Định lí điểm bất động cho một lớp ánh xạ trên không gian bmêtric và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)

❇❐ ●■⑩❖ ❉Ö❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❱■◆❍

▲➊ ❚❍❆◆❍ ◗❯❹◆

✣➚◆❍ ▲Þ ✣■➎▼ ❇❻❚ ✣❐◆● ❈❍❖ ▼❐❚ ❙➮ ▲❰P
⑩◆❍ ❳❸ ❚❘➊◆ ❑❍➷◆● ●■❆◆ b✲▼➊❚❘■❈
❱⑨ Ù◆● ❉Ö◆●

▲❯❾◆ ⑩◆ ❚■➌◆ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

◆●❍➏ ❆◆ ✲ ✷✵✶✽


❇❐ ●■⑩❖ ❉Ö❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❱■◆❍

▲➊ ❚❍❆◆❍ ◗❯❹◆

✣➚◆❍ ▲Þ ✣■➎▼ ❇❻❚ ✣❐◆● ❈❍❖ ▼❐❚ ❙➮ ▲❰P
⑩◆❍ ❳❸ ❚❘➊◆ ❑❍➷◆● ●■❆◆ b✲▼➊❚❘■❈
❱⑨ Ù◆● ❉Ö◆●
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❚♦→♥ ❣✐↔✐ t➼❝❤
▼➣ sè✿ ✾ ✹✻ ✵✶ ✵✷

▲❯❾◆ ⑩◆ ❚■➌◆ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

◆●×❮■ ❍×❰◆● ❉❼◆ ❑❍❖❆ ❍➴❈

✶✳ P●❙✳ ❚❙✳ ❚❘❺◆ ❱❿◆ ❹◆
✷✳ ❚❙✳ ◆●❯❨➍◆ ❱❿◆ ❉Ô◆●

◆●❍➏ ❆◆ ✲ ✷✵✶✽


✐

▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆

▲✉➟♥ →♥ ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ t↕✐ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❱✐♥❤✱ ❞÷î✐ sü ❤÷î♥❣ ❞➝♥
❝õ❛ P●❙✳ ❚❙✳ ❚r➛♥ ❱➠♥ ❹♥ ✈➔ ❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ❉ô♥❣✳ ❚æ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥
✤➙② ❧➔ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ r✐➯♥❣ tæ✐✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ✤÷ñ❝ ✈✐➳t ❝❤✉♥❣ ✈î✐ ❝→❝ t→❝
❣✐↔ ❦❤→❝ ✤➣ ✤÷ñ❝ sü ♥❤➜t tr➼ ❝õ❛ ✤ç♥❣ t→❝ ❣✐↔ ❦❤✐ ✤÷❛ ✈➔♦ ❧✉➟♥ →♥✳ ❈→❝
❦➳t q✉↔ ✤÷ñ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❧✉➟♥ →♥ ❧➔ ♠î✐ ✈➔ ❝❤÷❛ tø♥❣ ✤÷ñ❝ ❛✐ ❝æ♥❣ ❜è
tr÷î❝ ✤â✳

❚→❝ ❣✐↔

▲➯ ❚❤❛♥❤ ◗✉➙♥






ữủ t t trữớ ồ ữợ sỹ ữợ
ừ P r ụ ữủ
tọ ỏ t ỡ s s ố ợ t ữợ t t
t tr sốt q tr ồ t ự

t ỡ ữ ỹ ở ổ
t Pỏ t ồ ỏ ự ừ trữớ
ồ t t ủ t t ử
ự
t ỡ t ổ tr ở ổ t
ữ ồ trữớ ồ ỗ ỳ ú ù tr
tr ờ t t q
tọ sỹ ỡ s s t ũ
õ ự ừ ỳ ú ù tr tr ờ t
t q
t ỡ ỗ trữớ r ồ ỡ s
ỡ ữ t õ ừ ở t
t ủ t t ử ự
ố ũ t tọ ỏ t ỡ s s tợ ỳ
ữớ t tt ổ s ở ừ ở t tr q
tr ồ t ự




✶

▼Ö❈ ▲Ö❈

▼ö❝ ❧ö❝
▼ð ✤➛✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶
✹

✶ ✣✐➸♠ trò♥❣ ♥❤❛✉ ❝❤♦ ♠ët ❧î♣ →♥❤ ①↕ tr➯♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲
♠➯tr✐❝ s➢♣ t❤ù tü ❜ë ♣❤➟♥ ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣
✶✸
✶✳✶✳ ✣✐➸♠ trò♥❣ ♥❤❛✉ ❝❤♦ ❧î♣ ❝→❝ →♥❤ ①↕ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ T ✲❝♦ s✉②
rë♥❣ tr➯♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ✤➛② ✤õ s➢♣ t❤ù tü ❜ë ♣❤➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸
✶✳✷✳ ✣✐➸♠ trò♥❣ ♥❤❛✉ ❝❤♦ ❧î♣ ❝→❝ →♥❤ ①↕ (ψ, L)✲T ✲❤➛✉ ❝♦ s✉② rë♥❣
tr➯♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ✤➛② ✤õ s➢♣ t❤ù tü ❜ë ♣❤➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✹
✶✳✸✳ ✁×♥❣ ❞ö♥❣ ✈➔♦ ♠ët ❧î♣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✷

✷ ✣✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤♦ ♠ët ❧î♣ →♥❤ ①↕ tr➯♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝
♥â♥ ✤➛② ✤õ tr➯♥ ✤↕✐ sè ❇❛♥❛❝❤ ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣
✺✾
✷✳✶✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ♥â♥ tr➯♥ ✤↕✐ sè ❇❛♥❛❝❤

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✾

✷✳✷✳ ✣✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤♦ ❧î♣ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ϕ✲❝♦ ②➳✉ s✉② rë♥❣ tr➯♥ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ♥â♥ ✤➛② ✤õ tr➯♥ ✤↕✐ sè ❇❛♥❛❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✹
✷✳✸✳ ✣✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❜ë ✤æ✐ ❝❤♦ ♠ët sè →♥❤ ①↕ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝
♥â♥ ✤➛② ✤õ tr➯♥ ✤↕✐ sè ❇❛♥❛❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✹
✷✳✹✳ ✁×♥❣ ❞ö♥❣ ✈➔♦ ♠ët ❧î♣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✼

