D01 tìm cực trị của hàm số cho bởi công thức muc do 3

Câu 11. [2D1-2.1-3] (THPT HOA LƯ A- LẦN 1-2018) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực
trị của đồ thị hàm số
A.

.

là
B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn D.
Ta có:

, cho

Đồ thị hàm số đạt cực đại tại

,

.

Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:
Câu 33. [2D1-2.1-3] (THPT HOA LƯ A- LẦN 1-2018) Gọi
hàm số

.
và

. Tính diện tích S của tam giác

A.

.

B.

.

C.
Lời giải

là các điểm cực tiểu của đồ thị
(

là gốc tọa độ)

.

D.

.

Chọn A.
Ta có
Lại có
Do đó

là điểm cực đại và

là điểm cực tiểu.

Với
Đường thẳng
Câu 42. [2D1-2.1-3] (THPT Sơn Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018) Viết phương trình
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn B.
,
Vậy đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là

và

thẳng qua hai điểm cực trị có vectơ chỉ phương là
. Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là
.

. Đường
nên có vectơ pháp tuyến là
hay


*Cách khác: Đường thẳng qua hai điểm cực trị có phương trình là

.

Câu 43. [2D1-2.1-3] (THPT Sơn Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018) Tìm cực đại của hàm
số

.

A.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D.
Tập xác định là
Ta có

Bảng biến thiên
0
0


Ta thấy cực đại của hàm số là

.

Câu 38: [2D1-2.1-3] (THPT Quãng Xương-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm
số

với

của hàm số
A. .

,

,

,

;

và

. Số cực trị

là
B.

.

C. .

D.

.

Lời giải
Chọn D.
Đặt

. Từ giả thiết ta có

Vậy phương trình
Mặt khác, do

có ít nhất 1 nghiệm
nên

nghiệm phân biệt
phương trình

trong khoảng

.

nên phương trình
,

,

hàm số

có 3 nghiệm phân biệt nên hàm số

có 3
có 2 cực trị và

có đúng 5 cực trị.

Câu 16. [2D1-2.1-3] (THPT Nguyễn Đức Thuận-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018)
Cho hàm số

liên tục trên đoạn

đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại

.

có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây
B. Hàm số đạt cực đại tại

.


C. Hàm số đạt cực tiểu tại

.

D. Hàm số đạt cực tiểu tại
Lời giải

.

Chọn C.
Từ đồ thị hàm số ta suy ra hàm số đạt cực tiểu tại
Câu 26. [2D1-2.1-3] (THPT Nguyễn Đức Thuận-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018)
Trong các hàm số sau đây hàm số nào có cực trị
A.

.

B.

. C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C.
Xét hàm số

ta có:

.
Loại A và D nên chọn C.
Câu 38. [2D1-2.1-3] (THTT Số 3-486 tháng 12 năm 2017-2018) Hàm số
đúng ba điểm cực trị là
A. .

,
B.

và

Hỏi hàm số

.

có

có bao nhiêu điểm cực trị?

C. .

D.

.

Lời giải
Chọn A.

Vì hàm số

(Cả

có đúng ba điểm cực trị là

nghiệm này đều là nghiệm đơn theo nghĩa

và

nên

.

đổi dấu khi qua ba nghiệm này)

Ta có:

.

(Cả

nghiệm này cũng đều là nghiệm đơn theo nghĩa

Vậy hàm số
Chú ý: Ta có thể chọn

đổi dấu khi qua ba nghiệm này)

có 3 cực trị.
nhận

và

làm nghiệm đơn.


Khi đó:
Rõ ràng từ đây dễ dàng kiểm tra về tính cực trị của hàm số
Câu 16. [2D1-2.1-3]

.

(THPT Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 2 năm 2017-

2018) Cho hàm số

có đạo hàm liên tục trên

và có đồ thị hàm

hình vẽ. xét hàm số

. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Hàm số

đạt cực trị tại

.

