đề tài dãy TRUY hồi

ĐẠI HỌC
QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN – ĐHQG TP.HCM

Khoa Toán- Tin học

ĐẠI SỐ SƠ CẤP

Đề tài:

DÃY TRUY HỒI
Giảng viên : TS. Tạ Thị Nguyệt Nga


X

Lời Mở Đầu

uất phát từ nhiều đam mê và yêu thích với lĩnh vực toán học,
chúng em luôn có mong muốn tìm tòi, tổng hợp những bài toán
có lời giải đẹp và khó trên những tạp chí toán trong nước và
nước ngoài. Trên cơ sở những bài toán sưu tầm được, chúng mở
rộng nó theo nhiều hướng khác nhau để được những bài toán mới lạ hơn,
hấp dẫn hơn. Nhằm giúp các bạn học sinh , sinh viên đang ôn luyện có thêm
một tài liệu hỗ trợ cho việc giải toán của mình, chúng em xin viết đề tài:
DÃY TRUY HỒI. Mong rằng qua đề tài này, các bạn sẽ tìm thấy được niềm
vui và những cảm xúc riêng trước những dạng toán, những bài toán hay mà
lâu nay trong những giáo trình căn bản các bạn ít gặp.
Với kinh nghiệm còn non trẻ của một nhóm sinh viên trong buổi đầu tìm
hiểu, chắc chắn rằng những kiến thức chúng em tìm hiểu được còn rất nhiều
những sai sót, rất mong sự chỉ dạy thêm của cô, sự đóng góp của các bạn

học sinh-sinh viên yêu thích toán để chúng em rút ra được nhiều kinh
nghiệm quý báu. Cuối cùng nhóm chúng em xin chân thành cảm ơn TS. Tạ
Thị Nguyệt Nga giảng viên khoa Toán-Tin, trường Đại học Khoa Học Tự
Nhiên TP.HCM đã động viên và tạo điều kiện cho nhóm chúng em nghiên
cứu đề tài này.

TRANG 2


MỤC LỤC

TRANG 3


1. Giới thiệu dãy truy hồi
1.1 Dãy và dãy truy hồi
Dãy (sequence) là một tập các số được liệt kê theo thứ tự. Nếu việc liệt kê là có kết thúc
thì dãy là hữu hạn (finite sequence), ngược lại, dãy là vô hạn (infinite sequence). Một
cách hình thức:

-

là dãy hữu hạn.
là dãy vô hạn.

Ta thường kí hiệu a(n) là an và gọi là số hạng thứn hay số hạng tổng quát của dãy. Khi đó
dãy còn được viết là với hay . Các phần tử được liệt kê a1, a2, a3, …, an, … được gọi là
khai triển của dãy.
Ví dụ:

-

1, 2, 3, 4, 5, …,
1, 3, 5, 7, 9, …,
2, 4, 6, 8, 10, …,
1, 2, 4, 8, 16, …,
2, 6, 18, 54, 162, …,
1, 2, 6, 24, 120, …,
1, 3, 6, 10, 15, 21, …,
1, 4, 9, 16, 25, …,
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …,

Những dãy mà số hạng có liên quan đến các số hạng trước thì thường được định nghĩa
một cách tự nhiên bằng đệ qui (recursion). Ta gọi các dãy như vậy là dãy đệ qui hay dãy
truy hồi (recursive sequence). Để định nghĩa dãy bằng đệ qui, ta đưa ra qui tắc để xây
dựng các phần tử của dãy bằng các phần tử trước đó. Hơn nữa, ta cần chỉ ra tường minh
các phần tử ban đầu của dãy. Nguyên lý qui nạp toán (mathematical induction principle)
có thể được dùng để chứng minh sự tồn tại duy nhất của dãy được định nghĩa như vậy.
Hơn nữa, nguyên lý qui nạp toán cũng thường được dùng để chứng minh các tính chất
của dãy truy hồi.
Ví dụ:

TRANG 4


-

1, 2, 3, 4, 5, …,
1, 3, 5, 7, 9, …,
2, 4, 6, 8, 10, …,

1, 2, 4, 8, 16, …,
2, 6, 18, 54, 162, …,
1, 2, 6, 24, 120, …,
1, 3, 6, 10, 15, 21, …,

1.2 Xác định quan hệ truy hồi cho dãy
Một câu hỏi đặt ra là từ công thức tường minh của số hạng tổng quát của dãy có thể đưa
ra được định nghĩa đệ qui cho dãy hay ngược lại từ định nghĩa đệ qui của dãy, có tìm
được công thức tường minh cho số hạng tổng quát của dãy hay không? Thật sự có những
trường hợp rất khó cho cả hai chiều.
Ví dụ:

- Tìm định nghĩa truy hồi cho dãy có số hạng tổng quát:
- Tìm công thức cho số hạng tổng quát của dãy truy hồi:
Tuy nhiên trong đa số trường hợp thông thường thì ta có thể tìm được công thức tường
minh cho số hạng tổng quát của một dãy truy hồi và ngược lại. Chẳng hạn một trường
hợp hay gặp là các dãy có số hạng thứ n là một đa thức theo n. Trong những trường hợp
này ta dễ dàng đưa ra định nghĩa đệ qui cho dãy bằng kĩ thuật sai phân hữu hạn (finite
difference).
Ta tìm hiểu kĩ thuật này bằng một ví dụ: tìm định nghĩa đệ qui của dãy có số hạng
tổng quát . Trước hết ta định nghĩa:

Gọi là sai phân cấp một của . Cụ thể với dãy được cho ta có:

Lưu ý là bậc của kém hơn 1 so với bậc của . Tiếp tục, nếu ta lấy sai phân của ta được sai
phân cấp hai của là:

Tương tự ta có sai phân cấp ba của là . Một cách tổng quát, một đa thức bậc m có sai
phân cấp một là đa thức bậc m – 1, sai phân cấp hai là đa thức bậc m – 2, …, sai phân cấp
m là hằng và sai phân cấp m + 1 là 0.

Mặt khác ta có nhận xét:

TRANG 5


Ta để ý rằng các hệ số của các sai phân là các hệ số của tam giác Pascal (Pascal triangle)
với dấu được đan luân phiên.
Từ trên ta có:

Do đó: là quan hệ đệ qui cho dãy được cho. Thật ra mọi đa thức bậc 2 đều có sai phân
cấp 3 là 0 nên đây cũng là quan hệ đệ qui cho mọi dãy có số hạng là đa thức bậc 2 của n.
Chẳng hạn dãy 1, 4, 9, 16, 25, …, có thể được định nghĩa đệ qui là:

Và dãy tổng các số nguyên dương đầu: 1, 3, 6, 10, 15, 21, …, cũng được định nghĩa
tương tự, chỉ khác các giá trị ban đầu:

Trường hợp được cho bởi đa thức bậc nhất theo n ta có hay . Chẳng hạn dãy các số
lẻ: 1, 3, 5, 7, 9, …, có thể được định nghĩa đệ qui là:

Và dãy các số chẵn: 2, 4, 6, 8, 10, …, có thể được định nghĩa tương tự, chỉ khác các giá
trị ban đầu:

Thật sự không có một cách chung nào để tìm định nghĩa đệ qui cho một dãy. Trường
hợp dãy giai thừa: 1, 2, 6, 24, 120, …, ; giả sử ta muốn tìm quan hệ truy hồi thuần (pure
recursion relation), nghĩa là quan hệ xác định số hạng của dãy chỉ theo các số hạng trước
đó; ta có thể khử n bằng nhận xét:

Do đó:

Vậy, dãy giai thừa 1, 2, 6, 24, 120, …, có thể được định nghĩa thuần truy hồi là:

Với dãy nghịch đảo: 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …, ta có:

TRANG 6


Do đó:

Vậy, dãy nghịch đảo có thể được định nghĩa thuần truy hồi là:

1.3 Bài tập

1. Tìm công thức tường minh cho số hạng thứ n và định nghĩa truy hồi cho dãy: 2, 6, 12,
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

20, 30, 42, 56, …
Tìm công thức tường minh cho số hạng thứ n và định nghĩa truy hồi cho dãy: 1, 4, 7,
10, 13, 16, …
Tìm công thức tường minh cho số hạng thứ n và định nghĩa truy hồi cho dãy: 1, 8, 27,
64, 125, 216, 343, …
Cho dãy truy hồi: , tìm công thức tường minh cho số hạng thứ n của dãy.
Tìm định nghĩa truy hồi cho dãy có số hạng thứ n được cho bởi: .
Xây dựng quan hệ truy hồi cho dãy có số hạng thứ n được cho bởi đa thức bậc 3 theo
n.

Tìm định nghĩa thuần truy hồi cho dãy .
Tìm định nghĩa thuần truy hồi cho dãy .

