RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH VẬN DỤNG QUY TRÌNH GIẢI BÀI TOÁN CỦA G. POLYA TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC LỚP 10 THPT

UBND TỈNH PHÚ THỌ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

NGUYỄN ĐỨC SÁNG

RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH VẬN DỤNG QUY TRÌNH
GIẢI BÀI TOÁN CỦA G. POLYA TRONG DẠY HỌC
MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC LỚP 10 THPT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
Chuyên ngành: Lí luận và phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 8140111

PHÚ THỌ, 2018


UBND TỈNH PHÚ THỌ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

NGUYỄN ĐỨC SÁNG

RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH VẬN DỤNG QUY TRÌNH
GIẢI BÀI TOÁN CỦA G. POLYA TRONG DẠY HỌC
MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC LỚP 10 THPT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
Chuyên ngành: Lí luận và phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 8140111

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Hoàng Công Kiên

PHÚ THỌ, 2018


i

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết
quả nêu trong luận văn là trung thực và chƣa đƣợc công bố trong các luận văn khác.
Nếu không đúng nhƣ trên, tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về đề tài của mình.
Phú Thọ, tháng .......năm 2018
Tác giả luận văn

Nguyễn Đức Sáng


ii

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Hoàng
Công Kiên, người đã tận tình hướng dẫn và động viên khích lệ em trong suốt
quá trình làm luận văn. Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ
bộ môn PPDH đã truyền thụ cho em những kiến thức quý báu về PPDH môn
toán, em xin cảm ơn Khoa Toán Trường Đại học Hùng Vương đã tạo điều
kiện giúp em nghiên cứu và hoàn thành luận văn Thạc sĩ. Em xin cảm ơn
trường PTDTNT – THPT huyện Mường Chà, trường THPT Mường Chà Điện Biên, bạn bè và gia đình đã động viên, giúp đỡ em trong thời gian học
tập và nghiên cứu.

Phú Thọ, tháng .......năm 2018
Tác giả luận văn

Nguyễn Đức Sáng


iii

MỤC LỤC
PHẦN 1: MỞ ĐẦU ........................................................................................... 1
1.1. Tính cấp thiết của đề tài nghiên cứu .......................................................... 1
1.2. Mục tiêu nghiên cứu................................................................................... 2
1.3. Đối tƣợng nghiên cứu................................................................................. 2
1.4. Phạm vi nghiên cứu .................................................................................... 2
1.5. Giả thuyết khoa học ................................................................................... 3
1.6. Nhiệm vụ nghiên cứu: ................................................................................ 3
1.7. Phƣơng pháp luận và phƣơng pháp nghiên cứu ......................................... 3
1.8. Cấu trúc luận văn ....................................................................................... 4
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ............................................. 5
1.1. Sơ lƣợc lịch sử vấn đề nghiên cứu. ............................................................ 5
1.1.1. Một số công trình trên thế giới nghiên cứu về vấn đề bài tập và giải bài
tập ...................................................................................................................... 5
1.1.2. Một số công trình ở Việt Nam có liên quan đến đề tài nghiên cứu ........ 6
1.2. Bài tập ........................................................................................................ 7
1.2.1. Khái niệm bài tập .................................................................................... 7
1.2.2. Quan hệ giữa bài tập, bài tính, bài toán và vấn đề trong môn toán ........ 8
1.3. Quá trình giải bài tập ................................................................................ 10
1.3.1. Giải bài tập là gì? .................................................................................. 10
1.3.2. Cấu trúc quá trình giải bài tập theo G.Polya ......................................... 11
1.3.3. Vai trò của việc vận dụng quy trình giải bài tập toán của G.Polya. ..... 21
1.4. Chƣơng trình hình học lớp 10 và thực trạng giải bài tập hình học 10 ..... 22
1.4.1. Chƣơng trình hình học lớp 10 ............................................................... 22
1.4.2. Thực trạng giải bài tập hình học của học sinh lớp 10 THPT ................ 23

TIỂU KẾT CHƢƠNG 1.................................................................................. 27


iv

Chƣơng 2. RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH VẬN DỤNG QUY TRÌNH GIẢI
BÀI TẬP CỦA G. POLYA TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ DẠNG TOÁN
HÌNH HỌC 10 THPT ..................................................................................... 30
2.1. Định hƣớng rèn luyện cho học sinh vận dụng quy trình G. Polya vào dạy
học giải tập hình học lớp 10 ............................................................................ 31
2.2. Vận dụng quy trình G. Polya vào dạy học một số dạng toán .................. 32
2.2.1. Tích vô hƣớng của hai vectơ ................................................................. 32
2.2.2. Hệ thức lƣợng trong tam giác. .............................................................. 39
2.2.3 Phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng. ................................................... 43
2.2.4. Ba đƣờng cônic. .................................................................................... 65
TIỂU KẾT CHƢƠNG 2.................................................................................. 69
Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM........................................................ 70
3.1 Mục đích thực nghiệm .............................................................................. 70
3.2. Tổ chức thực nghiệm................................................................................ 70
3.2.1. Nội dung thực nghiệm ........................................................................... 70
3.3.2. Đối tƣợng thực nghiệm ......................................................................... 70
3.3.3. Triển khai thực nghiệm ......................................................................... 70
3.3 Kết quả thực nghiệm ................................................................................. 76
3.3.1. Kiểm tra ................................................................................................. 76
3.3.2. Phân tích đánh giá ................................................................................. 77
TIỂU KẾT CHƢƠNG 3.................................................................................. 80
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 81
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 82
PHỤ LỤC

v

DANH MỤC VIẾT TẮT VÀ GIẢI THÍCH THUẬT NGỮ

VIẾT TẮT

VIẾT ĐẦY ĐỦ

SGK

Sách giáo khoa

THPT

Trung học phổ thông

PTDNT

Phổ thông dân tộc nội trú

(?)

Câu hỏi hoặc câu dẫn dắt của giáo viên

(!)

