng tạo
với hai trục tọa độ một tam giác cân tại gốc tọa độ khi và chỉ khi đường
thẳng đó tạo với trục hoành và trục tung một góc 45
o
nên hệ số góc
của đường thẳng chỉ có thể là 1 hoặc −1. Từ đó dễ dàng suy ra hoành
độ tiếp đi ểm của tiếp tuyến bằng cách giải phương trình f
′
(x) = 1 và
f
′
(x) = −1.
Ví dụ 1. Viết phương t rình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
2x + 1
2x − 1
sao cho tiếp tuyến cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A, B và tam giác
OAB là tam g iác vuông cân tại O với O là gốc tọa độ.
Lời giải:
Để ý rằng tam giác OAB với O là gốc tọa độ và A, B nằm trên
hai trục tọa độ thì đường thẳ ng AB có hệ số góc là 1 hoặc −1. Do
y
′

=
−4
(2x + 1)
2
< 0 ∀x =
1
2
nên ta chỉ xét phương trình y
′
= −1.
Ta có: y
′
= −1 ⇔
−4
(2x −1)
2
= −1 ⇔ (2x − 1)
2
= 4
⇔





x =
3
2
x =
−1

2
Với x =
3
2
ta có phương trình tiếp tuyến là: y = −x +
7
2
Với x = −
1
2
ta có phương trình tiếp tuyến là: y = −x −
1
2
Ví dụ 2. (Khối D-2007-Dự bị) Cho hàm số y =
x
x −1
. Lập phương
trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đó cắt hai tiệm cận
tại A, B và tam giác IAB vuông cân với I là giao hai đường tiệm cận
BÙI QUỸ - TOANTHPT.ORG
NGUOIDIEN - DIENDANKIENTHUC.NET 2
của đồ thị.
Lời giải:
Để ý rằng hai tiệm cận của đồ thị hàm số song song với hai trục tọa
độ. Lập luận tương tự như trên ta có:
y
′
=
−1
(x − 1)

2
< 0 ∀x = 1 nên tiếp t uyến cần dựng có hệ số góc là −1.
Khi đó hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình:
−1
(x − 1)
2
= −1
⇔

x = 0
x = 2
Với x = 0 ta có phương trình tiếp tuyến: y = −x
Với x = 2 ta có phương trình tiếp tuyến: y = −x + 4
Ví dụ 3. Viết phươ ng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
x −1
x + 1
biết tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao
cho tam giác IAB cân tại I với I là giao hai đường tiệm cận.
Lời giải:
Lập luận như ví dụ trên ta cũng có y
′
=
2
(x + 1)
2
> 0, ∀x = −1 và
y
′
= 1 (v ì hai tiệm cận của đồ thị hàm số song song vớ i các trục Ox và
Oy). Khi đó xét phương trình:

y
′
= 1 ⇔
2
(x + 1)
2
= 1 ⇔ (x + 1)
2
= 2
⇔


x =
√
2 −1
x =
√
2 + 1
Với x =
√
2 + 1 ta có phương trình tiếp tuyến là: y = x
Với x =
√
2 −1 ta có phương trình tiếp tuyến là: y = x + 2 −
√
2
Ví dụ 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
y = x
3
− 3x

2
+ x + 1 với hệ số góc dương sao cho tiếp tuyến cắt hai
trục tọa độ là A và B để tam giác OAB là tam giác cân tại O
Lời giải:
Tương tự như ví dụ trên, tuy nhi ên, yêu cầu hệ số g óc của tiếp t uyến
dương nên ta chỉ xét giá trị 1. Như vậy, nếu g iả sử x
o
là hoành độ tiếp
điểm thì y
′
(x
o
) = 1.
Từ lập luận trên ta đi giải phương trình y
′
(x) = 1 (1)
Ta có: y
′
(x) = 3x
2
− 6x + 1
BÙI QUỸ - TOANTHPT.ORG
NGUOIDIEN - DIENDANKIENTHUC.NET 3
y
′
(x) = 1 ⇔ 3x
2
− 6x = 0 ⇔



