Luyện thị lớp 10: 1 BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ

Chủ đề 1: BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ
Chương 1: Căn thức
1.1 CĂN THỨC BẬC 2
Kiến thức cần nhớ:



Căn bậc hai của số thực a là số thực x sao cho x 2  a .
Cho số thực a không âm. Căn bậc hai số học của a kí hiệu là



một số thực không âm x mà bình phương của nó bằng a :
a �0
�
�x �0
� �2
�
�a  x
�x  a
Với hai số thực không âm a, b ta có: a �
 b
a b.



Khi biến đổi các biểu thức liên quan đến căn thức bậc 2 ta cần lưu ý:



+

A �0
�A
A2  A  � nếu
A
A0
�

+

A2 B  A B  A B với A, B �0 ;

a là

A2 B  A B   A B với

A  0; B �0

+
+

A

B

A.B

B2

A.B

với AB �0, B �0
B

M
M. A

với A  0 ;(Đây gọi là phép khử căn thức ở mẫu)
A
A





M Am B
M
với A, B �0, A �B (Đây gọi là phép

A B
A� B
trục căn thức ở mẫu)
1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n.
1.2.1 CĂN THỨC BẬC 3.
+

Kiến thức cần nhớ:


Căn bậc 3 của một số a kí hiệu là



Cho a �R; 3 a  x � x3 



Mỗi số thực a đều có duy nhất một căn bậc 3.

 
3

a

3

3

a là số x sao cho x 3  a

a
1


3



Nếu a  0 thì
Nếu a  0 thì



Nếu a  0 thì

3



3

a 0.
a 0.
a 0.

a 3 a với mọi

b �0 .
b 3b
ab  3 a . 3 b với mọi a, b .



3



3



ab� 3 a  3 b .
A 3 B  3 A3 B .




3

3



A

B

A

B

3

3

AB 2 với
B �0
B

A
B3

3
1
A2 m3 AB  3 B 2 với
A ��B .

 3
A �B
A �3 B
1.2.2 CĂN THỨC BẬC n.
R, n N ; n 2 . Căn bậc n của một số a là một số mà lũy
Cho số a �γ
thừa bậc n của nó bằng a.
 Trường hợp n là số lẻ: n  2k  1, k �N
Mọi số thực a đều có một căn bậc lẻ duy nhất:
2 k 1
a  x � x 2 k 1  a , nếu a  0 thì 2 k 1 a  0 , nếu a  0 thì

a  0 , nếu a  0 thì 2 k 1 a  0
Trường hợp n là số chẵn: n  2k , k �N .
2 k 1



Mọi số thực a  0 đều có hai căn bậc chẵn đối nhau. Căn bậc chẵn
dương kí hiệu là 2k a (gọi là căn bậc 2k số học của a ). Căn bậc
chẵn âm kí hiệu là  2k a ,

2k

a  x ۳ x 0 và x 2k  a ;

=2 k a x

x 0 và x 2k  a .
Mọi số thực a  0 đều không có căn bậc chẵn.
Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Phân tích các biểu thức sau thành tích:
a) P  x 4  4
2


b) P  8 x 3  3 3
c) P  x 4  x 2  1
Lời giải:



  x  2   x  2 .
3   4 x  2 3 x  3 .

2
2
a) P   x  2   x  2   x  2

 3    2x 
3

b) P   2 x  
3

2

2

c) P   x 2  1  x 2   x 2  x  1  x 2  x  1 .
2

Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức:
a) A  x  x  x 

1
khi x �0 .
4

1
b) B  4 x  2 4 x  1  4 x  2 4 x  1 khi x � .
4

c) C  9  5 3  5 8  10 7  4 3
Lời giải:
2

1
1�
a) A  x  x  x   x  �
� x  � x 
4
2�
�

+ Nếu

1
x �۳
2

+ Nếu

1
x
<
  0
2

x

1
thì
4
x

x

1
thì
4

x

1
2

1
1
1
 x �A .
2
2
2
x

1
1
1
 x  � A2 x
2
2
2

b)
B  4 x  2 4 x 1  4 x  2 4 x 1  4 x 1  2 4 x 1  1  4 x 1  2 4 x 1  1

Hay B 






2

4x 1 1 





2

4x 1 1 

4x 1 1 

4x 1 1

4x 1 1  4x 1  1

+ Nếu

4 x 1��
1 0�۳4 x 1 1

x

1
thì
2

4 x  1  1  4 x  1  1 suy

ra B  2 4 x  1 .
3


+ Nếu

1
4

4 x 
1 �<
1 0
 4 x 1 1

x

1
thì
2

4 x  1  1   4 x  1  1 suy ra B  2 .



