Chuyên đề trắc nghiệm phương pháp tọa độ trong không gian

Phương pháp tọa độ trong không gian
Chủ đề I

I. Hệ tọa độ trong không gian
1. Hệ trục tọa độ trong không gian

Vấn đề cần
nắm:
I. Lí thuyết về
hệ tọa độ trong
không gian
II. Phương trình
mặt phẳng
III. Phương trình
đường thẳng
IV. Các dạng
toán mặt cầu

Trong không gian, cho ba trục x ' Ox, y ' Oy, z ' Oz vuông góc với nhau từng đôi
rr r
một. Gọi i, j , k lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục x ' Ox, y ' Oy, z ' Oz .
Định nghĩa
Hệ gồm ba trục x ' Ox, y ' Oy , z ' Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa
độ Đề các (Descartes) vuông góc Oxyz trong không gian (hình 7.1).
Điểm O được gọi là gốc tọa độ.

( Oxy ) , ( Oyz ) , ( Oxz ) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các
Các mặt phẳng
mặt phẳng tọa độ.
Không gian với hệ tọa độ Oxyz được gọi là không gian Oxyz
r2 r 2 r 2

rr r r rr
i
=
j
=
k
=
1
Nhận xét:
và i. j = j.k = k .i = 0
2. Tọa độ của vectơ

rr r
Trong không gian Oxyz với các vectơ đơn vị i, j, k trên các trục Ox, Oy, Oz, cho
r
( x, y, z ) sao cho
u
một vectơ . Khi đó tồn tại duy nhất bộ ba số thực
r
r
r
r
u = x.i + y. j + z.k
( x, y, z ) thỏa mãn hệ thức trên được gọi là tọa độ của vectơ ur đối
Bộ ba số thực
với hệ trục Oxyz.
r
r
u = ( x; y; z )
u ( x; y; z )

Kí hiệu
hoặc
, trong đó x là hoành độ, y là tung độ, z là cao
r
độ của vectơ u .

Tính chất
r
r
u = ( u1 ; u2 ; u3 ) , v = ( v1 ; v2 ; v3 )

Cho các vectơ
. Khi đó
r r
u = v ⇔ u1 = v1 , u2 = v2 , u3 = v3 .
a.
r r
u + v = ( u1 + v1 ; u2 + v2 ; u3 + v3 )
b.
.
r
k .u = ( ku1 ; ku2 ; ku3 )
c.
với mọi số thực k.
rr
u.v = u1.v1 + u2v2 + u3 .v3
d.
r
u = u12 + u22 + u32
e.

r r r
u; v v ≠ 0
f. Hai vectơ
có phương trình vuông góc với nhau khi và chỉ khi
u1v1 + u2v2 + u3v3 = 0
r r
u
g. Hai vectơ , v cùng phương với nhau khi và chỉ khi có một số thực k sao

(

)


Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong
không gian

Thuvienhoclieu.co
m

r
r
cho u = kv.
3. Tọa độ của một điểm

uuuu
r
( x; y; z ) là tọa độ của điểm
OM
Nếu

là tọa độ của vectơ
thì ta cũng nói
M với hệ tọa độ Oxyz (hình 7.2).

( x; y; z )

Kí hiệu

M = ( x; y ; z )

hay

M ( x; y; z ) .

Trong đó x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của điểm M.
4. Liên hệ giữa tọa độ của vectơ và tọa độ của hai điểm đầu mút
Trong không gian Oxyz cho hai điểm
uuuu
r
độ của vectơ MN và độ dài của nó là:

MN =

( x2 − x1 )

2

M ( x1 ; y1 ; z1 )

+ ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 )

2

và

N ( x2 ; y 2 ; z 2 )

thì khi đó tọa

2

5. Tích có hướng của hai vectơ
Định nghĩa

r r
r
r
r
u ; v 
Tích có hướng của hai vectơ u và v , kí hiệu   là vectơ a xách định bởi
r
r
r
i. a có phương vuông góc với u và v
rrr
 u , v, a
ii. Bộ ba
là bộ ba vectơ thuần (đọc thêm vì trong SGK cơ bản không
giải thích vấn đề này)
r
r r

r
r
 a =  u .  v .sin ϕ
iii.
, tỏng đó ϕ là góc giữa hai vectơ u và v

(

)

Định lý
Trong không gian Oxyz cho hai vectơ
r r u
u ; v  =  2
 
 v2

u3 u3
;
v3 v3

r
u = ( u1 ; u2 ; u3 )

và

r
v = ( v1; v2 ; v3 )

. Khi đó

u1 u1 u2 
;
÷ = ( u2v3 − u3 v2 ; u3v1 − u1v3 ; u1v2 − u2 v1 )
v1 v1 v2 

Một vài mẹo để tính nhanh tích có hướng cảu hai vectơ.
Cách 1: Viết hai tọa độ của hai vectơ song song sau đó nhớ nhanh như sau:
r
r
u = ( u1 ; u2 ; u3 )
v = ( v1 ; v2 ; v3 )
Ví dụ hai vectơ
và
ta viết tọa độ của hai vectơ song
song và ghép các định thức theo chiều tam giác mũi tên từ giữa sang phải rồi trái
như ở STUDY TIPS. Cách nhớ mẹo này để độc giả dùng khi không nhớ công thức.
Đến đây ta tìm được công thức tính tích có hướng
r r
u; v  = ( u2 v3 − u3v2 ; u3v1 − u1v3 ; u1v2 − u2v1 )
 
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.


Công Phá Toán – Lớp 12

Ngọc Huyền
LB

Tôi xin nhắc lại cách tính tích có hướng bằng máy tính fx − 570 VN Plus mà tôi đã

giới thiệu trong cuốn “Bộ đề tinh túy môn toán” như sau:
1. Vào MODE → 8:VECTƠ (để chuyển máy tính sang chế độ tính toán với
vectơ).
2. Khi máy hiện như ở góc trái chọn 1: VctA để nhập tọa độ vectơ thứ nhất, tiếp
theo máy hiện VctA(m), ta chọn 1:3 để nhập tọa độ vectơ có hoành độ, tung độ,
cao độ.
3. Tiếp theo, máy hiện như bên, ta sẽ nhập tọa độ vectơ thứ nhất vào.
4. Sau khi đã nhập tọa độ vectơ thứ nhất, ấn AC để xóa màn hình. Tiếp tục thực
hiện nhập vectơ thứ hai như các bước trên, tuy nhiên ở bước 2, ta không chọn 1
nữa bởi 1: VctA đã có tọa độ, nên ta chọm 2: VctB và tiếp tục thực hiện gán tọa độ
vectơ thứ hai.
5. Tiếp tục ấn AC để xóa màn hình.
6. Ấn SHIFT 5 máy hiện như bên, chọn 3 để hiện VctA, ấn nút nhân tiếp tục lần
nữa chọn 4 để hiện VctB. Máy hiện như bên.
7. Ấn = để nhận kết quả.
Tính chất
1.
2.
3.
4.

r r
r r
u; v  = 0 ⇔ u || v
 
r r
r r
u; v  = − v; u 
 
 

r r
r r
r r
 ku ; v  = u; kv  = k u; v  , ∀k ∈ ¡
 

 

r r ur
r ur
r ur r r ur
r r
r ur
 u + v , α  = u; α  + v; α  ; u, v + α  = u; v  + u; α 
 
 


 
   

( )
(

( )

)

(

)

Hệ quả

r r ur
r r
ur
u , v  .α = 0
u
;
v
1. Ba vectơ
và α đồng phẳng khi và chỉ khi  
(tích hỗn tạp).
r uuur
uuu
r uuur
1 uuu
S ABD =  AB, AD 
S =  AB, AD 
2
2. Diện tích hình bình hành ABCD là
và
uuur uuur uuur
V =  AB, AD  . AA '
3. Nếu ABCD. A ' B ' C ' D ' là hình hộp có thể tích V thì
và do đó

VABDA ' =

r uuur uuur
1 uuu
 AB, AD  . AA ' .

