ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP CUỐI NĂM TOÁN 9 NĂM 2019

TRƯỜNG THCS TÂY HƯNG
TỔ KHTN
KẾ HOẠCH ÔN TẬP HỌC KÌ II TOÁN 9 NĂM HỌC 2018 – 2019
Từ 19/3/2019 – 05/5/2019
7 Tuần x 6 tiết/tuần = 42 tiết
TT

HỌC

Nội dung

1
2
3

BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI, ỨNG DỤNG CỦA HỆ

4

THỨC VIET VÀO BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC

5

HÌNH

Chủ đề

1

HAI
BÀI TOÁN THỰC TIỄN:GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH
LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Tổng số tiết
GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN VÀ TỨ GIÁC NỘI TIẾP VÀ
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN.
Tổng số tiết
Luyện đề
Tổng

Số
tiết
4
2
2
8

4
20
14
14
8
42

1


CHỦ ĐỀ CĂN BẬC HAI
4 tiết ( 2 buổi)

Ngày dạy: ………………..
I/Mục tiêu:
-Kiến thức: Hệ thống lại các kiến thức trong chương( định nghĩa, điều kiện tồn tại, hằng
đẳng thức và các phép biến đổi căn bậc hai)
-Kĩ năng : Rèn kĩ năng giải một số dạng toán về căn bậc hai như tìm TXĐ, tính,rút gọn rồi
tính giá trị của biểu thức, giải phương trình .
-Thái độ: Có thái độ nghiêm túc trong học tập.
-Năng lực: Hình thành và phát triển năng lực giải toán
II CÁC BÀI TOÁN TỰ LUẬN
Một số dạng bài tập thường gặp
Dạng 1: Tìm điều kiện xác định( điều kiện có nghĩa).
Dạng 2:Tính, rút gọn rồi tính giá trị của một biểu thức.
Dạng 3: Chứng minh đẳng thức.
Dạng 4:Giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn.
Một số ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức.
a) 1  2x

b) 2  x 

1
x 1

C)

2
3x  5

Giải:
a)Biểu thức 1  2x xác định khi 1-2x ≥ 0 � -2x ≥ -1 � x ≤

1
2

1
thì biểu thức 1  2x xác định .
2
2  x �0
�
�x �2
1
��
b)Biểu thức 2  x 
xác định khi: �
x 1
�x  1 �0
�x �1
1
Vậy x ≤ 2 và x≠1 thì biểu thức 2  x 
xác định.
x 1
3
5
2
�0 vì -3< 0 nên 3x-5 < 0 � x <
c)Biểu thức
xác định khi �
3x  5
3
3x  5

5
2
Vậy với x < thì biểu thức
xác định.
3
3x  5

Vậy với x≤

Ví dụ 2: Tính
a) 3.(2 3  5 27  4 12) b)

(3  5) 3  5
3 5

c)

2
1
6
3 3 3 3



d)
3 1
32
33
3 3 3 3

Giải:

(3  5) 3  5



( 3  5 )2 3  5

a ) 3.(2 3  5 27  4 12)  3.(2 3  5. 9.3  4 4.3)

b)

 3.(2 3  15 3  8 3)  2.3  15.3  8.3
 6  45  24  15

 (3  5)(3  5)  9  ( 5) 2  9  4  5

3 5

3 5

2


c)


2
1
6



3 1
3 2
3 3

d)

2.( 3  1)
32
6( 3  3)


( 3  1).( 3  1) ( 3  2).( 3  2) ( 3  3)( 3  3)

2.( 3  1)
3  2 6( 3  3)


3 1
3 4
39
 3 1  3  2  3  3   3


C)BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Dạng 1: Thực hiện phép tính
Bài 1: Tính
1) ( 18 + 8 +7) ( 50 - 7)
4 3


75
3 5

2) 2 27  6


4)  5



3) 1  3  5 1  3  5

5)

1
2



33

11
4
8
15


6)
3  5 1 5

5



+5 1

15)

17)
18)

1
a

1
3 2

13)

7  2 10

4  15 

4  15

b

5



3  50 5 

24



75  5 2
3  5.(3  5)
10  2

19) 13  6 4  9  4 2
20) 2  3



Dạng 2: Rút gọn biểu thức
Bài 4 : Rút gọn các biểu thức:
a) B = (1  x) 2  1 với x < 1
ab

2 2
3 2 3
+
)2 1
3

16) 4  15  4  15  2 3  5



:

9  6 3  3 9  6 3  3 24


4
6
6
6

14) 33  12 6  15  6 6

1
3



a b b a



7  2 10 

�
�
� 3  3 �� 3  3 �
10) �
2


.
2

�: 5  2
�
�
�
�
� 1  3 �� 1  3 �
�
�
�
��
�

c)

(3  3) 2
(3  3) 2

(3  3)(3  3) (3  3)(3  3)

12) 3  2 2  6  4 2

5 2 5
 2 5  3  80
7)
5
2
 28  54

8)
7 6
1 �5  5
� 1
9) �

�:
�3  5 3  5 � 5  1





11) (

200  3 450  2 50 : 10
48 - 2 75 -

3 3 3 3

3 3 3 3





6  2 2 3

b) 9a  16a  49a



Víi a 0

(Với a �0 , b �0 , a ≠ b )

1 x 
Bài 5:Cho biểu thức A  

2

4 x

v�
i x �0; x �1.

1 x

a)Rút gọn biểu thức.
Câu6:a) Rút gọn biểu thức: Q =
b)Tính giá trị của Q tại x =

b)Tính giá trị của biểu thức A khi x = 2.
x yy x
x y
26  1 ; y =

với x �0 ; y �0 và x �y
26  1

3


 a 1

Câu 7: Cho P 
a

1


a  1
a
:
(a > 0; a  1)
a  1  a  a

a. Rút gọn biểu thức P? b. Tìm các giá trị của a để P > 1?
Dạng 3: Chứng minh đẳng thức
Câu12: a)Chứng minh

7  2 10  20 

1
83 5
2

b)Chứng minh

(4  15).( 10  6) 4  15 = 2

c)Chứng minh với y ≥ 0; y ≠ 9 giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị
của biến

y 3 y
y3

-

y 4 y 4
y 2

Ngày dạy: ………………….