TRANG 7


2. Một số dãy truy hồi tiêu biểu
2.1 Cấp số cộng
Dãy truy hồi có quan hệ được gọi là cấp số cộng (arithmetic progression) với công sai và
số hạng đầu . Ví dụ dãy các số lẻ 1, 3, 5, 7, 9, … là cấp số cộng với công sai và số hạng
đầu còn dãy các số chẵn 2, 4, 6, 8, 10, … cũng là cấp số cộng với cùng công sai nhưng
số hạng đầu là .
Ta dễ dàng thấy số hạng tổng quát của dãy được cho tường minh bởi công thức:

Hay tổng quát hơn ta có:

Một tính chất quan trọng của cấp số cộng là với 3 số hạng kề nhau thì số hạng ở giữa là
trung bình cộng (arithmetic mean) của hai số hạng hai bên, tức là: .
Gọi là tổng n số hạng đầu của dãy , tức là . Với cấp số cộng có công sai d và số hạng đầu
, ta có:

Ví dụ: dãy các số nguyên dương 1, 2, 3, 4, 5 … là cấp số cộng với công sai và số hạng
đầu , có tổng n số hạng đầu là .
2.2 Cấp số nhân
Dãy truy hồi có quan hệ được gọi là cấp số nhân (geometric progression) với công bội
và số hạng đầu . Ví dụ dãy 1, 2, 4, 8, 16, …, là cấp số nhân với công bội và số hạng đầu
còn dãy 2, 6, 18, 54, 162, …, cũng là cấp số nhân nhưng với công bội và số hạng đầu .
Ta dễ dàng thấy số hạng tổng quát của dãy được cho tường minh bởi công thức:

Hay tổng quát hơn ta có:

Một tính chất quan trọng của cấp số nhân là với 3 số hạng kề nhau thì số hạng ở giữa là
trung bình nhân (geometric mean) của hai số hạng hai bên, tức là: . Ta cũng có:

TRANG 8


Ví dụ: dãy 1, 2, 4, 8, 16, … là cấp số nhân với công bội và số hạng đầu , có tổng n số
hạng đầu là .
Lưu ý: nếu là cấp số cộng với công sai , tức là thì khi đó nên dãy là cấp số nhân với
công bội ; ngược lại, nếu là cấp số nhân với công bội , tức là thì khi đó nên dãy là cấp
số cộng với công sai .
2.3 Lãi kép
Khi đầu tư dài hạn, nhà đầu tư mong muốn rằng các khoản lãi thu được lại tiếp tục sinh
lãi bằng cách nhập các khoản lãi thu được vào vốn đầu tư một cách đều đặn. Chẳng hạn,
với lượng vốn 1000000đ đầu tư vào tài khoản lãi suất 9.6%, ta có giá trị nhận được sau 1
năm là đ.
Nếu sau 6 tháng, nhà đầu tư rút tiền ra, giá trị nhận được khi đó là . Nếu khoản tiền
này được đầu tư trở lại vào tài khoản thì sau 6 tháng nữa giá trị nhận được là đ.
Nếu cứ sau 3 tháng, nhà đầu tư rút cả vốn lẫn lời rồi đầu tư trở lại, thì sau 3 tháng đầu,
giá trị nhận được và cũng là lượng vốn đầu tư cho 3 tháng kế tiếp là đ. Tương tự, giá trị
nhận được sau 6 tháng, 9 tháng và 1 năm lần lượt là đ, đ và đ.
Rõ ràng khi đều đặn nhập chung lãi của chu kỳ trước vào vốn tính lãi cho chu kỳ sau,
giá trị nhận được lớn dần khi chu kỳ nhập lãi vào vốn giảm dần. Phương thức này được
gọi là tính theo lãi kép: lãi mẹ đẻ lãi con. Chính xác hơn, một dịch vụ tài chính được gọi
là tính theo lãi kép (compound interest) khi vào cuối mỗi chu kỳ xác định trước, tiền lời
của vốn đầu tư tính theo lãi đơn trong chu kỳ đó được nhập vào vốn nhằm sinh lãi trong
chu kỳ kế tiếp.
Gọi V0 là lượng vốn đầu tư ở thời điểm t = 0, n là thời gian đầu tư tính bằng số các
chu kỳ, i là lãi suất trên mỗi chu kỳ, Vn là giá trị nhận được bởi lượng vốn V0 sau n chu kỳ

đầu tư tính theo lãi kép, ta có:

Do đó là cấp số nhân với công bội là . Từ công thức tính số hạng tổng quát của cấp số
nhân ở phần trên ta có giá trị nhận được của lượng vốn V0 sau n chu kỳ đầu tư tính theo
lãi kép với lãi suất chu kỳ i là:

2.4 Dãy Fibonacci
Dãy Fibonacci (Fibonacci numbers) là dãy được định nghĩa truy hồi như sau:

Dãy Fibonacci có khai triển là: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