Câu trả lời mong đợi của học sinh

vi

DANH MỤC BẢNG
Bảng 1. Vị trí khó khăn của ba phân môn: Hàm số - Hình học – Phƣơng trình.
......................................................................................................................... 24
Bảng 2. Mức độ khó khăn giữa học lý thuyết và giải bài tập hình 10. ........... 25
Bảng 3. Mức độ khó khăn của bài tập hình học trong chƣơng trình lớp 10 ... 25
Bảng 4. Kết quả học tập các phân môn toán của học sinh .............................. 26
Bảng 5. Những bƣớc thƣờng gặp sai lầm khi giải toán hình học 10 THPT ... 27


1
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1.1. Tính cấp thiết của đề tài nghiên cứu
Nhiệm vụ dạy học của nhà trƣờng phổ thông là trang bị cho học sinh hệ thống
những tri thức khoa học cơ bản, hiện đại, hình thành và rèn luyện những kỹ năng vận
dụng tri thức trong những tình huống, hoàn cảnh tƣơng ứng.
Việc đổi mới giáo dục trung học dựa trên những đƣờng lối, quan điểm chỉ đạo
giáo dục của nhà nƣớc, đó là những định hƣớng quan trọng về chính sách và quan điểm
trong việc phát triển và đổi mới giáo dục trung học. Việc đổi mới phƣơng pháp dạy học,
kiểm tra đánh giá cần phù hợp với những định hƣớng đổi mới chung của chƣơng trình
giáo dục trung học. Luật Giáo dục số 38/2005/QH11, Điều 28 qui định: "Phƣơng pháp
giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của HS; phù
hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dƣỡng phƣơng pháp tự học, khả năng
làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến
tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho HS".
Giải bài tập là một trong những tình huống dạy học điển hình. Nhờ quá trình này,
ngƣời học hiểu đƣợc bản chất của kiến thức, có khả năng vận dụng linh hoạt tri thức và
phƣơng pháp đã học, qua đó phát triển năng lực tƣ duy. Chỉ có thông qua các bài tập ở
hình thức này hay hình thức khác, mới tạo điều kiện cho học sinh vận dụng linh hoạt

những kiến thức đã học để giải quyết thành công những tình huống cụ thể khác nhau và
những kiến thức đó mới trở nên sâu sắc, trở thành vốn riêng của học sinh.
Tuy nhiên hiện nay việc dạy học ở các nhà trƣờng phổ thông còn có thực trạng:
Thầy nặng về thuyết trình nhồi nhét các kiến thức có sẵn, trò thụ động trong việc tiếp thu,
nặng về học thuộc, yếu về tƣ duy sáng tạo. Đặc biệt đối với môn toán, thầy còn đƣa ra
các bài mẫu yêu cầu học sinh học thuộc và áp dụng một cách máy móc khi giải các bài
tập tƣơng tự.
Yêu cầu phát triển của đất nƣớc trong thời kì mới đòi hỏi các nhà trƣờng phải đào
tạo đƣợc những con ngƣời có kiến thức, có năng lực tƣ duy, hoạt động một cách tự giác,
tích cực chủ động và sáng tạo. Để đạt đƣợc mục tiêu trên, cần đổi mới mạnh mẽ phƣơng


2
pháp giáo dục nói chung và phƣơng pháp giảng dạy từng bộ môn nói riêng. Trong dạy
học môn toán, nói riêng là dạy học hình học lớp 10, bản thân nội dung môn học có vị trí
quan trọng trong môn toán phổ thông. Nó xuất hiện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi,
cũng nhƣ các kì thi THPT Quốc gia. Bởi vậy, quá trình dạy học giải bài tập nếu có
phƣơng pháp tốt sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho việc rèn luyện, phát triển tƣ duy và phẩm
chất, nhân cách ở ngƣời học.
Đứng trƣớc một bài tập về hình học lớp 10, học sinh phải làm việc gì đầu tiên,
ngƣời thầy phải hƣớng dẫn trò nhƣ thế nào để phá vỡ những bế tắc, tìm ra đƣợc hƣớng đi
đúng đắn, để dẫn trò từ tình huống lạ về con đƣờng quen thuộc - từ đó tìm ra lời giải của
bài toán, giúp học sinh hứng thú trong việc học toán. Việc hƣớng dẫn học sinh tìm hiểu,
xác định và vận dụng một số quy trình khi giải các dạng bài tập hình học lớp 10 còn góp
phần hình thành và phát triển tƣ duy thuật toán cho các em.
G. Polya là một nhà sƣ phạm toán lỗi lạc, có nhiều đóng góp to lớn trong lĩnh
vực lý luận dạy học môn toán, đặc biệt là những công trình nghiên cứu về dạy học giải
bài tập toán. Tƣ tƣởng sƣ phạm của ông đã đƣợc nhiều nhà nghiên cứu, giáo viên và học
sinh quan tâm tìm hiểu và vận dụng vào thực tiễn dạy học toán. Tuy nhiên chƣa có công
trình nào tìm hiểu về việc vận dụng quy trình giải bài toán của G. Pôlya vào dạy học giải

bài tập hình học lớp 10 THPT.
Xuất phát từ những lý do trên đề tài đƣợc chọn là: “Rèn luyện cho học sinh vận
dụng quy trình giải bài toán của G. Polya trong dạy học một số dạng toán hình học
lớp 10 THPT” làm đề tài nghiên cứu.
1.2. Mục tiêu nghiên cứu
Đề xuất những hƣớng dẫn để rèn luyện cho học sinh vận dụng quy trình giải bài
toán của G. Polya trong dạy học giải một số dạng toán hình học lớp 10 THPT.
1.3. Đối tƣợng nghiên cứu
Quá trình dạy học giải bài toán theo quy trình giải bài toán của G. Polya trong dạy
học một số dạng toán hình học lớp 10 THPT.
1.4. Phạm vi nghiên cứu


3

Vận dụng quy trình giải bài toán của G. Polya trong dạy học một số dạng toán
hình học lớp 10 THPT.
Bài tập toán hình học lớp 10 THPT.
1.5. Giả thuyết khoa học
Nếu rèn luyện cho học sinh vận dụng quy trình giải bài toán của G. Polya trong
dạy học một số dạng toán hình học lớp 10 THPT thì sẽ nâng cao chất lƣợng dạy học giải
bài tập hình học lớp 10 THPT
1.6. Nhiệm vụ nghiên cứu:
1.6.1. Phân tích quy trình giải bài toán của G.Polya và việc vận dụng trong dạy
học toán.
1.6.2. Nghiên cứu thực trạng dạy học giải bài tập hình học lớp 10 THPT và khả
năng vận dụng quy trình của G.Polya.
1.6.3. Vận dụng quy trình của G.Polya vào dạy học một số dạng toán hình học
lớp 10 THPT.
1.6.4. Thực nghiệm sư phạm.