CHỦ ĐỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ.
2 tiết ( 1 buổi)
I/MỤC TIÊU:
Kiến thức: Hệ thống lại toàn bộ kiến thức về hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai
y = a.x2( a≠0 ) về định nghĩa,tính chất, đồ thị và các vị trí tương đối giữa hai đường thẳng,
giữa đường thẳng và đường cong parabol, kiểm tra điểm thuộc hay không thuộc đồ thị.
Kĩ năng: Rèn kĩ năng giải một số dạng toán về hàm số như tìm TXĐ,xác định hàm số, xác
định số giao điểm của hai đồ thị.
Thái độ: Có thái độ nghiêm túc trong học tập.
Năng lực: Hình thành và phát triển năng lực giải toán
II/NỘI DUNG:
A/LÍ THUYẾT
1)Hàm số bậc nhất:
-Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng y = a.x+b ( a≠0)
-TXĐ: R
-Tính chất: a > 0 hàm số đồng biến trên R.

a < 0 hàm số nghịch biến trên R
-Đồ thị: Là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ nếu b = 0, không đi qua gốc tọa độ khi
b ≠ 0.
Chú ý: tanα = a
(α là góc tạo bởi đường đường thẳng y = a.x+b ( a ≠ 0) với trục hoành)
2)Vị trí của hai đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ:
Cho hai đường thẳng ( d1 ) : y = a.x+b và ( d 2 ): y = a’.x+ b
( d1 ) // ( d 2 ) � a = a’ và b≠b’
( d1 ) �( d 2 ) � a= a’ và b=b’
( d1 ) x ( d 2 ) � a ≠ a’, căt nhau trên trục tung khi a ≠ a’ và b = b’ .
3)Hàm số bậc hai y = a.x2( a≠0 ):
-TXĐ: R
-Tính chất: a > 0 hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0.

4


a < 0 hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0
-Đồ thị : Là một đường cong parabol có đỉnh là gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng.
4.Vị trí của đường thẳng (d): y = a.x+b và Parabol (P): y = a’.x2 (a’≠0).
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: a’.x2 =a.x+b � a’.x2 - a.x- b = 0(*)
(d) và (P) không cắt nhau � Phương trình (*) vô nghiệm.
(d) và (P) cắt nhau tại hai điểm � Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.
(d) và (P) tiếp xúc nhau � Phương trình (*) có nghiệm kép.
B)BÀI TẬP
Một số dạng toán về hàm số
Dạng 1: Xác định hàm số.
Dạng 2: Vẽ đồ thị của hàm số, kiểm tra điểm thuộc hay không thuộc đồ thị.
Dạng 3: Xác định tọa độ giao điểm của hai đồ thị.
Dạng 4: Tìm điều kiện để 3 đường thẳng đồng quy, chứng minh 3 điểm thẳng hàng.

Chứng tỏ đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định.
I/Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hàm số y=(m-1)x+(m+1)
a) Xác định giá trị của m để đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ.
b) Xác định giá trị của m để đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3.
c) Xác định giá trị của m để đường thẳng (d) song song với đường thẳng ( d’): y= 3 .x+2
Giải: a)Đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ nên m+1=0 � m=-1
b)Đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 nên m+1=3 � m=3-1=2
c)Đường thẳng (d):y=(m-1)x+(m+1) song song với đường thẳng ( d’): y= 3 .x+2
�
m 1  3
m  3 1
�
��
��
� m  3 1
m  1 �2
m �1
�
�

Ví dụ 2: Cho hàm số y=x2, có đồ thị là parabol (P).
a)Chứng minh A(- 2 ;2) nằm trên đường cong (P).
b)Tìm m để đường thẳng (d): y =(m-1)x+m cắt (P) tại một điểm.Tìm tọa độ tiếp điểm.
Giải:a)Ta thay x=- 2 vào hàm số ta được y=(- 2 )2=2.Vậy điểm A(- 2 ;2) nằm trên đường cong (P).
b)Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: x2=(m-1)x+m � x2-(m-1)x-m=0
có ∆=(m+1)2
Đường thẳng tiếp xúc với parabol khi ∆=0 � (m+1)2=0 � m=-1
Hoành độ giao điểm x=m-1=-1-1=-2
Tung độ giao điểm y=4

Tọa độ tiếp điểm là (-2;4).
II/Bài tập vận dụng:
Bài 1: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(-1;2) và B(3; -4).Xác định hệ số góc của đường
thẳng.
Bài 2: Xác định hàm số bậc nhất, biết đồ thị của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 và
đi qua điểm M(1;2).Xác định giao điểm của đồ thị với trục hoành.
Bài 3:a)Viết phương trình hàm số bậc nhất biết đồ thị của hàm số đi qua hai điểm A(1;-1) và B(3;3).
b)Vẽ đồ thị trên hệ trục tọa độ Oxy.
1
2

Bài 4: Viết phương trình đường thẳng ,biết nó song song với đường thẳng y   x  3 và cắt trục
hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
1 7
2 4

Bài 5: Xác định hệ số a, b của hàm số y=a.x+b, biết đồ thị của nó đi qua điểm A( ; ) và song song
x
2

với đường thẳng y   1 .

5


1 5
2 2

Bài 6:a)Viết phương trình đường thẳng biết hệ số góc bằng 3 và đi qua điểm P( ; )
b)Viết phương trình đường thẳng có tung độ gốc bằng -2 và đi qua điểm Q(1,5;3,5).

Bài 7: Xác định hàm số y = ax+b biết đồ thị của nó là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm
có tung độ bằng 3 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2.
Bài 8:Cho Pa rabol(P): y 

x
x2
và đường thẳng (d): y    2
2
4

a)Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ.
b)Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) .
Ngày dạy: ………………
CHỦ ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
2 tiết ( 1 buổi)
I. MỤC TIÊU
Bồi dưỡng, rèn luyện, củng cố khắc sâu kiến thức đã học,
- Giải hệ phương trình.
- Tìm điều kiện của tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, thỏa
mãn tính chất cho trước.
II. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Giải hệ phương trình:
Cách 1: Sử dụng phương pháp cộng đại số:
- Nhân các vế của hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của
một ẩn nào đó trong hai phơng trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau
- Sử dụng quy tắc cộng đại số để thực hiện phơng trình mới, trong đó có một phương
trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn số)
- Giải phơng trình một ẩn vừa thu đợc rồi suy ra nghiệm của hệ phơng trình đã cho
Cách 2: Sử dụng phơng pháp thế
- Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để đợc hệ phương trình mới,

trong đó có một phương trình một ẩn
- Giải phơng trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho
2. Điều kiện để hệ pt có nghiệm duy nhất, vô nghiệm, vô số nghiệm:
+ Có nghiệm duy nhất: a  b
a'

+ Vô nghiệm:
+ Vô số nghiệm:

b'

a b  c
a ' b' c '
a b c
a ' b' c '

II. Bài tập
II. Bài tập tự luận:
Dạng 1: Giải hệ phương trình cơ bản và đa đợc về dạng cơ bản
Bài 1: Giải các hệ phương trình

 3x  2y  4
1) 
;
2x

y

5


 3x  4y  2 0
4) 
;
5x

2y

14


 4x  2y 3
2) 
;
6x

3y

5

 2x  5y 3
5) 
;
3x

2y

14


 2x  3y 5

3) 
 4x  6y 10
 4x  6y 9
6) 
 10x  15y 18
6


Dạng 2: Giải hệ bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Giải các hệ phơng trình sau
1
� 2
�x  2y  y  2x  3
�
1) �
;
� 4  3 1
�
�x  2y y  2x

