những nguyên lí cơ bản trong các bài toán đếm

NHỮNG NGUYÊN LÍ CƠ BẢN
TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐẾM
Môn học: Đại số sơ cấp
Khoa Toán-Tin
Giảng Viên: TS. Tạ Thị Nguyệt Nga


Lời nói đầu:
Lí thuyết tổ hợp là một phần quan trọng của toán học rời rạc chuyên nghiên cứu sự
phân bố các phần tử vào các tập hợp. Thông thường các phần tử này là hữu hạn và
việc phân bố chúng phải thoả mãn những điều kiện nhất định nào đó, tùy theo yêu
cầu của bài toán cần nghiên cứu.
Mỗi cách phân bố như vậy gọi là một cấu hình tổ hợp. Chủ đề này đã được nghiên
cứu từ thế kỉ 17, khi những vấn đề về tổ hợp được nêu ra trong những công trình
nghiên cứu các trò chơi may rủi. Liệt kê, đếm các đối tượng có những tính chất nào
đó là một phần quan trọng của lí thuyết tổ hợp. Đếm các đối tượng để giải nhiều
bài toán khác nhau.
Lý thuyết tổ hợp được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau: lý thuyết số, hình
học hữu hạn, biểu diễn nhóm, đại số không giao hoán, thống kê xác xuất, … Lý
thuyết tổ hợp gắn liền với việc nghiên cứu sự phân bố các phần tử vào các tập hợp.
Các phần tử là hữu hạn và việc phân bố chúng phải thỏa mãn những điều kiện nào
đó tùy theo yêu cầu của công việc (bài toán).
Dù đã rất cố gắng nhưng nội dung được trình bày ở luận văn này chắc chắn sẽ có
sai sót nhất định, nhóm rất mong sự đóng góp ý kiến từ cô và các bạn.
TP HCM 10 tháng 5 năm 2018
Tạ Quốc Khánh
Đỗ Đức Chung


Nhắc lại lý thuyết tập hợp:
Trước tiên, ta có khái niệm về phần tử của tập hợp hữu hạn:

Một tập hợp A được gọi là tập hợp hữu hạn nếu A có hữu hạn phần tử. Nếu A có n
phần tử, ta kí hiệu số phần tử của A bởi | |
(n nguyên dương)
Ta có thể tìm phần tử của tập hợp hữu hạn bằng 2 cách đơn giản nhất:
-Liệt kê các phần tử của tập hợp.
- Chỉ rõ các tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.
Ngoài ra ta có các phép toán trên tập hợp:
- Giao của 2 tập hợp A và B kí hiệu là A

B: A

B = {x | x

A và x

- Hợp của 2 tập hợp A và B kí hiệu là A

B: A

B = {x | x

A hoặc x

- Hiệu của 2 tập hợp A và B kí hiệu là A\B: A\B = {x | x

A và x

- Phần bù của A trong X kí hiệu là :

A}

= {x |x

X và x

B}
B}

B}

- Tích đề các của 2 tập hợp A và B kí hiệu A x B hoặc A.B – A x B = {(a, b)| a
và b B}

A


1/ Quy tắc đếm:
* Định nghĩa:
Trong nhiều trường hợp ta cần phải đếm số phần tử, số tập hợp,số các số hạng của
tổng.
Ví dụ 1: Người ta cần làm một hàng rào dài 20m, cứ cách 2m thì chôn 1 cọc. Tính
số cọc cần dùng?
Dễ dàng tìm được số khoảng cách giữa các cọc là: 20:2 = 10.
Kể từ cọc thứ 2 trở đi số cọc bằng số khoảng cách.
Do đó số cọc là 20:2 + 1 = 11.
Ngoài ra trong một số bài toàn ta chỉ có thể áp dụng quy tắc đếm để giải.
-Dấu hiệu chia hết cho 2: Chữ số tận cùng là các chữ số: 0;2;4;6;8.
-Dấu hiệu chia hết cho 3: Tổng các chữ số chia hết cho 3.
-Dấu hiệu chia hết cho 4: 2 chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 4.
-Dấu hiệu chia hết cho 5: Chữ số tận cùng là các chữ số: 0; 5.