1.7. Phƣơng pháp luận và phƣơng pháp nghiên cứu
Trong quá trình nghiên cứu đề tài luận văn, các phƣơng pháp sau đây đã đƣợc vận
dụng:
1.7.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận
Nghiên cứu những tài liệu về lý luận dạy học môn toán ở trƣờng phổ thông.
Nghiên cứu những tài liệu có liên quan đến việc tìm lời giải các bài tập toán học,
đặc biệt là công trình của G.Polya.
Nghiên cứu chƣơng trình và sách giáo khoa toán ở trƣờng phổ thông trung học,
các sách toán sơ cấp, các tài liệu tham khảo.
1.7.2. Phương pháp quan sát điều tra
Quan sát giờ học, giờ kiểm tra nhằm tìm hiểu thực tiễn dạy tìm lời giải bài tập
toán của giáo viên và việc tìm lời giải bài tập toán của học sinh nhằm phát hiện vấn đề
nghiên cứu.


4
Điều tra, xử lý các số liệu điều tra.
1.7.3. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
Tổng kết những kinh nghiệm rút ra từ thực tế giảng dạy của tác giả và đồng
nghiệp.
1.7.4. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
Thực nghiệm sƣ phạm để xem xét tính khả thi và tính thực tiễn của phƣơng án vận
dụng quy trình giải bài toán của G.Polya trong dạy học giải bài tập hình học lớp 10
THPT.
Đối tƣợng thực nghiệm: Học sinh thực nghiệm (chọn ngẫu nhiên lớp 10 nào đó
trong trƣờng thực nghiệm).
1.7.5. Phương pháp thống kê toán học:
1.8. Cấu trúc luận văn
Mở đầu
Chƣơng 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chƣơng 2. Vận dụng quy trình giải bài toán của G.Polya để dạy học một số dạng toán
hình học 10 THPT.
Chƣơng 3. Thực nghiệm sƣ phạm
Kết luận
Tài liệu tham khảo
Phục lục.


5

Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Sơ lƣợc lịch sử vấn đề nghiên cứu.
Do tính chất của đề tài nghiên cứu, tham khảo một số công trình có liên quan
chúng tôi quan tâm tới các thành tựu cơ bản sau đây:
1.1.1. Một số công trình trên thế giới nghiên cứu về vấn đề bài tập và giải bài tập
Nghiên cứu những vấn đề có tính chất lý luận và thực tiễn về bản chất, cấu trúc bài
tập và quy trình giải bài tập trên nhiều phƣơng tiện khoa học khác nhau nhƣ:
+ Khái niệm bài tập là gì ( UP.Reyman, A.Ph.Exaulôv, G.A.Ball, A.N.Leonchiev,
A.Niuell,…).
+ Bản chất cấu trúc và quy trình giải bài tập nói chung (G.Polya, L.M.Phritman,
A.M.Machiuskin, I.laLecne...).
Nghiên cứu quá trình giải bài tập dƣới góc độ nhƣ là phƣơng tiện để xác định cấu
trúc và quy luật hoạt động tƣ duy của con ngƣời.
Trong lịch sử tâm lý học với các đại diện nhƣ O. Đenxo, Quynpe... của trƣờng
phái Vutxbua (Đức) lần đầu tiên xem quá trình giải bài tập nhƣ là tính đặc thù của tƣ
duy. O. Đenxo trong tác phẩm “Lý thuyết thao tác trí tuệ” đã đề cập đến tính nguyên
nhân, tính điều kiện và tính kiểm tra của bài tập trong quá trình tƣ duy. Tuy nhiên, mối
quan hệ giữa bài tập và tƣ duy, theo ông chỉ có tính chất bề ngoài, bản thân nội dung của
bài tập không đƣợc đƣa vào quá trình tƣ duy. Nó chỉ đƣợc xem nhƣ một yếu tố đóng vai
trò của cơ chế khởi động ([22], tr.271).

Dựa vào nguyên tắc cấu trúc, các nhà tâm lý học Ghestal (C.Côpca, V. Kôle,
M.Vêchgeyme, Dunker...) cho rằng giải bài tập là đặc điểm của tƣ duy sáng tạo, là bƣớc
chuyển từ cấu trúc “xấu” sang một cấu trúc “tốt”. Việc so sánh giữa cái đã cho và cái
cần tìm, giữa các điều kiện và yêu cầu của bài tập đƣợc họ coi nhƣ mối tƣơng quan lẫn
nhau (Dunker), giữa bản thân các điều kiện với yêu cầu của bài tập do tính cơ động của
tình huống tạo ra, bỏ qua hoạt động tạo ra mối tƣơng quan đó của chủ thể đang tƣ duy.


6
Các nhà tâm lý học hành vi mà đại diện là Manxman nghiên cứu quá trình giải bài
tập dựa trên nguyên tắc “thử và sai”. Họ đã di chuyển từ nghiên cứu hành vi động vật
sang nghiên cứu tƣ duy con ngƣời. Và cho rằng quá trình tìm tòi lời giải bài tập nhƣ sự
lựa chọn dần các kỹ năng và coi trọng việc hình thành các kinh nghiệm quá khứ là tập
hợp các thao tác để nghiên cứu bất kỳ tình huống nào.
Thực nghiệm của P.M.Ecđơnhiev, V.Zanbôttin, Đ.Turrôpxkai cho thấy việc sử
dụng các bài tập đặc biệt (bài tập đảo ngƣợc, bài tập chứa thông tin bất ngờ, bài toán
mẹo...) đã nâng cao tính tích cực trí tuệ, giúp học sinh lĩnh hội sâu sắc các quy tắc đang
nghiên cứu đồng thời phát triển năng lực đặt vấn đề một cách logic.
Nghiên cứu khá sâu sắc sự phát triển của tƣ duy - một hoạt động tâm lý phức tạp
của học sinh ở các lứa tuổi đầu, giữa và cuối tuổi học, M.N.Sacđacôp đã tổng hợp lại sự
nghiên cứu của nhiều công trình tâm lý học về quá trình tƣ duy do các tác giả Xô Viết
cũng nhƣ các học giả, những ngƣời dạy giáo học pháp nghiên cứu thông qua quá trình
giải bài tập dƣới nhiều hình thức khác nhau.
M.F. Morozop - “Những câu hỏi của giáo viên là phƣơng tiện phát triển tính tích
cực hoạt động tƣ duy của học sinh trên lớp” – (Giáo dục học Xô Viết) số 5-1957. Ông
cho rằng tính tích cực tƣ duy khi học lịch sử của học sinh phụ thuộc rất nhiều vào cách
xây dựng câu hỏi theo những kiểu khác nhau của giáo viên.
Các công trình nghiên cứu của G.Pôlya, nhà sƣ phạm nổi tiếng Mỹ, dù chƣa đi sâu
nghiên cứu chuyên biệt về quá trình giải bài tập hình học nhƣng nghiên cứu của ông đã
đề cập đến khá nhiều lĩnh vực của quá trình giải bài toán. Với sự hiểu biết uyên bác kết

