luận văn ứng dụng của đạo hàm để tìm cực trị của hàm số

NG DNG CA O HM TèM CC TR HM S
Sinh viên: Nguyễn Thị Hậu
2


Lời cảm ơn


Trong suốt thời gian thực hiện khoá luận tốt nghiệp ngoài sự nỗ lực của bản
thân, tôi còn nhận đợc sự giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của các thầy giáo, cô giáo trong
Khoa Toán - Công Nghệ, Trờng Đại học Hùng Vơng.
Đặc biệt tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Trần Công Tấn
Trần Công TấnTrần Công Tấn
Trần Công Tấn-
Giảng viên Khoa Toán - Công Nghệ, Trờng Đại học Hùng Vơng. Thầy đã
dành nhiều thời gian quý báu tận tình hớng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện
khoá luận tốt nghiệp, đồng thời giúp tôi lĩnh hội đợc những kiến thức chuyên môn
và rèn luyện cho tôi tác phong nghiên cứu khoa học.
Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc các thầy giáo, cô giáo
trong Khoa Toán Công nghệ, tới gia đình, bạn bè là những ngời luôn sát cánh
bên tôi, đã nhiệt tình giúp đỡ, chia sẻ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập
cũng nh khi tôi thực hiện và hoàn chỉnh khoá luận này.
Mặc dù đề tài đã đợc chuẩn bị và nghiên cứu một cách kĩ lỡng, về thời gian
cũng nh nội dung nhng không khỏi có những thiếu sót. Vì vậy tôi rất mong nhận
đợc sự góp ý của các bạn sinh viên, và đặc biệt là của các thầy giáo, cô giáo đang
giảng dạy bộ môn Toán để khoá luận đợc hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!


Phú Thọ, tháng 05 năm 2010
Sinh viên

Nguyễn Thị Hậu



ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
3

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn ñề tài

Đạo hàm là một trong những kiến thức khá quen thuộc ñối với học sinh
Trung học phổ thông cũng như sinh viên các trường Cao Đẳng và Đại học. Nội
dung này của giải tích ñược ñề cập rất sớm trong chương trình: Đại số và giải
tích bậc Trung học phổ thông và xuyên suốt trong các năm học Cao ñẳng và Đại
học tiếp theo.
Mặc dù vậy ñể nắm vững khái niệm, tính chất của ñạo hàm ñồng thời ứng
dụng ñược ñạo hàm vào giải các bài toán trong giải tích, vật lý, các bài toán về
kinh tế cũng như các bài toán thực tế lại là một vấn ñề hoàn toàn không ñơn
giản.
Trong những năm học Trung học phổ thông, học sinh ñã làm quen với
khái niệm ñạo hàm, bước ñầu ñã biết vận dụng tìm cực trị của hàm số một biến
trong giải tích và ứng dụng trong vật lý tìm vận tốc, gia tốc của một chuyển
ñộng. Đó mới chỉ là những bài toán ñơn giản, chưa phải là bài toán khó và phức
tạp. Song nhiều học sinh vẫn còn mắc sai lầm trong việc giải các bài toán dùng
ứng dụng của ñạo hàm mà nguyên nhân chính là việc học sinh chưa nắm vững
khái niệm ñạo hàm, chưa biết khảo sát hàm số, chưa biết cách làm một bài toán
ứng dụng ñạo hàm…

Đạo hàm và ứng dụng của nó ngày càng ñược mở rộng, ñặc biệt là trong
các trường Cao ñẳng, Đại học. Không chỉ giới hạn trong việc tìm cực trị của
hàm số một biến như Trung học phổ thông mà ñạo hàm ñược ứng dụng mở rộng
trong các bài toán tìm cực trị của hàm số nhiều biến, các bài toán cực trị có ñiều
kiện của hàm số nhiều biến, hàm ẩn. Lúc này, ñể giải quyết các vấn ñề ñó lại là
một bài toán khó. Yêu cầu người học không chỉ vững vàng về kiến thức cơ bản
của ñạo hàm như ñịnh nghĩa tính chất, ứng dụng, mà còn ñòi hỏi người học phải
có tư duy toán học phát triển, ñồng thời ứng dụng ñạo hàm ở mức ñộ cao hơn,
phải biết sử dụng và kết hợp một cách khéo léo các công cụ trong ñại số tuyến
tính và hình học giải tích ñể hỗ trợ và phát triển ứng dụng ñó. Chính vì vậy
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
4

không ít sinh viên ngành Toán nói chung và sinh viên Sư phạm Toán nói riêng
còn gặp nhiều khó khăn, còn lúng túng khi gặp các bài toán ứng dụng ñạo hàm
ñể tìm cực trị hàm số.
Với mong muốn: Làm sao ñể các sinh viên nói chung, ñặc biệt là các sinh
viên Sư phạm Toán nói riêng ñược trang bị ñầy ñủ các kiến thức trong việc học
tập nghiên cứu ứng dụng của ñạo hàm, từ ñó mở rộng các ứng dụng ñó trong
thực tiễn giảng dạy, ñưa các ứng dụng của khoa học vào ñời sống. Đặc biệt với
mục ñích ñưa ra một hệ thống tập chung, phân loại kiến thức và nêu bài tập ứng
dụng nhằm ñem lại thuận lợi cho học sinh, sinh viên trong quá trình học tập và
nghiên cứu về ñạo hàm của hàm số. Vì vậy tôi mạnh dạn chọn ñề tài nghiên cứu:
“Ứng dụng của ñạo hàm ñể tìm cực trị hàm số” cho khóa luận tốt nghiệp của
mình.
2. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu những tài liệu, giáo trình liên quan ñến ñạo hàm và cực trị của hàm
số ñể rút ra phương pháp giải cho một số dạng toán về ứng dụng của ñạo hàm
vào tìm cực trị hàm số.

- Nghiên cứu mối liên hệ giữa cực trị hàm số và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của hàm số.
3. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc các giáo trình, tài liệu liên quan tới ứng
dụng của ñạo hàm vào tìm cực trị hàm số ñể phân loại và hệ thống hoá các kiến
thức.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Từ việc nghiên cứu tài liệu, giáo trình rút
ra ñược kinh nghiệm ñể tìm cực trị bằng phương pháp ñạo hàm.
- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến giảng viên trực tiếp hướng dẫn
và các giảng viên khác ñể hoàn thiện về mặt nội dung cũng như hình thức của
khóa luận.
4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Khóa luận có thể tài liệu tham khảo cho những sinh viên chuyên ngành
Toán của trường Đại học Hùng Vương có mong muốn nghiên cứu và tìm hiểu
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
5

ứng dụng của ñạo hàm. Với bản thân tôi, nghiên cứu về ứng dụng của ñạo hàm
trong việc giải các bài toán cực trị giúp tôi hiểu rõ hơn khái niệm và tính chất
của ñạo hàm cũng như của cực trị hàm số, cho thấy một trong những ứng dụng
quan trọng của ñạo hàm và mối liên hệ rộng rãi của nó với các phần khác nhau
trong Toán học.
5. Bố cục của khóa luận:
Ngoài phần mở ñầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của
khóa luận gồm 3 chương
Chương 1. Các kiến thức bổ trợ
Trong chương 1 trình bày cơ sở lý thuyết về ñặc ñiểm của ñạo hàm thông
qua những ñặc ñiểm chung của môn Toán, làm rõ tính trừu tượng cao ñộ và tính
thực tiễn phổ dụng, tính lôgíc và tính thực nghiệm. Đồng thời, hệ thống hóa các

kiến thức cơ bản về ñạo hàm bao gồm:
- Định nghĩa ñạo hàm của hàm số một biến và ñạo hàm hàm số hai biến.
- Các quy tắc tính ñạo hàm.
- Các ñịnh lý cơ bản về hàm khả vi.
Ngoài ra, trong chương này còn bổ sung thêm ý nghĩa của ñạo hàm ñể tìm
cực trị của hàm số nhằm ñưa ra cơ sở lý luận vững chắc cho khóa luận.
Chương 2. Ứng dụng của ñạo hàm ñể tìm cực trị hàm số một biến
Trong chương này, việc nhắc lại các kiến thức cơ bản về cực trị, các quy
tắc dùng ñạo hàm ñể tìm cực trị của hàm số một biến nhằm củng cố kiến thức,
tạo nền tảng vững chắc ñể ứng dụng ñạo hàm vào tìm cực trị của hàm số một
biến. Đồng thời chương này cũng ñưa ra hệ thống, phân loại các dạng bài tập
theo các lớp hàm, giúp cho việc giải quyết các bài tập một cách thuận lợi hơn và
là cơ sở ñể giúp cho việc nghiên cứu hàm nhiều biến ở chương sau.