-Dấu hiệu chia hết cho 6: Vừa chia hết cho 2 và đồng thời vừa chia hết cho 3.
-Dấu hiệu chia hết cho 7: Hiệu của số tạo bởi các chữ số đứng trước số tận cùng.
với 2 lần chữ số tận cùng chia hết cho 7 (có thể làm nhiều lần cho tới khi chắc chắn
chia hêt cho 7).
-Dấu hiệu chia hết cho 8: 3 chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 8.
-Dấu hiệu chia hết cho 9: Tổng các chữ số chia hết cho 9.
Ví dụ 2:
- 12 có 1+2=3 chia hết cho 3 nên 12 chia hết cho 3.
- 123 có 1+2+3=6 chia hết cho 3 nên 123 chia hết cho 3.
- 136 chia hết cho 4 vì 36 là 2 chữ số tận cùng chia hết cho 4.
- 342 chia hết cho 9 vì 3+4+2=9 chia hết cho 9.
- 67182 chia hết cho 6 vì tận cùng là 2 và có 6+7+1+8+2=24 chia hết cho 3.


2/Quy tắc cộng:
* Định nghĩa:
Giả sử có k công việc
các việc này có thể được thực hiện tương
ứng bằng ,
cách, và giả sử không có 2 việc nào có thể thực hiện
đồng thời khi đó áp dụng nguyên tắc cộng ta có l +
.
+ Quy tắc cộng có thế phát biểu dưới dạng tập hợp như sau:
Nếu
là các tập hợp đôi một rời nhau khi đó số phần tử của hợp các
tập này bằng tổng các phần tử của các tập hợp, và giả sử không có 2 việc nào có
thể thực hiện đồng thời khi đó ta có:
|

|=|

|

|

|

|

|

|

|

Ví dụ 1: Một sinh viên có thể chọn 1 bài thực hành trong ba danh sách tương ứng
có 23, 15 và 19 bài. Vì vậy theo quy tắc cộng sinh viên có 23 + 15 + 19 = 57 cách
chọn bài thực hành.
Ví dụ 2: Người ta có thể đi từ Hải Phòng đến Đà Nẵng bằng một trong ba phương
tiện: tàu hoả, tàu thuỷ và máy bay. Nếu có hai cách đi bằng tàu hoả, ba cách đi
bằng tàu thuỷ, và 1 cách đi bằng máy bay thì sẽ có 2+3+1 = 6 cách đi từ Hải Phòng
đến Đà Nẵng.
2/Quy tắc nhân:
* Định nghĩa:
Giả sử ta có 1 công việc được tách ra thành k công việc trong đó mỗi công việc
trong k công việc có n cách thực hiện
tương ứng có
,
thì khi đó áp dụng nguyên tắc nhân ta có .
cách làm

k công việc đó.
+Quy tắc nhân có thế phát biểu dưới dạng tập hợp như sau:


Nếu
là các phần tử hữu hạn khi đó số phần tử của tích Descastes
của các tập hợp này bằng tích của số các phần tử của mọi tập thành phần.Ta biết
rằng việc chọn một phần tử từ tích Descastes
được tiến hành bằng
̅̅̅̅̅.
chọn lần lượt các phần tử
|

|

|

||

||

|

|

|

Ví dụ 1: Đề đi từ thành phố A đến thành phố D người ta phải đi lần lượt qua hai
thành phố B và C. Nếu có hai cách đi từ A đến B, ba cách đi từ B đến C và một
cách đi từ C đến D thì sẽ có 2x3x1 = 6 cách đi từ A đến B.

