Lát mặt phẳng bởi các đa giác đều

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

TRẦN THỊ THẮM

LÁT MẶT PHẲNG BỞI
CÁC ĐA GIÁC ĐỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

TRẦN THỊ THẮM

LÁT MẶT PHẲNG BỞI
CÁC ĐA GIÁC ĐỀU
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. Nguyễn Việt Hải

THÁI NGUYÊN - 2018

✐

❉❛♥❤ ♠ö❝ ❤➻♥❤
✶✳✶
✶✳✷
✶✳✸
✶✳✹
✶✳✺
✶✳✻
✶✳✼

P❤➨♣ ❞ü♥❣ ♥❣ô ❣✐→❝ ✤➲✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
P❤➨♣ ❞ü♥❣ ♥❣ô ❣✐→❝ ✤➲✉ ❝õ❛ ❘✐❝❤♠♦♥❞
◆➠♠ ❜÷î❝ ❞ü♥❣ ♥❣ô ❣✐→❝ ✤➲✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❚❤➟♣ ❣✐→❝ ❧ç✐ ✤➲✉✱ t❤➟♣ ❣✐→❝ s❛♦ ✤➲✉ ✳ ✳
▼ët sè ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❉ü♥❣ 15−❣✐→❝ ✤➲✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✵ ❜÷î❝ ❞ü♥❣ 17−❣✐→❝ ✤➲✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✻
✽
✽
✾
✶✸
✶✺
✶✻

✷✳✶
✷✳✷
✷✳✸
✷✳✹
✷✳✺
✷✳✻
✷✳✼
✷✳✽
✷✳✾
✷✳✶✵
✷✳✶✶

▲→t ♣❤➥♥❣ ✤➲✉ ❧♦↕✐ 3α6 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
▲→t ♣❤➥♥❣ ✤➲✉ ❧♦↕✐ 1α4 + 2α8 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
▲→t ♣❤➥♥❣ ✤➲✉ ❧♦↕✐ 1α3 + 2α12 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❑❤æ♥❣ tç♥ t↕✐ ❧→t ♣❤➥♥❣ ✤➲✉ ❧♦↕✐ 2α5 + 1α10 ✳ ✳ ✳
▲→t ♣❤➥♥❣ ✤➲✉ ❧♦↕✐ 1α4 + 1α6 + 1α12 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❛✲▲→t ♣❤➥♥❣ ✤➲✉ ❧♦↕✐ 4α4 ✈➔ ❜✲❧♦↕✐ 1α3 + 2α4 + 1α6
❑❤æ♥❣ ❝â ❧→t ♣❤➥♥❣ ✤➲✉ ❧♦↕✐ 2α3 + 2α6 ❦✐➸✉ ❛✮ ✳ ✳
❑❤æ♥❣ ❝â ❧→t ♣❤➥♥❣ ✤➲✉ ❧♦↕✐ 2α3 + 1α4 + 1α12 ✳ ✳
▲→t ♣❤➥♥❣ ✤➲✉ ❧♦↕✐ 4α3 + 1α6 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
▲→t ♣❤➥♥❣ ✤➲✉ ❧♦↕✐ 3α3 + 2α4 ❦✐➸✉ ❛✮ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
▲→t ♣❤➥♥❣ ✤➲✉ ❧♦↕✐ 3α3 + 2α4 ❦✐➸✉ ❜✮ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✷✷
✷✸
✷✸
✷✹
✷✺
✷✻
✷✼
✷✼
✷✽
✷✾
✷✾

✸✳✶
✸✳✷
✸✳✸
✸✳✹
✸✳✺

▲→t ♣❤➥♥❣ ❜ð✐ tù ❣✐→❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
▲→t ♣❤➥♥❣ ❜ð✐ tù ❣✐→❝ ❧ç✐ ❤♦➦❝ ❧ã♠
●❤➨♣ t❤➔♥❤ ❝→❝ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t ✳ ✳
●❤➨♣ t❤➔♥❤ ❤➻♥❤ ❜➻♥❤ ❤➔♥❤ ✳ ✳ ✳
❱➼ ❞ö ✸✳✶✳✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳

✸✶
✸✶
✸✷
✸✸
✸✸

✳ ✳
✳
✳ ✳
✳ ✳
✳ ✳

✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳


✐✐

✸✳✻
✸✳✼
✸✳✽
✸✳✾
✸✳✶✵
✸✳✶✶
✸✳✶✷
✸✳✶✸
✸✳✶✹
✸✳✶✺
✸✳✶✻

✸✳✶✼
✸✳✶✽
✸✳✶✾
✸✳✷✵

❱➼ ❞ö ✸✳✶✳✹

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✹

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✺

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✸✺

✸✻
✹✵
✹✷
✹✸
✹✸
✹✹
✹✺
✹✻
✹✽
✹✾
✺✶
✺✸

1
q = SABCD ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
3
▲→t ♣❤➥♥❣ ❜ð✐ ❝→❝ ❤➻♥❤ ❧ö❝ ❣✐→❝ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉
❇❛ ❦✐➸✉ ❧→t ♣❤➥♥❣ ❜ð✐ ❝→❝ ❧ö❝ ❣✐→❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❚ê♥❣ ❝→❝ ❣â❝ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❉✐➺♥ t➼❝❤ ❜➡♥❣ ✶✴✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❉✐➺♥ t➼❝❤ ❤➻♥❤ ❜➻♥❤ ❤➔♥❤ ♥❤ä ♥❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤à♥❤ ❧þ P②t❤❛❣♦r❛s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
▲→t ♣❤➥♥❣ tù ❣✐→❝ tò② þ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❍➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✣à♥❤ ❧þ ◆❛♣♦❧❡♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❉ò♥❣ ♥❣✉②➯♥ t➢❝ ❉✐r✐❝❤❧❡t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❇➔✐ t♦→♥ ♣❤õ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❚✐❛ ❧✐➯♥ ✤î✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳


✐✐✐

▼ö❝ ❧ö❝
▲í✐ ❝↔♠ ì♥
▼ð ✤➛✉

✶ ✣❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ ✈➔ ❝→❝❤ ❞ü♥❣
✶✳✶

✶✳✷
✶✳✸

✣❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✶ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì ❜↔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✷ ❉ü♥❣ ♥❣ô ❣✐→❝ ✤➲✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✣❛ ❣✐→❝ ✤➲✉✱ ❤➔♠ ❊✉❧❡r ✈➔ ❝→❝ sè ❋❡r♠❛t✳
❉ü♥❣ n−❣✐→❝ ✤➲✉ ✈î✐ n ❝â ❞↕♥❣ 2k .3.5.17 ✳
✶✳✸✳✶ ❉ü♥❣ 15−❣✐→❝ ✤➲✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✸✳✷ ❉ü♥❣ 17−❣✐→❝ ✤➲✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷ ▲→t ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❜ð✐ ❝→❝ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉
✷✳✶
✷✳✷

❇➔✐ t♦→♥ sè ❤å❝ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❧→t ♣❤➥♥❣
▲→t ♣❤➥♥❣ ✈➔ ❧→t ♣❤➥♥❣ ✤➲✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✶ ▲→t ♣❤➥♥❣ ✤➲✉ ✈î✐ s❛♦ ♣❤➥♥❣ ✤➾♥❤
✷✳✷✳✷ ▲→t ♣❤➥♥❣ ✤➲✉ ✈î✐ s❛♦ ♣❤➥♥❣ ✤➾♥❤
✷✳✷✳✸ ▲→t ♣❤➥♥❣ ✤➲✉ ✈î✐ s❛♦ ♣❤➥♥❣ ✤➾♥❤
✷✳✷✳✹ ▲→t ♣❤➥♥❣ ✤➲✉ ✈î✐ s❛♦ ♣❤➥♥❣ ✤➾♥❤

✸ ❈→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥
✸✳✶

✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❝â ✸ ✤❛ ❣✐→❝
❝â ✹ ✤❛ ❣✐→❝
❝â ✺ ✤❛ ❣✐→❝
❝â ✻ ✤❛ ❣✐→❝

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳

✈
✶
✹

✹
✹
✻
✾
✶✷
✶✷
✶✻

✶✽

✶✽
✷✵
✷✷
✷✺
✷✻
✷✽

✸✵

▲→t ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❜ð✐ ❝→❝ ✤❛ ❣✐→❝ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✵
✸✳✶✳✶ ▲→t ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❜ð✐ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝✱ tù ❣✐→❝ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉ ✸✵
✸✳✶✳✷ ▲→t ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❜ð✐ ❝→❝ ❧ö❝ ❣✐→❝ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✺