hợp với những kinh nghiệm dạy và nghiên cứu của bản thân, G.Pôlya đã phân tích một
cách sinh động quá trình sáng tạo toán học qua việc giải toán ở nhiều trình độ khác nhau
qua đó đƣa tới bạn đọc những lời khuyên bổ ích cho quá trình dạy và học toán.
1.1.2. Một số công trình ở Việt Nam có liên quan đến đề tài nghiên cứu
Vấn đề bài tập và giải bài tập đƣợc các tác giả tập trung xu hƣớng cơ bản sau:


7
Xem xét bài tập và giải bài tập dƣới góc độ của phƣơng pháp giải toán, của việc
dạy học giải toán, tiêu biểu nhƣ trong các công trình của Hoàng Chúng, Nguyễn Bá Kim,
Nguyễn Thái Hoè, Tôn Thân, Trần Thúc Trình, Thái Sính...
Nhìn chung, các tác giả đều xem xét bài toán cũng nhƣ quá trình giải bài toán trên
cơ sở lý luận của G.Pôlya. Trong đó, đặc biệt chú trọng đến việc hình thành từng bƣớc ở
học sinh phƣơng pháp chung để giải một bài toán: Tìm hiểu đề toán, xây dựng chương
trình giải bài toán, thực hiện chương trình giải bài toán, nghiên cứu và kiểm tra kết quả
bài toán.
Nhƣ vậy, trên bình diện lý luận, các vấn đề cơ bản có liên quan đến đề tài nghiên
cứu: bài tập, quá trình giải bài tập đã đƣợc nghiên cứu tƣơng đối sâu sắc. Đây là những tƣ
liệu quý báu, đặt nền tảng cơ sở lý luận cho việc nghiên cứu thực tiễn sau này. Tuy nhiên
việc triển khai hệ thống lý luận vào thực tiễn còn gặp nhiều khó khăn và hiệu quả chƣa
cao. Điều đó gây những khó khăn trở ngại ảnh hƣởng không nhỏ tới quá trình giải bài tập
ở những dạng khác nhau của học sinh. Việc nghiên cứu chủ yếu nhằm cụ thể hoá việc
rèn luyện cho học sinh vận dụng quy trình giải bài toán của G. Polya trong dạy học
một số dạng toán hình học lớp 10 THPT góp phần nâng cao chất lƣợng dạy và học
toán nói chung và phân môn hình học nói riêng.
1.2. Bài tập
1.2.1. Khái niệm bài tập
Khái niệm bài tập thông thƣờng đƣợc mô tả theo xu hƣớng sau đây:
Theo lý thuyết thông tin, bài tập đƣợc hiểu nhƣ là hệ nhất định các quá trình thông
tin trong đó có sự mâu thuẫn và sự tƣơng quan không phù hợp giữa các quá trình này tạo

ra nhu cầu cần phải biến đổi chúng.
Bài tập và tình huống có vấn đề.
Nhiều tác giả cho rằng bài tập đƣợc xem nhƣ tình huống có vấn đề trong đó chủ
thể cần phải hành động (G.A.Ball, A.N.Leeonchiev, Ia.A.Pônômarec, C.A.Xlapxkaia...).
Theo họ thiếu chủ thể thì không có bài tập và cùng một đối tƣợng, một tình huống có thể


8
là bài tập của chủ thể này nhƣng không phải là bài tập với chủ thể khác. Vì vậy nghiên
cứu đối tƣợng bài tập phải gắn liền với hoạt động của chủ thể.
Trong lĩnh vực toán học, khái niệm bài tập đƣợc phân tích dựa vào các yếu tố liên
quan trực tiếp đến hành vi giải quyết của học sinh.
G.Polya cho rằng: “Bài tập đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có ý thức
phƣơng tiện thích hợp để đạt tới một mục đích rõ ràng, nhƣng không thể đạt đƣợc ngay”
([19], tr.169). Ông chỉ rõ các thành phần cấu tạo của bài toán: “Trong bất cứ bài toán nào
cũng có ẩn - nếu tất cả đều đã biết rồi thì không còn phải tìm gì nữa... Trong mỗi bài toán
lại còn phải có một điều gì đó đã biết, hoặc đã cho (dữ kiện) - nếu không cho trƣớc cái gì
cả thì không có một khả năng nào để nhận ra cái cần tìm, cho dù nó có ở ngay trƣớc mắt
ta thì ta cũng không thể nhận ra đƣợc... Sau cùng, trong bất kỳ bài toán nào cũng phải có
điều kiện để cụ thể hoá mối quan hệ giữa ẩn và các dữ kiện... Điều kiện là yếu tố căn bản
của bài toán” ([19], tr.19).
Việc phân tích các quan niệm trên về bài tập cho thấy tuy có điều khác nhau do
cách tiếp cận khác nhau song giữa chúng có những điểm thống nhất cơ bản. Theo chúng
tôi, bài tập là một tình huống có vấn đề có tính xác định cao đƣợc hình thành từ tình
huống này trong hoàn cảnh cụ thể (nhƣng không phải mọi tình huống có vấn đề đều trở
thành bài tập). Cấu trúc của một bài tập nói chung bao giờ cũng chứa đựng các yếu tố xác
định: Dữ kiện (cái đã cho, đã biết) - Ẩn số (cái phải tìm) - Điều kiện (mối quan hệ giữa
ẩn và dữ kiện). Với tƣ cách là một tình huống tâm lý, bài tập đòi hỏi chủ thể phải có hành
động phù hợp để giải quyết tốt nhiệm vụ do bài tập đƣa ra qua đó phát triển những cấu
tạo tâm lý mới ở bản thân chủ thể.

