Kiến thức ôn thi THPTQG môn toán năm 2019

Trang 1
Lê Trung Kiên

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội
ÔN TẬP KIẾN THỨC ÔN THI THPTQG 2019

Chủ đề 1: Khảo sát hàm số và các vấn
đề liên quan
1.Bảng các đạo hàm
x n � n.x n 1
u n � n.u n 1.u �

 

 

 x  � 2 1 x

 u  � 2u�u

� 1
�1 �
� �  2
�x � x

� u�
�1 �
� �  2
�u � u

 x  � 1 , c� 0 ,

 u �v  � u��v�

 k.u  � k.u�

 s inx  � cos x

� u�
v  uv�
�u �
� �
v2
�v �
.cos u
 sin u  � u �

 cos x  �  s inx

.sin u
 cos u  � u�

v  uv�
 uv  � u�

1
u�
 tan u  � 2
2
cos x
cos u

1
u�
 cot x    2
 cot u  �  2
sin x
sin u
2. Xét dấu biểu thức.
 Định lý về dấu của nhị thức
bậc nhất y  f  x  =ax  b  a �0 
x
b
�

�
a
y
af  x   0
af  x   0
0

 tan x  �



Định lý về dấu của tam thức bậc
2
hai y  ax  bx  c  a �0 

b�
� � �2

  b 2  4ac �
   b   ac  , b�
 �
4
2�
�
 0  phương trình
+) Nếu   0  �
y  0 vô nghiệm.

/>
�

�

x
y

af  x   0

 0  phương trình y=0
+) Nếu   0  �
b
có nghiệm kép x1,2  
2a
x
b
�

�

2a
y
af  x   0
af  x   0
0
 0  phương trình
+) Nếu   0  �
y  0 có hai nghiệm phân biệt
b �   b�
� �
, sắp xếp hai

2a
a
nghiệm x1  x 2
x
�
x1
x2
x

af  x   0

0 af  x   0
0
 Định lý vi-et: Khi phương trình
bậc hai
2
ax  bx  c  0  a �0  có hai nghiệm

y

b
�
x1  x 2  
�
�
a
x1 ; x 2 ta có �
c
�x .x 
�1 2 a
3. Phương trình tiếp tuyến ( PT 3 )
 PT 3 với đồ thị hàm số y  f  x 
tại điểm M  x 0 ; y 0  có hệ số góc là
f�
 x0 

PT 3 với đồ thị hàm số y  f  x 
tại điểm M  x 0 ; y 0  có dạng :


y  f�
 x 0   x  x 0   y0 , y0  f  x 0 

M được gọi là tiếp điểm
x 0 được gọi là hoành độ của tiếp điểm
y 0 được gọi là tung độ của tiếp điểm
/>
�

af  x   0


Trang 1
Lê Trung Kiên
f '  x 0  được gọi là hệ số góc của tiếp
tuyến.
 Nếu PT 3 song song với đường
 x0   a
thẳng y  ax  b thì f �
 Nếu PT 3 vuông góc với đường
1
thẳng y  ax  b thì f �
 x0   
a
 Nếu PT 3 tạo với trục 0x một góc
 thì f �
 x 0   �tan 


Nếu PT 3 cắt hai trục tọa độ tạo
thành một tam giác vuông cân thì
f�
 x 0   �1
4. Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số
 Tìm tập xác định của hàm số
 x  , tìm các
 Tính đạo hàn f �

điểm x i  i  1, 2...n  mà tại đó đạo hàm

bằng không hoặc không xác định.
 Sắp xếp x i theo thứ tự tăng dần
và lập bảng biến thiên.
 Nêu các kết luận về sự đồng biến
nghịch biến của hàm số
5. Quy tắc 1 tìm cực trị hàm số
 Tìm tập xác định của hàm số
 x  , tìm các
 Tính f �

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội
�
 x 0   0 thì x 0 là điểm
 Nếu f �
cực đại.
�
 x0   0 thì ta không kết
Chú ý nếu f �
luận được về tính cực trị hàm số tại x 0
7.Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm
số liên tục trên một đoạn.
 Tìm các điểm x1 ; x 2 ; ...; x n trên
 a; b  mà tại đó f �
 x   0 hoặc không
xác định.
 Tính
f  a  ; f  x1  ; f  x 2  ;...;f  x n  ;f  b  .
 Tìm số lớn nhất M và số nhỏ
nhất m trong các số trên. Khi đó:
M  max f  x  , m  min f  x 

 a;b

 a;b

Chú ý: Để tìm GTLN, GTNN của hàm số
trên một khoảng, nửa khoảng ta có thể
lập bảng biến thiên của hàm số trên
khoảng, nửa khoảng đó và từ đó kết
luận. Không phải hàm số nào cũng có
GTLN, GTNN.
8. Đường tiệm cận
 Đường tiệm cân ngang: y  y0 là
tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
y  f  x  nếu: lim f  x   y 0
x ���

điểm x i  i  1, 2...n  mà tại đó đạo hàm
bằng không hoặc không xác định.
 Sắp xếp x i theo thứ tự tăng dần
và lập bảng biến thiên
 Từ bảng biến thiên suy ra các
điểm cực trị của hàm số.
6. Quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số
 Tìm tập xác định
 x  , giải phương trình
 Tính f �
f�
 x   0 và kí hiệu x i  i  1, 2...n  là các

 Đường tiệm cận đứng: x  x 0 là

tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
 ��
y  f  x  nếu xlim
�x �

nghiệm của nó.
�
�
 x  và f �
 xi 
 Tính f �
�
 x 0   0 thì x 0 là điểm
 Nếu f �
cực tiểu.

Đường thẳng y  ax  b là PT 3
của đồ thị hàm số y  f  x  , khi và chỉ khi

/>
0

9. Tương giao của hai đồ thị.
 Xét hai hàm số y  f  x  và

y  g  x  tọa độ giao điểm của đồ thị hai

hàm số là nghiệm của hệ phương trình.