C. Hàm số

đồng biến trên

.

như

B. Hàm số

nghịch biến trên

D. Hàm số

đồng biến trên

.

.

Lời giải
Chọn D.
Dễ thấy

đổi dấu từ

sang

khi qua

nên hàm số

đạt cực tiểu tại

nên

A. đúng
nên hàm số

Ta có

nghịch biến trên

. B. đúng

,

nghiệm kép,

trong đó

là nghiệm bội bậc

, do đó,

chỉ đổi dấu qua

là

.

Lại có,
Ta có BBT

Từ BBT ta có hàm số đồng biến trên khoảng

và nghịch biến trên

. C. đúng, và

D. sai.
Câu 44. [2D1-2.1-3] (THPT Chuyên ĐHSP-Hà Nội-lần 1 năm 2017-2018) Điểm thuộc
đường thẳng
cách đều hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
là
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

Chọn C.

.

D.

.


Ta có:

.

Cho

.

Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là
Gọi

,

.

. Ta có:
.
.

Câu 44. [2D1-2.1-3] (THPT Chuyên ĐHSP-Hà Nội-lần 1 năm 2017-2018) Điểm thuộc
đường thẳng
cách đều hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
là
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C.
Ta có:

.

Cho

.

Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là
Gọi

,

.

. Ta có:
.
.

Câu 35. [2D1-2.1-3] [2D1-3] (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Cho hàm số
,

với

điểm cực trị?
A. .

B.

là tham số. Hỏi hàm số trên có thể có nhiều nhất bao nhiêu
.

C. .
Lời giải

Chọn A.
Ta có:
Nên
Bởi thế với

.
thì

, ta có bảng biến thiên

D.

.


Như vậy, hàm số chỉ có một điểm cực trị.
Câu 35. [2D1-2.1-3] [2D1-3] (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Cho hàm số
,

với

điểm cực trị?
A. .

B.

là tham số. Hỏi hàm số trên có thể có nhiều nhất bao nhiêu

.

C. .
Lời giải

D.

.

Chọn A.
Ta có:
Nên

.

Bởi thế với

thì

, ta có bảng biến thiên

Như vậy, hàm số chỉ có một điểm cực trị.
Câu 34. [2D1-2.1-3] (THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa-lần 2 năm 2017-2018) Cho
hàm số
là
A.

.

có đạo hàm

. Số điểm cực trị của hàm số

B.

.

C. .
Lời giải

D.

Chọn B.
Ta có

.

Ta có bảng biến thiên của hàm số

Ta có bảng biến thiên của hàm số

:

:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy số điểm cực trị của hàm số

là .

.

Câu 39. [2D1-2.1-3] (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 2 năm 2017-2018) Biết
là nguyên hàm của hàm số

. Hỏi đồ thị của hàm số

bao nhiêu điểm cực trị trong khoảng
A.
.
B. .

?
C.

.

D.

có

.

Lời giải
Chọn C.
Ta có
,
Ta thấy

(1)

không phải là nghiệm của phương trình nên

Xét

(2).

trên

có

.

+ Xét

, ta có

nghịch biến nên

nên phương trình

vô

nghiệm.
+ Vì hàm số
Do đó

có chu kỳ tuần hoàn là

nên ta xét

nghịch biến trên khoảng

và

có duy nhất một nghiệm
Do đó,

có
có

. Suy ra phương trình

.
nghịch biến nên

nên

vô nghiệm.

Vậy phương trình
có

nên phương trình

khoảng rời nhau có độ dài bằng

, ta có

phương trình

.

.

nghiệm trên

+ Xét

, với

có

nghiệm trên

điểm cực trị trong khoảng

. Do đó đồ thị hàm số
.

Câu 47. [2D1-2.1-3] (THPT Nguyễn Trãi-Đà Nẵng-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số
, gọi
A.

.

là tổng tất cả các giá trị cực trị của hàm số. Giá trị của
B.

.