6

Từ hệ quả trên, ta có thể tính nhanh các thể tích, diện tích mà không cần tìm các độ
dài.

II. Phương trình mặt phẳng
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

r r
( P ) nếu giá của nr
Vectơ n ≠ 0 được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng


Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong
không gian

vuông góc với mặt phẳng

( P)

Thuvienhoclieu.co
m

(hình 7.4).

Chú ý

r
r
P
k
.
n
(
)
( k ≠ 0 ) cũng là một vectơ pháp
Nếu n là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
tuyến của mặt phẳng

( P) .

( P ) đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có vectơ pháp tuyến
Cho mặt phẳng
r
n = ( a; b; c ) ≠ 0.
( P ) có dạng
Khi đó phương trình mặt phẳng
( P ) : a ( x − x0 ) + b ( y − y0 ) + c ( z − z0 ) = 0
Định nghĩa
Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0 , trong đó A, B, C không đồng thời
bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Nhận xét

( P)

có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 thì
r

n = ( A; B; C )
nó có vectơ pháp tuyến
.
i. Nếu mặt phẳng

M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
ii. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm
r
r
n ( A; B; C )
0
khác
làm
vectơ
pháp
tuyến

nhận vectơ
có

dạng

A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0.
Các trường hợp đặc biệt
Trong không gian
a 2 + b2 + c 2 = 0

Oxyz,

xét

mặt

phẳng

( P ) : ax + by + cz + d = 0

( P ) đi qua gốc tọa độ.
1. Trường hợp d = 0 thì mặt phẳng

với


Công Phá Toán – Lớp 12

Ngọc Huyền
LB

2. Trường hợp d ≠ 0 thì mặt phẳng

( P)
khi

( P)

có vtpt

r
n = ( 0; b; c )

song song hoặc chứa trục Ox. Khi đó mặt phẳng

( P)

( P)

khi đó mặt phẳng

chứa trục Ox khi và chỉ

đi qua gốc tọa độ O, hay d = 0.

( P ) song song hoặc chứa trục Oy.
3. Trường hợp b = 0 , mặt phẳng

( P ) song song hoặc chứa trục Oz.
4. Trường hợp c = 0 , mặt phẳng

r
P)
n = ( 0;0; c )
(
a
=
b
=
0,
c
≠
0.

5. Trường hợp
Khi đó mặt phẳng
có vtpt
. Trong
trường hợp này, mặt phẳng
đó

( P ) ≡ ( Oxy )

( P)

khi và chỉ khi

song song hoặc trùng với mặt phẳng

( P)

đi qua gốc tọa độ O, hay d = 0.

( Oxy ) . Khi


Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong
không gian

Thuvienhoclieu.co
m

( P ) song song hoặc trùng với mặt
6. Trường hợp a = c = 0, b ≠ 0 , mặt phẳng

phẳng

( Oxz ) .

7. Trường hợp b = c = 0, a ≠ 0 , mặt phẳng
phẳng

( Oyz ) .

( P)

song song hoặc trùng với mặt


Công Phá Toán – Lớp 12

Ngọc Huyền
LB

d
d
d
α = − , β = − ,γ = −
a
b
c , phương tình mặt phẳng
8. Trường hợp abcd ≠ 0 . Đặt
x y z
+ + =1
được đưa về dạng α β γ

. Mặt phẳng lần lượt cắt các trục tọa độ
Ox, Oy , Oz tại các điểm A ( α ;0; 0 ) , B ( 0; β ;0 ) , C ( 0;0; γ ) và phương trình mặt
phẳng viết dưới dạng này được gọi phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

Đến đây ta có bài toán tổng quát:

( P)

Mặt phẳng

(hình 7.5) đi qua ba điểm
x y z
( P) : + + = 1
a b c
phương trình

M ( a;0;0 ) , N ( 0; b;0 ) , P ( 0;0; c )

có

2. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng

( P1 ) ; ( P2 )

lần lượt có phương trình

( P1 ) : a1 x + b1 y + c1z + d = 0, ( P2 ) : a2 x + b2 y + c2 z + d = 0 ,
với

a12 + b12 + c12 ≠ 0 ( i = 1; 2 )

. Khi đó

( a1 ; b1 ; c1 ) = k ( a2 ; b2 ; c2 )
n1 = kn2

⇔
d1 ≠ kd 2
d1 ≠ kd 2


( P1 ) // ( P2 ) ⇔ 


n1 = kn2
( a1 ; b1 ; c1 ) = k ( a2 ; b2 ; c2 )
⇔

d1 = kd 2
d1 = kd 2

( P1 ) ≡ ( P2 ) ⇔ 

( P1 )

cắt

( P2 ) ⇔ n1 ≠ kn2 ⇔ ( a1 ; b1; c1 ) ≠ k ( a2 ; b2 ; c2 )

( P ) ⊥ ( P2 ) ⇔ a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0
3. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng
Trong không gian

Oxyz

cho mặt phẳng

( P ) : ax + by + cz + d = 0 ,

với

a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0 và điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) . Khi đó khoảng cách từ M đến mặt phẳng

( P)

là độ dài đoạn MH, với MH là đoạn thẳng vuông góc với

Độ dài MH được tính bằng công thức

d ( M ; ( P ) ) = MH =

( P)

tại H (hình 7.6).

ax0 + by0 + cz0 + d
a 2 + b2 + c 2

Hệ quả

Với

( P ) : ax + by + cz + d = 0 và

( P ') : ax + by + cz + d ' = 0
khoảng

cách

d ( ( P ) ; ( P ') ) =

giữa

(a

2

( P)

d −d'
a 2 + b2 + c 2

+ b 2 + c 2 ≠ 0; d ≠ d ' )

và

( P ') được

là hai mặt phẳng song song thì
tính

bằng

công

thức:


Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong
không gian

Thuvienhoclieu.co
m

4. Góc giữa hai mặt phẳng.
Góc giữa hai mặt phẳng
thẳng a và b mà

a ⊥ ( P)

(

( P)
và

·
( Q ) , kí hiệu ( ( P ) , ( Q ) )

và

b ⊥ ( Q)

.

)

π
0 ≤ (·P ) , ( Q ) ≤ .
2
Từ đó suy ra
cos ( ( P ) ; ( Q ) )
Từ đây ta có

uuur uuur
n( P ) .n( Q )
uuur uuur
= cos n( P ) , n( Q ) = uuur uuur
n( P ) . n( Q )

(

)

là góc giữa hai đường


Công Phá Toán – Lớp 12

Ngọc Huyền LB

Dạng toán viết phương trình mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz.

(α )

M ( x0 ; y0 ; z0 )

Dạng 1: Cho mặt phẳng
đi qua
và
chứa hai đường thẳng phân biệt (không cùng phương)
r
r
a
b
có vectơ chỉ phương lần lượt là và
Dạng 2: Cho mặt phẳng

(α )

song song với mặt phẳng

( β ) : ax + by + cz + d = 0.

đi qua

M ( x0 ; y0 ; z0 )

và

r
r r
⇒ n =  a, b 

là vectơ pháp tuyến của

(α) .

⇒ ( α ) : a ( x − x0 ) + b ( y − y0 ) + c ( z − z0 ) = 0

.

( α ) đi qua ba điểm A; B; C

r
uuu
r uuur
⇒ n =  AB, AC 

Dạng 4: Cho mặt phẳng
đi qua điểm M và một
đường thẳng d không chứa M.