�

�y  f  x 
�
�y  g  x 


�
f  x   ax  b
�
có nghiệm.
f�
 x  a
�

phương trình �

/>

Trang 1
Lê Trung Kiên

/>
THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

/>

10. Một số hàm số thường gặp:

10.1 Hàm số bậc ba y  ax3  bx2  cx  d (a �0) :
 Tập xác đònh D = R.
 Các dạng đồ thò:

a>0
y’ = 0 có 2 nghiệm
phân biệt
  ’ = b2 – 3ac > 0

a<0

y

y

I
0

x

0

I

x

y’ = 0 có nghiệm
kép
  ’ = b2 – 3ac = 0

y’ = 0 vô nghiệm
  ’ = b2 – 3ac < 0

y

y
I

0

I

x

0

x

Một số cơng thức cần nhớ:
 y '  3a 2  2bx  c
 Hàm số khơng có cực trị: b 2  3ac �0
 Hàm số có hai điểm cực trị: b 2  3ac  0
 Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị trái dấu (Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về
2 phía 0y): ac  0
 Hàm số có hai cực trị cùng dấu( đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về một phía
'  0
�
trục 0y): y '  3a 2  2bx  c có hai nghiệm phân biệt cùng dấu �
�x1.x2  0


Hàm số có hai cực trị cùng dương ( đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về bên phải
'  0
�

�
2
trục 0y: y '  3a  2bx  c có hai nghiệm dương phân biệt �x1 x2  0
�x  x  0
�1 2








Hàm số có hai cực trị cùng âm (đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về bên trái trục
'  0
�
�
0y ): y '  3a 2  2bx  c có hai nghiệm âm phân biệt �x1 x2  0
�x  x  0
�1 2
Phương trình y  0 có ba nghiệm tạo thành một cấp số cộng: Phương trình có ba
b
nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm là: 
3a
Phương trình y  0 có ba nghiệm tạo thành một cấp số nhân: Phương trình có ba
nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm là:  3



d

a

4e  16e 3
a

Khoảng cách giữa 2 điểm cực trị của hàm số:

,e 

b 2  3ac
9a

10.2. Hàm số trùng phương y  ax4  bx2  c (a �0) :
 Tập xác đònh D = R.
 Đồ thò luôn nhận trục tung làm trục đối xứng.
 Các dạng đồ thò:
a > 0a < 0y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt
y
y  ab < 0

y’ = 0 chỉ có
0
x
1 nghiệm
y  ab > 0

0

Một số cơng thức cần nhớ:
x0

�
�
1. y '  4ax  2bx  0 � 2
b
�
x 
2a
�
2. Hàm số có một cực trị ۳ ab 0
3. Hàm số có ba cực trị ab  0
3

x

0

x

0

x

y


�a  0
4. Hàm số có đúng một cực trị và là cực tiểu: �
b �0
�
�a  0

5. Hàm số có đúng một cực trị và là cực đại: �
b �0
�
�a  0
6. Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại: �
b0
�
�a  0
7. Hàm số có hai cực đại và một cực tiểu: �
b0
�
�
b  � � b  �
2


;
;C�
8. Đồ thị hàm số có ba cực trị A  0;c  , B �
�
�
�
�  2a ; 4 a �
�với   b  4ac
2
a
4
a
�
� �

�
cần điều kiện  ab  0  và
Tam giác ABC vuông cân:

b3
1  0
8a

b3
3  0
8a
b2
Diện tích tam giác ABC:
b
4a 
2a
Tam giác ABC đều:

b3  8a
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác:
8ab
2
9. Phương trình y  0 có 4 nghiệm tạo thành một cấp số cộng: b 

100ac
9


ax  b
(c �0, ad  bc �0) :

cx  d
ad  bc
� d�
 Tập xác đònh D = R \ � � , y ' 
2
 cx  d 
�c

10.3. Hàm số y 

 Đồ thò có một tiệm cận đứng là x  

d
và một tiệm cận
c

a
. Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng
c
của đồ thò hàm số.
 Các dạng đồ thò:
ngang là y 

y

y

0

x

0

ad – bc > 0

x

ad – bc < 0

Các cơng thức cần nhớ:
Diện tích hình chữ nhật tạo thành giữa hai tiệm cận và hai trục tọa độ 

d a
.
c c

Điểm thuộc đồ thị thỏa mãn tổng khoảng cách từ điểm đó đến hai cực trị là nhỏ nhất có hồnh
2
độ là nghiệm của phương trình:  cx  d   ad  bc




Chủ đề 2: Mũ, Lô-ga
1. Bảng các đạo hàm
 x   '  x 1
 u   '  u 1.u '

 x  � 1

c�
0

1
�1 �
' 2
��
�x � x
1
x '
2 x
 u  v  '  u ' v '

�1 � u '
' 2
��
�u � u
u'
u '
2 u
 uv  '  u ' v  v 'u

�u � u ' v  v ' u
'
��
v2
�v �

 ku  '  k.  u  '

 s inx  � cos x

 sin u  � cos u.  u  �

 cos x  �  s inx

 cos u  �  sin u.  u  �

1
cos 2 x
1
 cot x  �  2
sin x
x
x
e 'e

 tan u  �

 

 t anx  �

a 'a
x

x

ln a

 ln x  '  1x
 log

a

x '

 

1
 u�
2
cos u
1
 cot u  '   2  u  �
sin u
u
u
 e  '  e .u '

 a  '  a .ln a.u '
u

 log

u

a

u'

2. Các công thức lũy thừa
a n  a.a...a
{ , a 0  1 a n  1
n
an
m
a  a   a 
a n  n am
 
a

a
 a 



a
a

 ab 





a b







�a � a
� � 
�b � b
3. Các công thức Loogarít
log a b   � a   b ,
log a 1  0
a loga b  b

ln a  log e a;
lg b  log b  log10 b

log a  b1b 2   log a b1  log a b 2
�b �
log a � 1 � log a b1  log a b 2
�b 2 �
log a b    log a b
1
log a n b  log a b
n
log c b
log a b 
;log a b.log b c  log a c ,
log c a
1
log a b 
log b a

1
log a  b  log a b ,

4. Phương trình- Bất phương trình mũ.
a)Phương trình mũ
 Dạng cơ bản:
x
a  b  a  0, a �1
nếu b �0 phương trình vô nghiệm, nếu b>0
phương trình có nghiệm duy nhất x  log a b


 ln u  '  uu'
1
x ln a

log a  a    

Đưa về cùng cơ số
a
 a g( x ) � f (x)  g(x)
 Đặt ẩn phụ
Dạng 1: A.a 2x  B.a x  C  0 đặt
t  a x  t  0  phương trình trở thành
f (x)

u'
u ln a

A.t 2  Bt  C  0

Dạng 2:
x
A.a 2x  B  ab   C.b2x  0
2x

x

�a �
�a �
� A. � �  B � � C  0
�b �
�b �
x

�a �
Đặt t  � �  t  0 
�b �
Dạng 3:
A.a x  B.b x  C  0 với ab  1
x
x
hoặc a x .b x  1 ta đặt t  a  t  0  . Khi đó b 

