chuong 4(2) + bài giải công nghệ kim loại

Chương 4
CÔNG - NĂNG LƯỢNG
4.1 Công và công suất của lực-công và công suất của vật rắn quay
4.1.1 Công và công suất của lực
a. Công
G
Định nghĩa: Giả thiết có một lực F không đổi, điểm đặt của nó chuyển dời một đoạn
G

thẳng MM' = S (hình 4-1).

G
F

α
M

M'

Hình 4-1
G

Theo định nghĩa: công A do lực F sinh ra trong chuyển dời MM' là một đại lượng có trị số
cho bởi:
A = F.MM'.cosα
(4-1)
= F.S.cosα

hay:

G G

A = F.S

(4-2)

G
G
trong đó α là góc giữa véc tơ lực F và véc tơ dịch chuyển MM' = S

Đặt Fs = Fcosα, ta có:
A = Fs.S
- A > 0 khi α là góc nhọn =>
- A < 0 khi α là góc tù =>
- A = 0 khi α là góc vuông.

G
F sinh ra công phát động.
G
F sinh ra công cản.
G

Trường hợp tổng quát: điểm đặt của F chuyển dời trên một đường cong từ C đến D,
G
trong quá trình đó F thay đổi (hình 4-2).
G
ds
D
M
G
F

C
Hình 4-2

G

Khi đó công trong một chuyển dời vô cùng nhỏ ds được tính:
G G
dA = Fd s

(4-3)

42


Công trong chuyển dời CD được tính:

G G
A = ∫ dA = ∫ Fd s
CD

(4-4)

CD

b. Công suất
Giả thiết trong khoảng thời gian Δt, một lực nào đó sinh công ΔA. Theo định
nghĩa tỉ số:
P=

ΔA

Δt

(4-5)

gọi là công suất trung bình của lực đó trong khoảng thời gian Δt.
Khi cho Δt → 0, theo định nghĩa tỉ số

ΔA
dần về một giới hạn gọi là công suất tức
Δt

thời (gọi tắt là công suất) của lực và được ký hiệu là:
ΔΑ
dA
(4-6)
=
P = lim
Δt → 0

Δt

dt

Vậy: Công suất có giá trị bằng đạo hàm của công đối với thời gian.
Ta có:
hay:

G G
G d sG
dA = Fd s ⇒ P = F

dt
GG
P = F.v

(4-7)

Vậy: Công suất bằng tích vô hướng của lực tác dụng với véc tơ vận tốc của chuyển dời.
4.1.2 Công và công suất của vật rắn quay
Trường hợp vật rắn quay xung quanh một trục Δ cố định (hình 4-3), các lực tác
dụng đều là lực tiếp tuyến.
Δ

G
Ft

G
r

o

M

Hình 4-3

Ta có:
dA = Ftds

G
(giả sử Ft hướng theo chiều chuyển động)

mặt khác:

ds = r.dα
=> dA = r.Ft.dα

Theo định nghĩa: r.Ft = M
=> dA = r.Ft.dα = M.dα

43

(4-8)


dA
dα
=M
dt
dt
G G
P = M .ω
P=

Từ đó:
hay:

(4-9)

4.2 Năng lượng - định luật bảo toàn năng lượng
Năng lượng là một đại lượng đặc trưng cho mức độ vận động của vật chất.
Một vật ở một trạng thái xác định thì có một năng lượng xác định. Khi hệ chuyển

từ trạng thái 1 (có năng lượng là W1) sang trạng thái 2 (có năng lượng là W2): quá
trình này hệ nhận từ bên ngoài một công A. Thực nghiệm chứng tỏ:
(4-10)
W2_- W1= A
Vậy: Độ biến thiên năng lượng của một hệ trong một quá trình nào đó có giá trị bằng
công mà hệ nhận được từ bên ngoài trong quá trình đó.
-A > 0: năng lượng của hệ tăng.
-A < 0: năng lượng của hệ giảm.
(4-11)
-A = 0: hệ cô lập, khi đó W1 = W2 = const
Vậy: Năng lượng của một hệ cô lập được bảo toàn.
4.3 Động năng
4.3.1 Động năng và định lý động năng của chất điểm chuyển động
Động năng là phần cơ năng tương ứng với sự chuyển dời của các vật.
G

