Tuyển chọn 50 đề thi HSG THPT QG có lời giải chi tiết đề 1 đề 10

ĐỀ 01


ĐỀ 02


ĐỀ 03


ĐỀ 04


ĐỀ 05


ĐỀ 06


ĐỀ 07


ĐỀ 08


C 2017 – 2018
MÔN: TOÁN - THPT
Ngày thi: 06/12/2017
ĐỀ 09

câu TNKQ, 05 câu t

8 trang

Câu 1:
A. 2 x

y 3 0.

B. x

2y

0.

C. x

2y 4 0 .

y 1 0.

M 1; 2

Câu 2:

w iz

z 2 là

A. 2 7 .

34 .

B.

y

Câu 3:
A. 3sin x cos x ln 3 .

D. 5 2 .

C. 3sin x 1 .

B. 3sin x ln 3 .

2a

3
.
2

26 .

C.

3sin x là

Câu 4:
A.

D. x

6b 12c

T

C. 2.

D.

B. 1.

Câu 5: Trong không gian Oxyz

D. 3sin x 1 cos x .

b
c

b
a

1
.
2
2 x y 3z

-1; 2; 3) và

m 0.

14 .
A. 1

B. 0

C. 2

D. 3

2a, BAD 1200 .

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD
(SAB) vuông
(SAB) là
A.

a 3
.
3

B.

2a
.
3

A. 9

C.

5( z i )
z 1

z

Câu 7:

B. 13

3a 3
.
4

w 1 z
C. 3

C. (1;0;2) .

y

z 1
1
D. (1;0; 2) .

A 2;1; 1 , B 0;3;1

Câu 9: Trong không gian Oxyz,

P :x

y
1

z 2 là

13

D.

x 1
2

(P) qua (d)
B. (1;1; 1) .

2a 3
.
3

D.

2 i

Câu 8: Trong không gian Oxyz,

A. (1;1;1) .

G

SCD. K

z 3 0

2MA MB

M là
A. M

4;1;0 .

B. M 1; 4;0 .

C. M

1;4;6 .

D. M 4; 1;6 .
Trang 1/8 -

209


BAD 1200 ,

Câu 10:

0

3a 3
.

4

A.

a3
.
12

B.

C.

a3
.
4
y

Câu 11:
A. m

3;

B. m

.

y

Câu 12:
A. 2.

B.

y

Câu 13:

; 1.

A.

x4

3;

C. m

.

3a 3
.
12
3x 2 mx

D.

(

;3) .

x3

D. m

;3 .

2 x2 1

2
1
.
C. .
2
2
3
2
2
x 3mx 3 m 1 x m

B. 3;

.

D. 1.

D. 2;

;1 .

C.

.

cos5 x cos 2 x 2sin 3x sin 2 x

Câu 14:

0;2
A. 4

C. 6

B. 5
2

x 1 cos x dx

Câu 15:

a

2

b

0 trên

D. 3

1

0

A.

9
.
8

5
.
8
ABCD. A ' B ' C ' D '
1
B. V
3
B.

Câu 16:
A.

2
V
3

7
.
8
V
3

C. V
4
C.

D.

3
.
8
ACB ' D ' .

D.

1
V
2

Câu 17: Trong không gian Oxyz, cho C(0;1;2) và D(1;0;A. x 2

y2

z2

z 2 0

B. x 2

y2

z2

z 3 0

C. x 2

y2

z2

z 2 0

D. x 2

y2

z2

z 3 0

4

Câu 18:
A.

sin x 3cos x
dx
sin x cos x
0

1

.
2

B. 1.

a b ln 2
C. 2 .

D.

1
.
4

1
.
8

D.

3
.
4

Câu 19: Cho hình chóp S.

V1 , V2

V1
là

V2
3
A. .
8

B.

2
.
3

C.

Trang 2/8 -

209


A

z1

2

z2

z1 và z2

Câu 20:

z2

2 z 10 0 .

