Bộ 16 đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên môn Toán năm 2017-2018 có đáp án_2

Header Page 1 of 128.

16 Bộ Toán 9 vào 10 Chuyên các Tỉnh Cả Nƣớc
Năm học: 2017 – 2018

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
QUÃNG NGÃI
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
Năm học: 2017 – 2018
Môn: Toán – Chuyên
Thời gian: 150 phút, (không kể thời gian giao đề)

Đề 1
Bài 1
1/ Giải phương trình: (x - 1)(x + 2) + 2 x 2 + x + 1 = 0
2/ Cho x, y là các số thực dương. Chứng minh rằng:
|

x+ y
2

xy | + |

x+ y
+
2

xy |= | x | + | y |

Đẳng thức trên còn đúng hay không, trong trường hợp x, y là các số thực âm? Tại sao?
Bài 2
1/ Giả sử n số nguyên dương thõa mãn điều kiện n2 + n + 3 là số nguyên tố. Chứng minh
rằng n chia 3 dư 1 và 7n2 + 6n + 2017 không phải là số chính phương.
2/ Tìm tất cả các số nguyên x, y thõa mãn phương trình 2x 2 + 4y2 - 4xy + 2x + 1 = 2017 .
Bài 3
1/ Cho đa thức P(x) = x3 – 6x2 + 15x – 11 và các số thực a, b thõa mãn P(a) = 1, P(b) = 5.
Tính giá trị của a + b.
2/ Giả sử x, y là các số thực dương thay đổi và thõa mãn điều kiện x(xy + 1) = 2y2. Tìm
các giá trị nhỏ nhất của biểu thức H =

y4

(

1 + y2 + y 4 x 4 + x 2

)

.

Bài 4
·
·
· . Gọi M,
= yOB
1/ Cho hai điểm A, B phân biệt nằm trong góc nhọn xOy
sao cho xOA
N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên Ox, Oy và P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc
của B lên Ox, Oy. Giả sử M, N, P, Q đôi một phân biệt. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P,

Q cùng nằm trên một đường tròn.
2/ Cho tam giác ABC không cân, có ba góc nhọn. Một đường tròn qua B, C cắt các cạnh
AC, AB lần lượt tại D, E. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD, CE.
·
·
= NAC
a/ Chứng minh rằng các tam giác ABD, ACE đồng dạng với nhau và MAB
.
b/ Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên AB, K là hình chiếu vuông góc N lên AC và
I là trung điểm của MN. Chứng minh tam giác IHK cân.

Bài 5
Cho 9 số nguyên dương đôi một phân biệt, các số đó đều chỉ chứa các ước số nguyên tố
2; 3; 5. Chứng minh rằng trong 9 số đã cho, tồn tại hai số mà tích của chúng một số chính
phương.

Footer Page 1 of 128.


S GIO DC O TO
Header Page 2 ofTHI
128. BèNH

K THI TUYN SINH LP 10 THPT CHUYấN
Nm hc: 2017 2018
Mụn: Toỏn Chung
Thi gian: 120 phỳt, (khụng k thi gian giao )

CHNH THC

2
2
ộ
ự
ờ x+1
ỳ
ổ 1
ử
ữờ
3 x+5
ỳ vi x > 0; x ạ 1.
ữ
Bi 1: Cho A = ỗỗỗ
+
1
ữ
ờ
ỳ
ữ
ỗố x - 1 x x - x - x + 1ứ
ữờ 4 x
ỳ
ờ
ỳ
ở
ỷ

(

)

a/ Rỳt gn A

(

b/ t B = x -

)

x + 1 A. Chng minh rng: B > 1 vi x > 0; x ạ 1.

Bi 2
Trong mt phng ta Oxy, cho Parabol (P) y = x2 v ng thng (d) y = 2x + 2m + 8
(vi m tham s).
a/ Khi m = - 4, tỡm ta giao im ca ng thng (d) v Parabol (P).
b/ Chng minh rng ng thng (d) v Parabol (P) luụn ct nhau ti im phõn bit cú
honh x1; x2. Tỡm m x1 + 2x2 = 2.
ớù xy 2 + y 2 - 2 = x 2 + 3x
ù
Bi 3: Gii h phng trỡnh: ùỡ
ùù x + y - 4 y - 1 = 0
ùợ

Bi 4
Cho quóng ng AB di 300km. Cựng mt lỳc xe ụ tụ th nht xut phỏt t A n B, xe
ụ tụ th hai i t B v A. Sau khi xut phỏt c 3 gi thỡ hai xe gp nhau. Tớnh vn tc ca
mi xe, bit thi gian i c quóng ng AB ca xe th nht nhiu hn xe th hai l 2 gi 30
phỳt.
Bi 5
Cho ng trũn (O; R) cú ng kớnh AB. im C l im bt k trờn (O), C khụng

trựng vi A, B. Tip tuyn ti C ca (O; R) ct tip tuyn ti A, B ca (O; R) ln lt ti P, Q.
Gi M l giao im ca OP vi AC, N l giao im ca OQ vi BC.
a/ Chng minh rng: T giỏc CMON l hỡnh ch nht v AP.BQ = MN2.
b/ Chng minh rng: AB l tip tuyn ca ng trũn ng kớnh PQ.
c/ Chng minh rng: PMNQ l t giỏc ni tip. Xỏc nh v trớ im C ng trũn
ngoi tip t giỏc PMNQ cú bỏn kớnh nh nht.
Bi 6
Cho ba s thc dng x, y, z thừa món
P=

Footer Page 2 of 128.

y 2z2

(

x y 2 + z2

)

+

1
1
1
+ 2 + 2 = 3 . Tỡm giỏ tr nh nht biu thc:
2
x
y
z

z2x 2

(

y z2 + x 2

)

+

x 2y2

(

z x 2 + y2

)


HeaderSỞ
Page
3 of 128.
GIÁO
DỤC – ĐÀO TẠO

HẢI DƢƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

Năm học: 2017 – 2018
Môn: Toán – Chuyên Nguyễn Trãi
Thời gian: 150 phút, (không kể thời gian giao đề)

Đề 3
Bài 1
1/ Cho 3 số x, y, z đôi một khác nhau và thõa mãn điều kiện x + y + z = 0. Tính giá trị
của biểu thức: P =

2018(x - y)(y - z)(z - x)
2xy2 + 2yz 2 + 2zx 2 + 3xyz

2/ Rút gọn biểu thức: Q =

1 + ax 1 - bx
1 2a - b
với x =
và 0 < a < b < 2a.
1 - ax 1 + bx
a
b

Bài 2
1/ Giải phương trình: x 2x + 3 + 3( x + 5 + 1) = 3x + 2x 2 + 13x + 15 + 2x + 3
íï x 2 + 4y - 13 + (x - 3) x 2 + y - 4 = 0
ï
2/ Giải hệ phương trình: ïì
ïï (x + y - 3) y + (y- 1) x + y + 1 = x + 3y - 5
ïî

Bài 3
1/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + 5y2 – 4xy – 4y + 3 = 0
2/ Tìm tất cả các số nguyên dương (x, y) thõa mãn: x2 + 3y và y2 + 3x là số chính
phương.
Bài 4
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B (A, O, B
không thẳng hàng). Trên tia đối của tia AB lấy điểm C, kẻ tiếp tuyến CD, DE với (O), trong đó
D, E là các tiếp điểm và E nằm trong (O’). Đường thẳng AD, AE cắt (O’) lần lượt tại M và N
(M, N khác A). Đường thẳng DE cắt MN tại I, OO’ cắt AB và DI lần lượt tại H và F.
1/ Chứng minh: FE.HD = FD.HE
2/ Chứng minh: MB.EB.DI = IB.AN.BD
3/ Chứng minh: O'I ^ MN
Bài 5
Cho x, y, z là ba số dương thõa mãn:
nhỏ nhất của biểu thức: M =

Footer Page 3 of 128.

x 2 + y2 +

x2
y2
z2
+
+
y+ z z+ x x+ y

y2 + z 2 +

z 2 + x 2 = 6 . Tính giá trị

HeaderS
Page
4 of 128.
GIO
DC O TO

K THI TUYN SINH LP 10 THPT CHUYấN
Nm hc: 2017 2018
Mụn: Toỏn Chuyờn
Thi gian: 150 phỳt, (khụng k thi gian giao )

NAM NH
CHNH THC

4
Bi 1
ổ1
1/ Tỡm tt c cỏc s t nhiờn x thừa món ỗỗ ỗố x

ửổ
ữỗỗ 1 ữ
ữ
x - 1ứốỗ x + 1
2

2/ Vi a, b, c l cỏc s thc thừa món iu kin a + b + c = 3 v
2017

tr ca biu thc: P = (a - 3)

2017

(b - 3)

2017

(c - 3)

ử
ữ 1
1ữ
ữ
ứ
1 1 1
+ + = 3 . Tớnh giỏ
a b c

.