Ví dụ 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số được lấy từ tập 1,2,3,4,5,6 nếu
a)Các chữ số không cần phải khác nhau?
b)Các chữ số phải khác nhau?
c)Các chữ số phải khác nhau và chứa số 3?
Đáp số:a) 6x6x6; b) 6x5x4; c)3x5x4
Ví dụ 3: Một đội thanh viên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam, 3 nữ . Hỏi có
bao nhiêu cách phân công đội thanh niên đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho
mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ?
Giải
Đầu tiên, chọn 4 nam và 1 nữ cho tỉnh thứ nhất. Theo quy tắc nhân số cách chọn
là:

Sau đó chọn 4 nam (trong 8 nam còn lại) và 1 nữ (trong 2 nữ còn lại) cho tỉnh thứ
2. Lại theo quy tắc nhân, số cách chọn là:

Dĩ nhiên còn lại ta chọn xong tỉnh thứ 3
Vậy theo quy tắc nhân, số cách phân công theo yêu cầu là:


Ví dụ 4: Người ta có thể ghi nhãn cho những chiếc ghế trong một giảng đường
bằng một chữ cái và một số nguyên dương không vượt quá 100. Bằng cách như
vậy, nhiều nhất có bao nhiêu chiếc ghế có thể được ghi nhãn khác nhau? Thủ tục
ghi nhãn cho một chiếc ghế gồm hai việc, gán một trong 26 chữ cái và sau đó gán
một trong 100 số nguyên dương. Quy tắc nhân chỉ ra rằng có 26x100=2600 cách
khác nhau để gán nhãn cho một chiếc ghế. Như vậy nhiều nhất ta có thể gán nhãn
cho 2600 chiếc ghế.
Ví dụ 5: Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có
bao nhiêu cách phân công đội về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4
nam và 1 nữ.
Giải.

Gọi 3 tỉnh có tên là A, B, C
Chọn đội thanh niên tình nguyện phục vụ tỉnh A có C124 .C13
Chọn đội thanh niên tình nguyện phục vụ tỉnh A có C84 .C12
Chọn đội thanh niên tình nguyện phục vụ tỉnh A có C44 .C11
Theo quy tắc nhân ta có: C124 .C13 . C84 .C12 C44 .C11 = 207900

3. Hoán vị
* Định nghĩa:
Cho tập hợp A gồm n phần tử, mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của
tậphợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
* Số hoán vị.
Số hoán vị của n phần tử, được ký hiệu là Pn
Pn = n!


Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 học sinh vào 4 chỗ ngồi trong một bàn học
sinh.
Giải
Số cách sắp xếp 4 học sinh vào 4 chỗ ngồi bằng số hoán vị của 4 phần tử
Vậy P4 = 4! = 1.2.3.4 = 24 cách sắp xếp.
Ví dụ 2: Cho 5 quả cầu màu trắng khác nhau và 4 quả cầu xanh khác nhau. Ta sắp
xếp 9 quả cầu đó vào một hàng 9 chỗ cho trước. Có bao nhiêu cách sắp xếp khác
nhau?
Giải
Có 9! = 362880 cách
4. Chỉnh hợp.
* Định nghĩa:
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  1)
Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp
xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử

đã cho.
* Số chỉnh hợp.
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là A kn
A kn =

n!
(1  k  n)
n  k !

+ Chỉnh hợp chập n của n phần tử chính là một hoán vị của n phần tử.
A nn  Pn


Ví dụ 1: Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 3
chữ số khác nhau.
Giải
Có A 37 = 5.6.7 = 210 số có 3 chữ sốkhác nhau.
Ví dụ 2: với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu:
a. Số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau.
b. Số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau:
Giải
Gọi số có 4 chữ số là abcd
a. Số cần lập là số lẻ nên:
Có 3 cách chọn số d.
Có 4 cách chọn số a.
Có A 24 cách chọn số bc
Vậy có: 3. 4 . A 24 = 144 số.
b. Số cần lập là số chẵn:
Trường hợp 1: d = 0
 Số cách lập được số có 4 chữ số với d = 0 là A 35

Trường hợp d  0
Có 2 cách chọn số d.
Có 4 cách chọn số a
Có A 24 cách chọn bc
 có 2.4. A 24 = 96 số.


Vậy có A 35 + 96 = 156 số.
5. Tổ hợp.
* Định nghĩa:
Giả sử tập A có n phần tử (n  1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi
là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho
* Số các tổ hợp.
Số các tổ hợp chập k của n phần tử, ký hiệu là Ckn
Ckn =

n!
k!n  k !