2

A. 100.

B. 10.

1 3
x
3

y

Câu 21:
A. 0.
Câu 22:

D. 2 10 .

C. 20.

B. 1.

x 7 là
C. 3.

D. 2

a 3 . Tam

(SAC) là
A.

a 39
.
13
y

Câu 23:

10 x 2

g ( x)

4a 21
.
7
f ( x ) (ax 2

B.

2a 39
.
13
bx c ) 2 x 1, a, b, c R
C.

D.

1
;
2

7x 2
2x 1

A. 4.
Câu 24:

B. 3.

C. 2.

2a 21
.
7

.

D. 1.

abcd

0

sai?

a
A.
d
1
B.
ab
C. ab
D.

b
a

3

b
c
1
1
bc cd
bc cd

3
ac
2

a2 b2

c2 b2

c2

d2

d
c
x2

Câu 25:
A. m
C. m

3;

1

1;3

4x

B. m

3;

D. m

(3;

3 m
1

)
y

Câu 26:

(m 2
A. 40 .

B. 32 .

C. 24 .

m ( 5;0)
B. 3.

D. 36 .

y

log 5 x 2

C. 4.

4 x 3m
D. 2.

m3 ). Giá ti
m
A.

2

3
20
; 3;
2
9

4 x2 .

M 2 ) là

Câu 27:
là R?
A. 5.
Câu 28:

2x

000

m
B.

8 16 3645
;
;
27 27 64

C.

2

27 27 320
;
;
8 4 729

D.

2 4 45
; ;
3 3 4
Trang 3/8 -

209


y

Câu 29: Cho hàm

log 1 x

sai?

3

A.

.

1
y'
, x 0.
x ln 3
D
\ 0 .

B.
C.
D.

.

y

Câu 30:

1;

x 4
.
2x m

.

A. m

;8

B. m ( 2;8)

Câu 31:

2;8

D. m

2;

x 2 x

f x

không

; 1
A. y

C. m

x 1

2

trên

1;
x2

x 1
x 1

B. y

x2
x 1

C. y

x2

x 1
x 1

D. y

x2

x 1
x 1

Câu 32:

y2

2 x; x 2 y 2 0; y 0
8
4

A.
B.
3
3

C.

x2

Câu 33: T

1
2

5
3
y2

D.

2
3

4x 4 y 4 0
v

1

tròn (C 1

2

2

) là

A. ( x

2) 2

( y 3)2 1 .

B. ( x 3) 2

( y 2)2

C. ( x

2) 2

( y 3)2

D. ( x 3) 2

( y 2)2 1 .

4.

P : 3x

Câu 34: Trong không gian Oxyz,

S : x 4
A. r
Câu 35:
A. T

2

y 5

5

2

2

z 2
25
r
B. r
5
5x

2;

.

5x 1 5x 2
B. T (2; ) .

3x

1

4.

y 3z 6 0

S

P
C. r

(1;2)

6

3x 1 3x 2
C. T
;2 .

D. r

6

T là
D. T

;2 .

Câu 36:

Trang 4/8 -

209


Hình 1

Hình 2

Hình 3

Hình 4

A. Hình 3

B. Hình 2

C. Hình 4

D. Hình 1

Câu 37: Cho hình chóp S.ABCD,
AD = 2a, SA

A và B ; AB = BC = a,

ABCD , SA a 2

A. 600
B. 450
C. 300
D. 900
Câu 38: Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình ch nh t, hai m t ph ng (SAC) và (SBD)
cùng vuông góc v
áy, AB a, AD 2a . Kho ng cách gi
ng th ng AB và SD
b ng a 2 . Th tích c a kh i chóp S.ABCD là
A. a 3 .

B.

2 3
a .
3

C. 2a 3 .

D.

y

Câu 39: Cho h

A. 3 x

y 9 0.

B. 3 x

y 9 0.

1 cos x cos

Câu 40:

7x
2

C. 9 x

y 9 0.

4 3
a .
3
( x 3) 2 , y 0, x 0 .

D. 9 x

y 9 0.

m sin 2 x

m cos x

2
.