c) Để ý rằng: 7  4 3  2  3



2

� 74 3  2 3

Suy ra C  9  5 3  5 8  10(2  3)  9  5 3  5 28  10 3
 9 5 3 5

 5  3

2

.Hay

C  9  5 3  5(5  3)  9  25  9  5  4  2
Ví dụ 3) Chứng minh:
a) A  7  2 6  7  2 6 là số nguyên.
84 3
84
là một số nguyên ( Trích đề TS vào lớp 10
 1
9
9
chuyên Trường THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2006).

b) B  3 1 

c) Chứng minh rằng: x  3 a 

a  1 8a  1 3
a  1 8a  1
với

 a
3
3
3
3

1
a � là số tự nhiên.
8



2
d) Tính x  y biết x  x  2015

 y



y 2  2015  2015 .

Lời giải:
a) Dễ thấy A  0,
Tacó

A2 



72 6  72 6



2

 7  2 6  7  2 6  2 7  2 6. 7  2 6

 14  2.5  4
Suy ra A  2 .
b) Áp dụng hằng đẳng thức:  u  v   u 3  v 3  3uv  u  v  . Ta có:
3

4


3

�
�
84 3
84 �
84
84
84 3
84 �
� 1 
�
B 3  �3 1 
 1
1

 3 �3 1 
. 1
�
�
9
9 �
9
9
9
9 �
�
�
�
�
�
84 3
84 �
�3 1 
�. Hay
 1
�
9
9 �
�
�

� 84 �
� 84 �
84
B3  2  3 3 �

1

1
.B � B 3  2  3 3 1  B � B 3  2  B � B 3  B  2 
�
�
�
� 9 �
�
�
81
�
�
� 9 �
2

1� 7
�  B  1  B  B  2   0 mà B  B  2  �
�B  �  0 suy ra B  1 .
� 2� 4
Vậy B là số nguyên.
2

2

c) Áp dụng hằng đẳng thức:  u  v   u 3  v3  3uv  u  v 
3

Ta có

x3  2a   1  2a  x � x3   2a  1 x  2a  0 �  x  1  x 2  x  2a   0

Xét đa thức bậc hai x 2  x  2a với   1  8a �0
+ Khi a 

1
1
1
ta có x  3  3  1 .
8
8
8

1
+ Khi a  , ta có   1  8a âm nên đa thức (1) có nghiệm duy nhất x  1
8
1
a  1 8a  1 3
a  1 8a  1
Vậy với mọi a � ta có: x  3 a 
 a
 1 là
8
3
3
3
3
số tự nhiên.

d) Nhận xét:



x 2  2015  x





x 2  2015  x  x 2  2015  x 2  2015

.
Kết hợp với giả thiết ta suy ra

x 2  2015  x 

y 2  2015  y

� y 2  2015  y  x 2  2015  x  x 2  2015  x  y 2  2015  y � x  y  0

Ví dụ 4)
5


a) Cho x  4  10  2 5  4  10  2 5 . Tính giá trị biểu thức:
x 4  4 x3  x 2  6 x  12
.
x 2  2 x  12
b) Cho x  1  3 2 . Tính giá trị của biểu thức
B  x 4  2 x 4  x 3  3x 2  1942 .(Trích đề thi vào lớp 10 Trường PTC

Ngoại Ngữ - ĐHQG Hà Nội năm 2015-2016).
c) Cho x  1  3 2  3 4 . Tính giá trị biểu thức:
P

P  x 5  4 x 4  x 3  x 2  2 x  2015

Giải:
a) Ta có:
2

�
�
x  � 4  10  2 5  4  10  2 5 � 8  2 4  10  2 5 . 4  10  2 5
�
�
2

� x2  8  2 6  2 5  8  2





5 1

2

 8 2





5 1  6  2 5 





5 1

2

2
� x  5  1 . Từ đó ta suy ra  x  1  5 � x  2 x  4 .
2

x
Ta biến đổi: P  

2

 2 x   2  x 2  2 x   12
2

42  3.4  12

 1.
x 2  2 x  12
4  12

3
b) Ta có x  1  3 2 �  x  1  2 � x 3  3 x 2  3 x  3  0 . Ta biến đổi

biểu thức P thành:
P  x 2 ( x3  3 x 2  3 x  3)  x  x3  3 x 2  3 x  3    x3  3 x2  3 x  3   1945  1945

c) Để ý rằng: x  3 22  3 2  1 ta nhân thêm 2 vế với

3

2  1 để tận

3
3
2
2
dụng hằng đẳng thức: a  b   a  b   a  ab  b  . Khi đó ta có:

  2  1  2  2  1
�  2  1 x  1 � 2 x  x  1 � 2 x



3

2 1 x 
3

6

3

3

3

2

3

3

  x  1 � x3  3 x 2  3 x  1  0 .
3


Ta biến đổi:

P  x5  4 x 4  x3  x 2  2 x  2015   x 2  x  1  x3  3x 2  3 x  1  2016  2016

Ví dụ 5) Cho x, y, z  0 và xy  yz  zx  1 .
a) Tính giá trị biểu thức:

 1 y   1 z   y  1 z   1 x   z  1 x   1 y 
2

Px

2

2

2

1  y2
x
y
z
b) Chứng minh rằng: 1  x 2  1  y 2  1  z 2 

2

1  x2

2

1  z2
2 xy

 1 x   1 y   1 z 
2

2

2

Lời giải:
a) Để ý rằng: 1  x 2  x 2  xy  yz  zx  ( x  y )( x  z )
Tương tự đối với 1  y 2 ;1  z 2 ta có:

 1 y   1 z 
2

x

1 x

2

2

x

 y  x  y  z  z  x  z  y 
 x  y  x  z

 x y  z

Suy ra P  x  y  z   y  z  x   z  x  y   2  xy  yz  zx   2 .
b) Tương tự như câu a)
Ta có:

x
y
z
x
y
z






2
2
2
1  x 1 y 1 z
 x  y  x  z  x  y  y  z  z  y  z  x


x y  z  y  z  x  z  x  y

 x  y  y  z   z  x



2 xy

 x  y  y  z  z  x

2 xy

 1 x   1 y  1 z 
2

2

2

Ví dụ 6)

a) Tìm x1 , x2 ,..., xn thỏa mãn:
x12  12  2 x2 2  22  ..  n xn 2  n 2 

1 2
x1  x2 2  ...  xn 2 

2

7


4 n  4n 2  1
với n nguyên dương. Tính
2n  1  2n  1
f (1)  f (2)  ..  f (40) .

b) Cho f (n) 

Lời giải:
a) Đẳng thức tương đương với:



 
2

x12  12  1 



2

x2 2  22  2  ... 



xn 2  n 2  n



2

0

2
2
Hay x1  2, x2  2.2 ,..., xn  2.n

�x 2  y 2  4n
�
�
2
x

2
n

1,
y


2
n

1
�
b) Đặt
�xy  4n  1 .
�x 2  y 2  2
�
Suy ra

x 2  xy  y 2 x 3  y 3 1 3
1
 2
  x  y3  
2
x y
x y
2
2
Áp dụng vào bài toán ta có:
f ( n) 

f  1  f  2   ..  f  40  



1
2





 

1� 3
3  13 
�
2



 2n  1



3

 2n  1



53  33  .. 



3

.



813  793 �
�



813  13  364

Ví dụ 7)
a) Chứng minh rằng:

1
1
1

 .... 
 4 . Đề thi
1 2
3 4
79  80

chuyên ĐHSP 2011
1
1
1
1
1 �
�



 ... 
 2�
1
�.
1 2 2 3 3 4
n n 1
� n 1 �
1
1
1
1
1



 ... 
 2 n  1 với
c) Chứng minh: 2 n  2 
1
2
3
4
n
mọi số nguyên dương n �2 .
Lời giải:
b) Chứng minh rằng:

8

1
1
1

 .... 
,
1 2
3 4
79  80

a) Xét A 

1
1
1

 .. 
2 3
4 5
80  81
Dễ thấy A  B .
B

1
1
1
1
1



 .... 