TRANG 9


Dãy Fibonacci là lời giải cho bài toán đếm số cặp thỏ: có một cặp thỏ mới sinh được
đem lên một đảo vắng, sau một tháng trưởng thành, cặp thỏ có thể sinh ra một cặp thỏ
con mới kể từ tháng thứ hai. Giả sử các cặp thỏ không bao giờ chết và mỗi cặp thỏ có thể
sinh ra một cặp thỏ con mỗi tháng kể từ tháng thứ hai sau khi chúng được sinh ra. Câu
hỏi được đặt ra là sau tháng thứ n (chẳng hạn sau 1 năm, n = 12) thì có bao nhiêu cặp
thỏ?
Gọi là số cặp thỏ sau tháng thứ n, hình ảnh sau đây gợi ý về quan hệ truy hồi của
dãy . Rõ ràng, số cặp thỏ ở cuối tháng n bao gồm số cặp thỏ đã có ở cuối tháng trước
(tháng n – 1) cộng thêm số cặp thỏ mới sinh, mà số cặp thỏ mới sinh bằng với số cặp thỏ
cha mẹ của chúng, chính là số cặp thỏ ở tháng n – 2. Vậy ta có quan hệ truy hồi: , do đó
số lượng cặp thỏ sau tháng thứ n lập thành dãy Fibonacci.
Ta xác định được công thức tường minh cho số hạng tổng quát như sau (Xem phần
3.2):

với và là 2 nghiệm của phương trình bậc 2: . Đặc biệt là con số rất có ý nghĩa trong mỹ
thuật và nhiều lãnh vực khác và được gọi là tỉ lệ vàng (golden ratio). Cũng lưu ý là: .

TRANG 10


Hình minh họa việc sinh sản của các cặp thỏ (Nguồn:
/>px-FibonacciRabbit.svg.png)
Một dãy số rất gần gũi với dãy Fibonacci là dãy Lucas (Lucas numbers). Dãy này có
cùng quan hệ truy hồi như dãy Fibonacci nhưng khác các số hạng đầu:

Dãy Lucas có khai triển là: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, … Cũng như dãy
Fibonacci, tỉ lệ của hai số hạng kề nhau của dãy Lucas cũng hội tụ về tỉ lệ vàng.
2.5 Bài toán Tháp Hà Nội
Bạn có biết số phận của ta (hay thậm chí là cả vũ trụ) nằm trong tay một nhà sư
không? Tương truyền rằng trong một ngôi tháp ở Hà Nội (Tower of Hanoi) có một nhà sư
đang ngày đêm chuyển 64 cái đĩa vàng mà khi hoàn thành là lúc tận thế. Cụ thể là có n =
64 cái đĩa kích thước tăng dần và có 3 chồng đĩa mà ban đầu cả n cái đĩa đều đặt trên
chồng 1 với đĩa lớn ở dưới, nhỏ ở trên. Nhà sư phải tìm cách chuyển toàn bộ n cái đĩa ở
chồng 1 sang chồng 2 (có thể dùng chồng 3 làm trung gian) theo qui định:

- Mỗi lần chỉ được di chuyển một đĩa từ đỉnh một chồng này sang đỉnh một chồng
-

khác.
Không được để đĩa lớn ở trên đĩa nhỏ hơn.

Bài toán này có thể được giải theo nhiều cách nhưng cách giải đệ qui là hay nhất. Để
chuyển n đĩa từ chồng nguồn 1 sang chồng đích 2 (lấy chồng 3 làm trung gian) ta làm đệ
qui như sau:

- Chuyển n – 1 đĩa (ở trên) từ chồng 1 sang chồng 3 (lấy chồng 2 làm trung gian).

- Chuyển 1 đĩa (dưới cùng) từ chồng 1 sang chồng 2.
- Chuyển n – 1 đĩa (trước đó) từ chồng 3 sang chồng 2 (lấy chồng 1 làm trung gian)
Hình dưới đây minh họa các bước chuyển đĩa với n = 4.
Điều ta quan tâm ở đây là thời gian đến ngày tận thế, tức là thời gian để nhà sư chuyển
xong n đĩa. Gọi là số bước để chuyển n đĩa từ chồng nguồn sang chồng đích theo qui
định ở trên. Từ cách làm trên ta dễ thấy định nghĩa truy hồi sau cho :

Bằng cách tính thử các số hạng đầu của dãy, ta có khai triển của là: 1, 3, 7, 15, 31, 63,
127, … Từ khai triển này ta có thể đoán rằng công thức tường minh cho số hạng tổng
quát của dãy là: . Ta có thể dùng qui nạp để chứng minh khẳng định này là đúng hoặc
bằng cách đặt và nhận xét rằng:

TRANG 11


Do đó lập thành cấp số nhân với công bội . Từ công thức của cấp số nhân ta có và do
đó .
Giả sử truyền thuyết về ngày tận thế trên là thật thì ta cũng đừng nên quá lo lắng. Thật
vậy, từ phân tích trên ta có số bước để nhà sư chuyển xong 64 đĩa là . Giả sử nhà sư tốn 1
giây để chuyển một đĩa thì nhà sư cần khoảng 585 tỉ năm để hoàn thành việc chuyển 64
đĩa. Hú hồn!:)

TRANG 12


Hình minh họa việc chuyển đĩa cho bài toán Tháp Hà Nội với n = 4 (Nguồn:
/>n_SMIL.svg/512px-Tower_of_Hanoi_recursion_SMIL.svg.png)
2.6 Các mô hình dân số
Một ứng dụng quan trọng của dãy truy hồi trong sinh học là các mô hình dân số khi
mà qui mô dân số tại một thế hệ phụ thuộc vào qui mô dân số của thế hệ trước đó. Ta kí

hiệu qui mô dân số tại thời điểm (thế hệ) t là Việc qui mô dân số tại thời điểm t chỉ phụ
thuộc vào qui mô dân số tại thời điểm trước đó, t – 1, được thể hiện bằng quan hệ truy
hồi:

với hàm f được xác định phụ thuộc vào mô hình dân số. Quan hệ truy hồi này còn được
gọi là truy hồi bậc nhất (first-order recursion) vì để xác định tại thời điểm t ta chỉ cần
biết giá trị tại thời điểm ngay trước đó, .
Mô hình dân số đơn giản nhất là mô hình cấp số nhân:

Với công bội R là một hằng số dương, được gọi là hằng số tăng trưởng (growth
constant). Ví dụ, mô hình cho việc tăng trưởng của quần thể vi khuẩn khi mà số lượng vi
khuẩn cứ nhân đôi sau một chu kỳ thời gian là mô hình trên với R = 2. Từ công thức của
cấp số nhân ta có nên mô hình tăng trưởng này còn được gọi là tăng trưởng mũ
(exponential growth).
Với mô hình tăng trưởng mũ ta có: nếu R> 1 thì dân số sẽ tăng không ngừng, nếu R =
1 thì dân số không thay đổi và nếu 0 họa điều này:

TRANG 13


Hình minh họa mô hình tăng trưởng mũ
(Nguồn:Claudia Neuhauser, Calculus for Biology and Medicine, Prentice Hall, 2011)
Mô hình tăng trưởng mũ được gọi là độc lập mật độ (density independent) vì tỉ số
không đổi theo thời gian. Điều này có nghĩa là bất kể qui mô dân số hiện tại thế nào đi
nữa thì tỉ lệ của qui mô dân số hiện tại với thế hệ kế tiếp là không đổi. Điều này là không
thực tế vì khi qui mô dân số tăng lên thì do sự cạnh tranh và nguồn tài nguyên hạn chế mà
tỉ lệ tăng trưởng sẽ giảm đi. Như vậy ta cần một mô hình tốt hơn để có thể mô tả sự phụ
thuộc mật độ này. Một mô hình như vậy là mô hình Berverton-Holt (Beverton–Holt
model) được cho bởi quan hệ truy hồi:

Lưu ý là từ trên ta có tỉ số không còn là hằng số mà tăng tuyến tính theo , do đó giảm
tuyến tính theo . Khi thì , nghĩa là dân số không tăng trưởng nữa, do đó hằng số K chính
là qui mô ổn định của dân số. Nó phản ánh các điều kiện của môi trường nên còn được
gọi là khả năng chứa (carrying capacity) của môi trường. Khi ta có , nghĩa là qui mô dân
số sẽ thay đổi (tăng/giảm) dần về tình trạng ổn định K. Hình sau minh họa điều này:

TRANG 14


Hình minh họa mô hình Beverton–Holt
(Nguồn: Claudia Neuhauser, Calculus for Biology and Medicine, Prentice Hall, 2011)
Mô hình phổ biến khác là mô hình logistic rời rạc (discrete logistic model) được cho
bởi quan hệ truy hồi:

hay mô hình Ricker logistic được cho bởi quan hệ truy hồi:

với là các hằng số dương.