✐✈

✸✳✷

✸✳✸

✸✳✶✳✸ ▲→t ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❜ð✐ ❝→❝ ♥❣ô ❣✐→❝ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉
❍➻♥❤ ❤å❝ tr➯♥ ❧→t ♣❤➥♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✸✳✷✳✶ ❈→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✸✳✷✳✷ ✣à♥❤ ❧þ P②t❤❛❣♦r❛s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✸✳✷✳✸ ❚ù ❣✐→❝ ✈➔ ❧ö❝ ❣✐→❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✸✳✷✳✹ ✣à♥❤ ❧þ ◆❛♣♦❧❡♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❈→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤→❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✸✻
✸✾
✸✾
✹✸
✹✹
✹✺
✹✼

✺✽




ớ ỡ
ổ t ỡ Pỏ t

t rữớ ồ ồ ồ t
t ủ tổ ữủ t ỹ õ ồ t ỡ
qỵ t ổ ợ ồ
t t tr t ỳ tự qỵ ụ ữ t
tổ t õ ồ
t ữủ ởt tổ ổ
ữủ sỹ ữợ ú ù t t ừ P t
rữớ ồ Pỏ ổ t
tọ ỏ t ỡ s s t ỷ ớ tr t ừ tổ ố
ợ ỳ t tổ
ổ ỷ ớ ỡ t t tợ ỳ
ữớ ổ ở ộ trủ t ồ tổ tr sốt
q tr ồ t tỹ
tr trồ ỡ

Pỏ t
ữớ t
r


✶

▼ð ✤➛✉
✶✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥
✣❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ ❧➔ ♠ët ❝❤õ ✤➲ q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ❤➻♥❤ ❤å❝ ♣❤➥♥❣ ❊✉❝❧✐❞❡✳
P❤➨♣ ❞ü♥❣ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ ✶✼ ❝↕♥❤ ❧➔ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ①✉➜t s➢❝ ♠➔ ●❛✉ss ✤➣ ❝è♥❣
❤✐➳♥ ❝❤♦ ♥❤➙♥ ❧♦↕✐✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✤➦t r❛ ❧➔✿ ❍➣② ♣❤õ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❜➡♥❣ ❝→❝ ✤❛
❣✐→❝ ✤➲✉❄ ❈â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❝→❝❤ ✧❧→t ❦➼♥✧ ♠➦t ♣❤➥♥❣❄ ❈ò♥❣ ✈î✐ ❜➔✐ t♦→♥
✤â✱ ❧➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❞ü♥❣ ✤÷ñ❝ ❝→❝ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ ❝â ❧✐➯♥ q✉❛♥ ❣➻ ✤➳♥ sè ❤å❝❄
❚r➻♥❤ ❜➔② ❝→❝❤ ❣✐↔✐ q✉②➳t ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ tr➯♥ ❧➔ ❧þ ❞♦ ✤➸ tæ✐ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐

✧▲→t ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❜ð✐ ❝→❝ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉✧✳
▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ❧➔✿
✲ ❚r➻♥❤ ❜➔② ❧à❝❤ sû✱ ❝→❝❤ ❞ü♥❣ ♠ët sè ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ ❜➡♥❣ t❤÷î❝ ✈➔ ❝♦♠
♣❛✳ ▼è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ♣❤➨♣ ❞ü♥❣ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ ❜➡♥❣ t❤÷î❝ ❦➫ ✈➔ ❝♦♠ ♣❛
✈î✐ ❝→❝ sè ❋❡r♠❛t✳
✲ ❚r➻♥❤ ❜➔② ❧í✐ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❧→t ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❜ð✐ ❝→❝ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ ✭❧→t
♣❤➥♥❣ ✤➲✉✮ tr♦♥❣ ❧î♣ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ♣❤õ ♠➦t ♣❤➥♥❣✳
✲ ❇ê s✉♥❣ t❤➯♠ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤♦ ❣✐→♦ ✈✐➯♥ tr♦♥❣ ❝→❝ ❝❤✉②➯♥ ✤➲ ❦❤â ð
tr÷í♥❣ ❚❍❈❙ ✈➔ ❚❍P❚ ❣â♣ ♣❤➛♥ ✤➔♦ t↕♦ ❤å❝ s✐♥❤ ❤å❝ ❣✐ä✐ ♠æ♥ ❍➻♥❤
❤å❝✳

✷✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐✱ ♥❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ ❝➛♥ ❣✐↔✐ q✉②➳t
❚r➻♥❤ ❜➔② ♠ët ❝→❝❤ ❤➺ t❤è♥❣ ❝→❝❤ ❞ü♥❣ ♠ët sè ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉✱ ✤✐➲✉
❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ✤➸ ❞ü♥❣ ✤÷ñ❝ ♠ët ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ ❜➡♥❣ ❝♦♠ ♣❛ ✈➔ t❤÷î❝
❦➫✳ ●✐î✐ t❤✐➺✉ ❜➔✐ t♦→♥ ❧→t ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❜ð✐ ❝→❝ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉✱ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤




ỵ t rở s t q t t
ồ tr t
t ở ữỡ

ữỡ ỹ
t ỹ tữợ ởt tr
t ỹ ờ t ừ ồ ỹ
õ ữ t ử tở số ừ ộ ởt ụ
ỹ ữủ tữợ tứ tớ ữ ữ
s t ồ ổ t r ữủ ỹ ởt tt
õ r õ ổ ỹ ữủ tữợ

n = 7, 9, 11, 13, ... ữỡ ỗ

r số rt
ỹ n ợ n õ 2k .3.5.17

ữỡ t t
trồ t ợ t t
tr ữủ ởt t q q trồ õ
t ữỡ ỗ ử s
t số ồ q t
t t

ữỡ t q
t t ởt tr t ừ õ ở
q trồ ừ ồ tờ ủ ữỡ ợ t t
t q t ở ỗ
t t


✸

✸✳✷✳ ❍➻♥❤ ❤å❝ tr➯♥ ❧→t ♣❤➥♥❣✳
✸✳✸✳ ❈→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤→❝✳




ữỡ
ỹ
t ỹ rt ờ t ữủ t tứ ữ ữ

t t ồ ợ t r ớ õ t
ỹ t ởt õ ú t
t ỡ ữ qt ữủ ú
t ồ sỷ ử ổ ử ừ t ồ
q ồ số ồ ồ số ữỡ
t ỹ tữợ



ỡ
õ tt
tt õ

tữớ ũ t ồ t tự ụ
t t ụ ũ ỵ
õ ỗ
s r t t ỗ
t t s t t
t ừ tr ởt ữớ trỏ ồ
õ ởt ữớ trỏ t
ồ õ ởt ữớ trỏ ở t




ồ õ t ố ự số õ trử ố
ự số
õ ố ự ừ n ữủ ồ õ
Dn D2 , D3 , D4 , ... õ ỗ q q t Cn t ố
ự ũ ợ ố ự ừ n trử q t n

t ởt ỷ số trử ố ự q ố ự ừ
ỷ ỏ q tr ừ ố n t tt
trử ố ự q ởt tr ừ ố
ợ
õ ợ ởt n số õ tr ữủ t
ổ tự

1

2
(n 2)
radian.
1800
n
n

ở t tr ữớ trỏ t O t õ t

2

n
n(n 3)
ữớ ợ n 3 số ữớ tr

2
ú t 1, 4, 11, 24, ... t ừ ỗ
t2 n
t2 n
n SF =
=

1800
4
tan
4 tan
n
n
s =

3600
2
nR sin
nR2 sin
n =
n .
SF =
2
2
2

P ỹ t n = 3 ổ n = 4
õ t s tữợ t ỹ ữủ ởt n
t ụ ỹ ữủ ởt 2n õ tứ n t
õ t ỹ ữớ trỏ t rỗ ỹ ữớ tr trỹ ừ ộ
ổ ộ trỏ t s t ữủ 2n ữ
tứ 3 t s ỹ ữủ 6 12 24
tứ 4 t s ỹ ữủ 8 16
ứ õ t s r t t trữớ ủ ỹ n ợ n