�x  1 3y
�x  1  y  2  7
�
3) �
;
�2  5 4
�
�x  1 y  2

2

�3x
�x  1  y  4  4
�
2) �
;
�2x  5  9
�
�x  1 y  4

Dạng 3: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trớc
�2 x  ay  4
ax  3 y  5
�

Bài 1. Cho hệ phương trình : �

1/ Giải hệ phương trình với a = 1
2/ Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Lời giải:
 2 x  y  4
 x  3 y 5
6 x  3 y  12
7 x  7
�
�
�x  1
�x  1
��
��
��

��
�x  3 y  5
�x  3 y  5 �1  3 y  5 �y  2

1/ Với a = 1, hệ phương trình có dạng: 

 x  1
 y  2

Vậy với a = 1, hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: 

 x  2


5 => hệ có nghiệm duy nhất
 y  3
2
a
Nếu a 0 , hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: 
a 3
2
2
 a   6 (luôn đúng, vì a 0 với mọi a)
Do đó, với a 0 , hệ luôn có nghiệm duy nhất.
 2 x  4

b/ Nếu a = 0, hệ có dạng: 
  3 y 5

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất với mọi a.

Bài tập vận dụng:
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau
12 x  7 y  2
 7 y  5 x 12

a) 

1
1
 1
 3x  3 y  4


 5  1 2
 6 x y 3

3
�2
�1 1
�x  1  y  1  1
�x  y  1
�
�
c) �
d) �
�4  2  1
� 3  2 5
�
�
�x y

�x  1 y  1

�
2x  y  3 2
�

b) �

�x  y  2 2

�x + 3 - 2 y + 1 = 2
�
�
�
2 x+3 + y+1=4
�
�

 x  1  3 y  1 4

g) 

 2 x  1 

y  1 1

Bài 2. Cho hệ phương trình
a) Giải hệ phương trình khi a = 1.
nghiệm duy nhất

b) Tìm a để hệ phương trình có

7


mx  2y  1
�
Tìm m để hệ phương trình nhận cặp số (x; y) = (-1;
�x  my  5

Bài 3 Cho hệ phương trìn �
2) làm nghiệm.

8


CH : PHNG TRèNH BC HAI H THC VIET V CC NG DNG
8 Tit ( 4 bui)
I/MC TIấU:
Kin thc: ễn tp cụng thc nghip phng trỡnh bc hai.,inh lớ Vi-et thun v o v mt
s ng dng.
K nng: Gii mt s bi toỏn tng hp v phng trỡnh bc hai cú s dng nh lớ Vi-et.
Thỏi : Cú thỏi nghiờm tỳc trong hc tp.
Nng lc: Hỡnh thnh v phỏt trin nng lc gii toỏn
II/KIN THC CN NH:
Bui 1 Ngy dy .................................
1)nh ngha: Phng trỡnh bc hai ax2 bx c 0(a 0)

2)Cụng thc nghim
= b2 4ac

> 0 Phng trỡnh cú hai nghim phõn bit.
x1

b
b
; x2
2a
2a

=0

x1

b' '
b' '
; x2
a
a

= 0

P.trỡnh cú nghim kộp

x1 x2

= b2 ac ( b = 2b)
> 0 Phng trỡnh cú hai nghim phõn bit.

b
2a

P.trỡnh cú nghim kộp

x1 x2

b'
a

< 0 Phng trỡnh vụ nghim
< 0 Phng trỡnh vụ nghim
3. Hệ thức Viet: Nếu phơng trình ax2 bx c 0 (a 0) có nghiệm x1;
x2 thì
S = x1 x2

b
c
; P = x.x
1 2
a
a

-Giả sử x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình ax2 bx c 0 (a 0). Ta có
thể sử dụng định lí Viet để tính các biểu thức của x1, x2 theo a, b, c
2
S1 = x12 x22 x1 x2 2xx
1 2
S2 = x13 x32 x1 x2 3xx
1 2 x1 x2
3

S3 = x1 x2

x1 x2

2



x1 x2

2

4xx
1 2

ứng dụng hệ thức Viet
a) Nhẩm nghiệm: Cho phơng trình ax2 bx c 0 (a 0).
c
a
c
- Nếu a - b + c = 0 x1 = -1; x2
a

- Nếu a + b + c = 0 x1 = 1; x2

b) Tìm hai số khi biết tổng và tích: Cho hai số x, y biết x + y = S;
x.y = P thì x, y là hai nghiệm của phơng trình bậc hai X2 - SX + P =
0(iu kin tn ti hai s l: S 2 4 P 0 )
c) Phân tích thành nhân tử: Nếu phơng trình ax2 bx c 0 (a 0) có
hai nghiệm x1; x2 thì ax2 bx c a(x x1)(x x2)

d) Xác định dấu các nghiệm số: Cho phơng trình ax2 bx c 0 (a 0).
Du nghim

iu kin chung

9


trái dấu
P < 0.
cùng dấu,
0 ;P>0
cùng dương,
0 ;P>0;S>0
cùng âm
  0 ; P > 0 ; S < 0.
Ngoài ra còn xác định :
*Phương trình chỉ có một nhiệm dương(âm) là:
+a.c<0
+có nghiệm kép dương(âm)
+ có một nghiệm bằng 0 nghiệm kia lớn hơn 0(nhỏ hơn 0).
*Phương trình có ít nhất một nghiệm nghiệm dương(âm):
+a.c<0
+một nghiệm bằng 0 nghiệm kia dương(âm)
 �0
�
�
+có hai nghiệm dương(âm): �P  0
�S  0
�

*Có ít nhất một nghiệm không âm(không dương):
Cách 1:Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm âm(dương) sau đó loại trường hợp này.
Cách 2:+Có 1 nghiệm bằng 0
+Có hai nghiệm trái dấu.
+Có hai nghiệm dương(âm).
B.Các dạng toán cơ bản và ví dụ:
Dạng 1 Giải phương trình bậc hai.
1.

a. x2 - 4x + 3 = 0

b. -8x2+7x+15=0

c. 2x2-6x+1=0

d.

x2+6x-16=0
e.7x2+12x+5=0

g. x2 - 6x – 7 = 0

i. ( 3 -2)x2+(2- 2)x- 3 + 2=0
2.

a. -x2-4x+2=0

b. 3x2-7x+4=0

h.

3 x2+(1- 3 )x-1=0

k. -7x2+9x-2=0
c. 2x2-6x-8=0

d.

-5x2+6x-1=0

3.

e.7x2+2x-5=0

g. - x2-6x+7=0

a. x2-12x-13=0

b. -18x2+17x+1=0

h. -2 3 x2 + 2(1- 3 )x+2=0
c. -13x2+16x+29=0

d.