1 2
2 3
3 4
79  80
80  81

Ta có A  B 

1

Mặt khác ta có:

Suy ra A  B 

k  k 1





 

2 1 





k 1  k

k 1  k



3  2  ... 







k 1  k



 k 1  k



81  80  81  1  8 . Do

A  B suy ra 2 A  A  B  8 � A  4 .

b) Để ý rằng:

1

1


k
k 1

k (k  1)



1
k 1  k





1
2k k  1 với

mọi k nguyên dương.
Suy ra
1 �
1 � �
1 �
�1
� 1 � �1
VT  2 �
1
 ..  2 � 

1
� 2 � 
�
� 2 �
�.
3�
n 1 � � n 1 �
� 2� �2
�n
c) Đặt P 

Ta có:

1
1
1
1
1



 ... 
1
2
3
4
n

2
n  n 1



1
2
2


với mọi số tự nhiên n �2 .
n 2 n
n  n 1

Từ đó suy ra
2



n 1  n 



2



n 1  n 



2

2
2


2
n 1  n 2 n
n  n 1
2
2
n



n  n 1





n  n  1 hay


9


T

  3  2   ...   n  1  n  �
�
T  1 2 �

 2  1   3  2   .... n  n  1  �
�
�.

2 1 
Do đó: 2 �
�

và

Hay 2 n  2  T  2 n  1 .
Ví dụ 8)
a) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn
a 1  b2  b 1  c2  c 1  a2 

3
.Chứng minh rằng:
2

3
.
2
a) Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện:
a 2  b2  c 2 

x 1  y 2  y 2  z 2  z 3  x 2  3 . (Trích đề thi tuyến sinh vào lớp

10 chuyên Toán- Trường chuyên ĐHSP Hà Nội 2014)
Lời giải:
a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có

a 2  1  b2 b2  1  c 2 c 2  1  a 2 3
2
2
2
a 1 b  b 1 c  c 1  a �


 .
2
2
2
2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
�
a  1  b2
�
a2  1  b2
�
�2
3
�
b  1  c2 � �
b  1  c 2 � a 2  b 2  c 2  (đpcm).
�
2
�
�
2
2
2

c

1

a
c

1

a
�
�
�
b) Ta viết lại giả thiết thành: 2 x 1  y 2  2 y 2  z 2  2 z 3  x 2  6 .
Áp dụng bất đẳng thức : 2ab �a 2  b 2 ta có:
2 x 1  y 2  2 y 2  z 2  2 z 3  x 2 �x 2  1  y 2  y 2  2  z 2  z 2  3  x 2  6

. Suy ra VT �VP . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

10


�x 2  y 2  z 2  3; x, y, z �0
�x, y, z �0
�x  1  y 2
�2
�2
2
�
2

�
�x  y  1
�x  y  1
2
� �2
� x  1; y  0; z  2
�y  2  z � � 2
2
y  z2  2
y

z

2
�
�
�
z  3  x2
2
�
�2
�z 2  x 2  3
�
�z  x  3
�
Ví dụ 9) Cho A 

x



x4 x4  x4 x4

 với x  4

x 2  8 x  16

a) Rút gọn A .Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Lời giải:
a) Điều kiện để biểu thức A xác định là x  4 .
�
x�
A �
x





x4 2

x4 2





x4 2

x4

x

2

 x  4

+ Nếu 4  x  8 thì
A




2



2 �
x4 2 � x
�



x4 2 
x4

x4 2





x  4  2  0 nên

x4  2 2 x4
x4



4x
16
 4
x4
x4

Do 4  x  8 nên 0  x  4  4 � A  8 .
+ Nếu x �8 thì

x



x  4  2 �0 nên

x4 2 x4 2

  2x

x4

2x
8

 2 x4 
�2 16  8
x4
x4
x4
x4
(Theo bất đẳng thức Cô si). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
A

2 x4 

8
� x4 4 � x 8.
x4
11


Vậy GTNN của A bằng 8 khi x  8 .
b) Xét 4  x  8 thì A  4 

16
, ta thấy A �Z khi và chỉ khi
x4

16
�Z � x  4 là ước số nguyên dương của 16 . Hay
x4

x  4 � 1; 2; 4;8;16 � x   5; 6;8;12; 20 đối chiếu điều kiện suy ra x  5
hoặc x  6 .
+ Xét x �8 ta có: A 
A

2  m2  4
m

 2m 

2x
, đặt
x4

�x  m2  4
x4  m��
khi đó ta có:
m �2
�

8 suy ra m � 2; 4;8 � x � 8; 20; 68 .
m

Tóm lại để A nhận giá trị nguyên thì x � 5;6;8; 20;68 .
MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Câu 1. (Đề thi vào lớp 10 thành phố Hà Nội – năm học 2013-2014)
Với x  0 , cho hai biểu thức A 