Xét một chất điểm có khối lượng m chịu tác dụng của một lực F và chuyển dời từ
vị trí 1 sang vị trí 2 (hình 4-4).
G
ds

2

M
G
F

1
Hình 4-4
G

Công của lực F trong quá trình là:
G G
A = ∫ Fd s
(2)

(1)

Trong đó:

G
G
G
dv
F = ma = m
dt
G
G G (2)
(2)
G dS
dv
⇒ A = ∫ m dS = ∫ mdv
dt
dt
(1)
(1)

44

G
(2)
⎛ v2
G G
A = ∫ mvdv = ∫ md⎜⎜
⎝ 2
(1)
(1)
(2)

A=

(2)

⎞
⎛ mv 2
⎟⎟ = ∫ d⎜⎜
⎠ (1) ⎝ 2

⎞
⎟⎟
⎠

mv 22
mv12
−
2
2

(4-12)

v1 và v2 lần lượt là vận tốc của chất điểm tại điểm 1 và điểm 2.
Ta có thể định nghĩa:
mv12
= Wđ1 là động năng của chất điểm tại vị trí 1.
2
mv 22
= Wđ2 là động năng của chất điểm tại vị trí 2.
2

Tổng quát:

Wđ =

mv 2
2

(4-13)

là động năng của chất điểm có khối lượng m và vận tốc v.
(4-12) được viết lại:
(4-14)
Wđ2 - Wđ1 = A
Định lý: Độ biến thiên động năng của một chất điểm trong một quãng đường nào đó
có giá trị bằng công của ngoại lực tác dụng lên chất điểm sinh ra trong quãng đường
đó.
4.3.2 Động năng và định lý động năng của vật rắn quay
Khi vật rắn quay xung quanh một trục Δ, biểu thức công vi phân:

Ta lại có:

G G GG
dA = FdS = Mω dt
G
G
dω
M=I
dt
G
G
⎛ ω2
G dω
G G
dt = Iω dω = Id⎜⎜
⇒ dA = Iω
dt
⎝ 2

⎞
⎟⎟
⎠

Trong khoảng thời gian hữu hạn, vận tốc biến thiên từ ω1 đến ω2, ta có:
A=

Iω 22 Iω12
−
2
2

(4-15)

Suy ra biểu thức động năng của vật rắn quay là:
Wđ =

Iω 2
2

(4-16)

Chú thích:
Trường hợp vật rắn vừa quay vừa tịnh tiến thì động năng toàn phần của vật rắn là:
Wđ =

mv 2
Iω 2
+
2
2

(4-17)

Trường hợp riêng: vật rắn đối xứng tròn xoay lăn không trượt, khi đó v =ωR do đó
động năng toàn phần của vật rắn là:

45


Wđ =

1⎛
I ⎞ 2
⎜ m + 2 ⎟v
2⎝
R ⎠

(4-18)

4.4 Trường lực thế và thế năng
4.4.1 Trường lực thế
a. Định nghĩa: Một chất điểm được gọi là chuyển động trong một trường lực nếu tại
G
mỗi vị trí của chất điểm đều xuất hiện một lực F tác dụng lên chất điểm ấy (hình 4-5).
G
ds

N

G
F

M
Hình 4-5
G G G
G
Nói chung F = F( r ) = F(x, y, z) , khi chất điểm chuyển động từ vị trí M đến vị trí N
G
bất kỳ thì công của lực F bằng:
G G
A MN = ∫ Fd s

MN

Nếu AMN không phụ thuộc vào đường dịch chuyển mà chỉ phụ thuộc vào M và N
G G
thì ta nói rằng F( r ) là một trường lực thế.
b. Những thí dụ về trường lực thế
- Trong phạm vi không gian không lớn lắm, trọng trường đều là một trường lực thế.
G
Ta tính công của trọng lực P khi chất điểm dịch chuyển trong trọng trường đều từ
M đến N (hình 4-6):
A MN =

∫

G G
Pds

MN

G

Trong một dịch chuyển nhỏ ds :

