Tuyển tập các đề Olympic toán sinh viên cấp trường ĐH Bách Khoa Hà Nội

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
TUYỂN TẬP CÁC ĐỀ OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN CẤP TRƯỜNG (2012 – 2018)
Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐH Bách Khoa HN 2012
Môn: Giải tích
Câu 1: Cho xn  3 6  3 6  ...  3 6  n.lâ n  . Tìm giới hạ n lim 6n  2  xn  .
n 

Câu 2: Cho hà m f :



thỏ a mã n: x0 

, tò n tạ i giới hạ n hữu hạ n lim f  x   g  x0  .
x  x0

Liệ u hà m g  x  có liên tụ c trên R không?
Câu 3: Tìm tá t cả cá c hà m liên tụ c f :



thỏ a mã n 3 f  2 x  1  f  x   5 x, x  R .

Câu 4:Cho f  x  liên tụ c trên  0;1 và khả vi hai là n trên  0;1 thỏ a mã n
f  0   f 1  0 và min f  x   1 . Chứng minh rà ng max f "  x   8 .
x0;1

x0;1

Câu 5: Cho hà m f khả vi và liên tụ c trên đoạ n  0;1 . Chứng minh rà ng:
1

1
f     f  x  dx   f '  x  dx
20
2 0
1

1

Câu 6: Cho f  x  khả vi hai là n trên đoạ n  0;1 . Chứng minh rà ng tò n tạ i c   0;1 sao cho
1

1

1

 f  x dx  f  0  2 f '  0  6 f " c 
0

Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐH Bách Khoa HN 2013
Môn: Giải tích
15  25  .......  n5
n 
n6
Câu 2: Tìm L  lim  m Với  m  max  x  x m 

Câu 1: Tìm giới hạn: lim
n 

x 0;1

Câu 3: Cho hàm u  x  dương liên tục trên  0;  , hàm   x  tăng và khả vi

 ' t 
u  t  dt . Chứng

t


0
x

trên  0;   ;   0   1 . Biết rằng với mọi x  0 ta có: u  x   1  
minh: u  x     x  trên  0; 
1

Câu 4: Cho f1  x   4 x3  3x, f n 1  f1  f n  . Tính: lim  f n2  x  dx
n 

TUẤN TEO TÓP

1


Câu 5: Tìm tất cả hàm f  x  xác định trên  0;   Và khả vi 2 lần thỏa mãn:

 f '  x   0

 f  f '  x     f  x 
Môn: Đại số
 3 1


 1 3 
 2
Câu 1: Cho 2 ma trận A  
và
B


 1
 1 2 

 2
k 1


1 

3 1 

2 

a. Cmr A2  A  E  0 .Tính f  A  E    1 Ak với E là ma trận đơn vị cấp 2
k

2013

b. Tính B 2016
Câu 2: Cho ma trận A là một ma trận thực, vuông cấp n. CMR det  A  At   0 với At là ma
trận chuyển vị của ma trận A
Câu 3: Cho ma trận A là ma trận vuông cấp n. Vết của A, kí hiệu tr  A là tổng các phần tử

chéo của A. Ma trận A gọi là ma trận lũy đẳng nếu A2  A . CMR:
a. Nếu A là ma trận lũy đẳng thì A chéo hóa được
b. A là ma trận lũy đẳng khi và chỉ khi rank  A  tr  A và rank  E  A   tr  E  A 
b, i  j

Câu 4: Tính định thức của ma trận vuông cấp 2013 A   aij  với: aij  a, i  j
b, i  j

Câu 5: Cho đa thức f  x   R  x  có ít nhất 2 nghiệm thực. Chứng minh rằng đa

thức p  x   f  x   4026 f   x   2013 f   x  cũng có ít nhất 2 nghiệm
Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐH Bách Khoa HN 2014
Môn: Giải tích
Câu 1. Cho x  0 , tính giới hạn: lim n2
n 