1
t


 Loogarít hóa
Với M, N  0 và a  0, a �1
M  N � log a M  log a N

a f  x   M � f  x   log a M
 Dùng tính đơn điệu:
Dự đoán nghiệm của phương trình, dùng tính đơn
điệu để chứng minh nghiệm đó là duy nhất.
b)Bất phương trình mũ
1: a f (x ) a g(x )
f (x) g(x)
 a �۳
 0  a 1
a f ( x) �
 a g( x )
f (x) g(x)
 Chú ý b  a loga b
5. Phương trình- Bất phương trình lôgarít
a)Phương trình lôgarit


Dạng cơ bản

log a x  b � x  a b  a  0, a �1
f (x)  0
�
Chú ý: điều kiện log a f (x) là �
a  0; a �1
�
 Đưa về cùng cơ số
f (x)  g(x)
�
log a f (x)  log a g(x) � �
f  x  0

�
f (x)  g(x)
�
��
g x  0
�



Đặt ẩn phụ

Dạng 1:
A(log a x) 2  B  log a x   C  0
đặt t  log a x � At 2  Bt  C  0 ,
chú ý  log a b   log a2 b
2

Dạng 2:
A log a x  B log x a  C  0 đặt

t  log a x � log x a 

1
 x  0, x �1
t



Mũ hóa
log a b  c � b  a c

 Dùng tính đơn điệu
Dự đoán nghiệm của phương trình, dùng tính đơn
điệu để chứng minh nghiệm đó là duy nhất.
b)Bất phương trình lôgarit
 a>1
f (x) �g(x)
�
log a f (x) �log a g(x) � �
f (x)  0
�
 0  a 1
f (x) �g(x)
�
log a f (x) �log a g(x) � �
g(x)  0
�


Chủ đề 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
1. Bảng các nguyên hàm- tích phân
 Các nguyên hàm cơ bản
x dx 
�

1

cot(ax  b)dx  ln sin(ax  b)  C
�
a

x 1
 C, �1, ��
 1

e
�

ax b

1

dx  x  c ,
dx  ln x  C , �
�
x
1

 ax bdx 
�

1

dx    C
�
x
x

dx

2

�x  2

cosxdx  sin x  C
�
sin xdx   cosx  C
�
1
dx  tan x  C
�
cos2 x

�
x a

1
2

2

dx

�
a x
2

tan xdx   ln cosx  C
�

e dx  e

�

2

�a

x
 C ,  > 0,  1
ln 
Các nguyên hàm thường dùng

 xdx 
�

 1

1 (ax  b)
 1

(ax  b) dx 
�
a

1

dx 
�
ax  b

ln ax  b

a

 C, �1, ��

C

sin(ax  b)
cos(ax  b)dx 
C
�
a
sin(ax  b)dx  
�

cos(ax  b)
C
a

1
1
dx  tan(ax  b)  C
2
�
a
cos (ax  b)
1

1

dx   cot(ax  b)  C

�
a
sin (ax  b)
2

1

tan(ax  b)dx   ln cos(ax  b)  C
�
a

1
x
arctan  C
a
a



1
xa
ln
C
2a
xa



1
ax

ln
C
2a
a x

�p

dx

2

 ax b
 C ,  > 0,  1
a ln 



dx

C



2

�x

cot xdx  ln sin x  C
�
x

2

dx

dx  cot x  C
x

x

2

2

1 ax b
e
C
a

x C

dx

�
x a

�
sin



dx 

x

2

 ln x  x2 �p  C
 arcsin

x
C
a

b) Nếu F(x) là một nguyên hàm f(x) thì
b

b

f  x  dx  F  x   F(b)  F(a)
�
a
a

c) Tính tích phân.
 Phương pháp đổi biến số
dạng 1
b

I�

f    x   .�
 x  dx
b

Đặt t    x  . Khi đó
b

 b 

b

 a 

I�
f    x   .�
 x  dx 
Chú ý:

�f  t  dt

t    x  � dt  �
 x  dx

g(t)    x  � g�
 t  dt  �
 x  dx

 Phương pháp đổi biến số
dạng 2.
b

I�
f  x  dx
a


Đặt x    t  . Với  là hàm số có đạo hàm liên tục
trên  ;  , trong đó a      ; b      .Khi đó
b



a



I�
f  x  dx  �
f  (t)  �
 t  dt
a2  x2
1
2
a  x2
x2  a2

x  asint
a=tant
a
x

sin t



Phương pháp tích phân từng phần
b b
udv

uv
�
vdu
�
a
a
a
Chú ý:
�
du  f �
 x  dx
�
u  f  x
�
�
�
�
�
dv  g  x  dx �
g  x  dx
�
�v  �

b

dx
�

P(x)sinx

u
dv

P(x)
Sinxdx

dx
�

P(x) e x

P(x)cosx
P(x)
Cosxdx
P(x)lnx

u
P(x)
lnx
x
dv
P(x)dx
e dx

d) Ứng dụng của tích phân.


Diện tích S của hình phẳng giới

hạn bởi đồ thị của hàm số y  f  x  liên tục và trục
hoành,x=a; x=b (ab

S�
f  x  dx
a



Cho hai hàm số y  f  x  và

y  g  x  liên tục trên  a; b  . Gọi D là hình phẳng

đổi dấu trên đoạn  a; b  thì :
b

b

a

a

f  x   g  x  dx  �
f  x   g  x  dx

�
 Thể tích V của khối tròn xoay
khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số
y  f (x) trục 0x và hai đường thẳng x=a, x=b xung
b

2
quanh trục 0x được tính: V   f  x  dx

�
a

Chủ đề 4: Số phức
 Số phức Z  a  bi , a là phần
thực của Z, b là phần ảo của Z, i là số i 2  1
 Mô đun của số phức Z  a  bi
được tính bởi công thức

Z  a 2  b2


Z1.Z 2  Z1 . Z 2



Z
Z1
 1
Z2
Z2

 Cho số phức Z  a  bi thì số
phức Z  a  bi được gọi là số phức liên hợp của

Z  a  bi

Cho Z1  a  bi,



Z 2  c  di

Z1 �Z2   a �c    b �d  i

Z1Z2   ac  bd    ad  bc  i
Z2  ac  bd   ad  bc 
 2
 2
i
Z1
a  b2
a  b2


 Z1 �0 

Nếu a là một số thực âm thì căn

bậc hai của a là: �i a


Các nghiệm của phương trình

 a �0 

ax  bx  c  0
2

x1,2 

 b �i 
2a

khi   0 là:

.

giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đó và các đường thẳng
x=a, x=b. Khi đó diện tích S của D được tính bởi công
thức:
b

S�
f  x   g  x  dx .
a



Hàm số y  f  x   g  x  không

Chủ đề 5: Lượng giác
1.Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản


sin 2 x  cos 2 x  1
1
1
1  tan 2 x 
,1  cot 2 x 
2
cos x
sin 2 x
sin x
cos x
t anx 
, cot x 
, tan x cot x  1
cos x
s inx
2.Công thức cộng lượng giác
sin  a �b   sin a cos b �cos a sin b
cos  a �b   cos a cos b msin a sin b

t ana �tan b
1 mtan a tan b
3.Công thức cung nhân đôi
sin 2a  2sin a cos a
tan  a �b  

cos2a  cos 2 a  sin 2 a  2 cos 2 a  1

 1  2sin 2 a
2 tan a
tan 2a 
1  tan 2 a
x
Chú ý: Nếu đặt tan  t thì ta có:
2
2t
1 t2
s inx 
; cos x 
1 t2
1 t2
2t
1 t2
t anx 
;
cot
x

1 t2
2t
4.Công thức hạ bậc
1  cos2a
1  cos2a
cos 2 a 
; sin 2 a 
2
2
5. Công thức cung nhân ba

sin 3a  3sin a  4sin 3 a;
cos3a  4 cos3 a  3cos a
6.Công thức biến đổi tổng thành tích
�a  b � �a  b �
cos a  cos b  2cos �
cos �
�
�
�2 � �2 �
�a  b � �a  b �
cosa-cos b  2sin �
sin �
�
�
�2 � �2 �
�a  b � �a  b �
sin a  sin b  2sin �
cos �
�
�
�2 � �2 �
�a  b � �a  b �
sin a  sin b  2cos �
sin �
�
�
�2 � �2 �
7.Công thức biến đổi tích thành tổng.

1

�
cos  a  b   cos  a  b  �
�
2�
1
sin a sin b  �
cos  a  b   cos  a  b  �
�
2�
1
sin a cos b  �
sin  a  b   sin  a  b  �
�
2�
8.Giá trị lượng giác của các góc liên quan.



Góc


2
cos a cos b 

GTLG

cos
 sin 
sin 
Sin

cos

cos

sin 
Cos
 tan 
 tan  cot 
Tan
 cot 
 cot  tan 
Cot
9.Phương trình sinx=a
 a  1 phương trình vô nghiệm
sin   a
�
�
 a �1 có góc  : � 

 � �
�
�2
2
Được gọi là arcsin a
sin f  x   sin g  x 
�
f  x   g  x   k2
��
, k ��
f  x     g  x   k2

�
 Các trường hợp đặc biệt

s inx  1 � x   k2, k ��
2
s inx  0 � x  k, k ��

s inx  1 � x    k2, k ��
2
 Bảng sin các góc đặc biệt
Góc








2
3
4
6
0
0
0
90
60
45
300

sin
1
3
2

-1


2
2
2

Góc

0


6


4


3


2

 sin 
cos

tan 
cot 


00

300
450 600
900
sin
1
2
3
0
1
2
2
2
10.Phương trình cosx=a
 a  1 phương trình vô nghiệm
cos  a
�
 a �1 có góc  : �
0 � �
�
Được gọi là arc cosa
 cosf  x   cosg  x 
�
f  x   g  x   k2
��

, k ��
f  x   g  x   k2
�
 Các trường hợp đặc biệt
cosx  1 � x  k2, k ��

cosx  0 � x   k, k ��
2
cosx  1 � x    k2, k ��
 Bảng cos các góc đặc biệt
Góc




0
6
4
3
2
0
0
0
0
0
30
45
60
900
cos

1
3
2
1
0
2
2
2
2
3
5

3
4
6
1200 1350 1500
1800
cos
1
2
3

1


2
2
2
11.Phương trình tanx=a


 Đk: x �  k, k ��
2
�tan   a
�
 Luôn có góc  : � 

 
�
�2
2
được gọi là arctana
tan f  x   tan g  x 

� f  x   g  x   k, k ��
Góc



Bảng tan các góc đặc biệt

Góc

tan


3
600


 3


4
450



1


6
300
 3
3


0

00
0




6
4
3
0
0
30

45
600
tan
3
1
3
3
12.Phương trình cotx=a
 Đk: x �k, k ��
cot   a
�
 Luôn có góc  : �
0
�
được gọi là arccota
 cot f  x   cot g  x 
Góc

� f  x   g  x   k, k ��


Góc

cot

Góc

cot

Bảng cot các góc đặc biệt





6
4
3
2
0
0
0
30
45
60
900
3
0
1
3
3

3
600
3

3



4

450


1


6
300


- 3

Chủ đề 6: Tổ hợp xác suất
1. Quy tắc cộng
Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai
hành động. Nếu hành động này có m cách thực


hiện, hành động kia có n cách thực hiện không
trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất
thì công việc đó có m  n cách thực hiện
2. Quy tắc nhân
Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động
liên tiếp. Nếu có m cách thực thiện hành động thứ
nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện
hành động thứ hai có m.n cách hoàn thành.
3. Hoán vị
Cho tập hợp a gồm n phần tử  n �1 . Mỗi kết quả
của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A
được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

Ta kí kiệu số các hoán vị của n phần tử là
Pn  n  n  1 ...2.1  n!
4. Chỉnh hợp
Cho tập hợp A gồm n phần tử  n �1 . Kết quả của
việc lấy k phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng
theo mộ thứ tự nào đó đgl một chỉnh hợp chập k
của n phần tử đã cho.
Ta kí hiệu số các chỉnh hợp chập k của n phần tử
n!
k
là: A n 
 n  k !
5. Tổ hợp
Giải sử tập hợp A có n phần tử  n �1 . Mỗi tập
con gồm k phần tử của A đgl một tổ hợp chập k
của n phần tử đã cho.
Ta kí hiệu số các tổ hợp chập k của n phần tử là :
n!
C kn 
k! n  k  !

a 

 

a
 a 
a

 ab 



 a  b

 a 




�a � a

�� 
�b � b
7. Phép thử và biến cố
Kí hiệu
Ngôn ngữ biến cố

Không gian mẫu
A là biến cố
A �
A�
A là biến cố không
A là biến cố chắc chắn
A
C  A �B
C là biến cố: “A hoặc B”
C  A �B
C là biến cố: “A và B”
A �B  �

A và B xung khắc
B  A   \ A A và B đối nhau
8. Xác suất của biến cố
n  A
P  A 

n  

P  A  : Xác suất của biến cố A.

