“Nghiên cứu vị trí cọc hợp lý để giảm chên lệch lún của công trình xây dựng trên nền đất yếu”

1
LỜI TÁC GIẢ

Sau một thời gian thu thập tài liệu và nghiên cứu, đến nay luận văn Thạc sĩ kỹ
thuật chuyên nghành Xây dựng công trình thuỷ lợi với đề tài: “Nghiên cứu vị trí
cọc hợp lý để giảm chên lệch lún của công trình xây dựng trên nền đất yếu” đã
được hoàn thành với sự giúp đỡ nhiệt tình, hiệu quả của Phòng đào tạo Đại học và
sau Đại học, Khoa Công trình,Tổng Công ty Tư vấn xây dựng thuỷ lợi Việt NamCTCP cùng các thầy cô giáo, bạn bè, đồng nghiệp và gia đình.
Tác giả xin tỏ lòng biết ơn chân thành đến các cơ quan đơn vị và các cá nhân
đã truyền thụ kiến thức, cho phép sử dụng tài liệu đã công bố cũng như tạo điều
kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn.
Đặc biệt tác giả xin được tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Cảnh
Thái người đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ tận tình cho tác giả trong quá trình
thực hiện luận văn này.
Tác giả có được kết quả như hôm nay là nhờ vào sự chỉ bảo ân cần của các
Thầy cô giáo, cũng như sự động viên cổ vũ của cơ quan, gia đình, bạn bè và đồng
nghiệp trong những năm qua.
Với thời gian hạn chế, luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả
rất mong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, của các
Quý vị quan tâm và bạn bè đồng nghiệp.
Luận văn được hoàn thành tại Phòng đào tạo Đại học và sau Đại hoc, Trường
Đại học Thuỷ Lợi.
Hà Nội Tháng 03 năm 2011
Tác giả

Văn Tiến Dũng


2

MỤC LỤC

MỤC LỤC .................................................................................................................. 2
T
1

T
1

MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 5
1. Sự cần thiết của đề tài ........................................................................................... 5
T
1

T
1

T
1

T
1

2. Mục đích và nhiệm vụ của đề tài ......................................................................... 6
T
1

T
1

2.1. Mục đích ....................................................................................................... ..6
T

1

T
1

2.2. Nhiệm vụ. ...................................................................................................... ..6
T
1

T
1

3. Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu ........................................................ 7
T
1

T
1

Nội dung luận văn gồm có các phần:....................................................................... 7
T
1

T
1

CHƯƠNG 1 ............................................................................................................... 8
T
1

T
1

TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN KẾT CẤU TRÊN NỀN ĐÀN HỒI ...................... 8
1.1.Khái niệm về kết cấu trên nền đàn hồi.............................................................. 8
T
1

T
1

T
1

T
1

1.2.Tổng quan về nền. ............................................................................................... 8
T
1

T
1

T
1

T
1

1.2.1. Đặc điểm của nền đất yếu. ........................................................................ ..8
1.2.2. Đặc điểm của nền đất yếu. ........................................................................ ..9
T
1

T
1

1.2.3. Một số biện pháp xử lý nền đất yếu. .......................................................... ..9
CHƯƠNG 2 ........................................................................................................... 155
T
1

T
1

T
1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ PHÂN TÍCH MÔ HÌNH TOÁN ............................... 15
2.1.Giới thiệu chung. ............................................................................................... 15
T
1

T
1

T
1

T
1

2.2.Cơ sở lý thuyết và phân tích lựa chọn mô hình. ............................................. 15
T
1

T
1

2.2.1. Mô hình nền biến dạng đàn hồi cục bộ - mô hình nền Winkler………..15
T
1

T
1

2.2.2. Mô hình nền biến dạng tổng quát………………………………............15
T
1

T
1

2.2.3. Mô hình hổn hợp..…………………………………………………...…19
2.2.4. Các loại mô hình khác.............................................................................21
2.3.Phân tích Lựa chọn mô hình............................................................................22
2.3.1. Các phương pháp giải bài toán tấm…………………………………….22
2.3.2. Lựa chọn các thông số cho mô hình....................................................... 29
2.4 Mô hình cọc.......................................................................................................29

TU
1

T
1

U

T
1

T
1

T
1

T
1

2.4.1. Móng cọc.................................................................................................29
2.4.2. Phânloại cọc.............................................................................................31
CHƯƠNG 3……………………………………………….………………………35
TU
1