Câu 2. Cho hàm f  x   sinx  sin





n

x  n1 x





2 x , x  R . Chứng minh rằng không tồn tại số T  0 sao

cho: f  x   f  x  T  , x  R
Câu 3. Cho hàm số f  x  liên tục trên R, giả sử tồn tại 2 số x1 , x2 sao cho f ( x1 ) f ( x2 )  0 .
Chứng minh rằng: Tồn tại ba số a, b, c sao cho a  b  c, a  c  2b đồng
thời: 15 f (a)  2 f (b)  2014 f (c)  0

TUẤN TEO TÓP


Câu 4. Tìm tất cả các hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn f  0   0 và
f ( x)  2014 f ( x) , x  R

Câu 5. Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên  0;   . Chứng minh rằng:
Nếu lim  f  x   2013 f '  x    2014 thì lim f  x   2014
x 

x 

Câu 6. Cho hàm số f  x  liên tục trên  0,1 ; f  x   0, x  [0,1] . Chứng minh
1
n



rằng: lim   f n  x  dx   max f  x 
n 
x0,1
0


1

Môn: Đại số
Câu 1. Cho 3 dãy số  xn n0 ,  yn n0 ,  zn n0 xác định như sau:
4 xn 1  2 xn  yn  zn
 xn 

x0  a, y0  b, z0  c và 4 yn 1  xn  2 yn  zn , n  0 . Đặt U n   yn  , n  0
4 z  x  y  2 z
 zn 
n
n
n
 n 1
a) Xác định ma trận A sao cho U n1  AU n , n  0 . Chéo hóa ma trận A.
1
b) Chứng minh rằng: lim xn  lim yn  lim zn   a  b  c 
n 
n 
n 
3
Câu 2. Ma trận A  M  n, R  gọi là ma trận lũy linh nếu tồn tại số nguyên dương kk sao

cho Ak  0 . Cho P, Q  M  n, R  là các ma trận lũy linh.
a) Tìm các trị riêng của P. Từ đó suy ra đa thức đặc trưng của P.
b) Chứng minh rằng nếu PQ  QP thì PQ cũng là ma trận lũy linh.
c) Giả sử PQ  P  Q  0 . Tính det  I  2 P  3Q  .
1 1 2 
Câu 3. Cho A là ma trận cấp 3  2, B là ma trận cấp 2  3 sao cho AB   2 1 3 
 2 1 1 

a) Chứng minh rằng:  AB   3  AB  .
3

2

b) Tìm BA
0, i  j
, b  0 . Chứng minh
Câu 4. Cho ma trận A   aij  vuông cấp 2014, trong đó aij   i  j
b , i  j
rằng: A khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo của A.

TUẤN TEO TÓP


Câu 5. Cho đa thức f  x   2014 x 2014  a2013 x 2013  ........  a1 x  a0 có 2014 nghiệm
thực x1 , x2 ,..., x2014 và g  x   2014 x 2013  a2013 x 2012  ........  a2 x  a1 . Chứng minh rằng:
2014

g  xi 

 f ' x   1
i 1

i

Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐH Bách Khoa HN 2015
Môn: Giải tích
7

Câu 1. Tìm giới hạn: lim x 4
x 



4



1 x  4 1 x  2 4 x



Câu 2. Tính tích phân:

2

 1
0

dx

 tanx 

2

 1 
Câu 3. Tìm tât cả các hàm số f(x)f(x) thỏa mãn f  x   f 
x

 1 x 
2

 f1  x   2 x  1
Câu 4. Cho các hàm số f1 , f 2 ,..., f n ,... thỏa mãn 
.Giải phương
f

f
f
x
,

n

1





 n1 1 n
trình f n  x   0

Câu 5. Cho hàm số f  x  xác định và khả vi hai lần trên  0,   , thỏa mãn các điều kiện sau


 f ' x  0
, x  0 . Tìm f  x 


f
f
'
x


f
x








1

Câu 6. Cho hàm số liên tục trên  0;1 thỏa mãn  f  x  x n dx  0,n  N . Chứng minh
rằng f 1  0