n  A  : Số phần tử của A; n    : số các kết quả
xảy ra của một phép thử.
 P  �  0, P     1



0 �P  A  �1

A, B xung khắc:
P  A �B   P  A   P  B 

 



P A  1 P  A



A và B là hai biến cố độc lập:

� P  A.B   P  A  .P  B 

C kn  C nn  k ; C kn 11  C kn 1  Ckn
6. Công thức nhị thức Niu-Tơn
n
 a  b   C 0n a n  C1n a n 1b  ...  C kn a n k b k  ...
n

C nn 1ab n 1  C nn b n  �C kn a n  k b k
k 0

 Nhắc lại các công thức lũy thừa
a  a.a...a
{ , a 0  1 a n  1
n
an
m
a  a   a 
n m
n
a  a
n

Chủ đề 7 : Dãy số- Cấp số cộng-Cấp số nhân
1. Daõy soá
a. Daõy soá


u : �* � �
n a u(n)

Dạng khai triển: (u n) = u1, u2, …, un,
…
b. Dãy số tăng, dãy số giảm
 (un) là dãy số tăng
 un+1 > un với  n  N*.
 un+1 – un > 0 với  n  N*
u
 n1  1 với n  N* ( un > 0).
un

 (un) là dãy số giảm
 un+1 < un với n  N*.
 un+1 – un< 0 với  n  N*
u
 n1  1 với n  N* (un > 0).
un
c. Dãy số bò chặn
 (un) là dãy số bò chặn trên
 M  R: un  M, n  N*.
 (un) là dãy số bò chặn dưới
 m  R: un  m, n  N*.
 (un) là dãy số bò chặn  m,
M  R: m  un  M, n  N*.
2. Cấp số cộng

a. Đònh nghóa: (un) là cấp số
cộng
 un+1 = un + d, n  N*
(d: công sai)
b. Số hạng tổng quát:

un  u1  (n  1)d
với n  2
c. Tính chất các số hạng:
u u
với k  2
uk  k1 k1
2
d. Tổng n số hạng đầu tiên:
n(u1  un)
=
Sn  u1  u2  ...  un 
2
n�
2u1  (n  1)d�
�
�
2

3. Cấp số nhân

a. Đònh nghóa: (un) là cấp số
nhân  un+1 = un.q
với n  N*
(q: công bội)
b. Số hạng tổng quát:
un  u1.qn1

với n  2

c. Tính chất các số hạng:

uk2  uk1.uk1

với k  2

d. Tổng n số hạng đầu tiên:
�
Sn  nu1
v�
�
i q 1
�
n
u (1 q )
�
Sn  1
v�
�
i q �1
�
1 q
�

Chủ đề 8 : Giới hạn
1. Giới hạn hữu hạn của dãy
số
a. Giới hạn đặc biệt:
1
1
lim
 0 (k �� )

lim  0 ;
k
n��n
n��n
lim qn  0 ( q  1) ;

n��

lim C  C

n��


b. Tổng của cấp số nhân lùi
vô hạn
u
S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1
1 q

 q  1





2. Giới hạn vô cực của dãy
số
a. Giới hạn đặc biệt:
limnk  �(k �� )

lim n  �

limqn  �(q  1)
b. Đònh lí:
a

0
�
a
a �0

�
0
 a.� � a �0
* Khi tính giới hạn có một trong
0 �
các dạng vô đònh: , ,  – , 0.
0 �
thì phải tìm cách khử dạng vô
đònh.
3. Giới hạn hữu hạn của hàm
số
a. Giới hạn đặc biệt:
lim x  x0 ;
lim c  c (c: hằng
x� x0

a
0
�

a
�
0
a.� �

a �0
a �0

* Khi tính giới hạn có một trong
0 �
các dạng vô đònh: , ,  – , 0.
0 �
thì phải tìm cách khử dạng vô
đònh.
5. Hàm số liên tục
a. Hàm số liên tục tại một
điểm:
y = f(x) liên tục tại x0
 lim f (x)  f (x0)
x�x0

b. Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b]
và f(a). f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất
một số c  (a; b): f(c) = 0.

x�x0

số)
b. Giới hạn một bên:
lim f (x)  L

x�x0

f (x)  lim f (x)  L
 xlim
�x 
x�x
0

0

4. Giới hạn vô cực của hàm
số
a. Giới hạn đặc biệt:
� ne�
u k cha�
n
lim xk  �; lim xk  �
�
x��
� ne�
u k le�
x��
�
c
lim c  c ;
lim
0
x���
x��� xk
b. Đònh lí:

Chủ đề 9: Hình học khơng gian

1. Cơng thức tính thể tích các hình:
 Cơng thức tính thể tích hình lập phương:
V  a3


 Công thức tính thể tích hình hộp
chữ nhật: V  abc (a,b, c là ba kích thước)
 Công thức tính thể tích khối lăng
trụ : V  Bh (B: là diện tích đáy, h: là độ dài
đường cao)
 Công thức tính thể tích khối chóp
1
V  Bh (B: là diện tích đáy, h: là độ dài đường
3
cao)
 Hình, khối nón tròn xoay

1
Sxq  rl,Stp  rl  r 2 , V  r 2 h
3
2
2
2
�
Chú ý: l  h  r . Góc ASB được gọi là góc ở
đỉnh của hình chóp.
 Hình, khối trụ tròn xoay

Sxq  2rl;Stp  2rl  2r 2 ; V  r 2 h
Chú ý: l=h
 Hình, khối cầu.
4
S  4r 2 , V  r 3
3
Chú ý:
+ Để tính diện tích,thể tích các hình, khối
nhiều khi ta phân chia hoặc thêm các hình, khối

để được hình,khối mới có diện tích, thể tích dễ
tính hơn.
+ Với những bài toán về tính thể tích khối
chóp đôi khi ta sử dụng định lý:
Cho hình chóp S.ABC. Trên các tia SA, SB, SC ta
lấy các điểm A’, B’, C’ khi đó:
VS.A 'B'C' SA '.SB '.SC '

(bài tập 4 trang 25 sgk.)
VS.ABC
SA.SB.SC
2. Giao của mặt cầu và mặt phẳng.
Cho mặt cầu S(O; r) và mp (P).
Đặt h = d(O, (P)).
 h > r  (P) và (S) không có điểm chung.
 h = r  (P) tiếp xúc với (S).
 h < r  (P) cắt (S) theo đường tròn tâm H, bán
kính r� r 2  h2 .
3. Mặt cầu nội tiếp-ngoại tiếp