x = 0
x = 2
Với mỗi giá trị x tìm được ở tr ên ta có phương trình tiếp tuyến tương
ứng:
x = 0 thì phương trình tiếp tuyến là: y = x + 1
x = 2 thì phương trình tiếp tuyến là: y = x −1
2. Bài toán liên quan đến cực trị:
Bài toán 2. Cho hàm số y = f(x, m). Tìm điều kiện của tham số m để
đồ thị hàm số có các đi ểm cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước
Cách giải: ta thường chú ý đến điều kiện của tam giác. Chẳng hạn
tam gi ác cân, vuông, đều đồng thời các công thức tính diện tích, độ
dài trung tuyến, để từ đó tìm ra hướng giải q uyết bài toán.
Ví dụ 5. Cho hàm số: y = x
4
− 2m
2
x
2
+ 4m + m
4
. Tìm điều kiện của
tham số m để
a) Đồ thị hàm số có 3 cực t rị và các cực trị này tạo thành một tam
giác vuông cân.
b) Đồ thị hàm số có 3 cực trị và các cực trị tạo với nhau thành một
tam giác đều.
c) Đồ thị hàm số có 3 cực trị và tam giác tạo bởi ba cực trị có diện
tích bằng 32.
Lời giải:
Dễ thấy hàm số có đạo hàm f

′
(x) = 4x
3
− 4m
2
x = 4x(x
2
− m
2
)
Khi đó phương trình f
′
(x) = 0 luôn có ba nghiệm phân biệt:


x = 0
x = m
x = −m
khi m = 0
Không mất tính tổ ng quát, ta có thể giả sử m > 0
Với m > 0 ta có ba cực trị của hàm số là:
A(0; 4m+m
4
), B(−m; 4 m) và C(m; 4m) trong đó A là điểm nằm trên
trục tung.
BÙI QUỸ - TOANTHPT.ORG
NGUOIDIEN - DIENDANKIENTHUC.NET 4
A
B C
x

y
O
H
Nhìn trên hình vẽ ta dễ dàng nhận thấy:
AH = f (0) − f (m) = m
4
, và HC =
BC
2
= m
a) Để ý rằng tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A khi AH =
HC. Khi đó:
m
4
− m = 0
Khi đó

m = 0
m = 1
. Do m > 0 nên chỉ nhận giá trị m = 1.
Vậy với m = 1 thì đồ thị hàm số có 3 cực trị A, B, C và tam giác
ABC vuông cân tại A.
b) Tương tự như trên. Tam giác ABC là tam giác đều khi và chỉ khi:

ACH = 60
o
⇔
AH
HC
= tan 60

o
=
√
3
⇔
m
4
m
√
3 ⇔ m =
6
√
3
c) Ta thấy diện tích t am giác ABC: S
ABC
=
1
2
.AH.BC = AH.HC =
m
5
.
Như vậy, để diện tí ch tam gi ác ABC bằng 32 ta có ngay:
m
5
= 32 ⇒ m = 2.
Ví dụ 6. Tìm các giá t rị của tham số m để hàm số y = x
4
−2mx
2

+m−1
có 3 điểm cực trị A, B, C và tam gi ác ABC có bán kính đường tròn ngoại
tiếp là R = 1
Lời giải:
Dễ dàng thấy f
′
(x) = 4x(x
2
− m) nên đồ thị hàm số có 3 cực tr ị khi
và chỉ khi m > 0. Khi đó 3 điểm cực trị lần lượt có tọa độ là:
A(0; m −1), b(−
√
m; −m
2
+ m −1) và C(
√
m; −m
2
+ m −1), trong
đó A là đỉnh nằm trên trục tung .
BÙI QUỸ - TOANTHPT.ORG
NGUOIDIEN - DIENDANKIENTHUC.NET 5
Chú ý rằng tam g iác ABC luôn cân nên tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC nằm trên trục tung. Khi đó giả sử I(0; a) là tâm đường
tròn thì ta có:
R = 1 ⇔ AI = IC = 1
⇔