T
1
U

PHÂN TÍCH ỨNG SUẤT, BIẾN DẠNG BẰNG FEM.......................................35

TU
1


3

3.1.Giải bài toán tấm bằng phương pháp phần tử hữu hạn................................ 35
T
1

T
1

3.1.1.Trình tự giải bài toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn ....................... 35
T
1

T
1

3.1.2.Tính kết cấu theo mô hình tương thích ....................................................... 37
T
1

T
1

3.2.Mô hình các loại phần tử và xây dựng các ma trận độ cứng, véc tơ tải phần

T
1

tử trong bài toán tính tấm trên nền đàn hồi. ........................................................ 42
T
1

3.2.1.Mô hình các loại phần tử trong bài toán tính tấm trên nền đàn hồi .......... 42
T
1

T
1

3.2.2.Ma trận độ cứng của các loại phần tử tấm trên nền và nền ngoài phạm vi
T
1

tấm ....................................................................................................................... 42
T
1

3.2.3.Xây dựng véc tơ tải phần tử ........................................................................ 55
T
1

T
1

3.3.Mô hình các loại phần tử và xây dựng các ma trận độ cứng, véc tơ tải phần

T
1

tử trong bài toán tính tấm làm việc đồng thời với nền và cọc ............................ 55
T
1

3.3.1.Đường lối chung để thiết lập thuật toán ..................................................... 55
T
1

T
1

3.3.2.Bố trí vị trí cọc dưới móng công trình ........................................................ 59
T
1

T
1

3.3.3.Bố trí vị trí cọc tối ưu.................................................................................. 62
T
1

T
1

3.4.Giới thiệu về phần mềm sử dụng trong luận văn: SAP 2000 ........................ 66
T

1

T
1

CHƯƠNG 4 ......................................................................................................... 6969
T
1

T
1

T
1

ÁP DỤNG TÍNH TOÁN CHO BỂ XẢ TRẠM BƠM BÌNH PHÚ ..................... 69
T
1

T
1

4.1.Giới thiệu chung về trạm bơm Bình Phú ........................................................ 69
T
1

T
1

4.1.1.Giới thiệu chung:

T
1

T
1

............................................................................................................................. 69

T
1

69
4.1.2.Các thông số kỹ thuật chủ yếu: ................................................................... 70
T
1

T
1

4.1.3.Các hạng mục chính công trình đầu mối: .................................................. 73
T
1

T
1

4.1.3.1.Nhà máy ................................................................................................... 73
T
1

T
1

4.1.3.2.Bể hút ....................................................................................................... 75
T
1

T
1

4.1.3.3.Bể xả ........................................................................................................ 75
T
1

T
1

4.2.Tài liệu dùng trong tính toán ........................................................................... 76
T
1

T
1

4.2.1.Các chỉ tiêu cơ lý của bê tông dùng trong tính toán. ................................. 76
T
1

T
1

4.2.2.Tài liệu địa chất các lớp đất dưới đáy móng công trình ............................ 77
T
1

T
1

4.3.Trường hợp tính toán ....................................................................................... 78
T
1

T
1

4.4.Phần mềm tính toán và mô hình tính toán ..................................................... 78
T
1

T
1

4.4.1.Phần mềm tính toán .................................................................................... 78
T
1

T
1

4

4.4.2.Mô hình tính toán........................................................................................ 78
T
1

T
1

4.4.2.1.Phương án đã thiết kế .............................................................................. 78
T
1

T
1

4.4.2.2.Phương án bố trí tối ưu ........................................................................... 80
T
1

T
1

4.4.3.Kết quả tính toán ......................................................................................... 82
T
1

T
1

4.4.3.1.Phương án thiết kế(bố trí cọc đều nhau) ................................................. 82
T
1

T
1

4.4.3.2.Phương án 1 ............................................................................................. 85
T
1

T
1

4.4.3.2.Phương án 2 ............................................................................................. 85
T
1

4.5. Nhận xét ............................................................................................................ 92
T
1

T
1

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ................................................................................ 93
T
1