✸ ✣✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤♦ ♠ët ❧î♣ →♥❤ ①↕ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲
♠➯tr✐❝ ✈î✐ ❣✐→ trà tr♦♥❣ C ∗ ✲✤↕✐ sè ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣
✽✺
✸✳✶✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ✈î✐ ❣✐→ trà tr♦♥❣ C ∗ ✲✤↕✐ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✺


✷

✸✳✷✳ ✣✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤♦ ❧î♣ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ϕ✲❝♦ s✉② rë♥❣ ✈➔ ❝→❝ →♥❤
①↕ ϕ✲❝♦ ❝❤✉➞♥ s✉② rë♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ✈î✐ ❣✐→ trà tr♦♥❣

C ∗ ✲✤↕✐ sè

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✽

✸✳✸✳ ✣✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❜ë ✤æ✐ ❝❤♦ ♠ët sè ❧î♣ ❝→❝ →♥❤ ①↕ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ✈î✐ ❣✐→ trà tr♦♥❣ C ∗ ✲✤↕✐ sè

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✼

✸✳✹✳ ✁×♥❣ ❞ö♥❣ ✈➔♦ ♠ët ❧î♣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✷

❑➳t ❧✉➟♥ ✈➔ ❦✐➳♥ ♥❣❤à ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷✷
❉❛♥❤ ♠ö❝ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ t→❝ ❣✐↔ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❧✉➟♥ →♥ ✳ ✳ ✶✷✸
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷✽


✸

▼❐❚ ❙➮ ❑Þ ❍■➏❯

R

t➟♣ sè t❤ü❝

R+

t➟♣ sè t❤ü❝ ❦❤æ♥❣ ➙♠

N

t➟♣ sè ♥❣✉②➯♥ ❦❤æ♥❣ ➙♠

B[x, r]

❤➻♥❤ ❝➛✉ t➙♠ x ❜→♥ ❦➼♥❤ r > 0

f :X→Y

→♥❤ ①↕ ✤ì♥ trà tø X ✈➔♦ Y

intP

♣❤➛♥ tr♦♥❣ ❝õ❛ t➟♣ P

lim inf f

❣✐î✐ ❤↕♥ ❞÷î✐ ❝õ❛ ❤➔♠ sè f

lim sup f

❣✐î✐ ❤↕♥ tr➯♥ ❝õ❛ ❤➔♠ sè f


✹

▼Ð ✣❺❯

✶✳ ▲þ ❞♦ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐
◆❣✉②➯♥ ❧➼ →♥❤ ①↕ ❝♦ ❇❛♥❛❝❤ ❧➔ ♠ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❝æ♥❣ ❝ö ❤ú✉ ➼❝❤ ❝õ❛
t♦→♥ ❤å❝ ❤✐➺♥ ✤↕✐✳ ❱✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❦➳t q✉↔ ♥➔②
❧➔ ♠ët ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝èt ❧ã✐ ❝õ❛ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤✐ t✉②➳♥✳ ❱➜♥ ✤➲ ♠ð rë♥❣ ◆❣✉②➯♥ ❧➼
→♥❤ ①↕ ❝♦ ❇❛♥❛❝❤ tr➯♥ ❝→❝ ❧î♣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠➯tr✐❝ ✤➣ ✈➔ ✤❛♥❣ ✤÷ñ❝ ♥❤✐➲✉
t→❝ ❣✐↔ q✉❛♥ t➙♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t❤❡♦ ♥❤ú♥❣ ❤÷î♥❣ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ✈➔ ✤↕t ✤÷ñ❝
♥❤✐➲✉ ❦➳t q✉↔ ✤→♥❣ ❦➸✱ t✐➯✉ ❜✐➸✉ ✈î✐ ♥❤ú♥❣ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥ê✐ ❜➟t ❝õ❛ ❇♦②❞
✈➔ ❲♦♥❣ ✭❬✶✵❪✮✱ ❈✐r✐❝ ✭❬✶✸❪✮✱ ❑❛♥♥❛♥ ✭❬✷✽❪✮✱ ❘❛♥ ✈➔ ❘❡✉r✐♥❣s ✭❬✸✽❪✮✱ ❘❛③❛♥✐
✈➔ P❛r✈❛♥❡❤ ✭❬✸✾❪✮✱ ❘❤♦❛❞❡s ✭❬✹✵❪✮✱ ❘✉s ✈➔ ❙❡r❜❛♥ ✭❬✹✻❪✮✱ ❙❤❛t❛♥❛✇✐♠ ✈➔
❆❧✲❘❛✇❛s❤❞❡❤ ✭❬✹✼❪✮✱ ❲❛r❞♦✇s❦✐ ✭❬✹✾❪✮✳
❈→❝ ✤à♥❤ ❧þ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝â ♥❤✐➲✉ ù♥❣ ❞ö♥❣ rë♥❣ r➣✐ tr♦♥❣ ♥❤✐➲✉ ❧➽♥❤
✈ü❝ ❝õ❛ t♦→♥ ❤å❝ ✈➔ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❦❤→❝ ♥❤÷ ❣✐↔✐ t➼❝❤✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐✲t➼❝❤ ♣❤➙♥✱
❦✐♥❤ t➳ ✈➔ ❦ÿ t❤✉➟t✱ ❦❤♦❛ ❤å❝ ♠→② t➼♥❤✳ ❇❛ ❤÷î♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ s❛✉ ✤➣ ✈➔
✤❛♥❣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ sü q✉❛♥ t➙♠ ❝õ❛ ♥❤✐➲✉ t→❝ ❣✐↔✳
◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤à♥❤ ❧þ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤♦ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❝♦ ✈➔ →♥❤ ①↕ ❝♦ s✉②
rë♥❣ tr➯♥ ❧î♣ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠➯tr✐❝✳
◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤à♥❤ ❧þ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤♦ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❝♦ ✈➔ →♥❤ ①↕ ❝♦ s✉②
rë♥❣ tr➯♥ ❝→❝ ❧î♣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✿ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
✤➲✉✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠➯tr✐❝ r✐➯♥❣✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝✱✳✳✳✳
◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ✤à♥❤ ❧þ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ tr♦♥❣ ♠ët sè
❧➽♥❤ ✈ü❝ ❝õ❛ t♦→♥ ❤å❝ ♥❤÷✿ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ sü tç♥ t↕✐ ✈➔ ❞✉② ♥❤➜t ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛
❝→❝ ❧î♣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐✲t➼❝❤ ♣❤➙♥✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠✱✳✳✳
❍✐➺♥ ♥❛②✱ ❝↔ ❜❛ ❤÷î♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ tr➯♥ ✈➝♥ ❝❤ù❛ ✤ü♥❣ ♥❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲
♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t❤í✐ sü ✈➔ ❤➜♣ ❞➝♥✳ ▼ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ✤÷ñ❝ ♥❤✐➲✉ t→❝