0

Môn: Đại số
Câu 1: Cho ma trận A vuông cấp 2015. Chứng minh tồn tại hai ma trận B, C thỏa mãn
A  B  C và detBC  0
a11 x1  a12 x2  ........  a1n xn  0
a x  a x  ........  a x  0
 21 1 22 2
2n n

Câu 2: Cho hệ phương trình: 
 n  3 , trong đó
.......
an1 x1  an x2  ........  ann xn  0

2
aij  2i  3 j  4ij

a) Chứng minh hệ phương trình có nghiệm không tầm thường.
b)Tìm số chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình trên

TUẤN TEO TÓP


Câu 3: Cho V1 ,V2 ,V3 là các không gian con hữu hạn chiều V . Chứng minh rằng
dim V1  V2  V3   dimV1  dimV2  dimV3  dim V1  V2   dim V1  V3   dim V2 V3   dim V1 V2 V3 

Câu 4: Cho không gian véc tơ thực V , với dimV  2015 và f k : V  R là các dạng tuyến
tính, với k  1, 2,......,5000 . Chứng minh tồn tại các số thực: x1 , x2 ,....., x5000 sao cho:
x1 f1  x2 f 2  .....  x5000 f5000  0

Câu 5: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c, d cho trước thì luôn tồn tại duy nhất đa
thức bậc hai p  x  hệ số thực sao cho  a  p 1   b  p  2    c  p  3    d  p  4 
đạt giá trị nhỏ nhất
2

2

2

2

Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐH Bách Khoa HN 2016
Môn: Giải tích
3

 f1  x   4 x  3x
Câu 1: Cho dãy hàm số fn(x)fn(x) xác định bởi: 

 f n 1  x   f1  f n  x  
1

Tính giới hạn: lim   f n  x   dx
2

n 

1


Câu 2: CMR: 0 


0

2016
x
1
1
dx




x
2
e 1
2016
n 1 n

Câu 3: Cho hàm số f : R  R khả vi ba lần. CMR tồn tại    1;1 thỏa mãn:
f "'   f 1  f  1

 f '  0
6
2
Câu 4: Xác định tất cả các hàm số f : R  R liên tục thỏa mãn: 3 f  2 x  1  f  x   5 x

Câu 5: Tìm hàm số f có đạo hàm cấp 2 liên tục trên đoạn  0;1 thỏa
mãn: f  0   f 1  0, f '  0   1 sao cho

1



f "  x  dx đại giá trị nhỏ nhất.
2

0

Câu 6: CMR với mọi x  0 phương trình z 3  xz  8 xác định duy nhất hàm số thực z  x  .

7

Tính I   z 2  x  dx
0

Môn: Đại số
Câu 1: Cho các số phức  k  cos
2015

thức: A  
k 0

1
2  k

TUẤN TEO TÓP

k 2
k 2
 isin
, k  0,1, 2,....., 2015 . Tính giá trị của biểu
2016
2016


2, i  j

Câu 2: Tính định thức của ma trận A  aij 
, trong đó: aij  1,  i  j  1
2016 x 2016


0,  i  j  1
Câu 3: Cho A  aij  là một ma trận có hạng bằng m. Chứng minh tồn tại ma
mxn

trận B  aij 

nxm

sao cho AB  I m (trong đó I m là ma trận đơn vị cấp m)

Câu 4: Kí hiệu P2  x  là không gian vêcto các đa thức với hệ số thực có bậc nhỏ hơn bằng 2.