2 x

và B 
x

x 1 2 x  1

.
x
x x

1) Tính giá trị biểu thức A khi x  64 .
2) Rút gọn biểu thức B .
A 3
3) Tính x để  .
B 2
Câu 2. (Đề thi năm học 2012 -2013 thành phố Hà Nội)
x 4
. Tính giá trị của biểu thức A .
x 2
� x
4 � x  16

2) Rút gọn biểu thức B  �
(với x �0, x �16
�:
� x 4
x 4�
�
� x 2
)
1) Cho biểu thức A 

12


3) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của

x để giá trị của biểu thức B  A  1 là số nguyên.
Câu 3. (Đề thi năm học 2011 -2012 thành phố Hà Nội).
Cho A 

x
10 x
5


, với x �0, x �25 .
x  5 x  25
x 5

1) Rút gọn biểu thức A
2) Tính giá trị của A khi x  9 .
1
3) Tìm x để A  .
3
Câu 4. (Đề thi năm học 2010 -2011 thành phố Hà Nội).
Cho P 

x
2 x
3x  9



, với x �0, x �9 .
x 3
x 3 x 9

1) Rút gọn P .
1
2) Tìm giá trị của x để P  .
3
3) Tìm giá trị lớn nhất của P .

Câu 5. (Đè thi năm học 2014 – 2015 Thành phố Hồ Chí Minh)
Thu gọn các biểu thức sau:
A

5 5
5
3 5


52
5 1 3  5

1 �� 2
6 �
� x
B�

: 1


��
�  x  0 .
x  3 �� x x  3 x �
�x  3 x
Câu 6. (Đề thi năm học 2013 – 2014 TPHCM)
Thu gọn các biểu thức sau:
13


� x
3 � x 3
A�
.
với x �0, x �9 .
� x 3  x 3�
�
�
� x9

B  21



2  3  3 5

 
2

6

2 3  3 5



2

 15 15 .

Câu 7. (Đề thi năm 2014 – 2015 TP Đà Nẵng)
Rút gọn biểu thức P 

x 2
2x  2

, với x  0, x �2 .
x2
2 xx 2

Câu 8. (Đề thi năm 2012 – 2013 tỉnh BÌnh Định)
Cho A 
B  1

1
1
1
1


 ... 

và
1 2
2 3
3 4
120  121

1
1
 ... 
.
2
35

Chứng minh rằng B  A .
Câu 9. (Đề thi năm 2014 – 2015 tỉnh Ninh Thuận)
Cho biểu thức P 

x3  y3
x y
. 2
, x �y .
2
2
x  xy  y x  y 2

1) Rút gọn biểu thức P .
2) Tính giá trị của P khi x  7  4 3 và y  4  2 3 .
Câu 10. (Đề thi năm 2014 – 2015 , ĐHSPHN)
Cho các số thực dương a, b ; a �b .

Chứng minh rằng:



 a  b

3

a b



3

 b b  2a a

a a b b



.
3a  3 ab
0
ba

Câu 11. (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Hùng Vương Phú Thọ)
14


A

x  x  6 x  7 x  19 x  5 x


; x  0, x �9 .
x9
x  x  12 x  4 x

Câu 12. (Đề thi năm 2014 – 2015 tỉnh Tây Ninh)
Cho biểu thức A 

1
1
2 x


2 x 2 x 4 x

 x �0, x �4  .

1
Rút gọn A và tìm x để A  .
3

Câu 13. (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Lê Khiết Quảng Ngãi).
3
3
x xx



. Tìm tất cả
x3  x
x3  x
x 1
các giá trị của x để P  2 .
2
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho  P  : y   x và đường thẳng
1) Cho biểu thức P 

 d  : y  mx  1 ( m là tham số). chứng minh rằng với mọi giá trị của
m , đường thẳng  d  luôn cắt  P  tại hai điểm phân biệt có hoành
độ x1 , x2 thỏa mãn x1  x2 �2 .
Câu 14. (Đề thi năm 2014 – 2014 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa)
Cho biểu thức C 

a
2
2


.
a  16
a 4
a 4

1) Tìm điều kiện của a để biểu thức C có nghĩa và rút gọn C .
2) Tính giá trị của biểu thức C khi a  9  4 5 .
Câu 15. (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Thái Bình tỉnh Thái BÌnh)
� 2
3