✻

♠ët sè ❧➫ ❧î♥ ❤ì♥ ❤♦➦❝ ❜➡♥❣ ✺✳ ❈ô♥❣ ❝❤ó þ r➡♥❣ ❝❤➥♥❣ ❤↕♥ ♠✉è♥ ❞ü♥❣
✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ ✶✸✻ ❝↕♥❤ t❤➻ ❞♦ 136 = 17 × 8 = 17 × 2 × 2 × 2 ♥➯♥ t❛
❝â t❤➸ q✉② ✈✐➺❝ ❞ü♥❣ ❤➻♥❤ 136−❣✐→❝ ✤➲✉ ✈➲ ✈✐➺❝ ❞ü♥❣ 17−❣✐→❝ ✤➲✉✳ ❚ø
t❤í✐ ❝ê ✤↕✐ ♥❣÷í✐ t❛ ✤➣ ❞ü♥❣ ✤÷ñ❝ ♥❣ô ❣✐→❝ ✤➲✉✱ tr♦♥❣ ❝✉è♥ ✧❈ì sð ❤➻♥❤
❤å❝✧ ♥ê✐ t✐➳♥❣ ❊✉❝❧✐❞ ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝❤ ❞ü♥❣ ❤➻♥❤ ♥❣ô ❣✐→❝ ✤➲✉ ❜➡♥❣
t❤÷î❝ ❦➫ ✈➔ ❝♦♠ ♣❛✳ ❱➟② ♠➔ q✉❛ ❣➛♥ ✷✵✵✵ ♥➠♠ ❦❤æ♥❣ ❛✐ t➻♠ r❛ ✤÷ñ❝
❝→❝❤ ❞ü♥❣ 7−❣✐→❝ ✤➲✉✱ 9−❣✐→❝ ✤➲✉✱ 11−❣✐→❝ ✤➲✉✱✳✳✳❱✐➺❝ ❞ü♥❣ ♠ët ✤❛
❣✐→❝ ✤➲✉ n ❝↕♥❤ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐ ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ ♠ët ✤÷í♥❣ trá♥ ❝❤♦ tr÷î❝
t❤➔♥❤ n ♣❤➛♥ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✳ ❱➻ t❤➳ tr♦♥❣ ❝→❝ ❝→❝❤ ❞ü♥❣ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ s❛✉
✤➙② t❛ s➩ t➻♠ ❝→❝❤ t➼♥❤ ✤ë ❞➔✐ ❝↕♥❤ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ ✤➸ ①→❝ ✤à♥❤ ✤✐➸♠ ❝❤✐❛
tr➯♥ ✤÷í♥❣ trá♥✳

✶✳✶✳✷ ❉ü♥❣ ♥❣ô ❣✐→❝ ✤➲✉
2π
✱ t❛ ❝â✿ cos 2α = cos 3α ⇐⇒ 2 cos2 α − 1 = 4 cos4 α −
5
3
3 cos α ⇐⇒ (cos α
❣✐→ trà t❤➼❝❤
√−1)(4 cos α +2 cos α −1) = 0✱ t➻♠ ✤÷ñ❝√
5−1
5−1
2π
❤ñ♣ ❧➔ cos
=
✳ t❛ ❝â ❝→❝ ❜÷î❝ ❞ü♥❣ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣
tr➯♥
5

4
4
❤➻♥❤ ✶✳✶ ❝â ✤÷í♥❣ trá♥ t➙♠ O✱ ❜→♥ ❦➼♥❤ R = 1 ♥❤÷ s❛✉✿
✣➦t α =

❍➻♥❤ ✶✳✶✿ P❤➨♣ ❞ü♥❣ ♥❣ô ❣✐→❝ ✤➲✉
✲ ❉ü♥❣ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ I ❝õ❛ OB
✲ ❉ü♥❣ ✤÷í♥❣ trá♥ (I, IC)✱ ♥â ❝➢t AB ❝➢t ✤✐➸♠ t❤ù ❤❛✐ J


✼

✲ ❉ü♥❣ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ K ❝õ❛ OJ ✱ q✉❛ K ❞ü♥❣ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ d OC ✳
✲ ●å✐ P1 ❧➔ ♠ët tr♦♥❣ ❤❛✐ ❣✐❛♦ ✤✐➸♠ ❝õ❛ d ✈➔ (O)✳
✲ ▲➜② AP1 ❧➔ ♠ët ❝↕♥❤ t❛ ❞ü♥❣ ❝→❝ ✤➾♥❤ ❝á♥ ❧↕✐ ❝õ❛ ♥❣ô ❣✐→❝ ✤➲✉
AP1 P2 P3 P4 ✳

√

√
5
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❤❡♦ ❝→❝❤ ❞ü♥❣✿ IJ = IC = 2 ; OK = 54− 1 . ❚ø ✤â✱
√
OK
5−1
= OK =
♥➯♥ AP1 ❧➔ ❝↕♥❤ ♥❣ô ❣✐→❝ ✤➲✉✳
cos α =
OP1
4

❈→❝ ❜÷î❝ ❞ü♥❣ ♥❣ô ❣✐→❝ ✤➲✉ t❤❡♦ ♣❤➨♣ ❞ü♥❣ ❝õ❛ ❘✐❝❤♠♦♥❞✿
❇÷î❝ ✶✲ ❉ü♥❣ ✤÷í♥❣ trá♥ t➙♠ O✱ ❜→♥ ❦➼♥❤ R = 1✳ ❚ø ♠ët ✤✐➸♠ B
tr➯♥ ✤÷í♥❣ trá♥ ❦➫ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ BO✳
❇÷î❝ ✷✲ ❱➩ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ D ❝õ❛ OB ✭❞ü♥❣ tr✉♥❣ trü❝✮✳
❇÷î❝ ✸✲ ❑➫ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ q✉❛ O✱ ✈✉æ♥❣ ❣â❝ ✈î✐ OB ✱ ❦þ ❤✐➺✉ ♠ët
tr♦♥❣ ✷ ❣✐❛♦ ✤✐➸♠ ✈î✐ ✤÷í♥❣ trá♥ ❧➔ P1 ✳
❇÷î❝ ✹✲ ❑➫ ♣❤➙♥ ❣✐→❝ ODP1 ✱ ❝➢t OP1 ð N2 ✳
❇÷î❝ ✺✲ ❑➫ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ q✉❛ N2 ✱ ✈✉æ♥❣ ❣â❝ ✈î✐ OP1 ❝➢t ✤÷í♥❣ trá♥
t↕✐ ✷ ✤✐➸♠ ♠➔ ✶ ✤✐➸♠ ❧➔ P2 ✳ P1 P2 ❧➔ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ♥❣ô ❣✐→❝ ✤➲✉ ♥ë✐ t✐➳♣ tr♦♥❣
✤÷í♥❣ trá♥✳

√
5
−
5
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ P1P2 = 2 sin 360 =
✳
2
⑩♣ ❞ö♥❣ ✤à♥❤ ❧þ P✐t❤❛❣♦r❛s ✈➔♦ ✷ t❛♠ ❣✐→❝ ✈✉æ♥❣ DON2 , DOP1 ✈➔
ϕ
1 − cos ϕ
❤➺ t❤ù❝ tan =
✳ ✣➦t h = ON2 , ϕ = ODP1 , a = N2 P2 , s =
2
sin
ϕ
√
√
√

5
2 5
5
1
ϕ
=⇒ sin ϕ =
; cos ϕ =
✳ h = tan =
P1 P2 ✳ t❛ ❝â✿ DP1 =
2
5
5
2
2
√
√
1 − cos ϕ
5−1 2
1 5+ 5 2
=
❀ a = 1 − h2 =⇒ a =
✳ s = (1 − h)2 +
sin ϕ
4
2
2
√
5−1
a2 = (1 − h)2 + 1 − h2 = 1 − 2h + h2 + 1 − h2 = 2 − 2h = 2 − 2.
=

