Giao trinh xac xuat thong ke

B GIÁO D C VÀ ðÀO T O
TRƯ NG ð I H C NÔNG NGHI P I
**********************

Ths.LÊ ð C VĨNH

GIÁO TRÌNH
XÁC SU T TH NG KÊ

HÀ N I - 2006


Chương 1 : Phép th . S ki n
Nh ng ki n th c v gi i tích t h p sinh viên ñã ñư c h c trong chương trình ph
thơng. Tuy nhiên đ giúp ngư i h c d dàng ti p thu ki n th c c a nh ng chương k ti p
chúng tôi gi i thi u l i m t cách có h th ng nh ng ki n th c này. Phép th ng u nhiên
và s ki n ng u nhiên là bư c kh i ñ u ñ ngư i h c làm quen v i môn h c Xác su t.
Trong chương này chúng tơi trình bày nh ng ki n th c t i thi u v s ki n ng u nhiên,
các phép toán v các s ki n ng u nhiên, h ñ y ñ các s ki n ñ ng th i ch ra cách
phân chia m t s ki n ng u nhiên theo m t h ñ y ñ . Nh ng ki n th c này là c n thi t
ñ ngư i h c có th ti p thu t t nh ng chương ti p theo.
I. Gi i tích t h p
1.Qui t c nhân: Trong th c t nhi u khi đ hồn thành m t cơng vi c, ngư i ta ph i th c
hi n m t dãy liên ti p k hành ñ ng.
Hành ñ ng th nh t: có 1 trong n1 cách th c hi n
Hành đ ng th hai: có 1 trong n2 cách th c hi n
. . .. . . . . .. .. . . . . . . .. . . . . . . . . .. .. .. . . .
Hành đ ng th k: có 1 trong nk cách th c hi n
G i n là s cách hồn thành cơng vi c nói trên, ta có:
n = n1n2..nk
Qui t c trên g i là qui t c nhân.

Ví d : ð đi t thành ph A t i thành ph C ph i qua thành ph B. Có m t trong b n
phương ti n đ ñi t A t i B là: ñư ng b , đư ng s t, đư ng khơng và đư ng thu . Có
m t trong hai phương ti n ñ ñi t B t i C là ñư ng b và đư ng thu . H i có bao nhiêu
cách ñi t A t i C?
ð th c hi n vi c ñi t A t i C ta ph i th c hi n m t dãy liên ti p hai hành ñ ng.
Hành ñ ng th nh t: ch n phương ti n ñi t A t i C có n1= 4 cách
Hành đ ng th hai: ch n phương ti n ñi t B t i C có n2 = 2 cách
V y theo qui t c nhân, s cách ñi t A t i C là n= 4.2 = 8 cách
2.Qui t c c ng:
ð hồn thành cơng vi c ngư i ta có th ch n m t trong k phương án.
Phương án th nh t: có 1 trong n1 cách th c hi n
Phương án th hai: có 1 trong n2 cách th c hi n
.................................
Phương án th k: có 1 trong nk cách th c hi n
G i n là s cách hồn thành cơng vi c nói trên, ta có:
n = n1 + n2 +. . . ..+ nk

Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..1


Qui t c trên g i là qui t c c ng
Ví d : M t t sinh viên g m hai sinh viên Hà N i, ba sinh viên Nam ð nh và ba sinh
viên Thanh Hoá. C n ch n hai sinh viên cùng t nh tham gia đ i thanh niên xung kích.
H i có bao nhiêu cách ch n.
Phương án th nh t: Ch n hai sinh viên Hà N i có n1= 1 cách
Phương án th hai: Ch n hai sinh viên Nam ð nh có n2= 3 cách
Phương án th ba: Ch n hai sinh viên Thanh Hố có n3= 3 cách
Theo qui t c c ng ta có s cách ch n hai sinh viên theo yêu c u:
n = 1 + 3 + 3 = 7 cách
3.Hốn v

Trư c khi đưa ra khái ni m m t hoán v c a n ph n t ta xét ví d sau:.
Ví d : Có ba h c sinh A,B,C đư c s p x p ng i cùng m t bàn h c. H i có bao nhiêu
cách s p x p?
Có m t trong các cách s p x p sau:
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.
Nh n th y r ng: ð i ch b t kỳ hai h c sinh nào cho nhau ta ñư c m t cách s p x p
khác. T m t cách s p x p ban ñ u, b ng cách ñ i ch liên ti p hai h c sinh cho nhau ta
có th ñưa v các cách s p x p còn l i. M i m t cách s p x p như trên cịn đư c g i là
m t hốn v c a ba ph n t A, B, C. T ng quát v i t p h p g m n ph n t ta có đ nh
nghĩa sau:
3.1 ð nh nghĩa: M t hoán v c a n ph n t là m t cách s p x p có th t n ph n t đó.
3.2 S hoán v c a n ph n t : V i m t t p g m n ph n t đã cho. S t t c các hốn v
c a n ph n t ký hi u là Pn.Ta c n xây d ng cơng th c tính Pn.
ð t o ra m t hoán v c a n ph n t ta ph i th c hi n m t dãy liên ti p n hành ñ ng.
Hành ñ ng th nh t: Ch n 1 ph n t x p đ u có n cách ch n
Hành ñ ng th hai: Ch n 1 ph n t x p th 2 có n-1 cách ch n
...........................................
Hành đ ng cu i: Ch n ph n t còn l i x p cu i có 1 cách ch n
Theo qui t c nhân, s cách t o ra 1 hoán v c a n ph n t là
Pn = n.(n-1) ....2.1= n!
4. Ch nh h p không l p
4.1 ð nh nghĩa: M t ch nh h p không l p ch p k c a n ph n t là m t cách s p x p có
th t g m k ph n t khác nhau l y t n ph n t đã cho.
Ví d : Có 5 ch s 1, 2, 3, 4, 5. Hãy l p t t c các s g m 2 ch s khác nhau
Các s đó là: 12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54.
M i m t s trên chính là m t cách s p x p có th t g m hai ph n t khác nhau l y t
năm ph n t là năm ch s ñã cho. V y m i s là ch nh h p không l p ch p hai c a năm
ph n t .

Trư ng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..2

4.2 S các ch nh h p không l p: S các ch nh h p không l p ch p k c a n ph n t kí hi u
là A k . Ta xây d ng công th c tính A k .
n
n
ð t o ra m t ch nh h p không l p ch p k c a n ph n t ta ph i th c hi n m t dãy liên
ti p k hành ñ ng.
Hành ñ ng th nh t: ch n 1 trong n ph n t ñ x p ñ u: có n cách
Hành đ ng th hai: ch n 1 trong n-1 ph n t ñ x p th 2: có n -1 cách
. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hành ñ ng th k: ch n 1 trong n-k+1 ph n t ñ x p cu i: có n-k+1 cách
Theo qui t c nhân: S cách t o ra m t ch nh h p không l p ch p k c a n ph n t là :
A k = n(n-1).. ....(n-k+1)
n
ð d nh ta s d ng công th c sau:
A k = n.(n − 1)....(n − k + 1) = n.(n − 1)...(n − k + 1).
n

(n − k ).......2.1
n!
=
(n − k )......2.1 (n − k )!

5. Ch nh h p l p: ð hi u th nào là m t ch nh h p l p ta xét ví d sau:
Ví d : Hãy l p các s g m 2 ch s t 4 ch s : 1, 2, 3, 4.
Các s ñó là: 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.
M i s trong các s nói trên là m t cách s p x p có th t g m hai ch s , m i ch s
có th có m t ñ n hai l n l y t b n ch s ñã cho. M i cách s p x p như v y còn g i là
m t ch nh h p l p ch p hai c a b n ph n t . T ng quát hoá ta có đ nh nghĩa sau:

5.1 ð nh nghĩa: M t ch nh h p l p ch p k c a n ph n t là m t cách s p x p có th t
g m k ph n t mà m i ph n t l y t n ph n t đã cho có th có m t nhi u l n.
5.2 S các ch nh h p l p ch p k:
ˆ
S các ch nh h p l p ch p k c a n ph n t ñư c ký hi u là A k . Ta s đưa ra cơng th c
n

ˆ
tính A k .
n

ð t o ra m t ch nh h p l p ch p k c a n ph n t ta ph i th c hi n m t dãy liên ti p k
hành ñ ng.
Hành ñ ng th nh t: ch n 1 trong n ph n t x p đ u có n cách
Hành đ ng th hai: ch n 1 trong n ph n t x p th 2 có n cách
. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hành ñ ng th k: ch n 1 trong n ph n t x p th k có n cách
ˆ
Theo qui t c nhân ta có: A k = nk
n

6.T h p: Các khái ni m trên ln đ ý đ n tr t t c a t p h p ta đang quan sát. Tuy
nhiên trong th c t có nhi u khi ta ch c n quan tâm t i các ph n t c a t p con c a m t
t p h p mà không c n ñ ý ñ n cách s p x p t p con đó theo m t tr t t nào. T đây ta
có khái ni m v t h p như sau
6.1 ð nh nghĩa: M t t h p ch p k c a n ph n t là m t t p con g m k ph n t l y t n
ph n t ñã cho.

Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..3

Ví d : Cho t p h p g m b n ph n t {a,b,c,d}. H i có bao nhiêu t p con g m hai
ph n t ?
Các t p con đó là {a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d}
V y t p h p g m b n ph n t {a,b,c,d} có sáu t p con v a nêu.
6.2: S t h p ch p k c a n ph n t có ký hi u là C k
n
B ng cách đ i ch các ph n t cho nhau, m t t h p ch p k c a n ph n t có th t o ra
k! ch nh h p không l p ch p k c a n ph n t .
Có C k t h p ch p k c a n ph n t t o ra A k ch nh h p không l p ch p k c a n ph n t .
n
n
V y ta có : C k =
n

Ak
n!
n
=
k! k!(n − k )!

7.T h p l p:
7.1 ð nh nghĩa: M t t h p l p ch p k c a n ph n t là m t nhóm khơng phân bi t th t
g m k ph n t , m i ph n t có th có m t ñ n k l n l y t n ph n t đã cho.
Ví d : Cho t p {a,b,c} g m 3 ph n t
Các t h p l p c a t p h p trên là {a,a},{a,b},{a,c},{b,b},{b,c},{c,c}
ˆ
7.2 S các t h p l p ch p k c a n ph n t ký hi u là:. C k
n

Vi c t o ra m t t h p l p ch p k c a n ph n t tương ñương v i vi c x p k qu c u
gi ng nhau vào n ngăn kéo ñ t li n nhau, hai ngăn liên ti p cùng chung m t vách ngăn.
Các vách ngăn tr vách ngăn đ u và cu i có th xê d ch và ñ i ch cho nhau. M i cách
s p x p k qu c u gi ng nhau vào n ngăn là m t cách b trí n+k-1 ph n t ( g m k qu
c u và n-1 vách ngăn) theo th t t ph i sang trái. Cách b trí khơng đ i khi các qu c u
ñ i ch cho nhau ho c các vách ngăn đ i ch cho nhau. Cách b trí thay ñ i khi các qu
c u và các vách ngăn ñ i ch cho nhau. Ta có (n+k-1)! cách b trí n+k-1 ph n t (g m k
qu c u và n-1 vách ngăn). S cách ñ i ch k qu c u là k! , s cách ñ i ch n-1 vách
ngăn là (n-1)! . V y ta có s các t h p l p ch p k c a n ph n t là:
ˆ k (n + k − 1)! = C k
Cn =
n + k −1
k!(n − 1)!
Ví d : T i m t tr i gi ng gà có ba lo i gà gi ng A, B, C. M t khách hàng vào ñ nh
mua 10 con. H i có bao nhiêu cách mua ( gi s r ng s lư ng các gi ng gà A, B, C m i
lo i c a tr i ñ u l n hơn 10).
Ta th y m i m t cách mua 10 con gà chính là m t t h p l p ch p 10 c a 3 ph n t . V y
10
ˆ
s cách mua là: C10 = C = 66
3

12

8. Nh th c Newton
Ta có: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 = C 0 a 2 b 0 + C1 a 1b1 + C1 a 0 b 2
2
2
2
2

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = C 0 a 3 b 0 + C1 a 2 b1 + C 3 a 1b 2 + C 3a 0 b 3
3
3
3

M r ng ra:
(a + b) n = C 0 a n b 0 + C1 a n −1b1 + ........ + C k a n −k b k + ................ + C n a 0 b n
n
n
n
n
Công th c trên g i là công th c nh th c Newton.
Ta ch ng minh công th c nh th c Newton theo qui n p..
Trư ng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..4


V i n = 2 ta có cơng th c ñúng.
Gi s công th c ñúng v i n = m t c là:
(a + b) m = C 0 a m b 0 + C1 a m−1b1 + ....... + C m a 0 b m
m
m
m
Ta s ch ng minh:
(a + b) m+1 = C 0 +1a m +1b 0 + C1 +1a m b1 + ......... + C m+1a 0 b m+1
m
m
m +1
Th t v y:
(a + b) m +1 = (a + b) m (a + b) = (C 0 a n b 0 + ... + C k a m −k b k + ... + C m a 0 b m )(a + b)
m

m
m

=>

0
1
k
k
m
m
(a + b) m+1 = (C m + C m )a m +1b 0 + ... + (C m−1 + C m )a m +1−k b k + ... + (C m −1 + C m )a 0 b m +1

M t khác: C k −1 + C k = C k +1 suy ra:
m
m
m
(a + b) m +1 = C 0 +1a m +1b 0 + C1 +1a m b1 + ......... + C m+1a 0 b m+1 .
m
m
m +1
Theo nguyên lý qui n p công th c nh th c Newton đư c ch ng minh.
1
Ví d : Tìm h s c a x12 trong khai tri n: ( x + 2 ) 20
x
1
1
Ta có: ( x + ) 20 = C 0 x 20 + ........ + C k x 20−2 k + ....... + C 20 20 .
20
20

20
x
x
Xét 20 - 2 k = 12
4
=> k = 4 V y h s c a x12 là: C20 = 4745

II. Phép th , s ki n
1.Phép th ng u nhiên và khơng ng u nhiên
M t phép th có th coi là m t thí nghi m, m t quan sát các hi n tư ng t nhiên, các
hi n tư ng xã h i và các v n ñ kĩ thu t v i cùng m t h ñi u ki n nào đó.
Trong các lo i phép th có nh ng phép th mà khi b t đ u ti n hành th c hi n ta ñã bi t
ñư c k t qu s x y ra sau khi th như ñun nư c ñi u ki n bình thư ng (dư i áp su t 1
atmotphe) thì đ n 100oC nư c s sơi, ho c cho dung d ch NaOH không dư vào dung d ch
HCl cũng khơng dư ta thu đư c mu i ăn NaCl và nư c H2O.
Nh ng phép th mà khi b t ñ u ti n hành th ta bi t ñư c nh ng k t qu nào s x y ra
sau khi th ñư c g i là các phép th khơng ng u nhiên.
Tuy nhiên có r t nhi u lo i phép th mà ngay khi b t ñ u ti n hành phép th ta khơng
th bi t đư c nh ng k t qu nào s x y ra sau khi th ch ng h n như khi gieo 100 h t
ñ u gi ng, s h t n y m m sau m t th i gian gieo có th là t 0 ñ n 100 ho c khi cho p
10 qu tr ng thì s tr ng gà có th n ra gà con là t 0 ñ n 10 con. Nh ng phép th lo i
này g i là nh ng phép th ng u nhiên.
Trong giáo trình này chúng ta ch quan tâm t i nh ng phép th ng u nhiên, đó là nh ng
phép th mà khi b t ñ u ti n hành th ta chưa th bi t nh ng k t qu nào s x y ra. ð
ñơn gi n t ñây tr ñi khi nói t i phép th ta ph i hi u ñ y là phép th ng u nhiên

Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..5


2. S ki n:

Các k t qu có th có c a m t phép th ng v i m t b các ñi u ki n xác ñ nh nào đó g i
là các s ki n ng u nhiên ho c ñơn gi n g i là các s ki n ho c các bi n c .
Ta thư ng l y các ch cái A, B, C, D. . .. . . ho c Ai, Bj, Ck, Dn.. . . đ ch các s ki n.
Ví d 1: Tung m t con xúc x c cân ñ i và đ ng ch t có th có các s ki n sau:
A: S ki n xu t hi n m t ch n
B: S ki n xu t hi n m t l
Ai: S ki n xu t hi n m t có i ch m.
Ví d 2: Trong m t gi đ ng hoa qu có ch a 1 qu cam, 1 qu quýt, 1 qu ñào và 1
qu lê. Ch n ng u nhiên ra 2 qu có th có các s ki n sau:
A: Hai qu ñư c ch n g m 1 cam 1 quýt
B: Hai qu ñư c ch n g m 1 cam 1 ñào
C: Hai qu ñư c ch n g m 1 cam 1 lê
D: Hai qu ñư c ch n g m 1 quýt 1 lê
E: Hai qu ñư c ch n g m 1 quýt 1 ñào
G: Hai qu ñư c ch n g m 1 ñào 1 lê
3. S ki n t t y u và s ki n khơng th có
S ki n t t y u ho c s ki n ch c ch n là s ki n nh t thi t ph i x y ra sau khi phép th
ñư c th c hi n. Ta kí hi u s ki n này là Ω ..
S ki n khơng th có ho c s ki n b t kh ho c s ki n r ng là s ki n không bao gi
x y ra sau khi th . Ta kí hi u s ki n này là φ .
Ví d : ð ng t i Hà N i ném m t hòn ñá
S ki n ñá rơi xu ng ñ a gi i Vi t Nam là s ki n t t y u
S ki n ñá rơi xu ng ð i Tây Dương là s ki n b t kh .
4. Quan h gi a các s ki n, hai s ki n b ng nhau
S ki n A ñư c g i là kéo theo s ki n B n u A x y ra thì B cũng x y ra và kí hi u
A ⊂ B ( ho c A ⇒ B).
N u A kéo theo B và B kéo theo A thì ta nói A b ng B và vi t A = B. Trong xác su t hai
s ki n b ng nhau ñư c coi là m t
Ví d : M t h c sinh thi h t m t môn h c
A là s ki n h c sinh đó đ (đ t đi m t 5 t i 10)

B là s ki n h c sinh đó đ trung bình ho c khá (đ t ñi m t 5 t i 8)
C là s ki n h c sinh đó đ khá ho c gi i
G là s ki n h c sinh đó ñ gi i (ñ t ñi m 9, 10)
K là s ki n h c sinh d ñ khá (ñ t ñi m 7, 8)
TB là s ki n h c sinh đó đ trung bình (đ t đi m 5, 6)
Ai là s ki n h c sinh đó ñ t i ñi m (i = 0, 1, . . . .,9, 10).
Ta có: G ⇒ A ; B ⇒ A ; C ⇒ A ; A 6 ⇒ A ; A 9 ⇒ G ; A 7 ⇒ B ; A 7 ⇒ K ; A 5 ⇒ TB...

Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..6


5.Các phép tính v s ki n
5.1 Phép h p: H p c a 2 s ki n A và B là s ki n C, s ki n C x y ra khi A x y ra ho c
B x y ra.
Kí hi u: A Υ B = C và ñ c là A h p B b ng C
Ta có th mơ t h p c a 2 s ki n A và B b ng hình v sau:

Hình 1
D a vào hình v trên có th th y C x y ra khi:
• A x y ra và B khơng x y ra.
• B x y ra và A khơng x y ra.
• C A và B cùng x y ra.
Vì v y có th nói h p c a hai s ki n A và B là m t s ki n C x y ra khi ít nh t 1 trong 2
s ki n A, B x y ra.
Ví d : M t sinh viên thi h t m t môn h c
G i : A là s ki n sinh viên đó khơng ph i thi l i (ñi m thi t 5 ñ n 10)
B là s ki n sinh viên đó đ t đi m trung bình khá (đi m thi t 5 ñ n 8)
C là s ki n sinh viên ñó ñ t ñi m khá gi i ( ñi m thi t 7 đ n 10)
Ta có: A = B Υ C .
5.2 Phép giao: Giao c a 2 s ki n A và B là s ki n D, s ki n D x y ra khi c A và B

cùng x y ra.
Kí hi u: A Ι B = D ho c AB = D và ñ c là A giao B b ng D ho c A nhân B b ng D
Hình v sau mơ t giao c a 2 s ki n A và B

Hình 2
Ví d : Quay l i ví d
m c 5.1
G i K là s ki n sinh viên đó đ t ñi m khá (ñi m thi t 7 ñ n 8)
Ta có: K = B Ι C
N u A Ι B = φ ta nói A và B là 2 s ki n xung kh c v i nhau. Khi A xung kh c v i B thì
h p c a 2 s ki n A và B ñư c kí hi u là A + B và đ c là A c ng B.
Trư ng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..7


5.3 Phép tr . S ki n ñ i l p: Hi u c a s ki n A tr s ki n B là s ki n E, s ki n E
x y ra khi A x y ra và B khơng x y ra.
Kí hi u: A\B= E và ñ c là A tr B b ng E
Ta cũng có th mơ t hi u c a s ki n A tr s ki n B b ng hình v sau:

Hình 3
D nh n th y r ng: N u A Ι B = φ thì A \ B = A
__

S ki n : Ω \ A G i là s ki n ñ i l p c a s ki n A và kí hi u là A .
T ñ nh nghĩa s ki n ñ i l p c a s ki n A ta th y:
__

* A và A . xung kh c v i nhau
__

* N u A khơng x y ra thì A x y ra và ngư c l i
Hai s ki n ñ i l p nhau xung kh c v i nhau “m nh m ” theo ki u có anh thì khơng có
tơi nhưng khơng có anh thì ph i có tơi.
Ví d : M t t h c sinh g m 3 h c sinh nam 3 h c sinh n . Ch n ng u nhiên 2 ngư i.
G i : A là s ki n 2 h c sinh ñư c ch n là cùng gi i
B là s ki n 2 h c sinh ñư c ch n ñ u là nam
C là s ki n 2 h c sinh ñư c ch n ñ u là n
D là s ki n 2 h c sinh đư c ch n có m t nam m t n
Ta có A \ B = C, D = A .
Hình sau mơ t s ki n đ i l p c a s ki n A

Hình 4
5.4 Tính ch t
φ ⇒ A ; A ⇒ Ω ∀A
1/
2/

A Υ φ = A ; Aφ = φ ; A Υ Ω = Ω ; AΩ = A

3/

N u A ⇒ B ; B ⇒ C thì A ⇒ C

4/

A Υ B = B Υ A ; AB = BA

Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..8

5/

A Υ (B Υ C) = (A Υ B) Υ C ; A (BC) = (AB)C

6/

A (B Υ C) = AB Υ AC ; A Υ (BC) = (A Υ B)(A Υ C)

7/

A \ B= A B

8/

A Υ B = A B ; AB = AΥ B

__

________

__ __

____

__

__

Vi c ch ng minh các tính ch t trên khá d dàng xin dành cho b n đ c. Chúng tơi ch
ch ng minh tính ch t 8 ph n 1 như là m t ví d minh ho cho vi c ch ng minh các s

ki n b ng nhau:
_______

__ __

Ta ch ng minh: A Υ B = A B
_______

Gi s A Υ B x y ra theo ñ nh nghĩa c a s ki n ñ i l p => A Υ B khơng x y ra, theo
đ nh nghĩa c a h p hai s ki n => A không x y ra và B không x y ra, l i theo ñ nh nghĩa
__

c a s ki n ñ i l p => A x y ra và B x y ra, theo ñ nh nghĩa c a phép giao hai s ki n
__ __

=> A B . x y ra.
_______

__ __

V y ta có: A Υ B ⇒ A B

(1)

__ __

__

__

Ngư c l i gi s A B x y ra, theo ñ nh nghĩa c a phép giao, => A x y ra và B x y ra,
l i theo ñ nh nghĩa c a s ki n đ i l p => A khơng x y ra và B khơng x y ra, theo đ nh
nghĩa c a h p hai s ki n => A Υ B . khơng x y ra, theo đ nh nghĩa c a s ki n ñ i l p
_______

__ __

________

=> A Υ B x y ra. V y ta cũng có: A B ⇒ A Υ B
_______

(2)

__ __

T (1) và (2) => A Υ B = A B
6. S ki n có th phân chia đư c, s ki n sơ c p cơ b n
6.1 S ki n có th phân chia đư c
S ki n A ñư c g i là có th phân chia ñư c n u t n t i hai s ki n B ≠ φ , C ≠ φ ,
BC = φ và A = B + C. Khi đó ta nói A phân chia đư c thành hai s ki n B và C.
Ví d : Trong m t con xúc x c cân ñ i và ñ ng ch t.
G i A là s ki n xu t hi n m t có s ch m chia h t cho 3.
G i Ai là s ki n xu t hi n m t i ch m
S ki n A có th phân chia đư c vì t n t i A3; A6 ≠ φ ; A 3 A 6 = φ và A = A3 + A6.
6.2 S ki n sơ c p cơ b n: S ki n khác r ng và khơng th phân chia đư c g i là s ki n
sơ c p cơ b n.
Ví d : Quay l i ví d
m c 6.1. Các s ki n A1, A2, A3, A4, A5, A6 là các s ki n sơ
c p cơ b n.

