Khó rất khó
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (910.44 KB, 12 trang )
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO MIN MAX
TỔNG TÍCH – ĐA THỨC – NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
Tạp chí và tư liệu toán học
Các bài toán ở phần này đa phần là các bài toán khó tới rất khó, một số có thể không phù
hợp với kì thi THPT Quốc Gia nên chỉ mang tính chất giới thiệu và tham khảo, tránh đi
sâu vào những vấn đề không cần thiết. Để có thể làm được đa phần các bài toán ở đây cần
nắm được các kiến thức về bất đẳng thức cơ bản như AM – GM, Cauchy – Schwarz, v.v..
các phép biến đổi, đa thức Chebyshev… Các bạn có thể đón chờ lời giải trong thời gian sắp
tới, còn sau đây là các câu hỏi để các bạn luyện tập và làm thêm giải trí ngoài giờ học căng
thẳng Rất mong mọi người không ném đá!
Câu 1. Giả sử f x ax 3 bx 2 cx d có f x 1 với mọi x 1; 1 . Tính tổng hệ số của
đa thức f x khi a b c d đạt giá trị lớn nhất.
A. 1
B. 1
C. 7
D. 7
Câu 2. Cho f x ax 2 bx c thỏa mãn f 1 , f 0 , f 1 1 . Tìm max của f x khi
x 1.
A.
5
4
B.
7
4
C.
3
2
Câu 3. Có bao nhiêu đa thức f x x 2 ax b thỏa mãn f x
A. 0
B. 1
C. Vô số
D.
5
3
1
với mọi x 1; 1 ?
2
D.
Câu 4. Cho đa thức f x ax bx c thỏa mãn f x 1 với mọi x 1; 1 . Tính giá trị
2
a4 b
của
khi 4a 2 3b 2 đạt giá trị lớn nhất.
c
A. 16
B. 8
C. 4
D. 2
Câu 5. Giả sử đa thức f x có bậc không vượt quá 4036 thỏa mãn f k 1 khi
k 2018; 2018 . Tìm max của f x với mọi x 2018; 2018
A. 2.2018
B. 2 2018
C. 4.2018
D. 4 2018
Câu 6. Cho hai đa thức f x 4x 3 ax và g x 4x 3 bx 2 cx d thỏa mãn điều kiện
f x , g x 1 với x 1; 1 .Tính a b c d .
A. 6
Câu 7. Cho f x a 0 x
B. 6
2018
a1x
C. 0
2017
D. 3
... a 2017 x a 2018 thỏa mãn f x 1 với mọi x 1; 1 .
Tìm giá trị lớn nhất của a 2018 x 2018 a 2017 x 2017 ... a 1 x a 0 với x 1; 1 .
A. 2 2017
B. 2 2017 1
C. 2 2018
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
D. 2 2018 1
Chinh phục olympic toán | 1
CÁC BÀI TOÁN MIN – MAX, ĐA THỨC, NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
Câu 8. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên n sao cho nếu Pn x a 0 x n a 1x n 1 ... a n 1x a n thỏa
mãn Pn x 1 với mọi x 1; 1 thë khi đó Pn ' x n 2 với mọi x 1; 1 ?
A. 0
B. 1
C. Vô số
D. Đáp án khác
Câu 9. Gọi k, e là 2 số thực để giá trị lớn nhất của hàm số y x 2 kx e trên đoạn 1; 3
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính k e ?
A. 1
B. 1
C. 3
D. 3
Câu 10. Cho đa thức P x thỏa mãn P 0 P 1 0 và giá trị nhỏ nhất của P x trên
đoạn 0; 1 bằng -1. Tìm giá trị nhỏ nhất của max P x khi x 0; 1 .
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
Câu 11. Gọi a, b là 2 số thực để giá trị lớn nhất của hàm số y
2;6
x2
ax b trên đoạn
x1
đạt giá trị nhỏ nhất. Hỏi a b gần nhất với số nào sau đây?
A. 5
B.
11
2
D.
C. 6
13
2
Câu 12. Phương trënh 8x 1 2x 2 8x 4 8x 2 1 1 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng
0; 1 ?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 13. Tìm số nghiệm dương của phương trënh x 2x 8x x 9x 1 0 .
