Bài tập toán kinh tế (bản dịch chuẩn)

Bài tập Toán kinh tế 2 – Chương 1

CHƯƠNG 1: VI PHÂN TOÀN PHẦN
1.1.

Tính vi phân toàn phần của các hàm sau
x
y

1) z  f  x, y   3 x 2  xy  2 y 3

2) z  f ( x, y )  sin

3) z  f ( x, y )  x 2  xy 2  5 sin y

4) y  f  x1 , x2  

x1
x1  x2

5) z  f ( x, y )  ln( xy )

6) y  f  x1 , x2  

2 x1 x2
x1  x2

1.2.

Cho hàm ẩn y  f ( x ) xác định bởi các phương trình bên dưới. Áp dụng định lý
hàm ẩn tính

dy
.
dx

1) F  x, y   2 x 2  4 xy  y 4  67  0
2) F ( x, y ) 

x2 y 2
 1  0 ( y  0)
a 2 b2

3) F ( x, y )  x y  ln xy  x 2 y  0
4) F ( x, y )  7 x 2  2 xy 2  9 y 4  0
1.3.

Cho hàm ẩn g ( y, z )  y ln y  2e  x  0; x  0, y  1 . Tính vi phân toàn phần hàm g
và chứng minh rằng

1.4.

dy
0
dx

Cho hàm ẩn z  f ( x, y) xác định bởi các phương trình bên dưới. Áp dụng định lý
hàm ẩn tính

z z
,

x y

1) F  x, y, z   x 2  3 xy  2 yz  y 2  z 2  11  0
2) F ( x, y , z )  x 2 y 3  z 2  xyz  0
3) F ( x, y, z )  3x 2 y 3  xz 2 y 2  y 3 zx 4  y 2 z  0
1.5.

Trong các mô hình dưới đây y được xem là biến nội sinh và x được xem là biến

1


Bài tập Toán kinh tế 2 – Chương 1

ngoại sinh. Tính đạo hàm

dy
 x0  và phát biểu ý nghĩa của nó.
dx

y  x0   1

1) y 2  y  x 2  1 với x0  1,
2) x sin y  y sin x với x0  0,

y  x0   1

3) x  y  arctan y  0 với x0  0,

y  x0   0

y  x0   2

4) x 2  xy  y 3  5 x  8 với x0  0,
5) xy  cos x với x0 


2

,

y  x0   0

2
2
6) x  ln  x  y   1 với x0  0,

y  x0   e

2
2
7) ln  x  1  2 y  4 xy với x0  0,

8)
1.6.

x 2  y 3  4 x  y  1 với x0  1,
Tính các đạo hàm riêng

y  x0   0
y  x0   2

y y y
,
,
(nếu có) biết y là biến nội sinh và x1 , x2 , x3 là
x1 x2 x3

các biến ngoại sinh trong các mô hình được xác định như sau
1) y ln  x1  y  

x1 x2
0
2

2) y 2 x1  x1x3  cos x2
x
x
y
3) ye  x1e 1  x2 e 2
3y
3
2
2
4) 4 x1e  x3  x2  6 x2  y

5) y 2 

2
 x2 2  y 2
x1

6) x1 x2 x3  ln  x12  x2 2   6 y 2  9
1.7.

Xét mô hình xác định bởi hệ các phương trình sau
 y1  6 y2  x1  x3  7

 5 y2  3 x1  x2  1

2


Bài tập Toán kinh tế 2 – Chương 1

Tính

1.8.

y1 y2
,
x1 x1

Xét mô hình xác định bởi hệ các phương trình sau
  y1  3 y2  6 x1  x2  0

 4 y1  y2  x1  x2  8

Tính
1.9.

y2 y2
,
x1 x2

Xét mô hình xác định bởi hệ các phương trình sau
 y2  y3  x1  4 x2  2

 4 y1  y2  5 x2  1
12 y  2 y  x  0
 1
3
2

Tính

y3 y3
,
x1 x2

1.10. Xét mô hình xác định bởi hệ các phương trình sau
 3 y1  2 y3  x2  4 x3  4

 4 y1  y2  x1  9 x3  0
 2 y  y  x  11
3
2
 2

Tính

y1 y3
,
x3 x3

1.11. Tính các đạo hàm riêng

u v
biết u  u ( x, y ), v  v( x, y ) được xác định như sau:
,
x x

 x 2  y 2  u 3  v 2  4  0

2
2
4
 2 xy  y  2u  3v  8  0

1.12. Tính các đạo hàm

u u v v
biết u  u ( x, y, z ), v  v( x, y, z ) được xác định như
, , ,
x y y z

sau:

2 x 2  3 xyz  4uv  16

 x  y  3 z  u  v  10

3


Bài tập Toán kinh tế 2 – Chương 1

1.13. Tính các đạo hàm riêng

y1 y2
,
biết y1 , y2 là biến nội sinh và x1 , x2 là các biến
x2 x1

ngoại sinh trong mô hình được xác định như sau

 x1 y1  x2 y2  2 x1  ln  x2   0

y

4 y1  2  x2  1

x1 x2

1.14. Tính các đạo hàm riêng

y2 y1
,
biết y1 , y2 là biến nội sinh và x1 , x2 , x3 là các
x1 x3

biến ngoại sinh trong mô hình được xác định như sau
 x1 ln  y1   y2  x32  ln  x2 y2   0

y1

x1 x2
2
3
  y  e  x2 x3  y2  0

2

1.15. Tính các đạo hàm riêng

y1 y3
,
biết y1 , y2 , y3 là biến nội sinh và x1 , x2 , x3 là
x3 x2

các biến ngoại sinh trong mô hình được xác định như sau
x1

2
 5 x1 y2  x2 y3  x  7 x2  5
2


3
 2 y1  6 x3 y3  x2  x3  x1 x2 x3
ln  x1  y1  ln  x2  y2  1  x1



1.16. Cho biết hàm cung của một loại hàng hóa như sau
1

Q  a  bP 2  R 2

 a  0,

b  0 ,

R: lượng mưa

Tìm độ co giãn của giá theo sản lượng và độ co giãn của lượng mưa theo sản lượng.
1.17. Xét mô hình thu nhập quốc gia như sau
Y  C  I 0  G0

C  a  bY

 a  0,

0  b  1

Trong đó các biến nội sinh Y và C biểu thị cho thu nhập quốc gia và chi tiêu tiêu
dùng; các biến ngoại sinh I0 và G0 biểu thị cho lượng đầu tư xác định và chi tiêu chính
4


Bài tập Toán kinh tế 2 – Chương 1

phủ. Phương trình thứ nhất là điều kiện cân bằng (thu nhập quốc gia = tổng chi tiêu) và
phương trình thứ 2 là hàm tiêu dung với a , b là 2 tham số trong tiêu dùng.
a) Tính lượng thu nhập quốc gia cân bằng Y và chi tiêu cân bằng C trong mô hình
trên.
b) Hãy cho biết lượng đầu tư ảnh hưởng như thế nào đến thu nhập quốc gia cân bằng.
1.18. Xét mô hình thu nhập quốc gia như sau
Y  C  I 0  G0

C  a  b  Y  T 
T  c  tY


 a  0,

c  0, 0  b  1, 0  t  1

Trong đó T : thuế và t : lãi suất thuế thu nhập.
a) Tính lượng thu nhập quốc gia cân bằng Y , thuế cân bằng T và chi tiêu cân bằng
C trong mô hình trên.

b) Xác định sự tác động của chi tiêu chính phủ lên thuế cân bằng.
1.19. Xét mô hình thu nhập quốc gia như sau
Y  C  I 0  G

C  a  b  Y  T0 
G  gY


 a  0,

0  b  1, 0  g  1

a) Tính lượng thu nhập quốc gia cân bằng Y trong mô hình trên.
b) Xác định sự tác động của thuế lên lượng chi tiêu tiêu dùng cân bằng.
1.20. Xét mô hình thu nhập quốc gia như sau
Y  C  I 0  G0

1
 C  25  6Y 2


I 0  16

G0  14


a) Tính Y và C trong mô hình trên.
b) Thu nhập quốc gia cân bằng thay đổi như thế nào nếu I0 tăng 1.5 đơn vị và G0
giảm 1.2 đơn vị.

5


Bài tập Toán kinh tế 2 – Chương 1

1.21. Đầu ra Q của một sản phẩm phụ thuộc vào 2 yếu tố đầu vào R, S như sau

3Q 2  RS 

4Q

 R 2  2S 2
S

a) Ở mức R = 3, S = 6, nếu R tăng 1.2 đơn vị và S giữ nguyên thì Q thay đổi như thế
nào?
b) Ở mức R = 3, S = 6, nếu R giảm 0.5 đơn vị và S tăng 0.5 đơn vị thì Q thay đổi như
thế nào?
1.22

Một hộ gia đình có thu nhập Y tiêu dùng 2 loại hàng hóa với số lượng Q1, Q2 với

giá bán tương ứng là P1, P2 thỏa mãn điều kiện

2Q1  Q2  P1  5Y

2
Q1  2Q2  P1  4 P2  Y
a) Với thu nhập không đổi, cho biết số lượng hàng hóa thứ 1 thay đổi như thế nào nếu
P1 tăng 0.8 đv và P2 giảm 0.5 đv
b) Nếu giá không đổi và thu nhập tăng từ 5 lên 5,5 đv thì số lượng hàng hóa thứ 1
thay đổi như thế nào?

6