Ta nh n th y r ng các s ki n sơ c p cơ b n là các s ki n mà sau m t phép th ch có
m t trong các s ki n này x y ra.

Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..9


7. H ñ y ñ các s ki n
7.1 H ñ y ñ các s ki n: H các s ki n A1, A2,. ... An g i là m t h ñ y ñ các s ki n
n u:
1/ Ai ≠ φ v i m i i = 1, 2 . . . . n
2/

A i A j = φ v i m i i khác j

3/ A1+ A2+.. . . . . .+ An = Ω
Ví d : ðem hai cá th
th h F1 mang gen Aa, Aa lai v i nhau. Các cá th con th
h F2 có th có 1 trong 4 ki u gien AA, Aa, aA và aa. Ch n 1 cá th con trong các cá th
nói trên.
G i: A là s ki n cá th con là ñ ng h p t (mang gen AA ho c aa)
B là s ki n cá th con là d h p t (mang gen Aa ho c aA)
C là s ki n cá th con có mang gen tr i (AA, Aa, aA)
A1 là s ki n cá th con ch mang gen tr i (AA)
A2 là s ki n cá th con ch mang gen l n (aa)
Ta có: A, B là m t h ñ y ñ các s ki n
C, A2 cũng là m t h ñ y ñ các s ki n
B, A1, A2 cũng là m t h ñ y ñ các s ki n
Như v y: v i m t phép th đã cho có th có nhi u h ñ y ñ các s ki n khác nhau.
7.2 Phân chia m t s ki n theo h ñ y ñ .
Gi s A1, A2, . ...An là m t h ñ y ñ các s ki n. A là m t s ki n khác r ng nào đó. Ta

có:
A= AΩ = A(A1 + A 2 + .......... + A n ) = AA1 + ....AA i + .....AA n
Khi đó ta nói A đư c phân chia gián ti p nh h ñ y ñ các s ki n: A1, A2 , A3 ,..., An.
Như ñã bi t v i m i phép th có th l p ra nhi u h ñ y ñ các s ki n vì v y m i s
ki n khác r ng A cũng có th phân chia theo nhi u cách khác nhau. M c đích c a vi c
phân chia s ki n A ra m t s s ki n ñơn gi n hơn nh m ñánh giá kh năng x y ra c a
s ki n A nh các s ki n ñơn gi n này.
8. ð i s và σ - ñ i s các s ki n
Xét Ω là m t t p h p khác r ng mà ta g i là s ki n ch c ch n. C là m t h các t p con
nào đó c a Ω .M i t p con A c a Ω , A∈ C g i là m t s ki n. H C ñư c g i là
σ − ñ i s các s ki n n u:
1/ φ ∈ C .
__

2/ N u A ∈ C thì A ∈ C
∞

3/ N u A1, A2. . . . . . An. . .là các s ki n thu c C thì Υ A n ∈ C
n =1

Trư ng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..10


H C ñư c g i là ñ i s các s ki n n u yêu c u 1, 2 nêu trên tho mãn và h p c a m t
s h u h n các s ki n thu c C cũng là m t s ki n thu c C. Ta nh n th y r ng n u C là
σ − ñ i s các s ki n thì C cũng là m t đ i s các s ki n.
Ví d : Tung đ ng th i 2 ñ ng ti n, các s ki n sơ c p cơ b n là:
SS, SN, NS, NN. Xét Ω = SS + SN +NS +NN.
T p t t c các t p h p con c a Ω là m t ñ i s các s ki n.và cũng là m t σ − ñ i s các
s ki n

Bài t p chương 1
1. M t ño n gen g m 2 gen X, 2 gen Y, 2 gen Z, 2 gen T liên k t v i nhau theo m t hàng
d c.

Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..11


a. H i có bao nhiêu cách liên k t 8 gen nói trên?
b. H i có bao nhiêu cách liên k t ñ 2 gen X ñ ng li n nhau?
c. H i có bao nhiêu cách liên k t đ có 3 gen XYZ đ ng li n nhau theo th t trên.
2. Có 10 ngư i x p theo m t hàng d c
a. Có bao nhiêu cách s p x p ñ 2 ngư i A và B đ ng li n nhau?
b. Có bao nhiêu cách s p x p ñ 2 ngư i A và B ñ ng cách nhau ñúng 3 ngư i?
3. Có th l p đư c bao nhiêu s g m 10 ch s khác nhau sao cho:
a.Khơng có 2 ch s ch n nào ñ ng li n nhau
b. Khơng có 2 ch s l nào đ ng li n nhau
c. Các ch s ch n ñ ng li n nhau
d. Các ch s l ñ ng li n nhau
4. Cho 6 ch s : 1, 2, 3, 4, 5, 6
a. Có th l p đư c bao nhiêu s g m 8 ch s sao cho ch s 1 và ch s 2 m i ch s
có m t đúng 2 l n, các ch s cịn l i có m t đúng 1 l n.
b. Có th l p ñư c bao nhiêu s ch n g m 8 ch s trong đó ch s 2 có m t đúng 3 l n,
các ch s cịn l i có m t đúng m t l n.
c. Có th l p ñư c bao nhiêu s l g m 8 ch s trong đó ch s 1 có m t đúng 3 l n,
các ch s cịn l i có m t đúng 1 l n.
5*. Trong m t kì thi tin h c qu c t t i m t khu v c g m 6 phòng thi ñánh s t 1 ñ n
6 dành cho ba ñoàn Vi t nam , Mĩ và Nga m i đồn g m 4 thí sinh. M i phịng thi có 2
máy tính (khơng đánh s ) dành cho 2 thí sinh. Vi c x p 2 thí sinh vào m i phịng thi theo
ngun t c hai thí sinh cùng m t qu c t ch khơng đư c x p cùng m t phịng. H i có bao

nhiêu cách s p x p các thí sinh c a ba đồn vào 6 phịng?
6*.D c theo hai bên đư ng vào m t trư ng trong h c ngư i ta d ñ nh tr ng m i bên 3
cây bàng, 3 cây phư ng và 3 cây b ng lăng.
a. H i có bao nhiêu cách tr ng ñ các cây cùng lo i tr ng ñ i di n nhau?
b. H i có bao nhiêu cách tr ng đ khơng có hai cây cùng lo i nào tr ng đ i di n nhau?
7*. Vịng chung k t gi i vơ đ ch bóng đá châu Âu g m 16 đ i trong đó có đ i ch nhà và
đ i vơ đ ch b n năm trư c.
a. Có bao nhiêu cách chia 16 đ i vào b n b ng A, B, C, D.
b, Có bao nhiêu cách chia 16 ñ i vào b n b ng A, B, C, D sao cho ñ i ch nhà và đ i
vơ đ ch b n năm trư c khơng cùng b ng.
c. Gi i bài tốn trên trong trư ng h p khơng đ ý t i vai trò c a các b ng.

Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..12


8. M t ñàn gà g m 4 con gà mái và 6 con gà tr ng. Trong 4 con gà mái có 2 con màu
vàng, 2 con màu đen. Trong 6 con gà tr ng có 3 con màu vàng và 3 con màu ñen. Ch n
ng u nhiên 2 con gà
a. Có bao nhiêu cách ch n đ ñư c 1 con tr ng 1 con mái
b. Có bao nhiêu cách ch n ñ ñư c 2 con màu vàng
c. Có bao nhiêu cách ch n đ đư c1 con tr ng 1 con mái cùng màu
9. M t t sinh viên g m 6 nam 4 n . Trong 6 nam có 2 sinh viên Hà N i và 4 sinh viên
t nh Hà Tây. Trong 4 n có 2 n sinh Hà N i và 2 n sinh Thái Bình. Ch n ng u nhiên ra
3 ngư i
a. Có bao nhiêu cách ch n ra 3 sinh viên nam?
b. Có bao nhiêu cách ch n ra 2 sinh viên nam 1 sinh viên n ?
c. Có bao nhiêu cách ch n ra 3 sinh viên g m ñ 3 t nh?
10. Cho ña giác ñ u g m 2n c nh
a. H i có th l p đư c bao nhiêu hình ch nh t có 4 ñ nh là 4 ñ nh c a ña giác ñ u này?
b. H i ña giác ñ u nói trên có bao nhiêu đư ng chéo?