C.
Lời giải

Chọn C.
Tập xác định của hàm số

.

.

D.

bằng
.


Ta có:

.

;

.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra tổng tất cả các giá trị cực trị của hàm số là

.

Câu 47. [2D1-2.1-3] (THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – lần 4 - năm 2017 – 2018) Điểm
cực đại của hàm số
A.

.

là
B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B.
Ta có

.
.

Ta thấy

đổi dấu từ dương sang âm khi

qua

, nên hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm

.
Câu 35:

[2D1-2.1-3] (ĐHQG TPHCM – Cơ Sở 2 – năm 2017 – 2018)

giá trị thực của tham số

để đường thẳng

Tìm

song song với

đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A.
Hàm số

có TXĐ:

;

;

Suy ra đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là
Đường thẳng

đi qua hai điểm

,

,

có phương trình:

.
.

Đường

thẳng

song

song

với

đường

thẳng

.
Câu 15:

[2D1-2.1-3] (SGD Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Ta xác định được

các số

,

,

để đồ thị hàm số

điểm cực trị
A.
.

đi qua điểm

. Tính giá trị biểu thức
B.
.
C. .
Lời giải

và có

.
D.

.

Chọn A.
Ta có:

.

Đồ thị hàm số

đi qua điểm

Đồ thị hàm số có điểm cực trị

nên ta có:

nên

Xét hệ phương trình

.
.

.

Vậy

.

Câu 46: [2D1-2.1-3] (Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Đinh - năm 2017-2018) Cho
hàm số

với

Tìm số cực trị của hàm số
A.

.

B.

,

là các tham số thực thỏa mãn

.
.

C. .
/Hướng dẫn giải

Chọn C.

;
Khi đó đồ thị hàm số

.
có dạng như sau:

D. .

.


Đồ thị

có dạng như sau.

Vậy số cực trị của hàm số

là 11.

Câu 42. [2D1-2.1-3] (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH-LẦN 3-2018) Cho hàm số
với mọi
điểm cực trị?
A. .

B.

. Hàm số

.

C.

có đạo hàm

có nhiều nhất bao nhiêu
.

D.

.

Lời giải
Chọn A.
Ta có
cực trị. Suy ra

có
có tối đa

nghiệm và đổi dấu

lần nên hàm số

có

nghiệm phân biệt.

Do đó
có tối đa cực trị.
Câu 34. [2D1-2.1-3] (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN-LẦN 4-2018) Đồ thị của hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
A.

.

B.

.

C. .
Lời giải

D.

.


Chọn C.
Số cực trị của hàm số

bằng số cực trị của hàm số

(khác cực trị) của hàm số

cộng với số giao điểm

với trục hoành.

Xét hàm số

ta có
;

.

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có
phân biệt nên hàm số
Câu 6:

có

cực trị và phương trình

có bốn nghiệm

điểm cực trị.

[2D1-2.1-3] (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA-LẦN 2-2018) Cho hàm số
hàm
A.

. Số điểm cực trị của hàm số

.

B.

.

là:

C. .
Lời giải

D.

.

Chọn B
Ta có

.

Ta có bảng biến thiên của hàm số

và

.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy số điểm cực trị của hàm số

là .

Câu 39: [2D1-2.1-3] (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU-2018) Số điểm cực trị của hàm số
là
A. .
B. .
C. .
D. .
Lời giải

có đạo


Chọn B.
Tập xác định
Ta có

.
. Ta thấy

bằng

tại

và không xác định tại

đồng thời

khi biến số đi qua hai điểm đó nên hàm số có hai cực trị.
Câu 44:
[2D1-2.1-3] (CHUYÊN THÁI BÌNH-2018) Cho hàm số
trên

đổi dấu
liên tục

và có bảng biến thiên như sau

Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong số các mệnh đề sau đối với hàm số
?
I. Hàm số

đồng biến trên khoảng

II. Hàm số

nghịch biến trên khoảng

III. Hàm số

đạt cực tiểu tại điểm

IV. Hàm số
A. .

có giá trị cực đại bằng
.
B. .
C. .
Lời giải

Chọn C.