5 x 7 � 2 x 3


Cho biểu thức A  �
� x  2 2 x 1 2x  3 x  2 �
�: 5 x  10 x
�
�

 x  0, x �4  .
1) Rút gọn biểu thức A .
15


2) Tìm x sao cho A nhận giá trị là một số nguyên.
Câu 16. (Đề năm 2014 – 2015 Thành Phố Hà nội)
x 1
, khi x  9 .
x 1
1 � x 1
� x2

.
2) Cho biểu thức P  �
với x  0 và x �1 .
�
x  2 � x 1
�x  2 x
1) Tính giá trị của biểu thức A 

x 1
.
x
b) Tìm các giá trị của x để 2 P  2 x  5 .
a) Chứng minh rằng P 

Câu 17) Cho a  3  5  2 3  3  5  2 3 . Chứng minh rằng
a 2  2a  2  0 .

Câu 18) Cho a  4  10  2 5  4  10  2 5 .
Tính giá trị của biểu thức: T 

a 2  4 a3  a 2  6a  4
.
a 2  2a  12

Câu 19) Giả thiết x, y , z  0 và xy  yz  zx  a .
Chứng minh rằng:

 a  y   a  z   y  a  z   a  x
2

x

a  x2

2

2

2

a  y2

ax a y 
2

z

2

a  z2

 2a .

Câu 20. Cho a  2  7  3 61  46 5  1 .
a) Chứng minh rằng: a 4  14a 2  9  0 .
5
4
3
2
b) Giả sử f  x   x  2 x  14 x  28 x  9 x  19 . Tính f  a  .
Câu 21. Cho a  3 38  17 5  3 38  17 5 .
Giả sử có đa thức f  x    x3  3 x  1940 
16

2016

. Hãy tính f  a  .

Câu 22. Cho biểu thức f  n  

2n  1  n  n  1
n  n 1

.

Tính tổng S  f  1  f  2   f  3  ...  f  2016  .
Câu 23) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có:

1 1 1
1 5
1 � 2  2  2  ...  2  .
1 2 3
n
3
Câu 24) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n  3 , ta có

1 1 1
1 65
 3  3  ...  3 
.
3
1 2 3
n 54
Câu 25) Chứng minh rằng:
43
1
1

1
44


 ... 

44 2 1  1 2 3 2  2 3
2002 2001  2001 2002 45
(Đề thi THPT chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm 2001-2002)
Câu 26) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có:

1
1
1
1

 ... 
 1
.
2 2 1 1 3 3  2 2
n 1
 n  1 n  1  n n
Câu 27) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n  2 , ta có:

1 4 7 10 3n  2 3n  1
1
. . . ....
.

.

3 6 9 12
3n 3n  3 3 n  1
LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN CHỦ ĐỀ 1
1). Lời giải:
1) Với x  64 ta có A 

2  64 2  8 5

 .
8
4
64
17


B





 



x 1 . x  x  2 x 1 . x



x. x  x





x x  2x
 1
x xx

x 2
x 1

1

x 1

A 3
2 x 2 x 3
x 1 3
 �
:
 �

B 2
2
x
x 1 2
x
� 2 x  2  3 x � x  2 � 0  x  4 (do x  0 ).

Với x  0 , ta có:

2. Lời giải:
1) Với x  36 , ta có A 

36  4 10 5
  .
36  2 8 4

2) Với x �0, x �16 ta có:
� x x 4 4 x 4 �
 x  16  x  2
x 2
� x 2 
B�


� x  16
x  16 �x  16  x  16   x  16 
x  16
�
�
.
x 2� x 4 x 2� 2
3) Biểu thức B  A  1 
�
�
� x  16
x  16 �
x


2
�
�



 







B  A  1 nguyên, x nguyên thì x  16 là ước của 2 , mà

U  2    �1; �2 . Ta có bảng giá trị tương ứng:
Kết hợp điều kiện, để B  A  1 nguyên thì x � 14;15;16;17 .
3). Lời giải:
A

18

x
10 x
5




x  5 x  25
x 5

x.






 x  5  x  5

x  5  10 x  5.

