D06 bài toán tổng hợp về khối nón, khối trụ, khối cầu muc do 4

(THPT Chuyên Hùng Vương-Bình Phước-lần 2-năm 2017-

Câu 50. [2H2-2.6-4]

2018) Cho mặt trụ

đổi luôn đi qua

và một điểm

và luôn cắt

cố định nằm bên ngoài

tại hai điểm

,

(

,

. Một đường thẳng
có thể trùng nhau). Gọi

trung điểm của đoạn thẳng
. Tập hợp các điểm
là
A. Một phần mặt phẳng đi qua .
B. Một phần mặt cầu đi qua
C. Một phần mặt nón có đỉnh là .

D. Một phần mặt trụ.
Lời giải
Chọn D.

Gọi mặt phẳng

chứa

và vuông góc với trục

tuyến là một đường tròn

luôn cắt
. Gọi

tại hai điểm
,

,

tâm
,

thẳng

nên

,

tại

có thể trùng nhau),

lần lượt là hình chiếu của

đều thuộc đường tròn

, cắt

song song với đáy. Đường thẳng
(

;

,

,

cũng là trung điểm của
) nên tam giác

. Vì
khi đó

luôn vuông tại

, cắt trụ

theo giao

thay đổi đi qua

và

là trung điểm của đoạn thẳng
. Ta có

,

là trung điểm của đoạn
. Mặt khác

thẳng hàng (cùng nằm trên giao tuyến của mặt phẳng chứa
mặt phẳng

là

.

xuống mặt phẳng

,

thay

,

vuông góc với

hay

thuộc đường tròn đường kính

Suy ra
nằm trên một phần mặt trụ đường kính đáy bằng
và đi qua trung điểm của
.

không đổi, có trục song song

Câu 47. [2H2-2.6-4] (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 3 năm 2017-2018) Cho hình nón
có góc ở đỉnh bằng

độ dài đường sinh bằng
thỏa mãn:

nón

tiếp xúc ngoài với
tiếp xúc ngoài với

tích các khối cầu

. Dãy hình cầu

tiếp xúc với mặt đáy và các đường sinh của hình
và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón

và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón
theo

.

. Tính tổng thể


A.

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn A.

Gọi
Gọi

lần lượt là tâm của mặt cầu
là trung điểm của

Hạ

,

Xét

có

và

.

. Khi đó ta có

đều và

.

.
. Khi đó ta có
.

Chứng minh tương tự ta có
Do đó dãy bán kính
bội

,

,….,

,…, ,. lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với

và công

.

Suy ra dãy thể tích của các khối cầu

hạn với

.

,

, …,

và công bội

,… lập thành một cấp số nhân lùi vô
.


Vậy tổng thể tích của các khối cầu

là:

.

Câu 47. [2H2-2.6-4] (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 3 năm 2017-2018) Cho hình nón
có góc ở đỉnh bằng

độ dài đường sinh bằng
thỏa mãn:

nón

tiếp xúc ngoài với
tiếp xúc ngoài với

tiếp xúc với mặt đáy và các đường sinh của hình
và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón

và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón

tích các khối cầu
A.

. Dãy hình cầu

theo
B.

. Tính tổng thể

.

C.

D.

Lời giải
Chọn A.

Gọi
Gọi

lần lượt là tâm của mặt cầu
là trung điểm của

Hạ

,

Xét

có

. Khi đó ta có

và

.
đều và

.
. Khi đó ta có
.

.


Chứng minh tương tự ta có
Do đó dãy bán kính
bội

,

,….,

.

,…, ,. lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với

và công

.

Suy ra dãy thể tích của các khối cầu
hạn với

,

, …,

,… lập thành một cấp số nhân lùi vô

và công bội

.

Vậy tổng thể tích của các khối cầu

là:

.

Câu 48: [2H2-2.6-4] (THPT Thanh Miện 1-Hải Dương-lần 1 năm 2017-2018) Cho mặt
cầu

có bán kính

nón

là

A.

không đổi, hình nón

bất kì nội tiếp mặt cầu

; và thể tích phần còn lại của khối cầu là

.

B.

.

C.

. Giá trị lớn nhất của
.

D.

Lời giải
Chọn D.

Gọi
Gọi

,

là tâm mặt cầu và đỉnh hình nón.
là tâm đường tròn đáy của hình nón và

Ta có

. Do đó để

đạt GTLN thì

là một đường kính của đáy.
đạt GTLN.

TH 1: Xét trường hợp
Khi đó thể tích của hình nón đạt GTLN khi
TH 2:

nằm trong tam giác

Lúc đó
như hình vẽ.

. Thể tích khối

.

.

bằng:


Đặt

. Ta có
.

Dấu bằng xảy ra khi

.

Khi đó

.

Câu 46. [2H2-2.6-4] (CHUYÊN KHTN-LẦN 3-2018) Trong không gian cho hai đường thẳng chéo
nhau và , vuông góc với nhau và nhận
làm đoạn vuông góc chung
,
.
Trên lấy điểm
, trên lấy điểm
sao cho
,
. Gọi là tâm mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện

. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
là
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A.