Bi 2
1/ Gii phng trỡnh:

x+ 5-

x+ 1

(

)

x 2 + 6x + 5 + 1 = 4

ớù 2 x + 3y + 2 - 3 y =
2/ Gii h phng trỡnh: ùỡ

x+ 2

ùù x - 3x - 4 y + 10 = 0
ùợ

Bi 3
Cho ng trũn (O), t im A nm ngoi ng trũn (O) k hai tip tuyn AB v AC
vi ng trũn (O) (B, C l cỏc tip im). Gi H l giao im ca AO v BC, I l trung im
ca BH. ng thng qua I vuụng gúc vi OB ct (O) ti hai im D, K (D thuc cung nh
BC). Tia AD ct ng trũn (O) ti im th hai E. DK ct BE ti F.
1/ Chng minh rng: T giỏc ICEF ni tip ng trũn.
ã
ã
= 2DHK
2/ Chng minh rng: DBH
3/ Chng minh rng: DB.CE = BE.CD v BF.CE2 = BE.CD2
Bi 4
1/ Tỡm cỏc s nguyờn x, y thừa món phng trỡnh sau: x3 + 1 = 4y2
2/ Tỡm cỏc s t nhiờn x thừa món biu thc x4 x2 10x 25 l s nguyờn t.
Bi 5
1/ Xột cỏc s thc a, b, c khụng õm, khỏc I v thừa món a + b + c = 1. Tỡm giỏ tr ca
biu thc P =

1
1
+
+ (a + b)(4 + 5c)
a + bc b + ac

2/ Cho t giỏc ABCD ni tip ng trũn (O) bỏn kớnh R = 4cm (O nm trong t giỏc
ABCD). Xột 33 im phõn bit nm trong t giỏc ABCD sao cho khụng cú 3 im no thng
hng. Chng minh rng trong 33 im ú luụn tỡm c 3 im l 3 nh ca mt tam giỏc cú
din tớch nh hn

Footer Page 4 of 128.

3 3
(cm2).
4


SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
Header Page 5 of
128. PHÚC
VĨNH
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
Năm học: 2017 – 2018
Môn: Toán – Chuyên Toán, Tin
Thời gian: 150 phút, (không kể thời gian giao đề)

Đề 5

Bài 1:
Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m2 – 3m + 1 = 0 (m tham số, x ẩn)
a/ Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm.
b/ Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2. Chứng minh: | x 1 + x 2 + x 1x 2 |£

9
.
8

Bài 2:
íï 2x 2 - xy = 1
Cho hệ phương trình: ïì 2
trong đó, m tham số và x, y ẩn số.
ïï 4x + 4xy - y 2 = m
ïî

a/ Giải hệ phương trình khi m = 7.
b/ Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm.
Bài 3
Cho hình thang ABCD với AD, BC là hai cạnh đáy; BC > AD. BC = BD = 1; AB = AC,
·
·
CD < 1, BAC
+ BDC
= 1800 ; E là đểm đối xứng với D qua đường thẳng BC.
·
·
= 2AEC
a/ Chứng minh rằng: 4 điểm A, C, E, B cùng nằm trên một đường tròn và BEC
.

b/ Đường thẳng AB cắt đường thẳng CD tại điểm K, đường thẳng BC cắt đường thẳng
AE tại điểm F. Chưng minh rằng: FA = FD và đường thẳng FD tiếp xúc với đường tròn ngoại
tiếp tam giác ADK.
c/ Tính độ dài CD.

Bài 4
Cho phương trình x2 + y2 + z2 = 3xyz (1). Mỗi bộ số (x, y, z) trong đó x, y, z là các số
nguyên dương thõa mãn (1) được gọi là một nghiệm nguyên dương của phương trình (1).
a/ Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương có dạng (x, y, y) của phương trình (1).
b/ Chứng minh rằng tồn tại nghiệm nguyên dương (a, b, c) của phương trình (1) và thõa
mãn điều kiện min {a, b, c}> 2017 . Trong đó kí hiệu min {a, b, c}là số nhỏ nhất trong ba số a,
b, c.
Bài 5
Cho số tự nhiên n > 1 và n + 2 số nguyên dương a1; a2, … , an+1 thõa mãn điều kiện
1 £ a 1 < a 2 < ... < an- 2 £ 3n . Chứng minh rằng tồn tại hai số a i, a j (1 £ j < i £ n + 2 / i, j Î ¥ )
sao cho n < ai – aj < 2n.

Footer Page 5 of 128.


HeaderS
Page
6 of 128.
GIO
DC O TO

K THI TUYN SINH LP 10 THPT CHUYấN
Nm hc: 2017 2018
Mụn: Toỏn
Thi gian: 150 phỳt, (khụng k thi gian giao )

BC GIANG
CHNH THC

6
Bi 1
ổx x + x - 2
ỗ
1/ Cho biu thc A = ỗỗ
ốỗ

x- 1

ử
ữ
x- 1
ữ
vi x 0; ạ 1
.
ữ
ữ
x + 3 x + 2ữ
ứ 2x + x 0 - 3
x+2

a/ Rỳt gn biu thc A
b/ Tớnh giỏ tr biu thc A khi

x
=

4

1009 + 2017
2

2

1009 -

2017
2

(1)

2/ Cho phng trỡnh x 2x 2m 1 = 0 ( x n, m tham s). Tỡm cỏc giỏ tr ca m
phng trỡnh (1) cú hai nghim phõn bit x1, x2 thừa món:
x12 + (2m + 5)x 2 + 2m
2

+

2
122
=
11
x + (2m + 5)x 1 + 2m
2
2

Bi 2

1/ Gii phng trỡnh: 2x 2 - x + 4 - 3x = 2 x 2 - 2x + 2
ớù x 2 y 2 + 4 = 2y 2
2/ Gii h phng trỡnh: ùỡ
ùù (xy + 2)(y - x ) = x 3y 3
ùợ

Bi 3
1/ Tỡm tt c b s nguyờn dng (x, y, z) thừa món

x + y 2017

l s hu t ng thi

y + z 2017

(y + 2)(4zx + 6y 3) l s chớnh phng.
2/ Trong hỡnh vuụng cnh 1dm t mt s hỡnh vuụng nh cú tng chu vi bng 9dm.
Chng minh rng luụn tn ti mt ng thng ct ớt nht ba hỡnh vuụng nh (khụng k hỡnh
vuụng bao ngoi)
Bi 4
Cho tam giỏc OAI vuụng ti A, B l im i xng vi A qua ng thng OI. Gi H, E
ln lt l trung im ca cnh AB, BI. Trong ú D l giao im ca ng thng AE v
ng trũn(C) tõm O bỏn kớnh OA (D khỏc A).
1/ Chng minh rng: T giỏc BHED ni tip.
2/Gi J l giao im ca ng thng ID v ng trũn (C) (J khỏc D). Chng minh
rng: Tam giỏc BJA cõn ti B.
3/ Gi K l giao im ca ng thng ID v ng trũn (C) (K khỏc D). Chng minh
rng: IH2 = ID.IK DH.HK
Bi 5
Cho hai s thc dng x, y thừa món 2 xy +

P=

y 4x
+
+ 15xy.
x 3y

Footer Page 6 of 128.

x
= 1 . Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
3


Header Page 7 of 128.