(α )

Trên d lấy điểm A và tìm vectơ chỉ phương của d là
r
r
uuuu
r r

u ⇒ n =  AM , u 
(α)
là một vectơ pháp tuyến của

(α)

⇒ vectơ chỉ phương của đường thẳng d là vectơ pháp

Dạng 3: Cho mặt phẳng
không thẳng hàng.

Dạng 5: Cho mặt phẳng
với đường thẳng d.

(α )
Dạng 6: Cho mặt phẳng
nhau d1 ; d 2 .

đi qua M và vuông góc

tuyến của

là vectơ pháp tuyến của

(α) .

(α) .

r r
a; b của d1 ; d 2 .

Xác
định
các
vtcp
đi qua 2 đường thẳng cắt
r
r r
n =  a, b  .
α)
(
- vtpt của
là

- Lấy một điểm M thuộc một trong hai đường thẳng
trên từ đó viết phương trình mặt phẳng
r r
α)
a
; b của d1 ; d 2 .
(
d
1
Dạng 7: Cho mặt phẳng
chứa
và song song - Xác định các vtcp
r
r r
n =  a, b 
với d 2 (hai đường thẳng này chéo nhau).
α)

(
- vtpt của
là
.

(α)

(α)
- Lấy một điểm M ∈ d1 (Vì d 2 không nằm trong
).
r r
α)
a
; b của d1 ; d 2 .
(
Dạng 8: Cho mặt phẳng
song song với hai đường - Xác định các vtcp
r
r r

n
=
a
thẳng d1 ; d 2 chéo nhau và đi qua điểm M.
( α ) là  , b  .
- vtpt của
( α ) đi qua M và có vtpt nr .
- Viết phương trình
uur
r

α)
β
(
n
Dạng 9: Cho mặt phẳng
song song với hai đường - Xác định vtcp u của d và vtpt β của ( ) .
r
r uur
(β) .
thẳng d và vuông góc với mặt phẳng
α ) n = u , nβ  .
(
- Một vtpt của
là
(α) .
- Lấy M ∈ d và viết phương trình mặt phẳng


Công Phá Toán – Lớp 12

(α )
Dạng 10: Cho mặt phẳng
với hai mặt phẳng cắt nhau

Ngọc Huyền LB

đi qua M và vuông góc

( β ) ;( γ ) .

(β)
- Xác định ctpt của

(γ )
và

lần lượt là
r
uur uu
r
( α ) là n = nβ ; nγ  .
- Một vtpt của

uur uu
r
nβ ; nγ

( α ) đi qua đường thẳng d - Giả sử
(α)
Dạng 11: Cho mặt phẳng
có
phương
cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k.
ax + by + cz + d = 0, ( a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0 ) .

.

trình

A; B ∈ d ⇒ A; B ∈ ( α )

- Lấy hai điểm
ta được hai
phương trình (1);(2).
- Từ điều kiện khoảng cách ta được phương trình (3).

Dạng 12: Cho mặt phẳng

S ( I; R)

tại điểm A.

(α )

tiếp xúc với mặt cầu

- Giải hệ phương trình ta được a; b; c; d.
r uu
r
α ) : n = IA.
(
Vtpt của


III. Phương trình đường thẳng
1. Hai dạng biểu diễn của phương tình đường thẳng trong không gian

M ( x0 ; y0 ; z 0 )
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng ∆ đi qua điểm
và có vectơ
r

r r
2
2
2
u = ( a; b; c )
chỉ phương
(do u = 0 nên a + b + c ≠ 0 ), Khi đó phương trình tham

số của đường thẳng ∆ có dạng

 x = x0 + at

 y = y0 + bt
 z = z + ct
0


với t là tham số.

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
b
c
Khi abc ≠ 0 , khử t từ hệ ta được : a

Phương trình trên được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ .
2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

ur

u
∆
M
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng 1 đi qua 1 có vectơ chỉ phương 1 và
uu
r
u2
∆
M
2
2
đường thẳng
đi qua
có vectơ chỉ phương .
ur uu
r uuuuuur
u1 ; u2 ; M 1M 2
∆
≡
∆
1
2
1.
khi và chỉ khi ba vectơ
đôi một cùng phương, tức là
ur uu
r
ur uuuuuur
u1 , u2  = u1 , M 1M 2 


 
 =0 (hình 7.7).
ur uu
r
uuuuuur
u
//
u
MM
∆
//
∆
2. 1 2 khi và chỉ khi 1 2 nhưng không cùng phương với 1 2 , tức là
ur uu
r
r
 u1 , u2  = 0


r
 ur uuuuuur
u1 , M 1M 2  ≠ 0



(hình 7.8)
ur
uu
r
u1

u2
∆
∆
1
2
3.
và
cắt nhau khi và chỉ khi
không cùng phương với , đồng thời
ur uu
r
r
 u1 , u2  ≠ 0


r uuuuuur r
 ur uu
ur uu
r
uuuuuur
 u1 , u2  .M 1M 2 = 0
u ,u
MM
ba vectơ 1 2 và 1 2 đồng phẳng, tức là  
(hình 7.9)
ur uu
r
uuuuuur
u ,u
MM

4. ∆1 và ∆ 2 chéo nhau khi và chỉ khi ba vectơ 1 2 và 1 2 không đồng
ur uu
r uuuuuur r
u1 , u2  .M 1M 2 ≠ 0

phẳng, tức là 
(hình 7.10)
Ta cũng có thể xét tính tương đối của hai đường thẳng dựa trên hệ phương trình hai
 x0 + ta1 = x0 '+ t ' a1 '

 y0 + ta2 = y0 '+ t ' a2
 z + ta = z '+ t ' a '
3
0
3
ẩn như sau:  0
(1)
1. Hai đường thẳng d và d ' cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình (1) có
đúng một nghiệm.


2. Hai đường thẳng d và d ' chéo nhau khi và chỉ khi hệ phương trình (1) vô
ur
uu
r
u
u
1
nghiệm và
không cùng phương với 2 .

3. Hai đường thẳng d và d ' song song khi hệ phương trình (l) vô nghiệm và
ur
uu
r
u1 cùng phương với u2 .
4. Hai đường thẳng d và d ' trùng nhau khi hệ (l) có vô số nghiệm.
3. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng. Khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau
a. Khoảng cách từ mọi điểm đến một đường thẳng

∆

Trong không gian cho điểm M và đường thẳng ∆ đi qua điểm N, với vectơ chỉ
r
u
phương . Khoảng cách từ M đến ∆ là độ dài đoạn vuông góc MH kẻ từ M đến ∆
(hình 7.11)
uuur r
∆
Cách 1: Lấy điểm P trên sao cho NP = u . Khi đó MH là độ dài đường cao kẻ từ
r uuuur
u.NM 


d ( M ; ∆) =
r
2S
MH = MNP
u
NP nên

M của tam giác MNP. Vì
Cách 2: Để tính khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆ , ta có thể xác định tọa độ
hình chiếu H của M trên ∆ rồi tính độ dài MH.
Chú ý: Ở cách 2, để tính được tọa độ điểm H ta phải đưa phương trình đường
thẳng ∆ về dạng tham số, từ đó tham số hóa tọa độ điểm H.
Dựa vào dữ kiện MH ⊥ ∆ ta sẽ tìm được tọa độ điểm H.
Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm

A ( 1; 2;1)