3
1
B. m
;1
2
1 1
D. m
;
2 2
0;

A. m
C. m

; 1
1;1

Câu 41: Cho a

cos x

1;

b2

0.

y theo a, b là

b2 a2

A. 2
a b2

a 2 b2
B. 2
.
a b2

Câu 42:

A. m

a2

sin x sin y , b cos x cos y

16 .

B. m

2ab
C. 2
a b2

x3

y2

7 x2

mx

y3

x2

7 y2

my

;16 .

C. m

16;

(a b)2
D. 2
.
a b2

D. m

R

Trang 5/8 -

209

Câu 43:
A. 3720
B. 2160
C. 1440
D. 7440
Câu 44: Cho hì
ABC.A’B’C’ có c nh bên b
áy ABC là tam giác vuông t i A,
AB a , AC a 3 . Hình chi u vuông góc c a A’ trên m t ph ng (ABC) là
m c a BC.
Th tích c
ã cho là

3a 3
A.
.
2

a3
B.
.
2
ABC . A ' B ' C '

Câu 45:

C. a

600 . T
A. V

a

3

3

2

a

B. V

.

3

3

8

3

a3 3
D.
.
3
a

3.

ABC. A ' B ' C ' là
3a 3 3
C. V
.
8

.

AB ' C '

3a 3 3
.
4

D. V

Câu 46:
tính
.
A.

13
32

Câu 47:
A.

1 2
(x

3

C. x 2

B.

x3
2 x2

C.

13
81

D.

15
81

dx là

4) 2 x 2
x2

11
16

1 2
( x 4) 2 x 2
3

1 2
D.
x 2 x2 C .
3

C.

C.

B.

C.

Câu 48:

V2

V1
V1
là
V2
A. 2.

B.

21
.
2

C. 2 2.

D. 4.

Câu 49:
A.

10
33

B.

4
33

C.

16
33

D.

(log 3 x )2

Câu 50:
A. m

; 2

2;

.

B. m

C. m

; 2

2;

.

D. m

2

3

xf x 2 dx

Câu 51:
0

A. 1

4;

16

f z dz

2;

2

B. 10

9

C. 9

2;

6
33

m(log 3 x ) 1 0 có hai

.

; 2 .
f

t
t

4

dt

2

f x dx là
0

D. 11

Trang 6/8 -

209


Câu 52:
1
C2017

2
2 2 C2017

3
3.2 2 C2017

4
4.23 C2017

2016
... 2016.22015 C2017

2017
2017.22016 C2017

A. -2017
Câu 53:

B. -2016

C. 2017

D. 2016

A. 4095
Câu 54:

B. 2047

C. 1023

D. 511.

m2
5
,h
3
5
,h
3

A. r
C. r

10
15
5
15
91

Câu 55:
A. 4

m 8

B. 3

1 x2

m

B. r

15
,h
3

5
2

D. r

5
,h

3

10
15

1 x2

( m 2).31

64
7

2m 1 0 . T
64
7

C. m

D. 4

m

64
7

Câu 56:
c

900
A. 3125

905
B. 3125

805
C. 3125

705
D. 3125

-

y

x3

2 m 1 x2

5m 1 x 2m 2

m
;0), sao cho trong

B, C
x 2 y 2 1.
Câu 2

x2
5x2

xy
4y

y2

x

y

x 2 3 x 18

y
x

4 y

Trang 7/8 -

209


bình hành.
1

V1
.
V
Câu 4(1,0
a, b, c

Q

a3
b2

b3
3

c2

c3
3

a2

3

ab + bc + ca

.

z 1 2i

-----------

z

2 3i

10

---------.......
.........................

Trang 8/8 -

209


ĐỀ 10


ĐỀ BONUS

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH

KỲ KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYỂN CHÍNH THỨC
DỰ THI HSG QUỐC GIA NĂM 2019

ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi thứ nhất: 21/08/2018.

