Phân tích phi tuyến dao động tham số tấm có chiều dày thay đổi mặt trên nền đàn hồi winkler bằng phương pháp ma trận độ cứng động lực

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan rằng luận văn này “Phân tích phi tuyến dao động tham số
của tấm có chiều dày thay đổi đặt trên nền đàn hồi Winkler bằng phương
pháp ma trận độ cứng động lực” là bài nghiên cứu của chính tôi.

Ngoài trừ những tài liệu tham khảo được trích dẫn trong luận văn này, tôi
cam đoan rằng toàn phần hay những phần nhỏ của luận văn này chưa từng được
công bố hoặc được sử dụng để nhận bằng cấp ở những nơi khác.

Không có sản phẩm/nghiên cứu nào của người khác được sử dụng trong
luận văn này mà không được trích dẫn theo đúng quy định.

Luận văn này chưa bao giờ được nộp để nhận bất kỳ bằng cấp nào tại các
trường đại học hoặc cơ sở đào tạo khác.

Thành phố Hồ Chí Minh, 2018

Phạm Văn Lâm

i


LỜI CẢM ƠN
Chân thành cảm ơn cô PGS.TS. Nguyễn Thị Hiền Lương, và Ths. NCS. Huỳnh
Quốc Hùng đã hướng dẫn khoa học và giúp đỡ tận tình cho tôi hoàn thành luận án.
Chân thành cảm ơn quý thầy cô giảng viên, đặt biệt là thầy PGS.TS. Nguyễn
Trọng Phước đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ cho tôi trong thời gian làm luận văn.
Chân thành cảm ơn nhiều đến Trường Đại học Mở TP. Hồ Chí Minh, Khoa đào
tạo Sau đại học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành nhiệm vụ

Phạm Văn Lâm

ii


TÓM TẮT
Việc phân tích hiện tượng mất ổn định động và dao động tham số của kết cấu chịu
tải trọng động do cộng hưởng thông số có ý nghĩa quan trọng về lý thuyết và thực tiễn.
Trong luận văn này, ứng dụng phương pháp độ cứng động lực mở rộng để phân tích
mất ổn định động và đáp ứng dao động tham số phi tuyến của tấm chữ nhật có chiều
dày thay đổi đặt trên nền đàn hồi Pasternak chịu tải trọng động. Tác giả trình bày cách
thức thiết lập ma trận độ cứng động lực cho tấm chữ nhật có chiều dày thay đổi chịu
tải trọng động dựa theo lý thuyết tấm Von Kármán. Hệ phương trình vi phân bậc hai
với hệ số thay đổi tuần hoàn thuộc loại phương trình phi tuyến Mathieu-Hill mở rộng
được thiết lập để xác định hệ số lực tới hạn, hệ số tần số dao động, và các vùng mất ổn
định động và đáp ứng dao động thông số phi tuyến theo phương pháp Bolotin. Ảnh
hưởng các tham số của hệ thống đến vùng mất ổn định động và đặc tính đáp ứng dao
động phi tuyến của tấm được nghiên cứu và thảo luận.
Từ khóa: Dao động tham số, nền Pasternak, mất ổn định động phi tuyến, phương pháp
độ cứng động lực, tấm có chiều dày thay đổi.

ABSTRACT
The analysis of the phenomenon dynamic instability and parametric vibration of
structures subjected to dynamic loadings due to the resonance parameter is of both
theoretical and practical importance. In the present paper, the extended dynamic
stiffness method is presented for the dynamic instability and nonlinear responses
parametric vibrations analysis for rectangular plates of variable thickness on Pasternak
foundation subjected to dynamic load. The authors represent the way to establish the
dynamic stiffness matrices of rectangular plates of variable thickness subjected to
dynamic load based on von Karman’s plate theory. A set of second-order ordinary

differential nonlinear equations of extended Mathieu–Hill type with periodic
coefficients is formed to determine the dimensionless buckling load parameters, The
dimensionless free frequency parameter, and the regions of dynamic instability and
nonlinear responses parametric vibration based on Bolotin’s method. The effects of
various system parameters on the regions of dynamic instability and the nonlinear
response vibration characteristics of plates are investigated and discussed.
iii


Keywords: Parametric vibrations, Pasternak

foundation, nonlinear dynamic

instability, dynamic stiffness method, plate of variable thickness.

iv


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ........................................................................................................................ i
LỜI CẢM ƠN............................................................................................................................. ii
TÓM TẮT .................................................................................................................................iii
MỤC LỤC .................................................................................................................................. v
DANH MỤC HÌNH VẼ ........................................................................................................... vii
DANH MỤC BẢNG BIỂU ....................................................................................................... ix
DANH MỤC KÝ HIỆU QUY ƯỚC .......................................................................................... x
Chương 1: TỔNG QUAN VỀ ỔN ĐỊNH ĐỘNG CỦA KẾT CẤU TẤM VÀ PHƯƠNG
PHÁP MA TRẬN ĐỘ CỨNG ĐỘNG LỰC.............................................................................. 1
1.1. Giới thiệu về ổn định động của kết cấu tấm ........................................................................ 1
1.2. Tổng quan về ổn định động của kết cấu tấm ....................................................................... 6

1.2.1. Tấm đẳng hướng .......................................................................................................... 6
1.2.2. Tấm composite ........................................................................................................... 12
1.3. Giới thiệu phương pháp ma trận động cứng động lực ....................................................... 16
1.4. Sử dụng phương pháp ma trận độ cứng động lực khảo sát kết cấu tấm ............................ 17
1.5. Kết luận ............................................................................................................................. 18
1.6. Mục tiêu và nhiệm vụ của luận văn ................................................................................... 19
1.6.1. Mục tiêu nghiên cứu ................................................................................................... 19
1.6.2. Ý nghĩa nghiên cứu .................................................................................................... 19
1.6.3. Nhiệm vụ của nghiên cứu........................................................................................... 20
1.6.4. Phạm vi nghiên cứu .................................................................................................... 20
1.7. Kết cấu luận văn ................................................................................................................ 21
Chương 2: PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG THAM SỐ CỦA TẤM CÓ CHIỀU DÀY THAY ĐỔI
ĐẶT TRÊN NỀN ĐÀN HỒI ................................................................................................... 23
2.1. Lý thuyết về tấm chịu uốn ................................................................................................. 23
2.1.1. Các mô hình lý thuyết tấm ......................................................................................... 23
2.1.2. Lý thuyết tấm mỏng cổ điển Kirchhoff ...................................................................... 24
2.1.2.1. Chuyển vị và biến dạng trong tấm ...................................................................... 24
2.1.2.2. Ứng suất và nội lực trong tấm ............................................................................ 25
2.1.2.3. Tấm vừa chịu lực ngang vừa chịu lực tác dụng trong mặt trung bình ................ 26
2.1.2.4. Xét đến lực quán tính .......................................................................................... 29
2.1.2.5. Lý thuyết tấm von Kárman (tấm có độ võng lớn) .............................................. 30
2.1.2.5. Trường hợp tấm có chiều dày thay đổi đặt trên nền đàn hồi Pasternak .............. 31
2.1.2.7. Các điều kiện biên trên chu vi tấm ..................................................................... 31
2.2. Phân tích dao động tham số của tấm có chiều dày thay đổi đặt trên nền đàn hồi bằng
phương pháp ma trận độ cứng động lực ................................................................................... 32
2.2.1. Mô hình phân tích và phương trình chuyển động ...................................................... 32
2.2.2. Phân tích dao động tham số và đáp ứng phi tuyến ..................................................... 33
v