Chương 3. Ứng dụng của ñạo hàm ñể tìm cực trị hàm số nhiều biến
Chương 3 trình bày phương pháp ứng dụng của ñạo hàm ñể giải quyết
các bài toàn tìm:
- Cực trị của hàm số hai biến số.
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
6

- Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số hai biến số trong một miền ñóng
bị chặn.
- Cực trị có ñiều kiện.
- Cực trị hàm số phụ thuộc tham số.
Hơn nữa, ứng dụng ñạo hàm ñể nghiên cứu các tính chất của hàm số ẩn,
ñây là phần kiến thức tương ñối khó, tuy nhiên nó hỗ trợ rất ñắc lực cho việc tìm
cực trị của hàm số nhiều biến và ñặc biệt trong việc tìm cực trị của hàm ẩn.
Ở trong chương này chúng ta cũng có hệ thống các dạng bài tập tương

ứng, bám sát các kiến thức, các quy tắc ñã ñược trình bày, giúp người ñọc hiểu
sâu sắc hơn các kiến thức ñã học và ghi nhớ các quy tắc sử dụng ñạo hàm ñể giải
quyết các bài toán trên.















ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
7

CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC BỔ TRỢ

1.1. Đặc ñiểm của ñạo hàm
1.1.1. Tính trừu tượng cao ñộ và tính thực tiễn phổ dụng
a) Tính trừu tượng hoá: Tính trừu tượng hoá của Toán học và của môn
Toán do chính ñối tượng của môn Toán quy ñịnh. Theo Ăng ghen: “ Đối tượng
của Toán học thuần tuý là hình dạng không gian và những quan hệ số lượng của
thế giới khách quan” (Trích theo Hoàng Chúng, tr.20).

Mặc dầu Toán học hiện nay phát triển mạnh mẽ, phát biểu nổi tiếng trên
vẫn còn hiệu lực nếu những khái niệm hình học không gian và quan hệ số lượng
ñược hiểu theo những nghĩa rất khái quát. “Hình dạng không gian” có thể biểu
diễn không chỉ trong không gian thực tế ba chiều mà cả trong những không gian
trừu tượng khác nhau nữa như không gian có số chiều là n hoặc vô hạn, không
gian mà phần tử là những hàm liên tục, “Quan hệ số lượng” không chỉ bó hẹp
trong phạm vi các tập hợp mà ñược biểu hiện như phép toán và những tính chất
của chúng trên những tập hợp có những phần tử là những ñối tượng loại tuỳ ý
như ma trận, tập hợp, mệnh ñề, phép biến hình,…
Đương nhiên tính chất trừu tượng không phải chỉ có trong Toán học mà là
ñặc ñiểm của mọi khoa học. Nhưng trong Toán học, cái trừu tượng tách ra khỏi
mọi chất liệu của ñối tượng, “chỉ giữ lại những quan hệ số lượng và hình dạng
không gian, tức là những quan hệ về cấu trúc mà thôi’’ (Phạm Văn
Hoàn,…1981, tr.21). Ở trình ñộ lý thuyết, nhận thức khoa học nói chung, Toán
học nói riêng luôn phải sử dụng sự trừu tượng hoá. Toán học là khoa học sử
dụng nhiều sự trừu tượng nhất và mức ñộ trừu tượng cũng ñạt trình ñộ cao nhất,
trong lĩnh vực khoa học này: “sự trừu tượng có sức mạnh lớn nhất’’. Tuy nhiên,
cho dù sự trừu tượng có ñược thực hiện “nghiêm túc’’, “ñúng ñắn” ñến ñâu thì
các tri thức nhận ñược vẫn có khả năng xa rời hiện thực. Vì vậy, ñể ñảm bảo
tính chân lý, tức lập luận cho tính hợp lý của các tri thức nhận ñược, chúng ta
cần phải xác lập cơ sở của chúng. Nhưng ñây mới chỉ là lý do thứ yếu và tính
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
8

cấp bách của vấn ñề nằm ở chỗ khác. Sau phát hiện về ñại lượng biến thiên của
Decarter, người ta ñã sử dụng phép tính tích phân và vi phân ñể nghiên cứu về
vận ñộng. Ta có thể mô tả việc nghiên cứu này như sau:
Người ta sử dụng hàm số:
(

)
s f t
=
ñể biểu thị vận ñộng; vận tốc tức thời
tại một thời ñiểm cụ thể t
1
nào ñó là ñạo hàm bậc nhất của hàm số tại thời ñiểm
ñó:
(
)
(
)
1 1
'
v t f t
=
. Gia tốc tức thời của vận ñộng là ñạo hàm bậc hai:
(
)
(
)
1 1
''
a t f t
=
.
Như vậy, lần ñầu tiên người ta ñã sử dụng các công cụ toán học, các
phương pháp chặt chẽ, chính xác ñể nghiên cứu về vận ñộng nói riêng, về cái
biện chứng khách quan nói chung. Đặc biệt là với phương thức nghiên cứu như
vậy, người ta ñã thu nhận ñược một khối lượng ñồ sộ các thành tựu toán học.

Đạo hàm (vi phân) là lý thuyết về tốc ñộ của sự thay ñổi; liên hệ ñến các
hàm số, vận tốc, gia tốc, hệ số góc của một ñường cong tại một ñiểm cho trước,
cực ñại và cực tiểu của các hàm. Khi nghiên cứu ñạo hàm (vi phân), các nhà
nghiên cứu ñã ñối mặt và giải quyết các vấn ñề về mối quan hệ giữa liên tục và
rời rạc; giữa hữu hạn và vô hạn; giữa chuyển ñộng và ñứng yên.
Như vậy có thể thấy ñạo hàm một bộ phận của Toán học có tính chất trừu
tượng cao ñộ. Tính trừu tượng cao ñộ chỉ che lấp chứ không hề mất tính thực
tiễn của Toán học.
b) Tính thực tiễn phổ dụng: Toán học có nguồn gốc thực tiễn. Số học ra
ñời trước hết là do nhu cầu ñếm. Hình học phát sinh do sự cần thiết phải ño lại
ruộng ñất bên bờ sông Nin (Ai Cập) sau những trận lũ hàng năm. Khi nói ñến
nguồn gốc thực tiễn của Toán học cũng cần nhấn mạnh cả nguồn gốc thực tiễn
của lôgíc hình thức ñược sử dụng trong Toán học, Lê Nin viết: “Những hình
thức và quy luật lôgíc không phải là cái vỏ trống rỗng mà là sự phản ánh thế giới
khách quan thực tiễn của con người ñược lặp ñi lặp lại hàng nghìn triệu lần, sẽ
ñược củng cố vào ý thức người ta dưới những hình thức của lôgíc học” (Lê Nin
toàn tập, tr. 127 - 129, trích theo Phạm Văn Hoàn, 1981, tr.23).
Thành t
ựu nổi bật nhất của thế kỉ XVII là sự phát minh ra các phép tính
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
9

vi - tích phân vào cuối thế kỉ này của Isaac Newton và Gottfried Wilhelm
leibniz. Sự ra ñời của phép tính vi - tích phân ñã ñưa Toán học sang một giai
ñoạn Toán cao cấp, gần như kết thúc giai ñoạn của Toán học sơ cấp. Từ ñối
tượng nghiên cứu là các số và hình dạng tĩnh tại, Toán học bước sang nghiên
cứu ñối tượng trong quá trình vận ñộng và biến ñổi.
Phép tính vi phân và tích phân ñược sáng tạo ra là nhằm giải quyết bốn
vấn ñề khoa học của thế kỉ thứ XVII như sau:

Vấn ñề thứ nhất, cho vật chuyển ñộng theo một công thức là một hàm số
theo thời gian, hãy tìm vận tốc và gia tốc của nó ở một thời ñiểm bất kì; ngược
lại, cho biết gia tốc của một vật thể chuyển ñộng là một hàm số theo thời gian,
hãy tìm vận tốc và quãng ñường ñi ñược. Vấn ñề này xuất phát từ việc nghiên
cứu chuyển ñộng. Trong chuyển ñộng thì vận tốc và gia tốc thay ñổi từ thời
ñiểm này ñến thời ñiểm khác. Trong vật lý, người ta cần biết chính xác vận tốc
hay gia tốc của một vật thể chuyển ñộng tại từng thời ñiểm. Nếu lấy vận tốc
bằng quãng ñường ñi ñược chia cho thời gian là vận tốc trung bình chứ chưa
phải vận tốc chính xác tại mỗi thời ñiểm thì thời gian chuyển ñộng và vận tốc
ñều bằng không, mà 0/0 là vô nghĩa. Đối với bài toán ngược lại, thì gặp một khó
khăn là nếu biết vận tốc là một hàm thời gian ta cũng không thể tìm ñược quãng
ñường ñi ñược của vật thể chuyển ñộng vì vận tốc thay ñổi từ thời ñiểm này ñến
thời ñiểm khác.
Vấn ñề thứ hai là vấn ñề tìm tiếp tuyến của một ñường cong. Bài toán này
thuộc về hình học, nhưng nó có những ứng dụng quan trọng trong khoa học.
Quang học là ngành mà nhiều nhà khoa học của thế kỉ XVII quan tâm nghiên
cứu. Thiết kế các thấu kính là mối quan tâm ñặc biệt của NewTon, Fermat,
Descartes và Huygens. Để nghiên cứu ñường ñi của ánh sáng qua thấu kính
người ta phải biết góc mà ở ñó tia sáng ñập vào thấu kính ñể áp dụng ñịnh luật
khúc xạ. Góc cần chú ý là góc giữa tia sáng và pháp tuyến của ñường cong, pháp
tuyến thì vuông góc với tiếp tuyến. Để xác ñịnh pháp tuyến, người ta phải xác
ñịnh tiếp tuyến. Một vấn ñề có tính chất khoa học khác nữa liên quan ñến tiếp
tuyến của một ñường cong là nghiên cứu chuyển ñộng. Hướng chuyển ñộng của
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
10

vật thể chuyển ñộng ở bất kì thời ñiểm nào của quỹ ñạo chính là hướng của tiếp
tuyến của quỹ ñạo.
Vấn ñề thứ ba là vấn ñề tìm giá trị cực ñại và cực tiểu của một hàm số.

Khi ñạn bắn từ súng thần công, khoảng cách ñi ñược sẽ phụ thuộc vào góc của
súng tạo với mặt ñất. Vấn ñề ñặt ra là tìm góc sao cho viên ñạn ñi xa nhất.
Nghiên cứu sự chuyển ñộng của Hành Tinh liên quan ñến các bài toán cực trị, ví
dụ tìm khoảng cách ngắn nhất và dài nhất của một Hành Tinh và Mặt Trời.
Vấn ñề thứ tư là tìm chiều dài ñường cong, chẳng hạn như khoảng cách ñi
ñược của một Hành Tinh trong một thời gian nào ñó; diện tích của hình giới hạn
bởi các ñường cong; thể tích của những khối giới hạn bởi những mặt,… Các nhà
Toán học cổ Hy Lạp ñã dùng phương pháp vét kiệt một cách rất khéo léo. Các
nhà Toán học ở thế kỉ XVII ñã cải tiến dần và họ ñã nhanh chóng phát minh ra
phép tính vi - tích phân.
Toán học có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn. Tính trừu tượng cao ñộ
làm cho Toán học có tính phổ dụng, có thể ứng dụng ñược trong rất nhiều lĩnh
vực rất khác nhau của ñời sống thực tế. Chẳng hạn, những tri thức về tương
quan tỷ lệ thuận biểu thị bởi công thức
y kx
=
có thể ñược ứng dụng vào hình
học, ñiện học, hoá học…Vì mối tương quan này phản ánh những mối liên hệ
trên các lĩnh vực ñó, chẳng hạn như:
- Diện tích S của một tam giác với một cạnh a cho trước tỉ lệ thuận với
ñường cao h ứng với cạnh ñó:
1
2
S ah
= .
- Quãng
ñườ
ng S
ñ
i

ñượ
c trong m
ộ
t chuy
ể
n
ñộ
ng
ñề
u v
ớ
i v
ậ
n t
ố
c cho
tr
ướ
c v t
ỷ
l
ệ
thu
ậ
n v
ớ
i th
ờ
i gian
ñ

i t:
S vt
=
.
- Ph
ươ
ng trình xác
ñị
nh li
ñộ
trong chuy
ể
n
ñộ
ng c
ủ
a con l
ắ
c là:
(
)
. os
t
x a c w
ϕ
= +
. Từ phương trình này ta thấy nếu lấy ñạo hàm lần thứ nhất ta
có:
(
)

' awsin
t
x w
ϕ
= − +
ñây chính là vận tốc của con lắc ở thời ñiểm t. Nếu lấy
ñạo hàm lần thứ hai ta có
(
)
2
'' aw cos
t
x w
ϕ
= − +
ñây chính là gia tốc của con lắc
ở thời ñiểm t cần tìm.
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
11

Tương tự như vậy, những kết quả nghiên cứu về nhóm có thể ñem ứng
dụng cho những ñối tượng có bản chất rất khác nhau: số, véctơ, ma trận, phép
dời hình,…
Đạo hàm một bộ phận của Toán học có ứng dụng rất nhiều trong cuộc
sống, cụ thể: Trong các bài toán ñộng tử, vận tốc là ñạo hàm của quãng ñường
ñi; gia tốc là ñạo hàm của vận tốc. Trong bài toán ñiện, sức ñiện ñộng cảm ứng
là một ñạo hàm của từ thông biến thiên; trong tụ ñiện thì dòng ñiện là ñạo hàm
của ñiện áp; trong cuộn cảm thì ñiện áp là ñạo hàm của dòng ñiện. Trong ngành
cơ học lưu chất thì lưu lượng là ñạo hàm của khối lượng (hoặc thể tích) lưu

chất… Khi ta nói vào microphone, ñiện áp ra của mic sẽ bằng ñạo hàm của sóng
âm thanh; khi ampli khuyếch ñại lên ñưa ra loa, rung ñộng của loa sẽ bằng ñạo
hàm của ñiện áp ñặt vào; như vậy từ mic ñến loa bạn ñã lấy ñạo hàm 2 lần…
Ứng dụng của ñạo hàm (vi phân) và tích phân vào thực tế thì hầu như
ngành nào cũng có. Từ khoa học tự nhiên, kĩ thuật, công nghệ, ñến các bài toán
trong các quá trình khoa học xã hội Tất cả các quá trình ñó ñều có thể mô
phỏng bằng các khối Tỷ lệ - tích phân - vi phân. Trước khi máy vi tính ra ñời,
người ta sử dụng các mạch ñiện tử ñể làm các khối này. Các mạch ñiện tử ñó gọi
là các bộ khuyếch ñại thuật toán. Hệ thống sử dụng các mạch mô phỏng ấy ñược
gọi là máy tính tương tự. Hiện nay người ta dùng các phần mềm mô phỏng, hoặc
các phần mềm tuyến tính thời gian thực ñể thay thế. Các mạch khuyếch ñại thuật
toán vẫn ñược sản xuất ñể thực hiện rất nhiều chức năng khác. Sử dụng các phần
mềm mô phỏng này người ta có thể biết ñược tác ñộng của các biến số phức tạp
trong hệ thống.
1.1.2. Tính lôgíc và tính thực nghiệm
Khi nghiên cứu các quy luật của các hiện tượng tự nhiên và xã hội người
ta thường dùng suy diễn logic tìm ra mối liên hệ giữa các ñại lượng ñang xét
cùng với các ñạo hàm (vi phân) của chúng. Theo phương pháp ñó, xuất phát từ
các khái niệm nguyên thuỷ (tức là các ñối tượng nguyên thuỷ và quan hệ nguyên
thuỷ) và các tiên ñề rồi dùng quy tắc lôgíc ñể ñịnh nghĩa các khái niệm khác và
chứng minh các mệnh ñề khác.
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
12

Khi trình bày môn Toán nói chung và các bài toán liên quan ñến ñạo hàm
nói riêng trong các trường Đại học và Cao ñẳng, do ñặc thù và yêu cầu của cấp
học là tự học, tự nghiên cứu mà ñòi hỏi người học khi giải một bài toán hoặc áp
dụng một mệnh ñề cần phải ñược chứng minh và trình bày một cách chặt chẽ về
mặt logic.