x 5








x  5 x  10 x  5 x  25







x 5

x 5

x 5

A







x 5







x  10 x  25
x 5



x 5



2

x 5



x 5
. Với x  9 ta có:
x 5

� A

x  3 . Vậy

3  5 2
1

 .
35 8
4

4). Lời giải:
1) P 

x





x 3  2 x



x 3







x  3  3x  9
x 3





3
x 3

3
1
 � x  3  9 � x  36 (thỏa mãn ĐKXĐ)
x 3 3
3
3

�
 1 � Pmax  1 khi x  0 (TM).
3) Với x �0, P 
x 3 03
2) P 

1
�
3

5. Lời giải:
A



5 5
5
3 5


52
5 1 3  5

 5 5 
 5  2 

 3 5 5


5  2 

52

5





5 1



5 1





3 5 3 5



 3 5 3 5

5 1

5  5 9 5  15
5  5  9 5  15


 3 5 5 
4
4
4

 3 5 552 5  5 .
1 �� 2
6 �
� x
B�

: 1

 x  0
��
�
x  3 �� x x  3 x �
�x  3 x

19


�
1 �� x  2
6
:

�
x 3�
x

x x 3
��
�

� x
�
� x 3
�





�
x 1 � x  2
:
x 3 �
x
�








x 3 6�
�
�

x 3
�







�
�
�
�



x 1 .

x
x x

 1.

6. Lời giải:
Với x �0 và x �9 ta có:

�
�
x 3 x 3 x 9� x 3 1
A�

.

3.
� x 3
x
x 3 � x 9
�
�



B



21
2





42 3  62 5



21
2



3 1  5 1  3





15
2



3 5



2

2



 
2

3

42 3  62 5





2

 15 15

2

3  1  5  1  15 15

 15 15  60 .

7). Lời giải: Với điều kiện đã cho thì:
P

2x



x 2
2 x



 

2



x 2

x 2





x 2





x

2 x

2
 1.
x 2

8. Lời giải:
Ta có: A 



1
1

1
1


 ... 
1 2
2 3
3 4
120  121

1 2



 1 2   1 2  

20

2 3
2 3



2 3



 ... 



120  121
120  121



120  121






1 2
2 3
120  121

 ... 
1
1
1

 2  1  3  2  ...  121  120  1  121  10 (1)
1
2
2


2
k

k k
k  k 1

Với mọi k ��* , ta có:



k 1  k



1
1
 ... 
2
35

Do đó B  1 

 2  1  3  2  4  3  ...  36  35 
� B  2   1  36   2  1  6   10 (2) . Từ (1) và (2) suy ra B  A .
�B2

9. Lời giải:
x3  y 3
x y
x y
.

.

2
2
x  xy  y  x  y   x  y  x  y

1) P 

2) Với x  7  4 3  2  3 và y  4  2 3  3  1
Thay vào P ta được: P 

2  3  3 1

 2  3  



3 1



1
3 2 3

3 .
3 2 3

10.Lời giải:

Ta có:



Q





3

a b



3

 b b  2a a


a a b b

a b







 a  b


3

a b

a b



3



3

 b b  2a a



a  b a  ab  b



a  b a  ab  b







a a  3a b  3b a  b b  2a a



3a  3 ab
ba







3 a



a b

3 a
a b



a b



a b



0


21




3a a  3a b  3b a  3a a  3a b  3b a





a  b a  ab  b

 0 (ĐPCM).



11. Lời giải:
A

x  x  6 x  7 x  19 x  5 x


x 9

x  x  12 x  4 x



x 2

x 3





x  7 x  19
x 3



x4





x 5
x 4

x  2 x  8  x  7 x  19  x  8 x  15



x 3



x 4









x  3 


x  4

x 1

x 4

x 1 .
x 3

12. Lời giải:





A

1
1
2 x
4
2 x 2 2 x
2 . Với






4 x
2 x 2 x 4 x 4 x 4 x
2 x

A

1
2
1
1
�
 � x  4 � x  16 (nhận). Vậy A  khi x  16 .
3
2 x 3

3

13. Lời giải:
1) ĐKXĐ: x �3
3
3
x xx
�P


x 3  x
x3  x
x 1






6 x3
3 x  3  3 3  3 x  3  3 x x x 1

 x  x 2 x 3 .