✺

❣✐↔ ✤➣ ✈➔ ✤❛♥❣ q✉❛♥ t➙♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❧➔ ✈✐➺❝ t❤✐➳t ❧➟♣ ♠ët sè ✤à♥❤ ❧þ ✤✐➸♠
❜➜t ✤ë♥❣ tr➯♥ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝✳ ❚r➯♥ ❝ì sð ✤â ✤➲ t➔✐ ✤➦t ✈➜♥ ✤➲

♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❤ú♥❣ ♥ë✐ ❞✉♥❣ s❛✉✿
✲ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ♠ët sè ❧î♣ ❝→❝ →♥❤ ①↕ tr➯♥ ❝→❝ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ s➢♣ t❤ù tü ❜ë ♣❤➟♥✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ♥â♥ tr➯♥ ❝→❝ ✤↕✐ sè
❇❛♥❛❝❤✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ✈î✐ ❣✐→ trà tr♦♥❣ C ∗ ✲✤↕✐ sè✳
✲ ❳➙② ❞ü♥❣ ♠ët sè ❧î♣ →♥❤ ①↕ ❝♦ s✉② rë♥❣ tr➯♥ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝
s➢♣ t❤ù tü ❜ë ♣❤➟♥✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ♥â♥ tr➯♥ ❝→❝ ✤↕✐ sè ❇❛♥❛❝❤✱ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ✈î✐ ❣✐→ trà tr♦♥❣ C ∗ ✲✤↕✐ sè✳
✲ Ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ t❤✉ ✤÷ñ❝ ✈➔♦ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ sü tç♥ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠
❝õ❛ ♠ët sè ❧î♣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥✳
❱î✐ ❝→❝ ❧þ ❞♦ ♥➯✉ tr➯♥ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝❤♦ ❧✉➟♥ →♥ ❝õ❛
♠➻♥❤ ❧➔✿ ✧✣à♥❤ ❧þ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤♦ ♠ët sè ❧î♣ →♥❤ ①↕ tr➯♥ ❦❤æ♥❣

❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣✧✳
✷✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ →♥ ❧➔ ♠ð rë♥❣ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✈➲ sü tç♥ t↕✐ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣
❝❤♦ ♠ët sè ❧î♣ →♥❤ ①↕ tr➯♥ ❝→❝ ❧î♣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♥❤÷ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ s➢♣
t❤ù tü ❜ë ♣❤➟♥✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ♥â♥ tr➯♥ ❝→❝ ✤↕✐ sè ❇❛♥❛❝❤✱ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ✈î✐ ❣✐→ trà tr♦♥❣ C ∗ ✲✤↕✐ sè ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ t❤✉ ✤÷ñ❝
✤➸ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ sü tç♥ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♠ët sè ❧î♣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥✳

✸✳ ✣è✐ t÷ñ♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
✣è✐ t÷ñ♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ❧✉➟♥ →♥ ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ s➢♣ t❤ù
tü ❜ë ♣❤➟♥✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ♥â♥ tr➯♥ ❝→❝ ✤↕✐ sè ❇❛♥❛❝❤✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

b✲♠➯tr✐❝ ✈î✐ ❣✐→ trà tr♦♥❣ C ∗ ✲✤↕✐ sè✱ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❝♦ s✉② rë♥❣✱ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣✱
✤✐➸♠ trò♥❣ ♥❤❛✉ ❝õ❛ ❝→❝ ❧î♣ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ♥➔② tr➯♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ s➢♣
t❤ù tü ❜ë ♣❤➟♥✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ♥â♥ tr➯♥ ❝→❝ ✤↕✐ sè ❇❛♥❛❝❤✱ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ✈î✐ ❣✐→ trà tr♦♥❣ C ∗ ✲✤↕✐ sè✱ ♠ët sè ❧î♣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥✳

✹✳ P❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉

ự ỵ trũ ỵ t ở
tr ổ btr s tự tỹ ở ổ btr õ
tr số ổ btr ợ tr tr C số
ự ử t q t ữủ ự t tỗ t ừ
ữỡ tr t

Pữỡ ự
ú tổ sỷ ử ữỡ ự ỵ tt ừ t
ỵ tt ữỡ tr ữỡ tr t ỵ tt
t ở tr q tr tỹ t



ỵ ồ tỹ t

ú t t q sỹ tỗ t t

ở tr ổ btr s tự tỹ ở ổ btr
õ tr số ổ btr ợ tr tr C số
ỗ tớ ự ử t q t ữủ ự sỹ tỗ t
ừ ởt số ợ ữỡ tr t
õ t t t s ồ
ồ ự s t õ ờ s
tố t ỵ tt t ở tr ổ btr
ự ử õ r

ờ q trú
ờ q
r ợ t ổ btr
ữ ởt sỹ rở ừ ổ tr ự ởt số t q
tr ợ ổ tr
t t số 2 tr btr số

s

1 r ữ r tờ qt ỡ btr

t ợ t tr õ õ rt t
q t ự ữ r t q õ ỵ t ở




tr ợ ổ t ữ t q ữủ ổ ố tr

r t ợ T s
tr ổ tr t ữủ ởt số t q sỹ tỗ t
t ở ừ ú (X, d) ổ tr

T, S : X X S ữủ ồ

tỗ t k [0, 1) s ợ

ồ x, y X t õ

d(T Sx, T Sy)

kd(T x, T y).

T x = x ợ ồ x X t T tr t
ỹ t ừ ợ T t út sỹ q t ừ
ự tt t ở tr
ự ởt số t t tr ổ btr
s tự tỹ ở s õ t ự tờ qt õ
ởt số t q trũ tr ợ ổ t t
tứ t q tr ởt số q ú tổ t
ự ỵ trũ ợ tọ
T s rở (, L)T s rở tr
ổ btr s tự tỹ ở ử t tr ữỡ ú
tổ ữ r tọ T s rở
(, L)T s rở ỗ tớ tt ởt số t q
trũ ợ tọ T s rở

(, L)T s rở tr ổ btr ừ s tự tỹ ở
ử ú tổ tr ởt số t t
ỡ ừ ổ btr ự t q sỹ tỗ t
trũ ợ tọ T s rở tr
ổ btr ừ s tự tỹ ở ử t ú tổ tt
ỵ q q q
ồ ỵ ú tổ ữ r ử r r t
q ừ ú tổ tỹ sỹ rở s ợ t q t ử




