D04 các bài toán khác(góc, khoảng cách, ) liên quan đến thể tích khối đa diện muc do 4
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.59 MB, 19 trang )
Câu 45: [2H1-3.4-4] [1H3-4] (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - Lần 1) Cho hình hộp chữ nhật
,
,
. Điểm
là trung điểm cạnh
. Một tứ diện
đều
có hai đỉnh
và
nằm trên đường thẳng
, hai đỉnh ,
nằm trên đường
thẳng đi qua điểm
và cắt đường thẳng
tại điểm . Khoảng cách
bằng
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn B.
Do tứ diện
Ta có:
đều nên ta có
hay
.
Và
Khi đó,
. Vậy
Vậy
là điểm trên
Do đó
sao
là trung điểm của
.
.
Câu 48: [2H1-3.4-4] (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 1-2018) Cho hình chóp
tam giác
phẳng
A.
vuông tại
góc
vuông góc mặt phẳng
.
B.
; tam giác
là tam giác đều cạnh
. Khoảng cách từ
.
C.
có đáy là
đến mặt phẳng
.
D.
và mặt
là:
.
Lời giải.
Chọn D.
Ta có tam giác
vuông tại
góc
và
, suy ra
.
Lại có
, suy ra tam giác
Suy ra
vuông tại
.
.
Tam giác
có
. Từ đó sử dụng công thức Hê-rông ta tính
được
.
Suy ra
Từ
Kẻ
kẻ
.
. Ta dễ tính được
Vậy
.
Câu 49: [2H1-3.4-4] (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 1-2018) Cho hình chóp tứ giác đều
có cạnh đáy bằng . Gọi
,
lần lượt là trung điểm của
và
. Biết góc
giữa
và mặt phẳng
A.
bằng
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
B.
C.
và
là
D.
Lời giải.
Chọn B.
Gọi
là trung điểm
. Vì
nên hình chiếu của
là
. Suy ra
Áp dụng định lí cô sin trong
lên
, ta có
.
Trong tam giác vuông
ta có.
.
Ta có
Kẻ
.
.
Ta có
mà
.
Vậy
.
Câu 42. [2H1-3.4-4] (Chuyên Bắc Ninh - Lần 1 - 2018) Cho hình chóp
hình thang cân,
. Hai mặt phẳng
góc với mặt phẳng
giữa
A.
có đáy
và
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
, biết thể tích khối chóp
.
B.
bằng
.
C.
là
và
cùng vuông
và
. Tính cosin góc
.
.
D.
.
Lời giải
Chọn C.
Cách 1: Gọi
cắt
tại
Suy ra: ,
Lại có:
là mp đi qua
, cắt
,
tại
. Gọi
và song song với mp
là giao điểm của
lần lượt là trung điểm của
là hình thang cân có
;
,
và
. Khi đó
và
tại
.
.
.
Nên
và
Xét tam giác
cắt
.
vuông tại P:
lần lượt là đường trung bình của tam giác
là đường trung bình của tam giác
Xét tam giác
vuông tại H:
Suy ra: tam giác
góc giữa
.
vuông tại
và
là hình chiếu vuông góc của
là góc
Khi đó:
Xét tam giác
vuông tại
:
.
lên
.
,
Cách 2. Vì
là hình thang cân có
;
.
nên
Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ như hình vẽ
Ta có:
. Chọn
cùng phương với
Nhận xét:
là vtpt của
Gọi
là góc góc giữa
.Chọn
và
cùng phương với
. Ta có
Câu 47:
diện
[2H1-3.4-4] (THPT Nguyễn Khuyến-TPHCM-năm 2017-2018) Cho tứ
có
.
,
lần lượt là trung điểm các cạnh
và
. Biết thể tích của
khối
là
A.
và
.
B.
(giả sử
.
Lời giải:
Chọn C.
.
C.
). Khi đó độ dài đoạn
.
D.
là:
.
Dựng hình bình hành
Đặt
Gọi
. Khi đó ta có
, suy ra
là trung điểm
.
.