S GIO DC O TO
H TNH

K THI TUYN SINH LP 10 THPT CHUYấN
Nm hc: 2017 2018
Mụn: Toỏn - Chuyờn
Thi gian: 150 phỳt, (khụng k thi gian giao )

CHNH THC

7
Bi 1:
2

ổ1 1 1 ử
1
1
1
ữ
Cho a, b, c l cỏc s thc khỏc 0, thừa món ỗỗ + + ữ
= 2 + 2 + 2 . Chng minh
ữ
ữ
ỗốa b c ứ
a
b
c

rng: a3 + b3 + c3 = 3abc.
Bi 2

(

2

)

a/ Gii phng trỡnh: 4x 2 = (3x - 2) 2x + 1 - 1

ớù x 2 - 2y 2 = xy + x + y
ù
b/ Gii h phng trỡnh: ùỡ
ùù x 2y - y x - 1 = 4x - 4y
ùợ

Bi 3
2

ộ
ởờ

ự
ỳ
ỷ

2

a/ Cho phng trỡnh: (x - a ) ờa (x - a ) - a - 1ỳ+ 1 = 0 . Tỡm tt c cỏc giỏ tr tham s a
phng trỡnh cú s nghim dng nhiu hn s nghim õm.
b/ Cho a, b, c l cỏc s dng thừa món

1
2017
2018
+
+
Ê 1.
1 + a 2017 + b 2018 + c

Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = abc.
Bi 4:
Cho hỡnh vuụng ABCD cú cnh bng a, M l mt im bt k trờn cnh AB (M khỏc A
v B). Gi E l giao im ca tia CM v tia DA. Trờn tia i ca tia BA ly im F sao cho
BF = DE. Gi N l trung im ca on EF.

a/ Chng minh hai tam giỏc EAC v NBC ng dng.
b/ Xỏc nh v trớ im M trờn cnh AB sao cho din tớch t giỏc ACFE gp 6 ln din
tớch hỡnh vuụng ABCD.
Bi 5
Trờn mt ng trũn cho 16 im phõn bit, dựng 3 mu xanh, , vng tụ cỏc im
y (mi im ch tụ mt mu). Mi on thng ni bt k trong 16 im trờn c tụ mu nõu
hoc mu tớm. Chng minh rng: Vi mi cỏch tụ mu luụn tn ti ớt nht mt tam giỏc cú cỏc
nh cựng mu v cỏc cnh cng cựng mu.

Footer Page 7 of 128.


HeaderSỞ
Page
8 of 128.
GIÁO
DỤC – ĐÀO TẠO

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
Năm học: 2017 – 2018
Môn: Toán – Chuyên Toán (Lê Quý Đôn)
Thời gian: 150 phút, (không kể thời gian giao đề)

BÌNH ĐỊNH
ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề 8
Bài 1
æ x- 2
ç

Cho biểu thức A = çç
çè x - 1

ö
÷
x 2 - 2x + 1
÷
÷
÷
2
÷
x + 2 x + 1ø
x+2

a/ Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa. Rút gọn A.
b/ Tìm x để A ³ 0
c/ Tìm giá trị lớn nhất của A.
Bài 2
1/ Giải phương trình sau: 4x4 + 4x3 – 20x2 + 2x + 1 = 0.
2/ Chứng minh rằng nếu số tự nhiên abc là số nguyên tố thì b2 – 4ac không là số chính
phương.
Bài 3
Cho đa thức f(x) = x2 – 2(m + 2)x + 6m + 1 (m tham số). Bằng cách đặt x = t + 2. Tính
t(x) theo t và tìm điều kiện của m để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2.
Bài 4
1/ Cho đường tròn (T) tâm O bán kính AB, trên tiếp tuyến tại A lấy một điểm P khác A,
điểm K thuộc đoạn OB (K khác O và B). Đường thẳng PK cắt đường tròn (T) tại C và D (C
nằm giữa P và D). H trung điểm của CD.
a/ Chứng minh tứ giác AOHP nội tiếp đường tròn.
· = BAH

·
b/ Kẻ DI // PO, điểm I thuộc AB, chứng minh: PDI
2
c/ Chứng minh đẳng thức PA = PC.PD
d/ BC cắt OP tại J, chứng minh Ạ // DB.
2/ Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ điểm I thuộc miền trong tam giác, kẻ IM ^ BC ,
kẻ IN ^ AC,IK ^ AB . Tìm vị trí của I sao cho tổng IM2 + IN2 + IK2 nhỏ nhất.
Bài 5
Cho các số thực dương x, y, z thõa mãn xyz £ 1. Chứng minh rằng:
x (1 - y3 )
y3

Footer Page 8 of 128.

+

y (1 - z3 )
z3

+

z (1 - x 3 )
x3

³ 0


Header Page 9 of 128.

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO

NGHỆ AN
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
Năm học: 2017 – 2018
Môn: Toán – Chuyên Phan Bội Châu.
Thời gian: 150 phút, (không kể thời gian giao đề)

Đề 9
Bài 1
a/ Giải phương trình: 3x + 7 x - 4 = 14 x + 4 - 20
íï 6x + 4y + 2 = (x + 1)2
ï
b/ Giải hệ phương trình: ïì
ïï 6y + 4x - 2 = (y - 1)2
ïî

Bài 2
Tìm số tự nhiên n thõa mãn S(n) = n2 – 2017n + 10 với S(n) là tổng các chữ số của n.
Bài 3
Cho các số thực dương a, b, c thõa mãn c ³ a . Chứng minh rằng:
æ a
çç
çèa +

2

ö
æ b
÷

ç
+
÷
÷ èçç b +
bø

2

2

ö
æ c ö
3
÷
÷
çç
+
³
4
÷
÷
÷
÷
ç
èc + a ø 2
cø

Bài 4
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M
khác A. Qua M kẻ các tiếp tuyến MC, MD với (O’) (C, D là các tiếp điểm và D nằm trong

(O)).
a/ Chứng minh rằng: AD.BC = AC.DB
b/ Các đường thẳng AC, AD cắt (O) lần lượt tại E, F (E, F khác A). Chứng minh đường
thẳng CD đi qua trung điểm của È.
c/ Chứng minh đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi.
Bài 5
Trong đường tròn (O) có bán kính bằng 21 đơn vị, cho 399 điểm bắt kỳ A1; A2; .....;
A99. Chứng minh rằng tồn tại vô số đường tròn có bán kính bằng 1 đơn vị nằm trong đường
tròn (O) và không chứa điểm nào trong 399 điểm A1; A2; ....; A399.

Footer Page 9 of 128.


Header Page 10 of 128.

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
NINH BÌNH

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
Năm học: 2017 – 2018
Môn: Toán – Chuyên Toán
Thời gian: 150 phút, (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề 10
Bài 1
3 a
+
a+ 2

Cho P =

a+1 5 a+ 2
+
với a ³ 0;a ¹ 4
4- a
a- 2

a/ Rút gọn biểu thức P
b/ Tính giá trị biểu thức P khi a = 3 1 +

84 3
+ 19

84
9

Bài 2
a/ Giải phương trình:

(

x+ 4-

)(

x- 1

)

x 2 + 3x - 4 + 1 = 5

íï x 3 - 3x = y3 + y
b/ Giải hệ phương trình: ïì 2
ïï x = y 2 + 3
î

Bài 3
a/ Cho các số hữu tỉ a,b,c thõa mãn ab + bc + ca = 2017.
Chứng minh răng:

(a 2 + 2017)(b2 + 2017)(c2 + 2017) là một số hữu tỉ.

b/ Tìm x, y nguyên dương thõa mãn phương trình: 7x2 + 3y2 = 714
Bài 4
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B (O và O’ thuộc hai nửa mặt phẳng
bờ AB). Tiếp tuyến chung gần B của hai đường tròn lần lượt tiếp xúc với (O) và (O’) tại C, D.
Qua A kẻ đường thẳng song song với CD lần lượt cắt (O) và (O’) tại M, N (M, N khác A). Các
đường thẳng CM và DN cắt nhau tại E. Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng MN
với đường thẳng BC và đường thẳng BD.
Chứng minh rằng:
a/ Đường thẳng AE ^ CD
b/ Tứ giác BCED nội tiếp.
c/ Tam giác EPQ cân.
Bài 5
Cho các số thực a, b, c thõa mãn điều kiện a + b + c = 2018. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức: P =

a+

a
+
2018a + bc b +

Footer Page 10 of 128.