đến đường thẳng

( d) :

x y −1
=
= z + 3.
3
4

Lời giải
Cách 1: Lấy điểm

B ( 0;1; −3)

trên

( d ) . Khi đó khoảng cách từ điểm A đến đường
r uuu
r

STUDY TIP
u; BA


Cả hai cách làm đều khá là nhanh, tùy theo lựa chọn của độc giả mà áp dụng, tuy nhiên
d để
A; nhớ
d công
= thức
. cần nắm vững cách để suy luận r
r nhanh,

( ( ))

( d)
thẳng

được tính bằng công thức:
r uuu
r
uuu
r
u; BA = ( 15; −11; −1)
BA = ( 1;1; 4 )

Ta có
. Khi đó 
⇒ d ( A; ( d ) ) =

152 + ( −11) + ( −1)
2

32 + 42 + 12

2

=

Cách 2: Gọi H là hình chiếu của A lên
uuur
⇒ AH = ( 3t − 1; 4t − 1; t − 4 )
Mà

AH ⊥ ( d )

, do vậy

u

347
.
26

( d ) . Khi đó

H ( 3t;1 + 4t; −3 + t )


( 3t − 1) .3 + ( 4t − 1) .4 + t − 4 = 0 ⇔ t =

11
 7 9 −93 
⇒ AH =  ; ;
÷.
26
 26 13 26 

uuur
347
AH =
.
26
Khi đó
b. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆1 và ∆ 2 là độ dài đoạn vuông góc
chung của chúng.

∆2

Lấy điểm A thuộc ∆1 , điểm B thuộc ∆ 2 .
ur uu
r
u
;
u
Gọi 1 2 lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng ∆1 và ∆ 2 .
uuuu
r ur uuur uu
r

 
AM
=
u
;
BN
=
u
∆
∆
1
2 . Khi đó
1
2
Trên
và
lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho
khoảng cách giữa ∆1 và ∆ 2 là khoảng cách giữa hai đáy của hình hộp đựng trên ba
cạnh MA, AB, BN (hình 7.12).
Mặt khác ở phần hệ quả của bài hệ tọa độ trong không gian ta có công thức của
ur uu
r uuur
  u1 , u2  . AB


d ( ∆1 ; ∆ 2 ) =
ur uu
r uuur
ur uu
r

  u1 , u2  . AB .
u1 , u2 



hình hộp bằng 
Do vậy
4. Góc giữa hai đường thẳng. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
a. Góc giữa hai đường thẳng

(

)

d· 1 , d 2
Góc giữa hai đường thẳng d1 , d 2 được kí hiệu là
, được xác định bởi các
trường hợp:
- Nếu d1 cùng phương với d 2 thì

(

( d· , d ) = 0.
1

2

)

d· 1 , d 2

d
d
1
2
- Nếu và
cắt nhau tại I thì
bằng số đo góc nhỏ nhất tròn bốn góc tạo
thành.

(

) ( )

d· 1 , d 2 = a¶, b
a ∩ b = { 1} .
d
d
1
2
- Nếu và
chéo nhua thì
trong đó a //d1 , b //d 2 và
(Hình 7.13)
Do góc giữa hai đường thằng là số đo góc nhỏ nhất trong bốn góc tạo được.

(

)

π

0 ≤ d· 1 , d 2 ≤ .
d· 1 , d 2 = α
2
Do vậy
Do vạy nếu đặt
thì ta có
ur uu
r
u1 , u2
cos α = cos d· 1 , d 2 = ur uu
r
u1 . u2

(

(

)

)

b. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng

( P ) , kí hiệu là ( d , ( P ) ) , xác định bởi:
Góc giữa hai đường thẳng d và mặt phẳng
·


- Nếu

d ⊥ ( P)

d· , ( P ) ) = 90°
(
thì
.

- Nếu d không vuông góc với
d trên

( P)

( P)

d· , ( P ) )
(
thì
bằng góc giữa d và hình chiếu của

(hình 7.14).

(

)

π
0 ≤ d· , ( P ) ≤
2
Ta có
r r

u
Gọi , n lần lượt là vectơ chỉ phương của d và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

( P ) . Khi đó nếu đặt ( d , ( P ) ) = α
·

thì

r r
u, n
r r
sin α = cos u, n = r r
u. n

( )


Dạng toán viết phương trình đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz.

r uuu
r
- Vtcp của d là u = AB

Dạng 1: Cho đường thẳng d đi qua hai điểm A; B.
Dạng 2: Cho đường thẳng d đi qua
song song với ∆
Dạng 3: Cho đường thẳng d đi qua
vuông góc với mặt phẳng cho trước.

M ( x0 ; y0 ; z0 )

d //∆ nên vtco của ∆ cũng là vtcp của d.
và - Vì

M ( x0 ; y0 ; z0 )

( P ) cũng là vtcp của d.
và - Vì d ⊥ ∆ nên vtpt của

Dạng 4: Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt - Cách 1: Tìm 1 điểm và 1 vtcp
phẳng

( P) ;( Q) .

+ Tìm một điểm A trên d bằng cách giải hệ phương
( P )

( Q)
trình 
+ Tìm 1 vtcp của d:

r
uur uur
u =  nP , nQ  .

- Cách 2: Tìm hai điểm A; B ∈ d , rồi viết phương
trình đường thẳng đi qua 2 điểm đó.
Dạng 5: Cho đường thẳng d đi qua điểm

M ( x0 ; y0 ; z0 )

và vuông góc với 2 đường thẳng d1 ; d 2 .

Dạng 6: Cho đường thẳng d đi qua điểm

M ( x0 ; y0 ; z0 )

, vuông góc và cắt đường thẳng d1.

Dạng 7: Cho đường thẳng d đi qua điểm

M ( x0 ; y0 ; z0 )

và cắt 2 đường thẳng d1 ; d 2 .

Dạng 8: Cho đường thẳng d nằm trong mặt phẳng

( P)

và cắt hai đường thẳng d1 ; d 2 .

- Vì d ⊥ d1 ; d ⊥ d 2
r
uur uur
u = ud1 , ud2  .

nên một vtcp của d là

- Gọi H là hình chiếu của M trên d1.

Khi đó d là đường thẳng đi qua M; H.
M 1 ∈ d1 ; M 2 ∈ d 2 . Từ điều kiện
- Cách 1: Gọi
M ; M 1 ; M 2 thẳng hàng ta tìm được M 1 ; M 2 ⇒
phương trình d.
- Cách 2: Gọi

( P ) = ( M , d1 ) ; ( Q ) = ( M ; d2 ) .

d = ( P) ∩ ( Q) .

Do đó

uu
r uur uur
ud = nP , nQ  .

A = d1 ∩ ( P ) ; B = d2 ∩ ( P ) ⇒ d

Khi đó

đi qua A;B.

Dạng 9: Cho đường thẳng d //∆ và cắt hai đường Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa ∆ và d1 , mặt
thẳng d1 ; d 2 . (Biết ∆ luôn cắt d1 ; d 2 )
( Q ) chứa ∆ và d2 . Khi đó d = ( P ) ∩ ( Q ) .
phẳng
Dạng 10: Cho đường thẳng d là đường thẳng vuông
Cách 1: Gọi M 1 ∈ d1; M 2 ∈ d 2 . Từ điều kiện
góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 ; d 2 .

 M 1M 2 ⊥ d1

 M 1M 2 ⊥ d 2 ta tìm được M 1 ; M 2 . Khi đó d là đường


thẳng M 1M 2 .
Cách 2: - Vì d ⊥ d1 ; d ⊥ d 2 nên có một vtcp là
r
uur uur
u = ud1 , ud2  .
- Lập phương trình mặt phẳng

( P)

chứa d và d1 :

+ Lấy một điểm A trên d1 .
uur
r uur
nP = u, ud1  .
P)
(
+Một vtcp của
là
- Lập phương trình mặt phẳng
- Khi đó
Dạng 11: Cho đường thẳng d là hình chiếu của đường
thẳng ∆

( P) .

lên mặt phẳng

( Q)

và chứa d 2 .

d = ( P) ∩ ( Q) .