Cho toán tử tuyến tính: f : P2  x   P2  x  xác định bởi:

f  a0  a1 x  a2 x 2    5a0  4a1  a2    2a0  a1  a2  x  10a0  10a1  6a2  x 2

Xác định vêcto: f 2016  3  6 x  7 x 2  , trong đó f 2016  fofo...of

Câu 5: Có bao nhiêu bộ có thứ tự  n1 , n2 , n3  các số tự nhiên thỏa mãn:
n1  1, n2  2, n3  3 và n1  n2  n3  2016
Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐH Bách Khoa HN 2017

Môn: Giải tích

1

Câu 1: Tính giới hạn: lim  2sin x  xsin 
x 0 
x

x

1
Câu 2: Cho f  x   sin2017 x . Tính giới hạn lim  f  x  
x 0 x


Câu 3: Cho dãy số an  thỏa mãn 0  an  1, an 1  an 1  

 x
f  
2

 x
f    ...... 
3

 x 
f

 2017  

1
với mọi n  N . Chứng minh dãy
4

hội tụ và tìm giới hạn của dãy


Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 f  x  dx , trong đó
2

f là hàm số liên tục trên

0

đoạn  0,   và thỏa mãn





0

0

 f  x  sinxdx   f  x  cosxdx  1

Câu 5: Cho dãy số an  thỏa mãn a1  2, an 1   an   an  1 với mọi n  N * . Tính tổng
2

Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐH Bách Khoa HN 2018
Môn: Giải tích

TUẤN TEO TÓP



1

a
n 1

n


Câu 1: Cho dãy số an  bị chặn và thỏa mãn điều kiện: an 1  an 
minh rằng dãy an  hội tụ
Câu 2: Tính tổng



2

 arctan n
n 1

1
với mọi n  N . Chứng
2n

2

Câu 3: Cho hàm số f  x  khả vi liên tục cấp hai trên  0,   và thỏa mãn

lim xf  x   0, lim xf " x   0 . Tính giới hạn lim xf '  x   0
x 

x 

x 

Câu 4: Cho hàm số f :  0,    R lồi và thỏa mãn lim f  x   0 . Chứng minh rằng hàm số
x

x 0

f  x
là hàm tăng trên  0,  
x

Câu 5: Tìm tất cả các hàm số f  x  khả vi liên tục trên R và thỏa mãn điều kiện
f  x   2, f  x  f '  x   sinx với mọi x  R

Câu 6: Cho hàm số f  x  khả vi liên tục hai lần trên đoạn  0;1 thỏa mãn điều kiện
f  0   f 1  0, f '  0   1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1



f "  x  dx
2

0

Môn: Đại số

 4 2 1
3 2 
Câu 1: Cho ma trận: A   1
 6 4 1 

a)Chéo hóa ma trận A
n

1 k
A với E là ma trận đơn vị cấp 3. Tính limVn
n 
k 1 k !

b) Đặt Vn  E  

Câu 2: Cho A và B là hai ma trận vuông cấp 2018 thỏa mãn: AB  2018 A  2019B  0 .
Chứng minh rằng:
a) AB  BA
b) rank  A  rank  B  ở đó rank  X  là hạng của ma trận X

TUẤN TEO TÓP


1

 x1  2 x2  3 x3  ....  2018 x2018  2018 x1

2 x  3 x  4 x  ....  2019 x  3 x
2
3

2018
2
 1
2018

5

x3
Câu 3: Giải hệ phương trình: 3 x1  4 x2  5 x3  ....  2020 x2018 
2018

......

2018 x1  2019 x2  2020 x3  ....  4035 x2018  4035 x2018

2018


Câu 4: a) Cho S  1; 2;3;.....; 2018 và T là tập hợp các tập con khác rỗng của S . Với mỗi tập
X  T , kí hiệu m  X  là trung bình cộng các phần tử của X . Tính m 

 m X 

X T

T

ở đó T là

số các phần tử của T

b) Với r , s là hai số nguyên dương, gọi R  r , s  là số người tối thiểu sao cho trong đó luôn
tìm được r người đôi một quen nhau hoặc s người đôi một không quen nhau. Chứng minh
rằng R  r , s   R  r  1, s   R  r , s  1 với mọi số nguyên r , s  2
Câu 5: Cho các đa thức f  x  , g  x  với hệ số thực, thỏa mãn
xf  x 2019  2018   x 2 g  x 2019  2018  chia hết cho đa thức  x 2  x  1 . Đặt h  x   f  x  g  x  .
Chứng minh rằng h '  2019   0

TUẤN TEO TÓP