2.2.2.1. Phương pháp xác định nghiệm ........................................................................... 33
2.2.2.2. Phương trình Mathieu-Hill mở rộng ................................................................... 34
2.2.2.3. Phân tích dao động tham số ................................................................................ 35
2.2.3. Xác định ma trận độ cứng động lực ........................................................................... 35
Chương 3: KHẢO SÁT SỐ ỔN ĐỊNH TĨNH, DAO ĐỘNG VÀ DAO ĐỘNG THAM SỐ
CỦA TẤM ................................................................................................................................ 42
3.1. Tóm tắt trình tự tính toán ................................................................................................... 42
3.2. Kết quả khảo sát số ổn định tĩnh và dao động tự do của tấm ............................................ 45
3.3. Kết quả khảo sát số dao động tham số của tấm ................................................................. 53
Chương 4: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ................................................................................ 62
4.1. Kết luận ............................................................................................................................. 62
4.2. Kiến nghị ........................................................................................................................... 63
4.3. Hướng phát triển tiếp theo của nghiên cứu ....................................................................... 64
BÀI BÁO ĐÃ CÔNG BỐ ........................................................................................................ 65
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................................ 66
PHỤ LỤC ................................................................................................................................. 75

vi


DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 1.1. Vùng bất ổn định động dạng cộng hưởng tham số đơn. ............................................. 2
Hình 1.2. Vùng bất ổn định động dạng cộng hưởng tham số kết hợp. ....................................... 3
Hình 2.1. Mô hình tấm chữ nhật. .............................................................................................. 23
Hình 2.2. Quan hệ giữa các góc xoay của mặt trung hoà và đạo hàm độ võng. ....................... 24
Hình 2.3. Phân bố theo bề dày h của các thành phần ứng suất................................................. 25
Hình 2.4. Biểu diễn các thành phần nội lực của tấm khi chịu lực ngang. ................................ 26
Hình 2.5. Khảo sát cân bằng phân tố trong tấm. ...................................................................... 27
Hình 2.6. Trạng thái cân bằng phân tố trong tấm. .................................................................... 27
Hình 2.7. Độ võng của phân tố dxdy. ....................................................................................... 29

Hình 2.8. Mô hình tấm chịu tải trọng động. ............................................................................. 29
Hình 2.9. Điều kiện liên kết ở mép tấm.................................................................................... 31
Hình 2.10. Mô hình tấm và dạng tải trọng động điều hòa. ....................................................... 33
Hình 2.11. Mô hình, điều kiện biên chuyển vị và lực suy rộng của một dải phần tử tấm. ....... 39
Hình 2.12. Mô hình lắp ghép trực tiếp các ma trận độ cứng động lực của dải phần tử tấm..... 40
Hình 3.1. Mô hình, chuyển vị suy rộng và lực suy rộng của từng dải phần tử tấm. ................ 42
Hình 3.2. Mô hình lắp ghép trực tiếp các ma trận độ cứng động lực của dải phần tử tấm....... 43
Hình 3.3. Mô hình bốn điều kiện biên của tấm: SSSS; SCSC, CSCS, CCCC. ........................ 45
Hình 3.4. Đồ thị quan hệ giữa tham số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông, liên kết
tựa đơn (SSSS) có chiều dày không đổi (s= 0). ........................................................................ 45
Hình 3.5. Đồ thị quan hệ giữa tham số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông, liên kết
tựa đơn (SSSS) có chiều dày thay đổi (s= 0.2). ........................................................................ 46
Hình 3.6. Đồ thị quan hệ giữa tham số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông có liên
kết SCSC, chiều dày không đổi (s= 0). .................................................................................... 46
Hình 3.7. Đồ thị quan hệ giữa tham số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông có liên
kết SCSC, chiều dày thay đổi (s= 0.2)...................................................................................... 47
Hình 3.8. Đồ thị quan hệ giữa tham số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông có liên
kết ngàm, chiều dày không đổi (s= 0). ..................................................................................... 47
Hình 3.9. Đồ thị quan hệ giữa tham số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông có liên
kết ngàm, chiều dày thay đổi đổi (s= 0.2). ............................................................................... 48
Hình 3.10. Đồ thị quan hệ giữa tham số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông có liên
kết SSSS, chiều dày thay đổi đổi (s= -0.1), và 1=0, 2=0. ...................................................... 49
Hình 3.11. Đồ thị quan hệ giữa tham số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông có liên
kết SSSS, chiều dày thay đổi đổi (s= -0.1), và 1=50, 2=5. .................................................... 49
Hình 3.12. Đồ thị quan hệ giữa tham số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông có liên
kết SSSS, chiều dày thay đổi đổi (s= -0.1), và 1=100, 2=10. ................................................ 50
Hình 3.13. Đồ thị quan hệ giữa tham số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông có liên
kết SSSS, chiều dày thay đổi đổi (s= -0.1), và 1=200, 2=10. ................................................ 50
Hình 3.14. Mô hình bốn điều kiện biên của tấm: SSSS; SCSC, CSCS, CCCC. ...................... 53
Hình 3.15. Tác động của việc thay đổi tải trọng tĩnh NXs lên các vùng mất ổn định động của

tấm vuông SSSS có s=0, 1=0, 2=0. ....................................................................................... 53
vii


Hình 3.16. Tác động của việc thay đổi hệ số nền đàn hồi (1, 2) lên vùng mất ổn định động
của tấm vuông liên kết tựa đơn, βs=0.3, (a) s=-0.1, và (b) s=0.1. ............................................ 55
Hình 3.17. Tác động của việc thay đổi hệ số nền đàn hồi (1, 2) lên vùng mất ổn định động
của tấm vuông liên kết SCSC, βs=0.3, (a) s=-0.1, và (b) s=0.1. ............................................... 55
Hình 3.18. Tác động của việc thay đổi hệ số nền đàn hồi (1, 2) lên vùng mất ổn định động
của tấm vuông liên kết CSCS, βs=0.3, (a) s=-0.1, và (b) s=0.1. ............................................... 56
Hình 3.19. Tác động của việc thay đổi hệ số nền đàn hồi (1, 2) lên vùng mất ổn định động
của tấm vuông liên kết ngàm, βs=0.3, (a) s=-0.1, và (b) s=0.1. ................................................ 56
Hình 3.20. Tác động của việc thay đổi tải trọng động NXd lên đáp ứng dao động tham số của
tấm vuông liên kết CSCS, s=0.5, s=0.1, 1=100, 2=10; (a) d=0.2; (b) d=0.5. ................... 57
Hình 3.21. Tác động của việc thay đổi tải trọng động NXd lên đáp ứng dao động tham số của
tấm vuông liên kết ngàm, s=0.5, s=0.1, 1=100, 2=10; (a) d=0.2; (b) d=0.5. .................... 58
Hình 3.22. Ảnh hưởng của việc thay đổi tải trọng tĩnh NXs lên đáp ứng dao động tham số của
tấm vuông liên kết tựa đơn, mode 1,2,3, d=0.5, s=0.1, 1=100, 2=10; (a) s=0.2; (b) s=0.5.
.................................................................................................................................................. 59
Hình 3.23. Ảnh hưởng của việc thay đổi tải trọng tĩnh NXs lên đáp ứng dao động tham số của
tấm vuông liên kết SCSC, mode 1,2,3, d=0.5, s=0.1, 1=100, 2=10; (a) s=0.2; (b) s=0.5.60

viii


DANH MỤC BẢNG BIỂU
Bảng 3.1. So sánh các hệ số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông liên kết tựa đơn có
chiều dày thay đổi tuyến tính h(x)=h0(1+sx/a) ......................................................................... 46
Bảng 3.2. So sánh hệ số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông liên kết SCSC, có chiều
dày thay đổi tuyến tính h(x)=h0(1+sx/a) ................................................................................... 47