- Lập phương trình mặt phẳng
vuông góc với

( Q)

chứa

( ∆)

và

( P) .

+ Lấy M ∈ ∆.

( Q ) chứa ∆ và vuông góc với
+ Vì
uur uur uur
nQ = u∆ , uP  .
- Khi đó

( P)

nên

d = ( P) ∩ ( Q) .

Dạng 12: Cho đường thẳng d đi qua M, vuông góc với
- Cách 1: Gọi N là giao điểm của d và d 2 . Từ điều
d1 và cắt d 2 .
kiện MN ⊥ d1 , ta tìm được N. Khi đó d là đường
thẳng MN.
- Cách 2:
+ Viết phương trình mặt phẳng
góc với d1

( P ) đi qua M và vuông

+ Viết phương trình mặt phẳng
Khi đó

d = ( P) ∩ ( Q)

.

( Q)

chứa M và d 2 .


Đọc thêm: Bài toán cực trị trong không gian
1. Bài toán cực trị về mặt phẳng, đường thẳng quanh xung quanh một điểm

cố định
Bài toán 1: Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm vị trí của mặt phẳng
và cách A một khoảng lớn nhất.

(α)

chứa B

Lời giải
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng
vuông tại H và
khi đó

(α)

d ( A; ( α ) ) = AH ≤ AB.

( α ) . Khi đó tam giác ABH

Vậy khoảng cách đó lớn nhất khi H trùng B,

là mặt phẳng đi qua B và vuông góc với AB.

Bài toán tương tự là tìm đường thẳng qua B và cách A một khoảng lớn nhất.
2. Bài toán cực trị về mặt phẳng quay xung quanh một đường thẳng cố định
Bài toán 2: Cho điểm A và đường thẳng ∆ không đi qua A. Tìm vị trí của mặt
phẳng

(α)

chứa ∆ sao cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng đó là lớn nhất.
Lời giải

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên
trên đường thẳng ∆ .
Ta thấy
Vậy
là

d ( A; ( α ) ) = AH ≤ AK

d ( A; ( α ) )

(α)

( α ) , K là hình chiếu vuông góc của A

(quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên).

( α ) cần tìm
lớn nhất khi và chỉ khi H ≡ K , hay vị trí mặt phẳng

chứa ∆ và vuông góc với AK.

r
uur uuur uur
n =  u∆ , MA  , u∆ 

 trong đó
Lúc này mặt phẳng cần tìm có vectơ pháp tuyến

M ∈∆ .
Ví dụ 1: Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
 x = 1 + 2t

d : y = t
( t ∈¡
 z = −2 − t

A.

( 10;17;37 )

)
và cách
B.

A ( 1; 2;5)

( 9; −14; 4 )

(α)

chứa đường thẳng

một khoảng lớn nhất là

C.

( 10; −17;37 )

D.

( 9;14; 4 )

Đáp án A.

Ta có

Lời giải
uu
r
uuur
ud = ( 2;1; −1) , M ( 1;0; −2 ) ⇒ MA = ( 0; 2;7 ) .

r
uu
r uuur uu
r
n =  ud , MA , ud  = ( 10;17;37 ) .


chứng minh ta có
Bài tập áp dụng

Vậy áp dụng công thức vừa


1. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng

M ( 2;1;1)

d:

x −1 y z + 2
= =
2
1
−1 cách

một khoảng lớn nhất.

A.

( α ) : x + y + 3z + 5 = 0

B.

( α ) : 4x − 7 y + z = 0

C.

( α ) : 6 x + 6 y + 18 z + 5 = 0

D.

( α ) : −4 x + 7 y − z = 0

2. Viết phương trình mặt phẳng

( Q ) : 2x − y + z −1 = 0

( P)

và cách điểm

đi qua gốc tọa độ và vuông góc với mặt phẳng

M ( 1;0;1)

một khoảng lớn nhất.

A. x − 2 y + z = 0

B. y + z = 0

C. x + y − z = 0

D. x − y + z = 0

Đáp án: 1.A; 2.B
Bài toán 3*: Cho hai đường thẳng ∆1 , ∆ 2 phân biệt và không song song với nhau.
Viết phương trình mặt phẳng

(α)

chứa ∆1 và tạo với một góc lớn nhất.
Lời giải

Vẽ một đường thẳng bất kì ∆ 3 song song với ∆ 2 và cắt ∆1 tại K. Gọi A là điểm cố

( α ) . Ta có góc giữa ∆ 2 và
định trên ∆ 3 và H là hình chiếu của A trên mặt phẳng

(α)

·
AT ⊥ ∆1 ( T ∈ ∆1 )
chính là góc AKH . kẻ
.

Khi đó ∆HKT vuông tại T, nên:

cos ·AKH =

HK KT
≥
AK AK (không đổi).

·
Vậy góc AKH lớn nhất khi và chỉ khi HK = KT hay H ≡ T .
Góc lớn nhất đó chính bằng góc

(

·AKH = ∆
· ,∆
1
2

)

(α )

cần tìm chứa ∆1 và vuông góc với mặt phẳng
uur uuu
r
u ∆ , u ∆  .
nó có một vectơ chỉ phương là  1 2 
uur uur uur uuu
r


n
=
u
,
u
,
u
( α ) là α  ∆1  ∆1 ∆2  
Do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Khi đó mặt phẳng

d:

( P ) chứa
Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng
x +1 y z −1
d ':
= =

1
2
1 một góc lớn nhất.
đường thẳng

B. x + 4 y − z + 7 = 0

C. 2 x + 5 y − 10 = 0

D. 2 x − 5 y + 10 = 0
Lời giải

hay

x −1 y +1 z − 2
=
=
2
1
2 và tạo với

A. x − 4 y + z − 7 = 0

Đáp án A.

( ∆1 , ∆3 )


r
uu

r uur uu
r
n =  ud , ud '  ud  = ( 3; −12;3) .


Ta có
3. Bài toán cực trị về họ đường thẳng quay xung quanh một điểm cố định
trong mặt phẳng cố định
Bài toán 4*: Cho mặt phẳng

(α)

và điểm A thuộc

(α) ,

điểm B khác A. Tìm

( α ) đi qua A và cách B một khoảng nhỏ nhất, lớn nhất.
đường thẳng ∆ nằm trong
Lời giải
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên ∆ .
Ta thấy

d ( B; ∆ ) = BH ≤ AB.

Vậy khoảng cách đó lớn nhất khi và chỉ khi H ≡ A .
Khi đó ∆ là đường thẳng qua A và có một vectơ chỉ phương là
Gọi T là hình chiếu của B trên

( α ) . Ta thấy

uur uur uuu
r
u∆ =  nα ; AB 

.

BH ≥ BT .

Vậy khoảng cách BH nhỏ nhất bằng BT khi và chỉ khi H ≡ A hay đường thẳng ∆
đi qua A và T.
Để viết phương trình đường thẳng ∆ ta có 2 cách:
- Tìm hình chiếu vuông góc T của B trên ∆ , từ đó viết phương trình đường thẳng
∆ đi qua A và T.
uur uur uur uuur
∆ : u∆ =  nα ,  nα , AB   .


- Tìm tọa độ một vectơ chỉ phương của đường thẳng
Bài toán 5*: Cho mặt phẳng
song song với

(α)

và điểm A thuộc

( α ) , đường thẳng d không

( α ) , khồn nằm trên ( α ) , không đi qua A. Tìm đường thẳng

trong mặt phẳng
lớn nhất.