TRANG 15


3. Một vài loại dãy truy hồi hay gặp và cách giải
Trong phần này chúng ta nghiên cứu một vài loại dãy truy hồi hay gặp, bao gồm các vấn
đề: xác định số hạng tổng quát, tổng hữu hạn, tính đơn điệu và sự hội tụ.
3.1 Dãy afine

(un )n≥0

Dãy affine là dãy

các phần tử của K.

trong một trường K được xác định bởi

un+1 = aun + b

1. Số hạng tổng quát.

Ta có nhận xét rằng, nếu a = 1 thì dãy này là một dãy cộng và lúc đó
u = u an
Còn với b = 0, thì dãy đã cho là một dãy nhân và n +1 0 .
Trường hợp a ≠ 1 . Đặt

vn = un +

với a và b là

un+1 = u0 + nb .

b
a − 1 với mọi n ≥ 0 . Khi đó ta có:

b
b
= aun + b +
a −1
a −1
b
b
a(vn −

)+b+
= avn
a
−
1
a
−1
=
vn +1 = un +1 +

(v )
Với mọi n ≥ 0 . Như vậy dãy n n≥ 0 trở thành một dãy nhân với công bội a. Do đó
b

b

n
vn = a n v0 với mọi . Vậy un = a (u0 + a − 1) − a − 1 với mọi n ≥ 0 . Tóm lại ta được:

un = u0 + nb nếu a=1 và

un = a n (u0 +

b
b
)−
a − 1 a − 1 với a ≠ 1 .

2. Tính tổng riêng hữu hạn.
n

Đặt

S ( n ) = ∑ ui
i =0

; ta có:
n

n

un +1 + S (n) = un+1 + ∑ ui = u0 + ∑ (aui + b)
i =0

i =0

n

=

Do đó

u0 + a ∑ ui + nb = u0 + aS (n) + nb
i =0

(a − 1)S (n) = un +1 − nb − u0 .

Vì vậy nếu a ≠ 1 , thì

S (n) =

un+1 − nb − u0
a −1
.

TRANG 16

.


3.2 Dãy truy hồi tuyến tính cấp hai thực với hệ số hằng
Đó là các dãy số thực có dạng với mọi trong đó a và b là các hằng số thực. Kí hiệu là tập
tất cả các dãy thực này, thì ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề: là một
Chứng minh: Ta thấy ngay dãy không thỏa mãn , nên khác rỗng. Mặt khác với ta
có với mọi Vậy không gian vecto. Bây giờ ta tiếp tục chỉ ra rằng không gian vecto này
có chiều 2. Kí hiệu là hai dãy được xác định bởi . Lúc đó nếu thì kéo theo và dẫn đến
x=y=0. Điều đó chứng tỏ rằng độc lập tuyến tính trong Lấy một dãy tùy ý ta sẽ chỉ ra
nhờ quy nạp rằng tương đương với với mọi Ta thấy ngay hệ thức này đúng với n=0 và
n=1. Giả sử hệ thức đã đúng với n và n+1, tức là
Khi đó ta có

Quy nạp đã xong. Từ những điều trên ta suy ra là một cơ sở của . Vậy có chiều 2.
Bây giờ áp dụng mệnh đề này, ta cần đi tìm tẩ cả các dãy thỏa mãn Xét phương trình ẩn t
sau đây được gọi là phương trình đặc trưng của Kí hiệu biệt thức của phương trình này là
Trường hợp 1: Lúc này có hai nghiệm thực phân biệt Dễ kiểm tra được rằng là
một cơ sở của . Như vậy nghiệm tổng quát của sẽ là với mọi và x, y là hai số thực tùy ý.
Nhận xét: x và y sẽ hoàn toàn xác định nếu cho trước
Ví dụ 1: Tính số hạng tổng quát của dãy xác định bởi với mọi (dãy Fibonacci).
Giải:

Phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phân biệt do đó số hạng tổng quát của
dãy đã cho có dạng:

Bởi
Giải hệ này ta được
Vậy số hạng tổng quát của dãy Fibonacci là
với mọi
Trường hợp 2:Lúc này (**) có nghiệm kép thực Không có gì khó khăn ta kiểm tra
được rằng là một cơ sở của Do đó nghiệm tổng quát của (*) sẽ là (ở đây ta quy ước và
x, y là hai số thực tùy ý.
Ví dụ 2. Tính sô hạng tổng quát của dãy xác định bởi và

TRANG 17


Giải: Phương trình đặc trưng của nó có nghiệm kép thực là t=2, do đó số hạng tổng quát
của day đã cho có dạng:

Từ giả thiết rút ra Giải hệ ta được x=1 và y=
Vậy
Trường hợp 3:Lúc này (**) có hai nghiệm phức không thực liên hợp với nhau.
Bây giờ ta tạm xét trên trường số phức . Lập luận giống như chứng minh mệnh đề trên,
ta nhận thấy được tập tất cả các dãy phức thỏa mãn lập thành một không gian vecto A hai
chiều trên Sau đó cũng giống như trường hợp 1, ta rút ra nghiệm tổng quát của trong là
Đặt bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng . Thật vậy là tập các dãy thực của A, nên Ngược lại giả sử
thì đương nhiên . Khi đó tồn tại các số phức c và d để với mọi . Nhớ rằng và Từ Do đó
Lại rút ra Dẫn đến và là những số thực. Điều này dẫn đến Vậy với mọi và do đó Giả sử
x được viết ở dạng chính tắc là ta thấy ngay Cuối cùng ta được Vậy với mọi và mọi
Thuật toán
Bước 1. Giải phương trình và nhận được nghiệm phức

Bước 2. Đặt là module của z, còn ta nhận được
với mọi
Bước 3. Xác định theo các giá trị cho trước của
Ví dụ 2. Tính số hạng tổng quát của dãy xác định bởi P0=0; và
Giải: Phương trình đặc trưng có một nghiệm phức Ta thấy ngay và , do đó số hạng tổng
quát của dãy đã cho có dạng: với mọi Từ giả thiết hoặc rút ra

Giải hệ ta được và . Vậy với mọi
3.3 Dãy truy hồi dạng
Phần này ta sẽ khảo sát loại dãy truy hồi dạng

un+1 = f (un ) . Rõ ràng tính chất của dãy hoàn

toàn phụ thuộc vào hàm f và phần tử xuất phát

u0 .

Giả sử f: M

→ M là một ánh xạ cho trước và u0 ∈ M.

f đơn điệu trên M

• Trường hợp f tăng trên M:
TRANG 18


un +1 − un = f (un ) − f (un −1 ) , nên (un +1 − un ) cùng dấu với (un − un −1 ) và vì vậy
(un +1 − un )
(u1 − u0 )

u0 ≤ u1
(un )n≥0
Do

cùng dấu với

Nếu

. Từ đó rút ra: Nếu

, thì

là một dãy tăng;

u0 ≥ u1 , thì (un ) n≥0 là một dãy giảm.

• Trường hợp f giảm trên M:
2
Lúc đó ánh xạ tích f = f o f là một hàm tăng trên M. Vì vậy áp dụng trường hợp

hàm tăng ta suy ra: Nếu
giãy giảm; Nếu
tăng.

u0 ≤ u 2

, thì dãy con

(u2 n )n ≥0

là một dãy tăng và

(u2 n+1 ) n≥ 0

lại là một

u0 ≥ u2 , thì dãy con (u2 n )n ≥0 là một giãy giảm còn (u2 n+1 ) n≥ 0 là một dãy

f liên tục trên M và M là đóng trong R
Giả sử

(un ) n≥0 hội tụ và nếu nó hội tụ về α , thì α ∈ M. Lại do f liên tục trên M, nên

( f (un )) n≥0 hội tụ về

f (α ) , tức là

Ví dụ 1: Hãy khảo sát dãy số

α sẽ là một nghiệm thuộc M của phương trình f(x) = x.

(un )n≥0 với u0 = 1 và

un+1 =

un
u + 1 với mọi n.
2
n

Giải:
Hiển nhiên dãy này là một dãy số dương. Mặt khác, do
(un +1 − un ) =

un
un3
−
u
=
−
n
un2 + 1
un2 + 1 < 0, nên nó còn gọi là một dãy giảm thực sự. Dễ thấy rằng

x
x + 1 là một ánh xạ liên tục từ [0;1] vào [0;1]. Do các
dãy này nằm trong [0;1] và
tính chất trên, nên dãy sẽ có giới hạn a là nghiệm của phương trình f ( x) = x trong [0;1].
f ( x) =

2

Ta được a = 0 .
Ví dụ 2: Khảo sát sự hội tụ và tính giới hạn (nếu có) của dãy
un +1 =

1 2
(un + 8)
6
với mọi n.

Giải:

TRANG 19

(un ) n≥0 với u0 = a > 0 và


1 2
( x + 8)
6
Đặt
, ta thấy phương trình f ( x) = x chỉ có hai nghiệm là 2; 4. Lại do f là
một hàm tăng từ [0; ∞) vào chính nó và f ([0; 2]) ⊂ [0; 2]; f ([2; 4]) ⊂ [2; 4]; f ([4; ∞)) ⊂ [4; ∞) .
f ( x) =

Vì vậy ta cần xét các khả năng sau:

- Khả năng 1:

a ∈ [0; 2] .