Hay

G G
dA = P.ds = P.ds.cosα
G G
dA = P.ds = − P.dz

46


z
M

zM

z

α

z-dz

G
ds

G
P

zN

N

Hình 4-6
N

A MN = - ∫ P.dz = PZM -PZ N

Suy ra

M

AMN = mgZM - mgZN
- Trường tĩnh điện Coulumb là một trường lực thế.
4.4.2 Thế năng
a. Định nghĩa: Thế năng của chất điểm trong trường lực thế là một hàm Wt phụ thuộc
vị trí của chất điểm sao cho:
AMN = Wt(M) - Wt(N)

(4-19)

=> thế năng của chất điểm tại một vị trí được định nghĩa sai khác nhau một hằng số
cộng.
(4-20)
Ví dụ:
Wt(Z) = mgZ + C
b. Tính chất
- Hiệu thế năng giữa hai vị trí hoàn toàn xác định.
A MN =

∫

G G
Fds = Wt(M) - Wt(N)

(4-21)

MN

Nếu M ≡ N (đường cong kín) thì:

G G
Fds
v∫ = 0

(4-22)

4.4.3 Ý nghĩa của thế năng
Thế năng là dạng năng lượng đặc trưng cho tương tác.
Ví dụ: Dạng thế năng của chất điểm trong trọng trường của quả đất là năng lượng đặc
trưng cho tương tác giữa quả đất với chất điểm; ta cũng có thể nói đó là thế năng tương
tác của quả đất với chất điểm.

47


4.5 Định luật bảo toàn cơ năng trong trường lực thế
4.5.1 Cơ năng
Khi chất điểm có khối lượng m chuyển động từ vị trí M đến vị trí N trong một
trường lực thế thì công của trường lực cho bởi:
AMN = Wt(M) - Wt(N)
Nhưng theo định lý về động năng ta có:
AMN = Wđ(N) - Wđ(M)
Suy ra

Wt(M) - Wt(N) = Wđ(N) - Wđ(M)

hay

(Wt + Wđ)(M) = (Wt + Wđ )(N)

(4-23)

Vậy:

W = Wt + Wđ = const

(4-24)

Tổng động năng và thế năng của chất điểm được gọi là cơ năng của chất điểm.
Định luật: Khi chất điểm chuyển động trong một trường lực thế (mà không chịu tác
dụng một lực nào khác) thì cơ năng của chất điểm là một đại lượng bảo toàn.
Ví dụ: Chất điểm m chuyển động trong trọng trường đều:
W = mgh +

mv 2
2

(4-25)

= const

mv2
= const nên trong quá trình chuyển động của chất điểm, nếu
Hệ quả: Vì W = mgh +
2

Wt tăng thì Wđ giảm và ngược lại, chỗ nào Wt cực đại thì Wđ cực tiểu và ngược lại.
G

Chú ý: Khi chất điểm còn chịu tác dụng của một lực F khác (như lực ma sát chẳng
hạn) thì nói chung cơ năng của chất điểm không được bảo toàn. Độ biến thiên cơ năng
G
của chất điểm bằng công của lực F .
4.5.2 Sơ đồ thế năng
Ta có Wt = Wt(x,y,z). Trường hợp thế năng chỉ phụ thuộc vào một toạ độ (ví dụ
x): Wt = Wt(x), khi đó đồ thị của Wt theo x gọi là sơ đồ thế năng. Sơ đồ thế năng của
chất điểm trong trường lực thế có thể giúp ta suy ra một số kết luận định tính về
chuyển động của chất điểm đó.
mv 2
+ Wt (x) = W = const
2

với

mv 2
≥ 0 => Wt(x) ≤ W : trong quá trình chuyển động, chất điểm chỉ đi qua những
2

vị trí tại đó thế năng của chất điểm không vượt quá cơ năng, hay toạ độ x của chất
điểm chỉ biến thiên trong một phạm vi nào đó.
Ví dụ 1:Một ôtô khối lượng 1 tấn, khi tắt máy chuyển động xuống dốc thì có vận tốc
không đổi v = 54km/h. Độ nghiêng của dốc là 4%. Hỏi động cơ ôtô phải có công suất
bao nhiêu để nó lên được dốc trên cùng với vận tốc v = 54km/h?
Giải