Ta có,

suy ra

.

suy ra
.

Do đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
Gọi
là trung điểm của
suy ra
Gọi

là hình chiếu của

lên

,

là trung điểm
do đó
và
.
đối xứng với
qua

Ta có
Xét tam giác

.
vuông tại

có

là đường cao nên
.

của

suy ra

.

là hình chữ nhật


Câu 37.

[2H2-2.6-4] (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN-LẦN 4-2018) Trong không gian tọa độ
cho

,

,

,

A.

,

. Gọi

và có cùng bán kính là

.

B.

,

,

là

mặt cầu tâm lần lượt là

. Xác định số tiếp diện chung của ba mặt cầu trên.

.

C. .
Lời giải

D. .

Chọn A.

Ta có nhận xét: Trong không gian, cho điểm

và đường thẳng

phẳng

nếu

chứa

chứa
và cách

và cách

một khoảng là

một khoảng là

Xét mặt phẳng

đi qua các điểm

lần lượt là trung điểm của
Mặt phẳng
Đi qua

,

,

nếu
,
,

, khi đó có đúng hai mặt
và không có mặt phẳng nào

.

,

. Ta có

;

;

. Gọi

,

,

.

xác định như sau:
: Ta có

nên có 2 mặt phẳng tiếp xúc với cả 3

mặt cầu như nhận xét trên.
Đi qua

,

: Ta có

có 2 mặt phẳng tiếp xúc với cả 3 mặt

cầu như nhận xét trên.
Đi qua

,

: Ta có

nên không có mặt phẳng nào tiếp xúc

với cả 3 mặt cầu như nhận xét trên.
Hơn nữa

,

,

song với mặt phẳng
Vậy có tất cả

có cùng bán kính nên có

mặt phẳng tiếp xúc với chúng và song

.

tiếp diện chung của ba mặt cầu.

Câu 48: [2H2-2.6-4] (CHUYÊN HẠ LONG-LẦN 2-2018) Trong không gian, cho bốn mặt cầu có bán
kính lần lượt là , , , (đơn vị độ dài) tiếp xúc ngoài với nhau. Mặt cầu nhỏ nhất tiếp xúc
ngoài với cả bốn mặt cầu nói trên có bán kính bằng

A.

B.

.

C.

.

D.

.

.

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Cách 1:
Gọi

là tâm bốn mặt cầu, không mất tính tổng quát ta giả sử
. Gọi
. Gọi

là tâm mặt cầu nhỏ nhất với bán kính
nên

Đặt

lần lượt là trung điểm của

nằm trên đoạn

, ta có

,

. Dễ dàng tính được

tiếp xúc với bốn mặt cầu trên. Vì

.
,

Từ đó suy ra

, suy ra

Cách 2

Gọi
là tâm quả cầu bán kính bằng
cầu bán kính .
Mặt cầu
Gọi

tiếp xúc ngoài với

,

.

là tâm quả cầu bán kính bằng

mặt cầu tâm

.

là tâm quả

nên

lần lượt là các mặt phẳng trung trực đoạn

.
và

.

.
Tứ diện

có

, suy ra
Từ

và

suy ra

là đường vuông góc chung của

(2).
suy ra

Tam giác

có

Tam giác

có

.
.

và


Tam giác

có

.

Suy ra
Câu 31:

.

[2H2-2.6-4] (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU-2018) Cho khối cầu tâm
cách

một khoảng

là hình tròn

A.

cắt khối cầu theo một hình tròn

B.

cm.

C.

cm. Mặt phẳng

. Một khối nón có đỉnh thuộc mặt cầu, đáy

. Biết khối nón có thể tích lớn nhất, giá trị của

cm.

bán kính

bằng

cm.

D.

cm.

Lời giải

Chọn A.

Ta có bán kính đường tròn đáy của hình nón

, chiều cao khối nón

Thể tích khối nón
Ta có

,

.

Vậy khối nón có thể tích lớn nhất khi

.

Câu 44. [2H2-2.6-4] (THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI-LẦN 1-2018) Cho hình trụ có đáy là hai
đường tròn tâm
và

, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng
. Trên đường tròn đáy có
tâm
lấy điểm , trên đường tròn tâm
lấy điểm . Đặt
là góc giữa
và đáy. Biết
rằng thể tích khối tứ diện
đạt giá trị lớn nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.

.

B.

.
Lời giải

Chọn B.

C.

.

D.

.


Gọi

Gọi
Gọi

là hình chiếu của
lên mặt phẳng chứa đường tròn tâm
.
là hình chiếu của
lên mặt phẳng chứa đường tròn tâm .
là bán kính của đường tròn tâm , suy ra:
. Ta có:

Suy ra:

. Gọi

là trung điểm của

.

.

Ta có:

.

Và:

.

Suy ra:

Ta có:

.
đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi

Xét hàm số

với

có

Xét
Vì

đạt giá trị lớn nhất.
với

.
nên

.

Bảng biến thiên:

0

Dựa vào bảng biến thiên, ta có

khi

0

hay

.

.