Từ bảng biến thiên ta có hàm số
,
Xét hàm số

.
D.

.

có
,

và

ta có

Giải phương trình

,

.
.

Ta có
.
.
.
.
Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có
Hàm số
đồng biến trên khoảng

nên I sai.

.


Câu 6:

Hàm số

đồng biến trên khoảng

Hàm số

đạt cực tiểu tại

Hàm số

đạt cực đại tại

và

nên II sai.

nên III sai.
và

nên IV đúng.

[2D1-2.1-3] (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA-LẦN 2-2018) Cho hàm số
hàm
A.

. Số điểm cực trị của hàm số
.

B.

.

có đạo

là:

C. .
Lời giải

D.

.

Chọn B.
Ta có

.

Ta có bảng biến thiên của hàm số

và

.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy số điểm cực trị của hàm số

là .

Câu 32: [2D1-2.1-3] (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ-LẦN 5-2018) Viết phương trình đường thẳng đi qua
hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
A.

.

B.

.
.

C.
Hướng dẫn giải

.

D.

.

Chọn B.

 Tập xác định


.
,

 Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là
và
 Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị
.
Cách khác:

.
.
của đồ thị hàm số đã cho là:


 Áp dụng tính chất: Nếu

là điểm cực trị của hàm số hữu tỷ

tương ứng của hàm số là

thì giá trị cực trị

. Suy ra với bài toán trên ta có phương trình

đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là
Câu 49:

.

[2D1-2.1-3] (THPT LÊ QUY ĐÔN QUẢNG TRỊ-2018) Cho hàm số
có đạo hàm

hàm số
A. .

trên

. Tính số điểm cực trị của

.
B.

.

C. .
Lời giải

D.

.

Chọn B.
Cho

.

Dễ thấy

là nghiệm kép nên khi qua

nghiệm còn lại

,

thì

không đổi dấu, các

là các nghiệm đơn nên qua các nghiệm đó

có sự đổi dấu. Vậy hàm số

có

cực trị.

Câu 47: [2D1-2.1-3] (THPT NGUYỄN TRÃI ĐÀ NẴNG-2018) Cho hàm số
là tổng tất cả các giá trị cực trị của hàm số. Giá trị của

bằng

A.

.

.

B.

.

C.
Lời giải

Chọn C.
Tập xác định của hàm số

.

Ta có:

.

;

Bảng biến thiên:

.

, gọi

D.

.


Từ bảng biến thiên suy ra tổng tất cả các giá trị cực trị của hàm số là

Câu 47.

.

[2D1-2.1-3] (THPT Phan Đăng Lưu - Huế - L2 - 2018) Gọi ,
là hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số
và
là điểm trên trục hoành sao cho tam giác
có
chu vi nhỏ nhất, đặt
A.

. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng ?

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải

Chọn A.
Tập xác định:

. Đạo hàm:

.

Xét

. Đặt

Ta thấy hai điểm
Gọi

và

và

.

nằm cùng phía với trục hoành.

là điểm đối xứng với điểm

nhỏ nhất khi và chỉ khi ba điểm
Ta có:

,

qua trục hoành. Chu vi tam giác

và

đạt giá trị

thẳng hàng.

và

Vậy

.

.

Câu 38: [2D1-2.1-3] [Mã đề 105 – THQG 2018] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
số
đạt cực tiểu tại
?
A. .
B. .
C. Vô số.
D. .
Lời giải
Chọn A.
Ta có

để hàm

với
.

Trường hợp 1:
Với
có
hàm số.
Với
có
hàm số.
Trường hợp 2:

.
và đổi dấu từ âm sang dương qua
và không đổi dấu qua

là cực tiểu của

nên

không là cực trị của

.

Để hàm số đạt cực tiểu tại
Với

suy ra

.
.