b
+
2018b + ca c +

c
.
2018c + ab


HeaderSỞ
Page
11 of 128.
GIÁO
DỤC – ĐÀO TẠO

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
Năm học: 2017 – 2018
Môn: Toán – Chuyên Lê Quý Đôn
Thời gian: 150 phút, (không kể thời gian giao đề)

TP. ĐÀ NẴNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề 11
Bài 1
æx+ 1
1
+
èç x + 1 x + x

a/ Giải bất phương trình: çç

ö
1 ÷
x
³ 2017 +
:
÷
÷
xø x+ 2 x + 1
3

b/ Cho các số dương x,y thõa mãn x = 4y + 2xy . Tính P =

(

2017

xy 3 3 x - 2 3 y

)

2xy

Bài 2
a/ Cho phương trình x2 + 2(2m – 1)x – 3m = 0 với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị
nguyên của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 sao cho biểu thức
Q=

2(x12 + x 22 )
x1 + x 2

đạt giá trị nguyên.

b/ Cho phương trình trình ax2 + bx + c = 0 với a, b, c là các số thực a ¹ 0 và 2a + b + c =
0. Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Tìm các nghiệm
2

đó khi biểu thức T = (x1 - x 2 ) + 2 (x1 + x 2 ) đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 3
3

a/ Giải phương trình: (x + 1) = (x 4 + 3x 3 ) x + 3
íï x 2 + y 2 + xy = 1
ï
b/ Giải hệ phương trình: ì 6
ïï 2x - 1 = xy 2x 2 y 2 - 3
ïî

(

)

Bài 4
Các điểm A1; A2; ….; A2n (n ³ 2) được sắp xếp theo thứ tự đó trên đường tròn (O) và
chia đường tròn thành 2n cung tròn bằng nhau. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương k
thõa điều kiện 2 < k £ 2n + 1 ta đều có hai dây cung A1Ak và A2Ak+n-1 vuông góc với nhau.
Bài 5
a/ Cho tam giác nhọn ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn tâm O đường đường kính AD.
Hai đoạn thẳng BC và AD cắt nhau tại I. Gọi M là điểm nằm trên đoạn thẳng CI (M khác C và
I). Đường thẳng qua M song song với BD cắt CD tại K; đường thẳng qua M song song với CD
cắt BD tại Q. Chứng minh rằng: AM vuông góc với QK.
Bài 6
Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thõa mãn điều kiện 5x.3y + 1 = (3z + 2)

Footer Page 11 of 128.


HeaderSỞ
Page
12 of 128.
GIÁO
DỤC – ĐÀO TẠO

PHÚ THỌ
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
Năm học: 2017 – 2018
Môn: Toán – Chuyên Hùng Vƣơng
Thời gian: 150 phút, (không kể thời gian giao đề)

Đề 12

Bài 1
a/ Cho 3 số a, b, c đôi một khác nhau thõa mãn a2 + b = b2 + c = c2 + a. Tính giá trị của
biểu thức: T = (a + b – 1)(b + c – 1)(c + a -1 )
b/ Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt.
x4 + x3
x + 3mx + 2m =
2
2

2

Bài 2
a/ Tìm các số nguyên m sao cho m2 + 12 là số chính phương.
b/ Chứng minh rằng trong 11 số nguyên tố phân biệt, lớn hơn 2 bất kỳ luôn chọn được
hai số gọi là a, b sao cho a2 – b2 chia hết cho 60.
Bài 3
a/ Giải phương trình: 4x 2 + 5 + 3x + 1 = 13x
í
ïïï 2x + 2y = 6
b/ Giải hệ phương trình : ì
ïï 2x + 5 + 2y + 9 = 8
ïî

Bài 4
·
= 1200 , nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là giao điểm của
Cho tam giác ABC cân với BAC
đường thẳng AC với tiếp tuyến của (O) tại B; E là giao điểm của đường thẳng BO với đường
tròn (O) (E ¹ B); F, I lần lượt là giao điểm của DO với AB, BC; M, N lần lượt là trung điểm
của AB, BC.

a/ CMR: Tứ giác ADBN nội tiếp.
b/ CMR: Ba điểm F, N, E thẳng hàng.
c/ CMR: Các đường thẳng MI, BO, FN đồng quy.

Bài 5
Cho các số không âm x, y, z thõa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức: P = x 2 + y 2 + z2 +

Footer Page 12 of 128.

9
xyz
2


HeaderSỞ
Page
13 of 128.
GIÁO
DỤC – ĐÀO TẠO

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
Năm học: 2017 – 2018
Môn: Toán – Chuyên Hạ Long
Thời gian: 150 phút, (không kể thời gian giao đề)

QUẢNG NINH
ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề 13

Bài 1
æ

ç
Cho biểu thức: A = çç

3

2
èç x + x 3 + 3

+

3
x3 -

öæ
ö
÷
÷
3
çç x
÷
÷
(với x ¹ 0; x ¹
+
+
1
÷
÷

çç
÷
÷
x
÷ 3
÷
27 øè
ø

3)

1/ Rút gọn biểu thức A
2/ Tính giá trị của biểu thức A khi x =

3+

5-

3-

29 - 12 5

Bài 2
1/ Giải phương trình: x 3 - x 2 - x x - 1 - 2 = 0
íï x 2 + xy - 2y 2 = 0
2/ Giải hệ phương trình: ïì
ïï xy + 3y 2 + x = 3
ïî

Bài 3

Tìm các số tự nhiên n để A = n2018 + n2018 + 1 là số nguyên tố.
Bài 4
Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, M là một điểm tùy ý thuộc đường tròn (M khác
A và B). Qua A và B lần lượt kẻ các đường thẳng d và d’ tiếp tuyến với đường tròn. Tiếp tuyến
tại M của đường tròn cắt d và d’ lần lượt tại C và D. Đường thẳng BM cắt d tại E.
1/ Chứng minh rằng: CM = CA = CE
2/ Chứng minh rằng: AD ^ OE
3/ Tính độ dài đoạn thẳng AM theo R, nếu AE = BD.
Bài 5
Cho a, b thõa mãn | a |³ 2;| b |³ 2 . Chứng minh rằng:

(a

Footer Page 13 of 128.

2

)(

) (a + b)(ab + 1) + 5

+ 1 b2 + 1 ³


Header Page 14 of 128.

S GIO DC O TO
BèNH THUN
CHNH THC

K THI TUYN SINH LP 10 THPT CHUYấN
Nm hc: 2017 2018
Mụn: Toỏn Chuyờn Trn Hng o
Thi gian: 150 phỳt, (khụng k thi gian giao )

14
Bi 1
ớù y 2 + 1 = xy
Gii h phng trỡnh: ùỡ 2
ùù x + y 2 + 1 + 2 (x + y ) = 0
ùợ

Bi 2
Cho n s nguyờn a1; a2; .; an thừa món S = a1 + a2 + a3 + + an chia ht cho 6. Chng
minh rng: P = a 13 + a 23 + a 33 + ... + a 3n cng chia ht cho 6.
Bi 3
Cho x, y, z l cỏc s thc dng thừa: x + y + z = 4. Chng minh rng:
ổ
ửổ
ửổ
ử
ỗỗ1 + xy + y ữ
ỗỗ1 + yz + z ữ
ỗỗ1 + zx + x ữ
ữ
ữ
ữ
27
ữ
ữ

ữ
ữỗ
ữỗ
ữ
ỗố
z ứố
x ứố
yứ

Du = xy ra khi no?
Bi 4
Cho tam giỏc ABC nhn (AB < AC) cú AD l ng cao. H l trc tõm ca tam giỏc
ABC. Tia BH ct ng trũn ng kớnh AC ti E, F sao cho BE < BF, tia CH ct ng trũn
ng kớnh AB ti G, K sao cho CG < CK, ng trũn ngoi tip tam giỏc EDG ct BC ti
im th hai P.
a/ Chng minh rng: A l tõm ng trũn ngoi tip t giỏc KEGF.
b/ Chng minh rng: Ba im B, E, K thng hng.
c/ Chng minh rng: Bn im K, D, P, F cựng thuc mt ng trũn.
Bi 5
Trong ngy quc t thiu nhi 1/6 va qua, cú 97 em nh n t 3 trng ca mt huyn
min nỳi c nhn mi em mt mún qu. Bit rng ch cú 4 loi qu c phỏt ra trong 5 em
nh bt k n t cựng mt trng, nhn cựng mt loi qu thỡ cú 2 em cựng tui. Chng
minh rng luụn cú 3 em nh n t cựng mt trng, cựng tui v nhn cựng mt loi qu.