, ta có:
. Nên kí hiệu diện tích
tam giác.
. Kết hợp điều kiện, được
Câu 20.
.
[2H1-3.4-4] (THPT Tam Phước-Đồng Nai-lần 1-năm 2017-2018) Cho hinh lâp
phương
có bằng . Điểm
thuôc đoạn thăng
, điểm
thuôc đoạn
thăng
,
tao
̣ vơi đáy môt góc bằng
. Tinh đô dài nho nhât của đoạn thăng
.
A.
.
B.
.
C.
Lời giải
Chọn D.
.
D.
.
Đặt
,
Ta có:
Từ
suy ra
Từ
suy ra
.
Câu 48: [2H1-3.4-4] (THPT Kim Liên-Hà Nội năm 2017-2018) Cho hình chóp
đáy là hình thang vuông tại
đáy,
A.
. Tính theo
.
và
;
. Biết
khoảng cách
B.
từ
.
đến mặt phẳng
C.
.
vuông góc với mặt phẳng
.
D.
.
Lời giải
Chọn A.
Gọi là trung điểm của đoạn
.
Ta có
và
nên tứ giác
là hình vuông hay
là tam giác vuông tại
.
Kẻ
Ta có
hay
nên
;
.
.
Gọi
, mặt khác
nên
có
là trung điểm của đoạn
.
. Vậy
.
Câu 34: [2H1-3.4-4] (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-lần 2 năm 2017-2018) Cho khối
chóp
có đáy là hình vuông, tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với
đáy. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
đường thẳng
A.
và
có diện tích
. Khoảng cách giữa hai
.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn D.
Gọi
là trung điểm
hình vuông
và
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều
. Ta có
. Dựng trục của hình vuông
, khi đó chúng đồng phẳng và cắt nhau tại
và trục tam giác
.
Bán kính mặt cầu là
. Ta có
Trong tam giác vuông
ta có
tính được
,
tức là
,
và trục tam giác
là các trục hình vuông
. Đặt
, ta có
,
thay vào
.
Dựng hình bình hành
. Khoảng cách
giữa
. Kẻ
và
ta có
Vậy khoảng cách giữa
tính được
và
,
.
là
.
là
.
. Ta có
Thay các giá trị vào
là tâm của
Câu 47: [2H1-3.4-4] (THPT Thăng Long-Hà Nội-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp
có đáy là hình vuông cạnh , tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc
với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
và
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn A.
Do
và
trung điểm của
. Vì tam giác
thì
nên
Vậy
đều nên gọi
là đoạn vuông góc chung của
và
là
.
.
Câu 39: [2H1-3.4-4] (THPT Trần Quốc Tuấn năm 2017-2018) Cho hình chóp
có
đáy
là hình vuông cạnh . Cạnh bên
vuông góc với mặt phẳng đáy, khối chóp
có thể tích bằng
. Gọi
là góc giữa hai mặt phẳng
và
. Tính
.
A.
.
B.
.
C.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
.
D.
.
Gọi
là tâm hình vuông
. Kẻ
tại
.
Ta có:
. Vậy
Lại có:
, do đó góc
đường thẳng
và
Khối chóp
Tam giác
giữa hai mặt phẳng
. Vậy
Suy ra:
và
là góc giữa hai
.
có thể tích bằng
vuông tại
.
nên ta có:
, đường cao
.
nên:
. Từ đó:
.
Câu 42:
[2H1-3.4-4] (THPT Lương Văn Chánh Phú Yên năm 2017-2018)
Cho hình chóp
có các cạnh bên
,
,
tạo với đáy các góc bằng
nhau và đều bằng
Biết
,
,
tính khoảng cách
từ
đến mặt phẳng
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn C.
Gọi
là hình chiếu vuông góc của
Ta có
lên mặt phẳng
nên các tam giác vuông
nhau. Suy ra
,
,
là tâm đường tròn ngoại tiếp
Áp dụng công thức Hê-rông ta có
Mặt khác
Xét tam giác vuông
Suy ra
.
:
,
.
.
bằng
.
Áp dụng công thức Hê-rông ta có
.