Chúng ta cần chú ý rằng, nếu trình bày những kết quả ñã ñạt ñược khi tính
ñạo hàm thì ñó là sự suy diễn và tính logic nổi bật lên. Nhưng nếu nhìn ñạo hàm
trong quá trình hình thành và phát triển, trong quá trình tìm tòi phát minh, thì
trong phương pháp của nó vẫn có tìm tòi, dự ñoán, vẫn có “thực nghiệm” và quy
nạp. Như vậy sự thống nhất giữa suy ñoán và suy diễn ñược coi là một ñặc ñiểm
của tư duy toán học. Cần chú ý cả hai phương diện ñó mới có thể hướng dẫn học
sinh học tốt ñạo hàm cũng như học toán, mới khai thác ñầy ñủ tiềm năng môn
học ñể thực hiện mục ñích giáo dục toàn diện.
Ta xét một số bài toán dẫn ñến khái niệm ñạo hàm sau ñể thấy rõ hơn
những ñặc ñiểm trên của ñạo hàm:
Bài toán 1. Bài toán tính vận tốc tức thời của một chuyển ñộng thẳng
không ñều
Giả sử ta có một chất ñiểm chuyển ñộng thẳng theo một quy luật ñược
biểu thị bởi biểu thức:
(
)
s f t
=

(1)
; trong ñó s là quãng ñường ñi ñược của chất
ñiểm (kể từ ñiểm gốc chọn cho trước) và t là thời gian ñể ñi ñược ñoạn s.
Trong trường hợp chuyển ñộng của chất ñiểm là ñều thì vận tốc của
chuyển ñộng ñược tính rất dễ dàng:
(
)
(
)
2 1
2 1

f t f t
v
t t
−
=
−

(2)

Tuy nhiên, trong trường hợp chuyển ñộng không ñều, công thức (2)
không cho ta biết gì về sự nhanh chậm của chuyển ñộng tại mỗi thời ñiểm. Khi
ñó công thức (2) chỉ cho ta biết vận tốc trung bình của chuyển ñộng trong ñoạn
ñường từ
(
)
1
f t
ñến
(
)
2
f t
thôi. Vì vậy ñể giải quyết bài toán xác ñịnh sự nhanh
chậm của chuyển ñộng tại một thời ñiểm t nào ñó ta phải:
1. Định nghĩa vận tốc tức thời (biểu thị ñộ nhanh, chậm) của chuyển ñộng
thẳng không ñều.
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
13

2. Ta nhận thấy rằng nếu khoảng thời gian
0
t t
−
càng bé thì vận tốc trung
bình:
(
)
(
)
0
0
tb
f t f t
v
t t
−
=
−
cho ta hiểu biết càng chính xác về sự nhanh chậm của
chuyển ñộng tại thời ñiểm ñiểm ñó. Do nhận xét ñó tự nhiên ta ñi ñến ñịnh nghĩa
sau ñây về vận tốc tức thời của một chuyển ñộng thẳng (không ñều).
Ta coi giới hạn:
(
)
(
)
0
0
0

lim
t t
f t f t
t t
→
−
−

(3)
là vận tốc tức thời của chuyển ñộng
thẳng
(
)
s f t
=
tại thời ñiểm
0
t
. Nếu kí hiệu:
0
t t t
− = ∆
,
(
)
(
)
0
f t f t f s
− = ∆ = ∆

thì giới hạn (3) sẽ ñược viết là:
0
lim
t
s
t
∆ →
∆
∆
.
(4)

Bµi to¸n 2. Bµi to¸n tính tỉ khèi ñịa phương của một thanh không
ñång chất
Giả sử ta có một thanh thẳng AB, tiết diện ngang nhỏ và ñồng nhất trên cả
chiều dài của thanh. Ta biết rằng một thanh ñược gọi là ñồng nhất nếu hai phần
bất kì của thanh có cùng một chiều dài thì có khối lượng bằng nhau. Trong
trường hợp này tỉ số d giữa khối lượng của thanh và chiều dài của nó (tức là
khối lượng của một ñơn vị dài của thanh) là một số không ñổi. Tỉ số d ñược gọi
là tỉ khối của thanh ñồng chất.
Trong trường hợp thanh không ñồng chất thì hai phần cùng ñộ dài nói
chung có khối lượng khác nhau. Ở ñây tỉ khối tính theo cách trên ñây (mà ta sẽ
gọi là tỉ khối trung bình của thanh) không cho ta biết gì về sự phân bố vật chất
trên thanh. Để giải quyết vấn ñề này, ta phải ñưa ra một khái niệm tương tự tỉ
khối ñối với một thanh ñồng chất và sẽ gọi là tỉ khối ñịa phương. Cụ thể là:
1. Định nghĩa tỉ khối ñịa phương của một thanh không ñồng chất tại mỗi
ñiểm của nó.
2. Tìm cách tính tỉ khối ñịa phương ñó.
Ta sẽ chọn một trong các ñầu mút của thanh (chẳng hạn A) làm gốc quy

chiếu O và lấy chiều từ ñầu mút này ñến ñầu mút kia (từ A ñến B) làm chiều
d
ương thì mỗi ñiểm trên thanh sẽ hoàn toàn xác ñịnh bởi hoành ñộ của ñiểm ñó;
lúc ñó khối lượng của m của ñoạn OM của thanh là một hàm của x:
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
14

(
)
m f x
=
,
(
)
OM x
=
.
Giả sử muốn xét sự phân bố vật chất tại ñiểm
0
x
. Ta nhận thấy rằng nếu
chiều dài
0
x x
−
càng bé thì tỉ khối trung bình
(
)
(

)
0
0
f x f x
x x
−
−

(5)
cho ta hiểu
biết càng chính xác về sự phân bố vật chất của thanh ở lân cận ñiểm
0
x
. Vì vậy
tự nhiên ta ñưa ra ñịnh nghĩa:
Ta sẽ coi giới hạn:
(
)
(
)
0
0
0
0
lim
x x
f x f x
x x
− →
−

−

(6)
là tỉ khối ñịa phương của thanh
thẳng AB tại ñiểm
0
x
. Tỉ số (6) có thể viết:
0
lim
x
f
x
∆ →
∆
∆

(7)
nếu kí hiệu
(
)
(
)
0 0
;
f f x f x x x x
∆ = − ∆ = −
.
Từ (4) và (7) ta thấy việc tính vận tốc tức thời của một chuyển ñộng thẳng
không ñều, tính tỉ khối ñịa phương của một thanh thẳng không ñồng chất ñưa

ñến cùng một bài toán là tính giới hạn của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia
của ñối số.
Do vậy ñể giải quyết ñồng thời hai bài toán trên (và tất cả những bài toán
tương tự) người ta ñưa ra khái niệm ñạo hàm.
1.2. Các kiến thức cơ bản về ñạo hàm
1.2.1. Các khái niệm cơ bản
Đối với hàm số một biến:


) Định nghĩa ñạo hàm: Giả sử
(
)
y f x
=
là một hàm số xác ñịnh trong
khoảng (a;b) và
0
x
là một ñiểm tùy ý trong khoảng ñó. Ta thành lập tỉ số:
(
)
(
)
( )( )
baxx
x
xfxxf
;
0
00

∈∆+
∆
−
∆
+

(1)

Nếu tỉ số ñó có giới hạn (hữa hạn) khi
0
→
∆
x
thì ta nói rằng hàm số
(
)
f x
có
ñạo hàm tại
0
x x
−
và viết:
( )
(
)
(
)
0 0
0

0 0
' lim lim
x x
f x x f x
y
f x
x x
∆ → ∆ →
+ ∆ −
∆
= =
∆ ∆

(2)
;
trong
ñó:
(
)
(
)
0 0
y f x x f x
∆ = + ∆ −
.
Rõ ràng giá trị của giới hạn (2) phụ thuộc vào x
0
cho nên
'
f

là một hàm
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
15

số. Miền xác ñịnh của hàm số
'
f
là tập hợp mọi ñiểm x mà ở ñó tồn tại giới hạn
(2). Hàm số
'
f
ñược gọi là ñạo hàm của hàm số
f
tại ñiểm
0
x x
=
, nó còn ñược
kí hiệu như sau:
(
)
(
)
0
0
' '
x x
f x f x
=

=
 
 

Đối với hàm số hai biến: Xét hàm số
(
)
,
u f x y
=
xác ñịnh trong miền mở D và
ñiểm
(
)
,
P x y D
∈
. Khi cho x số gia
x
∆
(
x
∆
ñủ nhỏ sao cho:
(
)
' ,
P x x y D
+ ∆ ∈
)

hàm số u nhận số gia:
(
)
(
)
, ,
x
u f x x y f x y
∆ = + ∆ −
.
Tương tự, khi cho số gia
y
∆
(
y
∆
ñủ nhỏ sao cho
(
)
' ,
P x y y D
+ ∆ ∈
), hàm
số u nhận số gia:
(
)
(
)
, ,
y

u f x y y f x y
∆ = + ∆ − .


) Định nghĩa ñạo hàm riêng:
Nếu tồn tại giới hạn
(
)
(
)
0 0
, ,
lim lim
x
x x
f x x y f x y
u
x x
∆ → ∆ →
+ ∆ −
∆
=
∆ ∆
thì giới hạn ñó
sẽ ñược gọi là ñạo hàm riêng của hàm số u ñối với biến số x tại ñiểm
(
)
,
x y
và

kí hiệu là:
(
)
( )
0
,
' , lim
x
x
x
f x y
u u
f x y
x x x
∆ →
∂
∂ ∆
= = =
∂ ∂ ∆
.
Tương tự, nếu tồn tại giới hạn
(
)
(
)
0 0
, ,
lim lim
y
y y

u
f x y y f x y
y y
∆ → ∆ →
∆
+ ∆ −
=
∆ ∆
thì
gi
ớ
i h
ạ
n
ñ
ó s
ẽ

ñượ
c g
ọ
i là
ñạ
o hàm riêng c
ủ
a hàm s
ố
u
ñố
i v

ớ
i bi
ế
n s
ố
y t
ạ
i
ñ
i
ể
m
(
)
,
x y
và kí hi
ệ
u là:
(
)
( )
0
,
' , lim
y
y
y
u
f x y

u
f x y
y y y
∆ →
∆
∂
∂
= = =
∂ ∂ ∆
.

Chú ý: +) Qua ñịnh nghĩa trên, ta thấy rằng việc tính ñạo hàm riêng thực
chất là tính ñạo hàm của hàm số một biến số (khi ta coi biến số kia là không
ñổi). Do ñó, việc tính ñạo hàm riêng không ñòi hỏi những quy tắc mới.
+) Hoàn toàn tương tự ta cũng có ñịnh nghĩa của ñạo hàm riêng
của hàm ba (hoặc nhiều hơn ba biến số): u = f (x,y,z).
Chẳng hạn:
(
)
(
)
0
, , , ,
lim
x
f x x y z f x y z
u
x x
∆ →
+ ∆ −

∂
=
∂ ∆
.
1.2.2. Các quy tắc cơ bản ñể tính ñạo hàm


) Định lý:
Cho các hàm s
ố
f và g xác
ñị
nh trong kho
ả
ng (a;b) và có
ñạ
o
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
16

hàm tại ñiểm
(
)
bax ;
0
∈
. Khi ñó f ± g, kf (k là số thực bất kì), f, g và fg cũng có
ñạo hàm tại ñiểm
0

x
và ta có:
a)
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0 0
' ' ' .
f g x f x g x
± = ±

b)
(
)
(
)
(
)
0 0
' ' .
kf x kf x
=

c)
(

)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0 0 0 0
' ' . . ' .
fg x f x g x f x g x
= +

d)
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
0 0 0
0
2

0
' . . '
'
o
f x g x f x g x
f
x
g g x
−
 
=
 
 
.


) Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu hàm
(
)
y f x
=
có ñạo hàm tại
0
x x
=

còn
(
)
z g y

=
xác ñịnh trong khoảng chứa ñiểm
(
)
0 0
y f x
=
có ñạo hàm tại
0
y y
=
thì hàm hợp
(
)
z g f x
=
 
 
có ñạo hàm tại
0
x x
=
và ta có:
(
)
(
)
(
)
0

' ' . '
o o
z x g y f x
=
.


) Đạo hàm của hàm số ngược: Giả sử cho hàm số
(
)
y f x
=
liên tục và
tăng nghiêm ngặt trong khoảng
(
)
,
a b
và giả thiết rằng
(
)
x y
ϕ
=
là hàm ngược
xác ñịnh trong lân cận của ñiểm
(
)
0 0
y y f x

= =
,
(
)
0
( , )
x a b
∈
. Khi ñó nếu hàm số
(
)
y f x
=
có ñạo hàm tại
0
x x
=
và
(
)
0
' 0
f x
≠
thì hàm số
(
)
x y
ϕ
=

có ñạo hàm
tại
0
y y
=
và ta có:
( )
( )
0
'
0
1
' y
f x
ϕ
= .
1.2.3. Các ñịnh lý cơ bản về hàm khả vi:



)
Mối quan hệ giữa ñạo hàm (tính khả vi) và tính liên tục:
N
ế
u hàm
s
ố

(
)

y f x
=
có
ñạ
o hàm t
ạ
i
0
x
thì nó liên t
ụ
c t
ạ
i
ñ
i
ể
m
ñ
ó.
Đ
i
ề
u ng
ượ
c l
ạ
i không
ñ
úng.




)
Định lý Fermat:
Cho hàm s
ố
(
)
f x
xác
ñị
nh liên t
ụ
c trong kho
ả
ng
ñ
óng
[
]
,
a b
, khi
ñ
ó n
ế
u
(

)
f x
ñạ
t c
ự
c tr
ị
t
ạ
i
(
)
,
c a b
∈
và n
ế
u
(
)
f x
kh
ả
vi t
ạ
i c thì
(
)
' 0
f c

=
.



)
Định lý Rolle:
Cho hàm s
ố
(
)
f x
xác
ñị
nh liên t
ụ
c trong kho
ả
ng
ñ
óng
[
]
,
a b
và kh
ả
vi trong kho
ả
ng m

ở

(
)
,
a b
; khi
ñ
ó, n
ế
u
(
)
(
)
f a f b
=
thì t
ồ
n t
ạ
i
(
)
,
c a b
∈
sao cho
(
)

' 0
f c
=
.
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
17



) Định lý Lagrange: Cho hàm số
(
)
f x
xác ñịnh liên tục trong khoảng
ñóng
[
]
,
a b
, khả vi trong khoảng mở
(
)
,
a b
; khi ñó, tồn tại
(
)
,
c a b

∈
sao cho
(
)
(
)
( )
'
f b f a
f c
b a
−
=
−
hay là
(
)
(
)
(
)
(
)
'
f b f a f c b a
− = −
.