4
√
√
5− 5
5− 5
=⇒ s =
✳
2
2


✽

❍➻♥❤ ✶✳✷✿ P❤➨♣ ❞ü♥❣ ♥❣ô ❣✐→❝ ✤➲✉ ❝õ❛ ❘✐❝❤♠♦♥❞

❍➻♥❤ ✶✳✸✿ ◆➠♠ ❜÷î❝ ❞ü♥❣ ♥❣ô ❣✐→❝ ✤➲✉
▼ët ❝→❝❤ ❞ü♥❣ ❦❤→❝ ✭❜ä q✉❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✮✱ ①❡♠ ❤➻♥❤ ✶✳✸✿
❇÷î❝ ✶ ❉ü♥❣ (O) ✈➔ ✷ ✤÷í♥❣ ❦➼♥❤ ✈✉æ♥❣ ❣â❝ N S ✈➔ EW ✳
❇÷î❝ ✷ ❱➩ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ M ❝õ❛ ON
❇÷î❝ ✸ ❱➩ ✤÷í♥❣ trá♥ t➙♠ M ✤✐ q✉❛ ❊✱ ❝➢t N S ð E ✈➔ E ✳
❇÷î❝ ✹ ❱➩ ✤÷í♥❣ trá♥ t➙♠ E ✤✐ q✉❛ E ✱ ❝➢t (O) ð P ✈➔ P
❇÷î❝ ✺ ❱➩ ✤÷í♥❣ trá♥ t➙♠ E ✤✐ q✉❛ E ✱ ❝➢t (O) ð Q ✈➔ Q ✳ ❑❤✐ ✤â
♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ♥❣ô ❣✐→❝ ✤➲✉ EP P Q Q ♥ë✐ t✐➳♣ ✤÷í♥❣ trá♥✳
❑❤✐ ✤➣ ❝â ♥❣ô ❣✐→❝ ✤➲✉ t❤➻ t❛ ❞ü♥❣ ✤÷ñ❝ n−❣✐→❝ ✤➲✉ ✈î✐ n = 10, 20, ...✳


✾

✶✳✷ ✣❛ ❣✐→❝ ✤➲✉✱ ❤➔♠ ❊✉❧❡r ✈➔ ❝→❝ sè ❋❡r♠❛t✳
◗✉❛② trð ❧↕✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❝ì ❜↔♥✿ ❑❤✐ ♥➔♦ ❞ü♥❣ ✤÷ñ❝ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ ❜➡♥❣

❝♦♠ ♣❛ ✈➔ t❤÷î❝ ❦➫❄ ❇➔✐ t♦→♥ ✤❛♥❣ ①➨t s➩ ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ♥❣❤✐➺♠❄ ✣➸ ❝â
❝➙✉ tr↔ ❧í✐ ❝❤♦ ❝➙✉ ❤ä✐ t❤ù ❤❛✐ t❛ ❝➛♥ t❤✐➳t ❧➟♣ ❝❤➼♥❤ ①→❝ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❜➔✐
t♦→♥✳ ❈ö t❤➸✱ ❝➛♥ ❝è ✤à♥❤ ❦➼❝❤ t❤÷î❝ ✈➔ ✈à tr➼ ❝õ❛ n−❣✐→❝ ✤➲✉ ✭✤÷ì♥❣
♥❤✐➯♥ sè ♥❣❤✐➺♠ ❤➻♥❤ ❝â t❤➸ ❧➔ ✈æ ❤↕♥ ♥➳✉ ✤➣ ❝â ➼t ♥❤➜t ✶ ♥❣❤✐➺♠✮✳ ◆❤÷
✈➟②✱ t❛ s➩ ❝♦✐ n−❣✐→❝ ❝õ❛ t❛ ♥ë✐ t✐➳♣ tr♦♥❣ ♠ët ✤÷í♥❣ trá♥ ω ✱ t➙♠ O
❝❤♦ tr÷î❝ ✈➔ ❝è ✤à♥❤ ♠ët ✤➾♥❤ A0 ❝❤♦ tr÷î❝✳ ❨➯✉ ❝➛✉ ❝➛♥ ①→❝ ✤à♥❤ ✈à
tr➼ ❝→❝ ✤➾♥❤ ❝á♥ ❧↕✐ A1 , A2 , ..., An−1 ✳ ✣÷ì♥❣ ♥❤✐➯♥ ❝❤➾ ❝➛♥ t➻♠ ✈à tr➼ ❝õ❛
✤✐➸♠ A1 t❤➻ t❛ s➩ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❝→❝ ✤✐➸♠ A2 , A3 ✱✈✳✈✳✳✳
✣ì♥ ❣✐↔♥ ♥❤➜t ❧➔ ❞ü♥❣ ❧ö❝ ❣✐→❝ ✤➲✉✳ ❈ö t❤➸ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ❧ö❝ ❣✐→❝ ✤➲✉ ♥ë✐
t✐➳♣ tr♦♥❣ ✤÷í♥❣ trá♥ ❜➡♥❣ ❜→♥ ❦➼♥❤ ❝õ❛ ✤÷í♥❣ trá♥✳ ❇ð✐ ✈➟② ❝â t❤➸ ♠æ
t↔ ♣❤➨♣ ❞ü♥❣ ❧ö❝ ❣✐→❝ ✤➲✉ q✉❛ ✷ ❜÷î❝✿
10 . ❇➡♥❣ ❝♦♠ ♣❛ ❞ü♥❣ ✤÷í♥❣ trá♥ ω1 t➙♠ A0 ✱ ❜→♥ ❦➼♥❤ ❜➡♥❣ OA0 ✳
20 . ❉ü♥❣ ✤✐➸♠ A1 ❧➔ ❣✐❛♦ ❝õ❛ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ trá♥ ω ✈➔ ω1 ✳
❚❛ t❤➜② ♥❣❛② ♣❤➨♣ ❞ü♥❣ ❝❤♦ ✷ ❧ö❝ ❣✐→❝ ✤➲✉✿ A0 A1 A2 A3 A4 A5 ✈➔
A0 A1 A2 A3 A4 A5 ❝❤➾ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ✈➲ t❤ù tü ❝→❝ ✤➾♥❤✳ ❚❛ ❝ô♥❣ ❝â ♥❤➟♥ ①➨t
♥❤÷ ✈➟② ✈î✐ n = 3, n = 4✳ P❤ù❝ t↕♣ ❤ì♥ ❧➔ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ n = 5, n = 10✳
❱î✐ n = 5 t❛ ✤➣ ♥â✐ ð tr➯♥✳ ❇➙② ❣✐í t❛ ①➨t ✈î✐ n = 10.

❍➻♥❤ ✶✳✹✿ ❚❤➟♣ ❣✐→❝ ❧ç✐ ✤➲✉✱ t❤➟♣ ❣✐→❝ s❛♦ ✤➲✉




ỹ A1 B ừ õ OA1 A0 t s t t t
OA1 B, BA1 A0 ỗ s ữớ t OA0 trử
số O ố A0 ỡ sỷ B õ tồ ở x
õ t õ ữỡ tr

1
x

=
x2 + x 1 = 0.
x1 x
t ữủ B A1 ừ ợ (A0 , x) õ
ữ A1 A1



1
1
5
5
x2 =

2
2
2
2
tự ỹ ữ B ổ
tr ừ O t õ tr ừ A1 õ
A1 Aiv
1 ữ t õ ừ A1 t q ữủ
t ỗ t s ỡ ỳ ộ ởt tr
ú õ số ữỡ
tỹ r ố ợ ụ é ụ õ tợ ụ
t
ũ ụ ữủ ỹ õ t õ
ữ ợ tt t ỵ
t ồ ổ t r ỹ ổ t ỹ
ữủ ởt tt tữợ

ữớ t r ữớ tt t t
ồ t t r rr ss ữủ
ừ t ồ q s sqsts rtt ự
số ồ ổ t tờ ố s ố
ữớ ỳ ữớ s t ữớ t r ss
tờ ồ ợ tr ss qt
t sự t ỹ tữợ
ứ tớ ờ t ữủ t r ữ ss ữớ
t qt trồ ỡ s ỵ ừ t ữủ
ss tr tr sqsts rtt ự
tự xp ởt số tố ự tọ r ỳ
ừ tự ữủ t tứ ởt t ữỡ tr õ
Pữỡ tr õ x1 = +