Do đó
.
Câu 50. [2H1-3.4-4] (THPT Hồng Lĩnh-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho tứ diện
có
. Khi thể tích của khối tứ diện
lớn nhất thì khoảng
cách giữa hai đường thẳng
và
bằng
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn A.
Gọi ,
lần lượt là trung điểm
Vì
,
.
nên
Mặt khác
Như vậy,
và
, suy ra
nên
, suy ra
.
là đường vuông góc chung của đường thẳng
.
và
. Bởi vậy
.
Đặt
,
, với
và
Ta có
,
Thể tích của khối tứ diện
.
là
.
, với
.
Mặt khác
.
Nên
.
Do đó, thể tích khối tứ diện
lớn nhất là bằng
.
.
Khi đó
và
----------HẾT----------Câu 43.
chóp
khi và chỉ khi:
.
[2H1-3.4-4] (SGD Phú Thọ – lần 1 - năm 2017 – 2018) Cho hình
có
, các cạnh còn lại đều bằng
rằng thể tích khối chóp
(tham khảo hình vẽ). Biết
lớn nhất khi và chỉ khi
. Mệnh đề nào
dưới đây đúng?
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn B.
Gọi
là hình chiếu của
trung điểm của
lên mặt phẳng
, vì
nên
với
là
Ta xét hai tam giác
suy ra
và
có cạnh
do đó
chung,
,
vuông tại .
nên
Ta có
Mặt khác
Vậy
.
Thể tích khối chóp
Vậy
lớn nhất khi và chỉ khi
. Suy ra
.
.
Câu 47. [2H1-3.4-4] (THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu – An Giang - Lần 3 năm 2017 –
2018) Cho lăng trụ
,
có đáy
và mặt phẳng
.
,
vuông góc với mặt đáy. Biết hai mặt phẳng
tạo với nhau góc
bằng
A.
là hình chữ nhật với
B.
thỏa mãn
.
,
. Thể tích khối lăng trụ
C.
Lời giải
.
D.
.
Chọn A.
Từ
kẻ
Từ
kẻ
.
.
Theo giải thiết ta có
.
Xét tam giác vuông
có
Xét tam giác vuông
có
Gọi
Do
là trung điểm cả
.
.
, do tam giác
cân tại
.
nên
.
Trong tam giác vuông
kẻ đường cao
là
ta có
chiều cao của lăng trụ
.
Vậy thể tích khối lăng trụ
là
.
Câu 48.
[2H1-3.4-4] (THPT Chuyên Ngữ – Hà Nội - Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho hình
lăng trụ
. Gọi
,
,
lần lượt là các điểm thuôc các cạnh
,
,
sao cho
,
tích của hai khối đa diện
A.
.
B.
,
. Gọi
và
.
,
. Tính tỉ số
C.
.
lần lượt là thể
.
D.
.
Lời giải
Chọn C.
Gọi
là thể tích khối lăng trụ
. Ta có
.
.
.
Do
là hình bình hành và
Suy ra
,
nên
.
, Từ đó
.
Như vây
Câu 48:
. Bởi vây:
.
[2H1-3.4-4] (SGD Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh bằng ,
và
vuông góc
với mặt phẳng đáy
. Gọi
,
là hai điểm thay đổi trên hai cạnh
,
sao cho mặt phẳng
tổng
A.
.
vuông góc với mặt phẳng
. Tính
khi thể tích khối chóp
đạt giá trị lớn nhất.
B.
.
.
C.
D.
.
Lời giải
Chọn B.
Cách 1: Chọn hệ trục tọa đô
sao cho
,
,
,
.
Suy ra
. Đặt
,
,
,
, suy ra
,
,
.
,
Do
.
nên
, do
.
nên
.
.
Do đó
Xét
.
với
,
.
;
Lâp BBT ta suy ra
.
(loại).
.
Vây
.
Cách 2: Đặt
,
. Gọi
là hình chiếu vuông góc của
;
trên
;
, khi đó:
Ta có:
.
.
.