11. Cho t p A = {0,1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ,10}
a. A có bao nhiêu t p con có ít nh t 2 ch s nh hơn 6
b. A có bao nhiêu t p con có ít nh t 2 ch s l n hơn 6
12. Có 4 viên bi gi ng nhau ñư c b vào 3 cái h p. H i có bao nhiêu cách b ?
13*. Có 4 hành khách ñ i tàu t i nhà ga A ñ ñi t i B. M t ñoàn tàu g m 4 toa chu n b
r i ga A ñ ñi t i B.
a. Có bao nhiêu cách lên tàu c a 4 hành khách trên.
b. Có bao nhiêu cách lên tàu c a 4 hành khách trên sao cho m i ngư i lên m t toa.
c. Có bao nhiêu cách ñ 4 hành khách trên lên hai toa m i toa 2 ngư i.
2
14. Trong khai tri n ( x − 2 ) 50 .
x
a. Tìm s h ng khơng ch a x
b. Tìm h s c a x20
c. Tìm h s c a x-40
15. Ch ng minh các ñ ng nh t th c:
a. C 0 + C1 + ............. + C k + ...... + C n = 2 n
n
n
n
n
b. C1 + 2C 2 + ........ + kC k + ..... + nC n = n 2 n −1
n
n
n
n

Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..13

c. C 0 +
n

1 1
1
1
2 n +1 − 1
C n + ...... +
C k + ..... +
Cn =
n
n
2
k +1
n +1
n +1

d. C 0 n + C 2 n + ..... + C 2 k + .... + C 2 n = C1 n + C 3 n + .... + C 2 k +1 + ...... + C 2 n −1
2
2
2n
2n
2
2
2n
2n

16. Cho p, q > 0, p + q = 1. Tìm s h ng l n nh t trong dãy s sau:
C 0 p 0 q n ; C1 pq n −1 ;.................; C k p n −k q k ; ..........; C n p n q 0
n

n
n
n

17. X p 3 ngư i theo m t hàng d c. Nêu các s ki n sơ c p cơ b n
18. T 4 ngư i A, B, C, D l y ng u nhiên 2 ngư i. Nêu t p các s ki n sơ c p cơ b n.
19. Hai cá th sinh v t có cùng ki u gen Aa Bb ñem lai v i nhau. Hãy nêu các ki u gen
có th có c a các cá th con.
20. T hai nhóm h c sinh, nhóm th nh t g m 4 h c sinh nam A, B, C, D nhóm th hai
g m 4 h c sinh n X, Y, Z, T. Ch n m i nhóm ra 2 h c sinh.
a. Ch ra t p các s ki n sơ c p cơ b n ng v i phép th trên
b. Ch ra hai h ñ y ñ các s ki n.
21. Tung m t l n 3 ñ ng ti n.
a.Hãy ch ra các s ki n sơ c p cơ b n.
b.Hãy ch ra m t h ñ y ñ các s ki n ch g m hai s ki n
22. Tung ñ ng th i hai con xúc x c.
a. Có bao nhiêu s ki n sơ c p cơ b n
b. Hãy ch ra m t h ñ y ñ các s ki n g m 11 s ki n
23. M t ña giác ñ u g m 2n c nh (n > 2). Ch n ng u nhiên b n ñ nh.
a. Có bao nhiêu s ki n sơ c p cơ b n?
b. Có bao nhiêu s ki n ñ b n ñ nh ñư c ch n lâp thành hình ch nh t?
Khi n = 3 Ch n ng u nhiên 3 ñ nh c a m t l c giác đ u.
c. Có bao nhiêu s ki n sơ c p cơ b n?
d. Có bao nhiêu s ki n ba ñ nh ñư c ch n l p thành tam giác ñ u?
25. Ch

ng minh các tính ch t v các phép tốn c a các s ki n.

Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..14

Chương 2 : Xác su t
Vi c ñưa ra nh ng s đo thích h p đánh giá kh năng khách quan x y ra c a m i s
ki n đư c trình bày trong ph n đ u c a chương này. Các d ng ñ nh nghĩa xác su t t các
ñ nh nghĩa c ñi n t i ñ nh nghĩa xác su t theo h tiên đ giúp ngư i h c hình dung đư c
s phát tri n và tính phong phú, đa d ng c a mơn xác su t. Các tính ch t các ñ nh lý v
xác su t ñư c trình bày m c t i thi u đ ngư i h c kh i c m th y n ng n khi ti p thu
chúng. Nh ng ví d ñưa ra giúp ngư i h c th y ñư c nh ng áp d ng th c th c t c a
mơn xác su t và qua các ví d này ngư i h c có th hi u cách làm các bài tốn xác su t.
I. Các đ nh nghĩa c a xác su t
1. M ñ u: Khi ti n hành m t phép th , có th có m t trong nhi u s ki n s x y ra, m i
s ki n là m t đ c tính đ nh tính, vi c ch ra “s ño” kh năng x y ra c a m i m t s
ki n là ñi u c n thi t. Ta có th hi u xác su t c a m i s ki n là “s ño” kh năng x y ra
c a s ki n ñó. Vi c g n cho m i s ki n m t “s ño” kh năng x y ra c a nó ph i đ m
b o tính khách quan, tính h p lý và tính phi mâu thu n. Trong m c này chúng ta s ñưa
ra các ñ nh nghĩa c a xác su t. M i d ng có nh ng ưu và như c đi m nh t ñ nh. Tuy
v y, qua các d ng đ nh nghĩa này có th hình dung ra s phát tri n c a môn xác su t, m t
mơn h c có ngu n g c xu t phát t nh ng sòng b c nhưng nh s t hồn thi n trong
q trình phát tri n nên mơn xác su t khơng nh ng có đ y ñ các y u t cơ b n c a m t
ngành khoa h c chính xác mà cịn là m t trong nh ng ngành c a Toán h c có th h tr
cho t t c các lĩnh v c khoa h c khác t khoa h c t nhiên ñ n khoa h c kĩ thu t và k c
nh ng ngành tư ng như xa l v i Tốn h c đó là các ngành khoa h c xã h i.
2. ð nh nghĩa xác su t theo quan ni m ñ ng kh năng.
2.1 Phép th ñ ng kh năng: M t phép th ñ ng kh năng là m t phép th mà các k t
qu tr c ti p (còn g i là s ki n sơ c p) ng v i phép th này có kh năng xu t hi n như
nhau sau khi th . Ch ng h n khi ta gieo m t con xúc x c cân ñ i và đ ng ch t thì vi c
xu t hi n m t trong các m t có s ch m t 1 đ n 6 là có kh năng như nhau ho c khi
ch n ng u nhiên hai trong năm ngư i A, B, C, D, E thì vi c ch n đư c AB ho c CD . . .
DE là có kh năng xu t hi n như nhau.
2.2 ð nh nghĩa xác su t theo quan ni m ñ ng kh năng:

Xét m t phép th ñ ng kh năng. Gi s sau phép th này có m t trong n s ki n sơ c p
n
có th x y ra và có m t trong nA s ki n sơ c p x y ra kéo theo A x y ra. Ta th y l y A
n
làm s ño khách quan x y ra s ki n A là h p lý. Vì v y ta có đ nh nghĩa sau:
n
ð nh nghĩa: Xác su t c a s ki n A là s P(A) = A
n
* n là s k t qu ñ ng kh năng sau phép th
* nA là s k t qu x y ra kéo theo A x y ra ho c s k t qu thu n l i cho s ki n A hay
s k t qu h p thành s ki n A

Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..15


Vi c tính xác su t d a trên đ nh nghĩa trên ph i th c hi n theo trình t sau:
* Xét phép th đang quan sát có ph i là phép th đ ng kh năng khơng
* N u phép th là đ ng kh năng thì ph i tìm s s ki n đ ng kh năng n
* ð tính xác su t c a s ki n A ta ph i tìm s k t qu kéo theo A sau đó s d ng đ nh
nghĩa
n
P(A) = A
n
2.3 Các ví d
Ví d 2.1: Gieo hai ñ ng ti n cân ñ i và ñ ng ch t. Tính xác su t đ c hai cùng xu t
hi n m t qu c huy.
G i A là s ki n c hai ñ ng ti n cùng xu t hi n m t qu c huy.
Ta có: S s ki n đ ng kh năng: n = 4
1
S s ki n kéo theo A:

nA = 1 .V y P (A) =
4
Ví d 2.2: M t đàn gà có b n con gà ri g m hai mái hai tr ng và sáu con gà tam
hoàng g m hai tr ng b n mái. Ch n ng u nhiên hai con gà
G i A là s ki n hai con gà ñư c ch n ñ u là tr ng
B là s ki n hai con gà ñư c ch n g m m t tr ng m t mái
C là s ki n hai con gà ñư c ch n là gà mái ri
Hãy tính xác su t c a các s ki n A, B, C
2
Ta có: S s ki n đ y kh năng là C10 = 45