(α )

∆ nằm

đi qua A sao cho khoảng cách giữa ∆ và đường thẳng d là
Lời giải

Gọi d ' là đường thẳng qua A và song song với d và B là giao điểm của d với mặt
phẳng

( α ) . Gọi H là hình chiếu vuông góc vủa B trên mặt phẳn ( d '; ∆ ) . Khoảng

cách giữa d và ∆ bằng BH. Gọi C là hình chiếu vuông góc của B trên d ' .
Ta thấy BH ≤ BC , nên BH lớn nhất khi và chỉ khi H ≡ C .
uu
r uur uuur
u∆ =  nα , BC  .
Khi đó đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương


Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong không gian

Bài tập rèn luyện kỹ năng

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho
hai điểm

A ( 1; 2;1) , B ( 3;0; −1)

( P ) : x + y − z − 1 = 0.

A. 2 3

và mặt phẳng

Gọi M và N lần lượt là hình

chiếu của A và B trên
là
4 2
B. 3

( P) .

Độ dài đoạn thẳng MN

2
C. 3

A ( 1; 2;1)

và mặt phẳng

( P ) : x + 2 y − 2 z − 1 = 0.

Gọi B là điểm đối xứng với A qua
đoạn thẳng AB là
A. 2

4
B. 3

2
C. 3

( P)

B. 3

C. 5

. Độ dài

D. 4

D. 4

A. x − y + z − 1 = 0

B. x − y + z + 1 = 0

C. x − y + z = 0

D. x − y + z − 2 = 0

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
phẳng

( P) : 2x + y − z −1 = 0

và

D. 18

2

+ ( y − 2 ) + ( z − 1) = 2
2

2

. Hai mặt phẳng

( P)

( Q ) chứa d và tiếp xúc với ( S ) . Gọi M và
và
N là tiếp điểm. Độ dài đoạn thẳng MN là
4
B. 3

6

C.

D. 4

A ( 3;3;1) , B ( 0; 2;1)

( P ) : x + y + z − 7 = 0.

và mặt

Đường thẳng d nằm

( P ) sao cho mọi điểm của d và cách đều hai
trên
điểm A,B có phương trình là

A.

x = t

 y = 7 − 3t ( t ∈ ¡
 z = 2t


 x = −t

 y = 7 − 3t ( t ∈ ¡
 z = 2t
C. 

x = t


 y = 7 + 3t ( t ∈ ¡
 z = 2t


)

 x = 2t

 y = 7 − 3t ( t ∈ ¡
z = t
D. 

)

)
B.

)

Câu 9: Cho bốn điểm

A ( a; −1; 6 ) , B ( −3; −1; −4 ) ,

C ( 5; −1;0 ) , D ( 1; 2;1)

và thể tích của tứ diện ABCD
bằng 30. Giá trị của a là:
A. 1

B. 2

C. 2 hoặc 32

D. 32

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

( Q ) : x − 2 y + z − 5 = 0 . Khi đó giao tuyến của ( P )

mặt phẳng

( Q)
và

đây thuộc

có một vectơ chỉ phương là
r
r
u = ( 1;3;5 )
u = ( −1;3; −5 )
A.
B.
r
r
u = ( 2;1; −1)
u = ( 1; −2;1)
C.
D.

C. 9

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
x−2 y z
d:
=
=
2
−1 4 và mặt cầu
đường thẳng

phẳng

Phương trình mặt phẳng chứa A và vuông góc với d
là

mặt

B. 6

Câu 8: Cho hai điểm

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ, cho điểm
x +1 y − 2 z
d:
=
+
A ( 1; 2;1)
1
−1 1 .

và đường thẳng

hai

A. 54

A. 2 2

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
r
r
r
a = ( 1; 2;1) b = ( −2;3; 4 ) c = ( 0;1; 2 )
,
,
và
ur
u
r
r
r r
d = ( 4; 2;0 )
. Biết d = xa + yb + zc . Tổng x + y + z
là
A. 2

M ( 1; 2;1) .
( P ) thay đổi đi qua M
điểm
Mặt phẳng

lần lượt cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C khác O.
Giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện OABC là

( S ) : ( x − 1)

D. 4

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
điểm

The best or nothing

( P) : x − 2 y + z − 5 = 0 .

Điểm nào dưới

( P) ?

A.

Q ( 2; −1; −5 )

B.

P ( 0; 0; −5 )

C.

N ( −5; 0;0 )

D.

M ( 1;1; 6 )


Công Phá Toán – Lớp 12

Câu 11: Cho hai đường thẳng

Ngọc Huyền LB

x = 2 +1

d1 :  y = 1 − t ( t ∈ ¡
 z = 2t


C.

)

( 1; −7; −5)

D.

( 1; −7;5)

Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

 x = 2 − 2t


d1 :  y = 3
( t ∈¡ )
z = t

và
. Mặt phẳng cách đều hai
đường thẳng d1 và d 2 có phương trình là
A. x + 5 y + 2 z + 12 = 0

điểm

M ( 2;6; −3)

và ba mặt phẳng

( Q ) : y − 6 = 0; ( R ) : z + 3 = 0.

( P ) : x − 2 = 0;

Trong các mệnh đề

sau, mệnh đều sai là
A.

( P)

C.

( R ) //Oz

đi qua M

B.

( Q ) // ( Oxz )

D.

( P) ⊥ ( Q)

B. x + 5 y − 2 z + 12 = 0

Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

C. x − 5 y + 2 z − 12 = 0

d là đường thẳng qua

x −1 y + 1 z − 2
d:
=
=
2
1
1 .
Câu 12: Cho đường thẳng

Hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng
là

 x = −1 + 2t

 y = 1+ t ( t ∈ ¡
z = 0
C. 

( Oxy )

 x = 1 + 2t

 y = −1 + t ( t ∈ ¡
z = 0
B. 

)

)

 x = −1 + 2t

 y = −1 + t ( t ∈ ¡
z = 0
D. 

B.

( 0; −7; 0 )

C.

( 0;8;0 )

( 0; 7;0 )
D.

B.

)

)
D. Đáp số khác

A ( 2; −3; −1) ; B ( 4; −1; 2 )
hai điểm
. Phương trình
mặt phẳng trung trực của AB là

)

A. 4 x + 4 y + 6 z − 7 = 0

hoặc

B. 2 x + 3 y + 3 z − 5 = 0
C. 4 x − 4 y + 6 z − 23 = 0

Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

( 0;8;0 )

hai

( 0;8;0 )
hoặc
A ( 5;1;3) , B ( −5;1; −1) , C ( 1; −3;0 )

mặt phẳng
,

. Tọa độ của điểm A đối xứng với A qua

mặt phẳng

( BCD )

A.

phẳng

( α ) : 3x − y + mz − 3 = 0

( 1;7;5)

(α)

và

m = −3; n =

(β)

C.

m = 3; n = −

song song với nhau là

2
3

2
3

và

Giá trị của m và n để hai

B. Không có giá trị của m và n

là
B.

mặt

( β ) : 2 x + ny + 2 z − 2 = 0.

D ( 3; −6; 2 )

( −1; 7;5)

C.

x = 4 + t

 y = 3 + 2t ( t ∈ ¡
 z = −7 + 3t


)

 x = 1 + 4t

 y = 2 + 3t ( t ∈ ¡
 z = 3 − 7t


D. 2 x − 3 y − z − 9 = 0

Câu 14: Cho

A.