Do đó góc giữa
và
bằng góc giữa
Mặt khác
Tính
Ta có:
và
. Suy ra
.
.
,
:
,
và nếu
,
thì gọi
là trung điểm của
, khi đó:
.
Tương tự:
Nếu
. Mà
hoặc
.
thì ta cũng có
Tóm lại:
.
.
Suy ra:
.
Do đó
.
Câu 37: [2H1-3.4-4] (Sở GD & ĐT Cần Thơ - Mã đề 323 - Năm 2017 - 2018) Cho hình chóp
có đáy là hình vuông cạnh
bằng
. Gọi
trên mặt phẳng
và
A.
, tam giác
là trung điểm của cạnh
đều, góc giữa
và
. Biết rằng hình chiếu vuông góc của đỉnh
nằm trong hình vuông
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
là
.
B.
.
C.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
.
D.
.
Gọi
là trung điểm cạnh
Do
, khi đó
.
nên
Vẽ
tại
Tam giác
có
.
thì
.
.
Cách 1:
Theo định lý Pythagore đảo thì
Vẽ
Gọi
tại
vuông tại
thì
là trung điểm cạnh
.
.
ta có
.
Ta có
.
Tam giác
có
.
Tam giác
có
Tam giác
có nửa chu vi
.
Và diện tích
.
là
.
Vậy
.
Cách 2:
Ta thấy
Gọi
Do đó,
nên
;
vuông tại
là trung điểm cạnh
. Suy ra
ta có
;
.
.
.
Gọi
là hình chiếu của
lên
, ta có
Vậy
vuông cân tại
nên
.
.
Câu 45: [2H1-3.4-4] (Sở GD & ĐT Cần Thơ - Mã đề 323 - Năm 2017 - 2018) Cho hình chóp
có
,
phẳng đi qua
điểm của
,
là trọng tâm tam giác
, song song với các đường thẳng
và các đường thẳng
bằng
A.
.
B.
.
,
,
và
. Gọi
,
,
,
lần lượt là giao
. Góc giữa hai mặt phẳng
C.
.
D.
là mặt
và
.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Gọi
là trung điểm của
và
,
là hình chiếu của
nên
Ta có
nên
. Vậy
.
là trung điểm của
B.
là
.
.
.
.
C.
Lời giải
Chọn B.
đều và
, suy ra góc giữa hai mặt phẳng
Câu 50: [2H1-3.4-4] (THPT NGỌC TẢO HN-2018) Cho
. Điểm
là trung điểm cạnh
và
nằm trên đường thẳng
, hai đỉnh
và
cắt đường thẳng
tại điểm . Khoảng cách
A.
, ta có
.
Mặt khác, theo giả thiết ta có
Mà
lên
hình hộp
có
,
. Một tứ diện đều
có hai đỉnh
nằm trên đường thẳng đi qua điểm
và
bằng
.
D.
.
Do tứ diện
Ta có:
đều nên ta có
hay
.
Và
.
Khi đó
Vậy
.
.
suy ra
là trung điểm của
. Do đó
.Câu 24:
[2H1-3.4-4]
(THPT Chuyên Quốc Học Huế lần 3) Cho tứ diện
có
,
,
. Tính khoảng cách từ
đến mặt phẳng
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn C.
Xây dựng bài toán tổng quát
Từ giả thiết ta có: MNDC là hình thoi; các tam giác CAN, DAM là các tam
giác cân, suy ra:
,
Ta có:
Từ
Suy ra:
.
Ta có
Ta có
.
Câu 24: [2H1-3.4-4] (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN-LẦN 4-2018) Cho tứ diện
có
,
,
. Tính khoảng cách từ đỉnh
đến
mặt phẳng
A.
.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn C.
Dựng
.
Khi đó
,
,
sao cho
là trung điểm
và
,
là trung điểm
vuông tại
và
vuông tại
và
vuông tại
.
.
.
Suy ra
.
Ta có
.
Diện tích tam giác
Ta có
,
:
.
.
Có thể tính thể tích khối tứ diện theo công thức nhanh:
.
là trung điểm
