Tài liệu Các bài toán tính khoảng cách (Bài tập và hướng dẫn giải) pdf

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 03 tháng 01 năm 2010
BÀI TẬP VỀ NHÀ (06/02)
Các bài toán tính khoảng cách.
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, có
SA h
=
và vuông góc
với mp(ABCD). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của:
a) SB và CD
b) SC và BD
Bài 2 : Cho chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Gọi G là trọng
tâm tam giác ABC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.
Bài 3 : Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với mp(ABC) và
2.SA a
=
. Đáy
ABC là tam giác vuông tại B với BA=a. Gọi M là trung điểm của AB. Tìm độ dài đoạn
vuông góc chung của 2 đường thẳng SM và BC.
Bài 4 : Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD có tâm là O, cạnh a và
3
.
3
a
OB
=
Trên
đường thẳng vuông góc với mp(ABCD) tại O, lấy điểm S sao cho
.SB a
=

Tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng SA và BD.
Bài 5: Cho tứ diện ABCD với AB=CD=a, AC=BD=b, BC=AD=c. Gọi I và J lần lượt là
trung điểm của AB và CD. Hãy tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và CD
………………….Hết…………………

BT Viên môn Toán hocmai.vn

Trịnh Hào Quang

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 29 tháng 01 năm 2010
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ LUYỆN BG SỐ 2

Quan hệ vuông góc trong không gian.
(Các em tự vẽ hình vào các bài tập)
• BTVN – 04/02/2010:
Bài 1: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và
SA SB SC a
= = =
.
1. Chứng minh mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD).
2. Chứng minh
SBD
∆
vuông tại S.
HDG:
1. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, vì

SA SB SC a
= = =
nên
( )
SO mp ABCD
⊥
. Mà
AC BD
⊥
vì ABCD là hình thoi, nên
O BD
∈
Có:
( ) ( ) ( ) ( )
,SO SBD SO ABCD SBD ABCD
∈ ⊥ ⇒ ⊥
Bài 2: Tứ diện SABC có
( )
.SA mp ABC
⊥
Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác
ABC và SBC.
1. Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và
( ) ( )
SAC BHK
⊥
2. Chứng minh
( )
HK SBC⊥
và

( ) ( )
.SBC BHK⊥
HDG:
1. Vì H là trực tâm tam giác
ABC BH AC∆ ⇒ ⊥
, theo giả thiết

( )
SA mp ABC BH SA⊥ ⇒ ⊥
. Nên
( )
BH mp SAC SC BH⊥ ⇒ ⊥
Do K là trực tâm
SBC BK SC∆ ⇒ ⊥
Từ đó suy ra
( ) ( ) ( )
SC mp BHK mp BHK mp SAC⊥ ⇒ ⊥
(đpcm)
2. Tương tự như trên ta cũng chứng minh được:
( )
SB mp CHK SB HK⊥ ⇒ ⊥
Mà
( )
SC mp BHK SC HK⊥ ⇒ ⊥
. Do đó:
( ) ( ) ( )
HK mp SBC mp SBC mp BHK⊥ ⇒ ⊥
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 2
Page 2 of 9
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HOCMAI.VN

A5+A6, 52 Nguyễn Chí Thanh Tel: 04.3775-9290
………… , ngày ….tháng… năm …..
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA vuông góc
với (ABCD). Giả sử (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC.
1. Chứng minh
( ) ( )
.SBD SAC⊥
2. Chứng minh
( )
||BD mp P

HDG:
1. Vì ABCD là hình vuông tâm O nên AC và BD
vuông góc với nhau tại O, vì SA vuông góc với (ABCD) nên
( ) ( ) ( )
SA BD BD SAC SBD SAC⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥
2. Từ giả thiết suy ra:
( ) ( )
P SAC⊥
, mà
( ) ( )
||BD SAC BD P⊥ ⇒
Bài 4: Trong mặt phẳng (P) cho hình chữ nhật ABCD. Qua A dựng đường thẳng Ax vuông
góc với (P). lấy S là một điểm tùy ý trên Ax (
S A≠
). Qua A dựng mặt phẳng (Q) vuông
góc với SC. Giả sử (Q) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’.
Chứng minh:
' , 'AB SB AD SD⊥ ⊥
và

. ' . ' . 'SB SB SC SC SD SD
= =
HDG: Từ giả thiết suy ra:
( )
, 'SA BC AB BC BC SAB BC AB⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥
Mà
( )
'SC Q SC AB⊥ ⇒ ⊥
. Do đó
( )
' 'AB SBC AB SB⊥ ⇒ ⊥
Ngoài ra ta cũng có
, ' ' ' 'BC SB SC B C SBC SC B⊥ ⊥ ⇒ ∆ ∆:
nên:
. ' . '
' '
SB SC
SB SB SC SC
SC SB
= ⇒ =
Chứng minh tương tự ta được
'AD SD⊥
và
. ' . 'SD SD SC SC=
Vậy ta có đpcm.
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a, BC=
3a
, mặt bên
(SBC) vuông tại B và (SCD) vuông tại D có SD=
5a