T

1

T
1

TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 9794
T
1

T
1

T
1


5

MỞ ĐẦU
1. Sự cần thiết của đề tài
Ngày nay, do nhu cầu phát triển kinh tế của xã hội, các công trình xây dựng đã
và đang xuất hiện với một tốc độ nhanh chóng. Nhiệm vụ quan trọng trước mắt của
các chuyên gia về xây dựng là tìm tòi, ứng dụng các phương pháp tính toán và thiết
kế công trình hoàn thiện hơn, tiết kiệm hơn, từ đó nâng cao khả năng chịu lực, độ
tin cậy cũng như hiệu quả của công trình.
Các công trình xây dựng thường nằm trên nền đất tự nhiên. Biện pháp xử lý
thông dụng hiện nay đang được áp dụng rộng rãi là gia cố nền bằng hệ cọc nhằm
giới hạn độ lún và chênh lệch lún ngay cả khi móng có khẳ năng chịu tải phù hợp.
Do đó ước lượng chính xác và kiểm soát độ lún là việc quan trọng trong thiết kế
móng công trình. Đặc biệt các khoảng chênh lệch độ lún có tác động tiêu cực đến

kết cấu bền vững và móng cần được giới hạn ở mức cho phép. Trong thiết kế hiện
nay cọc thường được định vị theo kinh nghiệm hoặc một số cách bố trí theo trực
giác được cho là có thể giảm độ lún chênh lệch. Các công trình nghiên cứu trước
đây chủ yếu dựa vào phân bố áp lực tiếp xúc giữa tấm và đất trong điều kiện đặt tải
cụ thể. Các khoảng lún của tấm chịu ảnh hưởng của nhiều đặc điểm cơ học và hình
dạng của móng trên cọc như đặt tải, hình dạng tấm độ cứng tương đối giữa tấm và
đất. Các điều kiện này cần được xem xét cùng một lúc để xác định cách bố trí cọc
hợp lý nhằm giảm tối đa độ lún chênh lệch. Tuy nhiên các công trình nghiên cứu
trước đây đã không nghiên cứu đến những nhân tố cơ học này một cách nghiêm túc
nên còn có hạn chế trong ứng dụng.
Vì vậy, trong quá trình thiết kế, việc tính đến sự làm việc đồng thời giữa nền
và công trình nằm trên nó là vô cùng cần thiết. Nghiên cứu sự làm việc của trên nền
là một bài toán kết cấu rất hay gặp trong thực tế. Tấm làm việc trên nền được sử
dụng rộng rãi trong các công trình như tấm mặt đường, đường sân bay, móng bè
trong các công trình xây dựng (móng nhà dân dụng). Trong công trình thủy lợi, kết
cấu tấm làm việc trên nền rất được phổ biến như móng trạm bơm, móng cống …
Tính tấm trên cọc là một bài toán tiếp xúc phức tạp nếu xét từ góc độ của lý thuyết
đàn hồi. Tuy nhiên, trong thời đại ngày nay, với sự phát triển mạnh mẽ của công
nghệ thông tin, việc giải các bài toán kết cấu bằng phương pháp số đã trở nên dễ


6

dàng. Mô hình nền thường được sử dụng trong tính toán là mô hình có một hoặc hai
hệ số nền. Các phần mềm thương mại tính toán kết cấu của nước ngoài đã giải
quyết được bài toán này bằng phương pháp phần tử hữu hạn, tuy nhiên chúng lại có
giá thành khá cao so với khả năng tài chính của nhiều cơ quan thiết kế trong nước.
Ở nước ta, tính toán tấm trên nền có hai hệ số cũng đã được một số tác giả giải bằng
phương pháp sai phân hữu hạn nhưng kết quả để ứng dụng thực tế còn hạn chế do
chúng chưa giải được các bài toán có điều kiện biên phức tạp. Gần đây đã xuất hiện

một số công trình nghiên cứu giải bài toán này bằng phương pháp phần tử hữu hạn.
Trong khuôn khổ luận văn này, tác giả đề cập đến việc tính toán tấm chữ nhật đẳng
hướng trên nền đàn hồi và cọc theo mô hình nền hai hệ số bằng phương pháp phần
tử hữu hạn và ứng dụng để tính toán một ví dụ cụ thể.
Trong khuôn khổ của Luận văn, mục tiêu đặt ra được giới hạn cụ thể trong
những nội dung sau:
Móng bè được mô hình hóa như các tấm dựa trên lý thuyết, còn đất và cọc
được mô hình hóa tương ứng giống như lò xo và cặp lò xo Winkler
Độ cứng của các cọc được thiết kế theo phương pháp phân tích gần đúng do
Randolth và Wroth đề xuất, và những mô dun phản lực nền được chấp nhận để đánh
giá hằng số Winkler.
Hàm mục tiêu tối đa hóa được định nghĩa như quy chuẩn của hàm L 2 bình
R