Bảng 3.3. So sánh hệ số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông liên kết ngàm có chiều
dày thay đổi tuyến tính h(x)=h0(1+sx/a) ................................................................................... 48
Bảng 3.4. Giá trị hệ số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông liên kết tựa đơn có chiều
dày thay đổi tuyến tính h(x)=h0(1+sx/a) ................................................................................... 50
Bảng 3.5. Giá trị hệ số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông liên kết SCSC có chiều
dày thay đổi tuyến tính h(x)=h0(1+sx/a) ................................................................................... 51
Bảng 3.6. Giá trị hệ số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông liên kết CSCS có chiều
dày thay đổi tuyến tính h(x)=h0(1+sx/a) ................................................................................... 51
Bảng 3.7. Giá trị hệ số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông liên kết ngàm có chiều
dày thay đổi tuyến tính h(x)=h0(1+sx/a) ................................................................................... 52
Bảng 4.1. So sánh biên của vùng chính mất ổn định động tấm vuông liên kết tựa đơn với s=0,
1=0, 2=0, s=0 hoặc s=0.2. .................................................................................................. 54
Bảng 4.2. So sánh biên của vùng chính mất ổn định động tấm vuông liên kết tựa đơn với s=0,
1=0, 2=0, s=0.35 hoặc s=0.6. ............................................................................................. 54

ix


DANH MỤC KÝ HIỆU QUY ƯỚC


- Tần số lực kích thích
T
- Chu kỳ của tần số kích thích T = 2/
N(t) - Lực kích thích
Ns
- Thành phần tĩnh của lực N(t)
Nd
- Thành phần động của lực N(t)
i

- Mode không gian
k
- Mode thời gian
s
- Hệ số tải trọng tĩnh
d
- Hệ số tải trọng động
Ncr - Lực tới hạn ổn định tĩnh
Kij
- Giá trị riêng của ma trận
Pij
- Hệ số ma trận của tải trọng
qi
- Tọa độ suy rộng (generalized coordinates)
cij
- Hệ số cản
um
- Hệ tọa độ trực chuẩn (nomal coordinates)

- Tham số nhỏ (small parameter)

- Hàm giải tích của gia tốc và chuyển vị
m - Hàm giải tích của vận tốc và chuyển vị
m
- Hàm giải tích của chuyển vị
[M] - Ma trận khối lượng
[K] - Ma trận độ cứng đàn hồi của phần tử
[Kg] - Ma trận độ cứng hình học
 A  - Ma trận hàm dạng

r  a / b - Tỉ số kích thước tấm
a
- Chiều dày kích thước tấm theo phương x
b
- Bề rộng kích thước tấm theo phương y
b1, b2 - Chiều rộng của phần tử 1, 2 của tấm theo phương y
qz
- Tải trọng phân bố vuông góc mặt trung bình tấm
w(x,y,t) - Chuyển vị ngang mặt trung bình tấm theo trục z (hàm độ võng)
u, v
- Các thành phần chuyển vị tương ứng theo phương x, y.
x, y
- Góc xoay của mặt phẳng trung gian của tấm
Mx, My, Mxy
- Nội lực mô men uốn theo phương x, y và mô men xoắn xy
Qx, Qy
- Nội lực cắt theo phương x,y
Nx , Ny, Nxy
- Thành phần lực dọc theo phương x, y (lực màng)
E
- Môđun đàn hồi của vật liệu
x


- Hệ số Poisson’s của vật liệu

- Khối lượng riêng của tấm
Xm, Yn
- Hàm riêng của dầm
Zp, Sq

- Hàm riêng của dầm
{P}
- Vector nội lực suy rộng
{}
- Vector chuyển vị suy rộng
{C}
- Vector hằng số
m
- Tần số dao động tự nhiên mode m
[K(,N)] - Ma trận độ cứng động lực
h0
- Chiều dày tấm tại tọa độ x=0
h(x,y)
- Chiều dày của tấm thay đổi theo phương x,y
h( x)  h0 [1  s ( x)] - Chiều dày của tấm thay đổi theo phương trục x
v

H ( x)  h(s)3 ; h(s)  1+s ( x) - Hàm số theo biến x
s
m,n

- Hệ số thay đổi chiều dày tấm
- Số nửa bước sóng hình sine (the number of half-sine waves) dọc theo trục x, y

Eh03
- Độ cứng chống uốn của tấm tại tọa độ x=0
D0 
12(1  2 )

Eh( x, y )3

- Độ cứng chống uốn của tấm
D
12(1  2 )
J1, J2, J3 - Các hàm được xác định theo phương trình (2.49)
i=(-1)^0.5 - Số phức
Yni,  ni - Chuyển vị suy rộng dải nút
Qyi , Myi - Lực (mô men và lực cắt) suy rộng dải nút dọc theo trục y
ch1  cosh(rb
1 ); sh1  sinh(rb
1 ); c2  cos(r2b); s2  sin(r2b)
g1, g2, g3, g4
- Được xác định theo phương trình (2.69)
t1, t2, t3, t4
- Được xác định theo phương trình (2.68)
m
- Tần số dao động tự do mode thứ m của tấm
m
- Tham số tần số dao động không thứ nguyên của tấm
w(x,y,t) - Độ võng của tấm
W(X,Y,) - Độ võng của tấm không thứ nguyên

- Hàm ứng suất
F
- Hàm ứng suất không thứ nguyên
t
- Thời gian

- Thời gian không thứ nguyên
K1
- Độ cứng nền Winkler

K2

- Độ cứng chống cắt nền Pasternak
xi


1

- Hệ số độ cứng nền Winkler

2

- Hệ số độ cứng chống cắt nền Pasternak



- Tần số lực kích thích không thứ nguyên

m=m(1-s)0.5 - Tần số dao động riêng của tấm chịu tải tĩnh NXs
m

- tần số dao động tự do của tấm.