5
A. 1
B. 2
Câu 14. Hỏi phương trënh 1 x
A. 0
B. 1
C. 3
4
3
2
D. 4
x2 x3
x2018
...
0 có bao nhiêu nghiệm thực ?
2
3
2018
C. 2018
D. 2017
Câu 15. Với các số thực dương a, b, c, d thỏa mãn a b 1 7c ta xét hai đa thức
P x x 3 ax 2 bx c và Q x x 2 2x d . Hỏi phương trënh P Q x 0 có tối đa bao
nhiêu nghiệm thực phân biệt ?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 16. Cho a,b,c là 3số nguyên phân biệt và đa thức P x có các hệ số nguyên sao
cho P a P b P c 2 .Hỏi phương trënh P x 3 0 có bao nhiêu nghiệm nguyên ?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
5
9
13
Câu 17. Tính tổng tất cả các hệ số của đa thức nhận các số tan , tan
, tan
, tan
16
16
16
16
B. 1
C. 4
làm nghiệm.
A. 1
D. 3
Câu 18. Giả sử đa thức hệ số thực f x có ít nhất 2 nghiệm thực. Hỏi đa thức
P x f x f ' x có ít nhất bao nhiêu nghiệm thực ?
2 | Chinh phục olympic toán
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
A. 1
B. 2
C. 3
Câu 19. Cho các hệ số a, b, c
D. 4
của phương trënh x 3 ax 2 bx c 0 thỏa mãn
a , b , c 2016 . Hỏi phương trënh có thể có bao nhiêu nghiệm lớn hơn 2017 ?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
n
Câu 20. Giả sử f x là đa thức bậc n có hệ số thực thỏa mãn f 0, f ' 0,..., f 0
với R . Hỏi f x có bao nhiêu nghiệm thực lớn hơn ?
A. 0
B. 1
C. n
D. 4
Câu 21. Giả sử tất cả các nghiệm của đa thức f x bậc n đều là số thực. Hỏi đa thức
af x f ' x có bao nhiêu nghiệm không phải là số thực ( a R ) ?
A. 0
B. 1
C. n
D. n 1
Câu 22. Giả sử a, b là 2 trong 4 nghiệm của đa thức x 4 x 3 1 . Hỏi số nào dưới đây là
nghiệm của đa thức x 6 x 4 x 3 x 2 1 ?
A. a b
B. a b
C. ab
2
Câu 23. Cho biết bất phương trënh
D.
ab
1
3
5
2011
...
2 có tập nghiệm là
x1 x3 x5
x 2011
hợp các khoảng rời nhau. Tính tổng độ dài các khoảng nghiệm.
1010025
1012036
1014049
A.
B.
C.
2
2
2
D.
1016064
2
Câu 24. Cho đa thức f x bậc n có n nghiệm thực phân biệt. Cho biết tập tất các số thực
để
f '
f
2018 là hợp của một số hữu hạn khoảng không giao nhau. Tổng độ dài các
khoảng đó là ?
B.
A. n
n
2018
C. 2018
D. 2018n
Câu 25. Cho P x x 4 4x 3 mx 2 nx p có 4 nghiệm a, b, c,d thỏa mãn điều kiện
sau a 16 b16 c16 d 16 4 .Tính ab.log cd .
A. e
B. 1
C. e 2
D. 0
Câu 26. Với các số thực a, b, c giả sử đa thức P x x 4 ax 3 bx 2 cx 1 có ít nhất 1
nghiệm thực. Hỏi có bao nhiêu bộ số a, b, c để a 2 b 2 c 2 đạt giá trị nhỏ nhất ?
A. 1
B. 2
Câu 27. Cho f x x a 1 x
n
C. 3
n 1
D. 4
... a n 1 x a n có n nghiệm thực phân biệt ( n là số nguyên
dương). Giả sử rằng a1 3 , a 2 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của n .
A. 1
B. 2
C. 3
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
D. 4
Chinh phục olympic toán | 3
CÁC BÀI TOÁN MIN – MAX, ĐA THỨC, NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
Câu 28. Xét các đa thức P x ax 2 bx c có các hệ số là các số nguyên và a 0 sao cho
P x có 2 nghiệm phân biệt trong khoảng 0; 1 . Tìm tổng hệ số của đa thức có hệ số a
nhỏ nhất.