Footer Page 14 of 128.


Header Page 15 of 128.

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO

HÒA BÌNH
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
Năm học: 2017 – 2018
Môn: Toán (Chung) - Hoàng Văn Thụ
Thời gian: 150 phút, (không kể thời gian giao đề)

Đề 15
Bài 1
1/ Rút gọn các biểu thức sau:
a/ A=

5-

125 + 3 45 b / B =

9+ 4 5 -

9- 4 5

2/ Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức sau: C = (x - 1)

2x
x - 2x + 1
2

Bài 2
1/ Trong hệ trục tọa độ Oxy, hãy vẽ đồ thị hàm số y = 2x – 2
2/ Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BC = 5cm, AH =

12
cm . Tính độ
5

dài cạnh AB và AC.
íï x + y - 5 = 20 - y 2
ï
3/ Giải hệ phương trình: ïì
2
ïï xy = x + 5
ïî

Bài 3
Hai vật chuyển động với vận tốc không đổi trên một đường tròn có bán kính 20m, xuất
phát cùng một lúc từ cùng một điểm. Nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ sau 20 giây lại
gặp nhau, nếu chúng chuyển động ngược chiều thì cứ sau 4 giây lại gặp nhau. Hãy tính vận tốc
của mỗi vật.
Bài 4
Cho đường tròn tâm O đường kính MN và dây cung PQ với góc với MN tại I (I khác M
và N). Trên cung nhỏ NP lấy điểm J (J khác N và P), nối M với J cắt PQ tại H. Gọi giao điểm
của PN với MJ là G, giao điểm của JQ với MN là K. Chứng minh rằng:
1/ Tứ giác GKNJ nội tiếp.
2/ KG /// PQ
3/ Điểm G là tâm đường tròn nội tiếp tam giác PKJ.
Bài 5
Cho x, y, z các số tự nhiên thõa mãn: x + y + z = 2017. Tìm giá trị lớn nhất của P = xyz.

Footer Page 15 of 128.

HeaderSỞ
Page
16 of 128.
GIÁO
DỤC – ĐÀO TẠO

QUẢNG TRỊ
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
Năm học: 2017 – 2018
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút, (không kể thời gian giao đề)

Đề 16

Bài 1: Rút gọn biểu thức: A =

3+

5-

13 +

6+

48

2

Bài 2:
Cho biểu thức P =

x 2 y2
1
+
+
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P trong các
y
x
x+ y

trường hợp sau:
a/ x, y các số thực dương.
b/ x, y các số nguyên dương.
Bài 3
a/ Giải phương trình: 2 3 - x + 2 + x = 5
íï x 3 + y 3 + 1 = 3xy
b/ Giải hệ phương trình: ïì 2
ïï x + 2xy + 2y 2 = 5
ïî

Bài 4
4

a/ Tìm chữ số tận cùng của a = 20176
b/ Tìm tất cả các nghiệm nguyên (x,y) của phương trình:
7(x + y) = 3(x2 + xy + y2)
Bài 5

Cho đường tròn tâm O, đường kính BC. A là một điểm tuộc đường tròn (A khác B, C). H
là hình chiếu của điểm A trên BC. Vẽ đường tròn tâm (I) có đường kính AH cắt AB và AC lần
lượt tại M và N.
a/ CMR: Tứ giác BMNC nội tiếp.
b/ Vẽ đường kính AK của đường tròn (O). Gọi E là trung điểm của HK.
Chứng minh rằng: EM = EB
Bài 6
Cho tam giác ABC nhọn. Gọi M là trung điểm của BC. Kẻ BH ^ AC(H Î AC) . Đường
thẳng vuông góc với AM tại A cắt BH tại E. Gọi F là điểm đối xứng với E qua A, K là giao
điểm của CF và AB. Chứng minh rằng M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CHK.

Footer Page 16 of 128.


Header Page 17 of 128.

ĐÁP ÁN - 16 BỘ TOÁN 9 VÀO 10 CHUYÊN CẢ NƯỚC
Năm học: 2017 – 2018
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
Năm học: 2017 – 2018
Môn: Toán – Chuyên
Thời gian: 150 phút, (không kể thời gian giao đề)

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
QUÃNG NGÃI
ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề 1

ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN

Bài 1
1/ Giải phương trình: (x - 1)(x + 2) + 2 x 2 + x + 1 = 0
2/ Cho x, y là các số thực dương. Chứng minh rằng:
|

x + y
2

x + y
+
2

xy | + |

x y |= | x | + | y |

Đẳng thức trên còn đúng hay không, trong trường hợp x, y là các số thực âm? Tại sao?
Giải
1/ Giải phương trình:
* Cách 1: Ta có: (x - 1)(x + 2) + 2 x 2 + x + 1 = 0 Û x 2 + x + 1 + 2 x 2 + x + 1 - 3 = 0
Đặt: t =

ét = 1
x 2 + x + 1 > 0 Þ t 2 + 2t - 3 = 0 Û êê 1
êët 2 = - 3(loai)

Thay t = 1 t = 1 Þ

ét = 0
x 2 + x + 1 = 1 Û x (x + 1) = 0 Û êê 1

êët 2 = - 1

Vậy nghiệm của phương trình là S = {- 1; 0}
* Cách 2: Ta có: (x - 1)(x + 2) + 2 x 2 + x + 1 = 0 Û (x - 1)(x + 2) = - 2 x 2 + x + 1
ĐK: (- 2 £ x £ 1)
2

(

(x - 1)(x + 2) =

)

(

)

- 2 x 2 + x + 1 Û x2 + x - 2 = 4 x 2 + x + 1
éx = 0
ê1
êx = - 1
ê2
ê
2
Û x (x + 1) x + x - 8 = 0 Þ êx = - 1 + 33 (loai)
ê3
2
ê
ê
êx = - 1 - 33 (loai)

4
2
ëê

Þ

(

)

Vậy nghiệm của phương trình là S = {- 1; 0}
2/ Chứng minh rằng:
Ta có:
Footer Page 17 of 128.

|

x + y
2

xy | + |

x + y
+
2

x y |= | x | + | y |


x+ y

x+ y
Header Page
| 18 of -128.xy | + |
+ xy |= | x | + | y |
2
2
( x - y)2
( x + y)2
( x - y)2 ( x + y)2
Û|
+
= x + y =| x | + | y |
|+ |
|=
2
2
2
2

(Vì x, y là các số thực dương)
- Xét x, y là số thực âm, đặt: x = - a; y = - b ta có:
x+ y
x+ y
- a- b
- xy | + |
+ xy |= |
- ab | + |
2
2
2

( a + b )2 ( a
- ( a + b )2
- ( a - b )2
|+ |
|=
=|
+
2
2
2

|

a- b
+ ab |=
2
- b)2
= a + b =| a | + | b | .
2

Vì a, b > 0.
Vậy đẳng thức trên vẫn đúng với x, y là các số tực âm.
Bài 2
1/ Giả sử n số nguyên dương thõa mãn điều kiện n2 + n + 3 là số nguyên tố. Chứng minh
rằng n chia 3 dư 1 và 7n2 + 6n + 2017 không phải là số chính phương.
2/ Tìm tất cả các số nguyên x, y thõa mãn phương trình 2x 2 + 4y 2 - 4xy + 2x + 1 = 2017 .
Giải
1/ Chứng minh n chia 3 dư 1 và 7n2 + 6n + 2017 không phải số chính phương.
Vì n số nguyên dương nên n2 + n + 3 > 3. Gọi r là dư khi chia n cho 3 nên r Î {0;1;2}
+ Nếu r = 0 hoặc r = 2 thì n 2 + n + 3 M3 mâu thuận với giả thiết n2 + n + 3 là số nguyên tố.

