Đề thi HSG máy tÝnh cầm tay

Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 thpt
Thanh hoá giảI toán bằng máy tính casio Năm học 2007 - 2008
Thời gian 150 phút
đề chính thức đề A
Điểm của toàn bài thi
Các giám khảo
(Họ tên, chữ ký)
Số phách
Bằng số 1.
Bằng chữ 2.
Chú ý: 1. Nếu không nói gì thêm, hãy tính chính xác đến 5 chữ số thập phân.
2. Chỉ ghi kết quả vào ô và không đợc có thêm ký hiệu gì khác.
Đề bài Kết quả
Bài 1 (2 điểm)
Tính gần đúng các nghiệm (độ, phút, giây) của phơng trình:
3 2 cos 4 sin 4 4x x =
Bài 2 (2 điểm)
Cho hàm số
2
2
2 5
( )
1
x x
f x
x
+
=
+
có đồ thị (C).
Giả sử đờng thẳng y = ax + b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một

điểm trên (C) có hoành độ
3
0
3x = . Tính gần đúng các giá trị của a và b.
Bài 3 (2 điểm)
Đờng thẳng y - 2x + 1 = 0 cắt đờng tròn x
2
+ y
2
- 4x - 2y + 1 = 0 tại hai
điểm A, B. Tính giá trị gần đúng độ dài đoạn thẳng AB.
Bài 4 (2 điểm)
Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi O là giao điểm
của hai đờng chéo hình vuông ABCD. Trên đờng thẳng Ox vuông góc với mặt
phẳng (P) lấy một điểm S. Gọi là góc nhọn hợp bởi mặt bên và mặt đáy của
hình chóp S.ABCD.
Tính giá trị gần đúng thể tích và diện tích toàn phần của hình chóp
S.ABCD khi biết a = 2,534 cm và = 34
0
.
Bài 5 (2 điểm)
Cho hàm số y =
2
1
1
x x
x
+ +
+
(C)

Tìm giá trị gần đúng hoành độ của những điểm trên (C) sao cho tổng các
khoảng cách từ điểm đó đến hai đờng tiệm cận là nhỏ nhất.
Bài 6 (2 điểm)
Cho đờng tròn tâm O, bán kính R. AB là một đờng kính cố định của đ-
ờng tròn, M là một điểm di động trên nửa đờng tròn. Gọi N là điểm chính giữa
của cung MB. Tìm gần đúng giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác AMNB khi
biết R = 5,74 cm.
1
Đề bài Kết quả
Bài 7 (2 điểm)
Tìm nghiệm dơng nhỏ nhất của phơng trình:
cosx
3
+ cos(20x
2
+11x +2007 ) = 0
Bài 8 (2 điểm)
Cho hàm số y =
2 4
1
x
x
+
+
(C)
Trên hai nhánh của (C) ta lấy 2 điểm M và N. Tìm giá trị gần đúng hoành
độ của điểm M và điểm N sao cho độ dài đoạn thẳng MN là ngắn nhất.
Bài 9 (2 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đờng tròn tâm O bán kính R, H là trực
tâm của tam giác ABC. Các góc A, B, C theo thứ tự lập thành cấp số nhân với

q = 2. Tính gần đúng độ dài của đoạn thẳng OH khi biết R = 2,007 cm.
Bài 10 (2 điểm)
Cho tứ diện P.ABC trong đó PA, PB, PC vuông góc với nhau từng đôi
một. Gọi S = S
ABC
, S
1
= S
PAB
, S
2
= S
PBC
, S
3
= S
PAC
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M =
2
2 2
3
1 2
2 2 2 2 2 2
1 2 3
S
S S
S S S S S S
+ +
+ + +
---------------------------------------- Hết ----------------------------------------

2
Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 thpt
Thanh hoá giảI toán bằng máy tính casio Năm học 2007 - 2008

Đề bài Kết quả
Bài 1 (2 điểm)
Tính gần đúng các nghiệm (độ, phút, giây) của phơng trình:
3 2 cos 4 sin 4 4x x =
2 32 '16 '' .90x k +
o o
(1 điểm)
9 10 '8'' .90x k +
o o
(1 điểm)
Bài 2 (2 điểm)
Cho hàm số
2
2
2 5
( )
1
x x
f x
x
+
=
+
có đồ thị (C).
Giả sử đờng thẳng y = ax + b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại một điểm trên (C) có hoành độ

3
0
3x = . Tính gần đúng các giá
trị của a và b.
a 2,01450 (1 điểm)
b -2,70983 (1 điểm)
Bài 3 (2 điểm)
Đờng thẳng y - 2x + 1 = 0 cắt đờng tròn x
2
+
y
2
- 4x - 2y + 1 = 0 tại hai điểm A, B. Tính giá trị gần đúng độ dài
đoạn thẳng AB.
AB =
5
58

3,57771 (2 điểm)
Bài 4 (2 điểm)
Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi O là
giao điểm của hai đờng chéo hình vuông ABCD. Trên đờng thẳng
Ox vuông góc với mặt phẳng (P) lấy một điểm S. Gọi là góc nhọn
hợp bởi mặt bên và mặt đáy của hình chóp S.ABCD.
Tính giá trị gần đúng thể tích và diện tích toàn phần của hình
chóp S.ABCD khi biết a = 2,534 cm và = 34
0
.
V =
3