-5x2+16x-11=0
e.17x2+12x-5=0

g. x2-16x-17=0

h. - 3 x2+(1- 3 )x+1=0

Buổi 2 Ngày dạy .................................
Dạng 2 ; Tìm tham số 1 nghiệm, tìm nghiệm còn lại
Bước1 : Thay nghiệm đẫ biết vào PT tìm m
Bước 2 : Tính nghiệm còn lại bằng tổng hoặc tích 2 nghiệm
Bước 3 : Kết luận
Ví dụ: a) Phương trình x 2  2 px  5  0 . Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ hai.
b) Phương trình x 2  5 x  q  0 có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai.

10


Bài giải:
a) Thay x1  2 v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc :
44p 5  0� p 

1
4

T ừ x1 x2  5 suy ra x2 

5 5

x1 2

b) Thay x1  5 v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc
25  25  q  0 � q  50

T ừ x1 x2  50 suy ra x2 

50 50

 10
x1
5

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Cho phương trình x2 – (m – 3)x – m = 0
Tìm m để pt có nghiệm bằng -2 . Tìm nghiệm còn lại
Bài 2: Cho pt

x2 – 2(m+1) x + 3m – 4 = 0

Tìm m để pt có nghiệm bằng -3 . Tìm nghiệm còn lại
Dạng 3 : Tìm tham số biết biết giá trị hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm
Loại 1 : Biểu thức đối xứng với các nghiệm
Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a 
0 và   0)
- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là
tham số).
- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
2
2
Ví dụ 1: Cho phương trình : x   2m  1 x  m  2  0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3x1 x2  5  x1  x2   7  0
Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x1 & x2 là :
 '  (2m  1) 2  4(m 2  2) �0

� 4m 2  4m  1  4m 2  8 �0

�4�۳
m 7 0

m

7
4

�x1  x2  2m  1

Theo hệ thức VI-ÉT ta có: �

2
�x1 x2  m  2

và từ giả thiết 3x1 x2  5  x1  x2   7  0 . Suy

ra
3(m 2  2)  5(2m  1)  7  0
� 3m 2  6  10m  5  7  0
m  2(TM )
�
�
� 3m  10m  8  0 �
4
�
m  ( KTM )
� 3

2

11


Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức :
3 x1 x2  5  x1  x2   7  0

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1 : Cho pt

x2 – 2(m+1) x + m – 4 = 0

a) Chứng minh pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Tìm m để pt có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn hệ thức x12 + x22 = 40
Bài 2: Cho phương trình

x 2  2 m  1 x  2m  10 0 (với m là tham số )

a) Tìm m để phương trình có nghiệm
b)Trong trêng hợp phuơng trình có hai nghiệm phân biệt là x1; x2 ; hãy tìm một hệ thức liên
hệ giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào m
c)Tìm giá trị của m để 10 x1 x2  x12  x22 =10
Bài 3: Cho phương trình :

x 2  mx  m  1 0

(m là tham số)

a)CMR phương trình có nghiệm x1; x2 với mọi m ;

2
2
b)Đặt B  x1  x2  6 x1 x2

Tìm m để B = 8

Buổi 3 Ngày dạy .................................
Loại 2 : Biểu thức không đối xứng giữa các nghiệm
+ Còn trong loại bài loai này thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy, do đó vấn
đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu thức có chứa tổng
nghiệm x1  x2 và tích nghiệm x1 x2 rồi từ đó vận dụng tương tự cách làm đã trình bày ở Ví dụ
1 và ví dụ 2.
2
Ví dụ 1: Cho phương trình : 3x   3m  2  x   3m  1  0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3x1  5 x2  6
Hướng dẫn: Vì   (3m  2) 2  4.3(3m  1)  9m 2  24m  16  (3m  4) 2 �0 với mọi số thực m
nên phương trình luôn có 2 nghiệm .
3m  2
�
x1  x2 
�
�
3
(1)
- -Theo VI-ÉT: �
�x x  (3m  1)
�1 2
3
3
x


5
x

6
- Từ giả thiết: 1
. Suy ra:
2
8 x1  5( x1  x2 )  6
�
� 64 x1 x2   5( x1  x2 )  6 . 3( x1  x2 )  6
�
8
x

3(
x

x
)

6
(2)
� 2
1
2
� 64 x1 x2  15( x1  x2 ) 2  12( x1  x2 )  36
m0
�
�

- Thế (1) vào (2) ta được phương trình: m(45m  96)  0 � �
32
m
15
�

(thoả mãn

BÀI TẬP ÁP DỤNG

12


2
1. Cho phương trình : mx  2  m  4  x  m  7  0

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1  2 x2  0
2
2. Cho phương trình : x   m  1 x  5m  6  0

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức: 4 x1  3x2  1
Dạng 4 ; Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào m
Bước1 : Tìm ĐK có nghiệm . Tính tổng và tích 2 nghiệm theo Viét
Bước 2 : Dựa vào biểu thức tổng hoặc tích 2 nghiệm biều diễn m theo x 1, x2 ,rồi thay
vào BT cồn lại ròi bién đổi
2
Ví dụ 1: . Cho phương trình : x   m  2  x   2m  1  0 có 2 nghiệm x1 ; x2 . Hãy lập hệ thức

liên hệ giữa x1 ; x2 sao cho x1 ; x2 độc lập đối với m.
Hướng dẫn: Dễ thấy    m  2   4  2m  1  m 2  4m  8   m  2   4  0

2

2

do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2
Theo hệ thức VI- ÉT ta có
m  x1  x2  2(1)
�
�x1  x2  m  2
�
� � x1 x2  1
�
m
(2)
�x1.x2  2m  1
�
�
2

Từ (1) và (2) ta có:
x1  x2  2 

x1 x2  1
� 2  x1  x2   x1 x2  5  0
2

Nhận xét:
- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm
- Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau
đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số.