1.2.2. Quan hệ giữa bài tập, bài tính, bài toán và vấn đề trong môn toán
Về mặt ngôn ngữ, trong Tiếng Việt có ba thuật ngữ gần với nhau: bài tập, bài toán
và bài tính. “Bài tập là bài ra cho học sinh làm để tập vận dụng những điều đã học... bài
toán là vấn đề cần giải quyết bằng phƣơng pháp khoa học, chẳng hạn... Bài toán số học...
còn bài tính là bài toán chỉ đòi hỏi thực hiện một số phép tính. ([23], tr.25).


9
Với cách hiểu trên rõ ràng ba thuật ngữ này đã có nội hàm rộng hẹp khác nhau.
Bài tập có phạm vi rất rộng liên quan đến mọi hoạt động cá nhân con ngƣời (bài tập toán,
bài tập thể dục, bài tập lao động...). Trái lại, bài toán và bài tính chủ yếu đƣợc sử dụng
trong những tình huống xác định thực hiện theo một quy trình bằng những phƣơng pháp
nhất định. Do vậy, chúng có nội hàm hẹp hơn nhƣng mang yếu tố nhận thức rõ rệt.
Theo Nguyễn Bá Kim trong ([8]), khái niệm vấn đề và một số khái niệm có liên
quan có thể đƣợc xây dựng bắt đầu từ khái niệm hệ thống theo sơ đồ dƣới đây:
Hệ thống  Tình huống  Tình huống bài toán  Bài toán  Vấn đề
Hệ thống đƣợc hiểu là một tập hợp những phần tử cùng với những quan hệ giữa
những phần tử của tập hợp đó.
Một tình huống đƣợc hiểu là một hệ thống phức tạp gồm chủ thể và khách thể,
trong đó chủ thể có thể là người, còn khách thể lại là một hệ thống nào đó.
Nếu trong một tình huống, chủ thể còn chƣa biết ít nhất một phần tử của khách thể thì
tình huống này đƣợc gọi là một tình huống bài toán đối với chủ thể.
Trong một tình huống bài toán, nếu trƣớc chủ thể đặt ra mục tiêu tìm phần tử chƣa biết
nào đó dựa vào một số những phần tử cho trƣớc ở trong khách thể thì ta có một bài toán.
Một bài toán đƣợc gọi là vấn đề nếu chủ thể chƣa biết một thuật giải nào để tìm ra
phần tử chƣa biết của bài toán.
Cách tiếp cận nhƣ vậy đã làm rõ đƣợc một số hàm ý của khái niệm vấn đề:


Không đồng nhất "vấn đề" với "bài toán". Những bài toán nếu chỉ yêu cầu học

sinh đơn thuần trực tiếp áp dụng một thuật giải, chẳng hạn giải một phƣơng trình bậc hai
dựa vào các công thức đã học, thì không phải là những vấn đề.


Phân biệt khái niệm vấn đề trong giáo dục với vấn đề trong nghiên cứu khoa

học. Sự khác nhau là ở chỗ đối với vấn đề trong nghiên cứu khoa học, việc “chƣa biết
một số phần tử” và “chƣa biết thuật giải để tìm một phần tử chƣa biết” là mang tính
khách quan chứ không phụ thuộc chủ thể, tức là nhân loại chƣa biết chứ không phải chỉ
là một học sinh nào đó chƣa biết.
Từ những quan niệm nhƣ trên, trong đề tài nghiên cứu của mình, để cho đơn giản


10
và thống nhất, chúng tôi xem xét “bài tập” và “bài toán” với tƣ cách là bài tập toán học.
1.3. Quá trình giải bài tập
1.3.1. Giải bài tập là gì?
Vấn đề giải bài tập đƣợc tiến hành nghiên cứu hai hƣớng cơ bản sau:
- Một là, thông qua nghiên cứu việc giải bài tập để xác định cấu trúc quy luật hoạt
động tƣ duy của con ngƣời. X.L.Rubinstêin cho rằng thực chất cơ chế của giải bài tập là
quá trình tƣ duy. Giải bài tập là quá trình phân tích thông qua tổng hợp nghĩa là quá trình
liên tục phân tích điều kiện và yêu cầu của bài tập nhờ đối chiếu chúng với nhau để tìm
ra cách giải. Đây chính là sơ đồ chung, tổng quát nhất để giải toán của X.L.Rubinstêin.
Sơ đồ này chỉ ra rằng “lời giải là quá trình phân tích và tổng hợp trong mối liên hệ và phụ
thuộc lẫn nhau” ([23], tr. 293) Và nó đã đƣợc ông sử dụng nhƣ một tƣ tƣởng chủ đạo
xuyên suốt nội dung khi ông lý giải các vấn đề từ việc tiếp nhận bài tập, biến đổi tìm
kiếm cách giải.
- Hai là, nghiên cứu việc giải bài tập nhƣ một dạng hoạt động học của học sinh.
Phải kể đến công trình nghiên cứu của L.M.Phritman và G.Polya. Nhìn từ góc độ tâm lý

học sƣ phạm trong một phạm vi hẹp (nghiên cứu việc giải bài tập toán), L.M.Phritman
cho rằng: Giải bài tập toán, điều đó có nghĩa là tìm kiếm sự hợp lý (hợp logic) của các
luận điểm (quy tắc) chung của toán học (định nghĩa, định lý, lý thuyết, quy tắc, định luật,
công thức) mà khi vận dụng chúng vào các điều kiện của bài tập hay các kết quả trung
gian của nó, ta thu đƣợc cái mà bài tập yêu cầu - lời giải của bài tập ([17], tr. 22).
G.Polya trong nhiều tác phẩm cuả mình: Giải bài toán nhƣ thế nào; Toán học và
những suy luận có lý; Sáng tạo toán học... tuy ông không đƣa ra một định nghĩa chính
xác về giải bài tập nhƣng rải rác trong các tác phẩm này ông có nêu khá nhiều ý kiến.
Theo ông, giải bài toán là sự “ tìm kiếm một cách ý thức phƣơng tiện thích hợp để đạt tới
một mục đích trông thấy rõ ràng nhƣng không thể đạt đƣợc ngay” ([19], tr. 169).
Rõ ràng quan điểm của L.M.Phritman và G.Polya có những điểm tƣơng đồng. Đó
là việc xem giải bài tập nhƣ là sự tìm kiếm một phƣơng pháp thích hợp để đạt đƣợc kết
quả. “Phƣơng tiện thích hợp” của hai ông trên phƣơng diện toán học chính là các điều