A. 1
B. 1
C. 7
D. 7
Câu 29. Cho hàm số f x cos 2x a cos x . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau
2
2
min f x max f x .
xR
xR
1
3
A.
C.
B. 2
D. 2
2
2
sin 2x cos 2x 1
Câu 30. Cho f x
với x R . Gọi M, m lần lượt là max và min của
2 sin 2x
f x . Tính tổng M m .
A. e
B. 1
C. e 2
D. 0
Câu 31. Cho f x a1 sin b1 x a 2 sin b 2 x ... a 2018 sin b 2018 x . Giả sử f x sin x với mọi
x 1; 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. a1 b1 a 2 b 2 ... a 2018 b 2018 1
B. a1 b1 a 2 b 2 ... a 2018 b 2018 1
C. a1 b2018 a 2 b2017 ... a 2018 b1 1
D. a1 b2018 a 2 b2017 ... a 2018 b1 1
Câu 32. Giả sử với mọi x R ta luôn có a 0 a 1 cos x a 2 cos 2x ... a 2018 cos 2018x 0
( a i R ). Khẳng định nào sau đây là đúng nhất ?
A. a 0 0
B. a 0 0
C. a 0 0
D. a 0 0
Câu 33. Cho các số thực a, b, m, n sao cho f x 1 a cos x b sin x m cos 2x n cos 2x
thỏa mãn f x 0 với mọi x R .Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?
A. a 2 b 2 1
B. m 2 n 2 1
C. a 2 b 2 1
D. m 2 n 2 1
Câu 34. Giả sử f x 2x 3 ax 2 bx c có nghiệm x 0 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
max a , b , c .
A. 0
B. 1
C. 4
D.
1
3
Câu 35. Giả sử đa thức f x x 2017 a 1x 2016 ... a 2016 x 1 với các hệ số ak 0 k 1; 2016
có 2017 nghiệm thực. Tìm min của f 2017 .
A. 2018
B. 2018.2017
C.
2018
2017
D. 2018 2017
Câu 36. Giả sử đa thức f x a 2n x 2n ... a 2 x 2 a 1x a 0 có tất cả hệ số a k 100; 101 . Tìm
số tự nhiên n nhỏ nhất để f x có ít nhất 1 nghiệm thực.
A. 99
4 | Chinh phục olympic toán
B. 100
C. 49
D. 50
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Câu 37. Giả sử k là số thực lớn nhất thỏa mãn tính chất: Tất cả các đa thức bậc 4
f x x 4 ax 3 bx 2 cx d với 4 nghiệm thực dương đều thỏa mãn bất đẳng thức
b a c kd . Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. k 100; 102
B. k 195; 197
C. k 193; 195
2
D. k 98; 100
Câu 38. Có bao nhiêu số nguyên dương n sao cho với đa thức hệ số thực f x bậc n có n
nghiệm thực thì ta luôn có n 1 f ' a nf a f '' a với mọi a R ?
2
A. 0
B. 1
C. 2
D. Vô số
Câu 39. Cho số tự nhiên n 1 và f x x 2018 20182 x 2017 a 1 x 2017 ... a 2016 x 1 với tất cả các
hệ số a i 0 . Giả sử f x có 2018 nghiệm thực. Gọi M, m lần lượt là max và min của
f 2018 . Hỏi
2018
M
gần nhất với giá trị nào sau đây ?
m
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Câu 40. Cho a,b,c là 3 số nguyên phân biệt. Hỏi có bao nhiêu đa thức P x có các hệ số là
các số nguyên sao cho P a b, P b c, P c a ?