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1 : Cho phương trình x2 – (m – 3)x – m = 0
a) Chứng tỏ pt luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Viết hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 mà không phụ thuộc vào m
Bài 2: Cho pt

x2 – 2(m+1) x + m – 4 = 0

a) Chứng minh pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Viết hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 mà không phụ thuộc vào m
Bài 3: Cho pt x2 – 2(m+2) x + m +1= 0
a) Chứng minh pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Viết hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 mà không phụ thuộc vào m
Buổi 3 Ngày dạy .................................
Dạng 5 :Xét dấu các nghiệm của PT

13


VD 1: Cho phương trình x2 – (2m-1)x + m – 1 = 0
a. Giải phương trình với m 
b.
c.
d.
e.
f.
Giải :

5
3

Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu
Tìm m để phưng trình có hai nghiệm cùng dương
Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm

5
3
5
7
2
Với m  ta có phương trình : x2  x   0� 3x2  7x  2 0
3
3
3
2
   7  4.3.2  49 24  25  0;   5 phương trình có hai nghiệm phân biệt :

a. Giải phương trình với m 

7 5 1
7 5
 ; x2 
2
6
3
6
5
1

Vậy với m  phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là v�2
3
3
x1 

b. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
   2m 1  4.1. m 1  4m2  4m 1 4m 4  4m2  8m 4  1  2m 2  1
2

2

Vì  2m 1 �0v�im�im�    2m 1  1�1 0v�im�im nên phương trình luôn có hai
nghiệm phân biệt với mọi m
c. Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi ac  0 � 1. m 1  0 � m 1 0 � m  1
Vậy với m<1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu.
2

2

d. Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu
Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
Phương trình có hai nghiệm cùng dấu khi



0(lu�
nd�

ng)
� 2m2 1�
�0 � �
� m 1 0 � m  1
�
ac0
m10
�
2

Vậy với m > 1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu.
e. Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương
Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
Phương trình có hai nghiệm cùng dương khi
�
2
�
0
��
 2m 2  1�0
�m  1
�
�
m 1 � � 1 � m 1
ac

0
�
m


1

0
�
�
�
2m  1 �
m
�b  0 � 2m 1 0
� 2
�
�
�
�a



Vậy với m > 1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dương.
f. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng âm
Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

14


Phương trình có hai nghiệm cùng âm khi
�
2
�
2m 2  1�0
��0


�m  1
�
�
m  1 � � 1 v�nghi�
ac

0
�
m

1

0
�
m
�
�
2m  1 �m  

b
2m

1

0
� 0 �
�
� 2
�

�
�a



Vậy không có giá trị nào của m để phương trình đã cho có hai nghiệm cùng âm.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Tìm m để các phơng trình sau có hai nghiệm trái dấu , có hai nghiệm âm , có hai nghiệm dương ,
a) x2 -3x +m – 2 = 0

b) x2 - 2(m-1)x + m2 -m+1=0

c) x2 – 2x + m – 3 = 0

Dạng 6 TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC
NGHIỆM
Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân tích được:
A m
�
C�
(trong đó A, B là các biểu thức không âm ; m, k là hằng số)
kB
�
Thì ta thấy : C �m (v ì A �0 ) � min C  m � A  0

(*)

C �k (v ì B �0 )
� max C  k � B  0
2

Ví dụ 1: Cho phương trình : x   2m  1 x  m  0

Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm m để :
A  x12  x22  6 x1 x2 có giá trị nhỏ nhất.

�x1  x2  (2m  1)
�x1 x2  m

Bài giải: Theo VI-ÉT: �

A  x12  x22  6 x1 x2   x1  x2   8 x1 x2
2

Theo đ ề b ài :

  2m  1  8m
2

 4m 2  12m  1
 (2m  3) 2  8 �8

Suy ra: min A  8 � 2m  3  0 hay m 

3
2

BÀI TẬP ÁP DỤNG
2
2
1. Cho phương trình : x   4m  1 x  2  m  4   0 .Tìm m để biểu thức A   x1  x2  có giá trị

nhỏ nhất.
2. Cho phương trình x 2  2(m  1) x  3  m  0 . Tìm m sao cho nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn điều
2
2
kiện x1  x2 �10 .
3. Cho phương trình : x 2  2(m  4) x  m2  8  0 xác định m để phương trình có 2 nghiệm
x1 ; x2 thỏa mãn
a) A  x1  x2  3x1 x2 đạt giá trị lớn nhất

15


b) B  x12  x22  x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất
4. Cho phương trình : x 2  (m  1) x  m 2  m  2  0 . Với giá trị nào của m, biểu thức
C  x12  x22 dạt giá trị nhỏ nhất.
2
2
5. Cho phương trình x 2  (m  1) x  m  0 . Xác định m để biểu thức E  x1  x2 đạt giá trị nhỏ
nhất.
6. Cho phương trình: x2 - 2(m+4)x + m2 - 8 = 0
a) Tìm m để A = x12 + x22 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ nhất
b) Tìm m để B = x1 + x2 - 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất
7: (Đề thi vào 10 năm 2011-2012 )
Cho phương trình: x2 – 2(m+2)x + 2m +1= 0 (1).
a.Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
b. Tìm giá trị của m để biểu thức A  x1 x2 

x12  x22
đạt giá trị lớn nhất

4

8: (Đề thi vào 10 năm 2014 - 2015 )
Cho phương trình: x2 – 2(m-1)x + 2m - 4= 0 (1).
1. Giải phương trình (1) khi m = 2
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x12 + x22 với x1 , x2 là nghiệm của phương trình (1)

16


Chủ đề: Bài toán thực tiễn
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Thời lượng :4 tiết ( 2 buổi)
I/MỤC TIÊU:
Kiến thức: Ôn tập các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Kĩ năng: Giải các bài toán có nội dung hình học, tìm hai số,chuyển động, toán có nội dung
công việc và một số dạng toán khác.
Thái độ: Có thái độ nghiêm túc trong học tập.
Năng lực: Hình thành và phát triển năng lực giải toán
II/NỘI DUNG:
1)Ví dụ 1 (Toán liên quan đến hình học)
Một hình chữ nhật có diện tích 300m2. Nếu
giảm chiều rộng 3m, tăng chiều dài thêm 5m thì ta được hình chữ nhật mới có diện tích bằng
diện tích hình chữ nhật ban đầu. Tính chu vi của hình chữ nhật ban đầu.
Lời giải: Gọi chiều dài của HCN là x (m) ( x > 0) chiều rộng của HCN là

300
(m)
x

Nếu giảm chiều rông đi 3m,tăng chiều dài lên 5m khi đó chièu rộng và chiều dài của HCN lần
lượt là:
300
300
- 3 (m) và x+5 (m) ,diện tích của mảnh vườn đó là (x+5)(
- 3)
x
x
300
theo gt bài toán ta có pt: (x+5)(
- 3) = 300 ↔ x² +5x -300 = 0
x

Giải PT tìm được x = 20 (Thỏa mãn điều kiện của bài toán)
=> chu vi của HCN ban đầu là (20+15).2 = 70m
Ví dụ 2 :(T oán tìm số )Tìm một số tự nhiên có hai chữ số,biết rằng số đó gấp 7 lần chữ số
hàng đơn vị,nếu đem số đó chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 4 dư 3.
* Hướng dẫn HS phân tích giải bài toán:
Gọi chữ số hàng chục là x,chữ số hàng đơn vị là y (x,y  N ,x > 0, x,y < 10)giá trị của số cần
tìm là:10x+y
theo đề số đó gấp 7 lần chữ số hàng đơn vị => bài ta có pt: 10x+y = 7y (1)
theo đề bài lấy số đó chia cho tổng các chữ số của nó được thương là 4 dư 3
=> ta có pt: 10x + y = 4(x+y)+3
(2)
10 x  y 7 y
10 x  y 4( x  y )  3