Câu 1. (5 điểm) Cho dãy số  un 

u1  1

thỏa mãn 
1

*
u

1


n


.
n

1

u

1
n


a) Chứng minh rằng: dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
2018

b) Chứng minh rằng:

u

2
k

 4036.

k 1

Câu 2: (5 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn  AB  AC  có H là trực tâm, nội tiếp đường tròn (O). BE , CF
là các đường cao của tam giác ABC ( E  AC , F  AB ) . Đường thẳng EF cắt BC tại G,
đường thẳng AG cắt đường tròn (O) tại M.
a) Gọi T là trung điểm của BC. Chứng minh: GH  AT .
b) Lấy điểm P nào đó trên tia BC (P nằm ngoài đoạn BC). Đường tròn (O) cắt
AP tại I và cắt đường tròn đường kính AP tại Q (I, Q đều khác A). AQ cắt BC tại J.
Chứng minh rằng: đường thẳng IJ luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 3. (5 điểm) Cho P( x)  x n  an1 x n 1  an2 x n2  ...  a1 x  a0 là đa thức với hệ số
thực, n là số nguyên dương chẵn và có n nghiệm thực (không nhất thiết phân biệt). Giả
sử y là số thực dương thỏa mãn với mọi số thực t  y thì P(t )  0 .
Chứng minh rằng:

n

P(0)  n P( y)  y.

Câu 4. (5 điểm) Cho 2018 số nguyên dương a1 , a2 ,..., a2018 và số nguyên a  1 sao cho
a chia hết cho a1.a2 .....a2018 . Chứng minh rằng: a 2019  a  1 không chia hết cho

 a  a1  1 a  a2  1 ... a  a2018  1

.

.............................HẾT................................

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH

KỲ KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYỂN CHÍNH THỨC
DỰ THI HSG QUỐC GIA NĂM 2019

ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi thứ nhất: 21/08/2018.
HƯỚNG DẪN CHẤM
(Đáp án, hướng dẫn này có 6 trang)
Yªu cÇu chung
* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của học sinh yêu
cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng.
* Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với
những bước giải sau có liên quan. Ở câu hình, nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ
hình sai thì cho điểm 0.
* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,5 điểm. Đối với điểm
thành phần lớn hơn 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng
0,5 điểm.
* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức
điểm của từng bài.
* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài
BÀI

NỘI DUNG

Cho dãy số  un 
Câu 1

u1  1

thỏa mãn 
1
u

1

n  *.
n

1

un  1


a) Chứng minh: dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

ĐIỂM

5,0
điểm

2018

b) Chứng minh rằng:

u

2
k

 4036.

k 1

1a

2,5
điểm


Từ cách cho dãy số ta có: un  0, n  *
3
7
17
Ta có u2  ; u3   u1; u4   u2
2
5
12

Xét hàm số f ( x)  1 

 0;   1 

1
, ta có f  x  liên tục và nghịch biến trên
x 1

1,0

f ( x)  2, x  0 .

Ta có un1  1 

1
 f (un ), n  *  (un ) bị chặn.
1  un

u1  u3  f (u1 )  f (u3 )  u2  u4  f (u2 )  f (u4 )  u3  u5  ...

suy ra dãy (u2 n1 ) tăng và dãy (u2 n ) giảm.

0,5

Theo tiêu chuẩn Weierstrass suy ra (u2 n1 ),(u2 n ) là các dãy hội tụ.
Giả sử lim u2 n  a ; lim u2 n1  b (a, b  1;2)
Do hàm f liên tục nên:
Từ u2 n1  f (u2 n )  lim u2 n1  lim f (u2 n )  b  f (a )

0,5

Từ u2 n 2  f (u2 n1 )  lim u2 n 2  lim f (u2 n1 )  a  f (b) .
1

b  1  1  a
Giải hệ phương trình 
ab 2 .
1

a  1 

1 b

0,5

Vậy lim un  2 .
2,5

1b

điểm
Từ giả thiết, ta thấy un  1, n  1 .

1 
2  un2
2
Mà un1  2   1 
.
 2
2
u

1
u

1


n



n

2

0,5

Do đó : un21  2  un2  2 .