A. 1
B. 0
C. 2
D. 3
Câu 41. Gọi là nghiệm lớn nhất của x 3x 1 0 . Hỏi có bao nhiêu chữ số khác nhau
3
2
trong các chữ số 0; 1; 2;...; 9 trong 336 chữ số liên tiếp đầu tiên sau dấu phẩy của 2018 trong
biểu diễn dạng số thập phân.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Câu 42. Xác định hệ số tự do a 0 của đa thức hệ số nguyên f x a n x n ... a 1 x a 0 biết
rằng a0 1000 và f 18 f 89 2016
A. 414
B. 413
C. 425
D. 414
Câu 43. Giả sử đa thức hệ số nguyên f x nhận 1 và 2 làm hai nghiệm. Hỏi f x có ít nhất
bao nhiều hệ số không lớn hơn 2 ?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 44. Cho đa thức f x bậc 5 có 5 nghiệm thực phân biệt. Tìm số nhỏ nhất trong các hệ
số khác 0 của f x ?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 45. Với a, b là hai số nguyên, giả sử phương trënh x ax bx ax 1 0 có 2 trong
4
3
2
số các nghiệm có tích bằng 1 . Tích a.b có giá trị là ?
A. 3
B. 1
C. 2
D. 0
Câu 46. Xác định hệ số của x trong khai triển của đa thức
2
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 5
CÁC BÀI TOÁN MIN – MAX, ĐA THỨC, NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
2
P2018 x ... x 2 2
2
2
2
2 ... 2
2
Biết rằng đa thức trên có 2018 dấu ngoặc.
4 4035 4 2018
A.
3
4 4036 4 2017
B.
3
4 4035 4 2017
C.
3
4 4036 4 2018
D.
3
Câu 47. Tìm số nghiệm của đa thức f x biết f x thỏa mãn f f x f x .
2
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 48. Giả sử 2016 2016 được biểu diễn thành đa thức của , . Xác định tổng các
hệ số của đa thức ấy.
1
A.
2
C.
B. 2
2018
Câu 49. Tính tích T sin
k 1
A.
4037
2 2018
B.
3
2
D. 2
k
.
4037
4036
2 2018
4037
2 2017
C.
D.
4036
2 2017
Câu 50. Tính tổng sau:
T tan 4
5
9
13
5
9
13
tan 4
tan 4
tan 4
4 tan 3
tan 3
tan 3
tan 3
16
16
16
16
16
16
16
16
A. 146
B. 147
C. 148
D. 149
1
1
Câu 51. Cho các số thực a, b, c,d thỏa mãn: Hai đồ thị hàm y 2a
và y 2c
xb
xd
1
1
cắt nhau tại đúng 1 điểm. Hỏi hai đồ thị hàm y 2b
và y 2d
cắt nhau tại
xa
xc
B. 1
C. 2
bao nhiêu điểm ?
A. 0
Câu 52. Giả sử k là số thực lớn nhất thỏa mãn
D. 3
1
1
k
2 1 2 đúng với x 0; .
2
sin x x
2
Giá trị của k là ?
A. 5
B. 2
C. 4
D. 6
Câu 53. Giả sử f x x 5 x 2 1 có 5 nghiệm là x 1 , x 2 , x 3 , x 4 và x 5 . Đặt q x x 2 2 . Tính
5
P q xi .
i 1
A. 20
B. 21
C. 23
D. 22
Câu 54. Biết hai đa thức f x 2x 3 3ax 2 6x 1 và g x 2x 3 3bx 2 12x 4 có chung ít
nhất một điểm cực trị. Tìm giá trị nhỏ nhất của a b .
A. 2 2 2
6 | Chinh phục olympic toán
B. 2 6
C. 3 2
D. 3 6
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Câu 55. Với số nguyên n 2 . Giả sử a 0 , a 1 ,..., a n 1 là các số hữu tỷ thỏa mãn phương trënh
a0 a1 n 3 ... a n 1 n 3n 1 0 . Tính a0 a1 n 2018 ... a n 1 n 2018n 1
A. 2018
C.
B. 0
2018
3
D.
3
2018
Câu 56. Kí hiệu a n là giá trị nhỏ nhất của đa thức fn x x 2n x 2n 1 ... x 2 x 1 với mỗi
số tự nhiên n. Tính lim a n .
A.
1
2
B.
Câu 57. Giả sử f x
1
3
C.
1
4
D.
1
5
3x 1
. Đặt g n x f ... f x ... với n lần f. Xác định số nguyên
x 3
dương n lớn nhất nhỏ hơn 2018 sao cho g n x x .
A. 2014
B. 2015
4n
2
Câu 58. Giả sử S 1
k 1
C. 2016
D. 2017
n
1
1
và S 2 3 . Gọi A là tập hợp các số tự nhiên n sao cho
k
k
k 1
S 1 S 2 . Tính số phần tử của tập A ?