3
 x  3  x
x 1

Vì P  2 � x  2 x  3  2 �  x  3  2 x  3  1  0





2

�x�3��
1 0�۹ x 3 1 0

x 3 1

x

4 .Vậy x �3 và

x �4 .
2) Phương trình hoành độ giao điểm của  P  và  d  là: x 2  mx  1  0
.
22


có   m 2  4  0 với mọi m , nên phương trình luôn có hai nghiệm phân
biệt x1 , x2 . Theo hệ thức Viet ta có: x1  x2  m và x1 x2  1
�  x1  x2     m  � x12  x22  2 x1 x2  m 2
2

2

�  x1  x2   4 x1 x2  m 2 �  x1  x2   4.  1  m 2
2

2

2
�  x1  x2   m2  4 �4 với mọi m � x1  x2 �2 với mọi m (ĐPCM).

14. Lời giải:
a �0
�
a �0
�
�
�
a  16 �0
a �16
�
�
��
�
1) Biểu thức C có nghĩa khi: �
a �16
� a  4 �0 �
� a  4 �0 �
�
a �0
�
a
2
2



Rút gọn C 
a  16
a 4
a 4




a

a 4

a 4



2
2

a 4
a 4

  a  4  a  2 a  8  2 a  8 
 a  4  a  4 
 a  4  a  4
a  a  4
a



.
 a  4  a  4 a  4


a2







a 4 2

2) Giá trị của C khi a  9  4 5 .



Ta có: a  a  9  4 5  4  4 5  5  2  5

 2 5

� a
Vậy C 



a
a 4



2



a 0, a 16 .



a4 a
a 4



a 4



2

 52
52
5 2

 9 4 5 .
5 2 4
52

15. Lời giải:

1) Với x  0, x �4 biểu thức có nghĩa ta có:
23


� 2
3
5 x 7 � 2 3 3
A�
� x  2  2 x 1  2x  3 x  2 �
�: 5 x  10 x
�
�







 

2 2 x 1  3







.



x  2 2 x 1

A

5 x



x 2

2 x 3

:



2 x 3
5 x



x 2



5 x
. Vậy với x  0, x �4 thì

2 x 1

5 x
.
2 x 1

2) Ta có
A



x  2 2 x 1

2 x 3



 

x 2  5 x 7

x  0, x  0, x �4 nên A 

5 x
 0, x  0, x �4
2 x 1

5 x
5
5

5
 
 , x  0, x �4 � 0  A  5 , kết hợp với A
2 x 1 2 2 2 x 1 2
2





nhận giá trị là một số nguyên thì A� 1, 2 .
1
1
A  1 � 5 x  2 x  1 � x  � x  thỏa mãn điều kiện.
3
9
A  2 � 5 x  4 x  2 � x  2 � x  4 không thỏa mãn điều kiện.
1
Vậy với x  thì A nhận giá trị là nguyên.
9
16. Lời giải:
1) Với x  9 ta có A 
2) a)
�
x2 x
P�
� x x 2
�









�
�
x 1 � x 1 . x  2
�
.

� x 1 � x x  2
�
�

b) Theo câu a) P 

24

3 1
 2.
3 1

x 1
x





�
�
.

x 1

� x 1
�

x 1
.
x


� 2P  2 x  5 �

2 x 2
 2 x 5
x

2 x  2  2 x  5 x � 2 x  3 x  2  0 và x  0
1�
1
1
�
� x  2 � x  � 0 � x  � x  .
2�
2

4
�





17. Giải:





a2  3  5  2 3  3  5  2 3  2 9  5  2 3  6  2 4  2 3



 62



3 1

2

62









2

3  1  4  2 3  1  3 . Do a  0 nên

a  3  1 . Do đó  a  1  3 hay a 2  2a  2  0 .
2

18. Giải:





a 2  8  2 16  10  2 5  8  2 6  2 5  8  2
 8 2
a

2







5 1

2



5  1  6  2 5 . Vì a  0 nên a  5  1 . Do đó  a  1  5 hay
2

a
 2a  4 . Biểu diễn T 

2

 2a   3  a 2  2a   4
2

a 2  2a  12



42  3.4  4 1 .

4  12
2

19. Giải:
2
2
Ta có: a  x  x  xy  yz  zx   x  y   x  z  .Tương tự ta có:

a  y2   y  x   y  z  ; a  z2   z  x   z  y  .
Từ đó ta có:

a y az 
2

x

ax

2

2

x

 x  y  y  z  z  x  z  y 
 x  y  x  z

 x  x  y  . Tương tự:

25