✶✶

sè ❤ú✉ t✛ ♠➔ ❜➟❝ ❧➔ ♥❤ú♥❣ ÷î❝ ♥❣✉②➯♥ tè ❝õ❛ p ✕ ✶✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ❜→♦ tr÷î❝
♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ●❛❧♦✐s✱ ✈➔ ●❛✉ss ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ♠ët ✤❛ ❣✐→❝
✤➲✉ n ❝↕♥❤ ❞ü♥❣ ✤÷ñ❝ ♥➳✉ n = 2m .p1 ...pk tr♦♥❣ ✤â m ❧➔ ♠ët sè tü ♥❤✐➯♥
✈➔ p1 , ..., pk ❧➔ ♥❤ú♥❣ sè ❋❡r♠❛t✳ ❱➻ ✈➟② ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ ✷✺✼ ❝↕♥❤ ❤❛② ✤❛
❣✐→❝ ✤➲✉ ✻✺✺✸✼ ❝↕♥❤ ✤➲✉ ❞ü♥❣ ✤÷ñ❝ ❜➡♥❣ t❤÷î❝ ✈➔ ❝♦♠ ♣❛✳
❙❛✉ ✤â ✈➔♦ ♥➠♠ ✶✽✸✼ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ P✐❡rr❡ ❲❛♥t③❡❧ ♥❣÷í✐ P❤→♣ ✭✶✽✶✹✲
✶✽✹✽✮ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷ñ❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝õ❛ ●❛✉ss ✤÷❛ r❛ ❝ô♥❣ ❧➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥
❝➛♥✿ ❱î✐ n ❧➔ sè tü ♥❤✐➯♥ ❧➫✱ ♥➳✉ ❞ü♥❣ ✤÷ñ❝ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ n ❝↕♥❤ ❜➡♥❣ ❝♦♠

♣❛ ✈➔ t❤÷î❝ ❦➫ t❤➻ n = p1...pk ✈î✐ p1, ..., pk ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❋❡r♠❛t
♣❤➙♥ ❜✐➺t✳ ❙è ♥❣✉②➯♥ tè ❋❡r♠❛t p1, ..., pk ❧➔ sè ♥❤÷ t❤➳ ♥➔♦❄

P✐❡rr❡ ❞❡ ❋❡r♠❛t ✭✶✻✵✶✲✶✻✻✺✮ ❦❤æ♥❣ ♣❤↔✐ ❧➔ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ❝❤✉②➯♥

♥❣❤✐➺♣✱ ♥❣❤➲ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ æ♥❣ ❧➔ ❧✉➟t s÷ ♥❤÷♥❣ æ♥❣ ❧↕✐ ♥ê✐ t✐➳♥❣ ✈➻ ✧✣à♥❤
❧þ ❋❡r♠❛t ❜➨✱ ✤à♥❤ ❧þ ❝✉è✐ ❝ò♥❣ ❋❡r♠❛t✱ ❝→❝ sè ❋❡r♠❛t✱✳✳✳✧ ➷♥❣ t❤÷í♥❣
❤❛② ✈✐➳t t❤÷ tr❛♦ ✤ê✐ ✈î✐ ❝→❝ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ❦❤→❝ ✈➲ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ t♦→♥ ❤å❝✳
❑❤↔ ♥➠♥❣ ❞ü ✤♦→♥ t♦→♥ ❤å❝ ❝õ❛ ❋❡r♠❛t r➜t t➔✐ t➻♥❤✿ ♥❣÷í✐ t❛ ♥â✐ r➡♥❣
✧❝❤➼♥ ♠÷ì✐ ❝❤➼♥ ♣❤➛♥ tr➠♠✧ ❝→❝ ❞ü ✤♦→♥ ❝õ❛ ❋❡r♠❛t ✤➲✉ ✤ó♥❣✳ ❱➟② ♠➔
❝â ♠ët tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ✈æ ❝ò♥❣ q✉❛♥ trå♥❣ æ♥❣ ✤➣ ❞ü ✤♦→♥ s❛✐✦ ❙è ♥❣✉②➯♥
tè ✤â♥❣ ✈❛✐ trá q✉❛♥ trå♥❣ ✤➸ ①➙② ❞ü♥❣ ♥➯♥ t♦➔♥ ❜ë sè tü ♥❤✐➯♥✱ ♥➳✉
t➻♠ ✤÷ñ❝ ♠ët ❝æ♥❣ t❤ù❝ t➼♥❤ ✤÷ñ❝ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ tè t❤➻ ♥❤✐➲✉ ✈➜♥ ✤➲ ❝õ❛
t♦→♥ ❤å❝ s➩ trð ♥➯♥ ♥❤➭ ♥❤➔♥❣✱ ❝→❝ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ r➜t ♠✉è♥ t➻♠ r❛ ❝→❝
n
❝æ♥❣ t❤ù❝ ♥❤÷ t❤➳✳ ❋❡r♠❛t ❞ü ✤♦→♥ r➡♥❣ ❝→❝ sè ❝â ❞↕♥❣ Fn = 22 + 1 ❧➔
❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ tè✳ ◆➳✉ ✤ó♥❣ ♥❤÷ ✈➟② t❤➻ ✤➙② ❧➔ ♠ët ❝æ♥❣ t❤ù❝ q✉➼ ❣✐→✳
◆❤÷♥❣ ✤→♥❣ t✐➳❝ ❧➔ ❋❡r♠❛t ✤➣ ♥❤➛♠✳ ❱î✐ n tø 0 ✤➳♥ 4 t❤➻ ✤ó♥❣ Fn ❧➔
5
sè ♥❣✉②➯♥ tè ♥❤÷♥❣ ✈î✐ n = 5 t❤➻ F5 = 22 + 1 = 232 + 1 = 4294967297
❧↕✐ ❧➔ ♠ët ❤ñ♣ sè ✈➻ 4294967297 = 641 × 6700417✳ ❚❛ ❝â ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ s❛✉

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳ ▼ët sè ♥❣✉②➯♥ tè ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❋❡r♠❛t
♥➳✉ ♥â ❝â ❞↕♥❣ Fn = 22

+ 1✳
❚❛ ♣❤→t ❜✐➸✉ ❧↕✐ ✷ ❦➳t q✉↔ tr➯♥✿
n

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳ ✭●❛✉ss✲❲❛♥t③❡❧✮ ❱î✐ n ❧➔ sè ❧➫✱ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ n ❝↕♥❤ ❞ü♥❣
✤÷ñ❝ ❜➡♥❣ ❝♦♠ ♣❛ ✈➔ t❤÷î❝ ❦➫ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ n = p1...pk ✱ tr♦♥❣ ✤â p1, ..., pk
❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❋❡r♠❛t ♣❤➙♥ ❜✐➺t✳

❱➻ 3 = F0 , 5 = F1 , 17 = F2 , 257 = F3 , 65537 = F4 ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥
tè ❋❡r♠❛t ♥➯♥ t❤❡♦ ✤à♥❤ ❧þ tr➯♥ t❛ ❞ü♥❣ ✤÷ñ❝ ❝→❝ ❤➻♥❤ 3−❣✐→❝ ✤➲✉✱

✶✷

5−❣✐→❝ ✤➲✉✱ 17−❣✐→❝ ✤➲✉✱ 257−❣✐→❝ ✤➲✉✱ 65537−❣✐→❝ ✤➲✉✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱
3 × 5 = 15 ♥➯♥ 15−❣✐→❝ ✤➲✉ ❧➔ ❞ü♥❣ ✤÷ñ❝✱ 3 × 17 = 51 ♥➯♥ 51−❣✐→❝
✤➲✉ ❧➔ ❞ü♥❣ ✤÷ñ❝✱ ✈✳✈✳✳✳ ◆❤÷♥❣ ❦❤æ♥❣ ❞ü♥❣ ✤÷ñ❝ 7−❣✐→❝ ✤➲✉✱ 9−❣✐→❝
✤➲✉ ✭✈➻ 9 = 3 × 3✮✱ 11−❣✐→❝ ✤➲✉✱ 13−❣✐→❝ ✤➲✉✱ ✈✳✈✳✳✳
❚❛ t❤➜② ✣à♥❤ ❧þ ●❛✉ss✲❲❛♥t③❡❧ r➜t ❝â þ ♥❣❤➽❛ ❦❤✐ ①→❝ ✤à♥❤ n−❣✐→❝
✤➲✉ ❧➔ ❞ü♥❣ ✤÷ñ❝ ❤❛② ❦❤æ♥❣✳ ◆❤÷♥❣ ♥❤✐➺♠ ✈ö ❝õ❛ ❝→❝ ♥❤➔ ❤➻♥❤ ❤å❝
❦❤æ♥❣ ❞ø♥❣ ð ✤â✿ ▼é✐ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ ❞ü♥❣ ✤÷ñ❝ ♣❤↔✐ ♥➯✉ ✤÷ñ❝ ❝→❝ ❜÷î❝
❞ü♥❣ ✭❜➡♥❣ ❝♦♠ ♣❛ ✈➔ t❤÷î❝ ❦➫✮ ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❤➻♥❤ ❞ü♥❣ ✤÷ñ❝ ✤ó♥❣ ❧➔
✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ t❤ä❛ ♠➣♥✳ ❈á♥ ✈î✐ ❝→❝ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ ❦❤æ♥❣ ❞ü♥❣ ✤÷ñ❝ t❤➻ ❝â
❝→❝❤ ♥➔♦ ❞ü♥❣ ✤÷ñ❝ ❝❤ó♥❣ ♠ët ❝→❝❤ ①➜♣ ①➾ ❤❛② ❦❤æ♥❣❄ P❤➛♥ t✐➳♣ t❤❡♦
t❛ s➩ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝❤ ❞ü♥❣ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ ✶✺ ❝↕♥❤ ✈➔ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ ✶✼ ❝↕♥❤✳