A. Vô số
B. 1
C. 2
D. 0
Câu 59. Cho biết với mọi x 1 đều tồn tại một tam giác mà số đo các cạnh là những số
P1 x x 4 x 3 2x 2 x 1, P2 x 2x 3 x 2 2x 1, P3 x x 4 1
Hỏi có bao nhiêu khẳng định sai trong các khẳng định sau đây ?
a. Cạnh có độ dài lớn nhất của tam giác ứng với P1 x
b. Chỉ có 1 giá trị x để cạnh có độ dài nhỏ nhất của tam giác ứng với P3 x
c. Các tam giác đó ứng với mọi x 1 cho trước có số đo góc lớn nhất khác nhau
d. Số đo của góc lớn nhất của tam giác khi x 2018 là
3
A. 5
B. 2
C. 4
D. 6
Câu 60. Cho đa thức f x có bậc là 2018 nhận đường thẳng x 2018 làm trục đối xứng.
2017
Tính giá trị của biểu thức f ' 2018 f ''' 2018 ... f 2018
A. Vô số
B. 1
C. 2
D. 0
Câu 61: Cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn f 0 1, f 1 1, f 1 1 với f x ax 2 bx c .
Tìm giá trị lớn nhất của f x trên đoạn 1; 1
A.
1
4
B.
5
4
C.
3
4
D.
Câu 62: Tìm S p q biết rằng p 0 và q 2 số thực để hàm số y
3
2
x 2 px q
có giá trị
x2 1
lớn nhất bằng 9 và giá trị nhỏ nhất bằng 1
A. 14
B. 13
C. 15
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
D. 16
Chinh phục olympic toán | 7
CÁC BÀI TOÁN MIN – MAX, ĐA THỨC, NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
Câu 63: Tìm giá trị của nguyên dương của tham số a 0 sao cho hàm số f x
đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là các số nguyên trên miền nghiệm x
A. 6
B. 8
C. 10
12x x a
x2 36
?
D. 12
Câu 64: Cho P x ax 2 bx c thỏa mãn điều kiện P x 1, x 0; 1 . Tìm giá trị nhỏ
nhất của b?
A. 7
B. 6
C. 9
D. 8
Câu 65: Cho 2 số a,b thỏa mãn 2a 2 b 2 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của S 2a 1 2b 1 .
A.
1
3
2
B.
C.
1 2 2
D.
1 3
1 2 3
Câu 66: Cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn abc a c b . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
2
3
P 2
2
2
a 1 b 1 c 1
7
9
10
13
A.
B.
C.
D.
3
3
3
3
Câu 67: Xét phương trënh ax 3 x 2 bx 1 0 a 0, b 0 sao cho các nghiệm đều là các số
5a 2 3ab 2
thực dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
bằng?
a2 b a
A. 15 3
C. 11 6
B. 8 2
D. 12 3
Câu 68: Cho x,y nguyên không đồng thời bằng 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
y 5x 2 11xy 5y 2
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
Câu 69: Cho 2 tập hợp bằng nhau x, y, z, t 1930, 1945, 1975, 1995 . Có bao nhiêu bộ các
giá trị của x,y,z,t để biểu thức A x y y z z t t x đạt giá trị nhỏ nhất?
2
A. 5
B. 6
2
2
C. 7
Câu 70: Cho 2 hàm số f x ,g x là các hàm số xác định trên
2
D. 8
. Với mọi x,y ta giả sử
f x y f x y 2f x g y . Biết f x không đồng nhất bằng 0 và f x 1 . Tìm giá trị
lớn nhất của hàm số g y .
A. 0
B. 1
C. 2
D. 1
Câu 71: Cho hàm số f x x 4 ax 3 bx 2 cx d . Tính tổng S a b c d khi giá trị lớn
nhất của f x với x 1; 3 đạt giá trị bé nhất?
A. 0
B. 1
C. 2
Câu 72: Cho hàm số f xác định trên tập số thực, lấy giá trị trên
D. 1
và thỏa mãn điều kiện
f cot x sin 2x cos 2x, x 0; . Gọi m, n lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số
g x f sin 2 x .f cos 2 x trên
8 | Chinh phục olympic toán
. Tính tổng S m n
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
A.