 (=a2(h0/D0)1/2) - Tần số kích thích của tải trọng.

xii


DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT
DSM : Dynamic Stiffness Method

FEM: Finite Element Methoad
FDM: Finite Different Methoad
RHSDT: Refined higher order shear deformation theory:
IHB: Incremental harmonic balance method

xiii


Chương 1: TỔNG QUAN VỀ ỔN ĐỊNH ĐỘNG CỦA KẾT CẤU
TẤM VÀ PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN ĐỘ CỨNG ĐỘNG LỰC
1.1. Giới thiệu về ổn định động của kết cấu tấm
Kết cấu tấm được sử dụng rất phổ biến trong thực tiễn các ngành công nghiệp, dân
dụng, xây dựng, cơ khí, xe, hàng không vũ trụ,...Một trong những kết cấu được sử
dụng phổ biến trên thế giới là kết cấu tấm chữ nhật. Về kỹ thuật, chỉ đơn thuần là đảm
bảo tấm chữ nhật chịu được tải trọng không đổi được chứng minh là không đủ. Do đó,
trong kỹ thuật có thể xét đến quan hệ với biên độ chuyển vị, biến dạng và ứng suất lớn
được gây ra bởi lực động điều hòa hoặc lực ngẫu nhiên. Kết cấu tấm chịu tải trọng
điều hòa trong mặt phẳng dọc theo biên (periodic in-plane loads) và trở thành bất ổn
định động và dao động tham số (dynamic instability and parametric oscillation) với sự
kết hợp biên độ lực, tần số nhiễu loạn và tần số dao động ngang của kết cấu. Nghiên
cứu ứng xử ổn định tĩnh, ổn định động và dao động tham số của kết cấu tấm chịu các
dạng tải trọng khác nhau là rất cần thiết trong thiết kế kết cấu.
Ổn định của kết cấu chịu tải trọng tác dụng động, trong đó cần xét đến ảnh hưởng
của gia tốc chuyển động thông qua các lực quán tính khi thiết lập các phương trình ổn
định, được gọi là ổn định động của kết cấu. Vấn đề ổn định động bao gồm việc xét đến
ứng xử ổn định tĩnh và ứng xử dao động tham số.
Dao động phát sinh trong bài toán ổn định động thuộc thể loại dao động có tham
số, mang tính chất riêng biệt. Khác với dao động tự do, dao động này xảy ra trong thời
kỳ có tác động của nguyên nhân bên ngoài thay đổi theo thời gian. Cũng khác với dao
động cưỡng bức đã quen biết vì sự tác động của nguyên nhân bên ngoài không phải là

nguồn tác động trực tiếp.
Dao động tham số là dao động được duy trì bởi các nguyên nhân bên ngoài, gián
tiếp gây ra sự thay đổi các thông số của hệ theo thời gian, được mô tả bằng phương
trình vi phân có hệ số thay đổi (thường là thay đổi tuần hoàn) và nằm ở vế trái của
phương trình. Tùy theo các đặc trưng của dao động tham số, hệ có thể ổn định động
hoặc bất ổn định động.
Giới thiệu cơ bản về bất ổn định động của hệ kết cấu được tác giả tham khảo từ H.
Nguyen (1987): Khi tấm chữ nhật chịu tác dụng tải trọng nén trong mặt trung bình
thay đổi điều hòa theo thời gian với tần số của lực kích thích : N(t)= Ns + Ndcos(t),
1


với cos(t) là hàm điều hòa của thời gian t, tấm thực hiện dao động mạnh ngồi mặt
phẳng (tần số dao động ngang lớn) vượt q miền tham số khơng gian đã biết (Ns, Nt,
T), nếu khảo sát ổn định của tấm trong trường hợp này thì gọi hiện tượng mất ổn định
động của tấm. Sự cộng hưởng kết hợp với các vùng bất ổn định xảy ra khi tần số lực
kích thích (t) và dạng mode tần số i (i = 1, 2, 3,...) đáp ứng xấp xỉ mối quan hệ

(t) = 2i/k, (k = 1, 2, 3,...)

(1.1)

phương trình (1.1) chứng tỏ mỗi mode khơng gian (spatial mode), i, sẽ có vơ hạn số
mode thời gian (temporal mode), k. Trong trường hợp (t) = 2i (k = 1) là quan trọng
nhất và được gọi là cộng hưởng tham số chính. Nói chung, mối quan hệ trên được gọi
là cộng hưởng tham số đơn. Thuật ngữ đơn thể hiện rằng, chỉ có một dao động riêng là
tham gia chủ yếu trong các dao động cộng hưởng. Biên vùng bất ổn định tương ứng
với các cộng hưởng tham số đơn được biểu diễn trên hình 1.1 (theo Huynh, Q.H.
(2015)).

k=5

4 k=3

Vùng chính
bất ổn đònh k=1

k=2

Nt

Không
có giảm chấn

Có giảm chấn
0
0

1

 / 2 i

Hình 1.1. Vùng bất ổn định động dạng cộng hưởng tham số đơn.
Ngược lại, với các cộng hưởng tham số đơn, việc cộng hưởng tham số kết hợp có
thể cũng xảy ra. Dạng cộng hưởng này được xảy ra bởi thực tế rằng, vấn đề cộng
hưởng đồng thời của hệ thống tạo ra trong hai hoặc nhiều mode dao động riêng. Cho
sự xuất hiện của những cộng hưởng là cần thiết khi tần số lực kích thích (t) và dạng
mode tần số i đáp ứng xấp xỉ một mối quan hệ

 = mii/k

trong đó mi – số ngun dương hoặc ngun âm.
2

(1.2)


Một lần nữa, sự cộng hưởng kết hợp quan trọng nhất là liên quan đến hai modes
khơng gian của dao động xảy ra khi k = 1, như minh họa trong hình 1.2 (theo Huynh,
Q.H. (2015)).

k=2
Vùng bất ổn đònh
kết hợp k=1

k=3
Có giảm chấn

Không
có giảm chấn

Nt

0

0

 (ij

1

Hình 1.2. Vùng bất ổn định động dạng cộng hưởng tham số kết hợp.
Phương trình chuyển động có hệ số phi tuyến bậc hai hoặc bậc ba được kết hợp
trong nhiều hệ thống vật lý. Cộng hưởng của hệ thống phụ thuộc vào bậc của phi tuyến
và cộng hưởng nội. Hệ số phi tuyến bậc ba trong phương trình chuyển động kể đến
biến dạng của đường trung hòa hoặc trong mặt phẳng trung bình của phần tử dầm hoặc
tấm có ý nghĩa quan trọng đến việc khảo sát hệ thống phi tuyến hình học. Dao động
phi tuyến của tấm composite, vỏ và dầm được liên kết với hệ số phi tuyến bậc hai
trong phương trình vi phân chuyển động. Hệ số phi tuyến có tầm ảnh hưởng quan
trọng đến ứng xử của hệ thống, đặc biệt xảy ra trong điều kiện cộng hưởng nội. Cộng
hưởng nội xảy ra quan hệ tuyến tính giữa các tần số tự do với mode khác nhau, đó là,
tần số i có tỉ lệ hoặc gần tỉ lệ, tức là có tồn tại số ngun dương hoặc ngun âm m1,
m2,..., mn sao cho:
mii = 0

(1.3)

Khi cộng hưởng tham số chính được kích thích trong sự xuất hiện của cộng hưởng
nội,

 = 2i , mjj = 0,

(1.4)

sự trùng hợp ngẫu nhiên của hai dạng cộng hưởng dẫn đến cộng hưởng đồng thời
(simultaneous resonance). Dạng cộng hưởng này được đặc trưng bởi một số mode
3


tham gia, mặt dù chỉ một mode được kích thích tham số có thể tồn tại trong phản ứng.
Cộng hưởng nội chịu trách nhiệm cho hiện tượng này, như một hệ quả của sự chuyển

năng lượng từ mode trực tiếp kích thích sang các mode khác của dao động.
Dạng khác của cộng hưởng đồng thời có thể xảy ra khi một cộng hưởng nội trùng
hợp với một cộng hưởng tham số kết hợp

 = mii , mjj = 0.