ú tổ ự ởt số t q sỹ tỗ t trũ

ợ (, L)T s rở tr ổ btr s tự
tỹ ở ử t ú tổ tt ỵ ỵ ữ
r ử ử ồ ỵ ụ ữ
r r t q ừ ú tổ tỹ sỹ rở s ợ t q
t ử ú tổ ự ử t q ử trữợ
ự sỹ tỗ t ừ ởt số ợ ữỡ tr t
ợ t ổ
tr õ t ữủ ởt số t q ỵ t ở tr ợ
ổ õ õ t ự ổ ố
t q ừ tr ỡ s ừ ổ tr õ
ợ t ổ tr õ tr
số t ự sỹ tỗ t ừ t ở ợ
tt õ t ỡ ỳ t ụ ữ r ữủ
ử r r ỵ t ở tr ổ tr õ tr
số ổ tữỡ ữỡ ợ ỵ tữỡ tỹ tr
ổ tr õ ụ ợ
t ổ btr õ tr số ự
ởt số t q t ở ở ổ tr ợ ổ
t ởt số t q
t ở ợ số st k tọ (k) [0, 1s ) (k)
ờ ừ k ỗ rở
số st tứ (k) [0, 1s ) s (k) [0, 1)
ởt số tr ổ btr õ tr số
ợ số s

1 t ự ởt số

t q t ở ợ tr ổ
tr õ tr số ự ử t q õ
ự sỹ tỗ t t ừ ởt ợ ữỡ tr t

ốt tr tt t q t t t ừ




số tr r r
ợ ử ự ỵ t ở ởt số
tr ổ btr õ tr số tr ữỡ
ú tổ tt ởt số t q sỹ tỗ t t ở ợ
s rở tr ổ btr õ ừ tr
số ử ú tổ tr ởt số t
t ỡ ừ ổ btr õ tr số t
tr ử ú tổ tt ờ ỵ sỹ
tỗ t t ở ợ s rở tr ổ
btr õ ừ tr số ú tổ ụ ữ r
ử ồ ỵ ụ ữ r r t
q ừ ú tổ rở tỹ sỹ s ợ t q tr
ử ú tổ ữ r ờ ỵ q
q q sỹ tỗ t t ở ở ổ tr
ổ btr õ ừ tr số ử ú tổ
ự ử ỵ t ở ử tr ự sỹ tỗ t
ừ ởt ợ ữỡ tr t
ũ ỗ ỹ
ổ tr ợ tr tr C số ự ởt số ỵ
t ở tr ợ ổ
tờ qt õ ổ btr ợ tr tr C số tứ ổ
tr ợ tr tr C số ỗ tớ ự ởt số t q
t ở tr ợ ổ ợ õ t tr
t q õ ỵ tr ổ btr ợ tr tr C số
tt ởt btr ợ tr tr C số r ởt số

t t tữỡ tỹ btr ụ ỗ
r ỗ
r r ởt số t q tr ổ btr ợ tr tr C số
õ t s r trỹ t tứ t q tữỡ tỹ tr ổ btr




õ tr tt t q t t t ừ
số tr ố ợ t
t t ữ ữủ t q tr ổ

btr ợ tr tr C số õ t s r trỹ t tứ t q
tữỡ tỹ tr ổ btr ổ st
ởt tr ỳ t õ ỵ
ữủ tr t rr ữủ t
s õ q t ự t tr
t t
õ d f (x), f (y)

d(x, y) tr ổ btr ợ

tr tr C số (X, A, d, s) : A+ A+ tọ

(x + y) = (x) + (y) ợ ồ , R+ , x, y A+ tr
ử ồ ự ử t sỷ ử õ

d f (x), f (y)

d(x, y)

r
ó r ởt sỹ tr trú ừ C số tứ

a b t ổ s r ữủ a

b ữủ ú tổ r

tr ử ừ ử
r ữỡ ú tổ ự ỵ t ở tr
ổ btr ợ tr tr C số t tr ử
ú tổ tr ởt số t t ỡ ừ ổ

btr ợ tr tr C số t tr ử ú tổ
ỹ s rở s
rở tr ổ btr ợ tr tr C số ữ r
ử ồ sỹ t ừ ỗ tớ ự
ởt số t t ỡ ừ ú ụ tr ử ú tổ tt
ỵ ỵ sỹ tỗ t t
t ở ố ợ s rở s rở
tr ổ btr ợ tr tr C số r ú




tổ ỹ ử r r t q ừ ừ ú tổ
sỹ rở tỹ sỹ t q tr ởt số
r ử ú tổ tt ự ởt số ỵ

t ở ở ổ ởt ợ tr ổ btr
ợ tr tr C số ữ r ử ồ r r t
q ừ ú tổ rở tỹ sỹ s ợ t q tr
ởt số r ử ú tổ ự ử t q
tr ử ự sỹ tỗ t ừ ởt ợ ữỡ
tr t

trú
ở ữủ tr tr ữỡ r ỏ
õ ớ ớ ỡ ử ử t
ử ổ tr ồ ừ ự s q trỹ t
t
ữỡ ú tổ tr ự trũ
ợ tr ổ btr s tự tỹ ở ự ử
ử ú tổ ự sỹ tỗ t trũ ợ
tọ T s rở tr ổ btr s tự
tỹ ở ử ú tổ ự sỹ tỗ t trũ
ợ (, L)T s rở tr ổ btr s
tự tỹ ở ử ú tổ ự ử t q t ữủ
ự sỹ tỗ t ừ ởt ợ ữỡ tr t t q
ừ ữỡ ữủ tr t

r ss

tr ởt ữủ ỷ

ữỡ ú tổ tr ự sỹ tỗ t t
ở tr ổ btr õ ừ tr số ự
ử ử ú tổ tr ởt số t t ỡ ừ
ổ btr õ tr số ử ú tổ