A.

 x = 1 + 4t

 y = 2 + 3t ( t ∈ ¡
 z = 3 − 7t


Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

Câu 13: Cho
,
điểm D nằm trên trục Oy và thể tích của tứ diện
ABCD bằng 5. Tọa độ của D là

( 0; −7;0 )

d là

)

A ( 2;1; −1) , B ( 3; 0;1) , C ( 2; −1;3)

A.

và vuông góc với

( Q ) : 4 x + 3 y − 7 z + 1 = 0 . Phương trình tham số của

D. x + 5 y + 2 z − 12 = 0

x = 0

 y = 1− t ( t ∈ ¡
z = 0
A. 

M ( 1; 2;3)


Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong không gian

D.

m = 3; n =

Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt

2
3

M ( 1;0;0 )
Câu 19: Cho điểm
và đường thẳng
x −1 y z
d:
= = .
1
2 1 Gọi M ' ( a; b; c ) là điểm đối xứng
với M qua d. Giá trị của a − b + c là
A. −1

B. −2

C. 1

( P ) : 2x − y + z + 2 = 0

mặt phẳng
B. 90°

C. 30°

và

( Q)

x y z
+ +
=1
A. 3 1 −4

x y z
+
+ =1
B. 1 −4 3

x y z
+ +
=1
C. 1 3 −4

x y z
+ + =1
D. −4 3 1

( P)

đi qua hai điểm

và vuông góc với mặt phẳng

x + 2 y − 5z − 3 = 0 .

là

D. 60°

( ABC ) .

A. 6 x − 4 y − 3 z − 12 = 0

A.

( P) : 7x − 6 y − z − 7 = 0

B.

( P) : 7x − 6 y − z + 7 = 0

C.

( P) : x − 3y − z + 2 = 0

D.

( P) : x − 3y − z + 5 = 0

Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

A ( a;0; 0 ) , B ( 0; b; 0 ) , C ( 0;0; c )
ba điểm
với a, b, c
là những số dương thay đổi sao cho
a 2 + 4b 2 + 16c 2 = 49 . Tính tổng F = a 2 + b 2 + c 2

B. 3x − 6 y − 4 z + 12 = 0
C. 4 x − 6 y − 3 z + 12 = 0
D. 4 x − 6 y − 3 z − 12 = 0

sao cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng
lớn nhất.

Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

A ( −4; −2; 4 )
điểm
và đường thẳng
x + 3 y −1 z +1
d:
=
=
2
−1
4 . Viết phương trình đường
thẳng ∆ đi qua A, cắt và vuông góc với đường
thẳng d.

A.
C.

F=

49
4

F=

51
4

B.
D.

F=

49
5

F=

51
5

( ABC )

là

x+4 y+2 z−4
∆:
=
=
−4
−4
1
A.

Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

x+4 y+2 z−4
=
=
−1
2
1

( P ) : x + y + z = 0 . Tính độ dài đoạn thẳng OM, biết

B.

∆:

hai điểm

x+4 y+2 z−4
∆:
=
=

3
2
−1
D.

Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
điểm

A ( 1;0;0 ) , B ( 0;3;0 )

A ( −3;5; −5 ) , B ( 5; −3;7 )

rằng điểm M thuộc
giá trị nhỏ nhất?

x+4 y+2 z−4
∆:
=
=
2
−2
−1
C.

ba

?

A ( 2;1;1) .B ( 3; 2; 2 )

M ( −3; 2; 4 )
Câu 21: Cho điểm
, gọi A, B, C lần
lượt là hình chiếu của M trên trục Ox, Oy, Oz.
Trong các mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song
với mặt phẳng

( ABC )

phương trình mặt phẳng

và

( Q ) : x + y + 2 z − 1 = 0 . Góc giữa ( P )

phẳng

Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết

D. 3

Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

A. 45°

The best or nothing

và

C ( 0;0; −4 )

.

( P)

và mặt phẳng

2
2
sao cho MA + MB đạt

A. OM = 3

B. OM = 1

C. OM = 0

D. OM = 10

Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết
phương trình mặt phẳng

(α)

đi qua điểm


Công Phá Toán – Lớp 12

Ngọc Huyền LB

H ( 3; −4;1)

và cắt các trục tọa độ tại các điểm M,
N, P sao cho H là trực tâm của tam giác MNP.
A. 3 x − 4 y + z − 26 = 0

( P ) : 2x + y + z − 2 = 0 .

phẳng

( P)

và

Giao điểm M của d

có tọa độ là

B. 2 x + y − z − 1 = 0

A.

M ( 3;1; −5 )

B.

M ( 2;1; −7 )

C. 4 x − 3 y − z + 1 = 0

C.

M ( 4;3;5 )

D.

M ( 1;0;0 )

Câu 32: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,

D. x + 2 y − z + 6 = 0
Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
r
r
r
a ( 5;7; 2 ) , b ( 3;0; 4 ) , c ( −6;1; −1)
ba vectơ
. Tìm tọa
ur
r r r
độ của vectơ m = 3a − 2b + c .
ur
ur
m = ( −3; 22; −3)
m = ( 3; 22; −3 )
A.
B.
ur
ur

m = ( 3; 22;3)
m = ( 3; −22;3)
C.
D.

M ( 3; 2;1)

( P)

Câu 29: Cho điểm
. Mặt phẳng
đi
qua điểm M và cắt trục tọa độ Ox. Oy, Oz tại A, B,
C sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Phương
trình mặt phẳng

( P)

là

x y z
+ + =0
A. 3 2 1

B. x + y + z − 6 = 0

Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

A ( a;0; 0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c )

với a, b, c dương.
Biết A, B, C di động trên các tia Ox, Oy, Oz sao cho
a + b + c = 2 . Biết rằng khi a, b, c thay đổi thì qũy
tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc

( P)

M ( 2016;0;0 )

A. 2017

cố định. Tính khoảng cách từ

tới mặt phẳng
2014
3
B.

( P) .

là mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại ba điểm.

Phương trình của

2016
3
C.

2015
3

D.

 x = 1 + 2t

d :y = t
(t∈¡
 z = −2 − 3t


(α)

là

x y z
+
+ =0
A. 4 −2 6
x y z
+ + =1
B. 2 −1 3

C. 3 x − 6 y + 2 z − 12 = 0
D. 3x − 6 y + 2 z − 1 = 0
Câu 33: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,

( P) : x − y + z + 3 = 0

và ba điểm

A ( 0;1; 2 ) , B ( 1;1;1) , C ( 2; −2;3)

. Tọa độ điểm M
uuur uuur uuuu
r
MA
+
MB
+
MC
( P ) sao cho
thuộc
nhỏ nhất là
A.

( 4; −2; −4 )

B.

( −1; 2;0 )

C.

( 3; −2; −8 )

D.

( 1; 2; −2 )

Câu 34: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
x = 2 + t


d :  y = 1 + mt ( t ∈ ¡
 z = −2t

cho đường thẳng

( S) : x

Câu 31: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,

cho đường thẳng

(α)

cho mặt phẳng

x y z
+ + =1
3
x
+
2
y
+
z
−
14
=
0
C.
D. 3 2 1

mặt phẳng

gọi

2

)
và mặt cầu

+ y + z − 2 x + 6 y − 4 z + 13 = 0
2

2

nhiêu giá trị nguyên của m để d cắt
điểm phân biệt?
A. 5

B. 3

C. 2

.

Có

( S)

bao

tại hai

D. 1

Câu 35: Viết phương trình đường thẳng d qua

M ( 1; −2;3)

)
và mặt

và vuông góc với hai đường thẳng

x = 1− t
x y −1 z +1

d1 : =
=
, d2 :  y = 2 + t ( t ∈ ¡ ) .
1
−1
3
 z = 1 + 3t



Chủ đề 7: Phương pháp tọa độ trong không gian

A.

x = 1+ t

 y = −2 + t ( t ∈ ¡
z = 3


C.

x = 1+ t

 y = 1 − 2t ( t ∈ ¡
 z = 3t


B.

 x = 1 + 3t

 y = −2 + t ( t ∈ ¡
z = 3 + t


D.

x = 1

 y = −2 + t ( t ∈ ¡
z = 3 + t


)

)

)

B. y − 3z + 15 = 0

C. x + 4 y − 7 = 0

D. 3 x + y − z + 2 = 0

)

( 1; 2 )

B.