) Định lý Cauchy: Cho

(
)
f x
và
(
)
g x
là hai hàm số thỏa mãn giả thiết
của ñịnh lý Lagrange, ngoài ra, giả sử
(
)
(
)
' 0, , ,
g x x a b
≠ ∀ ∈
khi ñó tồn tại c
giữa a và b sao cho
(
)
(
)
( ) ( )
(
)
( )
'
'
f b f a f c
g b g a g c

−
=
−
.


) Công thức Taylor (mở rộng ñịnh lý Lagrange): Nếu hàm số
(
)
f x
xác
ñịnh liên tục trong khoảng ñóng
[
]
,
a b
, khả vi ñến
(
)
1
n
+
lần trong khoảng mở
(
)
,
a b
thì với bất kỳ
(
)

,
c a b
∈
, có:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
1
2 1
' ''

1! 2! ! 1 !
n
n
n n
f c
f c f c f c
f x f c x c x c x c x c
n n
+
+

= + − + − + + − + + −
+
với
c
ở giữa x và c.
Từ những kiến thức ñạo hàm nêu trên không những ñã giúp cho việc giải
các bài toán về tìm vận tốc tức thời, gia tốc của một chuyển ñộng thẳng không
ñều trong vật lí ñược giải quyết một cách ñơn giản mà nó còn ñược ứng dụng
một cách có hiệu quả vào việc khảo sát các hàm số, ñặc biệt là việc tìm các ñiểm
cực trị của hàm số trên một miền xác ñịnh. Từ ñó có thể tìm ñược các giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền xác ñịnh ñó.
Việc tìm cực trị hàm số nhờ ứng dụng của ñạo hàm không chỉ ñơn thuần
về mặt giải các bài toán có liên quan tới Toán học mà nó còn làm tăng thêm tính
ứng dụng của Toán học vào thực tiễn và giúp cho ứng dụng của Toán học vào
thực tiễn ña dạng hơn và rộng lớn hơn.
1.3. Ý nghĩa của ñạo hàm ñể tìm cực trị hàm số
øng dụng của ñạo hàm trong Toán học cũng như trong thực tiễn là vô
cùng rộng lớn, ñạo hàm ñược ứng dụng vào giải các bài toán về phương trình vi
phân, các bài toán tìm ph
ương án tối ưu trong các bài toán kinh tế, các bài toán
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
18

về tìm gia tốc, vận tốc tại các thời ñiểm tức thời trong vật lý vv. Tuy nhiên ở
ñây chúng ta chỉ ñề cập tới phạm vi ứng dụng của ñạo hàm ở một góc ñộ hẹp
hơn nữa là ứng dụng của ñạo hàm ñể tìm cực trị hàm số.
Việc tìm các ñiểm cực trị của hàm số là một khâu không thể thiếu ñược
trong quá trình khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số, nó giúp cho việc dựng ñồ thị hàm
số ñược dễ ràng và chính xác.

Ta có thể tìm cực trị hàm số dựa vào ñịnh nghĩa. (Chẳng hạn: Với hàm số
một biến, ta có ñịnh nghĩa cực trị hàm số một biến như sau: Cho hàm số
(
)
y f x
=
xác ñịnh trên tập X có miền giá trị là tập Y. Nếu tập Y có số lớn nhất
(max Y) thì ta sẽ gọi số lớn nhất ñó là cực ñại tuyệt ñối hay giá trị lớn nhất của
hàm số
(
)
y f x
=
trên tập X (hay ta cũng bảo hàm số này ñạt cực ñại tuyệt ñối
trên tập X)).
Tương tự, nếu tập Y có số bé nhất (min Y) thì ta sẽ gọi số bé nhất ñó là
cực tiểu tuyệt ñối hay giá trị bé nhất của hàm số
(
)
y f x
=
trên tập X (và ta cũng
nói rằng hàm số này ñạt cực tiểu tuyệt ñối trên tập X).
Cực ñại tuyệt ñối và cực tiểu tuyệt ñối có tên chung là cực trị tuyệt ñối.
Ví dụ: Xét hàm số :
(
)
2
2 5
y f x x x

= = − +
.
Ta có: TXĐ của hàm số là D = R. Mặt khác ta lại có:
(
)
(
)
(
)
2
2
2 5 1 4 1
y f x x x x f
= = − + = − + = . Vậy theo ñịnh nghĩa về cực trị hàm
số ta suy ra ñiểm
1
x
=
là một ñiểm cực tiểu của hàm số và hàm số không có
ñiểm cực ñại.
Tuy rằng ta có thể tìm ñược các ñiểm cực trị hàm số nhờ ñịnh nghĩa cực
trị
hàm số ñối với các hàm

số tương ñối ñơn giản, nhưng với các hàm số mà tại
các ñiểm trên tập xác ñịnh

của nó không tồn tại các giá trị lớn nhất, cũng như
giá trị nhỏ nhất mà các giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất chỉ tồn tại trong một lân cận
nào ñó của tập xác ñịnh thì việc chỉ ra các ñiểm cực trị là tương ñối phức tạp

hoặc có thể dẫn tới bế tắc. Ví dụ: Xét hàm số cũng tương ñối ñơn giản:
( )
3 2
3 4
3
3 3
y f x x x x
= = − − +
.
Dễ thấy hàm số cũng có TXĐ: D = R, nhưng trên
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
19

tập xác ñịnh của nó hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất mà
giá trị ñó chỉ tồn tại trong một lân cận nào ñó của TXĐ. Vì vậy mà không thể
dựa vào ñịnh nghĩa cực trị ñể tìm các ñiểm cực trị của hàm số trên. Nhưng nếu
ứng dụng ñạo hàm vào tìm cực trị thì với bài toán trên việc tìm các ñiểm cực trị
lại ñược giải quyết một cách ngắn gọn và ñơn giản.
Thật vậy ta có :
(
)
2
' 2 3
f x x x
= − −
. Cho
(
)
' 0

f x
=
ta ñược
1
1
x
= −
và
2
3
x
=
, ñồng thời
(
)
'
f x
ñổi dấu khi
x
dần qua
1
x
và
2
x
nên
1
x
và
2

x
chính là
hai ñiểm cực trị cần tìm.
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số có mối liên hệ mật thiết với cực
trị hàm số, trên một miền xác ñịnh D nào ñó nếu hàm số có giá trị lớn nhất hoặc
nhỏ nhất thì chưa chắc hàm số ñã có ñiểm cực trị trên D. Ngược lại nếu hàm số
tồn tại các ñiểm cực trị trên D thì chắc chắn trên một lân cận nào ñó của D hàm
số sẽ ñạt ñược giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên lân cận ñó.
Với vai trò ứng dụng rộng rãi của ñạo hàm, và ñặc biệt là ứng dụng của
nó trong việc khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số là một khâu quan trọng và không thể
thiếu, vấn ñề này sẽ ñược trình bày thông qua nội dung của các bài toán trong
chương 2 và chương 3.


