Van de tinh toan voi cac so lon

Vấn đề tính toán với các số lớn
Vấn đề tính toán với các số lớn có ý nghĩa rất lớn trong thực tế. Chẳng hạn, thuật toán mã
hoá công khai RSA (do Rivers, Shamir và Adleman viết ra vào năm 1978) sử dụng tới 512 số khoá
(thuật toán này có liên quan đến việc phân tích các số nguyên tố). Trong nhiều ngành khoa học kỹ
thuật khác, chúng ta còn phải sử dụng tới các con số lớn hơn thế rất nhiều. Trong bài báo này,
chúng tôi muốn trình bày với đọc giả đôi nét xung quanh vấn đề tính toán với số lớn qua các phép
toán phổ biến như: cộng, trừ, nhân, chia, khai căn, luỹ thừa và kiểm tra tính nguyên tố.
Trước hết chúng ta cùng bàn về một số môi trường lập trình để thể hiện chương trình tính
toán với số lớn:
Với ngôn ngữ lập trình Pascal: Nếu sử dụng cấu trúc dữ liệu (CTDL) kiểu chuỗi thì chỉ có thể
thao tác với các số trong phạm vi 255 chữ số; nếu sử dụng CTDL kiểu mảng thì có thể thao tác với
các số lớn vượt xa giới hạn 255 chữ số gấp nhiều lần, có thể đạt tới hàng ngàn chữ số (lưu ý khi
làm việc với CTDL mảng là kích thước của mảng cho phép khai báo một số rất lớn nhưng vẫn bị
hạn chế vì bộ nhớ dành cho mảng là 64K); cách làm khác là sử dụng con trỏ để khai thác vùng nhớ
Heap của máy tính, bằng cách sử dụng CTDL kiểu mảng động để thao tác với các số lớn tới hàng tỉ
con số (vì kích thước mảng động phụ thuộc vào dung lượng Ram thực tế của máy tính).
Với ngôn ngữ lập trình Delphi hay Java ta có thể thao tác với các số lớn tới hàng tỉ con số
thông qua CTDL kiểu chuỗi hay CTDL kiểu mảng.
Ngoài ra, cũng có thể sử dụng các ngôn ngữ thông dụng khác như C/C++ để viết chương
trình. Chúng ta tạm thời thoả thuận với nhau rằng: tuỳ thuộc yêu cầu mà lựa chọn môi trường lập
trình cũng như CTDL phù hợp. Vấn đề quan trọng là thuật toán thể hiện, phần tiếp theo sẽ trình
bày các thuật toán có liên quan.
1.Cộng hai số:
Để cộng hai số nguyên a và b ta thực hiện như phép cộng bằng tay hai số thông thường.
Tức là thực hiện lần lượt phép tính từ bên phải, sử dụng một biến trung gian để lưu phần dư tại mỗi
bước.
2.Trừ hai số:
Giả sử cần tìm c = a - b ( a=a
1
a
2

..a
n
; b=b
1
b
2
..b
m
; n? m), thuật toán được mô tả qua đoạn
chương trình sau:
du:=0;
for i:= n downto n-m +1 do
begin
tg:=a
i
-b
i
- du;
if (tg < 0) then
begin
du:=1;tg:=tg+10;
1
end;
else du:=0;
c
i
:=tg;
end;
for i:= n-m to 1 do{chuyển đoạn đầu còn lại (nếu có) của a vào c}
begin

c
i
:= (a
i
+du ) mod 10;
du:=(a+du) div 10;
end;
if (du>0) then c
0
:= du;
3.Nhân hai số:
Thuật toán này có thể dễ dàng suy ra từ thuật toán cộng hai số, xin dành cho bạn đọc tự
tìm hiểu.
4.Chia hai số:
- Cắt lần lượt từng "đoạn" của số bị chia tính từ bên trái (có cộng thêm phần dư của các
bước trung gian).
- Đem chia các đoạn đó cho số chia bằng phép toán trừ.
- Thương tìm được chính là dãy các số là kết quả của phép chia các "đoạn" cho số chia
(được phát triển dần về phía bên phải).
- Phần dư của phép chia chính là "đoạn" còn lại không thể chia được nữa.
5.Khai căn bậc hai của một số nguyên X (kết quả là một số nguyên) :
b:=1;
l:=<số chữ số của X>;
{chia số X thành tập các số ai có hai chữ số tính từ trái, riêng số a1 có thể có một hoặc hai
chữ số tuỳ theo l chãn hay lẻ }
If ( l div 2 =1) then
Begin j:=1;
Y[j]:=X[1]; i:=2;
End Else
2