 Mặt cầu đgl nội tiếp hình đa diện
nếu mặt cầu đó tiếp xúc với tất cả các mặt của
hình đa diện, mặt cầu đgl ngoại tiếp hình đa diện
nếu tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên
mặt cầu.
 Một hình chóp có mặt cầu ngoại
tiếp khi và chỉ khi đáy có đường tròn ngoại tiếp,
tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là giao của
đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa
giác đáy, vuông góc với mặt phẳng đa giác đáy và
mặt phẳng trung trực của một cạnh bên.
4. Các hình thường gặp:
 Hình chóp được gọi là hình chóp
đều nếu nó có đáy là đa giác đều và có chân
đường cao trùng với tâm của đáy.
 Hình chóp cụt là hình tạo bởi
thiết diện song song với đáy cắt các cạnh bên của
hình chóp và đáy.
 Hình chóp cụt đều là hình chóp
cụt hình thành do cắt hình chóp đều.
 Hình tứ diện là hình chóp tam
giác
 Hình tứ diện đều là hình chóp
tam giác có bốn mặt là các tam giác đều.
 Hình lăng trụ là hình gồm hai
đáy là hai đa giác bằng nhau nằm trên hai mặt
phẳng song song, các cạnh bên song song và bằng


nhau. Tùy theo đáy của hình lăng trụ là tam giác,

tứ giác ....ta có hình lăng trụ tam giác, tứ giác…
 Hình lăng trụ có đáy là hình bình
hành được gọi là hình hộp.
 Hình lăng trụ đứng là hình lăng
trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Độ dài
cạnh bên là chiều cao của hình lăng trụ đứng.
 Tùy theo đáy của hình lăng trụ
đứng là tam giác, tứ giác… ta có hình lăng trụ
đứng tam giác, hình lăng trụ đứng ngũ giác…
 Hình lăng trụ đứng có đáy là đa
giác đều được gọi là hình lăng trụ đều.
 Hình lăng trụ đứng có đáy là
hình bình hành được gọi là hình hộp đứng.
 Hình lăng trụ đứng có đáy là
hình chữ nhật được gọi là hình hộp chữ nhật
 Hình lăng trụ đứng có đáy là
hình vuông các mặt bên đều là hình vuông được
gọi là hình lập phương.
Chú ý: Đa giác đều là đa giác có các cạnh và các
góc bằng nhau.
5. Các kiến thức về quan hệ vuông góc
 Để chứng minh một đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng ta chứng minh nó vuông
góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt
phẳng
 Hai mặt phẳng vuông góc khi
mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc
với mặt phẳng kia. Hai mặt phẳng vuông góc thì
đường thẳng nào nằm trong mặt này vuông góc
với giao tuyến sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

 Cách xác định khoảng cách từ
một điểm đến một mặt phẳng
+) Để tính khoảng cách từ một điểm M xuống
mặt phẳng (P) ta thực hiện:
B1: Chọn trong (P) một đường thẳng a và
dựng mặt phẳng (Q) qua M và vuông góc với a
B2: Xác định giao tuyến b của (Q) và (P).
B3: Dựng MH vuông góc với b thì MH là
khoảng cách từ M đến (P).
+) Chú ý:
. Trước khi thực hiện chọn a và mặt phẳng (Q)
ta cần xem đường thẳng a và (Q) đã có trong hình
chưa.

. Ta chọn đường thẳng a sao cho mặt phẳng
(Q) dễ dựng nhất.
. Nếu có sẵn đường thẳng vuông góc với (P) thì
ta chỉ cần kẻ đường thẳng qua M và song song với
đường thẳng đó.
6. Một số công thức tính về hình học phẳng
a. Hệ thức hượng trong tam giác vuông

h
a 2  b 2  c 2 ; b2  a.b '; c 2  a.c '
1
1 1
ah  bc; h 2  b '.c '; 2  2  2
h
b c
2

2
b. Định lý cosin a  b  c 2  2bc cos A
c. Công thức tính diện tích tam giác
1
1
1
1
S  ah  ab sin C  bcsin A  sin B
2
2
2
2
abc
S
 pr  p  p  a   p  b   p  c 
4R
d. ABC là tam giác đều cạnh a thì: S 
;Đường cao=

a 3
;
2

a 3
3
7. Các loại khối đa diện đều

Bán kính đường tròn ngoại tiếp:

Chủ đề 10: Phương pháp tọa độ trong

a2 3
4


không gian
1.Các công thức véc tơ


r
r
a  (a1; a2; a3), b  (b1; b2; b3)

phương
và
M(x 0 ; y0 ; z 0 ) có
r
vuông góc
.
AB  (xB  xA)2  (yB  yA)2  (zB  zA )2 VTPT n   A; B;C 
r
r
với    ):
a  b  (a1 �b1; a2 �b2; a3 �b3)
là
đó
r
 zKhi
   : A  x  x 0   B  y  y0   C  zmột
ka  k(a1; a2; a3)  (ka1; ka2; ka3)r r

0  0
a1b1  a2b2  a3b3
VTPT
cos(a,b) 
(k  R)
2 2 2 2 2 2 Chú ý:
r
của () là
a1  a2  a3 . b1  b2  b3 .VTPT là véc tơ
�0
r r r
�
a

b
r
r
n   a, b .
có
giá
vng
góc
với
r r
�1 1
a  b � a1b1  a2b2  a3b3  0
a2  b2
 a b� �
Loại 3:()đi qua
mặt phẳng,

3. Tích có hướng của
�
a

b
. Nếu
điểm
�3 3
hai véc tơ
r r
   : Ax  By  Cz  D  0
M  x0 ; y0 ; z0 

Với
b �0 :
 Cho
r
r r
thì nó có một VTPT
và song
a, bcu�
ngph�
�
ng
a  a1 ;a 2 ;a 3 
r
n

A;
B;C

song
với mặt


và
r
phẳng
():
. Nếu đường thẳng
�
a  kb1
b   b1 ; b 2 ; b3 
�1
vng góc với mặt
Ax + By + Cz
� k �R : �
a2  kb2
.
phẳng thì VTCP của
+D=0
�
a3  kb3
r r �a 2 a 3 a 3 a1 a1 ađường
�
thẳng
là
VTPT
�
2
():

