cêva va meneleuyt

Chứng minh ba đờng thẳng đồng quy có thể đa về việc chứng minh ba
điểm thẳng hàng và ngợc lại.
Bài tập1:
Cho ABC lấy E, F, M thứ tự trên cạnh AC, AB, sao cho EF//BC. MB = MC. Chứng
minh: CF, BE , AM đồng quy.

Cách 1: (chứng minh đồng quy)
Gọi AM EF = K
Theo định lý Talét:
KM
AK
BF
AF
=
;
AK
KM
AE
CE
=
; và
1
=
CM
BM
Suy ra
BF
AF
.
CM
BM

.
AE
CE
= 1
áp dụng định lý Ceva cho ABC ta có: CF, BE , AM đồng quy.

Cách 2: (chứng minh thẳng hàng)
Từ A kẻ đờng thẳng // BC cắt BE tại N, AM BE = I
Ta có
BF
AF
=
BC
AN
;
MC
BC
=2;
AI
MI
=
AN
BM
Suy ra
BF
AF
.
MC
BC
.

AI
MI
=
BC
AN
.2.
AN
BM
=1
áp dụng định lý Menenauyt cho ABM thì F,I,C thẳng hàng.
Từ đó suy ra CF, BE , AM đồng quy.
Bài tập 2: Cho đờng tròn nội tiếp ABC tiếp xúc các cạnh BC, CA, AB lần lợt tại D, E,
F. Chứng minh AD, BE, CF đồng quy.

Cách 1: (chứng minh đồng quy)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau:
AF = AE; BF = BD; CE = CD
Suy ra:
BF
AF
.
CD
BD
.
AE
CE
=
BD
AE
.

CE
BD
.
AE
CE
=1
áp dụng định lý Ceva cho ABC suy ra AD, BE, CF đồng quy.

Cách 2: (chứng minh thẳng hàng)
Từ A kẻ đt song song với BC cắt CF tại N
AD CF = I. Ta có :
CE
AE
.
DB
CB
.
AI
DI
=
CD
AF
.
BF
CB
.
AN
CD
=
BF

AF
.
AN
CB
=
AN
CB
CB
AN
.
=1
áp dụng định lí Menenauyt cho ACD thì
AD, BE, CF đồng quy.
1
A
F
M
B
C
K
E
E
A
F
M
B
C
N
I
B

C
F
A
E
D
B
C
F
A
E
D
I
N
Bài tập 3: Cho tam giác ABC đờng cao AH. Lấy D,E thứ tự trên AB, AC sao cho AH là
phân giác góc DHE. Chứng minh: AH, BE, CD đồng quy.

Cách 1: (chứng minh đồng quy)
Từ A kẻ đt // BC cắt HE, HD tại M và N
Vì HA là phân giác của góc A, HA là đờng cao nên
AM = AN
Có:
BH
MA
BD
AD
=
;
AN
CH
AE

CE
=

1....
==
AN
CH
CH
BH
BH
MA
AE
CE
CH
BH
BD
AD
.
áp dụng định lý Ceva cho ABC suy ra AH, BE, CD đồng quy.

Cách 2: (chứng minh thẳng hàng)
Từ A kẻ đt // BC cắt HD, HE, BE lần lợt tại M, N, K
Gọi AH BE = I
Ta có:
BD
AD
=
BH
MA
=

BH
AN
và
AK
BH
AI
HI
=

.
BD
AD
CH
BH
.
AI
HI
=
AK
BH
HC
BC
BH
AN
..
=
AK
BC
HC
AN

.
=
AE
CE
CE
AE
.
=1
áp dụng định lí Menenauyt cho ABH thì D,I,C thẳng hàng.
Vậy AH, BE, CD đồng quy.
Bài tập 4:Cho ABC vuông tại A, đờng cao AK. Dựng bên ngoài tam giác những hình
vuông ABEF và ACGH. Chứng minh: AK, BG, CE đồng quy.

Cách 1: (chứng minh đồng quy)
Gọi D = AB CE, I = AC BG
Đặt AB = c, AC = b.
Có c
2
= BK.BC; b
2
= CK.BC
CK
BK
=
2
2
b
c
và
BD

AD
=
c
b
;
AI
CI
=
c
b
(do AIB CIG)

BD
AD
.
CK
BK
.
AI
CI
=
c
b
.
2
2
b
c
.
c

b
=1
áp dụng định lý Ceva cho ABC
thì AK, BG, CE đồng quy.

Cách 2: (chứng minh thẳng hàng)
Từ A kẻ đờng thẳng song song với BC
cắt BG tại M. AK BG tại O.
2
A
B
C
D
M N
H
E
A
B
C
D
M N
H
E
K
I
H
A
B
G
E

C
K
D
I
F
H
A
B
G
E
C
K
D
I
F
M
O
Ta cã
BD
AD
=
c
b
;
AO
KO
=
AM
BK
suy ra

BD
AD
.
CK
BC
.
AO
KO
=
c
b
.
CK
BC
.
AM
BK
=
c
b
.
AM
BC
.
CK
BK
=
c
b
.

AI
CI
.
2
2
b
c
=
c
b
.
c
b
2
2
b
c
=1
¸p dông ®Þnh lý Menenauyt cho ∆ABK th× D, O, C th¼ng hµng.
VËy AK, BG, CE ®ång quy.
3