Ví dụ 1: Hãy tính tổ hợp C36
Giải
Ta có: C 36 

6! 4.5.6

 20
3!3! 1.2.3

Ví dụ 2: Một cỗ bài túlơkhơ có 52 quân bài, chia cỗ bài trên thành 4 phần bằng
nhau (mỗi phần 13 quân). Hỏi có bao nhiêu cách chia được 1 phần sao cho:

a. có 2 con át.
b. có ít nhất một con át.
Giải
a. Số cách chọn 2 con át từ 4 con át là: C 24
Số cách chọn 11 con bài còn lại trong 48 con bài là: C1148
Theo quy tắc nhân ta có: C 24 . C1148 cách chia.
b. Số cách chia được phần có 13 con bài là C1352


Số cách chia được 1 phần mà không có con át nào cả là: C1348
Vậy số cách chia được 1 phần có ít nhất 1 con át là C1352 - C1348
* Tính chất của tổ hợp:
+ Tính chất 1: C kn  C nn  k
+ Tính chất 2: C kn 11  C kn 1  C kn
6. Nguyên lí bù trừ:
* Định nghĩa:
Khi 2 công việc có thể cùng được làm đồng thời, ta không thể dung quy tắc cộng
để tính số cách thực hiện gồm cả 2 việc. Để tính đúng số cách thực hiện nhiệm vụ
này ta cộng số cách làm mỗi một trong 2 việc rồi trừ đi số cách làm đồng thời cả
hai việc. Ta có thế phát biểu nguyên lí này bằng ngôn ngữ tập hợp:
|

|

|

|

|

|

|

|

Ví dụ 1: Cho 3 tập hợp A, B, C. biết: A = {0,1,2,7,11,14,25}, B = {-5,4,0,2,7,13,15,16,19}, C = {-5,-2,2,7,13,14,16,20,21}. Tính N(A B C) = ?
Giải:
Ta có N(A) = 7; N(B)=9; N(C)=9;
N1=7+9+9 =25
N2=N(A B)+N(A C)+N(B C) = 3 + 3+5=11
N3 = N(A B C) = 2
Theo nguyên lí bù trừ ta có: N(A

B

C)=N1-N2+N3 = 25-11+2=16

Ví dụ 2: Trong 1 đề thi chọn đội tuyển toán quốc gia có 3 câu: 1 câu về số học, 1
câu về đại số và 1 câu về hình học. Trong 40 thí sinh dự thi có 25 thí sinh làm được
câu số học, 30 thí sinh làm được câu đại số và 15 thí sinh làm được câu hình học.
Ngoài ra, số thí sinh làm được cả 2 câu số học và đại số là 20, số thí sinh làm được
cả 2 câu số học và hình học là 5, số thí sinh làm được cả 2 câu đại số và hình học là


10. Biết rằng không có thí sinh nào không làm được câu nào. Hỏi có bao nhiêu thí
sinh làm được cả 3 câu?
Giải
Gọi A, B, C tương ứng là tập hợp các thí sinh làm được câu số học, đại số và hình
học. Theo giả thuyết ta có:

| |

| |

| |

|

|

|

|

|

|

Vì không có thí sinh không làm được câu nào nên
|

|

Áp dụng nguyên lí bù trừ ta có
|

|

| |

| |

| |

|

|

Suy ra 40 = 25 + 30 + 15 – 20 - 10 – 5 + |

|

|

|

|

|

|

|

Vậy có 5 học sinh làm được cả 3 câu.
7. Ứng dụng của phép đếm nâng cao
+Phương pháp song ánh: Phương pháp song ánh dựa vào một ý tưởng rất đơn giản:
Nếu tồn tại một song ánh từ A vào B thì |A| = |B|. Do đó, muốn chứng minh hai tập
hợp có cùng số phần tử, chỉ cần xây dựng một song ánh giữa chúng. Hơn nữa, ta có
thể đếm được số phần tử của một tập hợp A bằng cách xây dựng song ánh từ A vào

một tập hợp B mà ta đã biết cách đếm.
+Phương pháp quan hệ đệ quy: Phương pháp quan hệ đệ quy là phương pháp giải
bài toán với n đối tượng thông qua việc giải bài toán tương tự với số đối tượng ít
hơn bằng cách xây dựng các quan hệ nào đó, gọi là quan hệ đệ quy. Sử dụng quan
hệ này, ta có thể tính được đại lượng cần tìm nếu chú ý rằng với n nhỏ, bài toán
luôn có thể giải một cách dễ dàng.