0,5

Ta lại có u1  1 suy ra un2  2 nếu n lẻ; un2  2 nếu n chẵn.
0,5


Với mọi n lẻ ta có u

2
n 1

2

2  un2

 un  1

2

0,5

 2  un2 .

 un2  un21  4 .
2018

Do đó

 u  u
2
k

2
2
 u22    u32  u42   ...   u2017
 u2018
  1009.4

2
1

k 1

0,5

2018
2
k

  u  4036.

k 1

Câu 2 Cho tam giác ABC nhọn

 AB  AC 

có H là trực tâm, nội tiếp

5,0
điểm

đường tròn (O). BE , CF là các đường cao của tam giác ABC
( E  AC , F  AB ) . Đường thẳng EF cắt BC tại G, đường thẳng AG

cắt (O) tại M.
a) Gọi T là trung điểm của BC. Chứng minh GH  AT .
b) Lấy điểm P nào đó trên tia BC( P

nằm ngoài đoạn BC).

Đường tròn (O) cắt AP tại I và cắt đường tròn đường kính AP
tại Q ( I, Q đều khác A). AQ cắt BC tại J. Chứng minh rằng:
đường thẳng IJ luôn đi qua một điểm cố định.
2a

2,5
điểm
A
L
E

M
H

F
G

I

O
D

B
K

J

T
C

Q

R

P


Ta có tứ giác BCEF nội tiếp nên GE.GF  GB.GC  GM .GA

0,5

Mặt khác GB.GC  GM .GA

0,5

Từ đó suy ra GE.GF  GM .GA
Do đó tứ giác AMFE nội tiếp
Hơn nữa ta có tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH nên M

0,5

nằm trên đường tròn đường kính AH hay MH  MA
Gọi R là giao điểm của MH với (O) ta có 
AMR  900 nên AR là đường
kính của (O) suy ra tứ giác HBRC là hình bình hành
Do đó HR cắt BC tại trung điểm của BC hay M, H ,T thẳng hàng.

0,5
0,5

Vậy H là trực tâm của tam giác AGT nên GH  AT .
2b

2,5
điểm
Gọi K là giao điểm của IJ với (O). Ta chứng minh K cố định. Thật vậy:

0,5

Gọi D là giao điểm của AH với BC, Gọi L là giao điểm của KD với (O)
( L khác K)

vì 
ADP  900 suy ra D thuộc đường tròn đường kính AP

0,5

  QAP
  QAI
  QKI
  QKJ

Ta có QDJ

0,5

suy ra tứ giác DKQJ nội tiếp
0,5

  KQJ
  KQA
  KLA

Do đó JDL

suy ra AL//BC nên L cố định
0,5

Mặt khác D cố định nên K cố định.
Cho P( x)  xn  an1 xn1  an2 xn2  ...  a1 x  a0 là đa thức với hệ số thực,
Câu 3 n là số nguyên dương chẵn và có n nghiệm thực (không nhất thiết
phân biệt). Giả sử y là số thực dương thỏa mãn với mọi số thực

t  y thì P(t )  0 . Chứng minh rằng:

n

P(0)  n P( y )  y.

5,0
điểm


Gọi x1 , x2 ,..., xn là n nghiệm của P  x  . Nếu tồn tại i  1, 2,..., n sao cho
xi  y thì P  xi   0 (mâu thuẫn vì xi là nghiệm của P  x  )

1,0

Vậy ta có 0  y  xi (i  1, n)
Theo định lý Bezout,ta có: P  x    x  x1  x  x2  ... x  xn  .
Vì n chẵn nên:
1,5

n

P  0    1 x1 x2 ....xn  x1 x2 ....xn  0

P  y    y  x1  y  x2  ... y  xn    x1  y  x2  y  ... xn  y   0

Ta cần chứng minh:
n

1,0

x1 x2 ...xn  y  n  x1  y  x2  y  ... xn  y 

Áp dụng BĐT Minkowski thứ II ta có:
n

x1 x2 ...xn  n  y  x1  y  y  x2  y  ... y  xn  y 

 n y n  n  x1  y  x2  y  ... xn  y   y  n  x1  y  x2  y  ... xn  y 

1,0

Suy ra điều phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi x1  x2  ...  xn