11
kiện của đầu bài đƣợc sử dụng biến đổi sao cho phù hợp với quy luật logic để tìm đến kết
quả. Quá trình ấy có thể có đƣợc trong hoạt động học tập của học sinh. Các thuật ngữ
G.Polya sử dụng đã phản ánh sâu sắc các thao tác tƣ duy sử dụng trong quá trình giải bài
toán làm nổi bật hoạt động trí tuệ trong quá trình này.
1.3.2. Cấu trúc quá trình giải bài tập theo G.Polya
G.Polya và L.M.Phritman cho rằng nhất thiết phải có sự phân biệt cách sử dụng
thuật ngữ giải bài tập. Nói chung trong nhiều trƣờng hợp, giải bài tập đƣợc hiểu nhƣ một
quá trình đƣợc bắt đầu từ khi tiếp nhận bài tập đến khi hoàn thành trọn vẹn lời giải. Tuy
nhiên, giải bài tập cũng có sự hiểu nhƣ là việc trình bày (ghi chép) lại quá trình thực hiện
kế hoạch theo một số bƣớc nào đó. Trong nội dung này, chúng tôi sử dụng thuật ngữ theo
nghĩa thứ nhất làm công cụ.
Theo cách phân chia các giai đoạn của quá trình giải bài tập của L.M.Phritman,
giải bài tập là một quá trình bao gồm bốn bƣớc (tài liệu trƣớc 1977).
1)

Phân tích bài tập (hay hiểu cách đặt bài toán - G.Pôlya).

2)

Tìm kiếm kế hoạch giải bài tập hay vạch ra một chiến lƣợc giải.

3)

Thực hiện kế hoạch giải và chứng minh rằng kết quả nhận đƣợc thoả mãn yêu cầu

bài tập hay thực hiện chƣơng trình và thử lại từng bƣớc của chƣơng trình.
4)

Kiểm tra cách giải hay nhìn lại cách giải.
i)

Về cơ bản cách phân loại của G.Polya giống L.M.Phritman. Sau này

L.M.Phritman có thay đổi cách phân chia trên một cách tỉ mỉ hơn bao gồm tám bƣớc
trong đó năm bƣớc là bắt buộc (1,3,4,5,7).
(1)

Phân tích bài tập.

(5) Kiểm tra cách giải

(2) Ghi chép bài tập dƣới dạng sơ đồ (6) Nghiên cứu khảo sát bài tập.
(tóm tắt, vẽ hình, lập mô hình bài tập).
(3) Tìm kiếm cách giải.

(7) Trình bày đáp số.
(8) Phân tích kết luận bài giải

(4) Thực hiện cách giải
Với đề tài nghiên cứu thấy rằng cách phân chia theo bốn bƣớc là hợp lý hơn. Sau
đây ta đi sâu vào từng bƣớc giải bài toán cùng với bảng gợi ý của G.Polya.


12
 Bƣớc 1. Tìm hiểu nội dung bài tập toán
Bƣớc này bắt đầu từ sự làm quen với bài tập. Thực chất đó việc xác định đối tƣợng
của bài tập, làm rõ thành phần cũng nhƣ tính chất của mỗi yếu tố: Đâu là ẩn, đâu là dữ
kiện và mối quan hệ của chúng (điều kiện của bài tập). Trong trƣờng hợp bài tập có
nhiều ẩn, dữ kiện và điều kiện thì phải phân chia chúng thành các phần cơ bản riêng biệt.
Nghĩa là tách những ẩn, dữ kiện và điều kiện thành nhiều nhóm khác nhau phục vụ cho
mục đích giải. Bởi nếu không có động tác này các yếu tố trên sẽ lẫn lộn với nhau và
ngƣời giải khó có thể phân biệt và xác định hƣớng đi cho mình. Bên cạnh đó việc xem
xét bài toán có nghĩa hay không cũng là điều cần thiết. Đặc biệt đối với những bài toán
có tính chất khoa học và các bài toán mẹo. Chẳng hạn với những bài toán mẹo thƣờng là
bài toán với các điều kiện khiến cho việc phân tích đi chệch hƣớng, dẫn đến chỗ giải sai.
Thông thƣờng việc xem xét đó để dẫn đến việc thiết lập kế hoạch giải. Khi ngƣời giải
phân tích các yếu tố của bài tập và không phát hiện đƣợc mối liên hệ giữa chúng hoặc rơi
vào tình trạng bế tắc thì không tìm ra cách giải. Bài toán lấy sáu que diêm bằng nhau xếp
thành bốn hình tam giác đều là một ví dụ. Yếu tố tam giác là một hình phẳng đã đẩy
ngƣời giải đến chỗ đi tìm lời giải trong mặt phẳng là bế tắc. Và buộc họ phải quay trở lại
giai đoạn ban đầu phân tích các điều kiện để xác định kế hoạch dựng hình trong không
gian. Bƣớc tìm hiểu nội dung bài tập đƣợc tiến hành trong đầu ngƣời giải thông qua việc
xem xét bài tập nhiều lần và các thành phần của bài tập đƣợc ghi lại dƣới dạng ký hiệu
toán học (hình vẽ, sơ đồ, biểu đồ...) làm cho bài toán trở nên tƣờng minh, là cơ sở cho

các bƣớc phân tích tiếp theo. Để thực hiện tốt đƣợc bƣớc này nhất thiết ta phải sử dụng
bảng gợi ý của Polya.
Đâu là ẩn? Đâu là dữ kiện? Có thể thoả mãn đƣợc điều kiện hay không? Điều kiện
có đủ để xác định đƣợc ẩn không? Hay chƣa đủ? Hay thừa? Hay có mâu thuẫn?
Vẽ hình. Sử dụng một ký hiệu thích hợp.
Phân biệt các phần khác nhau của điều kiện. Có thể diễn tả các điều kiện đó thành
công thức không? ([17], tr. 224). Chúng ta minh hoạ một số điểm nói trên bằng một ví
dụ.