ự sỹ tỗ t t ở ợ s rở tr




ổ btr õ tr số ử ú tổ
ự sỹ tỗ t t ở ở ổ ởt số tr
ổ btr õ ừ tr số ử ú tổ
ự ử t q t ữủ ự sỹ tỗ t ừ ởt ợ
ữỡ tr t t q ừ ữỡ ữủ ỷ
tr ởt số t ồ qố t
ữỡ ú tổ tr ự sỹ tỗ t t
ở tr ổ btr ợ tr tr C số ự ử
ử ú tổ tr ởt số t t ỡ ừ ổ
btr ợ tr tr C số r ử ú tổ tt
ởt số ỵ t ở ợ s rở

s rở tr ổ btr ợ tr tr C số
ử ú tổ tt ự ởt số ỵ t ở
ở ổ ởt ợ tr ổ btr ợ tr tr

C số ử ú tổ ự t sỹ tỗ t ừ
ởt ợ ữỡ tr t t q ừ ữỡ ữủ

t ts t stt rst Pr
t r tt ts
tr t

t q ừ ữủ t t tr õ
õ ổ ố tr t õ t tr t ợ tở

ử t q tr ở ừ ụ ữủ
t

r ừ ở ổ t tở ữ tỹ rữớ
ồ

r ừ ờ t tở ữ ồ rữớ
ồ ỗ

ở ừ rữớ ồ
ở ồ t tờ ự t r




ì

ề P
b P ĩ P
ệ

r ữỡ ú tổ ữ r T

(, L)T s rở tr ổ btr t ự
ởt số t q trũ t ở ợ
tọ T s rở (, L)T s rở
tr ổ btr ừ s tự tỹ ở r ú tổ
ự ử t q t ữủ ự sỹ tỗ t ừ ởt ợ
ữỡ tr t

trũ ợ tọ T
s rở tr ổ btr ừ s tự tỹ ở
r ử ú tổ tr ởt số t t
ỡ ừ ổ btr ũ s tt ởt số t
q trũ ợ tọ T s
rở tr ổ btr ừ s tự tỹ ở

X t rộ s

1

ởt số tỹ d : X ì X R ữủ ồ btr tr X ợ
ồ x, y, z X s ữủ tọ
0

d(x, y) d(x, y) = 0 x = y

d(x, y) = d(y, x)


✶✹

✸✳ d(x, z)

s[d(x, y) + d(y, z)]✳

❑❤✐ ✤â✱ (X, d, s) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣

❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ✈î✐ ❤➺ sè s✳ ❚r÷í♥❣ ❤ñ♣

s = 1 t❤➻ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠➯tr✐❝✳

✶✳✶✳✷ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ✭❬✷✾✱ ❉❡❢✐♥✐t✐♦♥ ✼❪✮ ❈❤♦ (X, d, s) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝
✈➔ {xn } ❧➔ ♠ët ❞➣② tr♦♥❣ X ✳ ❑❤✐ ✤â
✶✳ ❉➣② {xn } ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❞➣②

❤ë✐ tö tî✐ x ∈ X ✱ ✈✐➳t ❧➔ n→∞
lim xn = x✱ ♥➳✉

lim d(xn , x) = 0.

n→∞

✷✳ ❉➣② {xn } ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❞➣②

❈æs✐ ♥➳✉ n,m→∞
lim d(xn , xm ) = 0.

✸✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ (X, d, s) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

✤➛② ✤õ ♥➳✉ ♠é✐ ❞➣② ❈æs✐ ❧➔ ♠ët ❞➣②

❤ë✐ tö✳

✶✳✶✳✸ ❱➼ ❞ö✳ ✭❬✷✺✱ ❊①❛♠♣❧❡ ✶✳✸❪✮ ❈❤♦ X = R ✈➔ d : X × X → R+ ①→❝
✤à♥❤ ❜ð✐ d(x, y) =| x − y |2 ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ X. ❑❤✐ ✤â (X, d, s) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

b✲♠➯tr✐❝ ✈î✐ ❤➺ sè s = 2✳

✶✳✶✳✹ ◆❤➟♥ ①➨t✳ ✭❬✶✶✱ ❘❡♠❛r❦ ✷✳✶❪✮ ❚r♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝✱ ❝→❝ ❦❤➥♥❣

✤à♥❤ s❛✉ ❧➔ ✤ó♥❣✳
✶✳ ●✐î✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ♠ët ❞➣② ♥➳✉ ❝â ❧➔ ❞✉② ♥❤➜t✳
✷✳ ▼é✐ ❞➣② ❤ë✐ tö ❧➔ ♠ët ❞➣② ❈æs✐✳
✸✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ tê♥❣ q✉→t✱ ♠ët b✲♠➯tr✐❝ ❜➜t ❦ý ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❧✐➯♥ tö❝✳

✶✳✶✳✺ ❇ê ✤➲✳ ✭❬✷✻✱ ▲❡♠♠❛ ✸✳✶❪✮ ❈❤♦ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ (X, d, s)✱ α ∈ (0, )
1
s

✈➔ {xn} ❧➔ ♠ët ❞➣② tr♦♥❣ X s❛♦ ❝❤♦
d(xn , xn+1 )

αd(xn−1 , xn )

❑❤✐ ✤â {xn} ❧➔ ❞➣② ❈æs✐ tr♦♥❣ X ✳

✈î✐ ♠å✐ n

1.


✶✺

❈❤♦ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ (X, d, s)✱ ❣✐↔ sû
{xn } ✈➔ {yn } ❧➔ ❤❛✐ ❞➣② ❤ë✐ tö t÷ì♥❣ ù♥❣ ✤➳♥ x ✈➔ y tr♦♥❣ X ✳ ❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â

✶✳✶✳✻ ❇ê ✤➲✳ ✭❬✷✱ ▲❡♠♠❛ ✷✳✶❪✮
1
d(x, y)
s2

lim inf d(xn , yn )
n→∞

lim sup d(xn , yn )

s2 d(x, y).

n→∞

❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t✱ ♥➳✉ x = y✱ t❛ ❝â n→∞
lim d(xn , yn ) = 0✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱
✈î✐ ♠é✐ z ∈ X ✱ t❛ ❝â
1
d(x, z)
s

lim inf d(xn , z)
n→∞

lim sup d(xn , z)

sd(x, z).

n→∞

✶✳✶✳✼ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ✭❬✷✸✱ ❉❡❢✐♥✐t✐♦♥ ✶✳✷❪✮ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ s➢♣ t❤ù tü
❜ë ♣❤➟♥ (X, d, s, ) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

❝❤➼♥❤ q✉② ♥➳✉ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉✿

✶✳ ◆➳✉ ❞➣② ❦❤æ♥❣ ❣✐↔♠ {xn } ❤ë✐ tö ✈➲ x t❤➻ xn
✷✳ ◆➳✉ ❞➣② ❦❤æ♥❣ t➠♥❣ {yn } ❤ë✐ tö ✈➲ y t❤➻ yn

x ✈î✐ ♠å✐ n✳
y ✈î✐ ♠å✐ n✳

✶✳✶✳✽ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ✭❬✷✸✱ ❉❡❢✐♥✐t✐♦♥ ✶✳✷❪✮ ❈❤♦ X ❧➔ t➟♣ ❦❤→❝ ré♥❣ ✈➔ ❝→❝
→♥❤ ①↕ f, g : X → X ✳ ❑❤✐ ✤â f ✈➔ g ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