R

phương của véctơ gradient(trọng lực hấp dẫn) của bề mặt võng móng bè để giảm
bớt những khó khăn trong việc áp dụng định nghĩa trực tiếp chênh lệch độ lún tối
đa. Các vị trí của cọc được tiến hành tối đa hóa. Quy hoạch đệ bậc hai được công
nhận có thể đạt được tối ưu hóa.
2. Mục đích và nhiệm vụ của đề tài
2.1. Mục đích
Nghiên cứu vị trí cọc hợp lý để giảm chênh lệc lún của công trình xây dựng
trên nền đất yếu khi đáy móng được xử lý bằng cọc.
2.2. Nhiệm vụ
- Lựa chọn sơ đồ tính, thiết lập các phương trình cơ bản;
- Lập thuật toán giải;
- Áp dụng cho một công trình cụ thể

7

3. Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu
Điều tra, thống kê và tổng hợp tài liệu nghiên cứu đã có ở trong và ngoài nước
có liên quan đến đề tài.
- Nghiên cứu cơ sở lý thuyết;
- Lựa chọn phương pháp tính toán, mô hình tính toán và phần mềm hợp lý để
tính toán phân tích ứng suất, biến dạng.
- Phân tích đánh giá kết quả
Nội dung luận văn gồm có các phần:
Mở đầu
Chương 1: Tổng quan về kết cấu trên nền đàn hồi
Chương 2: Cơ sở lý thuyết và phân tích mô hình tính toán
Chương 3: Phân tích ứng suất, biến dạng bằng FEM
Chương 4: Ứng dụng tính toán cho bài toán cụ thể
Kết luận và kiến nghị
Tài liệu tham khảo
Phụ lục
.


8

CHƯƠNG 1
TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN KẾT CẤU TRÊN NỀN ĐÀN HỒI
1.1. Khái niệm về kết cấu trên nền đàn hồi.
Các công trình xây dựng khi tính toán được quy về sơ đồ tính là các dầm đặt
trên các liên kết bao gồm các ngàm và các gối tựa cứng thì tải trọng lên tấm(dầm)
sẽ truyền xuống nền tại vị trí có liên kết tựa. Các phản lực liên kết của nền lên
dầm(tầm) là các mô men tập trung hoặc lực tập trung. Số lượng các lực liên kết nói

trên luôn luôn là hữu hạn nên chỉ dùng các phương trình cân bằng tĩnh học đối với
các dầm tĩnh định hoặc là dùng các phương trình cân bằng tĩnh học và bổ sung them
một số phương trình chuyển vị đối với hệ siêu tĩnh.
Tuy nhiên trong thực tế xây dựng, nhiều kết cấu dầm và các bản đáy công
trình đặt trực tiếp trên nền đất, nền đá, nền nhân tạo… Chẳng hạn như các dầm
móng nhà dưới hang cột, bản đáy các trạm bơm và các cống trong công trình thủy
lợi…Do các nền đều có tính đàn hồi nên người ta gọi chúng là nền đàn hồi. Tầm đặt
trên nền khi tải trọng đặt lên, tải trọng sẽ truyền xuống nền thông qua các liên kết
hoặc tại mọi điểm tiếp xúc trên bề mặt của tấm với nền. Có thể thấy phản lực của
nền lên tấm phân bố trên toàn diện tích tiếp xúc giữa tấm và nền và nói chung quy
luật phân bố của chúng là rất phức tạp vì nó phụ thuộc rất nhiều yếu tố của tấm
cũng như của nền. Vì tại mọi điểm tiếp xúc giữa tấm và nền đều xuất hiện các phản
lực nền có cường độ phân bố q mà ta chưa biết nên tấm trên nền đàn hồi là một hệ
siêu tĩnh đặc biệt với bậc siêu tĩnh n là vô hạn. Do có nhiều yếu tố phức tạp nên khi
giải các bài toán về tấm trên nền đàn hồi người ta thường sử dụng các giả thuyết về
nền. Mỗi giả thuyết mô phỏng khái quát về các đặc tính chung của nền, từ đó đưa ra
lời giải tương ứng.
1.2. Tổng quan về nền.
1.2.1. Đặc điểm của nền đất yếu.
Nền đất yếu là một trong những vấn đề mà các công trình xây dựng thường
gặp. Cho đến nay ở nước ta, việc xây dựng công trình trên nền đất yếu vẫn là một
vấn đề tồn tại và là một bài toán khó đối với người xây dựng, đặt ra nhiều vấn đề
phức tạp cần được nghiên cứu xử lý nghiêm túc, đảm bảo sự ổn định và độ lún cho
phép của công trình.