6
a
tg


1,82918 cm
3
(1 điểm)
S
TP
=
2
1
1
cos
a


+
ữ

14,16647 cm
2
(1 điểm)
Bài 5 (2 điểm)
Cho hàm số y =
2
1
1
x x

x
+ +
+
(C)
Tìm giá trị gần đúng hoành độ của những điểm trên (C) sao
cho tổng các khoảng cách từ điểm đó đến hai đờng tiệm cận là nhỏ
nhất.
x
1
=
4
1
1
2
+
-0,15910 (1 điểm)
x
2
=
4
1
1
2

-1,84090 (1 điểm)
Bài 6 (2 điểm)
Cho đờng tròn tâm O, bán kính R. AB là một đờng kính cố
định của đờng tròn, M là một điểm di động trên nửa đờng tròn. Gọi
N là điểm chính giữa của cung MB. Tìm gần đúng giá trị lớn nhất
của diện tích tứ giác AMNB khi biết R = 5,74 cm.

S
AMNB
=
2
3 3
4
R
42,80019 cm
2
(2 điểm)
3
Đề A
Đáp án
Đề bài Kết quả
Bài 7 (2 điểm)
Tìm nghiệm dơng nhỏ nhất của phơng trình:
cosx
3
+ cos(20x
2
+11x +2007 ) = 0
x 0,14390 (2 điểm)
Bài 8 (2 điểm)
Cho hàm số y =
2 4
1
x
x
+
+

(C)
Trên hai nhánh của (C) ta lấy 2 điểm M và N. Tìm giá trị gần
đúng hoành độ của điểm M và điểm N sao cho độ dài đoạn thẳng MN là
ngắn nhất.
x
M
=
2 1
0,41421 (1 điểm)
x
N
=
2 1
-2,41421 (1 điểm)
Bài 9 (2 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đờng tròn tâm O bán kính R, H
là trực tâm của tam giác ABC. Các góc A, B, C theo thứ tự lập thành cấp
số nhân với q = 2. Tính gần đúng độ dài của đoạn thẳng OH khi biết
R = 2,007 cm.
OH =
2R
2,83833 cm (2 điểm)
Bài 10 (2 điểm)
Cho tứ diện P.ABC trong đó PA, PB, PC vuông góc với nhau từng
đôi một. Gọi S = S
ABC
, S
1
= S
PAB

, S
2
= S
PBC
, S
3
= S
PAC
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M =
2
2 2
3
1 2
2 2 2 2 2 2
1 2 3
S
S S
S S S S S S
+ +
+ + +
M
max
=
3
4
= 0,75 (2 điểm)
4
Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 thpt
Thanh hoá giảI toán bằng máy tính casio Năm học 2007 - 2008
Thời gian 150 phút

đề chính thức đề B
Điểm của toàn bài thi
Các giám khảo
(Họ tên, chữ ký)
Số phách
Bằng số 1.
Bằng chữ 2.
Chú ý: 1. Nếu không nói gì thêm, hãy tính chính xác đến 5 chữ số thập phân.
2. Chỉ ghi kết quả vào ô và không đợc có thêm ký hiệu gì khác.
Đề bài Kết quả
Bài 1 (2 điểm)
Tính gần đúng các nghiệm (độ, phút, giây) của phơng trình:
25sin5cos22 = xx
Bài 2 (2 điểm)
Cho hàm số
2
2
2 5
( )
1
x x
f x
x
+
=
+
có đồ thị (C).
Giả sử đờng thẳng y = ax + b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một
điểm trên (C) có hoành độ
3

0
7x = . Tính gần đúng các giá trị của a và b.
Bài 3 (2 điểm)
Cho hai đờng tròn có phơng trình tơng ứng là:
x
2
+ y
2
2x 6y 6 = 0 và x
2
+ y
2
2x + 3y 2 = 0
Tìm giá trị của a và b để đờng tròn có phơng trình: x
2
+ y
2
+ ax + by - 4 = 0 đi qua hai giao điểm của hai đờng tròn đã cho.
Bài 4 (2 điểm)
Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi O là giao điểm
của hai đờng chéo hình vuông ABCD. Trên đờng thẳng Ox vuông góc với mặt
phẳng (P) lấy một điểm S. Gọi là góc nhọn hợp bởi mặt bên và mặt đáy của
hình chóp S.ABCD.
Tính giá trị gần đúng thể tích và diện tích toàn phần của hình chóp
S.ABCD khi biết a = 2,637 cm và = 37
0
.
Bài 5 (2 điểm)
Cho hàm số y =
1

1
x
x
+

(C)
Tìm giá trị gần đúng hoành độ của những điểm trên (C) sao cho tổng các
khoảng cách từ điểm đó đến hai đờng tiệm cận là nhỏ nhất.
Bài 6 (2 điểm)
Cho đờng tròn tâm O, bán kính R. AB là một đờng kính cố định của đ-
ờng tròn, M là một điểm di động trên nửa đờng tròn. Gọi N là điểm chính giữa
của cung MB. Tìm gần đúng giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác AMNB khi
biết R = 7,12 cm.
5