❣✐❛♦ ❤♦→♥ ♥➳✉ f gx = gf x

✈î✐ ♠å✐ x ∈ X ✳

✶✳✶✳✾ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ✭❬✶✱ ❉❡❢✐♥✐t✐♦♥ ✶✳✸❪✮ ❈❤♦ X ❧➔ t➟♣ ❦❤→❝ ré♥❣ ✈➔ ❝→❝ →♥❤
①↕ f, g : X → X ✳ ◆➳✉ w = f x = gx ✈î✐ x ∈ X t❤➻ x ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët

✤✐➸♠

trò♥❣ ♥❤❛✉ ❝õ❛ f ✈➔ g ✈➔ w ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❣✐→ trà trò♥❣ ♥❤❛✉ ❝õ❛ f ✈➔ g✳

❇➙② ❣✐í✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ✤÷❛ r❛ ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝➛♥ sû ❞ö♥❣ ❝❤♦ ♠ö❝ t✐➳♣
t❤❡♦✳ ❈→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♥➔② ❧➔ tê♥❣ q✉→t ❤ì♥ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✤➣ ❝â tr♦♥❣ ❬✷✸❪✳

✶✳✶✳✶✵ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ❈❤♦ (X, d, s, ) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ s➢♣ t❤ù tü ❜ë
♣❤➟♥ ✈➔ ❝→❝ →♥❤ ①↕ f, g, h, k : X → X ✳ ❑❤✐ ✤â
✶✳ ❈➦♣ (f, g) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ h✲t÷ì♥❣

t❤➼❝❤ ♥➳✉ n→∞
lim d(f hgxn , ghf xn ) = 0✱ ✈î✐

♠å✐ ❞➣② {xn } tr♦♥❣ X s❛♦ ❝❤♦ lim hf xn = lim hgxn = t ✈î✐ t ♥➔♦
n→∞

n→∞

✤â t❤✉ë❝ X ✳ ◆➳✉ ❧➜② hx = x ✈î✐ ♠å✐ x ∈ X t❤➻ ❝➦♣ (f, g) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

t÷ì♥❣ t❤➼❝❤ ✭❬✷✸❪✮✳ ◆➳✉ t❛ ❧➜② gx = x ✈î✐ ♠å✐ x ∈ X ✱ t❤➻ f ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
h✲t÷ì♥❣ t❤➼❝❤✳


✶✻

✷✳ ❈➦♣ (f, g) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ h✲t÷ì♥❣

t❤➼❝❤ ②➳✉ ♥➳✉ f hgx = ghf x ✈î✐ ♠é✐

hgx = hf x✳ ◆➳✉ t❛ ❧➜② hx = x ✈î✐ ♠å✐ x ∈ X t❤➻ ❝➦♣ (f, g) ✤÷ñ❝ ❣å✐

t÷ì♥❣ t❤➼❝❤ ②➳✉ ✭❬✷✸❪✮✳ ◆➳✉ t❛ ❧➜② gx = x ✈î✐ ♠å✐ x ∈ X t❤➻ f ✤÷ñ❝
❣å✐ ❧➔ h✲t÷ì♥❣ t❤➼❝❤ ②➳✉✳

❧➔

✸✳ ❈➦♣ (f, g) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ h✲t➠♥❣ ②➳✉ ✤è✐ ✈î✐ k ♥➳✉ hf (X)
✈➔ ✈î✐ ♠å✐ x ∈ X ✱ t❛ ❝â hf x

hgx

hg(X) ⊆ hk(X)

hgy ✈î✐ ♠å✐ y ∈ (hk)−1 (hf x) ✈➔

hf y ✈î✐ ♠å✐ y ∈ (hk)−1 (hgx)✳ ◆➳✉ t❛ ❧➜② hx = x ✈î✐ ♠å✐ x ∈ X

t➠♥❣ ②➳✉ ✤è✐ ✈î✐ k ✭❬✷✸❪✮✳ ◆➳✉ ❧➜② kx = x ✈î✐
♠å✐ x ∈ X t❤➻ ❝➦♣ (f, g) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ h✲t➠♥❣ ②➳✉✳

t❤➻ ❝➦♣ (f, g) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

✹✳ ❈➦♣ (f, g) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ h✲t➠♥❣ ②➳✉ ❜ë ♣❤➟♥ ✤è✐ ✈î✐ k ♥➳✉ hf (X) ⊆ hk(X)
✈➔ ✈î✐ ♠å✐ x ∈ X ✱ t❛ ❝â hf x

hgy ✈î✐ ♠å✐ y ∈ (hk)−1 (hf x)✳ ◆➳✉ t❛

❧➜② hx = x ✈î✐ ♠å✐ x ∈ X t❤➻ ❝➦♣ (f, g) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

t➠♥❣ ②➳✉ ❜ë ♣❤➟♥

✤è✐ ✈î✐ k ✭❬✷✸❪✮✳ ◆➳✉ t❛ ❧➜② kx = x ✈î✐ ♠å✐ x ∈ X t❤➻ ❝➦♣ (f, g) ✤÷ñ❝

❣å✐ ❧➔ h✲t➠♥❣

②➳✉ ❜ë ♣❤➟♥✳

✺✳ f ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ g ✲✤ì♥
t❛ ❝â hf x
❧➔ g ✲✤ì♥

✤✐➺✉ ❦❤æ♥❣ ❣✐↔♠ ✤è✐ ✈î✐ (h,

) ♥➳✉ hgx

hgy ✱ t❤➻

hf y ✳ ◆➳✉ t❛ ❧➜② hx = x ✈î✐ ♠å✐ x ∈ X ✱ t❤➻ f ✤÷ñ❝ ❣å✐

✤✐➺✉ ❦❤æ♥❣ ❣✐↔♠ ✤è✐ ✈î✐ “ ” ✭❬✷✸❪✮✳ ◆➳✉ t❛ ❧➜② gx = x ✈î✐
♠å✐ x ∈ X ✱ t❤➻ f ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❦❤æ♥❣ ❣✐↔♠ ✤è✐ ✈î✐ (h, )✳

❚✐➳♣ t❤❡♦✱ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ t❤❛② t❤➳ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠➯tr✐❝ ❜➡♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

b✲♠➯tr✐❝✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ✤÷❛ r❛ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ →♥❤ ①↕ T ✲❝♦ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝✳

✶✳✶✳✶✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ❈❤♦ (X, d, s) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ✈î✐ s > 1 ✈➔ ❝→❝

→♥❤ ①↕ T, S : X → X ✱ →♥❤ ①↕ S ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ T ✲❝♦ ♥➳✉ tç♥ t↕✐ k ∈ [0, 1) s❛♦
❝❤♦ ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ X ✱ t❛ ❝â

d(T Sx, T Sy)

kd(T x, T y).