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 

Giải hệ phương trình trên ta tìm được x=3;y=5(Thỏa mãn điều kiện).Vậy số cần tìm là 35

Ví dụ 3 (Toán chuyển động )
Một ô tô đi từ Hà Nội đến Hải Phòng, đường dài 100 km, lúc về vận tốc tăng thêm 10 km/h,
do đó thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc lúc đi.
Hướng dẫn:
Quãng đường(km) Vận tốc(km/h)
Thời gian(h)
100
Lúc đi
100
x, x > 0
x

17


Lúc về
Ta có Pt:

100

x +10

x  40
�
100 100
1

 � x 2  10 x  2000  0 � �
x  50
x

x  10 2
�

100
x  10

Vậy: vận tốc xe lúc đi là: 40km/h
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1 Một tam giác vuông có cạnh huyền là 20cm , hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 4cm .
Tính mỗi cạnh góc vuông .
Bài 2 Hai cạnh của một hình chữ nhật hơn kém nhau 10m . Tính chu vi biết diện tích hình
chữ nhật là 1200m2 ?
Bài 3 Một thửa ruộng hình tam giác có diện tích 180m 2 . Tính cạnh đáy biết nếu tăng cạnh
đáy 4m và giảm chiều cao tương ứng 1m thì diện tích không đổi ?
Bài 4 Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 34m . Nếu tăng chiều dài 3m , chiều rộng
2m thì diện tích tăng 45m2 . Tính chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn ?
Bài 5 Tìm hai số biết số lớn hơn số bé là 3 đơn vị và tổng các bình phương của hai số là
369.
Bài 6 Tìm hai số tự nhiên biết hiệu của chúng là 1275 và nếu lấy số lớn chia số nhỏ thì được
thương là 3 và số dư là 125.
Bài 7 Một ca nô xuôi một khúc sông dài 50km rồi ngược 32km thì hết 4h30’ . Tính vận tốc
dòng nước biết vận tốc ca nô là 18km/h
Bài 8 Một tàu thuỷ xuôi dòng một khúc sông dài 48km rồi ngược dòng 48km hết 5h . Tính
vận tốc tàu thuỷ biết vận tốc dòng nước là 4km/h ?
Bài 9 Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B là 108 km. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc đi từ A
đến B, mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 6 km nên đến B trước xe thứ hai 12
phút. Tính vận tốc mỗi xe.
Bài 10 Lúc 6h30’ anh An đi từ A đến B dài 75km rồi nghỉ tại B 20’ rồi quay về A . Khi về
anh đi với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi 5km/h . Anh về An lúc 12h20’ . Tính vận tốc lúc đi
của anh An?

Bài 11:Hai lớp 9A và 9B có tổng số 80 bạn quyên góp được tổng số 198 cuốn vở . Một bạn
lớp 9A góp 2 cuốn , một bạn lớp 9B góp 3 cuốn . Tìm số học sinh mỗi lớp ?
Bài 12 Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ gồm 13 học sinh (cả nam và nữ) đã trồng
được tất cả 80 cây. Biết rằng số cây các bạn nam trồng được và số cây các bạn nữ trồng
được là bằng nhau ; mỗi bạn nam trồng được nhiều hơn mỗi bạn nữ 3 cây. Tính số học sinh
nam và số học sinh nữ của tổ.

18


Bài 13: Một hội trường có 300 ghế được xếp thành nhiều dãy như nhau. Người ta muốn sắp
xếp lại bằng cách bớt đi 3 dãy thì phải xếp thêm 5 ghế vào mỗi dãy còn lại. Hỏi lúc đầu hội
trường có bao nhiêu dãy ghế và mỗi dãy có bao nhiêu ghế.
Bài 14 Một đoàn xe cần chở 30 tấn hàng từ điểm A đến điểm B . Khi khởi hành thì thêm 2
xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn dự định là 0,5 tấn . Tính số xe ban đầu ?
-----------------------------------------

19


CHỦ ĐỀ 2: Chứng minh các quan hệ hình học. ( 7 buổi=14 tiết))
I.
Mục tiêu:
1. Kiến thức: Củng cố kiến thức về đường tròn, xác định đường tròn, vị trí tương đối của
hai đường tròn, tiếp tuyến của đường tròn, góc với đường tròn, tứ giác nôi tiếp.
2. Kĩ năng: Rèn học sinh kĩ năng vẽ hình, chứng minh tứ giác nội tiếp, góc bằng nhau,
đoạn thẳng bằng nhau, tiếp tuyến của đường tròn, đẳng thức hình học, hai đường
thẳng song song…
3. Thái độ: Có thái độ học tập nghiêm túc, tự giác, cẩn thận, chính xác khi vẽ hình và
tính toán. Có tư duy cụ thể hóa một bài toán thực tế thành một bài toán hình học để

giải.
II.
Kiến thức cơ bản:
Buổi 1. Ngày dạy:…………………
1.ĐƯỜNG TRÒN
CÁC ĐỊNH NGHĨA
1. Đường tròn tâm O bán kính R ( với R > 0 ) là hình gồm các điểm cách điểm O một
khoảng cách bằng R.
2. Tiếp tuyến của đờng tròn là một đờng thẳng chỉ có một điểm chung với đờng tròn.
CÁC ĐỊNH LÍ
1. a) Tâm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.
b) Nếu một tam giác có một cạnh là đờng kính của đờng tròn ngoại tiếp thì tam giác đó
là tam giác vuông.
2. a) Đờng tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm đờng tròn là tâm đối xứng của đờng tròn đó.
b) Đờng tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đờng kính nào cũng là trục đối xứng của
đờng tròn đó.
3. Trong các dây của đờng tròn, dây lớn nhất là đờng kính .
4. Trong một đờng tròn:
a) Đờng kính  với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
b) Đờng kính đi qua trung điểm của một dây không qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
2. Trong một đờng tròn :
a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm, hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
b) Dây lớn hơn thì gần tâm hơn và ngợc lại.
a) Nếu một đờng thẳng là tiếp tuyến của đờng tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua
tiếp điểm.
b) Nếu một đờng thẳng đi qua một điểm của đờng tròn và vuông góc với bán kính đi
qua điểm đó thì đờng thẳng ấy là một tiếp tuyến của đờng tròn.
3. Nếu hai tiếp tuyến của một đ.tròn cắt nhau tại một điểm thì:
a) Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
b) Tia từ đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

c) Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua
các tiếp điểm.
4. Nếu hai đờng tròn cắt nhau thì đờng nối tâm là đờng trung trực của dây chung.
2.GÓC VÀ ĐƯỜNG TRÒN
CÁC ĐỊNH NGHĨA:
1. Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đờng tròn.
2. a) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm cùng chắn cung đó.
b) Số đo cung lớn bằng hiệu giữa 360O và số đo cung nhỏ (có chung hai mút với cung
lớn)