(m −1 − a)
2

= 1
(
√
m)
2
+ (−m
2
+ m − 1 − a)
2
= 1
⇔

(m −1 − a)
2
= 1 (1)
(−m
2
+ m − 1 − a)
2
= 1 −m (2 )
Từ (2) thế vào (1) ta được:

(−m
2
+ 1)
2
= 1 −m
(−m
2
− 1)

2
= 1 −m
⇔

m
4
− 2m
2
+ 1 = 1 − m
m
4
+ 2m
2
+ 1 = 1 − m
⇔

m(m
3
− 2m + 1) = 0
m(m
3
+ 2m + 1) = 0
⇔ m
3
− 2m + 1 = 0 (do điều kiện m > 0)
Giải phương trình trên ta được







m = 1
m =
−1 −
√
5
2
m =
−1 +
√
5
2
Do điều ki ện m > 0 nên ta chỉ còn hai giá tr ị


m = 1
m =
−1 +
√
5
2
thỏa
mãn yêu cầu của bài toán.
Ví dụ 7. T ìm m để hàm số y =
x
3
3
− 2x
2

+ (1 0m − 7)x −
8
3
có cực
đại, cực tiểu đồng thời các điểm cực trị của hàm số nằm về hai phía của
đường thẳng d : y = −x − 1
Lời giải:
Ta có: y
′
= x
2
− 4x + 10m − 7 (1)
Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi y
′
= 0 ⇔ x
2
− 4x +
10m −7 = 0 (1) có 2 nghiệm phân biệt.
⇔ ∆
′
= 11 − 10m > 0 ⇔ m <
11
10
Không mấ t tính tổng quát, ta gọi: A(x
1
y
1
) và B(x
2
; y

2
) là các cực trị
của đồ thị hàm số trong đó x
1
, x
2
là các nghiệm của phương trình (1)
BÙI QUỸ - TOANTHPT.ORG
NGUOIDIEN - DIENDANKIENTHUC.NET 6
và:
y
1
= f(x
1
) =
(20m −22)(x
1
+ 1)
3
+ 1 và
y
2
= f(x
2
) =
(20m −22)(x
2
+ 1)
3
+ 1

A và B khác phía với nhau đối với đường thẳng d : x + y + 1 = 0
khi và chỉ khi:

x
1
+
(20m −22)(x
1
+ 1)
3
+ 1

x
2
+
(20m −22)(x
2
+ 1)
3
+ 1

< 0
⇔ (x
1
+ 1)(x
2
+ 1)

20m −19
3


2
< 0
⇔



m =
19
20
x
1
x
2
+ x
1
+ x
2
+ 1 < 0
(∗)
Áp dụng định l ý Vi-et cho phương trình (1) t a có:

x
1
+ x
2
= 4
x
1
x

2
= 10m − 7
Khi đó (∗) ⇔



m =
19
20
10m − 2 < 0
⇔ m <
1
5
Vậy với m <
1
5
thì thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
3. Bài toán liên quan đến khoảng cách:
Trong các bài toán này thường thì tìm điều kiện của tham số hoặc
chứng minh các kho ảng cách giữa điểm trên đồ thị đến một điểm nào
đó hoặc m ột đường nào đó. Tùy trong từng trường hợp cụ thể ta có thể
vận dụng các tính chất hình học một cách l inh động để tìm ra phương
án giải quyết bài toán.
Ví dụ 8. Giả sử ∆ là tiếp tuyến tại điểm M(0; 1) của đồ thị hàm số
y =
2x + 1
x −1
(C).
Hãy tìm trên (C) những điểm có hoành độ lớn hơn 1 mà khoảng các
từ đó đến ∆ là ngắn nhất.