✶✳✸ ❉ü♥❣ n−❣✐→❝ ✤➲✉ ✈î✐ n ❝â ❞↕♥❣ 2k .3.5.17
❇➔✐ t♦→♥ ❞ü♥❣ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤✐❛ ✤÷í♥❣
trá♥ ❝❤♦ tr÷î❝ t❤➔♥❤ n ♣❤➛♥ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✳ ❑❤æ♥❣ ♠➜t t➼♥❤ ❝❤➜t tê♥❣
q✉→t t❛ ❝♦✐ ❜→♥ ❦➼♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ❜➡♥❣ ✶✳ ❑þ ❤✐➺✉ ❣â❝ ð t➙♠ ù♥❣ ✈î✐

2π
✳ ❈→❝❤ ❞ü♥❣ n−❣✐→❝ ✤➲✉ s➩
n
2π
♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ ✈✐➺❝ ❞ü♥❣ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ cos ✳ ❈→❝ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❞➵ t❤➜②✿
n
2π
1
2π

1
n = 3, cos
= − ; n = 4, cos
=− ;
3
2
3
2
♠ët ❝↕♥❤ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ ❧➔ α✱ t❛ ❝â α =

✶✳✸✳✶ ❉ü♥❣ 15−❣✐→❝ ✤➲✉
❱➻ n = 15 ❧➔ t➼❝❤ ❝õ❛ ❤❛✐ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❋❡r♠❛t ♣❤➙♥ ❜✐➺t ♥➯♥ ❝â t❤➸
❞ü♥❣ ✤÷ñ❝ 15−❣✐→❝ ✤➲✉ ❜➡♥❣ ❝♦♠ ♣❛ ✈➔ t❤÷î❝ ❦➫✱ ❤➻♥❤ ✶✳✻✳

P❤➙♥ t➼❝❤✳

2π
4π 2π
4π
2π
4π
2π
= cos
−
= cos . cos
+ sin . sin
=
15
5
3

5 √ 3
5
3
2π
1
2π
2π
3
−1 −
+ 2 sin
cos
=
2 cos2
5 √
2√ √
5 √ 5
2√
√
√ √
5+1
6 5+ 5 5−1
5+1
6 5+ 5 5−1
+
.
.
=
+
.
.

✳
8
4
2
2
8
4
2
2
❚❛ ❝â cos

❈→❝❤ ❞ü♥❣✳


✶✸

❍➻♥❤ ✶✳✺✿ ▼ët sè ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉
√

√
√ √
5+1
6 5+ 5 5−1
❚❛ ♣❤↔✐ ❞ü♥❣ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ ❜➡♥❣
+
.
.
t❤❡♦
8
4

2
2
❝→❝ ❜÷î❝ s❛✉✿
√
5+1
• ❇÷î❝ ✶✳ ❉ü♥❣ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ BK =
✳
8
✲ ❉ü♥❣ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ OB ❀ ❱➩ ✤÷í♥❣ trá♥ (I, IC)
√ ✱ ♥â ❝➢t AB ð
5+1
J = I ❀ ❝❤✐❛ BJ t❤➔♥❤ ✹ ♣❤➛♥ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉ t❤➻ BK =
✳
8
√ √
6 5−1
.
• ❇÷î❝ ✷✳ ❉ü♥❣ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ JJ1 =
4
2
✲ ❉ü♥❣ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ d ⊥ AB t↕✐ A✱ ✈➩ ✤÷í♥❣ trá♥ (A, AC)✱ ♥â ❝➢t
√
D ð D ✤÷ñ❝ AD = 2
√
√
2
6
, AB1 =
✳ ●å✐ B2 ❧➔ tr✉♥❣
✲ ●å✐ B1 = BD ∩ OC t❤➻ OB1 =

2
2
√
6
✤✐➸♠ ❝õ❛ AB1 t❤➻ AB2 =
✳
4
✲ ◗✉❛
AB2 ✱ ❣å✐ J1 = m ∩ OB2 t❛ ✤÷ñ❝
√ J√❦➸ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ m
6 5−1
JJ1 =
.
✭→♣ ❞ö♥❣ ❚❤❛❧❡t✮✳
4
2
√
5+ 5
• ❇÷î❝ ✸✳ ❉ü♥❣ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ M V =
2


✶✹

√

✲ ❱➩ ✤÷í♥❣ trá♥ (J, JI)✱ ♥â ❝➢t AB t↕✐ I1 t❤➻ II1 = 5✳
−→
✲ ❚à♥❤ t✐➳♥ t❤❡♦ ✈➨❝ tì IO, II1 → OI1 ✱ ❣å✐ T ❧➔ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ OI1 ✳
√

✲ ❱➩ ✤÷í♥❣ trá♥ (T, T O)✱ ♥â ❝➢t D ð D1 t❛ ❝â✿ DD1 =
5✳
✲ ◗✉❛ O ❞ü♥❣ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ a ⊥ OD1 ✱ ❞ü♥❣ ✤÷í♥❣ trá♥ (O, OI1 )✱ ❦þ
√
❤✐➺✉ ❣✐❛♦ ❝õ❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ✈î✐ a ❧➔ V t❤➻ OV = 5 ✈➔

V D1 =

√
√
( 5)2 + (
5)2 =

5+

√

5.

√
5+ 5
✲ ●å✐ M ❧➔ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ V D1 t❤➻ ✤÷ñ❝ M V =
✳ ✣➳♥ ✤➙②
2
t❛ ✤➣ ❞ü♥❣ ✤÷ñ❝ BK, JJ1 , M V ✱ ❝á♥ ♣❤↔✐ ❞ü♥❣ BK + M V.JJ1 ✳
• ❇÷î❝ ✹✳ ▲➜② X ∈ OA s❛♦ ❝❤♦ OX = JJ1 ✳ ❉ü♥❣ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ p ✤✐ q✉❛
X ✱ s♦♥❣ s♦♥❣ ✈î✐ AM ✱ ❦þ ❤✐➺✉ Y = p ∩ OM t❤➻
√
√ √
6 5+ 5 5−1