24
25
C.
B. 1
21
25
D.
4
5
Câu 73: Cho hàm số f x ax 4 bx 2 c a 0 có min f x f 1 . Giá trị nhỏ nhất của
;0
1
hàm số y f x trên đoạn ; 2 bằng?
2
7a
B. c
A. c 8a
16
Câu 74: Cho hàm số f : 0;
C. c
9a
16
D. c a
1
, x 0; .
4
tan x
4
thỏa mãn f tan 2x tan 4 x
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y f sin x f cos x trên 0;
2
A. 194
B. 195
C. 196
Câu 75: Cho hàm số f x xác định trên
f tan x
D. 197
và thỏa mãn điều kiện
1
sin 2x cos 2x, x ;
2
2 2
Với a, b là hai số thực thay đổi thỏa mãn a b 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của S f a f b
A.
1
25
B.
1
2
C.
53 5
2
D.
53 5
2
Câu 76: Cho f x a 1 x 1 2a b 1 x 1 8a 4b biết max f x f 3 . Tìm
4
2
;0
1
giá trị lớn nhất của hàm số f x trên đoạn ; 3
2
A. 12
B. 11
C. 10
D. 13
Câu 77: Cho 2 hàm số y f x , y g x liên tục và có đạo hàm trên đoạn 1; 1 thỏa mãn
f x 0,g x 0, x 1; 1 và f ' x g ' x 0, x 1; 1 . Gọi m là giá trị nhỏ nhất của
hàm số h x 2f x g x g 2 x trên đoạn 1; 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. m h 1
B. m h 0
C. m
h 1 h 1
2
D. m h 1
Câu 78: Cho 3 số a, b, c sao cho hàm số f x ax 2 bx c thỏa mãn f x 1, x 1; 1
8
và a 0 sao cho P a 2 2b 2 đạt giá trị lớn nhất. Tính tổng S a b c
3
A. 0
B. 1
C. 2
Câu 79: Cho x,y dương. Tëm GTNN của f x, y
A. 0
B. 1
D. 3
4
4
2
2
y
y
x
x
x y
4 2 2
4
y
x
y
x
y x
C. 2
D. 3
Câu 80: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a 2 b 2 để hàm số sau có đồ thị cắt trục hoành
f x x 4 ax 3 bx 2 ax 1
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 9
CÁC BÀI TOÁN MIN – MAX, ĐA THỨC, NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
A.
4
3
B.
4
5
C.
7
6
D.
8
5
Câu 81: Với a,b,c thỏa mãn điều kiện 1 a b c 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2
b
c
4
P a 1 1 1 1
a
b
c
2
A. 12 8 2
2
B. 12 8 2
C. 2 8 2
D. 8 8 2
Câu 82: Cho a, b, c, d là các số nguyên thuộc đoạn 1; 100 và a b c d . Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức f a, b, c,d
A.
99
360
B.
a 2c
b d
28
99
C.
3
10
D.
99
350
Câu 83: Cho 4 số thực x, a, b, c thỏa mãn a 2 b2 c2 4, x 0; . Gọi M, m lần lượt là
2
GTLN và GTNN của hàm số y a b 2 sin x c sin 2x . Tính tổng S M m
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Câu 84: Cho 3 số thực a, b, c thỏa mãn ax bx c 10, x 1; 1 biết a 0 và đồng thời
2
biểu thức S a b c đạt giá trị lớn nhất. Tính tổng P a b c
A. 0
B. 10
C. 20
D. 30
Câu 85: Cho c là một số thực tùy ý và x, y, z, a, b là các số thực dương thỏa mãn đồng thời
1 1 1
1 1 1
a
điều kiện x y z
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P b x y z c
x y z
9b ac 2
b 2 c 9a
A.
b
a 2 c 3c
B.
a
a 2 c 9b
a 2 b 9c
C.