.
a. Chứng minh:
( )SA ABCD
⊥
. Tính SA=?
b. Đường thẳng qua A vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB,CD lần lượt tại I,J.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Hãy xác định các giao điểm K,L của
SB,SD với mặt phẳng (HIJ). CMR:
( )AK SBC⊥
;
( )AL SCD⊥
.
c. Tính diện tích tứ giác AKHL=?
Giải:
a) Ta có:
( )
( )
( )
BC BA
BC SAB BC SA
BC BS
SA ABCD
DC DA
DC SAD DC SA
DC DS
⊥ 

⇒ ⊥ ⇒ ⊥



⊥
 
⇒ ⊥

⊥


⇒ ⊥ ⇒ ⊥


⊥


. Ta có:
2SA a=
Page 3 of 9
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 29 tháng 01 năm 2010
b) Trong (SBC) gọi:
{ } ( )SB HI K K SB HIJ∩ = ⇒ = ∩
Trong (SAD) gọi:
{ } ( )SD HJ L L SD HIJ∩ = ⇒ = ∩
.
Ta có:
(1)BC AK⊥
mà:
IJ
IJ ( ) IJ
SC ( IJ) (2)

AC IJ
SC
SA
SAC SC
H SC AK
AH
⊥ 

⇒ ⊥ ⇒ ⊥
 
⇒ ⊥ ⇒ ⊥
⊥



⊥

Từ (1) và (2) ta có:
( )AK SBC⊥
. Tương tự cho
( )AL SCD⊥
c) Tứ giác AKHL có:
;AL KH AL LH⊥ ⊥
nên:
1
( . . )
2
AKHL AK KH AL LHS = +
.
Vậy :

2
8
15
a
AKHLS =
• BTVN – 06/02/2010:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, có
SA h=
và vuông góc
với mp(ABCD). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của:
1. SB và CD
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 4
Page 4 of 9
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HOCMAI.VN
A5+A6, 52 Nguyễn Chí Thanh Tel: 04.3775-9290
………… , ngày ….tháng… năm …..
2. SC và BD
HDG: 1. Vì ABCD là hình vuông nên
BC CD⊥
Lại có:
( )
( )
( )
BC AB
BC SAB BC SB
BC SA do SA ABCD
⊥


⇒ ⊥ ⇒ ⊥


⊥ ⊥


Vậy BC là đoạn vuông góc chung của SB và CD, và
BC a=
2. Gọi
O AC BD= ∩ ⇒
AC và BD vuông góc nhau tại O, mà
SA BD⊥ ⇒
( )
BD mp SAC⊥
. Trong
tam giác SAC, kẻ OI vuông góc với SC khi đó BD và OI vuông góc nhau do đó OI là
đường vuông góc chung của SC và BD
Ta có:
( )
2 2
.
2 2
SA SC SA OC ah
SAC OIC OI
OI OC SC
h a
∆ ∆ ⇒ = ⇒ = =
+
:
Bài 2: Cho chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng
3 ,a
cạnh bên bằng

2 .a
Gọi G là trọng
tâm tam giác ABC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.
HDG: Trong tam giác ABC đều, kéo dài AG cắt BC tại M
AG BC⇒ ⊥
Chóp S.ABC đều, mà G là tâm
ABC
∆
ABC nên
( )
SG ABC SG BC⊥ ⇒ ⊥
, từ đó suy ra
( )
BC SAG⊥
.
Trong
SAM
∆
kẻ
( )
MN SA N SA MN BC⊥ ∈ ⇒ ⊥
. Do vậy MN là đoạn vuông góc chung của BC
và SA. Ta có:
2
. 3 3
...
4
SAM
S
SG MA a

MN
SA SA
∆
= = = =
Bài 3 : Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với mp(ABC) và
2.SA a
=
. Đáy
ABC là tam giác vuông tại B với BA=a. Gọi M là trung điểm của AB. Tìm độ dài đoạn
vuông góc chung của 2 đường thẳng SM và BC.
HDG:
Ta có
( )
SA BC
BC SAB
AB BC
⊥

⇒ ⊥

⊥

tại B. Dựng
( )BH SM H SM
⊥ ∈
.
Ta thấy:
BH BC
⊥
. Vậy BH chính là đoạn vuông góc chung của SM và BC.

Ta tính BH như sau:
Vì
1 2
2
3
3 3
2
2
a
BH BM BH a
BH
a
SA SM
a
= ⇔ = = ⇒ =
Page 5 of 9