�
a; b �
mặt phẳng
�
� �b b ; b b ; b bcủa�
Nếu: M là trung điểm
r
r
r
A  x  x0   B  y  y0   C
�2 3 3 1 1 2 �
AB, G là trọng tâm của
. Nếu n  a; b chọn
Loại 4: () đi
  a 2 b3  a 3 b 2 ;a 3 b1  a1br3 ;a1br 2 r a 2 b1 
tam giác ABC thì ta
�
�
n

a
;
b
qua 3 điểm
có:
� �
Là véc tơ vng góc
uuur
r r
không

.Hai mặt phẳng song
AB   x B  x A ; y B  y A ; z B  zvới
A  cả hai véc tơ a; b
thẳng hàng
song có cùng VTPT
4. Phương trình mặt
xA  xB
�
.
Phương
trình
mặt
A, B, C:
cầu
�x M 
2
phẳng đặc biệt.
Khi đó ta
�
 Phương trình
yA  yB
0xy
:
z

0;
0yz
:
x


0;
0xz
: y  0 thể
�
có






mặt cầu tâm
;
�y M 
xác
đònh
2
Một số loại viết
�
I  a; b;c  bán kính R
một
VTPT
phương trình thường
zA  zB
�
là:
z

gặp
của () là:

�M
2
2
2
2
�
uuu
r uuur
r �
R2
 x  a    y  b    z  c  Loại
1: () đi
n

AB
, AC �
�
�
xA  xB  xC
�
qua
điểm
Phương
trình
x

G
�
Loại 5: () đi
3

x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d M0 x0 ; y0 ; z0 
�
qua
một
yA  yB  yC
�
là phươn trình mặt cầu
có
VTPT
�y G 
điểm
M
và
r
3
�
tâm I  a; b;c  , bán
n   A; B;C  :
một đường
zA  zB  zC
�
kính
thẳng
(d)
zG 
():
�
3
�
không chứa

R  a 2  b2  c 2  d
A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0
2. Biểu thức toạ độ
M:
nếu
Loại
2:
(

)
đi
của tích vơ hướng
– Trên (d)
a 2  b2  c2  d  0

qua
điểm
lấy
điểm A
r
5. Phương trình mặt
r
r
M  x0 ; y0 ; z0 
và VTCP u .
a  (a1; a2; a3), b  (b1; b2; b3)phẳng:
–
Một
 Phương trình
có

cặp
.
r
r
r
r
VTPT của ()
mặt phẳng 
VTCP a, b (hai
a.b  a1b1  a2b2  a3b3
qua
là:
véc tơ này
uuur r
r
r
 a  a12  a22  a32
n �
AM ,u�
không cùng
�
�


Loại 6: () đi
qua
một
điểm M và
vuông góc
với

một
đường
thẳng (d):
r
u
VTCP
của đường
thẳng
(d)
là
một
VTPT
của
().
Loại 7: () đi
qua 2 đường
thẳng cắt
nhau d1, d2:
–
Xác
đònh
các
r r
VTCP
a, b
của
các
đường
thẳng d1, d2.
–

Một
VTPT của ()
r r r
là: n   a,b .
–
Lấy
một điểm
M thuộc d1
hoặc d2  M
 ().
Loại
8:
( )
chứa đường
thẳng d1 và
song
song
với đường
thẳng d2 (d1,
d2
chéo
nhau):
–
Xác
đònh
các
r r
VTCP
a, b
của

các
đường

thẳng d1, d2.
–
Một
VTPT của ()
r r r
là: n   a, b .
–
Lấy
một điểm
M thuộc d1
 M  ().
Loại 9: () đi
qua điểm M
và
song
song với hai
đường
thẳng chéo
nhau d1, d2:
–
Xác
đònh
các
r r
VTCP
a, b
của

các
đường
thẳng d1, d2.
–
Một
VTPT của ()
r r r
là: n   a, b .
Loại 10: () đi
qua
một
đường
thẳng
(d)
và
vuông
góc
với
một
mặt
phẳng ():
–
Xác
r
đònh VTCP u
của (d) và
r
VTPT n của
().
–

Một
VTPT của ()
r
r r
u, n �
là: n  �
�
�
.
–
một

Lấy
điểm

M thuộc d 
M  ().
Loại 11: () đi
qua điểm M
và
vuông
góc với hai
mặt phẳng
cắt nhau (),
():
–
Xác
đònh
các
r r

n , n
VTPT
của () và
().
–
Một
VTPT của ()
là:
r
r r
n �
n , n �
�
�.

Loại 12: () là
tiếp
xúc
với
mặt
cầu (S) tại
điểm H:
– Giả sử
mặt
cẩu
(S) có tâm
I và bán
kính R.
–
Một

VTPT của ()
r uur
là: n
 IH
Chú ý:
Để viết
phương trình
mặt phẳng
cần nắm
vững các
cách xác
đònh mặt
phẳng đã
học ở lớp 11
6. Phương trình
đường thẳng



Phương trình
đường thẳng
qua
M(x 0 ; y0 ; z 0 ) có

r

VTCP u   u1 ; u 2 ; u 3 
là

�x  x 0  u1t

�
y  y 0  u 2 t là
d: �
�
z  x0  u3t
�
phương trình tham số
hoặc

x  x 0 y  y0 z  z 0


u1
u2
u3

là phương trình chính
tắc;  u1 , u 2 , u 3 �0  ,
Chú ý:
r
.VTCP là véc tơ �0
có giá song song hoặc
trùng với đường thẳng.
. Đường thẳng qua A,
B thì nó có một VTCP
uuur
là AB
. Nếu đường thẳng
vng góc với mặt
phẳng thì nó có VTCP

là VTPT của mặt
phẳng,
. Hai đường thẳng song
song thì có cùng VTCP.
r r r
. Nếu u  a; b chọn

r
r r
�
u�
a
�; b �

. Phương trình đường
thẳng đặc biệt:

�x  t
�x  0
�
�
0x : �y  0; 0y : �y  t ; 0z
�
�
z0
z0
�
�
Một số loại viết
phương trình thường

gặp:

Loại 1 : d đi
qua
điểm
M0 (x0 ; y0 ; z0 )


và
có VTCP
r
u  (u1;u2 ;u3 ) :

�x  xo  u1t
�
(d) :�y  yo  u2t
�
z  zo  u3t
�

Loại 2: d đi qua
hai điểm A,
B:
Một
VTCP
uuu
r
của d là AB
.
Loại 3: d đi qua

điểm
M0 (x0 ; y0 ; z0 )
và
song
song
với
đường
thẳng  cho
trước:
Vì d //  nên
VTCP của 
cũng
là
VTCP của d.
Loại 4: d đi qua
điểm
M0 (x0 ; y0 ; z0 )
và
vuông
góc
với
mặt phẳng
(P)
cho
trước:
Vì d  (P)
nên
VTPT
của
(P)

cũng
là
VTCP của d.
Loại 5: d là
giao tuyến
của
hai
mặt phẳng
(P), (Q):