+ Do đó r = 1 hay n chia dư 1, khi đó 7n2 + 6n + 2017 chia 3 dư 2.
+ Một số chính phương khi chia cho 3 có dư là 0 hoặc 1.
Vậy 7n2 + 6n + 2017 không phải là số chính phương.
2/ Tìm tất cả các số nguyên x, y thõa mãn pt: 2x 2 + 4y 2 - 4xy + 2x + 1 = 2017
2

2

Ta có: 2x 2 + 4y 2 - 4xy + 2x + 1 = 2017 Û (x - 2y ) + (x + 1) = 92 + 442 = 2017

éx = 8
1
* Xét T/hợp1: (x + 1) = 9 Û (x - 8)(x + 10) = 0 Þ êê
êëx 2 = - 10
é8 - 2y = 44
éy = - 18
2
2
Û êê 1
+ Với x = 8 Þ (8 - 2y) + 92 = 92 + 442 Û (8 - 2y ) = 442 Þ êê
êë8 - 2y = - 44
êëy 2 = 26
éy = 17
2
2
2
1
+ Với x = - 10 Þ (- 10 - 2y ) + (- 10 + 1) = 92 + 442 Û (10 + 2y) = 442 Û êê
êëy 2 = - 27
é(x + 1) = 44

éx = 43
2
2
ê
Þ êê 1
* Xét T/hợp 2: (x + 1) = 44 Û ê
x + 1) = - 44
êëx 2 = - 45
ëê(
éy = 17
2
2
2
+ Với x = 43 Þ (43 - 2y ) + (43 + 1) = 92 + 442 Û (43 - 2y ) = 92 Þ êê 1
êëy 2 = 26
éy = - 18
2
2
2
+ Với x = - 45 Þ (- 45 - 2y ) + (- 45 + 1) = 92 + 442 Û (45 + 2y) = 92 Þ êê 1
êëy 2 = - 27
2

2

Vậy phương trình có các nghiệm nguyên là: (8;-18); (8;26); (-10;17); (-10;-27); (43;17);
(43;26); (- 45;-18); (- 45;-27).

Footer Page 18 of 128.

BàiPage
3 19 of 128.
Header
1/ Cho đa thức P(x) = x3 – 6x2 + 15x – 11 và các số thực a, b thõa mãn P(a) = 1, P(b) = 5.
Tính giá trị của a + b.
2/ Giả sử x, y là các số thực dương thay đổi và thõa mãn điều kiện x(xy + 1) = 2y2. Tìm
y4

các giá trị nhỏ nhất của biểu thức H =

(

1 + y2 + y 4 x 4 + x 2

)

.

Giải
1/ Tính giá trị của a + b
* Cách 1: Thay P(a) = 1, P(b) = 5 ta có hệ phương trình sau:
ìï P = a 3 - 6a 2 + 15a - 11 = 1
2
2
2
é
Þ ïí (a )
Û (a + b - 4)ê(a - b ) + (a - 2) + (b - 2) +
3

2
ïï P(b) = b - 6b + 15b - 11 = 5
ëê
ïî
Þ a + b- 4= 0 Û a + b = 4

ù
6 ú= 0
ûú

Vậy a + b = 4
* Cách 2:
ìï (a 3 - 6a 2 + 12a - 8) + (3a- 3) = 1 ïìï (a ïí
Û ïí
ïï (b3 - 6b 2 + 12b - 8) + (3b - 3) = 5 ïï (b î
ïî
3
3
3
é(a - 2) + 3(a - 1)- 1ù+ é(b - 2) + 3(b - 1)- 5ù= 0 Û é(a - 2) + (b - 2)3 ù+
êë
úû êë
úû
êë
úû
é a - 2)2 - (a - 2)(b - 2)+ (b - 2)2 ù+ 3(a + b - 4)= 0
(a + b - 4)(
êë
úû
é a - 2)2 - (a - 2)(b - 2)+ (b - 2)2 + 3ù= 0

(a + b - 4)(
êë
úû
a + b- 4= 0 Û a + b = 4

3

ìï P(a ) = a 3 - 6a 2 + 15a - 11 = 1
Þ ïí
Û
ïï P(b) = b3 - 6b 2 + 15b - 11 = 5
ïî

2) + 3(a - 1)- 1 = 0

Û

é3(a - 1)+ 3(b - 1)ù- 6 = 0
ë
û

Û
Û
Þ

2/ Tìm các giá trị nhỏ nhất của biểu thức H =
y4

H=

2

4

(

4

1+ y + y x + x

Vì x (xy + 1) = 2y 2 Þ

2

)

2

4

(

4

1
1
+ 2 + x4 + x2
4
y
y

(

1 + y2 + y 4 x 4 + x 2
1

=
(

1
1
+ x 4) + ( 4 + x2)
2
y
y

£

)

.
1
2

2x
2x
+ 2
y
y

2x 2 2x
+ 2 = 4
y
y

y4

H=

1

=

y4

3

2) + 3(b - 1)- 5 = 0

1+ y + y x + x

2

)

1

=
(

1
1
+ x 4) + ( 4 + x2)
2
y
y

Vậy giá trị lớn nhất của H =

£

1
2

2x
2x
+ 2
y
y

=

1
4

1
khi x = y = 1.
4

Bài 4

·
·
· . Gọi M,
= yOB
1/ Cho hai điểm A, B phân biệt nằm trong góc nhọn xOy
sao cho xOA
N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên Ox, Oy và P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc
của B lên Ox, Oy. Giả sử M, N, P, Q đôi một phân biệt. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P,
Q cùng nằm trên một đường tròn.

Footer Page 19 of 128.


2/ Cho
Header Page
20 oftam
128.giỏc ABC khụng cõn, cú ba gúc nhn. Mt ng trũn qua B, C ct cỏc cnh
AC, AB ln lt ti D, E. Gi M, N ln lt l trung im ca BD, CE.

ã
ã
a/ Chng minh rng cỏc tam giỏc ABD, ACE ng dng vi nhau v MAB
= NAC .
b/ Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca M lờn AB, K l hỡnh chiu vuụng gúc N lờn AC v
I l trung im ca MN. Chng minh tam giỏc IHK cõn.

Gii
1/ Chng minh bn im M, N, P, Q thuc mt ng trũn
- Xột D AMO v D BQO ta cú:
ỹù

à= Q
à= 900
M
ùù
ý ị D AMO : D BQO(gn - t gv)
ã
ã
AOM = BOQ(gt)ùù
ùỵ
(1)
OM OA
ị
=
OQ
OB

y
Q
B

N

A

- Xột D ANO v D BPO ta cú:
ỹù
à= Pà= 900
N
ùù
ý ị D ANO : D BP O(gn - t gv)

ã
ã
AON
= BOP(gt)ùù
ùỵ
(2)
ON
OA
ị
=
OP
OB

O

M

P

x

- T (1) v (2) Suy ra:
OM
ON
=
ị OM.OP = ON.OQ
OQ
OP

Vy 4 im M, N, P, Q cựng nm trờn mt ng trũn.