OY =
.
.
4
2
2
• ❇÷î❝ ✺✳ ❚r➯♥ OA ✤➦t ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ OG = BK + OY ✱ q✉❛ G ❦➫ ✤÷í♥❣
t❤➥♥❣ ✈✉æ♥❣ ❣â❝ ✈î✐ OA✱ ❝➢t ✤÷í♥❣ trá♥ t➙♠ O✱ ❜→♥ ❦➼♥❤ ✶ ð P1 , P1 4✱
❝♦✐ A ≡ P0 t❛ ✤÷ñ❝ ✸ ✤➾♥❤ P0 , P1 , P14 ❝õ❛ 15−❣✐→❝ ✤➲✉✳ ❚ø ✤â ❞ü♥❣ ❝→❝
✤➾♥❤ ❝á♥ ❧↕✐✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❍✐➸♥ ♥❤✐➯♥ t❤❡♦ ❝→❝❤ ❞ü♥❣✳
❈→❝❤ ❞ü♥❣ ❦❤→❝✳ ❈→❝❤ ❞ü♥❣ tr➯♥ ❧➔ ❝❤➼♥❤ t➢❝ t❤❡♦ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤↕✐
sè✳ ❈â t❤➸ ❞ü♥❣ 15−❣✐→❝ ✤➲✉ ❜➡♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝ t❤✉➛♥ tó② s❛✉ ❦❤✐ ❝â ♥❤➟♥
①➨t s❛✉ ✭✤ì♥ ❣✐↔♥ ❤ì♥✮✿ ◆❤➻♥ ✈➔♦ ❤➻♥❤ ✈➩ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ ✶✺ ❝↕♥❤ t❛ t❤➜②
❝→❝ ✤➾♥❤ ❝õ❛ ✤❛ ❣✐→❝ t↕♦ t❤➔♥❤ r➜t ♥❤✐➲✉ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ ✈➔ ♥❣ô ❣✐→❝
✤➲✉✳ ✣✐➲✉ ✤â ❝❤♦ t❛ þ t÷ð♥❣ s❛✉✿ ❤➣② ❞ü♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ ✈➔ ♥❣ô ❣✐→❝
✤➲✉ ❝â ❤❛✐ ✤➾♥❤ trò♥❣ ♥❤❛✉✳
●✐↔ sû 15−❣✐→❝ ♥ë✐ t✐➳♣ ✤÷í♥❣ trá♥ (O)✱ ✤÷í♥❣ trá♥ (O) ✤÷ñ❝ ❝❤✐❛
t❤➔♥❤ ✶✺ ✤ì♥ ✈à✳ ❑❤✐ ✤â ♠é✐ ❝↕♥❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ ❝❤✐➳♠ ✺ ✤ì♥ ✈à
❝á♥ ♠é✐ ❝↕♥❤ ♥❣ô ❣✐→❝ ✤➲✉ ❝❤✐➳♠ ✸ ✤ì♥ ✈à✳ ❉ò♥❣ ♠ët ✤✐➸♠ ❝❤➥♥❣ ❤↕♥
P0 ∈ (O) ❧➔♠ ✤✐➸♠ ①✉➜t ♣❤→t ✤➸ ✤♦ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤✱ ♥➳✉ ❞ü♥❣ t❛♠ ❣✐→❝
✤➲✉ P0 A1 A2 ♥ë✐ t✐➳♣ (O) t❤➻ ✤➾♥❤ A1 ð ✈à tr➼ ✺ ✤ì♥ ✈à ❝á♥ ✤➾♥❤ A2 ð ✈à
tr➼ ✶✵ ✤ì♥ ✈à✳ ❑❤✐ ❞ü♥❣ ♥❣ô ❣✐→❝ ✤➲✉ P0 B1 B2 B3 B4 t❤➻ B1 ð ✈à tr➼ ✸✱ B2


✶✺

❍➻♥❤ ✶✳✻✿ ❉ü♥❣ 15−❣✐→❝ ✤➲✉
ð ✈à tr➼ ✻✱ B3 ð ✈à tr➼ ✾✱ B4 ð ✈à tr➼ ✶✷ ✭t❛ ❝â t❤➸ ✤ê✐ ❦þ ❤✐➺✉✮✳ ◆❤÷ ✈➟②✱
♠ët ❝→❝❤ tê♥❣ q✉→t t❤➻ ✤➾♥❤ Ax ð ✈à tr➼ 5x✱ ✤➾♥❤ By ð ✈à tr➼ 3y ✳ ❱➟②

❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❣✐ú❛ Ax ✈➔ By ❧➔ Ax By = |5x − 3y|✳
❚❤❡♦ ❝æ♥❣ t❤ù❝ t➼♥❤ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ♥➔② t❤➻ ✤➾♥❤ Ax ❧✐➲♥ ❦➲ ✤➾♥❤ By ❦❤✐
✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❣✐ú❛ Ax ✈➔ By ❧➔ ✶ ✤ì♥ ✈à✱ tù❝ ❧➔ ❦❤✐ 5x−3y = ±1✳
▼ët ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♥➔② ❧➔ (x, y) = (2, 3)✱ tù❝ ❧➔ ✺✳✷✲✸✳✸❂✶✳
◆❤÷ t❤➳ ❦❤✐ ❞ü♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ ✈➔ ♥❣ô ❣✐→❝ ✤➲✉ ♥❤÷ tr➯♥ t❛ ♣❤↔✐ ❞ü♥❣
A2 ❧✐➲♥ ❦➲ B3 ✈➔ ✤÷ñ❝ ♠ët ❝↕♥❤ B3 A2 ❝õ❛ 15−❣✐→❝ ✤➲✉✳ ▼ët ♥❣❤✐➺♠
❦❤→❝ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❧➔ (x, y) = (1, 2)✱ tù❝ 5.1 − 3.2 = −1✱ s✉② r❛ A1
♣❤↔✐ ♥➡♠ ❧✐➲♥ ❦➲ B2 ✳ ❚ø ✤â s✉② r❛ ❝→❝❤ ❞ü♥❣ 15−❣✐→❝ ♥❤÷ s❛✉✿
✲ ❉ü♥❣ ✤÷í♥❣ trá♥ t➙♠ O ✈➔ ❧➜② ✤✐➸♠ P0 tr➯♥ ✤÷í♥❣ trá♥✳
✲ ❉ü♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ P0 P5 P10 ✈➔ ♥❣ô ❣✐→❝ ✤➲✉ P0 P3 P6 P9 P12
✲ ◆è✐ ❝→❝ ❝↕♥❤ P5 P6 ✈➔ P9 P10
✲ ❉ü♥❣ ✤÷í♥❣ trá♥ t➙♠ P0 ✱ ❜→♥ ❦➼♥❤ = P5 P6 ✱ ❝➢t (O) ð P1 ✈➔ P14
✲ ❉ü♥❣ ✤÷í♥❣ trá♥ t➙♠ P3 ✱ ❜→♥ ❦➼♥❤ = P5 P6 ✱ ❝➢t (O) ð P2 ✈➔ P4
✲ ❉ü♥❣ t÷ì♥❣ tü ❝❤♦ ❝→❝ ✤➾♥❤ P7 , P8 , P11 , P13 ✳
❈→❝❤ ❞ü♥❣ ♥➔② ✤÷ñ❝ ❣✐↔✐ t❤➼❝❤ tø t➼♥❤ ❝❤➜t ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
♥❣❤✐➺♠ ♥❣✉②➯♥ 3x + 5y = 1✳


✶✻

✶✳✸✳✷ ❉ü♥❣ 17−❣✐→❝ ✤➲✉
❈→❝❤ ✤➙② ❤ì♥ ✷✵✵ ♥➠♠✱ ♥❣➔② ✸✵ t❤→♥❣ ✸ ♥➠♠ ✶✼✾✻✱❑❛r❧ ❋r❡❞❡r✐❝❤
●❛✉ss ❝æ♥❣ ❜è ✤➣ t➻♠ r❛ ❝→❝❤ ❞ü♥❣ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ ✶✼ ❝↕♥❤ ❜➡♥❣ ❝♦♠ ♣❛ ✈➔
t❤÷î❝ ❦➫✳❑❤✐ ➜② ●❛✉ss ✤➣ ♥❤➟♥ t❤➜② ✈✐➺❝ ❞ü♥❣ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ n ❝↕♥❤ ♥ë✐
t✐➳♣ ✤÷í♥❣ trá♥ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ X n − 1 = 0 ð
❞↕♥❣ ❝➠♥ t❤ù❝✳ ❑➳t q✉↔ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝❤♦ t❤➜② ❝â t❤➸ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ n
k
❝↕♥❤ ✈î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ n ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❞↕♥❣ n = 22 +1✳ ❱î✐ k = 0, 1, 2, 3, 4
t❤➻ n t÷ì♥❣ ù♥❣ ❜➡♥❣ 3, 5, 17, 257, 65537 t❤➻ ❝→❝ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ ✤â ❝â t❤➸
❞ü♥❣ ✤÷ñ❝ ❜➡♥❣ ❝♦♠ ♣❛ ✈➔ t❤÷î❝ ❦➫✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ ✤â ♠î✐ ❝❤➾ ❧➔ tr➯♥ ❧þ

t❤✉②➳t✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝ö t❤➸ ✤➸ ❞ü♥❣ tø♥❣ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ ❧↕✐ ❝â ♥❤ú♥❣ ♥➨t
✤➦❝ ❜✐➺t ✈➔ ♥❤ú♥❣ ❦❤â ❦❤➠♥ r✐➯♥❣✱ ❦❤æ♥❣ t❤➸ ❝â ❝→❝❤ ❞ü♥❣ ❝❤✉♥❣✳ ▼ët
tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ♣❤→t ♠✐♥❤ ♥ê✐ t✐➳♥❣ ❝õ❛ ●❛✉ss ❧➔ ❞ü♥❣ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ 17 ❝↕♥❤
❜➡♥❣ ❝♦♠ ♣❛ ✈➔ t❤÷î❝ ❦➫✳ ❈→❝ ❜÷î❝ ❞ü♥❣ ❝õ❛ æ♥❣ ♥❤÷ s❛✉✱ ❤➻♥❤ ✶✳✼✿