S s ki n kéo theo A là C 2 = 6
4
S s ki n kéo theo B là C1 C1 = 24
4 6
S s ki n kéo theo C là C 2 = 1
2
1
6 2
24 8
= , P(B) =
= , P(C) =
45 15
45 15
45
Ví d 2.3: Có ba gen X, Y, Z và ba gen x, y, z x p ng u nhiên theo m t dãy d c. Tính
xác su t đ các gen x, y, z x p li n nhau.
G i A là s ki n c n tính xác su t
S s ki n ñ ng kh năng: n = 6! = 720
144 1

=
S s ki n kéo theo A: nA = 3!4! = 144. V y: P(A) =
720 5
Ví d 2.4: Hai cá th b và m cùng có ki u gen AaBb. Tính xác su t đ cá th con có
ki u gen gi ng ki u gen c a b m . Ta có b ng liên k t gen sau:
V y:

P(A)=

Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..16


M

AB

Ab

aB

ab

AABb

AaBB

AaBb

B
AB

AABB

Ab

AABb

AAbb

AaBb

Aabb

aB

AaBB

AaBb

aaBB

aaBb

ab

AaBb

Aabb

aaBb

aabb

D a vào b ng trên ta có: S s ki n ñ ng kh năng n = 16
4 1
=
S s ki n kéo theo A: nA = 4. V y P(A) =
16 4

3- ð nh nghĩa xác su t theo t n su t
ð nh nghĩa xác su t theo quan ni m đ ng kh năng có ưu ñi m là ch ra cách tính xác
su t c a m t s ki n rõ ràng và ñơn gi n. Tuy nhiên ñ nh nghĩa này ch áp d ng ñư c v i
lo i phép th ñ ng kh năng và s k t qu sau phép th là h u h n. Trong th c t thư ng
g p nh ng lo i phép th không có tính ch t trên, đ kh c ph c h n ch này ta có th đ nh
nghĩa xác su t theo quan ñi m th ng kê.
3.1 T n su t c a s ki n: Gi s ta ti n hành n phép th v i cùng m t h đi u ki n th y
có nA l n xu t hi n s ki n A. S nA ñư c g i là t n s xu t hi n s ki n A và t s :
n
f n (A) = A g i là t n su t xu t hi n s ki n A.
n
Ta nh n th y r ng khi n thay ñ i nA thay ñ i vì th fn(A) cũng thay ñ i. Ngay c khi ti n
hành dãy n phép th khác v i cùng m t ñi u ki n thì t n s và t n su t c a n l n th này
cũng có th khác t n s và t n su t c a n l n th trư c. Tuy nhiên t n su t có tính n đ nh
nghĩa là khi s phép th n khá l n t n su t bi n ñ i r t nh xung quanh m t giá tr xác
ñ nh. ð minh ch ng cho nh n xét trên ta xét m t ví d kinh ñi n v xác ñ nh t n s và
t n su t vi c xu t hi n m t s p (m t khơng có ch ) c a m t ñ ng ti n do Buffon và
Pearson th c hi n
Ngư i làm thí nghi m

S l n tung 1 ñ ng ti n

T ns m ts p

T n su t m t s p

Buffon

4040

2040

0.5080

Pearson

12000

6010

0.5010

Pearson

24000

12012

0.5005

Ta nh n th y r ng khi s l n tung ti n n tăng lên, t n su t xu t hi n m t s p n ñ nh d n

v giá tr 0,5 ñư c l y làm xác xu t xu t hi n m t s p khi tung m t ñ ng ti n cân ñ i và
ñ ng ch t.
3.2 ð nh nghĩa: Xác su t c a m t s ki n là tr s n ñ nh c a t n su t khi s phép th
tăng lên vô h n.
Vi c kh ng ñ nh t n su t c a m t s ki n n ñ nh (hay ti n t i) m t giá tr xác ñ nh khi
s phép th tăng lên vơ h n đư c ñ m b o b i ñ nh lý Bernoulli s ñư c phát bi u và
Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..17


ch ng minh trong chương sau. Tuy ñ nh nghĩa xác su t b ng t n su t không ch ra giá tr
c th xác su t c a s ki n nhưng trong th c t khi s l n th n là l n ta thư ng l y t n
xu t fn(A) thay cho xác su t c a s ki n A. Vào cu i th k 19 nhà toán h c Laplace theo
dõi các b n th ng kê v dân s trong vòng 10 năm c a London, Peterbua, Berlin và nư c
22
. Khi
Pháp ơng ta tìm ra t n su t sinh con trai c a ba vùng trên và c nư c Pháp là
43
22
25
xem xét t l sinh con trai c a Paris ơng tìm đư c t n su t
, t n su t này nh hơn
.
49
43
Ng c nhiên v s khác nhau đó, Laplace đi u tra thêm và tìm ra hai đi u thú v sau:
M t là: Vào th i b y gi các tr em ñ ra không ghi tên cha trong gi y khai sinh thì
dù sinh Marseille, Bordeaux hay b t c
nơi nào trên đ t Pháp đ u có trong b n thơng
kê tr sinh Paris.
Hai là: Ph n l n nh ng ñ a tr nói trên ñ u là con gái.

Sau khi lo i nh ng đ a tr khơng sinh Paris ra kh i danh sách này thì t l tr trai
22
Paris tr v con s
.
43
Qua ví d nêu trên chúng tôi mu n các nhà nông h c tương lai khi quan sát ho c thí
nghi m th y có m t s li u nào đó khác v i s li u đã bi t thì c n ph i tìm nguyên do s
khác bi t này xu t phát t đâu, r t có th qua đó ta có th phát hi n đư c nh ng đi u b
ích ph c v cho chun mơn.
4. ð nh nghĩa xác su t b ng hình h c
V i nh ng phép th ñ ng kh năng mà s k t qu sau m t phép th là vơ h n thì vi c s
d ng đ nh nghĩa xác su t m c 2 đ tính xác su t c a m t s ki n là khơng th c hi n
đư c. ð kh c ph c h n ch này ngư i ta ñưa ra ñ nh nghĩa xác su t b ng hình h c.
4.1 ð ño c a m t mi n: Gi s D là m t mi n hình h c nào đó ch ng h n D là m t ño n
th ng, m t hình ph ng hay m t kh i khơng gian. S đo đ dài, di n tích, th tích tương
ng đư c g i là ñ ño c a mi n D và kí hi u là m(D)
4.2. ð nh nghĩa :
Xét m t phép th v i vơ h n k t qu đ ng kh năng, gi s có th thi t l p s tương ng
m t - m t m i k t qu v i m t ñi m thu c mi n G có đ đo là m(G) . M i k t qu kéo
theo s ki n A tương ng v i m i ñi m thu c mi n D ⊂ G có đ đo m(D).
m ( D)
Xác su t c a s ki n A là s P(A) =
m(G )
Ví d 1: M t đư ng dây cáp quang n i Hà N i v i thành ph H Chí Minh dài 1800
km g p s c kĩ thu t làm t c ngh n vi c thông tin liên l c. S c kĩ thu t có th x y ra
b t c m t v trí nào trên đư ng cáp quang trên v i cùng m t kh năng. Tính xác su t ñ
s c kĩ thu t x y ra cách Hà N i khơng q 300km.
Mi n G đây là đư ng cáp quang n i Hà N i- thành ph H Chí Minh có m(G) = 1800.
Mi n D tương ng v i s ki n c n tính xác su t là ño n cáp quang t Hà n i t i v trí
cách Hà N i 300 km, m(D) = 300.

Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..18


300 1
= .
1800 6
Ví d 2: Hai ngư i A, B h n g p nhau t i m t ñ a ñi m trong quãng th i gian t 12
gi ñ n 13 gi theo qui ư c, ngư i ñ n trư c ñ i ngư i ñ n sau khơng q 15 phút. Tính
xác su t đ hai ngư i g p ñư c nhau. Bi t r ng m i ngư i có th đ n ñi m h n vào b t
c th i ñi m nào trong quãng th i gian nói trên.
G i x là th i ñi m A ñ n ch h n, y là th i ñi m B ñ n ch h n, 0 ≤ x , y ≤ 60

V y xác su t c n tính P =

Vi c hai ngư i ñ n ch h n tương ng v i đi m M(x, y) thu c hình vng OABC có
c nh dài 60 đơn v dài. Hai ngư i g p ñư c nhau
⇔ x − y ≤ 15 ⇔ x − 15 ≤ y ≤ x + 15 ⇔ M(x, y) thu c hình ODEBGH.