Lời giải:
Chú ý rằng khoảng cách từ một điểm trên (C) đến ∆ là ngắn nhất
khi và chỉ khi điểm đó là tiếp điểm của đồ thị (C) với tiếp tuyến song
BÙI QUỸ - TOANTHPT.ORG
NGUOIDIEN - DIENDANKIENTHUC.NET 7
song với ∆.
Mặt khác, ∆ là tiếp tuyến của (C) tại M(0; 1) nên ta có:
y
′
=
3
(1 − x)
2
⇒ y
′
(0) = 3
Do đó phươ ng trình đường thẳng ∆ : y = 3x + 1
Gọi A(x
o
; y
o
) là điểm cần tìm thì x
o
> 1 và khoảng cách từ A đến ∆
là ngắn nhất. Do đó x
o
là nghiệm của phương trình y
′
= 3
⇔

3
(1 − x)
2
= 3 ⇔


x = 2
x = 0
Do x = 0 < 1 nên ta chỉ còn x
o
= 2.
Khi x
o
= 2 ta có y
o
= y(2) = −5
Vậy điểm cần tìm là A(2; −5)
Ví dụ 9. Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(−2; 0) sao
cho khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số y = −x
3
+ 3x − 2
đến d là lớn nhất.
Lời giải:
Xét đạo hàm của hàm số y = −x
3
+ 3x − 2:
y
′
= −3x
2

+ 3. Khi đó y
′
= 0 ⇔

x = 1
x = −1
Từ trên ta có thể lập bảng biến thiên và suy ra điểm cực đại của đồ
thị hàm số là B(1; 0).
Với đường t hẳng d bất kỳ đi qua A(−2; 0), gọi H là hình chiếu vuông
góc của B trên d. Khi đó ta có:
BH ≤ BA (Cạnh góc vuông luôn nhỏ hơn cạnh huyền)
Để BH là lớn nhất thì BH = AH hay B ≡ A ⇒ d⊥MA hay d⊥Ox
Vậy d là đường thẳng có phương trình x = −2
Ví dụ 10. Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số y =
x −m
x −2
(với
m = 2) có ít nhất một điểm cách đều hai trục tọa độ, đồng thời hoành
độ và tung độ trái dấ u nhau.
Lời giải:
Những điểm cách đều hai trục tọa độ nằm trên một trong hai đường
thẳng y = x hoặc y = −x. Hơn nữa hoành độ và tung độ trái dấu nên
điểm đó nằm trên y = −x.
Giả sử điểm M(x; y) thỏa mãn yêu cầu bà i toán thì:
BÙI QUỸ - TOANTHPT.ORG
NGUOIDIEN - DIENDANKIENTHUC.NET 8
−x =
x −m
x −2
⇔


x = 2
x
2
− x + m = 0 (∗)
Phương trình (∗) có ít nhất một nghi ệm khác 2 khi và chỉ khi:

∆ = 1 + 4m ≥ 0
2 −m = 0
⇔



m ≥
1
4
m = 2
Ví dụ 11. Tính khoảng cách giữa hai nhánh của đồ thị hàm số:
y =
2x
x + 2
(C)
Lời giải:
Gọi (C
1
) và (C
2
) là hai nhánh của đồ t hị. Giả sử M ∈ (C
1
) và N ∈ (C

2
)
thì ta có:
M

a;
2a
a + 2

và N

b;
2b
b + 2

với

a > −2
b < −2
−−→
MN =

b −a;
2b
b + 2
−
2a
a + 2

và y

′
=
4
(x + 2)
2
MN là khoảng cách của hai nhánh đồ thị khi và chỉ khi tiếp tuyến
của đồ thị tại M và N song song với nhau và hai tiếp tuyến đó vuông
góc với MN. Khi đó ta có:
Tiếp tuyến với đồ thị (C) tại M có phương trình: y =
4
(a + 2)
2
(x −
a) +
2a
a + 2
⇔ 4x −(a + 2)
2
y + 2a
2
= 0.
Từ trên ta có hệ:







4

(a + 2)
2
=
4
(b + 2)
2
(1)
(b − a)(a + 2)
2
+ 4

2b
b + 2
−
2a
a + 2

= 0 (2)
Từ (1) suy ra b = −4 − a. Thế và o (2) ta được:
(−4 −2a)(a + 2 )
2
+ 4

−8 − 2a
−2 − a
−
2a
a + 2

= 0

⇔ −2(a + 2)
4
+ 32 = 0 ⇔ a = 0 (do a > −2)
Từ đây suy ra b = −4 nên
−−→
MN = (−4; 4)
MN = 4
√
2
BÙI QUỸ - TOANTHPT.ORG
NGUOIDIEN - DIENDANKIENTHUC.NET 9
Ví dụ 12. (Khối B-2003) Cho hàm số y = x
3
− 3x
2
+ m. Tìm m để đồ
thị hàm số có hai điểm A, B đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
Lời giải:
Chú ý rằng nếu hai điểm A, B đối xứng nhau qua gốc tọa độ thì AB
nhận O(0; 0) làm trung điểm.
Gọi hai điểm A(x
1
; y
1
) và B(x
2
; y
2
) là hai điểm nằm trên đồ thị hàm
số thỏa mãn yêu cầu bài toán thì:




x
1
+ x
2
2
= 0
y
1
+ y
2
2
= 0

x
1
+ x
2
= 0 (1)
y
1
+ y
2
= 0 (2)
Xét y
1
+ y
2

= (x
3
1
+ x
3
2
) −3(x
2
1
+ x
2
2
) + 2m
= (x
1
+ x
2
)
3
− 3(x
1
+ x
2
)x
1
x
2
− 3(x
1
+ x

2
)
2
+ 6x
1
x
2
+ 2m
Thế (1) vào (2) ta được:
6x
1
x
2
+ 2m = 0 hay x
1
x
2
=
−m
3
Từ đó suy ra x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình bậc hai:
x
2
−
m
3

= 0 (∗)
Để tồn tại ha i điểm A, B thì phương trình (∗) phải có 2 nghiệm phân
biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi m > 0
4. Bài tập đề nghị:
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
y =
x + 2
2x + 3
biết tiếp tuyến cắt t rục hoành và trục t ung tại hai điểm A và B sao cho
tam giác OAB cân với O là gốc tọa độ.
Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
y =
2x + 1
x −1
biết tiếp tuyến cắt hai tiệm cận của đồ thị hàm số tại A và B sao cho
tam giác IAB cân với I là giao điểm của hai đường tiệm cận.
Bài 3. Tính khoảng cách giữa hai nhánh của đồ thị hàm số
y =
2x + 1
x −3
BÙI QUỸ - TOANTHPT.ORG
NGUOIDIEN - DIENDANKIENTHUC.NET 10
Bài 4. Cho hàm số:
y = −x
3
+ 3x
2
+ 3(m
2
− 1)x + 3m

2
− 1 (C)
Tìm m để đồ thị hàm số (C) có cực đại và cực tiểu và các điểm cực
trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O.
Bài 5. (Khối D-2007) Cho hàm số:
y =
2x
x + 1
Tìm tọa độ điểm M trên đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến t ại M cắt hai
trục t ọa độ tại A và B để tam giác OAB có diện tích bằng
1
4
với O là
gốc tọa độ.
Bài 6. (Khối A-2004-Dự bị) Cho hàm số:
y = x
4
− 2m
2
x
2
+ 1
Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị và ba điểm cực trị đó lập
thành một tam gi ác vuông cân.
Bài 7. (Khối A-2008) Cho hàm số
y =
mx
2
+ (3m
2

− 2)x − 2
x + 3m
Tìm m để góc giữa hai đường tiệm cận là 45
o
.
Bài 8. (Khối A-2007) Cho hàm số
y =
x
2
+ 2(m + 1)x + m
2
+ 4m
x + 2
(C)
Tìm m để đồ thị hàm số (C) có hai cực trị A, B và tam giác OAB vuông,
với O là gốc tọa độ.
Bài 9. (Khối D-2006-Dự bị) Cho hàm số y =
x + 3
x −1
. Cho điểm
M(x
o
; y
o
), tiếp tuyến với đồ thị hàm số cắt hai đường ti ệm cận lần
lượt tại A và B. Chứng minh M là tr ung điểm của AB.
BÙI QUỸ - TOANTHPT.ORG