9

Nền đất yếu là nền đất không đủ sức chịu tải, không đủ độ bền và biến dạng
nhiều, do vậy không thể xây dựng các công trình nếu không có biện pháp xử lý. Đất

yếu là một loại đất không có khả năng chống đỡ kết cấu bên trên, vì thế nó bị lún
tuỳ thuộc vào quy mô tải trọng bên trên.
Khi thi công các công trình xây dựng gặp các loại nền đất yếu, tùy thuộc vào
tính chất của lớp đất yếu, đặc điểm cấu tạo của công trình mà người ta dùng phương
pháp xử lý nền móng cho phù hợp để tăng sức chịu tải của nền đất, giảm độ lún,
đảm bảo điều kiện khai thác bình thường cho công trình.
Trong thực tế xây dựng, có rất nhiều công trình bị lún, sập khi xây dựng trên
nền đất yếu do không có những biện pháp xử lý hiệu quả, không đánh giá chính xác
được các tính chất cơ lý của nền đất để làm cơ sở và đề ra các giải pháp xử lý nền
móng phù hợp. Đây là một vấn đề hết sức khó khăn, đòi hỏi sự kết hợp chặt chẽ
giữa kiến thức khoa học và kinh nghiệm thực tế để giải quyết, giảm được tối đa các
sự cố, hư hỏng của công trình khi xây dựng trên nền đất yếu.
Thuộc loại nền đất yếu thường là đất sét có lẫn nhiều chất hữu cơ; sức chịu tải
bé (0,5 - 1kG/cm2); đất có tính nén lún lớn (a > 0,1 cm2/kG); hệ số rỗng e lớn (e >
P

P

P

P

1,0); độ sệt lớn (B > 1); mô đun biến dạng bé (E < 50kG/cm2); khả năng chống cắt
P

P

(C) bé, khả năng thấm nước bé; hàm lượng nước trong đất cao, độ bão hòa nước G
> 0,8, dung trọng bé.
1.2.2. Các loại nền đất yếu chủ yếu và thường gặp

- Đất sét mềm: Gồm các loại đất sét hoặc á sét tương đối chặt, ở trạng thái bão
hòa nước, có cường độ thấp;
- Đất bùn: Các loại đất tạo thành trong môi trường nước, thành phần hạt rất
mịn, ở trạng thái luôn no nước, hệ số rỗng rất lớn, rất yếu về mặt chịu lực;
- Đất than bùn: Là loại đất yếu có nguồn gốc hữu cơ, được hình thành do kết
quả phân hủy các chất hữu cơ có ở các đầm lầy (hàm lượng hữu cơ từ 20 -80%);
- Cát chảy: Gồm các loại cát mịn, kết cấu hạt rời rạc, có thể bị nén chặt hoặc
pha loãng đáng kể. Loại đất này khi chịu tải trọng động thì chuyển sang trạng thái
chảy gọi là cát chảy;
- Đất bazan: là loại đất yếu có độ rỗng lớn, dung trọng khô bé, khả năng thấm
nước cao, dễ bị lún sụt.
1.2.3. Một số biện pháp xử lý nền đất yếu


10

Kỹ thuật cải tạo đất yếu thuộc lĩnh vực địa kỹ thuật, nhằm đưa ra các cơ sở lý
thuyết và phương pháp thực tế để cải thiện khả năng chịu tải của đất sao cho phù
hợp với yêu cầu của từng loại công trình khác nhau.
Với các đặc điểm của đất yếu như trên, muốn đặt móng công trình xây dựng
trên nền đất này thì phải có các biện pháp kỹ thuật để cải tạo tính năng chịu lực của
nó. Nền đất sau khi xử lý gọi là nền nhân tạo.
Việc xử lý khi xây dựng công trình trên nền đất yếu phụ thuộc vào điều kiện
như: Đặc điểm công trình, đặc điểm của nền đất... Với từng điều kiện cụ thể mà
người thiết kế đưa ra các biện pháp xử lý hợp lý. Có nhiều biện pháp xử lý cụ thể
khi gặp nền đất yếu như:
- Các biện pháp xử lý về kết cấu công trình
- Các biện pháp xử lý về móng
- Các biện pháp xử lý nền
a. Các biện pháp xử lý về kết cấu công trình