Hình 1
Ta có mi n G là hình vng OABC, mi n D là hình ODEBGH.
m(G) = 602 , m(D)= 602- 452.
V y xác su t c n tính P =

m(D) 60 2 − 45 2
9
7
=
= 1− =
2

m(G )
60
16 16

M t s bài tốn th c t như q trình th ph n, q trình th tinh .... có th áp d ng như
bài tốn g p g nói trên.

5. H tiên ñ Kolmogorop
M c dù ra ñ i t th k 17 nhưng do ngu n g c xu t phát và nh ng khái ni m đư c nêu
ra có tính mơ t thi u nh ng lu n c khoa h c nên c m t quãng th i gian dài t th k 17
ñ n trư c nh ng năm 30 c a th k 20 xác su t khơng đư c coi là m t ngành tốn h c
chính th ng. Mãi t i năm 1933 khi nhà toán h c Nga A.N Kolmogorop xây d ng h tiên
đ cho lý thuy t xác su t thì xác su t m i đư c cơng nh n là m t ngành tốn h c chính
th ng sánh ngang hàng v i nhi u ngành toán h c khác như s h c, hình h c, đ i s , gi i
tích...
Tuy đư c ch p nh n mu n màng nhưng xác su t đã có m t trong h u h t các lĩnh v c
khoa h c t khoa h c t nhiên , khoa h c kĩ thu t d n khoa h c xã h i. Vì là m t giáo
trình dành cho các ngành khơng chun v tốn chúng tơi ch có ý đ nh trình bày sơ lư c
h tiên đ v lý thuy t xác su t do A.N Kolmogorop ñưa ra
Xét C là m t σ - ñ i s các s ki n . Xác su t P là m t hàm xác ñ nh trên C tho mãn :
1/ P(A) ≥ 0 ∀A ∈ C
Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..19


2/ P(Ω) = 1
3/ N u A1, A2 , ... ,An,.. . . . . . . ... xung kh c t ng đơi, An ∈ C , n =1,2,... thì
∞

∞

P (∑ A i ) = ∑ P ( A i )
i =1

i =1

B ba ( Ω, A, P ) ñư c g i là không gian xác su t.

II Các tính ch t và các đ nh lý
1. Các tính ch t.
ð đơn gi n, ta ch s d ng ñ nh nghĩa theo quan ñi m ñ ng kh năng đ ch ng minh
các tính ch t s nêu trong m c này. Tuy nhiên các tính ch t đó cũng đúng v i m i d ng
đ nh nghĩa xác su t khác.
n
n
1/ 0 ≤ P(A) ≤ 1 vì 0 ≤ n A ≤ n ⇒ 0 ≤ A = P(A) ≤ = 1
n
n
2/ P(φ ) = 0, P(Ω) = 1 vì n φ = 0, n Ω = n suy ra ñi u c n ch ng minh.
3/

N u A ∩ B = φ thì P(A+B) = P(A) + P(B)

G i nA là s s ki n kéo theo A, nB là s s ki n kéo theo B do A xung kh c v i B nên s
s ki n kéo theo A + B là
n
n + nB nA nB
n A+B = n A + n B ⇒ P(A + B) = A+B = A
=
+
= P(A) + P(B)

n
n
n
n
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB)
4/
G i nA là s s ki n kéo theo A, nB là s s ki n kéo theo B, nAB là s s ki n kéo theo
AB, n A∪B là s s ki n kéo theo A ∪ B . Ta có
n A∪B = n A + n B − n AB ⇒ P(A ∪ B) =
⇒ P(A Υ B) =

n A∪B n A + n B − n AB
=
n
n

n A n B n AB
+
−
= P(A) + P(B) − P(AB)
n
n
n

H qu 1: P(A) = 1 − P(A) . Th t v y ta có
A + A = Ω ⇒ P(A + A) = P(Ω) ⇒ P(A) + P(A) = 1 ⇒ ñi u c n ch ng minh.
n

n

i =1

i =1

H qu 2: N u A1, A2 , .. .An xung kh c t ng đơi thì P(∑ Ai ) = ∑ P( Ai )
ap d ng nhi u l n tính ch t 1.3 ta có h qu trên.
5/
N u A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B)
Vì A ⊂ B ⇒ n A ≤ n B ⇒ P(A) =

nA nB
≤
= P(B)
n
n

2. Xác su t có đi u ki n
Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..20


Xét hai s ki n A và B trong m t phép th ñư c ti n hành ng v i m t b đi u ki n nào
đó. Vi c xu t hi n s ki n này đơi khi nh hư ng ñ n xác su t xu t hi n c a s ki n kia
và ngư c l i .
Ch ng h n trong m t h p có 3 bi tr ng và 2 bi ñ , rút l n lư t 2 bi. L n đ u rút đư c bi
tr ng hay khơng rõ ràng nh hư ng ñ n xác su t xu t hi n bi tr ng l n th hai.
2.1. ð nh nghĩa: Xác su t c a s ki n A v i gi thi t s ki n B ñã x y ra là xác su t có
đi u ki n c a A v i đi u ki n B.
Ta kí hi u xác su t này là P(A/B) ho c PB(A)
Ví d 2.1: Quay l i ví d v a nêu trên. G i B là s ki n l n ñ u rút ñư c bi tr ng , A
2 1

3
là s ki n l n sau cũng rút ñư c bi tr ng. Ta có P(A/B)= = cịn P(A/ B) = . Rõ ràng
4 2
4
vi c xu t hi n hay không xu t hi n B nh hư ng t i xác su t xu t hi n A.
Ví d 2.2: Tính tr ng hoa vàng gen A là tính tr ng tr i, hoa tr ng gen a là tính tr ng
l n. Hai cây ñ u hoa vàng d h p t ( cùng mang gen Aa) ñem lai v i nhau các cá th con
có các ki u gen AA, Aa, aA, aa vơí cùng m t kh năng. Ch n m t cá th con thì th y cá
th này có hoa màu vàng. Tính xác su t ñ cá th ñó là ñ ng h p t
G i B là s ki n cá th con có hoa màu vàng, A là s ki n cá th con có gen đ ng h p t .
1
Ta có: P(A/B) =
3
2.2 Cơng th c xác su t có đi u ki n
P(AB)
P(A / B) =
P(B)
Th t v y g i nB là s s ki n kéo theo B( do gi thi t B ñã x y ra nên nB ≠ 0 , g i nAB là
s ki n kéo theo AB
n AB
n
P(AB)
Ta có P(A / B) = AB = n =
nB
P(B)
nB
n

3. Công th c nhân xác su t
P(AB)

T P(A / B) =
⇒ P(AB) = P(B)P(A / B)
P(B)

(1)

Thay ñ i vai trò c a A và B cho ta có P(AB) = P(A)P(B/A)
M r ng ta có: P(A1A2...An) =P(A1)P(A2/A1)...P(An/A1A2...An-1)
(2)
Cơng th c trên g i là công th c nhân xác su t. Áp d ng liên ti p công th c (1) nhi u l n
ta có cơng th c (2)
Ví d 3.1: Có 6 cây đ u hoa vàng và 2 cây ñ u hoa tr ng l y l n lư t 2 cây đ u. Tính
xác su t ñ c 2 cây ñ u l y ra là cây ñ u hoa vàng.
G i A là s ki n c 2 cây l y ra là ñ u hoa vàng
A1 là s ki n cây l y ra l n ñ u màu vàng

Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..21


A2 là s ki n c y l y ra l n hai màu vàng
Ta có: A = A1A2 t ñó suy ra
6 5 30 15
=
P ( A ) = P ( A 1 A 2 ) = P( A 1 ) P ( A 2 / A 1 ) = . =
8 7 56 28
S d ng ñ nh nghĩa xác su t theo quan ñi m ñ ng kh năng ta cũng có k t qu trên.
Ví d 3.2: M t gi ng lúa m i t i m t tr i lai t o gi ng trư c khi ñưa ra s n xu t ñ i trà
ph i ti n hành liên ti p ba l n ki m ñ nh do ba trung tâm kh o c u gi ng c p m t, c p
hai, c p ba ti n hành. N u gi ng lúa ñư c ch p nh n trung tâm c p dư i thì đư c
chuy n lên trung tâm c p trên ñ ki m ñ nh ti p. Qua th ng kê cho th y gi ng c a tr i