*******************************
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Trong chương 1 trình bày cơ sở lý thuyết về ñặc ñiểm của ñạo hàm thông
qua những ñặc ñiểm chung của môn Toán, làm rõ tính trừu tượng cao ñộ và tính
thực tiễn phổ dụng, tính lôgíc và tính thực nghiệm. Đồng thời, hệ thống hóa các
kiến thức cơ bản về ñạo hàm bao gồm:
- Định nghĩa ñạo hàm của hàm số một biến và ñạo hàm hàm số hai biến.
- Các quy tắc tính ñạo hàm.
- Các ñịnh lý cơ bản về hàm khả vi.
Ngoài ra, trong ch
ương này còn bổ sung thêm ý nghĩa của ñạo hàm ñể tìm
cực trị của hàm số nhằm ñưa ra cơ sở lý luận vững chắc cho khóa luận.
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
20

CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM
CỰC TRỊ HÀM SỐ MỘT BIẾN

2.1. Các kiến thức cơ bản
2.1.1. Định nghĩa


) Định nghĩa cực trị của hàm số một biến: Cho hàm số
(
)
y f x
=
xác
ñịnh trên tập X có miền giá trị là tập Y. Nếu tập Y có số lớn nhất (max Y) thì ta
sẽ gọi số lớn nhất ñó là cực ñại tuyệt ñối hay giá trị lớn nhất của hàm số
(
)
y f x
=
trên tập X (hay ta cũng bảo hàm số này ñạt cực ñại tuyệt ñối trên X).
Tương tự, nếu tập Y có số bé nhất (min Y) thì ta sẽ gọi số bé nhất ñó là
cực tiểu tuyệt ñối hay giá trị bé nhất của hàm số
(
)
y f x
=
trên tập X (và ta cũng
nói rằng hàm số này ñạt cực tiểu tuyệt ñối trên tập X).
Cực ñại tuyệt ñối và cực tiểu tuyệt ñối có tên chung là cực trị tuyệt ñối.
Chú ý: có nhiều hàm số (nhiều khi rất ñơn giản) không có cực trị. Chẳng

hạn hàm số: y = x không có cực tiểu và không có cực ñại trong khoảng (0;1).


) Nếu hàm
(
)
f x
khả vi tại ñiểm c và tại ñó có cực trị thì
(
)
' 0
f c
=
. Các
nghiệm của phương trình
(
)
' 0
f x
=
ñược gọi là các ñiểm dừng. Các ñiểm nghi
ngờ có cực trị phải kể cả các ñiểm mà tại ñó ñạo hàm không tồn tại. Cả hai loại
ñiểm trên ñược gọi là các ñiểm tới hạn.
2.1.2. Quy tắc tìm cực trị hàm số
+) Quy tắc dùng ñạo hàm ñể tìm cực trị hàm số một biến:


) Quy tắc 1: Giả sử hàm số
(
)

y f x
=
liên tục có ñạo hàm trên miền D
thì ñiểm
0
x
là ñiểm cực trị của hàm số nếu:
(
)
' 0
f x
=
và
(
)
'
f x
ñổi dấu khi x
dần qua
0
x
.
+ x
0
gọi là ñiểm cực ñại nếu x dần qua x
0
thì f’(x) ñổi dấu từ dương sang
âm (tức là f’(x) > 0 nếu x < x
0
và f

’
(x) < 0 nếu x > x
0
(với x ñủ gần x
0
)).
+ x
0
gọi là ñiểm cực tiểu nếu x dần qua x
0
thì f’(x) ñổi dấu từ âm sang
dương (tức là f
’
(x) < 0 nếu x < x
0
và f
’
(x) > 0 nếu x > x
0
(với x ñủ gần x
0
)).
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
21

Tóm tắt quy tắc 1 bằng bảng sau: (D = (a ; b))
x -
∞
a x

0
b +
∞

y
‘
- 0 +
y
CT

Trong trường hợp phương trình
' 0
y
=
có nghiệm nhưng không xét dấu
ñược
'
y
ta sử dụng quy tắc 2:


) Quy tắc 2: Giả sử hàm số
(
)
y f x
=
có ñạo hàm liên tục ñến cấp hai tại
x
0
, f’(x

0
) = 0 và f’’(x
0
)
≠
0 thì x
0
là ñiểm cực trị của hàm số và:
+ Nếu f’’(x
0
) > 0 thì x
0
là ñiểm cực tiểu.
+ Nếu f’’(x
0
) < 0 th× x
0
là ñiểm cực ñại.


) Quy tắc 3: Giả sử n là số tự nhiên nào ñó và giả sử hàm
(
)
y f x
=
,
trong lân cận nào ñó của ñiểm x
0
có ñạo hàm cấp (n - 1), còn chính tại ñiểm có
ñạo hàm bậc n. Giả sử tại ñiểm

x c
=
thoả mãn hệ thức sau ñây:
f’(c) = f’’(c) = …= f
(n-1)
(c) = 0; f
(n)
(x) ≠ 0.
Khi ñó: Nếu n chẵn thì hàm số
(
)
y f x
=
có cực ñại ñịa phương tại ñiểm
c, cụ thể là: cực ñại nếu f
(n)
(c) < 0 và cực tiểu nếu f
(n)
(x) > 0.
Nếu n lẻ thì
(
)
f x
không ñạt cực trị tại
.
x c
=

+) Các bước khảo sát hàm số:
Để tiến hành khảo sát hàm số, người ta thường theo các bước sau:

) Bước 1: Tìm miền xác ñịnh của hàm số.
) Bước 2: Xét chiều biến thiên của hàm số:
+) Tính, xét dấu của ñạo hàm cấp 1, từ ñó suy ra sự tăng, giảm của hàm số.
+) Tìm cực trị.
+) Xét tính lồi lõm và tìm ñiểm uốn của ñường cong.
) Bước 3: Tìm các ñường tiệm cận.
) Bước 4: Lập bảng biến thiên ( ghi các kết quả khảo sát ở trên).
) Bước 5: Dựng ñồ thị.
x -
∞
a x
0
b +
∞

y
‘
+ 0 -
y CĐ

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
22

2.1.3. Các dạng toán thường gặp trong các bài toán ứng dụng của ñạo hàm
tìm cực trị hàm số một biến bao gồm
Dạng 1: Sự tồn tại cực trị, tính chất ñiểm cực trị .
Dạng 2: Tính các giá trị cực trị.
Dạng 3: Tìm ñường thẳng ñi qua các ñiểm cực trị.
2.2. Cực trị của hàm số ña thức và hữu tỉ

2.2.1. Cực trị của hàm số ña thức:
(
)
y f x
=

Để biết tính chất của ñiểm cực trị và sự tồn tại cực trị của hàm ña thức ta
chú ý các ñặc ñiểm sau:
+ Hàm ña thức
(
)
y f x
=
tại x
0
là nghiệm ñơn của phương trình f’(x) =0,
hàm số ñạt cực trị.
+ Giả sử hàm
(
)
y f x
=
ñạt cực trị tại x
0
và :
P(x) = P’(x).Q(x) + R(x) thì y
0
= P(x
0
) = R(x

0
).
Bài toán 1. Tìm m ñể hàm số:
(
)
(
)
3 2 2 2
3 1 3 7 1 1
y x m x m m x m
= − + + − + − + −

ñạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
ñ
i
ể
m có hoành
ñộ
nh
ỏ
h
ơ
n -1.

Giải:
Ta có:
(
)
(
)
2 2
' 3 6 1 3 7 1
y x m x m m
= − + + − + −
.
Để
hàm s
ố
có c
ự
c ti
ể
u
thì ph
ươ
ng trình:
' 0
y
=
ph
ải có hai nghiệm phân biệt
1 2
x x

<
.
Xét dấu
'
y
:


Từ ñó suy ra x
1
là hoành ñộ ñiểm cực tiểu. Suy ra xảy ra hai khả năng:

1 2
1
x x
< <


1 2
1
x x
< ≤


+ Với
1 2
1
x x
< <

⇔

4
3
−
< m < 1.
+ Với
1 2
1
x x
< ≤
⇔
m
≤

4
3
−
.
K
ế
t h
ợ
p hai kh
ả
n
ă
ng trên, ta có :
1
m

<
là giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
Bài toán 2.
Tìm c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
:
(
)
1
n
m
y x x
= − .
x

1
x

2
x

'
y

- 0 + 0 -

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
23

Giải: Ta tìm ñạo hàm và so sánh nó với không:
( ) ( ) ( )
1
1
'
1 0
n
m
m
y x m n x x x
m n
−
−
 
= + − − =
 
+
 
.
Các nghiệm của phương trình ñó:

( ) ( )
1 2
3
0 1 , 1 1 ,m x n
m
x x
m n
= > = >
=
+
sẽ là các
ñiểm dừng. Giả sử 0
m
m n
ε
< <
+
. Khi m chẵn
( )
'
'( ) 0, 0,
y y
ε ε
− < >
do ñó tại
ñiểm
1
0
x
=

hàm số có cực tiểu bằng 0. Nếu m lẻ thì
( )
'
'( ) 0, 0,
y y
ε ε
− > <
và hàm
số không có cực trị.
Tương tự ñối với ñiểm
2
1
x
=
: Khi n chẵn
( )
'
'(1 ) 0, 1 0,
y y
ε ε
− > + <
bởi vậy hàm
y tại ñiểm ñó có cực tiểu bằng 0. khi n lẻ:
( )
'
'(1 ) 0, 1 0,
y y
ε ε
− > + >
tức là không

có cực trị .
Cuối cùng ñối với
3
m
x
m n
=
+
ta có:
' 0, ' 0
m m
y y
m n m n
ε
   
   
   
− > <
+ +
.