(1.5)

Đang phụ thuộc vào cộng hưởng nội, năng lượng từ các mode kích thích tham số
có thể bị chuyển đổi đến các mode chuẩn khác.
Tầm quan trọng của dao động tham số đã thu hút được một số nhà khoa học nghiên
cứu phát triển các lý thuyết về sự bất ổn định động. Một trong những vấn đề kỹ thuật
quan trọng là việc xác định vùng bất ổn định cho các hệ thống chịu kích thích tham số.
Chú ý rằng các mô hình tuyến tính của các hệ thống dự đoán chính xác vị trí ranh giới
biên của vùng bất ổn định động mà tại đó là sự khởi đầu cho ứng xử tham số xảy ra.
Trong hệ thống phi tuyến không cản chịu kích thích tham số, những phi tuyến hạn
chế sự phát triển của phản ứng, đó là, biên độ của dao động nói chung gia tăng dạng
parabôn theo thời gian, nhưng không có ảnh hưởng đến biên độ lớn nhất. Tác dụng của
hệ cản trong hệ thống đang cộng hưởng tham số cho phép biên độ đạt được một giá trị
ổn định hữu hạn. Về bản chất, ứng xử phi tuyến có thể làm cho chuyển động cộng
hưởng bị giới hạn tồn tại trong vùng của không gian tham số mà các phản ứng kích
thích tham số trong mô hình tuyến tính không thể dự đoán được. Mặt khác, hiện tượng
mới xảy ra trong vấn đề phi tuyến, nhưng không xảy ra trong vấn đề tuyến tính, trong
số những hiện tượng mới, có thể quan sát biên độ phụ thuộc vào tải trọng và tần số
kích thích, và sự xuất hiện các hiện tượng bước nhảy và sụt giảm (jump and drop-out
phenomena).
Từ những nhận xét trước đây, tóm tắt một số vấn đề cơ bản về bất ổn định tham số
của hệ thống cơ học. Tổng thể, sự bất ổn định tham số (parametric instability) của hệ
thống có thể xảy ra: (i) trên một số vùng của không gian tham số nhưng không phải
các điểm rời rạc, (ii) ở tần số khác với tần số tự nhiên của các hệ thống, (iii) có phương

pháp tuyến với lực kích thích, (iv) với tác dụng của ngoại lực phải nhỏ hơn lực tới hạn
tĩnh nhỏ nhất, và (v) khi lực kích thích được đưa vào toán học của phương trình
chuyển động như là một hệ số phụ thuộc vào thời gian hoặc tham số. Các tính năng
này thường là đặc tính của sự bất ổn định tham số và rõ ràng tạo thành một số vấn đề
4


đặc biệt được kết hợp với ổn định tĩnh đàn hồi và cộng hưởng dao động cưỡng bức, và
khác biệt với các bài toán bất ổn định quen thuộc.
Đối với vấn đề bất ổn định động của hệ kết cấu cần phải nghiên cứu hai vần đề
trọng tâm: (i) xác định vùng bất ổn định động cộng hưởng tham số chính, cộng hưởng
kết hợp và cộng hưởng nội, (ii) phân tích ứng xử của vấn đề dao động tham số.
Bài viết tổng quan này xem xét hầu hết các nghiên cứu gần đây được thực hiện
trong lĩnh vực ổn định động (dynamic stability), bất ổn định động (dynamic
instability), kích thích tham số (parametric excitation), đặc tính cộng hưởng tham số
(parametric resonance) của kết cấu. Phương pháp giải quyết nghiệm của vấn đề ổn
định động liên quan đến nguồn gốc của phương trình chuyển động chủ đạo, xác định
được vùng bất ổn định động của kết cấu. Phân tích về hình học (tấm, vỏ hình trụ, vỏ
hình cầu, vỏ hình nón, dầm, cột, khung), về tải trọng (phân bố đều dọc trục, phân bố
không đều, tập trung, tải trọng ngẫu nhiên, lực kéo, lực bảo toàn và không bảo toàn,...),
về điều kiện biên, về phương pháp phân tích (chính xác, phần tử dải hữu hạn, sai phân
hữu hạn, phần tử hữu hạn, vi phân bậc hai tổng quát (generalized differential
quadrature method), phương pháp Galerkin, phương pháp nhiều bậc thang (method of
multiple scales) và thực nghiệm,...), phương pháp xác định vùng bất ổn định (số mũ
Lyapunovian, phương pháp nhiễu loạn, phương pháp Floquet, phương pháp
Bolotin,...), bậc của các lý thuyết được áp dụng (mỏng, dày, 3D, tuyến tính, phi
tuyến,...), vật liệu của kết cấu (đồng nhất, đẳng hướng, trực hướng, dị hướng,
bimodulus, composite, FGM,...) và xét đến tính phức tạp như ảnh hưởng của sự gián
đoạn hình học, liên kết đàn hồi, trên nền đàn hồi, đàn hồi nhớt, bổ sung khối lượng,
tương tác chất lỏng, lực không bảo toàn, xoắn, hệ số phi tuyến,... Các tác động quan

trọng đến ứng xử ổn định động của kết cấu chịu tải trọng điều hòa đã được xác định và
ảnh hưởng của các tham số quan trọng được thảo luận. Các nhà nghiên cứu cũng đã
khảo sát các vấn đề liên quan đến cộng hưởng kết hợp và ảnh hưởng của cộng hưởng
theo chiều dọc trên kích thích tham số.
Lý thuyết chung liên quan đến sự ổn định động được trình bày trên đây và có thể
tổng quan về nghiên cứu ứng xử bất ổn định động của hai loại tấm đẳng hướng và tấm
composite.

5


1.2. Tổng quan về ổn định động của kết cấu tấm
1.2.1. Tấm đẳng hướng
Einaudi (1936) là người đầu tiên khảo sát ổn định động tấm chữ nhật chịu tải trọng
động điều hoà trong mặt phẳng tấm. Sau đó, Bodner (1938), Chelomei (1938, 1939),
Khalilov (1942, 1949), Kucharski (1950) và Leiderman (1955) sử dụng lí thuyết
truyến tính để nghiên cứu ổn định động của tấm. Vấn đề bất ổn định động của kết cấu
đàn hồi (cột, tấm và vỏ) chịu tải trọng động điều hoà đã được nghiên cứu và công bố
bởi Bolotin (1954, 1964), ông đã xây dựng các vùng bất ổn định động bằng cách sử
dụng phân tích Fourier và đầu tiên nghiên cứu sự cộng hưởng tham số phi tuyến của
tấm chữ nhật. Somerset và Evan-Iwanowski (1967) khảo sát bài toán phi tuyến của
Bolotin và có xét đến ảnh hưởng của lực quán tính phân bố trong mặt phẳng tấm, và
lần đầu tiên nghiên cứu thực nghiệm về đáp ứng tham số phi tuyến của một tấm vuông
có bốn biên tựa đơn. Tiếp theo, Simons and Leissa (1971) phân tích ứng xử ổn định
của tấm côngxon chữ nhật chịu tải trọng gia tốc và trọng lực trong mặt phẳng tấm sử
dụng phương pháp Ritz. Tani và Nakamura (1978) nghiên cứu lý thuyết cộng hưởng
tham số tấm hình khuyên chịu tải trọng động điều hoà nén trong và ngoài hình khuyên
sử dụng phương pháp Galerkin và Hsu. Cho thấy rằng cộng hưởng tham số chính là
quan trọng thiết thực nhất, nhưng sự cộng hưởng kết hợp (cộng hưởng nội) không thể
được bỏ qua khi tải trọng tĩnh tác dụng. Bất ổn định động của tấm vuông chịu tải trọng