( 2; 4 )

C.

( −1; −2 )

D.

( −2; −4 )

M ( 3; −1;1)

phẳng đi qua điểm
và vuông góc với
x −1 y + 2 z − 3
∆:
=
=
3
−2
1 ?
đường thăng
A. 3 x − 2 y + z + 12 = 0
B. 3 x + 2 y + z − 8 = 0
C. 3x − 2 y + z − 12 = 0
D. x − 2 y + 3 z + 3 = 0

( P ) : x + y + z + 3 = 0 và
Câu 37: Cho mặt phẳng
x −1 y +1 z
d:
=
=
3
−1
−1 . Phương trình
đường thẳng
( P ) , cắt
đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng
r
u ( 1; 2;3)
đường thẳng d và vuông góc với

là
x +1 y +1 z +1
=
=
−2
1
A. 1

A ( m;0;0 )

Câu 41: Cho ∆ABC có 3 đỉnh

B ( 2;1; 2 ) , C ( 0; 2;1)
A. m = 1

. Để

B. m = 2

S∆ABC =

,

35
2 thì

C. m = 3 `D. m = 4

Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
r

r
r
a = ( 1; m; 2 ) ; b = ( m + 1; 2; 2 ) ; c ( 0; m − 2; 2 )
ba vectơ
.
r r r
Giá trị của m để a, b, c đồng phẳng là
2
A. 5

x +8 y − 2 z −3
=
=
−2
1
B. 1

−

B.

2
5

1
C. 5

D. 1

Câu 43: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho

x y −2 z −3
=
=
−2
1
C. 1

( P ) đi qua điểm M ( 9;1;1) cắt các tia
mặt phẳng
Ox,Oy,Oz tại A,B,C (A,B,C không trùng với gốc tọa
độ). Thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhát là

x +8 y −2 z −3
=
=
2
1
D. 1

Câu 38: Cho mặt phẳng

( P)

( P)

. Mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng
sau:
A. x + y + z + 1 = 0

B. 2 x + 2 y − z − 1 = 0

C. x − 2 y − z − 3 = 0

D. 2 x + 3 y + z − 1 = 0

Câu 39: Cho tam giác ABC có

A ( 1; 2;3)

là

243
B. 2

C. 243

81
D. 2

Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho
ba

mặt

( P) : x + y + 2z + 1 = 0 ,

phẳng

( Q ) : x + y − z + 2 = 0 , ( R ) : x − y + 5 = 0 . Trong các
mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

,

. Trọng tâm của tam giác

( y; z )
ABC thuộc trục Ox khi cặp

81
A. 6

đi qua các điểm

A ( −2;0;0 ) , B ( 0;3;0 ) , C ( 0;0; −3)

B ( −3;0;1) , C ( −1; y; z )

A.

Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
phương trình nào dưới đây là phương trình mặt

( Q ) chứa
Câu 36: Viết phương trình mặt phẳng
x−2 y +3 z −4
d:
=
=

2
3
1 và vuông góc
đường thẳng
với mặt phẳng Oyz.
A. x + y − 2 z + 4 = 0

The best or nothing

A.

( Q) ⊥ ( R)

B.

( P) ⊥ ( Q)

C.

( P ) // ( R )

D.

( P) ⊥ ( R)

Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho
mặt phẳng

( P) ,

cắt trục tọa độ tại

M ( 8;0;0 )

,


Công Phá Toán – Lớp 12

N ( 0; 2;0 ) , P ( 0; 0; 4 )

Ngọc Huyền LB

. Phương trình mặt phẳng

( P)

Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, vị trí
tương đối của hai đường thẳng

là:

 x = 1 + 2t

d1 :  y = −2 − 3t ( t ∈ ¡
 z = 5 + 4t


A. x + 4 y + 2 z − 8 = 0 B. x + 4 y + 2 z + 8 = 0
x y z

+ + =1
C. 4 1 2

x y z
+ + =0
D. 8 2 4

Câu 46: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz cho
mặt phẳng

( P)

với

mặt

hai

( Q ) : 2 x − y + 3z − 1 = 0 ;

( R ) : x + 2 y+ z = 0 . Phương trình mặt phẳng ( P )
A. 7 x + y − 5 z = 0

B. 7 x − y − 5 z = 0

C. 7 x + y + 5 z = 0

D. 7 x − y + 5 z = 0

là

A ( 1;1; 2 ) , B ( 3; −1;1)

B. Cắt nhau

C. Song song

D. Trùng nhau

A ( −2;1;0 ) , B ( −3; 0; 4 ) , C ( 0; 7;3 )
ba điểm
. Khi đó
uuur uuur
cos AB, BC
bằng

(

chứa A,B và

có phương trình là

)

14 118
A. 354

và mặt phẳng

( P ) : x − 2 y + z − 1 = 0 . Mặt phẳng ( Q )

( P)
vuông góc với mặt phẳng

A. Chéo nhau

Câu 51: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
hai điểm

C.

798
57

D. 4 x + 3 y + 2 z − 11 = 0

A. 11

Câu 48: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

biểu thức

A ( 1; −1;1) , B ( 0;1; −2 )

A.
Câu

6

B. 12

49:

C ( 4;0;6 )

Cho

ba

−

798
57

A ( 2;3;1) , B ( 4;1; −2 ) , C ( 6;3;7 )

,

. Độ dài đường cao kẻ từ D của tứ diện

là

điểm

D.

8

A ( 1;6; 2 ) , B ( 5;1;3 )

, khi đó phương trình mặt phẳng

là:
A. 14 x + 13 y + 9 z + 110 = 0
B. 14 x + 13 y − 9 z − 110 = 0
C. 14 x − 13 y + 9 z − 110 = 0
D. 14 x + 13 y + 9 z − 110 = 0

( ABC )

5
C. 5

M ( 1; 2; −1)

4 3
D. 3

. Viết phương trình

( α ) đi qua gốc tọa độ O ( 0; 0;0 ) và
mặt phẳng
cách M một khoảng lớn nhất.

và điểm M thay đổi

C. 14

45

B. 7

Câu 53: Cho điểm

( Oxy ) . Giá trị lớn nhất của

T = MA − MB

7 118
177

là

C. 4 x + 3 y + 2 z + 11 = 0

trên mặt phẳng tọa độ

D.

−

Câu 52: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho tứ

D ( −5; −4;8 )

B. 2 x − 2 y − z + 4 = 0

các điểm

B.

diện ABCD có

A. 4 x + 3 y + 2 z = 0

và

)

là:

đi qua gốc tọa độ O và vuông góc
phẳng

)

 x = 7 + 3m

d 2  y = −2 + 2 m ( m ∈ ¡
 z = 1 − 2m


,

A. x + 2 y − z = 0

x y z
+ +
=1
B. 1 2 −1

C. x − y − z = 0

D. x + y + z − 2 = 0

Câu 54: Tìm điểm M trên đường thẳng
x = 1+ t

d :  y = 1− t ( t ∈ ¡
 z = 2t


)
sao

cho

A ( 0; 2; −2 ) .
A.

M ( 1;1; 0 )

hoặc

M ( 2;1; −1)

B.

M ( 1;1;0 )

hoặc

M ( −1;3; −4 )

AM = 6 ,

với