Bài tập
1. Một cuộc họp gồm 12 người tham dự để bàn về 3 vấn đề. Có 8 người phát biểu
về vấn đề I, 5 người phát biểu về vấn đề II và 7 người phát biểu về vấn đề III.


Ngoài ra, có đúng 1 người không phát biểu vấn đề nào. Hỏi nhiều nhất là có bao
nhiêu người phát biểu cả 3 vấn đề.
2. Có 17 nhà bác học viết thư cho nhau trao đổi 3 vấn đề. Chứng minh rằng luôn
tìm được 3 người cùng trao đổi một vấn đề.
3. Trong kỳ thi kết thúc học phần toán học rời rạc có 10 câu hỏi. Có bao nhiêu cách
gán điểm cho các câu hỏi nếu tổng số điểm bằng 100 và mỗi câu ít nhất được 5
điểm.
4. Phương trình x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 21 có bao nhiêu nghiệm nguyên không
âm?
5. Có bao nhiêu xâu khác nhau có thể lập được từ các chữ cái trong từ
MISSISSIPI, yêu cầu phải dùng tất cả các chữ?
6. Lớp Toán- Tin có 40 sinh viên cần bầu một lớp trưởng, một lớp phó và một ban
kiểm phiếu 3 người không có trưởng ban. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 người này.
7. Trong kì thi sinh viên phải trả lời ngẫu nhiên 20 câu hỏi trong bộ đề gồm 100
câu hỏi dạng đúng hoặc sai. Hỏi có bao nhiêu đáp án
8. Có 12 chiếc kẹo cần chia ra một số gói, mỗi gói có chẵn số kẹo hỏi có bao nhiêu
cách chia.
9. Một hình tròn có bán kính 5cm. Bên trong đó có 10 điểm bất kì. Chứng minh

rằng luôn tồn tại ít nhất 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 4cm.
10. Tính tổng tất cả các số là hoán vị của số 12345 .
11. Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn ra từ
đó 3 tem thư và 3 bì thư, mỗi bì thư dán 1 tem. Có bao nhiêu cách như vậy?
12. Có bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau mà có mặt của chữ số 0 và chữ số 9.
13. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số, trong đó
số 1 có mặt đúng 3 lần và các số khác có mặt đúng 1 lần.
14. Có thể thành lập bao nhiêu số có 8 chữ số, trong đó chữ số 1 và chữ số 6 đều có
mặt 2 lần, các chữ số 2, 3, 4, 5 đều cómặt đúng 1 lần.


15. Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số, trong đó chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ
số 3 có mặt đúng 3 lần, các chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần.

8. Tài liệu tham khảo:
[1] Nguyễn Minh Tuấn, Chuyên đề đại số tổ hợp, lưu hành nội bộ tháng 8 năm
2013.
[2] Trần Nam Dũng, Chuyên đề phép đếm_ Các nguyên lí cơ bản của phép đếm

NGUYÊN LÍ DIRICHLET VÀ ỨNG DỤNG

1.Vài nét về phương pháp Dirichlet:

Dirichlet(1805-1859)
- Nguyên lý Dirichlet do nhà toán học người Đức nổi tiếng 1là Dirichlet đề xuất từ
thế kỷ XX đã được áp dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm trong nhiều bài toán
tổ hợp. Nguyên lý này được phát triển từ một mệnh đề rất đơn giản gọi là nguyên
lý “nguyên lý quả cam” hay là nguyên lý “chuồng chim bồ câu”: Giả sử có một
đàn chim bồ câu bay vào chuồng. Nếu số chim nhiều hơn số ngăn chuồng thì chắc
chắn có ít nhất một ngăn có nhiều hơn một con chim.