D.
a
c
x y z t 0
Câu 86: Cho 4 số thực x, y, z, t sao cho 2
. Gọi M, m lần lượt là GTLN và
2
2
2
x y z t 1
GTNN của P xy yz zt tx . Tính tổng S M m
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
a b c d
Câu 87: Cho 4 ố thực a, b, c,d khác nhau thỏa mãn điều kiện 4, ac bd .
b c d a
a b c d
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S
c d a b
A. 10
B. 11
C. 13
Câu 88: Xét tất cả các tam thức bậc hai f x ax 2 bx c 0, x
giá trị nhỏ nhất của biểu thức S
10 | Chinh phục olympic toán
D. 12
trong đó a b . Tìm
abc
ba
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Câu 89: Cho hàm số y ax 3 bx 2 cx d có đồ thị C . Biết C cắt trục hoành tại ba
điểm phân biệt có hoành độ x 1 x 2 x 3 0 và trung điểm đoạn nối 2 điểm cực trị của
C có hoành độ
x 0 1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức S x1 x1 x2 3 x1 x 2 x 3 là
m, n là các số nguyên dương và
A. 9
m
là phân số tối giản. Tính P 2m 3n
n
B. 11
Câu 90: Cho hàm số y
m
với
n
C. 14
x2 sin x sin 1
x1
D. 15
C . Tìm
để C sao cho khoảng cách
giữa 2 điểm cực đại và cực tiểu là lớn nhất ?
A. k2
B. k
4
4
C. k2
D. k
2
3
1
Câu 91: Tìm số hạng lớn nhất của dãy số x n n 4 20n 3 n 2 13n, n
2
33955
34915
33915
37715
A.
B.
C.
D.
2
2
2
2
2mx y 3m
Câu 92: Biết rằng hệ phương trënh 2
có nghiệm x1 , y 1 , x 2 , y 2 . Tìm giá trị
2
x y 4y
lớn nhất của biểu thức P x 2 x 1 y 2 y 1
2
A. 9
C. 14
2
B. 16
D. 15
a b 1 2 a b
Câu 93: Cho a, b, c, d là 4 số thực thỏa mãn 2
. Gọi M, m lần lượt là
2
c d 36 12 c d
2
2
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a c b d . Tính M m ?
2
A. 197
B. 198
2
C. 199
D. 200
Câu 94: Cho a, b, c, d là 4 số thực thỏa mãn a 2 b 2 c 2 d 2 5 . Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức S 5 a 2b 5 c 2d 5 ac bd
A.
3 30
4
B.
3 30
5
C. 3 30
D.
3 30
2
Câu 95: Cho a, b, c, d là 4 số thực thỏa mãn a 2 c 2 1; b 2 d 2 1 . Tìm giá trị lớn nhất của
2
ab cd
biểu thức S 1 a c 1 b d 2 1
2 2
2
A. 0
2
2
2
2
B. 1
C. 2
D. 3
Câu 96: Cho 2 số thực a,b thỏa mãn a b 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
2
S 20a 3 15a 36b 48b 3 .
A. 14
B. 16
C. 13
D. 15
Câu 97: Với y i x 0, y 1 y 2 y 2 y 3 ... y n y 1 1 , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 11
CÁC BÀI TOÁN MIN – MAX, ĐA THỨC, NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
f x, y
A.
2
B. 2 2
x y x y xy 1 xy 1
x2 1 y2 1
C. 3 2
D. 4 2
Câu 98: Cho 2 số x,y thỏa mãn x 2y sin x cos x sin 2 2x 5 5 x 2 4y 2 . Khi
4
đó giá trị của biểu thức P sin 2x cos y có giá trị bằng bao nhiêu?
A. 0
B. 1
C. 2
Câu 99: Biết rằng hàm số f x liên tục và với mọi x
D. 3
thì f x có thể nhận một trong các
giá trị 0, 1, 1, x, x, x 2 , x 2 . Hỏi có tất cả bao nhiêu hàm số khác nhau thỏa mãn đề bài?
Hai hàm số f1 x , f2 x được gọi là khác nhau nếu có a
A. 64
B. 187
C. 153
mà f1 a f2 a
D. 197
n
1
1
Câu 100: Với n là số nguyên dương và x 0 , xét khai triển Newton x8 x 3 2 7 .
x x
Hỏi có bao nhiêu số n 2018 sao cho khai triển của biểu thức trên có số hạng tự do là 0 ?
A. 1009
B. 403
12 | Chinh phục olympic toán
C. 1615
D. 625
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