Begin i:=1;j:=0; end;
While (i<l) do
Begin
j:=j+1;
Y[j]:=X[i]*10+X[i+1];
i:=i+2;
end;
{ khởi tạo giá trị ban đầu}
a:=round(sqrt(Y[1]));s1:=Y[1]-a;i:=2;
Repeat
s2:=s1*10+Y[i] div 10;
b:=s2 div (2*a);
s2:=s2*10+Y[i] mod 10; i:=i+2;
s1:=20*a*b+b*b;
a:=a*10+b; s1:=s2-s1;
Until (i>=l);
Kết quả cần tìm chính là a.
Ví dụ: cần tính a=
{khởi tạo}
Y[1]=1;Y[2]=30;
a=1;s1=0;
{đoạn thủ tục lặp}
s2=3;
b=3 div(2*a)=1;i=3;
s2=30; s1=21;
a=a*10+b=11;
s1=9;
3
Ta được kết quả a=11.
Để chương trình thực hiện hiệu quả hơn, ta có thể cải thiện thuật toán đi đôi chút (chi tiết

về phần cài đặt bạn đọc có thể tham khảo trong chương trình. Nếu muốn tìm hiểu về chương trình
chi tiết, bạn có thể liên hệ với toà soạn).
6.Nâng lên luỹ thừa:
Giả sử cần tính b = ak. Thông thường ta sử dụng thuật toán sau:
b:= 1; for i:=1 to k do b:= b*a ;
Như vậy cần phải lặp k bước để tìm kết quả, đây là chi phí quá lớn (đặc biệt khi k lớn tới con
số hàng ngàn đơn vị). Ta cải tiến với ý tưởng sau:
b:=1;
while (k > 0) do
if (k mod 2 = 1) then
begin
b:= b*a;
k:=k- 1;
end
else
begin
a:=a*a;
k:=k div 2;
end;
Kết thúc vòng lặp ta thu được biến b chứa kết quả cần tìm. Tính đúng đắn của thuật toán
xin dành cho bạn đọc tự chứng minh.
7.Kiểm tra tính nguyên tố của một số A:
Có nhiều thuật toán để giải quyết vấn đề này, nhưng cần phải đưa ra được một thuật toán
hiệu quả cho bài toán số lớn ở đây. Cơ sở của thuật toán có thể dựa vào định lý số học sau:
"A là số nguyên tố khi A không chia hết cho bất kỳ một số ngyên tố nào trong dãy số:
d0=2, d1=3,.., dkÊ . Định lý vẫn đúng khi trong dãy có chứa một vài hợp số".
Vì vậy, ta chỉ cần kiểm tra tính không chia hết của A cho các số di được xây dựng như sau:
d0=2, d1=3, d2=5 và dk (k > 2)được tính dựa vào dk-1:
4
+Nếu k lẻ: dk =dk-1 +2

+Nếu k chãn: dk =dk-1 +4
(Ví dụ:d0=2, d1=3, d2=5, d3=7, d4=11, d5=13, d6=19? ).
Nếu xây dựng đầy đủ các phép toán này, ta sẽ có một công cụ cá nhân khá hoàn chỉnh cho
phép chúng ta thao tác với số lớn.
Thí dụ minh hoạ:
Chia hai số nguyên trên ngôn ngữ lập trình Pascal. Dữ liệu vào được cho trong tệp
CHIA.INP gồm hai dãy số theo thứ tự là số bị chia và số chia. Mỗi dãy gồm nhiều dòng, mỗi dòng
có độ dài không lớn hơn 80 kí tự số. Hai dãy cách nhau một dòng trống. Dữ liệu ra được ghi vào
tệp CHIA.OUT gồm hai dãy số theo thứ tự là thương số và phần dư của phép chia. Quy tắc ghi hai
dãy số này cũng tương tự như trên.
Ví dụ: CHIA.INP CHIA.OUT
40 2
15 10
Toàn bộ chương trình như sau:
Program Phep_Chia_Hai_So_Lon;
var a,b,c:array[0..25000] of shortint;
l,la,lb,lc:integer;
Function ss(d,k:integer):boolean;
{so sanh hai day so: a[d]..a[k]va b[1]..b[lb]}
var ok,kt:boolean; i,j: integer;
begin
If k-d+1>lb then ok:=true
else if (k-d+1<lb )or (k>la) then ok:=false
else
begin
ok:=true;kt:=true;i:=d;j:=1;
while kt and(i<=k) do
if a[i] >b[j] then kt:=false
else
if a[i] <b[j] then

5