 Cách 1:
Tìm
một
điểm
và
một VTCP.
– Tìm toạ
độ
một
( t �R)điểm A  d:
bằng cách
giải
hệ
phương trình
�
(P )
(với
�
(Q)
�

việc
chọn
giá trò cho
một ẩn)
– Tìm một
VTCP
của d:
r
r r
u �
nP , nQ �
�
�
 Cách 2:
Tìm
hai
điểm A, B
thuộc d, rồi
viết phương
trình đường
thẳng đi qua
hai
điểm
đó.
Loại 6: d đi qua
điểm
M0 (x0 ; y0 ; z0 )
và
vuông
góc với hai

đường
thẳng d1, d2:
Vì d  d1, d 
d2 nên một
VTCP của d
là:
r
r r
�
u �
u
�d1 ,ud2 �
Loại 7: d đi qua
điểm
M0 (x0 ; y0 ; z0 ) ,
vuông góc

và cắt
đường
thẳng .
 Cách 1:
Gọi H là
hình chiếu
vuông góc
của M0 trên
đường
thẳng .
�H
�
�uuuuur r

�M0 H  uV
Khi
đó
đường
thẳng d là
đường
thẳng đi qua
M0, H.
 Cách 2:
Gọi (P) là
mặt phẳng
đi qua A và
vuông góc
với d; (Q)
là
mặt
phẳng
đi
qua A và
chứa d. Khi
đó d = (P)
 (Q)
Loại 8: d đi qua
điểm
M0 (x0 ; y0 ; z0 )
và cắt hai
đường
thẳng d1, d2:
 Cách 1:
Gọi M1  d1,

M2  d2. Từ
điều
kiện
M,
M1,
M2
thẳng hàng
ta tìm được

M1, M2. Từ
đó suy ra
phương trình
đường
thẳng d.
 Cách 2:
Gọi (P) =
(M0 , d1 ) , (Q) =
(M0 , d2 ) .

Khi
đó d = (P) 
(Q). Do đó,
một
VTCP
của d có
thểr
chọn
r r
nP , nQ �
là u  �

�
�
.
Loại 9: d nằm
trong
mặt
phẳng
(P)
và cắt cả
hai
đường
thẳng d1, d2:
Tìm các
giao điểm A
= d1  (P), B
= d2  (P).
Khi đó d
chính
là
đường
thẳng AB.
Loại 10: d song
song với 
và cắt cả
hai
đường
thẳng d1, d2:
Viết phương
trình
mặt

phẳng
(P)
chứa  và
d1,
mặt
phẳng
(Q)
chứa  và
d2.


Khi đó d =
(P)  (Q).
Loại 11: d là
đường
vuông góc
chung
của
hai
đường
thẳng d1, d2
chéo nhau:
 Cách 1:
Gọi M  d1, N

d2 .
Từ
điều
kiện
�MN  d1

�MN  d , ta
�
2
tìm được M,
N.
Khi đó, d là
đường
thẳng MN.
 Cách 2:
– Vì d  d1
và d  d2
nên
một
VTCP của d
có thể là:
r
r r
�
u �
u
�d1 ,ud2 �.
–
Lập
phương trình
mặt phẳng
(P) chứa d
và d1, bằng
cách:
+
Lấy

một
điểm
A
trên d1.
+
Một
VTPT
của (P) có
thể
là:
r r
r
nP  �
u, ud1 �
�
�.
– Tương tự

lập phương
trình
mặt
phẳng
(Q)
chứa d và
d2.
Khi đó d =
(P)  (Q).
Loại 12: d là
hình
chiếu

của đường
thẳng  lên
mặt phẳng
(P):
 d qua điểm M là
giao của  và
(P)
VTCT của d là:
r
r r
r
�
�
ud  �
u
, nP �
� , nP �
�
�.
Loại 13: d đi
qua điểm M,
vuông góc
với d1 và
cắt d2:
 Cách 1:
Gọi N là
giao
điểm
của d và
d2. Từ điều

kiện MN 
d1,
ta
tìm
được N.
Khi đó, d là
đường
thẳng MN.
 Cách 2:
–
Viết
phương trình
mặt phẳng
(P) qua M và
vuông góc
với d1.
–
Viết
phương trình
mặt phẳng



(Q) chứa M
và d2.
Khi đó d
= (P)  (Q).

Để xét vị trí
tương đối của

hai
đường thẳng

�x  x 0  u1t
�
d : �y  y 0  u 2 t , có
�
z  z0  u3t
�

7. Khoảng cách từ
một điểm đến mặt
phẳng
 Khoảng cách
từ

VTCP

đến mặt phẳng

M  x 0 ; y0 ; z0 

r
u   u1; u 2 ; u 3  , qua

M  x 0 ; y0 ; zo 

   :Ax  By  Cz  D  0

�x  x '0  u '1 t '

�
d ' : �y  y '0  u '2 t '
Ax 0  By 0  Cz 0  D
�z  z '  u ' t '
d  M;     
0
3
�
2
2
2
A B C
,có VTCP
r
8. Góc
u '   u '1 ; u '2 ; u '3  ta
 Nếu
là

 0 theo các bước:
   :Ax  By  Cz  Dlàm

Bước 1. Nếu
r
r
�u '  ku
r
thì d trùng
�
n   A; B;C 

�M �d '
 Nếu d:
d’
r
r
�x  x 0  u1t
�u '  ku
�
Nếu �
thì d
�y  y 0  u 2 t
�M �d '
�
z  x0  u3t
�
song rsong với
r d’.
hoặc
Nếu u ' �ku chuyển
x  x 0 y  y0 z  z 0
sang bước 2.


u1
u2
u3
Bước 2. Xét hê
thì d có một VTCP
phương trình
r

u   u1 ; u 2 ; u 3 
�x 0  u1t  x '0  u '1 t '
�

�y 0  u 2 t  y '0  u '2 t '
r r
cos  d;d '   cos u d ; u d ' �
z 0  u 3 t  z '0  u '3 t '
�
-Nếu hệ phương trình

r vơ
r nghiệm thì d và d’
cos     ;      cos n    ;chéo
n    nhau
- Nếu hệ phương

r r trình có nghiệm duy
sin  d;      cos u d ; n 
nhất t, t’ thì hai
9. Vị trí tương đối của
đường thẳng cắt
hai đường thẳng
nhau.
thì    có một VTPT