động điều hoà phân bố đều dọc theo hai biên đối diện với bốn điều kiện biên được
phân tích bởi Yamaki và Nagai (1975). Tác giả áp dụng phương pháp Galerkin vào
phương trình cơ bản, phương pháp Bolotin và Hsu xác định vùng bất ổn định động,
cho thấy cộng hưởng kết hợp có thể xảy ra nếu biên của lực là ngàm. Carlson (1974)
phân tích thực nghiệm đặc điểm đáp ứng lực kích thích tham số tấm mỏng chịu kéo
với vết nứt hở. Dữ liệu thu được từ kết quả khảo sát thực nghiệm được trình bày và
cho thấy rằng cả hai vùng bất ổn định chính và phụ được phát triển. Vết cắt, vết nứt và
các dạng khác nhau của sự gián đoạn vật liệu là không thể tránh khỏi trong các kết cấu
do đó cần phải xem xét trong thực tế.
P.K. Datta (1978) khảo sát thực nghiệm về ứng xử mất ổn định và ứng xử cộng
hưởng tham số của tấm chữ nhật chịu kéo có lỗ tròn hoặc elip. Kích thước và biên độ
dao động của các vùng bất ổn định chính được tìm thấy là lớn hơn các vùng bất ổn
định thứ hai. Hutt và Salam (1971) sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn phân tích ổn
6


định động tấm chữ nhật đẳng hướng với mô hình phần tử hữu hạn tấm mỏng bốn nút.
Kích thước của vùng bất ổn định động phụ thuộc vào mức độ giống nhau hình dạng
mode của tần số dao động tự do, lực ổn định tĩnh và có xét đến hệ số cản nhớt của hệ.
Đáp ứng ổn định động phi tuyến của tấm mỏng đàn hồi có bốn biên tựa đơn chịu tải
động điều hoà dọc theo bốn biên đã được khảo sát bởi Kisliakov (1976) sử dụng
phương pháp Boubnov-Galerkin. Birman (1986) phân tích ổn định động của tấm dày
chữ nhật đàn hồi có các biên tựa đơn sử dụng hai lý thuyết tấm Mindlin và Levinson,
tìm được các vùng chính bất ổn định động.
Tham số bất ổn định động của tấm mỏng đàn hồi bọc lớp chất lỏng nhớt chịu tải
trọng chuyển động điều hoà được khảo sát bởi Hasegawa (1987). Vùng bất ổn định
động chính và phụ được xác định bằng cách sử dụng phương trình tuyến tính của tấm
mỏng đàn hồi xét các chuyển động của chất lỏng không nén được, bao gồm các thành
phần sức căng của chất lỏng nhớt, nhưng không phải là thành phần tiếp tuyến. Ông
khảo sát thực nghiệm để kiểm chứng kết quả lý thuyết nghiên cứu. Takahashi và

Konishi (1988) khảo sát ổn định động của tấm chữ nhật biến dạng nhỏ (tuyến tính)
chịu tải trọng điều hòa phân bố bậc nhất trên hai biên đối diện, sử dụng phương pháp
Galerkin và phương pháp cân bằng điều hòa (harmonic balance). Xác định vùng bất
ổn định động của tấm có điều kiện biên khác nhau và xét đến sự cộng hưởng kết hợp
của tần số tự nhiên.
Sự ổn định của một tấm chữ nhật phi tuyến có độ võng lớn, biên đơn giản sử dụng
phương trình von Kárman được nghiên cứu bởi M. Hac (1989). Các vùng ổn định cân
bằng không tầm thường của tấm được xác định bằng cách sử dụng phương pháp sai
phân hữu hạn. Bằng cách sử dụng các điều kiện của phương pháp Liapunov trực tiếp
đủ để xác định sự ổn định tiệm cận ngẫu nhiên. Sự bất ổn định động của tấm hình chữ
nhật với bốn cạnh tự do sử dụng nguyên lý Hamilton và phương pháp Rayleigh-Rizt
được khảo sát bởi Higuchi và Dowell (1989). Một cạnh của tấm tự do chịu tác dụng
một lực đuổi phân bố đều không bảo toàn, các hướng được kiểm soát tương ứng với
góc quay của biên tải trọng. Các tấm có cả hai thành phần dao động và các loại phân
kỳ bất ổn định khi lực đuổi không bảo toàn tác dụng. Tiếp theo, Chen (1989) nghiên
cứu ổn định động tầm dày hình khuyên lưỡng modul (bimodulus) sử dụng phương
pháp phần tử hữu hạn, với phần tử hữu hạn hình khuyên sử dụng lý thuyết tấm
Mindlin với hàm dạng đa thức Lagrange và các hàm lượng giác. Ổn định tĩnh và ổn
định động của tấm hình khuyên có chiều dày thay đổi tăng đều hoặc giảm theo hướng
7


xuyên tâm ra ngoài, chịu tải trọng động điều hoà phân bố tròn đều theo biên được
nghiên cứu bởi Mermertas và Belek (1990, 1991) sử dụng phương pháp phần tử hữu
hạn với mô hình phần tử tấm Mindlin lý thuyết biến dạng cắt bậc cao cho cả tấm dày
và mỏng. Vùng bất ổn định động được xác định với biên độ lớn tần số kích thích, điều
kiện biên khác nhau sử dụng phương pháp Bolotin. Phát triển công việc trên, tác giả
nghiên cứu ổn định tấm hình khuyên có gia cường sườn cứng hướng tấm chịu tải trọng
động điều hoà trong mặt phẳng tấm. Yu và Mote (1991) trình bày, thảo luận cộng
hưởng tham số của tấm tròn có liên kết lo xo quay bằng phương pháp chuỗi nhiễu

loạn. Một phương pháp nhiễu loạn được phát triển để dự đoán sự ổn định của hệ thống
cộng hưởng tham số kích thích động có chứa nhiều nhiễu loạn tham số bởi Shen và
Mote (1992). Phương pháp này dựa trên các định lý Floquet và phương pháp xấp xỉ
liên tiếp để nghiên cứu một tấm tròn cổ điển đàn hồi hoặc đàn hồi nhớt chịu kích thích
bởi một lò xo ngang tuyến tính quay ở tốc độ không đổi. H. Nguyen và Ostiguy (1989)
nghiên cứu, phân tích lý thuyết ổn định động phi tuyến và đáp ứng phi tuyến kích thích
tham số của tấm chữ nhật với bốn điều kiện biên khác nhau. Áp dụng các phương pháp
tiếp cận tổng quát chuỗi kép Fourier vào phương trình mở rộng động lực phi tuyến von
Kármán. Phương pháp tiệm cận suy rộng được sử dụng để giải quyết các phương trình
phi tuyến theo thời gian của chuyển động, và khảo sát cộng hưởng tham số chính và
cộng hưởng tham số kết hợp. Xác định vùng bất ổn định động tham số và các đường
cong đáp ứng tần số tương ứng cộng hưởng tham số chính liên quan đến các hình dạng
mode, cùng với các loại tổng hợp cộng hưởng tham số kết hợp của hệ thống tham số.
Để chứng minh kết quả của mô hình lý thuyết trên, tác giả tiếp tục nghiên cứu các thí
nghiệm về bất ổn định động và đáp ứng cộng hưởng tham số của bốn tấm hình chữ
nhật chịu tải động điều hoà trong mặt phẳng tấm với bốn điều kiện biên khác nhau.
Kết luận chung, các kết quả nhận được từ thực nghiệm thỏa mãn tốt với những kết quả
từ dự đoán lý thuyết.
Singh và Dey (1992) sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn phân tích ứng xử bất
ổn định động của tấm chữ nhật chịu tải trọng động điều hoà trong mặt phẳng tấm.
Miền bất ổn định chính được xác định theo nghiệm tuần hoàn của phương pháp
Bolotin, có xét đến sự kết hợp thành phần tĩnh và động của tải trọng và các điều kiện
biên khác nhau. Touati và Cederbaum (1994) phân tích ổn định động của tấm chữ nhật
đẳng hướng vật liệu đàn hồi nhớt phi tuyến chịu tải trọng động điều hoà phân bố đều
trên bốn biên và được tính toán theo các số mũ Lyapunov. Các ứng xử vật liệu được
8