-Phương pháp sử dụng nguyên lý Dirichlet là phương pháp mà học sinh được làm
quen sớm nhất ngay từ khi học ở bậc tiểu học. Đây là một trong những phương
pháp thể hiện rõ cái đẹp của toán học, làm cho học sinh thêm yêu thích môn toán.


Chính vì vậy mà trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp, các bậc: Tiểu học, THCS,
THPT… thường xuyên có mặt các bài toán phải sử dụng phương pháp này.

2.Khái niệm nguyên lí Dirichlet:
-Nguyên lý: “Nếu nhốt hết 5 con thỏ vào 4 cái chuồng thì luôn có ít nhất là hai con
thỏ bị nhốt trong cùng một chuồng”.
+ Nguyên lí Dirichlet cơ bản: Nếu xếp nhiều hơn n+1 đối tượng vào n cái hộp thì
tồn tại ít nhất một hộp chứa không ít hơn hai đối tượng.
Ta chứng minh bằng phản chứng: Giả sử không hộp nào chứa nhiều hơn một đối
tượng thì chỉ có nhiều nhất là n đối tượng được xếp trong các hộp, trái với giả thiết
là số đối tượng lớn hơn n.
+ Nguyên lí Dirichlet mở rộng.
Nếu nhốt n con thỏ vào m ≥ 2 cái chuồng thì tồn tại một chuồng có ít nhất
*
+ con thỏ, ở đây kí hiệu [α] để chỉ phần nguyên của số α.
Ta chứng minh nguyên lí Dirichlet mở rộng như sau : Giả sử trái lại mọi chuồng
thỏ không có đến *
+ *
+ * +
con, thì số thỏ trong mỗi
chuồng đều nhỏ hơn hoặc bằng *
hoặc bằng m. *
chứng là sai.

+

+ con. Từ đó suy ra tổng số con thỏ nhỏ hơn

con. Điều này vô lí vì có n con thỏ. Vậy giả thiết phản

Dựa vào 2 nguyên lí Dirichlet cơ bản và mở rộng ta có thể phân chia các đối tượng
thành các nhóm khác nhau khi không cần quan tâm đến tính chất của đối tượng mà
chỉ cần quan tâm đến số “vật” và “ngăn”.
3.Ứng dụng của nguyên lí Dirichlet trong các dạng toán cơ bản.
Bài 1: Một trường học có 1000 học sinh gồm 23 lớp. Chứng minh rằng phải có ít
nhất một lớp có từ 44 học sinh trở lên.
iải:
Giả sử 23 lớp mỗi lớp có không quá 43 học sinh.


hi đó số học sinh là:
43.23=989 học sinh(vô lý).
Theo nguyên lí Dirichlet phải có ít nhất một lớp có từ 44 học sinh trở lên.
Bài 2: Một lớp có 50 học sinh. Chứng minh rằng có ít nhất 5 học sinh có tháng sinh
giống nhau.
iải
Giả sử có không quá 44 học sinh có tháng sinh giống nhau
Một năm có 12 tháng, khi đó số học sinh của lớp có không quá: 12.4=12.4=48 (học
sinh)
Theo nguyên lí Dirichlet phải có ít nhất 5 học sinh có tháng sinh giống nhau.
Bài 3: Trong 45 học sinh làm bài kiểm tra, không có ai bị điểm dưới 2, chỉ có 2 học
sinh được điểm 10. Chứng minh rằng ít nhất cũng tìm được 6 học sinh có điểm
kiểm tra bằng nhau (điểm kiểm tra là một số tự nhiên)
iải:
Có 43 học sinh phân thành 8 loại điểm (từ 2 đến 9)