2 a/ Chng minh D ABD : D ACE v
ã
ã
MAB = NAC

A

- Xột D ABD v D ACE ta cú:

D
E

ỹù
à- Chung
A
ùù
:
ã
ã
ằ ýù ị D ABD D ACE(gg)
ABD
= ACE(Chan
ED)
ùù
ỵ

AB
BD
BM
ị

=
(=
)
AC
CE
CN
- Xột D ABM v D ACN ta cú:
ỹ
ù
AB
BM
=
(cmt )ùùù
AC
CN
ý ị D ABM : D ACN(cgc)
ù
ã
ã
ABM = ACN ùù
ỵù
ã
ã
ị BAM = CAN (pcm)

H

B

K

ã
M

ã

I

N

ã

C

Bi 5
Cho 9 s nguyờn dng ụi mt phõn bit, cỏc s ú u ch cha cỏc c s nguyờn t
2; 3; 5. Chng minh rng trong 9 s ó cho, tn ti hai s m tớch ca chỳng mt s chớnh
phng.
Footer Page 20 of 128.


Gii
Theo bi, tt c 9 s nguyờn dng ụi mt phõn bit, cỏc s u cha cỏc c s
nguyờn t 2; 3; 5 cú dng 2x.3y. 5z (vi x, y, z ẻ N). Xột tớnh chn l ca cỏc b s (x, y, z) cú
tt c 8 trng hp xy ra. Do ú, tớch ca 2 s cú dng 22x.33y. 55z (vi a, b, c ẻ N).
Vy tớch ca hai s ny l s chớnh phng.

Header Page 21 of 128.

S GIO DC O TO

THI BèNH

K THI TUYN SINH LP 10 THPT CHUYấN
Nm hc: 2017 2018
Mụn: Toỏn Chung
Thi gian: 120 phỳt, (khụng k thi gian giao )

CHNH THC

2

P N HNG DN
ổ
3 x+5
ỗ 1
+
Bi 1: Cho A = ỗỗ
ỗố x - 1 x x - x - x +

2
ộ
ự
ờ x+1
ỳ
ử
ữ
ờ
ữ
- 1ỳỳ vi x > 0; x ạ 1.
ữ

ờ
ữ
ỳ
1ữ
ứờ 4 x
ờ
ỳ
ở
ỷ

(

)

a/ Rỳt gn A

(

)

b/ t B = x -

x + 1 A. Chng minh rng: B > 1 vi x > 0; x ạ 1.

Gii
a/ Rỳt gn biu thc A
- K: x > 0; x ạ 1 ta cú:
ổ 1
3 x+5
ỗ

+
A = ỗỗ
ỗỗố x - 1 x x - x - x +
ộ
ự
ờ x - 1 + 3 x + 5ỳ
ỳ.
A = ờờ
ỳ
ờ (x - 1) x - 1 ỳ
ở
ỷ
1
ị A=
x

(

(

)

2
ộ
ự
ờ x+1
ỳ
ử
ữ
ờ

ỳ
ữ
- 1ỳ=
ữờ
ữ
ỳ
1ữ
ứờ 4 x
ờ
ỳ
ở
ỷ

(

2

)=

x- 1
4 x

(

b/ Chng minh: B = x -

)

ổ
ỗỗ 1

+
ỗỗỗ
ỗỗ x - 1
ố

ử
ữ
ữ
3 x+5
ữ
ữ
ữ
ữ
x - 1 (x - 1)ữ
ữ
ứ

(

(

)

2

( x + 1) . ( x - 1) =
( x + 1)( x - 1) 4 x
4

2

1
x

)

x+1 A> 1

Vi x > 0; x ạ 1 ta cú:

(

B = x-

)

(

x + 1 .A = x -

Theo BT Cụ Si thỡ

x+

)

x+1.

1
x

Vy B > 1

Footer Page 21 of 128.

1

=

x - 1+

x

> 2 vỡ x > 0; x ạ 1.

ổ
ử
1 ữ
ữ
= ỗỗỗ x +
ữ- 1 > 1
ỗố
ứ
x
xữ

1

2

)

x- 1
4 x


BiPage
2 22 of 128.
Header
Trong mt phng ta Oxy, cho Parabol (P) y = x2 v ng thng (d) y = 2mx + 2m +
8 (vi m tham s).
a/ Khi m = - 4, tỡm ta giao im ca ng thng (d) v Parabol (P).
b/ Chng minh rng ng thng (d) v Parabol (P) luụn ct nhau ti im phõn bit cú
honh x1; x2. Tỡm m x1 + 2x2 = 2.
Gii
a/ Tỡm ta giao im ca (d) v (P) khi m = - 4.
Ta giao im ca (d) v (P) l nghim ca pt sau x2 = 2mx + 2m + 8
ộx = 0
Thay m = - 4 vo pt ta cú x 2 + 8x = 0 x (x + 8) = 0 ờờ

ờởx = - 8

Khi x = 0 thỡ y = 0; x = - 8 thỡ y = 64.
Vy khi m = - 4 thỡ ta giao im ca (d) v (P) l A(0;0) v B(-8;6).
b/ Chng minh (d) luụn ct (P) ti 2 im x1 v x2 ri tỡm m x1 + 2x2 = 2.
Phng trỡnh x2 = 2mx + 2m + 8 x2 - 2mx - 2m 8 = 0 (*) cú 2 nghim phõn bit.
2

D ' = m 2 + 2m + 8 = (m + 1) + 7 > 0; " m

Vy (d) luụn ct (P) ti 2 im phõn bit.
- Theo bi v lý Vi ột ta cú h pt sau:
ùỡ ùỡ x + x 2 = 2m
ùỡ x = 4m - 2
ùùù ớù 1
ùùù 1
(4m - 2)(2 - 2m ) = - 2m - 8
ớ ùùợ x 1 + 2x 2 = 2 ớ x 2 = 2 - 2m
ùù
ùù
ùù x 1x 2 = - 2m - 8
ùù x 1x 2 = - 2m - 8
ợ
ợ
ộD = 49 + 32 = 81; D = 9
ờ
ờộ
7+ 9
ờ
2
= 2
4m - 7m - 2 = 0 ị ờờờx 1 =
8
ờờ
ờ
7- 9 - 1
ờờờx 2 =
=
ờởở
8

4
ùỡ - 1ùỹ
Vy khi m ẻ ùớ 2; ùý thỡ x1 + 2x2 = 2 thừa món bi toỏn.
ùùợ 4 ùùỵ
ỡù xy 2 + y 2 - 2 = x 2 + 3x
ù
Bi 3: Gii h phng trỡnh: ùớ
ùù x + y - 4 y - 1 = 0
ùợ
ùỡ x + x = 2m
2
ùùù 1
ị ớ x 1x 2 = - 2m - 8
ùù
ùợù x 1 + 2x 2 = 2

Gii
K: y 1 ta cú:
ùỡù xy 2 + y 2 - 2 = x 2 + 3x (1)
ùỡù xy 2 + y 2 - x 2 - 3x - 2 = 0
ùỡù (xy 2 + y 2 ) - (x 2 + 3x + 2) = 0
ù
ù
ị ớ
ớ
ùớ
ùù x + y - 4 y - 1 = 0(2)
ùù x + y - 4 y - 1 = 0
ùù x + y - 4 y - 1 = 0
ùợ

ùợ
ùợ
ỡù ộx = - 1
ùù ờ
ỡù x + 1 y 2 - x - 2 = 0
ỡù y 2 (x + 1)- (x + 1)(x + 2) = 0
)
ùù (
ùù
ùờ
2
ớ
ớ
ớ ờởx = y - 2
ùù x + y - 4 y - 1 = 0
ùù x + y - 4 y - 1 = 0
ùù
ùợ
ùợ
ùù x + y - 4 y - 1 = 0
ùợ

(

* Thay x = -1 vo pt (2) ta cú:

Footer Page 22 of 128.