mô phỏng theo trình bày Leaderman (1962) về đàn nhớt phi tuyến. Sử dụng phương
pháp Galerkin để giải phương trình vi phân chuyển động phi tuyến tìm được hàm độ

võng phụ thuộc thời gian. Khảo sát sự ảnh hưởng của các thông số khác nhau đến khả
năng bất ổn định động có thể xảy ra và biểu diễn các đáp ứng của hệ thống theo dạng
hỗn loạn.
Lee và Y. Ng (1995) trình bày kết quả nghiên cứu ổn định động tấm chịu tải trọng
động bảo toàn trong mặt phẳng tấm. Các phương trình của chuyển động của tấm mỏng
cổ điển được xây dựng dựa trên nguyên lý Hamilton và phương pháp giả thiết mode
dao động. Những ảnh hưởng của nhiễu loạn hình sin được kiểm tra bởi phương pháp
Bolotin. Deolasi và Datta (1995) nghiên cứu đặc điểm bất ổn định động tấm chữ nhật
chịu tải nén và kéo sử dụng phương pháp Bolotin. Ảnh hưởng hệ cản đến ổn định tham
số của tấm sử dụng phương pháp nhiều bậc thang (Method of Multiple Scales).
Prabhakara và Datta (1997) phân tích ứng xử bất ổn định động tham số của tấm bị cắt
tại trung tâm tấm chịu tải trọng kéo hoặc nén động điều hoà trong mặt phẳng tấm. Ứng
xử bất ổn định động của tấm chịu kéo và nén cho thấy rằng vùng bất ổn định bị ảnh
hưởng bởi kích thước và hình dạng của vùng cắt hở và tham số của lực. Saha và cộng
sự (1997) nghiên cứu ổn định động của một tấm hình chữ nhật trên nền đàn hồi không
đồng nhất, chịu tải trọng động nén trong mặt phẳng và biên liên kết đàn hồi. Trong
nghiên cứu này, sử dụng phương pháp Galerkin làm giảm hàm dạng riêng dầm và biến
đổi các hệ phương trình theo dạng ma trận. Hệ phương trình Mathieu-Hill thu được,
phân tích theo phương pháp nhiều bậc thang (method of multiple scales), xác định
được biên ổn định với các kết hợp khác nhau của biên độ kích thích của lực và tần số.
Những ảnh hưởng của độ cứng của nền đàn hồi, điều kiện biên, hệ số tải trọng tĩnh, hệ
số tải trọng động đến biên ổn định động của tấm và cộng hưởng kết hợp được nghiên
cứu. J.H. Kim và H.S. Kim (2000) sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn trên cơ sở lý
thuyết tấm Kirchhoff-Love và Mindlin phân tích ổn định động tấm chữ nhật đẳng
hướng và trực hướng chịu lực nén không bảo toàn trong mặt phẳng tấm. Phương pháp
phần tử hữu hạn sử dụng phần tử tứ giác bốn nút khảo sát ảnh hưởng của biến dạng cắt
và lực quán tính quay đến bất ổn định động. Forys (1999) trình bày phương pháp biến
phân làm tối ưu hoá của các vấn đề phần tử cơ học bao gồm tấm chịu lực kích thích
tham số, tải trọng động điều hoà trong mặt phẳng tấm. Các ví dụ về tối ưu hóa biến
phân đối với sự mất ổn định đã được giải quyết và phân tích trong trạng thái cộng

hưởng điều hoà tham số. Sự ổn định động và hỗn loạn của tấm đàn hồi nhớt biến dạng
9


lớn có bốn biên tựa đơn chịu tải trọng động điều hoà trong mặt phẳng tấm được khảo
sát bằng cách sử dụng lý thuyết hỗn loạn và fractal (chaotic and fractal theory) bởi
Y.X. Sun và S.Y. Zhang (2001). Các ứng xử vật liệu được xét theo nguyên lý chồng
chất Boltzmann. Phương pháp Bubnov – Galerkin để giải hai phương trình vi phân phi
tuyến chủ đạo của tấm tìm được phương trình vi – tích phân phi tuyến. Phép tính tích
phân thời gian số của phương trình được thực hiện bằng cách sử dụng phương pháp
Runge-Kutta bốn bậc. Thảo luận sự ảnh hưởng của phi tuyến hình học và tham số đàn
hồi nhớt đến mất ổn định động của tấm đàn hồi nhớt. T.H. Young và cộng sự (2002)
sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn nghiên cứu ổn định động tấm xiên chịu tải
trọng khí động lực học và ngẫu nhiên trong mặt phẳng tấm. Phương pháp phần tử hữu
hạn sử dụng phân tích ổn định động của tấm có đặc tính sườn gia cường chịu tải trọng
động điều hoà phân bố một phần hoặc tập trung trong mặt phẳng tấm Srivastava và
cộng sự (2002, 2003). Phần tử áp dụng là phần tử tứ giác đẳng tham số chín nút với
năm bậc tự do. Phương pháp vô hạn định của Hill, phương pháp Bolotin được áp dụng
để xác định vùng bất ổn định động. Nghiên cứu ảnh hưởng của các thông số khác
nhau, như hệ số tải trọng tĩnh, tỉ lệ kích thước, điều kiện biên, bố trí sườn gia cường và
các tham số tải trọng động đến vùng bất ổn định động chính của tấm. Tiếp theo phát
triển công việc trên, Srivastava và cộng sự (2003, 2010) sử dụng phương pháp phần tử
hữu hạn nghiên cứu ổn định động tấm chữ nhật có sườn gia cường bị cắt bỏ một phần
chịu tải trọng động điều hoà trong mặt phẳng tấm. Sử dụng phương pháp phần tử hữu
hạn phân tích ứng xử ổn định động lực phi tuyến của tấm đàn hồi đẳng hướng cũng
như tấm composite, chịu tải trọng động điều hoà bởi Ganapathi và cộng sự (2000). Các
phân tích đưa ra sự tồn tại của dao động, phụ thuộc vào tần số kích thích của lực, ảnh
hưởng của điều kiện ban đầu, biên độ tải trọng và đặc trưng của dao động đến các
vùng khác nhau. S. Sassi và cộng sự (2001) nghiên cứu sự tương tác của lực và cộng
hưởng tham số của tấm hình chữ nhật không hoàn hảo. Trong nghiên cứu này, đáp ứng

thời gian và biểu đồ cân bằng pha đã được sử dụng đáp ứng tần số và đường cong FFT
để nghiên cứu các vùng chuyển tiếp. Lần đầu tiên, phân tích sự ảnh hưởng của một
mode không gian của tấm có khuyết tất đến mode khác nhau của tần số. Kim và cộng
sự (2003) phân tích các cộng hưởng tham số của tấm kim loại theo một mô hình tấm
chịu kéo với tải trọng động và phân bố không đều. Kết quả lý thuyết về dao động của
tấm được so sánh với các kết quả thực nghiệm của tấm kim loại dao động trong một cơ
sở sản xuất.
10