13
Ví dụ. Cho hình vuông ABCD và nửa đƣờng tròn đƣờng kính AD và vẽ cung
AC , tâm là D . Nối D với P là điểm bất kì trên cung AC , DP cắt nửa đƣờng tròn

đƣờng kính AD tại K . Chứng minh PK bằng khoảng cách từ P đến AB .
A

B

P

K
D

C
Hình 1

Cuộc đối thoại giữa thầy giáo và học sinh có thể bắt đầu nhƣ sau:
(?) Bài toán yêu cầu gì?
(!) Chứng minh PK bằng khoảng cách từ P đến AB .

(?) Bài toán cho biết gì?
(!) Cho hình vuông ABCD và nửa đƣờng tròn đƣờng kính AD và vẽ cung AC , tâm là
D . Nối D với P là điểm bất kì trên cung AC , DP cắt nửa đƣờng tròn đƣờng kính
AD tại K .

(?) Hãy vẽ hình đi.
 Bƣớc 2. Xây dựng chƣơng trình giải bài tập toán.
Đây là giai đoạn quan trọng nhất của quá trình giải toán. Nó phản ánh sự thông
hiểu, sự sáng tạo của ngƣời thiết lập xây dựng kế hoạch giải. Ngƣời giải chỉ có thể lập
đƣợc kế hoạch giải khi chủ thể có đƣợc ý nghĩ, tƣ tƣởng về con đƣờng cũng nhƣ khả
năng đạt đến mục đích của bài tập. Từ chỗ hiểu bài toán đến lúc vạch ra đƣợc kế hoạch
giải là cả một chặng đƣờng quanh co, phức tạp. Bởi chủ thể phải tiến hành một quá trình
tƣ duy tích cực và huy động tối đa vốn kiến thức kinh nghiệm đã đƣợc tích luỹ.
Theo Lanđa, những kiến thức đó có thể chia làm hai loại:
- Những kiến thức mà ngƣời giải toán thu nhận trực tiếp từ điều kiện của bài toán
khi đọc kỹ đầu bài.


14
- Những kiến thức nằm trong kinh nghiệm của ngƣời giải.
Dễ dàng nhận thấy những kiến thức này là một cầu nối hết sức quan trọng giúp
ngƣời giải đi từ điều kiện đến kết luận của bài toán. Nghĩa là từ các dữ kiện, điều kiện
cùng với vốn tri thức đƣợc huy động giúp ngƣời giải gắn kết chúng lại với nhau để nhìn
thấy mối liên hệ giữa ẩn, dữ kiện, điều kiện để đi đến kết quả của bài toán.
Vấn đề là những kiến thức, kinh nghiệm đã có đƣợc xuất hiện theo cơ chế nào, có
phải hoàn toàn quy về trí nhớ hay không?
Theo X.L.Rubinstêin, vốn kinh nghiệm cũ (bao gồm các tri thức, khái niệm, cũng
nhƣ cách giải các bài tập khác) chỉ quy định khả năng giải bài tập, còn việc phân tích bài
tập sẽ quy định việc vận dụng chính những định lý, tri thức này vào quá trình giải. Tất
nhiên việc nhớ lại định lý, tri thức... nào đó tùy thuộc vào chỗ trong quá trình phân tích

thông qua tổng hợp, các yếu tố cơ bản của bài toán xuất hiện trong những thuộc tính nào
trong những chất lƣợng nào và theo đó trong những đặc tính có tính khái niệm nào ([22],
tr. 319). Có thể coi sản phẩm của quá trình tổng hợp đầu tiên ấy là những hình ảnh tổng
hợp sơ bộ ban đầu. Nhƣ vậy, rõ ràng có mối liên hệ giữa cái bên ngoài và cái bên trong
của quá trình tƣ duy, quá trình giải bài tập nhƣ X.L.Rubinstêin khẳng định.
“Thử và sai” đây là những khái niệm chủ nghĩa hành vi hay dùng. Tuy nhiên, khái
niệm này đƣợc dùng ở đây không phải với nghĩa là những “phản ứng loạn xạ”, vô hƣớng,
ngẫu nhiên mà nó đƣợc xem xét nhƣ những “dạng ban đầu của phân tích tổng hợp” ([22],
tr. 310). Chẳng hạn khi giải toán hình học, học sinh vẽ thử trên hình thêm một đƣờng
nào đó và lấy nó thay tình huống có vấn đề, nhờ vậy sẽ tạo nên những yếu tố và những
mối liên hệ mới trong bài toán giúp ngƣời giải phát hiện vấn đề. Phép thử và sai không
trực tiếp tìm ra lời giải của bài toán nhƣng nó có thể dẫn ngƣời giải đến việc phân tích
tình huống có vấn đề, nảy sinh câu hỏi vì sao không giải đƣợc cũng nhƣ việc phát hiện
nguyên nhân thất bại. Vì vậy khi thất bại, phép thử lại đƣợc tiến hành để đối chiếu với
điều kiện mà động tác tổng hợp đó phân tích đƣợc. Sự phân tích này phát hiện ra các điều
kiện chƣa đƣợc tính đến lúc đầu.


15
Đôi khi sự bế tắc trong lời giải lại đƣa đến một ý tƣởng đột ngột và bất ngờ làm
thay đổi cả hƣớng phân tích, bài toán trở nên sáng tỏ, rõ ràng và tƣờng minh. Chính sự
xuất hiện bất ngờ của ý hay theo G.Polya là “ánh sáng bừng lên bất thình lình, chiếu rọi
vào những chi tiết trƣớc đó tƣởng chừng nhƣ mơ hồ, tản mác, lộn xộn, không tài nào nắm
đƣợc, khiến chúng trở nên sáng tỏ, có trật tự, mạch lạc và hợp lý hơn” ([19], tr.294). Và
bài toán trở nên dễ dàng. Tóm lại giai đoạn thiết lập chƣơng trình, kế hoạch, chiến lƣợc
giải là giai đoạn quan trọng nhất, huy động tối đa tính tích cực hoạt động trí tuệ của cá
nhân. Phân tích thông qua tổng hợp giúp ngƣời giải động viên, huy động, tổ chức kiến
thức kết hợp với thử và sai để dự đoán phƣơng hƣớng giải và xây dựng tƣ tƣởng chỉ đạo
cho quá trình giải bài tập. Sau đây là bảng gợi ý của Pôlya trong bƣớc này.
- Xây dựng một chương trình.