◆➳✉ T x = x ✈î✐ ♠å✐ x ∈ X t❤➻ →♥❤ ①↕ T ✲❝♦ ❧➔ →♥❤ ①↕ ❝♦ ❇❛♥❛❝❤✳

✭✶✳✶✮


✶✼

✶✳✶✳✶✷ ❱➼ ❞ö✳ ▲➜② X = [1, ∞)✱ ①➨t b✲♠➯tr✐❝ ✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ d(x, y) = |x − y|2

1
✈➔ Sx = 4x ✈î✐ ♠å✐ x ∈ X ✳
x
❘ã r➔♥❣✱ S ❦❤æ♥❣ ❧➔ →♥❤ ①↕ ❝♦✳ ▼➦t ❦❤→❝✱ ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ X t❛ ❝â
✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ X ✳ ❳➨t ❝→❝ →♥❤ ①↕ T x = 2 −

d(T Sx, T Sy) =

1
1
−
4y 4x

2

=

1
1 2
1
1
(2 − ) − (2 − ) = d(T x, T y).
16
x
y
16

✣✐➲✉ ♥➔② ❝❤ù♥❣ tä S ❧➔ →♥❤ ①↕ T ✲❝♦✳
❚r♦♥❣ ❬✷✸❪✱ ❍✉❛♥❣✱ ❘❛❞❡♥♦✈➼❝ ✈➔ ❱✉❥❛❦♦✈➼❝ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❦➳t q✉↔ s❛✉
✈➲ ✤✐➸♠ trò♥❣ ♥❤❛✉ ❝❤♦ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ s➢♣ t❤ù tü ❜ë ♣❤➟♥✳

✶✳✶✳✶✸ ✣à♥❤ ❧þ✳ ✭❬✷✸✱ ❚❤❡♦r❡♠ ✷✳✶❪✮ ❈❤♦ (X, d, s, ) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝

✤➛② ✤õ s➢♣ t❤ù tü ❜ë ♣❤➟♥ ✈î✐ ❤➺ sè s > 1 ✈➔ f, g, S, R : X → X ❧➔ ❝→❝ →♥❤
①↕ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉✿
✶✳ f (X) ⊆ R(X) ✈➔ g(X) ⊆ S(X)✳
✷✳ ❱î✐ ♠é✐ ❝➦♣ x, y ∈ X s❛♦ ❝❤♦ Sx, Ry ❧➔ s♦ s→♥❤ ✤÷ñ❝✱ t❛ ❝â
si d(f x, gy)

Ms (x, y),

✭✶✳✷✮

ð ✤➙② i > 1 ❧➔ ♠ët ❤➡♥❣ sè ✈➔
Ms (x, y) = max d(Sx, Ry), d(Sx, f x), d(Ry, gy),
d(Sx, gy) + d(Ry, f x)
.
2s

✸✳ ❈→❝ →♥❤ ①↕ f, g, R ✈➔ S ❧➔ ❧✐➯♥ tö❝✳
✹✳ ❈→❝ ❝➦♣ (f, S) ✈➔ (g, R) ❧➔ t÷ì♥❣ t❤➼❝❤✳
✺✳ ❈→❝ ❝➦♣ (f, g) ✈➔ (g, f ) ❧➔ t➠♥❣ ②➳✉ ❜ë ♣❤➟♥ ✤è✐ ✈î✐ R ✈➔ S ✱ t÷ì♥❣ ù♥❣✳
❑❤✐ ✤â✱ ❝→❝ ❝➦♣ (f, S) ✈➔ (g, R) ❝â ♠ët ✤✐➸♠ trò♥❣ ♥❤❛✉ z tr♦♥❣ X ✳ ❍ì♥
♥ú❛✱ ♥➳✉ Rz ✈➔ Sz ❧➔ s♦ s→♥❤ ✤÷ñ❝✱ t❤➻ z ❧➔ ♠ët ✤✐➸♠ trò♥❣ ♥❤❛✉ ❝õ❛
f, g, R ✈➔ S ✳

✶✽

❙❛✉ ✤➙② ❧➔ ♠ët ✈➼ ❞ö ♠➔ ❝❤ó♥❣ t❛ ❞➵ ❞➔♥❣ ♥❤➟♥ t❤➜② ❝→❝ ❝➦♣ (f, S) ✈➔

(g, R) ❝â ♠ët ✤✐➸♠ trò♥❣ ♥❤❛✉ ❧➔ ✤✐➸♠ 0 tr♦♥❣ X ✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ tr♦♥❣ tr÷í♥❣
❤ñ♣ ♥➔② ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✶✸ ❧↕✐ ❦❤æ♥❣ →♣ ❞ö♥❣ ✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❝→❝ →♥❤ ①↕ f, g, R, S ✳

✶✳✶✳✶✹ ❱➼ ❞ö✳ ❈❤♦ t➟♣ X = [0, 1]✱ ①➨t b✲♠➯tr✐❝ d ✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ ❝æ♥❣ t❤ù❝
d(x, y) = |x − y|2 ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ X ✈➔ q✉❛♥ ❤➺ t❤ù tü “

” tr➯♥ X ①→❝

✤à♥❤ ❜ð✐✳

x

y ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ x

y ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ X.

❚❛ ①→❝ ✤à♥❤ ❝→❝ →♥❤ ①↕ g, S, f, R : X → X ❝❤♦ ❜ð✐

x
Sx = Rx = √ ✈➔ f x = gx =
2

x
1
2i+ 2

✈î✐ ♠å✐ x ∈ X, i > 1.

❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉✿
✶✳ (X, d, , s) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ b✲♠➯tr✐❝ ✤➛② ✤õ s➢♣ t❤ù tü ❜ë ♣❤➟♥ ✈î✐ ❤➺
sè s = 2✳
✷✳ f (X) ⊆ R(X), g(X) ⊆ S(X)✳
✸✳ S, g, f, R ❧➔ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❧✐➯♥ tö❝✳
✹✳ ❈→❝ ❝➦♣ (f, S) ✈➔ (g, R) ❧➔ t÷ì♥❣ t❤➼❝❤✳
✺✳ ❈→❝ ❝➦♣ (f, g) ✈➔ (g, f ) ❧➔ t➠♥❣ ②➳✉ ❜ë ♣❤➟♥ ✤è✐ ✈î✐ R ✈➔ S ✱ t÷ì♥❣ ù♥❣✳
✻✳ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✶✸ ❧➔ ❦❤æ♥❣ →♣ ❞ö♥❣ ✤÷ñ❝ ❝❤♦ S, g, f ✈➔ R✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ❞➵ ❦✐➸♠ tr❛ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✶✳✱ ✷✳✱ ✸✳ ❧➔ ✤ó♥❣✳
✹✳ ❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ (f, S) ❧➔ t÷ì♥❣ t❤➼❝❤✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ❣✐↔ sû {xn } ❧➔
♠ët ❞➣② tr♦♥❣ X s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ t ♥➔♦ ✤â tr♦♥❣ X ♠➔ t❤ä❛ ♠➣♥

lim d(f xn , t) = lim d(Sxn , t) = 0.

n→∞

n→∞

❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â

lim

n→∞

xn
1

2i+ 2

2
2
xn
− t = lim √ − t = 0.
n→∞
2


✶✾

✣✐➲✉ ♥➔② t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐
1

lim xn − t 2i+ 2

2

n→∞

√ 2
= lim xn − t 2 = 0.
n→∞

√
1
❱➻ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❞➣② ❧➔ ❞✉② ♥❤➜t ♥➯♥ t 2i+ 2 = t 2. ✣✐➲✉ ♥➔② ❦➨♦ t❤❡♦
t = 0✳ ◆❤í t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝ ❝õ❛ f ✈➔ S ✱ t❛ ✤÷ñ❝
lim Sf xn = St = S0 = 0,

lim f Sxn = f t = f 0 = 0.

n→∞

n→∞

❉♦ ✤â✱ ♥❤í ❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✻ t❛ s✉② r❛ lim d(Sf xn , f Sxn ) = 0. ❱➻ t❤➳ (f, S) ❧➔
n→∞

t÷ì♥❣ t❤➼❝❤✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t÷ì♥❣ tü✱ t❛ ❝â (g, R) ❧➔ t÷ì♥❣ t❤➼❝❤✳
−1
✺✳ ●✐↔ sû x, y ∈ X s❛♦ ❝❤♦
√ y ∈ R f x✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ Ry = f x✳ ❚ø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛
x 2
✳ ❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â
❝õ❛ f ✈➔ R s✉② r❛ y =
1
i+
2
2
√
√
x 2
x 2
x
gy = g
= i+ 1

= f x.
1
1
i+
i+
2
2
2
2
2
2

❉♦ ✤â✱ f x

gy ✳ ❱➻ ✈➟② (f, g) ❧➔ t➠♥❣ ②➳✉ ❜ë ♣❤➟♥ ✤è✐ ✈î✐ R✳ ▲➟♣ ❧✉➟♥

t÷ì♥❣ tü✱ t❛ ❝â (g, f ) ❧➔ t➠♥❣ ②➳✉ ❜ë ♣❤➟♥ ✤è✐ ✈î✐ S ✳
✻✳ ▲➜② x ∈ (0, 1] ✈➔ y = 0✳ ❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â
i

i

2 d(f x, g0) = 2 d

x
1
2i+ 2

i

,0 = 2

x

x2
−0 = √
2
2

1

2i+ 2

✈➔

M2 (x, 0)
d(Sx, g0) + d(R0, f x)
4
x
x
d √ , 0 + d 0,
i+ 21
2
2
, 0,
4

= max d(Sx, R0), d(Sx, f x), d(R0, g0),
x
x

= max d √ , 0 , d √ ,
2
2
2
x
x
= d √ ,0 = .
2
2

x
1

2i+ 2




õ t õ

2i d(f x, g0) > M2 (x, 0).
ự tọ tr ỵ ổ tọ
õ ỵ ổ ử ữủ S, g, f R

ớ ú tổ s tt ởt ỵ trũ ợ
tọ T tr ổ btr ừ s
tự tỹ ở ỡ ỳ sỷ ử ỵ t r ữủ sỹ
tỗ t trũ ừ tr ử

(X, d, s, ) ổ btr ừ s tự tỹ

ở ợ s > 1 f, g, S, R, T : X X tọ
s
ỵ

f (X) R(X) g(X) S(X)
T ởtởt
ộ x, y X s T Sx, T Ry s s ữủ t õ
si d(T f x, T gy))

MsT (x, y),



i > 1 ởt số
MsT (x, y) = max d(T Sx, T Ry), d(T Sx, T f x),
d(T Ry, T gy),



d(T Sx, T gy) + d(T Ry, T f x)
.
2s

f, g, R S tử
(f, S) (g, R) T tữỡ t
(f, g) (g, f ) T t ở ố ợ R S tữỡ ự

õ (f, S) (g, R) õ ởt trũ z tr X ỡ
ỳ T Rz T Sz s s ữủ t z ởt trũ ừ
f, g, R S
ự t x0 X f (X) R(X) g(X) S(X)
t õ T f (X) T R(X) T g(X) T S(X) ớ tt f (X) R(X)
g(X) S(X) tỗ t x1 X s f x0 = Rx1 x2 X s

gx1 = Sx2 õ s r T f x0 = T Rx1 T gx1 = T Sx2 tử q
tr tr t ỹ ởt {zn } ữủ ữ s

z2n+1 = T Rx2n+1 = T f x2n

z2n+2 = T Sx2n+2 = T gx2n+1

ợ ồ n N.
x1 (T R)1 (T f x0 ) x2 (T S)1 (T gx1 ) (f, g) (g, f )

T t ở ố ợ R S tữỡ ự t õ
z1 = T Rx1 = T f x0

T gx1 = z2 = T Sx2

q tr tr t t ữủ zn

T f x2 = T Rx3 = z3 .

zn+1 ợ ồ n

1 ớ t s

ự tọ r

d(zn+1 , zn+2 )
ợ ồ n



d(zn , zn+1 )

1 [0, 1s ) ố t t t trữớ ủ s

rữớ ủ sỷ r zn = zn+1 ợ ồ n

1 T Sx2n = z2n