Như vậy tại ñiểm ñó hàm số có cực ñại bằng:
( )
m n
m n
m m n
y
m n
m n
+

 
 
 
=
+
+
.

Trường hợp
(
)
1 1
m n
= =
ta cũng nhận ñược kết quả như thế.
Bài toán 3. Tìm cực trị của hàm số:
3 4
4
5
x x
y
−
= .
Giải: TXĐ:
x
∈
ℝ
. Hàm số không chẵn, không lẻ, không tuần hoàn.
Đạo hàm của hàm số này là:
( )

2
4
' 3 ; ' 0 0; 3.
5
y x x y x x
= − = ⇔ = =


( )
12
'' 2 ; '' 0 0; 2
5
y x x y x x
= − − = ⇔ = =
.
Từ ñó ta thấy hàm số
(
)
y f x
=
có hai ñiểm dừng: x = 0 và x = 3 (tại các ñiểm
ñó ñạo hàm bị triệt tiêu). Đồ thị hàm số giao với 0x tại x = 0 và x = 4.
Ta có bảng biến thiên: (Dấu của ñạo hàm f’(x) và f’’(x) ở lân cận các ñiểm
x = 0; x = 3 và x = 2
ñược xác ñịnh trong bảng)

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
24

x - ∞ 0 2 3 4 + ∞
y
’
+ 0 + + 0 - -
y
’’
- 0 + 0 - - -
y
0
16
5

27
5
0
-∞ -∞

Đồ thị hàm số: (hình 1):
(H.1)

Vậy hàm số có cực ñại tại x = 3. Giá trị cực tiểu là:
27
5
y = .
2.2.2. Cực trị của hàm số hữu tỉ
Khi giải các bài toán cực trị ñối với hàm số hữu tỉ ta cần chú ý các ñặc ñiểm
sau: - Hàm số:
2
'
'

( 0)
ax bx c
y aa
a x b
+ +
= ≠
+
có cực ñại, cực tiểu
⇔
phương trình:
y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt.
- Nếu hàm hữu tỉ:
( )
( )
P x
y
Q x
= ñạt cực trị tại x
0
thì giá trị cực trị:
'
'
0
0 0
'
0
( )
( ( ) 0)
( )
P x

y Q x
Q x
= ≠

Bài toán 1. Cho hàm số:
2
( 2)
( )
1
m
x m x m
y C
x
+ + −
=
+

a) Tìm m ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu.
b) Tìm m ñể cực ñại và cực tiểu của (C
m
) ñối xứng với nhau qua d:
2 3 0
x y
+ + =

Giải: TXĐ:
{
}
\ 1
D

=
ℝ
.
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
25

a) Ta có:
2
'
2
2 2 2
( 1)
x x m
y
x
+ + +
=
+
.

Hàm s
ố
có c
ự
c
ñạ
i, c
ự
c ti

ể
u
⇔
Ph
ươ
ng trình y
’
= 0 có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
⇔
2
1
2 2 2 0
x
x x m
≠ −


+ + + =


(*)
có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t

⇔

1
2
m
< −
.

b) V
ớ
i
1
2
m
< −
Gi
ả
s
ử
ph
ươ
ng trình (*) có hai nghi
ệ
m
1 2
,
x x
. Khi
ñó:

( )
1 2
2 2
2
. 2 1
x x
x x m
+ = −



= − +


. Và A(x
1
, y
1
); B(x
2
; y
2
) là các ñiểm cực trị của (C
m
).
Khi ñó giá trị cực trị là:
(
)
( )
2

2 '
2 2
1 '
x m x m
y x m
x
 
+ + −
 
= = + +
+
.
Nên:
1 1
2 2
y x m
= + +
và
2 2
2 2
y x m
= + +
.
Do
ñ
ó:
(
)
(
)

1 1 2 2
, : 2 2; , : 2 2
A x y y x m B x y y x m
∈∆ = + + ∈∆ = + +
.

⇒
(
∆
)
ñ
i qua 2
ñ
i
ể
m c
ự
c
ñạ
i và c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a (C
m
).
M
ặ

t khác: D
ễ
th
ấ
y
∆

⊥
d và I(-1; m) là trung
ñ
i
ể
m c
ủ
a AB.
Do
ñ
ó A và B
ñố
i x
ứ
ng v
ớ
i nhau qua d
⇔
I
∈
d
⇔
m = -1.

V
ậ
y m = -1 tho
ả
mãn yêu c
ầ
u bài toán.
Bài toán 2
. Cho hàm s
ố
:
2
2
2
2 2
x x a
y
x x
+ +
=
− +
với a là tham số.Chứng minh rằng hàm
số luôn có cực ñại, cực tiểu khi a thay ñổi. Tìm quỹ tích các ñiểm cực trị ñó.
Giải: Ta có:
2
'
2 2
4 2(2 ) 2(2 )
( 2 2)
x a x a

y
x x
− + − + +
=
− +

Xét phương trình: y’ = 0
⇔
2
4 2(2 ) 2(2 ) 0
x a x a
− + − + + =

(*)

Ta có:
' 2
4 20 0,
a a a
∆ = + + > ∀ ⇒
Phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy hàm số luôn có cực ñại và cực tiểu.Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của (*).
Ta lại có:
'
1
1

x
y
x
+
=
−
;
'
1
1
1
1
( )
1
x
y x
x
+
=
−
;
'
2
2
2
1
( )
1
x
y x

x
+
=
−
.
⇒
Toạ ñộ các ñiểm cực trị thoả mãn phương trình:
1
( )
1
x
y x
x
+
=
−
(Hypebol (H))

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
26

Vậy quỹ tích các ñiểm cực trị là Hypebol (H) và (H) có ñồ thị: (hình 2)

(H.2)
Bài toán 3. Tìm cực trị của hàm số:
3
2
1
x

y
x
=
−
.

Giải : Ta có:
3
2
1
x
y
x
=
−
. TXĐ:
{
}
\ 1
D
= ±
ℝ
. Đạo hàm của hàm số:
(
)
( )
(
)
( )
2 2 4 2 2

2 2
2 2
3 1 2 3
' ;
1 1
x x x x x
y
x x
− − −
= =
− −
0
' 0 ;
3
x
y
x
=

= ⇔

= ±


y’ không xác ñịnh tại x =
±
1.
Từ ñó ta thấy hàm số
(
)

y f x
=
có 5 ñiểm tới hạn là: x = 0;
3
x
= ±
(tại ñó ñạo
hàm bị triệt tiêu), và x =
±
1 (tại ñó không tồn tại ñạo hàm).

(
)
(
)
(
)
( )
(
)
( )
3 2 4 2 2
3 3
2 2
4 6 1 4 3 2 3
'' ; '' 0 0.
1 1
x x x x x x x x
y y x
x x

− − − − +
= = = ⇔ =
− −

Ta có bảng biến thiên: (dấu của ñạo hàm f’(x) và f’’(x) ở lân cận các ñiểm x = 0;
3
x
= ±
và x =
±
1 ñược xác ñịnh trong bảng).
x
- ∞
3
−
-1 0 1
3
+ ∞
y
’
+ 0 - - 0 - - 0 +
y
’’
- - + 0 - + +
y

3 3
2
−

+ ∞ + ∞
(CT)
+∞
-
∞
(C
Đ
)
-∞ -∞
3 3
2