48

Gọi F là lực kéo của động cơ ôtô khi lên dốc. Để ôtô lên dốc với vận tốc không đổi v
thì:
F = mg(kcosα + sinα)
Công suất của động cơ ôtô khi lên dốc với vận tốc v được tính theo công thức:
P = F.v = mg.v(kcosα + sinα)
(*)
Theo giả thiết, khi tắt máy xuống dốc ôtô có vận tốc không đổi nên phải có:
mgsinα = fms = kmgcosα
suy ra hệ số ma sát : k = tgα
Thay giá trị của k vào (*), ta được:
P = 2mg.vsinα = 2.1000.9,8.15.0,04 = 11800 (W)
Ví dụ 2: Từ đỉnh tháp cao h = 20m, người ta ném một hòn đá khối lượng m= 50g theo
phương nghiêng với mặt phẳng nằm ngang, với vận tốc ban đầu v0 = 18m/s. Khi rơi tới
mặt đất, hòn đá có vận tốc v = 24m/s. Tính công của lực cản của không khí lên hòn đá.
Giải
Chọn mặt đất làm gốc tính thế năng. Cơ năng của hòn đá lúc ném:
mv02
W0 = mgh +
2

Khi rơi tới mặt đất, cơ năng của hòn đá:
W =

mv 2
2

Do có ma sát nên cơ năng của hòn đá không được bảo toàn. Hiệu cơ năng của hòn đá
bằng công của lực ma sát:
Ac =

m 2 2
(v -v 0 ) − mgh
2
50.10−3
(242 − 182 ) − 50.10−3.10.20 = −3,5( J )
=
2

BÀI TẬP
4.1 Một viên đạn khối lượng m=10 kg đang bay với vận tốc v=100m/s thì gặp một bản
gỗ dày và cắm sâu vào bản gỗ một đoạn s=4 cm. Tìm:
a. Lực cản trung bình của bản gỗ lên viên đạn.
b. Vận tốc viên đạn sau khi ra khỏi bản gỗ chỉ dày d=2 cm
Đáp số: a/ Ftb =125N
b/ v = 7,1m/s
4.2 Từ một đỉnh tháp cao h=20 cm người ta ném một hòn đá khối lượng 50g theo
phương nghiêng với mặt phẳng nằm ngang, với vận tốc ban đầu v0=18m/s. Khi rơi
tới mặt đất hòn đá có vận tốc v=24 m/s. Tính công của lực cản của không khí lên
hòn đá.
Đáp số: Ac =3,7J
4.3 Tính công cần thiết để làm cho một vô lăng hình vành khăn đường kính 1m, khối
lượng 500 kg đang đứng yên quay tới vận tốc 120 vòng/phút.

49


Đáp số: A =9859J
4.4 Hai vật có khối lượng m1=150kg và m2=100kg được nối bằng dây vắt qua ròng
rọc đặt ở đỉnh một mặt phẳng nghiêng góc 300 so với đường nằm ngang (hình 1).
Vật m1 trượt trên mặt phẳng nghiêng với hệ số ma sát là k. Thả cho hai vật chuyển

động, m2 đi được quãng đường h = 0,8m thì có vận tốc v=0,5m/s. Tính:
a. Hệ số ma sát k .
b. Lực căng dây (lấy g=10m/s2).
Giải bài toán trên bằng hai phương pháp:
-Phương pháp động lực học.
-Phương pháp năng lượng.

m1
m2
α
Hình 1

Đáp số: a/ k = 0,16
b/ T = 984N
4.5 Một vật nặng trượt trên mặt phẳng nghiêng rồi trượt trên mặt phẳng nằm ngang. hệ
số ma sát là k=0,1 trên cả hai đoạn đường (hình 2). Biết độ cao h = 1m và a = 5m.
a. Tính đoạn đường x mà vật đi được trên mặt phẳng nằm ngang.
b. Tìm điều kiện về k để vật trượt tới mặt phẳng nằm ngang.

h
a
Hình 2

Đáp số: a/ x =5m
h
b/ k <
a
4.6 Một vật có khối lượng m = 100kg được dịch chuyển trên một mặt sàn nằm ngang
dài 10m. Hệ số ma sát giữa vật và mặt sàn là k = 0,1. Tính công tối thiểu mà một
người cần thực hiện trong hai trường hợp sau:

a. Đẩy vật theo phương làm với đường nằm ngang góc 300 và hướng xuống dưới.
b. Kéo vật theo phương làm với đường nằm ngang góc 300 và hướng lên trên.
Đáp số: a/ A = 1061,7J
b/ A = 945,7J

50