Bạn đã gặp bài toán này lần nào chƣa? hay đã gặp ở một dạng hơi khác?
Bạn có biết một bài toán nào có liên quan không? Một định lý có thể dùng đƣợc
không?
Xét kỹ cái chƣa biết (ẩn), và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay
có ẩn tƣơng tự.
Đây là một bài toán có liên quan mà bạn đã có lần giải rồi. Có thể sử dụng nó
không? Có thể sử dụng kết quả của nó không? Hay sử dụng phƣơng pháp? Có cần phải
đƣa thêm một yếu tố phụ thì mới sử dụng đƣợc nó không?
Có thể phát biểu bài toán một cách khác không? Một cách khác nữa? Quay về các
định nghĩa.
Nếu bạn chƣa giải đƣợc bài toán đã đề ra, thì hãy thử giải một bài toán có liên
quan. Bạn có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan mà dễ hơn không? Một bài toán tổng
quát hơn? Một trƣờng hợp riêng? Một bài toán tƣơng tự? Bạn có thể giải một phần bài
toán không? Hãy giữ lại một phần của điều kiện, bỏ qua phần kia.
Khi đó, ẩn đƣợc xác định đến một chừng mực nào đó; nó biến đổi nhƣ thế nào?
Bạn có thể từ các dữ kiện rút ra một yếu tố có ích không? Bạn có thể nghĩ ra những dự


16
kiến khác có thể giúp bạn xác định đƣợc ẩn không? Có thể thay đổi ẩn, hay các dữ kiện,
hay cả hai nếu cần thiết, sao cho ẩn mới và các dữ kiện mới đƣợc gần nhau hơn không?
Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện hay chƣa? Đã sử dụng toàn bộ điều kiện hay chƣa?
Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chƣa? ([17], tr.224-225).
Trở lại ví dụ đã xét ở trên (trang 15 của luận văn ) ta có thể xây dựng bƣớc hai của
ví dụ đó nhƣ sau:
(?) Các em có gặp bài toán nào cũng có kết luận

I

A

B

này không ?
(!) Không.

P

(?) Các em có gặp bài toán nào cũng có kết luận

K

tƣơng tự này không.
(?) Các em có gặp bài toán nào cũng có kết luận

D

C
Hình 2

này không ?
(!) Không.
(?) Các em có gặp bài toán nào cũng có kết luận tƣơng tự này không.
(!) Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau.
(?) Rất đúng. Có cách nào đƣa bài toán đã cho về chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau?
(!) Gắn các tam giác bằng nhau.
(?) Hoàn toàn chính xác. Em hãy tìm các cặp tam giác đó đi.
(!) Ta kẻ PI  AB , khi đó ta sẽ đi chứng minh APK = API .
(?) Bây giờ các em có một cái đích mới là chứng minh hai tam giác APK = API .
(?) Hãy xét kỹ kết luận và thử nghĩ tới một định lý quen thuộc đối với các em có cùng

một kết luận nhƣ vậy hay có một kết luận tƣơng tự.
(!) Hai tam giác bằng nhau thì các góc, các cạnh nào tƣơng ứng bằng nhau.
(?) Các em hãy tìm trên hình vẽ rồi dự đoán cặp góc, cặp cạnh nào bằng nhau để hoàn
thành bài toán này.
(!) Hai tam giác vuông co chung cạnh AP và KPA  API .


17
(?) Tôi nghĩ bây giờ các em đã có một chƣơng trình giải bài toán này rồi đấy.
 Bƣớc 3. Thực hiện chƣơng trình giải bài tập toán
Theo G.Polya, kế hoạch giải thƣờng là những nét tổng quát xuất hiện dƣới dạng
các ý nghĩa, tƣ tƣởng. Do vậy cần phải đƣa vào và hoàn thiện những chi tiết phù hợp với
những nét tổng quát đó. Đấy chính là việc thực hiện chƣơng trình giải ([17], tr.22).
Thực hiện chƣơng trình giải dễ dàng hơn nhiều so với việc tìm ra nó. Tuy nhiên,
giai đoạn này cũng đòi hỏi ngƣời giải phải tích cực rất nhiều. Bên cạnh khả năng nắm
vững các bƣớc thực hành, thực hiện đúng các thao tác và quy trình mang tính kỹ thuật
ngƣời giải phải thực hiện sự kiên trì, nghiêm túc và khoa học. Trong mỗi phép tính, lập
luận, lời giải phải khúc chiết, rõ ràng. Và nhất thiết phải có sự kiểm tra, thử lại mỗi bƣớc
thực hiện chƣơng trình.
- Thực hiện chương trình.
Khi thực hiện chƣơng trình hãy kiểm tra lại

I

A

B

từng bƣớc. Bạn đã thấy rõ ràng là mỗi bƣớc
đều đúng chƣa? bạn có thể chứng minh là nó

P

đúng không?

K

([17], tr.225).
D

C
Hình 3

Chúng ta trở lại ví dụ trên sau khi đã xây dựng xong bƣớc hai chúng ta tiếp tục
bƣớc 3 nhƣ sau:
Kẻ PI  AB . Ta có AKD  900 ( vì AKD nội tiếp đƣờng tròn đƣờng kính AD ) nên
AK  DP .

Ta có: DAP cân tại D , nên DAP  DPA mà DAP  IPA ( hai góc so le trong) suy
ra hai tam giác vuông APK = API ( Cạnh huyền – góc nhọn). Suy ra PK  PI .
Giáo viên đƣa ra câu hỏi.
(?) Khi chứng minh PK  PI ta gắn chúng vào các tam giác bằng nhau.
(?) Việc dự đoán đƣợc các tam giác bằng nhau có chứa 2 đoạn thẳng trên vô cùng quan
trọng.