0,5

Câu 4 Cho 2018 số nguyên dương a1 , a2 ,..., a2018 và số nguyên a > 1 sao cho a
chia hết cho a1.a2 .....a2018 . Chứng minh rằng a 2019  a  1 không chia

5,0
điểm

hết cho  a  a1  1 a  a2  1 ...  a  a2018  1
Ta chứng minh bài toán trong trường hợp thay số 2018 bởi số n nguyên
dương bất kì.
Giả sử  a  a1  1 a  a2  1 ...  a  an  1 a n 1  a  1 , khi đó tồn tại k nguyên
dương để a n 1  a  1  k  a  a1  1 a  a2  1 ...  a  an  1 
Ta chứng minh k =1. Thật vậy
Xét theo mod  a  1 , ta có a n1  a  1  1 mod  a  1  và

k  a  a1  1 a  a2  1 ...  a  an  1   ka1a2 ...an  mod  a  1 

1

1,0


Do đó ka1a2 ...an  1 mod  a  1 

 2  . Dễ thấy

ka

Nếu k  a  1 thì VP 1   a  1 a n  a n 1  a  1 (mâu thuẫn). Suy ra
k  1; 2;....; a  1

Theo giả thiết  a1a2 ...an ; a  1  1 nên chỉ có duy nhất k  1; 2;...; a  1 thỏa
mãn (2) và dễ thấy k 

1,0

a
a1a2 ...an

Nếu k > 1 thì  k ; a   k  1 , mà VT 1  1 mod a  nên mâu thuẫn.

1,0

Do đó k = 1
Khi đó a  a1a2 ...an và a n1  a  1   a  a1  1 a  a2  1 ...  a  an  1

Từ đó suy ra

1,0

 a  a1  1 a  a2  1 ...  a  an  1  1 mod a    a1  1 a2  1 ...  an  1  1  a
Mặt khác  a1  1 a2  1 ...  an  1  1  a .
Dấu đẳng thức xảy ra khi n = 1 và a  a1
Khi đó a 2  a  1  2a  1  a  1 (vô lý). Bài toán được chứng minh.
Xét trường hợp n = 2018, ta có điều phải chứng minh cho bài toán.

1,0


SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH

KỲ KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYỂN CHÍNH THỨC
DỰ THI HSG QUỐC GIA NĂM 2019

ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi thứ hai: 22/08/2018.

Câu 5: (6 điểm)
Tìm tất cả các hàm số f :    thỏa mãn hệ thức f ( x  y)  f ( xy)  f ( x)  f ( y)  f ( x) f ( y)
với mọi số thực x,y.
Câu 6: (7 điểm)
Cho tam ABC có M là trung điểm BC . Gọi D, E , F lần lượt là tiếp điểm của đường tròn
( I ) nội tiếp tam giác ABC với các cạnh BC , CA và AB . Đường thẳng EF cắt các đường

thẳng BI , CI và AM lần lượt tại X , Y và N .
   không
a) Giả sử B, C cố định và A thay đổi trong mặt phẳng sao cho BAC

đổi (00    1800 ) . Chứng minh: độ dài đoạn thẳng XY không đổi.
b) Giả sử tam giác ABC không cân. Chứng minh: ba điểm N , I , D thẳng hàng và
NX AC

.
NY AB
Câu 7. (7 điểm)

Cho số nguyên dương n  2 . Điền các số 1,2,3,,n 2 vào tất cả các ô vuông của một
bảng vuông kích thước n  n , mỗi số một ô vuông. Chứng minh rằng: tồn tại hai ô vuông
kề nhau (có chung một cạnh) mà hiệu hai số trong đó không nhỏ hơn n.

.............................HẾT................................