Giả sử trong 88 loại điểm đều là điểm của không quá 5 học sinh thì lớp học có:
5.8=40 học sinh, ít hơn 3 học sinh so với 43.
Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau.
Bài 4:Một lớp học có 50 học sinh, có duy nhất một học sinh thiếu nhiều bài tập
nhất là thiếu 3 bài tập. Chứng minh rằng tồn tại 17 học sinh thiếu 1 số bài tập như
nhau (trường hợp không thiếu bài tập coi như thiếu 0 bài).
iải:
Giả sử mỗi loại bài tập có 16 học sinh.
Số học sinh không quá 16×3=48 (thiếu 2 học sinh).
Theo nguyên lí Dirichlet có ít nhất 17 học sinh thiếu một số bài tập như nhau.
Bài 5:Trong hình vuông đơn vị (cạnh bằng 1) có 101 điểm. Chứng minh rằng
có năm điểm trong các điểm đã chọn được phủ bởi một đường tròn bán kính
Giải:
Chia hình vuông ra làm 25 hình vuông bằng nhau, mỗi cạnh của hình vuông là
0.2.Vì có 101 điểm, mà chỉ có 25 hình vuông, nên theo nguyên lí Dirichlet tồn tại


hình vuông nhỏ chứa ít nhất năm điểm (trong 101 điểm đã cho). Vì hình vuông
√

√

√

này nội tiếp trong đường tròn bán kính R =
. Do
nên dĩ nhiên đường tròn đồng tâm với đường tròn ngoại tiếp trên
và có bán kính chứa ít nhất năm điểm nói trên.

Bài 6: Chứng minh rằng đối với một số n nguyên dương bất kì bao giờ ta cũng tìm

được một số tự nhiên mà các chữ số của nó bao gồm chỉ có chữ số 5 và chữ số 0 và
chia hết cho n.
Giải: Xét n+ 1 số sau: 5; 55;...; 55...5 a1  a2  an1  ( n+1 chữ số 5). Theo
nguyên lý Dirichlet : với n+1 số trên ắt tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho n.
Hiệu của hai số này là số có dạng: 55…50…0 gồm toàn chữ số 5 và chữ số 0 và
chia hết cho n.
Bài 7: Cho 4 số dương bất kì. Chứng minh rằng có hai trong bốn số đó,
chẳng hạn x và y, thoả mãn bất phương trình sau:
√
Giải:
Gọi các số đã cho là x1, x2, x3, x4. Đặt
(

Đặt

) ra làm 3 đoạn mỗi đoạn

Suy ra tồn tại hai số

thuộc cùng 1 đoạn, mỗi đoạn (nguyên lí dirichlet).


(

)

( )
√

√

√
(

)(

)
√

4.Bài tập tự giải:
Bài 1: Một lớp học có 30 học sinh. Khi viết chính tả, em A phạm 14 lỗi, các em
khác phạm ít lỗi hơn. Chứng minh rằng có ít nhất là 3 học sinh không mắc lỗi hoặc
mắc số lỗi bằng nhau.
Bài 2: Cho 5 người tùy ý. Chứng minh rằng trong số đó có ít nhất là hai người có
số người quen bằng nhau ( chú ý là A quen B thì B quen A).
Bài 3: Trong một giải bóng đá có 10 đội tham gia, bất cứ hai đội nào trong số đó
cũng phải đấu với nhau một trận. Chứng minh rằng tại bất cứ thời điểm nào của
lịch thi đấu cũng có hai đội đã đấu được một số trận như nhau.
Bài 4: Chứng minh rằng trong 1007 số tự nhiên bất kỳ luôn tồn tại hai số sao cho
tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 2011.
Bài 5: Chứng minh rằng trong 2011 số tự nhiên liên tiếp bất kỳ luôn tồn tại một số
có tổng các chữ số chia hết cho 28.


5.Tài liệu tham khảo:
[1] Nguyễn Hữu Điển, Phương pháp DIRICHLET và ứng dụng, NXB Khoa học
và kĩ thuật Hà nội, 1999.
[2] Phan Huy Khải, Các bài toán cơ bản của số học, NXB Giáo dục, 2009.
[3]Nguyễn Văn Vĩnh, 23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp, NXB Giáo dục,
2005.