20


c) Số đo của nửa đờng tròn bằng 180O.
3. Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đờng tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đờng
tròn đó.
4. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh là tiếp điểm, một cạnh là tia tiếp
tuyến và một cạnh chứa dây cung.
5. Tứ giác nội tiếp đ.tròn là tứ giác có 4 đỉnh nằm trên đ. tròn.
CÁC ĐỊNH LÍ:
1. Với hai cung nhỏ trong một đ.tròn, hai cung bằng nhau (lớn hơn) căng hai dây bằng
nhau (lớn hơn) và ngợc lại.
2. Trong một đờng tròn hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau và ngợc lại.
3. Trong một đờng tròn đờng kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung
điểm và vuông góc với dây căng cung ấy và ngợc lại.
Số đo của góc nội tiếp hoặc góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung
bị chắn.
4. Số đo của góc có đỉnh ở bên trong (bên ngoài) đờng tròn bằng nửa tổng (hiệu) số đo của
hai cung bị chắn.
5. Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 90O có số đo bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung.

6. Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn là góc vuông và ngợc lại.
a) Quỹ tích (tập hợp) các điểm nhìn một đoạn thẳng cho trớc dới một góc  không đổi
là hai cung chứa góc  dựng trên đoạn thẳng đó (0 <  < 180O)
b) Một tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180Othì nội tiếp đợc đờng tròn và ngợc lại.
c) Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:
d) Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180O.
e) Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
f) Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm.
Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới một góc  .
IV. Bài tập vận dụng:
Dạng 1. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau:
Phương pháp c/m hai đoạn thẳng bằng nhau.
1. Dùng hai tam giác bằng nhau.
2. Dùng tính chất của tam giác; hình thang cân; hình bình hành;…..
3. Sử dụng tính chất của đường chéo các hình. Tính chất đường trung bình, đường
trung tuyến của tam giác…
4. Sử dụng định lý ta lét, tam giác đồng dạng…
5. Sử dụng tính chất của đường tròn….
6. Sử dụng tính chất bắc cầu….

21


Bài tập 1
Cho đường trò tâm O.Trên nửa dường tròn đường kính AB lấy hai điểm C,D .Từ Ckẻ CH
vuông góc với AB nó cắt đường tròn tại điểm thứ 2 là E .Từ A kẻ AK vuông góc với DC nó
cắt đường tròn tại điểm thứ 2 là F .Chứng minh
a. Hai cung CE bằng cung CF
b. Hai cung BFbằng cung DE
c. DE = BF

Bài giải
a.CD và FB đều vuông góc với AK nên CD // FB
Suy ra cung CF= cung DB(1)
b. Do tính chất đối xứng qua đường kính AB ta có
cung BC =cung DE(2)
Cộng từng vế của 1 và 2 ta được
Cung BF = cung DE(3)
c. từ 3 ta suy ra BF=DE
Buổi 2:
Ngày dạy………………………………….
Phương pháp chứng minh hai góc bằng nhau:
- Sử dụng yếu tố số đo các góc, hai góc cùng số đo, hai góc cùng bằng góc thứ ba, hai
góc cùng phụ, cùng bù góc thứ ba…
- Sử dụng ta giác bằng nhau, tam giác đồng dạng….
- Sử dụng định nghĩa tia phân giác của góc, tam giác cân, hình thanh cân…
- Sử dụng tính chất của hình: hai đường thửng song song, hình thoi, hình bình hành,
góc với đường tròn…
Bài tập 1: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Từ điểm M trên tiếp tuyến Ax của
nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến thứ hai MC (C là tiếp điểm). Hạ CH vuông góc với
AB , đường thẳng MB cắt nửa đường tròn (O) tại Q và cắt CH tại N. Gọi giao
Điểm của MO và AC là I. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AMQI nội tiếp.
b) �
AQI  �
ACO .
c) CN = NH.
x
BÀI GIẢI CHI TIẾT
a) Chứng minh tứ giác AMQI nội tiếp:
Ta có: MA = MC (tính chất hai tếp tuyến cắt nhau)

OA = OC (bán kính đường tròn (O))
�  900
Do đó: MO  AC � MIA
�
�  900
AQB  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) � MQA
Hai đỉnh I và Q cùng nhìn AM dưới một góc vuông nên tứ giác
AMQI nội tiếp được trong một đường tròn.
b) Chứng minh: �
AQI  �
ACO .
Tứ giác AMQI nội tiếp nên �
AQI  �
AMI (cùng chắn cung AI). (1)
�
�
� )
(cùng phụ MAC
(2)
AMI  CAO
� �
AOC có OA = Oc nên cân ở O � CAO
(3)
ACO
�
�
Từ (1), (2), (3) suy ra: AQI  ACO
c) Chứng minh CN = NH.
Gọi K là giao điểm của BC và tia Ax.
Ta có: �

ACB  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn(O))

M
Q

C

I
A

N
O

H

Hình 5
x
K

M
Q
I
A

C
N

O

H

22

B

B


AC  BK , AC  OM � OM // BK.
Tam giác ABK có: OA = OB , OM // BK � MA = MK.
Hình 6
Áp dụng hệ quả định lí Ta let cho ABM có NH // AM (cùng  AB) ta được:
NH BN

AM BM

(4)

Áp dụng hệ quả định lí Ta let cho BKM có CN // KM (cùng  AB) ta được:
CN
BN

KM BM
NH CN

Từ (4) và (5) suy ra:
AM KM

(5)

Mà KM = AM nên CN = NH (đpcm)

Lời bàn:
1. Câu 1 hình vẽ gợi cho ta suy nghĩ: Cần chứng minh hai đỉnh Q và I cùng nhìn AM
dưới một góc vuông. Góc AQM vuông có ngay do kề bù với ACB vuông,gócMIA vuông
được suy từ tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.
� , vấn đề lại
2. Câu 2 được suy từ câu 1, dễ dàng thấy ngay �
AQI  �
AMI , �
ACO  CAO
� , điều này không khó phải không các em?
�  CAO
là cần chỉ ra IMA
3. Do CH // MA , mà đề toán yêu cầu chứng minh CN = NH ta nghĩ ngay việc kéo
dài BC cắt Ax tại K bài toán trở về bài toán quen thuộc : Cho tam giác ABC,M là trung
điểm BC. Kẻ đường thẳng d // BC cắt AB, AC và AM lần lượt tại E,D và I. Chứng minh IE
= ID .
Nhớ được các bài toán có liên quan đến một phần của bài thi ta qui về bài toán đóthì giải
quyết đề thi một cách dễ dàng.
Bài tập:
Bài 1Cho tam giác ABC cân nội tiếp đường tròn tâm (O).D là một điểm tùy ý trên cạnh
BC,tiaAD cắt đường tròn (O)ở E .Chứng minh
a. Góc AEC = góc ACB
b. Tam giác AEC đồng dạng với tam giác ACD
C. Tích AE.AD không đổi khi D thay đổi trên BC
Bài 2;Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cắt nhau tại A,B (R>R’) .Vẽ cát tuyến CAD
vuông góc với AB (C thuộc (O); D thuộc (O’) .Tia CB cắt (O’) tại E ,tia DB cắt (O)tại F
Chứng minh rằng :
a. CA F =DAE
b. AB là phân giác của EAF
c. CA.CD = CB.CE

Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song:
- Xét cặp góc so le trong hoặc cặp góc đồng vị hoặc trong cùng phía tọa bởi hai đường
thẳng với một cát tuyến.
- Hai đường thẳng cùng song song hoặc cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba.
- Các cạnh đáy hình thang cân, hình bình hành..
- Sử dụng tính chất đường trung bình…
x
- Sử dụng định Ta-lét đảo.
Ví dụ: Cho hình thang cân ABCD (AB > CD, AB // CD) nội tiếp trong
C
đường tròn (O). Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và D chúng D
cắt nhau ở E. Gọi M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
M
E
H
K
1. Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp được trong một
đường tròn.
O
A

23
Hình 01

B


2. Chứng minh AB // EM.
.
BÀI GIẢI CHI TIẾT

1. Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp.
�  1 sđ � (góc tạo bởi tia tiếp tuyến AE và dây AC của đường tròn
Ta có : EAC
AC
2

(O))
�  1 sđ � (Dx là tia đối của tia tiếp tuyến DE)
Tương tự: xDB
DB
2

�
Mà AC = BD (do ABCD là hình thang cân) nên �
AC  BD
�  xDB
� Vậy tứ giác AEDM nội tiếp được trong một đường tròn.
Do đó EAC
2. Chứng minh AB // EM.
�  EMD
�
Tứ giác AEDM nội tiếp nên EAD
(cùng chắn cung ED)
� �
Mà EAD
ABD (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung với góc nội tiếp cùng chắn
cung AD)
� �
Suy ra: EMD
ABD . Do đó EM // AB.

Lời bàn:
�
1.Do AC = BD � �
nên để chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp ta xửdụng
ADC  BCD
phương pháp : Nếu tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc đối của đỉnhủa đỉnh đó thì tứ
giác đó nội tiếp. Với cách suy nghĩ trên chỉ cần vẽ tia Dx là tia đối của tia tiếp tuyến DE thì
bài toán giải quyết được dễ dàng. Có thể chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp bằng cách
chứng minh khác được không? (phần này dànhcho các em suy nghĩ nhé)
Buổi3:
Ngày dạy………………………………….
Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc:
- Sử dụng tính chất đường cao, đường trung trực.
- Sử dụng một số tính chất: hai tia phân giác của hai góc kề bù, đường chéo hình thoi,
trực tâm , đường thẳng vuông góc một trong hai đường thẳng song song, tính chất
tiếp tuyến, đường nối tâm, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.
- Sử dụng một số định lý: Đường kính đi qua trung điểm của dây không qua tâm,
Pytago đảo, đường kính đi qua điểm chính giữa của cung.
Ví dụ:. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = a. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với
AB ( Ax, By thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (O)
(M khác A và B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn (O); nó cắt Ax, By lần lượt ở E và F.
�  900
1. Chứng minh: EOF
y
2. Chứng minh : Tứ giác AEMO nội tiếp ; hai tam giác MAB và OEF đồng dạng.
F
3. Gọi K là giao điểm của AF và BE, chứng minh MK  AB .
4. Khi MB = 3 .MA, tính diện tích tam giác KAB theo a. x
M

BÀI GIẢI CHI TIẾT
E
�  900
1. Chứng minh: EOF
K
EA, EM là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt nhau ở E
nên OE là phân giác của �
AOM .
B
A
N
O
�
Tương tự: OF là phân giác của BOM
�
�  900 (đpcm)
Mà �
kề bù nên: EOF
hình 4
AOM và BOM
2. Chứng minh : Tứ giác AEMO nội tiếp ; hai tam giác MAB và OEF đồng dạng.
�  EMO
�  900 (tính chất tiếp tuyến)
Ta có: EAO

24


�  EMO
�  1800 nên nội tiếp được trong một đường tròn.

Tứ giác AEMO có EAO
�Tam giác AMB và tam giác EOF có:
�
�  900 , MAB
�  MEO
� (cùng chắn cung MO của đường tròn ngoại tiếp tứ
AMB  EOF
giác AEMO. Vậy Tam giác AMB và tam giác EOF đồng dạng (g.g)
3. Gọi K là giao điểm của AF và BE, chứng minh MK  AB .

Tam giác AEK có AE // FB nên:

AK AE

KF BF

Mà : AE = ME và BF = MF (t/chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
AK ME

. Do đó MK // AE (định lí đảo của định lí Ta- let)
KF MF
Lại có: AE  AB (gt) nên MK  AB.
4. Khi MB = 3 .MA, tính diện tích tam giác KAB theo a.
Gọi N là giao điểm của MK và AB, suy ra MN  AB.
MK FK

 FEA có: MK // AE nên:
(1)
AE FA

Nên :

NK BK

(2)
AE BE
FK BK
FK
BK
FK BK



Mà
( do BF // AE) nên
hay
(3)
KA KE
KA  FK BK  KE
FA BE
 BEA có: NK // AE nên:

Từ (1) , ( 2) , (3) suy ra:

MK KN

. Vậy MK = NK.
AE AE

Tam giác AKB và tam giác AMB có chung đáy AB nên:

S AKB KN 1


S AMB MN 2

1
2

Do đó: S AKB  S AMB .
MB
�  600 .
 3 � MAB
MA
a
1 2
a 3 �
1 1 a a 3
Vậy AM = và MB =
= a 3 (đvdt)
� S AKB  . . .
2
16
2
2 2 2 2

Tam giác AMB vuông ở M nên tg A =

Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng:
1. Ta có thể chỉ ra ba điểm tạo thành góc bẹt (1800).

2. Vận dụng tính chất các đường đồng quy.
3. C/m hai tia AB và AC trùng nhau theo tiên đề Ơclit(cùng song song 1 đường).
4. Chỉ ra 3 điểm cùng nằm trên 1 đường nào đó.
5. Có thể chỉ ra AB+BC=AC.
Ví dụ: Cho △ABC nhọn có AB < AC. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC cắt cạnh
AB, AC tại E và D . Gọi H là giao điểm BD và CE, AE cắt BC tại I.
1) Chứng minh AH vuông góc với BC
2) Vẽ AM, AN tiếp xúc (O) tại M và N. Chứng minh IA là phân giác góc MIN
3) Chứng minh M, H , N thẳng hàng

25