G.Y. Wu và Y.S. Shih (2005) phân tích bất ổn định động và đáp ứng phi tuyến của
tấm có nứt, biên tựa đơn, chịu nén tải trọng động điều hoà phân bố đều trong mặt
phẳng tấm. Nghiệm của hai phương trình vi phân chuyển động theo lý thuyết tấm vonKarman thoả mãn tất cả điều kiện biên nứt và biểu diễn hàm độ võng, hàm ứng suất là
chuỗi kép theo điều kiện gần đúng hàm dạng riêng dầm. Áp dụng phương pháp
Galerkin cho hai phương trình vi phân động của tấm von-Karman xác định được
phương trình Mathieu-Hill điều hoà phụ thuộc thời gian. Phương pháp cân bằng gia số
điều hòa (Incremental harmonic balance method - IHB) được áp dụng để giải quyết
những phương trình chuyển động phi tuyến phụ thuộc thời gian và phân tích sự bất ổn
định động của tấm. Tính toán được thực hiện cho các tấm chữ nhật với tỉ lệ kích thước
khác nhau và giá trị khác nhau của hệ số điều kiện vết nứt. Vùng bất ổn định động
tham số được biển diễn theo không gian của tải trọng kích thích, tần số tự nhiên hoặc
biên độ của tần số tự nhiên. Phát triển nghiên cứu trên, G.Y. Wu và Y.S. Shih (2006)
nghiên cứu bất ổn định động và đáp ứng phi tuyến của tấm chữ nhật và tấm xiên nhiều
lớp chịu tải trọng động điều hoà trong mặt phẳng tấm. Dựa trên lý thuyết tấm von
Karman, phương trình vi phân chuyển động biến dạng lớn của các tấm mỏng nhiều lớp
được xác định bằng cách áp dụng các phương pháp chuỗi tổng quát kép Fourier. Chọn
hàm dạng độ võng và hàm ứng suất, các phương trình điều khiển được rút gọn thành
phương trình Mathieu-Hill bằng cách sử dụng phương pháp Galerkin. Phương pháp
cân bằng gia số điều hòa (IHB) được áp dụng để giải quyết những phương trình
chuyển động phi tuyến và xác định được vùng bất ổn định động. Sự ổn định động của

một tấm sắt từ hình chữ nhật, biên tựa đơn dưới tác dụng của khu vực từ ngang phân
bố đều và tải trọng động điều hoà nén trong mặt phẳng tấm được nghiên cứu bởi X.
Wang và J.S. Lee (2006) có xét đến ảnh hưởng hệ số giảm từ. Dựa trên một lý thuyết
hiệu ứng từ đàn hồi tuyến tính và phương pháp nhiễu loạn, phương trình điều khiển hệ
thống hiệu ứng từ đàn hồi được rút gọn thành phương trình Mathieu. Tham số kích
thích của hệ thống với các lực kích thích nén điều hòa trong mặt phẳng tấm được thảo
luận và các vùng ổn định động tương ứng được mô phỏng chi tiết. Z. Wang và cộng sự
(2009) nghiên cứu ổn định động tấm chữ nhật đàn hồi nhớt có chiều dày thay đổi
tuyến tính và chịu tải trọng không bảo toàn tiếp tuyến. Các phương trình giá trị riêng
phức tạp của tấm đàn hồi nhớt chiều dày thay đổi tuyến tính được cấu tạo theo ứng xử
giản nở đàn hồi và biến dạng vết nứt theo luật Kelvin-Voigt chịu tác dụng tải trọng
không bảo toàn phân bố đều xác định được bằng phương pháp vi phân bậc hai
11


(differential quadrature method). Khảo sát những ảnh hưởng của tỷ lệ chiều dày, sự
chậm trễ thời gian và tham số vết nứt đến sự bất ổn định và tải trọng tới hạn của tấm.
Các đặc tính động và ổn định của tấm hình chữ nhật nhiệt đàn hồi chuyển động vận
tốc hằng số chịu tải trọng không bảo toàn phân bố đều tiếp tuyến được nghiên cứu bởi
X. Guo và cộng sự (2011). Tần số và tham số lực tới hạn của tấm nhiệt đàn hồi hình
chữ nhật chuyển động với bốn biên tựa đơn giản, hai biên đối diện tựa đơn và hai biên
ngàm được xác định theo phương pháp sai phân bậc hai (differential quadrature
method).
1.2.2. Tấm composite
Birman (1985) nghiên cứu sự ổn định động của tấm hình chữ nhật nhiều lớp, bỏ
qua biến dạng cắt ngang và quán tính quay. Ảnh hưởng của việc ghép không đối xứng
trên sự phân bố của các vùng bất ổn định động đã được khảo sát trong nghiên cứu này.
Ảnh hưởng của biến dạng cắt đến bất ổn định động tấm hình chữ nhật góc lớp (angleply) không đối xứng có các biên tựa đơn, chịu tải trọng động điều hoà phân bố đều trên
bốn biên được nghiên cứu bởi Bert and Birman (1987). Biên của miền bất ổn định
động là nghiệm của phương trình Mathieu được lập bảng và biểu diễn trên hệ trục bình

phương hệ số không thứ nguyên tần số kích thích – hệ số không thứ nguyên biên độ
lực động. J. Moorthy và cộng sự (1990) sử phương pháp phần tử hữu hạn phân tích bất
ổn định động tấm composite lớp đối xứng và phản đối xứng theo trục, chịu tải trọng
động điều hoà trong mặt phẳng tấm. Xét các điều kiện biên, hình học khác nhau, giả
thuyết sự biến dạng cắt ngang ảnh hưởng đáng kể và lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất
được áp dụng. Một số phương pháp giải phương trình chuyển động được sử dụng hai
xấp xỉ dựa trên phương pháp Bolotin. Các vùng bất ổn định chính và phụ được tính
toán. Ảnh hưởng của hệ số cản, tỷ lệ của chiều dài cạnh, độ dày của tấm, trực hướng,
điều kiện biên, số lượng lớp và góc lớp được phân tích. Ổn định động của tấm
composite lớp chữ nhật dưới tác dụng tải trọng động điều hoà phân bố đều trong mặt
phẳng của tấm được nghiên cứu bởi Chen và Yang (1990). Phương pháp phần tử hữu
hạn mô hình Galerkin, bao gồm cả những ảnh hưởng của biến dạng cắt ngang và quán
tính quay, được sử dụng để nghiên cứu tấm lớp góc phản đối xứng chịu sự kết hợp của
ứng suất uốn điều hoà và ứng suất nén điều hoà phân bố đều. Xác định vùng bất ổn
định động theo phương pháp Bolotin. M. Mond và G. Cederbaum (1992) khảo sát bất
ổn định tấm phản đối xứng góc lớp và phản đối xứng ngang lớp (antisymmetric angle12