)

ìï x = - 1
Header Page 23 of 128.
ïï
ìï x = - 1
ï
ï
Þ í
Û ïí
ïï y - 1 - 4 y - 1 = 0
ï y- 1 y- 1- 4 = 0Þ
ïî
ïïï
ïî

(

)

ìï x = - 1
ïï
ìï y - 1 = 0
Û ïí éêy = 1
ïï
ï
(t m)
í
ïï y - 1 - 4 = 0
ïïï êêy = 17
îë

ïî

* Thay x = y2 – 2 vào pt (2) ta có: y 2 - 2 + y - 4 y - 1 = 0( 3)
Đặt a =

y - 1 ³ 0 Þ y = a 2 + 1 thay vào pt (3) ta có:
2

(a + 1) - 2 + a + 1 - 4a = 0 Û
Û a (a + 3a - 4) = 0 Û a (a - 1)(a

Þ

2

2

3

a 4 + 3a 2 - 4a = 0
2

)

+ a+ 4 = 0

éa = 0
Û êê
(t m)
êëa = 1

ìï x = y 2 - 2 = - 1
ì
ïï x = - 1
+ Với a = 0 Þ íï
Û
í
2

ïï y = a + 1 = 1
ïy = 1
îï
ïî
ìï x = 2
ïì x = y 2 - 2 = 2
ï
+ Với a = 1 Þ ïí
Û
í
ïï y = a 2 + 1 = 2
ïy= 2
îï
îï

Vậy nghiệm của hệ pt là (x, y ) =

{(- 1;1);(- 1;17);(2;2)}

Bài 4
Cho quãng đường AB dài 300km. Cùng một lúc xe ô tô thứ nhất xuất phát từ A đến B, xe
ô tô thứ hai đi từ B về A. Sau khi xuất phát được 3 giờ thì hai xe gặp nhau. Tính vận tốc của

mỗi xe, biết thời gian đi cả quãng đường AB của xe thứ nhất nhiều hơn xe thứ hai là 2 giờ 30
phút.
Giải
Gọi x, y (km/h) là vận tốc xe thứ I, II (ĐK: y > x > 0)
Sau 3h, quãng đường xe I đi được 3x (km); xe II đi được 3y (km)
Ta có pt sau: 3x + 3y = 300 Û x + y = 100 (1)
300
(h) ,
x
300
(h).
Thời gian xe II đi hết quãng đường BA là
y

Thời gian xe I đi hết quãng đường AB là

Vì xe II đi chậm hơn xe I nên hết nhiều thời gian ta có pt sau:
300 300 5
60 60 1
= Û
=
x
y
2
x
y
2

(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ pt sau:
ìï y = 100 - x
ïìï x + y = 100
ïìï y = 100 - x
ïï
ïì y = 100 - x
ï
ïí
ï
ï
é
60 60 1 Û í 60
60
1 Û íï x 2 - 340x + 12000 = 0 Û íï êx 1 = 300 Þ y1 = - 200(loai)
ïï
ï
=
=
ïï
ïïî
ï êx = 40 Þ y = 60(t m)
y
2
2
î x 100 - x
2
ïïî x
ïîï ëê 2

Vậy vận tốc của xe I, II lần lượt là 40km/h và 60km/h.

Footer Page 23 of 128.


BiPage
5 24 of 128.
Header
Cho ng trũn (O; R) cú ng kớnh AB. im C l im bt k trờn (O), C khụng
trựng vi A, B. Tip tuyn ti C ca (O; R) ct tip tuyn ti A, B ca (O; R) ln lt ti P, Q.
Gi M l giao im ca OP vi AC, N l giao im ca OQ vi BC.
a/ Chng minh rng: T giỏc CMON l hỡnh ch nht v AP.BQ = MN2.
b/ Chng minh rng: AB l tip tuyn ca ng trũn ng kớnh PQ.
c/ Chng minh rng: PMNQ l t giỏc ni tip. Xỏc nh v trớ im C ng trũn
ngoi tip t giỏc PMNQ cú bỏn kớnh nh nht.
Gii
a/ Chng minh t giỏc CMON hỡnh
ch nht v AP.BQ = MN2
Q

- Xột t giỏc CMON ta cú:
ã
ã
ã
OMC = MCN = CNO = 900
ị T giỏc OMCN cú 3 gúc vuụng l hỡnh

ch nht.

I

C
P
M

- Theo h thc lng D POQ vuụng ti O,
ng cao OC ta cú:
PC.CQ = OC2 = R2 hay AP.BQ = MN2
Vy AP.BQ = MN2 (pcm)

N

A

B

O

b/ Chng minh AB tip tuyn ca ng trũn ng kớnh PQ.
+ Gi I trung im ca PQ nờn OI l trung tuyn tam giỏc POQ vuụng ti O.
Do ú: OI =

1
PQ
P Q ị O ẻ (I;
)
2
2

+ Vỡ OI ng trung bỡnh ca hỡnh thang vuụng APQB
Suy ra: OI // AP (//BQ) ị OI ^ AB ti O.

ổ P Q ửữ
ữ
Vy AB l tip tuyn ti O ca ỗỗỗI;
ữ
ỗố

2 ứữ

c/ Chng minh t giỏc PMNQ ni tip.
- Theo h thc lng D OCP vuụng ti C cú:
OC2 = OM.OP (1)
Tng t:
OC2 = ON.OQ (2)
T (1) v (2) Suy ra:
OM ON (3)
=
OM.OP = ON.OQ ị
OQ
OP
- Xột D OMN v D OQP ta cú:
à- Chung
ỹù
O
ùù
ùý ị D OMN : D OQP(cgc)
OM
ON
=
(cmt)ùù
ùùỵ

OQ
OP

ã
ã
ị OMN
= OQP

Vy t giỏc MNQP ni tip ng trũn.

Footer Page 24 of 128.

D
Q
I

C
P
M

A

N

E
O

B

* Xác
Header Page
25 ofđịnh
128.vị trí điểm C trên đường tròn ngoại tiếp tứ giác PMNQ bán kính nhỏ nhất?
+ Gọi D tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác PMNQ và E giao điểm của OC và MN. Đường
tròn tâm (D) có I trung điểm dây PQ và E trung điểm dây MN.
Þ DI ^ PQ và DE ^ MN
Þ DI // OE và DE // OI
Þ Tứ giác OEDI là hình bình hành.
Þ DI = OE =

1
R
2

+ Theo Đlý Py ta go D DIP vuông tại I ta có:
2

2

DP =

2

DI + IP =

2

æR ÷
ö æ ö

çç ÷ + çç P Q ÷
÷
÷ ³
çè 2 ÷
÷
ø çè 2 ø÷

2

2

æ ö æAB ÷
ö
R 5
çç R ÷
çç
÷
÷
+
=
÷
çè 2 ÷
ç
÷
2
ø è 2 ÷
ø

Dấu “=” xẩy ra khi PQ = AB = 2R hay OC ^ AB.
»

Do đó: C là điểm chính giữa cung AB
của nửa đường tròn (O).
Vậy khi C là điểm chính giữa của nửa đường tròn (O) thì đường tròn ngoại tiếp tứ giác

PMNQ có bán kính nhỏ nhất bằng

R 5
.
2

Bài 6
Cho ba số thực dương x, y, z thõa mãn
P=

y 2z2

(

x y 2 + z2

)

+

1
1
1
+ 2 + 2 = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức:
2
x

y
z
z2 x 2

(

y z2 + x 2

)

+

x 2y 2

(

z x 2 + y2

)

Giải
Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức:
P=

y 2z 2

(

x y 2 + z2

)

+

z2 x 2

(

y z2 + x 2

)

+

x 2y2

(

z x 2 + y2

)

=

1
æ1
1ö
÷
x ççç 2 + 2 ÷
÷

y ø÷
èz

+

1
æ1
1ö
÷
y ççç 2 + 2 ÷
÷
z ø÷
èx

+

1
æ1
1ö
÷
z ççç 2 + 2 ÷
÷
x ø÷
èy

1
1
1
a
b

c
= a; = b; = c thì P = 2
và a2 + b2 + c2 = 3
+ 2
+ 2
2
2
2
x
y
z
c + b
a + c
b +a
a
b
c
Do đó: P =
+
+
2
2
3- a
3- b
3 - c2

Đặt

Ta lại có BĐT sau:
2

(x - 1) x (x + 2) ³ 0 (luôn đúng)
1 2
³
Û
x
2
3 - x2
2 3 - x2
x

(

Þ P³

)

1 2 1 2 1 2
3
a + b + c =
2
2
2
2

Dấu “=” xẩy ra khi a = b = c = 1 hay x = y = z = 1.

Footer Page 25 of 128.