- Khả năng 2:

a ∈ [2; 4] .

Dễ thấy rằng
tăng. Trường hợp này dãy hội tụ về 2.

-

u1 =

1 2
(a + 8) ≥ a = u0
6
, dãy đã cho là một dãy

u1 =

1 2
(a + 8) ≤ a = u0
6
là một dãy giảm, vì

Khi đó dễ thấy
vậy nó hội tụ. Và dễ thấy nó cũng hội tụ về 2.
Khả năng 3: a = 4 . Trường hợp này mọi số hạng của dãy đều bằng 4, vậy nó hội tụ
về 4.
Khả năng 4: a ∈ [4; ∞) . Lúc này dãy tăng. Vì vậy nếu nó hội tụ thì nó phải hội tụ
về b > 4. Mặt khác b còn phải là nghiệm của phương trình f ( x) = x (gặp mâu
thuẩn). Trường hợp này dãy không hội tụ.

3.4 Bài tập

1.
2.
3.
4.
5.

Hãy tìm hiểu và mở rộng các kết quả trong lý thuyết.
Tính số hạng tổng quát của dãy xác định bởi với mọi .
Xác định số hạng tổng quát của dãy biết ; và với mọi
Tính số hạng tổng quát của dãy số biết ; và với mọi .
Cho dãy số thực được xác định bởi và với mọi n nguyên dương. Chứng minh
rằng là một dãy số nguyên dương.
6. Hãy sáng tác 10 đề toán thuộc loại này.
7. Hãy lập luận cho học sinh phổ thông Trường hợp 1 và Trường hợp 2 mà không
dùng không gian vecto.

8. Khảo sát các dãy

(un )n≥0 được cho bởi:

1
b2
un +1 = (un + )
u = a > 0 và
6
un với b > 0;
a) 0

2
u = 1 và
un ;
b) 0
u = a và un +1 = 3 7un − 6 ;
c) 0
6

un +1 =
u = a ≥ 0 và
2 + un2 ;
d) 0
un+1 = 1 −

TRANG 20


4. Phương pháp bấm máy tính tìm dãy truy hồi
Ví dụ 1: Cho dãy số được xác định như sau:

với mọi
Tính
Giải
Với bài toán này cách tính thông thường để tính tới là ta cứ tính lần lượt từ cho đến
Do trong máy tính không có biến nhớ u, nên dùng A, B, C thay cho
Gán cho biến A; gán cho biến B
Bấm máy tính

• Bấm 1 SHIFT STO
• Bấm 1 SHIFT STO
• Bấm ALPHA C ALPHA = ALPHA B + ALPHA A ALPHA : ALPHA A ALPHA =
PLPHA B ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA C.
Sau khi bấm hết dòng này trên màn hình máy tính sẽ hiện ra C=B+A:A=B:B=C
Giải thích: sau khi gán C=B+A ta lại gán A=B và gán B=C, thuật toán này sẽ cứ lặp lại
cộng dồn lên theo công thức truy hồi sau mỗi lần bấm dấu “=”
Bấm CALC và bấm = đến khi màn hình hiện C=B+A lần đầu sẽ là kết quả cứ bấm liên
tục và cẩn thận đếm số lần xuất hiện của C=B+A cho đến
Ví dụ 2: Cho dãy số được xác định như sau:

Tính
Giải
Bấm máy tính

• Bấm 1 SHIFT STO
TRANG 21


• Bấm 3 SHIFT STO
• Bấm ALPHA C ALPHA = 2ALPHA B + 3ALPHA A ALPHA : ALPHA A ALPHA
= ALPHA B ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA C.
Bấm CALC và bấm = đến khi màn hình hiện C=2B+3A lần đầu sẽ là kết quả cứ bấm =
liên tục ta có và cẩn thận đếm số lần xuất hiện của C=2B+3A cho đến
Bài tập áp dụng bấm máy tính.
Cho dãy số được xác định như sau:

Tính

TRANG 22


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Dương Quốc Việt, Đàm Văn Nhỉ, Giáo trình Đại Số Sơ Cấp, Nhà xuất bản Đại học Sư
phạm, 2016.
2. Claudia Neuhauser, Calculus for Biology and Medicine, Prentice Hall, 2011.
3. Brother Alfred Brousseau, Linear Recursion and Fibonacci Sequences, The Fibonacci
Asscociation, 1971.
4. Graham, Knuth, Patashnik, Concrete Mathematics A Foundation for Computer
Science, Addison-Wesley, 1994.

5. Các tài liệu trên trang Wikipedia ( và một số trang khác.

TRANG 23