trên ñư c trung tâm c p m t ch p nh n v i xác su t 0,7. Sau khi chuy n lên trung tâm
c p hai nó đư c ch p nh n v i xác su t 0,8. N u ñư c chuy n lên trung tâm c p ba nó
đư c ch p nh n v i xác su t 0,9. Tính xác su t ñ gi ng lúa ñư c ñưa ra s n xu t ñ i trà.
G i: A là s ki n gi ng lúa ñư c ñưa ra s n xu t ñ i trà.
Ai là s ki n gi ng lúa ñư c ch p nh n trung tâm c p i.
Ta có: A = A1A2A3
⇒ P(A) = P(A1A2A3) = P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2) =0,7.0,8.0,9 = 0,486
4. Các s ki n ñ c l p.
4.1 Hai s ki n ñ c l p: S ki n A ñư c g i là ñ c l p v i s ki n B n u:
P(A/B) = P(A)
T ñ nh nghĩa trên ta có
* N u A đ c l p v i B thì P(AB)=P(A)P(B)
Th t v y P(AB)=P(B)P(A/B) =P(B)P(A)
* N u A đ c l p v i B thì B cũng ñ c l p v i A
Do P(AB)=P(A)P(B/A) =P(B)P(A)⇒P(B/A)=P(B). Do v y B cũng ñ c l p v i A.
* A ñ c l p v i B ⇔ P(AB)= P(B)P(A)
4.2. H ñ c l p t ng đơi và đ c l p hồn tồn
H : A1,A2,...,An ñư c g i là ñ c l p t ng đơi n u Ai đ c l p Aj ∀i≠j
H : A1,A2,...,An ñư c g i là ñ c l p hoàn toàn n u
P( A i / A j1 A j2 ...A jk ) = P(A i ) ∀ { A j1 , A j2 ,...A jk } ⊂ {A1 , A 2 ,..., A n }
T ñ nh nghĩa trên ta th y h ñ c l p hồn tồn thì đ c l p t ng đơi nhưng đi u ngư c l i
nói chung khơng đúng.
4.3. Các ví d
Ví d 4.1: M t m ng c p nư c như hình v

Hình 2

Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..22

Nư c ñư c c p t E ñ n F qua ba tr m bơm tăng áp A, B, C. Các tr m bơm làm vi c ñ c
l p v i nhau. Xác su t ñ các tr m bơm A,B,C có s c sau m t th i gian làm vi c l n
lư t là: 0,1; 0,1; 0,05. Tính xác su t đ vùng F m t nư c
G i:
F là s ki n vùng F m t nư c
A là s ki n tr m A có s c
B là s ki n tr m B có s c
C là s ki n tr m C có s c
Ta có: F = (A ∩ B) ∪ C ⇒ P(F) = P[(A ∩ B) ∪ C]
= P(AB)+P(A)-P(ABC) = P(A)P(B)+P(C)-P(A)P(B)P(C)
= 0,01 + 0,05 - 0,005 = 0,055
Ví d 4.2: Có hai l ng gà gi ng. L ng th nh t có 2 gà tr ng, 4 gà mái. L ng th hai
có 4 gà tr ng, 2 gà mái. L y ng u nhiên t m i l ng ra 1 con. Tính xác su t ñ 2 con gà
l y ra ñ u là gà mái
G i : A1 là s ki n con gà l y ra l ng m t là gà mái
A2 là s ki n con gà l y ra l ng hai là gà mái
4 2 2
Ta có: P(A1A2) = P(A1)P(A2) = . =
6 6 9
5. Dãy phép th ñ c l p: Trong th c t nhi u khi ta g p nh ng phép th h p g m m t
dãy liên ti p các phép th như nhau ñư c l p ñi l p l i n l n và ñ ý ñ n s xu t hi n c a
m t s ki n A nào đó trong n l n th này. Ch ng h n khi gieo m t ñ ng ti n cân ñ i và
ñ ng ch t n l n ho c tung m t con xúc x c cân ñ i và ñ ng ch t n l n thì nh ng phép th
thu c lo i này chính là dãy phép th ñ c l p.
5.1. Lư c ñ Bernoulli. Ti n hành m t dãy n phép th mà phép th sau ñ c l p v i các
phép th trư c đó, xác su t xu t hi n s ki n A m i phép th là như nhau và b ng p
(p ≠ 0, p ≠ 1). Dãy n phép th ñ c l p lo i này cịn đư c g i là m t lư c đ Bernoulli.
5.2. Cơng th c Bernoull: Trong m t lư c ñ Bernoulli s ki n A có th xu t hi n t 0
đ n n l n. G i Bk là s ki n A xu t hi n ñúng k l n trong lư c đ Bernoulli. ta xây d ng
cơng th c tính P(Bk)

G i Ai là s ki n A xu t hi n l n th i trong n l n th
Ta có Bk = A1A2...Ak A k +1 ...A n + ... + A1 ...A n −k A n −k +1...A n . M i s ki n c a t ng các s
ki n trên g m tích c a n s ki n trong đó A xu t hi n k l n và A xu t hi n n-k l n. M i
tích trên tương ng v i vi c ch n ra k phép th (A xu t hi n) t n phép th ñã cho, theo
k
lý thuy t t h p có t t c C n tích như v y.
Do n phép th là ñ c l p P(Ai) = p, P (A j ) = 1 − p = q
nên P(A1A2...Ak A k +1...A n ) = ... = P( A1...A n −k A n −k +1...A n ) = pkqn-k
Suy ra: P(Bk) = C k pkqn-k
n
ðây là công th c Bernoulli cho ta bi t xác su t A xu t hi n k l n trong m t lư c ñ
Bernoulli
G i: Pn(k) là xác su t ñ s ki n A xu t hi n k l n trong m t lư c ñ Bernoulli và

Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..23


Pn(k1, k2) là xác su t ñ A xu t hi n trong kho ng t k1 ñ n k2 l n (k1< k2)
Ta có:

Pn(k) = P(Bk) = C k pkqn-k
n
k2

Pn(k1,k2) = ∑ Pn (k ) =
k = k1

k2

∑C p q

k
n

k

n −k

k = k1

Ví d 5.1: Xác su t đ m t qu tr ng gà ñem p n ra gà con là 0,8. ðem p 5 qu
tr ng. Tính xác su t đ có 3 qu n ra gà con?
Ta có m t lư c đ Bernoulli v i n = 5, p = 0,8. Xác su t c n tính là
P5 (3) = C 3 0,8 30,2 2 = 0,2048
5

Ví d 5.2: T l đ u hoa vàng ñ ng h p t gen AA, hoa vàng d h p t gen Aa và hoa
tr ng gen aa là 1 : 2 : 1. Ch n10 h t đ u đem gieo
1/Tính xác su t đ có 4 cây ñ u hoa vàng là ñ ng h p t
2/ Tính xác su t đ có 5 cây đ u hoa vàng
N u ch xét t i các cây ñ u hoa vàng ñ ng h p t trong s cây đ u ta có lư c đ
Bernoullie v i
1
3
p1 = , q 1 = . V y xác su t c n tính là
4
4
3
4 1
P10 (4) = C10 ( ) 4 .( ) 6
4

4
3
1
Trong trư ng h p th 2 ta có p2 = , q1 = và xác su t c n tính
4
4
1
5 3
P10 (5) = C10 ( ) 5 .( ) 5
4
4
5.3. S l n xu t hi n ch c nh t: Xét m t lư c ñ Bernoullie v i s l n th n và xác su t
xu t hi n s ki n A, P(A) = p .
k0 ñư c g i là s l n xu t hi n ch c nh t ho c s l n xu t hi n có kh năng nh t n u:
Pn(k0) ≥ Pn(k) ∀ k = 0, 1..., n. ð tìm k0 ta ch c n xét dãy s Pn(0), Pn(1),...Pn(k),...Pn(n)
xem s nào l n nh t thì k ng v i s đó chính là k0 c n tìm. Tuy nhiên vi c tính t t c
các s trong dãy s trên s m t nhi u th i gian. Vì v y ta đưa ra thu t tốn tìm s l n
u
xu t hi n ch c nh t t nh n xét sau. Trong dãy s u1, u2,... un n u k +1 cịn l n hơn 1 thì
uk
u
dãy s cịn tăng đ n khi nào k +1 nh hơn 1 thì dãy s b t đ u gi m. S k0 mà t đó dãy
uk
chuy n t tăng sang gi m là s c n tìm. Áp d ng nh n xét trên ta xét
Pn (k + 1) C k +1p k +1q n −k −1 n − k p
= n k k n−k =
.
Pn (k )
Cn p q
k +1 q

⇒ Pn(k+1)>Pn(k) ⇔ np − kp > kq + q ⇔ np − q > k (p + q ) ⇔ np − q > k
Do np - q là m t h ng s nên khi k còn nh hơn np - q dãy còn tăng t i khi k vư t qua
np – q thì dãy b t ñ u gi m.

Trư ng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..24