❍➻♥❤ ✶✳✼✿ ✶✵ ❜÷î❝ ❞ü♥❣ 17−❣✐→❝ ✤➲✉
✶✲ ❱➩ ✤÷í♥❣ trá♥ t➙♠ O ❜→♥ ❦➼♥❤ OP0 ✳
✷✲ ❉ü♥❣ OB ⊥ OP0 ✳

1
4
1
✹✲ ❉ü♥❣ ❣â❝ OJE = OJP0 , E ∈ OP0 .
4
✺✲ ❉ü♥❣ ❣â❝ F JE = 450 , F ∈ (OP0 )✳
✻✲ ❱➩ ✤÷í♥❣ trá♥ ✤÷í♥❣ ❦➼♥❤ F P0 ✱ ❝➢t OB ð ✤✐➸♠ K ✳
✸✲ ▲➜② ✤✐➸♠ J ∈ OB s❛♦ ❝❤♦ OJ = OB


✶✼

✼✲ ❱➩ ✤÷í♥❣ trá♥ t➙♠ E ✱ ❜→♥ ❦➼♥❤ EK ✱ ❝➢t (OP0 ) ð N3 , N5 ✳
✽✲ ◗✉❛ N3 , N5 ❞ü♥❣ N3 P3 , N5 P5 ⊥ OP0 ✈î✐ P3 , P5 ∈ (O)✳
✾✲ ❈❤✐❛ ✤æ✐ ❝✉♥❣ P3 P5 ❜ð✐ ✤✐➸♠ P4
✶✵✲ ❉➙② ❝✉♥❣ P4 P5 ❝❤➼♥❤ ❧➔ ❝❤✐➲✉ ❞➔✐ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ ❝➛♥ ❞ü♥❣✳
✭❉÷î✐ t❤æ♥❣ ❝→♦ ❜→♦ ❝❤➼ ✈➲ ♣❤→t ♠✐♥❤ ♥➔② ❝õ❛ ●❛✉ss✱ ❣✐→♦ s÷ ❊✳ ❆✳
❱✳ ❳✐♠♠❡❝♠❛♥ ✤➣ ♥❤➟♥ ①➨t t❤➯♠✿✧❳✐♥ ❧÷✉ þ ✤ë❝ ❣✐↔ ❧➔ ♥❣➔✐ ●❛✉ss ❝❤➾
♠î✐ ✶✽ t✉ê✐✱ ✈➔ ♥❣➔✐ ❝á♥ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ tr✐➳t ❤å❝ ✈➔ ♥❣æ♥ ♥❣ú ❝ê ✈î✐ t❤➔♥❤
t➼❝❤ ❦❤æ♥❣ ❦➨♠ t♦→♥ ❤å❝✧✮✳
❱➲ ♥❣✉②➯♥ t➢❝ t❛ ❝â t❤➸ t✐➳♥ ❤➔♥❤ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✈➔ t➻♠ ❝→❝❤ ❞ü♥❣ 17−

❣✐→❝ ✤➲✉ t÷ì♥❣ tü ♥❤÷ ✤➣ ❧➔♠ ✤è✐ ✈î✐ 15− ❣✐→❝ ✤➲✉✿ ❱î✐ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ ✶✼
❝❛♥❤ ♥❣÷í✐ t❛ t➼♥❤ ✤÷ñ❝

√
√
2π
1
=
1 − 17 + 34 − 2 17+
17
16
√
√
√
√
68 + 12 17 + 2 34 − 2 17 + 16 34 + 2 17 − 2 578 − 34 17 ✳

cos2

❚❛ ❞ü♥❣ ❧➛♥ ❧÷ñt ❝→❝ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ t❤❡♦ ❝æ♥❣ t❤ù❝ tr➯♥✱ ❝→❝❤ ❧➔♠ t÷ì♥❣
tü ♥❤÷ ❞ü♥❣ 15−❣✐→❝ ✤➲✉✳
❈❤÷ì♥❣ ✶ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ❞ü♥❣ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉
n−❝↕♥❤ ✈î✐ ✤à♥❤ ❧þ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ❞ü♥❣ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ ❜➡♥❣
❝♦♠ ♣❛ ✈➔ t❤÷î❝ ❦➫✳ ❈❤÷ì♥❣ t✐➳♣ t❤❡♦ t❛ ❣✐↔✐ q✉②➳t ❜➔✐ t♦→♥ ❧→t ♠➦t
♣❤➥♥❣ ❜ð✐ ❝→❝ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉✳


✶✽

❈❤÷ì♥❣ ✷

▲→t ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❜ð✐ ❝→❝ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉
✣➙② ❧➔ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ ❤❛② tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝ tê ❤ñ♣ ✈➔ ✤÷ñ❝ ❣✐↔✐ q✉②➳t
trå♥ ✈➭♥ ♥❤í ♥❤ú♥❣ ❧➟♣ ❧✉➟♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ sè ❤å❝✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②
t❤ü❝ ❤✐➺♥ t❤❡♦ ❣ñ✐ þ ❝õ❛ ❱✐➺♥ s➽ ◆❣❛ ❆✳ ◆✳ ❑♦❧♠♦❣♦r♦✈ ✈✐➳t tr♦♥❣ ❜➔✐
❜→♦ ❬✻❪✱ tr♦♥❣ ✤â æ♥❣ ❝❤➾ r❛ ❝→❝❤ t➻♠ ❝→❝ ❧→t ♣❤➥♥❣ ✤➲✉✳ ❈â ♠ët sè t❤✉➟t
♥❣ú ♠î✐ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ✤÷❛ ✈➔♦ ✤➸ t✐➺♥ ❝❤♦ ✈✐➺❝ tr➻♥❤ ❜➔②✳ ❚❛ ❜➢t ✤➛✉ ❜➡♥❣
❜➔✐ t♦→♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➺♠ ♥❣✉②➯♥✳

✷✳✶ ❇➔✐ t♦→♥ sè ❤å❝ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❧→t ♣❤➥♥❣
❚❛ ①➨t ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ trü❝ t✐➳♣ ✤➳♥ sü ♣❤➙♥ ❧♦↕✐ ❝→❝ ❧→t ♣❤➥♥❣
✤➲✉✿ ❚➻♠ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❜ë ✹ sè tü ♥❤✐➯♥ (p, q, r, s) s❛♦ ❝❤♦ t❛ ❝â ✤➥♥❣ t❤ù❝

1 1 1 1
+ + + = 1✳ ❚❛ s➩ ❝♦✐ p ≤ q ≤ r ≤ s✱ ❦❤✐ ✤â sè ♥❤ä ♥❤➜t ❧➔ p
p q r s
1 1 1 1
❦❤æ♥❣ ❧î♥ ❤ì♥ ✹ ✭tr→✐ ❧↕✐ t❤➻ + + + < 1✮ ✈➔ t➜t ♥❤✐➯♥ ❦❤æ♥❣ ♥❤ä
p q r s
❤ì♥ ✷✳ ❱➟② ❝➛♥ ♣❤↔✐ ①➨t ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ p = 2, p = 3, p = 4✳
1 1 1 1
✭✶✮ ◆➳✉ p = 2✱ ❦❤✐ ✤â + + = ✳ ●✐è♥❣ ♥❤÷ tr➯♥✱ sè ♥❤ä ♥❤➜t ❧➔
q r s 2
1 1 1 1
q ❦❤æ♥❣ ❧î♥ ❤ì♥ ✻ ✭tr→✐ ❧↕✐ t❤➻ + + < ✮ ✈➔ ❦❤æ♥❣ ♥❤ä ❤ì♥ ✸✳
q r s 2
1 1 1
1
❇➙② ❣✐í tr♦♥❣ ✤➥♥❣ t❤ù❝ + + = ❝â ✹ ❦❤↔ ♥➠♥❣ ❝õ❛ sè q ✿
q r s
2

q = 3, q = 4, q = 5, q = 6✳ ❚❛ ❧➛♥ ❧÷ñt ①➨t ❝→❝ ❦❤↔ ♥➠♥❣ ❝õ❛ q ✿