Kết cấu công trình có thể bị phá hỏng cục bộ hoặc hoàn toàn do các điều kiện
biến dạng không thỏa mãn: Lún hoặc lún lệch quá lớn do nền đất yếu, sức chịu tải
bé.
Các biện pháp về kết cấu công trình nhằm giảm áp lực tác dụng lên mặt nền
hoặc làm tăng khả năng chịu lực của kết cấu công trình. Người ta thường dùng các
biện pháp sau:
- Dùng vật liệu nhẹ và kết cấu nhẹ, thanh mảnh, nhưng phải đảm bảo khả năng chịu
lực của công trình nhằm mục đích làm giảm trọng lượng bản thân công trình, tức là
giảm được tĩnh tải tác dụng lên móng.
- Làm tăng sự linh hoạt của kết cấu công trình kể cả móng bằng cách dùng kết cấu
tĩnh định hoặc phân cắt các bộ phận của công trình bằng các khe lún để khử được
ứng suất phụ phát sinh trong kết cấu khi xảy ra lún lệch hoặc lún không đều.
- Làm tăng khả năng chịu lực cho kết cấu công trình để đủ sức chịu các ứng lực sinh
ra do lún lệch và lún không đều bằng các đai bê tông cốt thép để tăng khả năng chịu
ứng suất kéo khi chịu uốn, đồng thời có thể gia cố tại các vị trí dự đoán xuất hiện
ứng suất cục bộ lớn.
b. Các biện pháp xử lý về móng
Khi xây dựng công trình trên nền đất yếu, ta có thể sử dụng một số phương
pháp xử lý về móng thường dùng như:


11

- Thay đổi chiều sâu chôn móng nhằm giải quyết sự lún và khả năng chịu tải của
nền; Khi tăng chiều sâu chôn móng sẽ làm tăng trị số sức chịu tải của nền đồng thời
làm giảm ứng suất gây lún cho móng nên giảm được độ lún của móng; Đồng thời
tăng độ sâu chôn móng, có thể đặt móng xuống các tầng đất phía dưới chặt hơn, ổn
định hơn. Tuy nhiên việc tăng chiều sâu chôn móng phải cân nhắc giữa 2 yếu tố
kinh tế và kỹ thuật.
- Thay đổi kích thước và hình dáng móng sẽ có tác dụng thay đổi trực tiếp áp lực

tác dụng lên mặt nền, và do đó cũng cải thiện được điều kiện chịu tải cũng như điều
kiện biến dạng của nền. Khi tăng diện tích đáy móng thường làm giảm được áp lực
tác dụng lên mặt nền và làm giảm độ lún của công trình. Tuy nhiên đất có tính nén
lún tăng dần theo chiều sâu thì biện pháp này không hoàn toàn phù hợp.
- Thay đổi loại móng và độ cứng của móng cho phù hợp với điều kiện địa chất công
trình: Có thể thay móng đơn bằng móng băng, móng băng giao thoa, móng bè hoặc
móng hộp; trường hợp sử dụng móng băng mà biến dạng vẫn lớn thì cần tăng thêm
khả năng chịu lực cho móng; Độ cứng của móng bản, móng băng càng lớn thì biến
dạng bé và độ lún sẽ bé. Có thể sử dụng biện pháp tăng chiều dày móng, tăng cốt
thép dọc chịu lực, tăng độ cứng kết cấu bên trên, bố trí các sườn tăng cường khi
móng bản có kích thước lớn.
c. Các biện pháp xử lý nền đất yếu
Để công trình tồn tại và sử dụng được một cách bình thường thì không những
các kết cấu phần trên phải có đủ độ bền, ổn định mà bản thân nền và móng cũng ổn
định, có độ bền cần thiết và biến dạng nằm trong phạm vi cho phép. Nền là chiều
dày các lớp đất đá trực tiếp chịu tải trọng của công trình do móng truyền xuống.
Móng là phần dưới của công trình làm nhiệm vụ truyền tải trọng của công trình
xuống nền. Việc thiết kế nền móng là một công việc phức tạp vì nó liên quan đến
đặc điểm của công trình thiết kế, nền móng của công trình lân cận, điều kiện địa
chất công trình, địa chất thủy văn của khu đất xây dựng.
Xử lý nền đất yếu nhằm mục đích làm tăng sức chịu tải của nền đất, cải thiện một
số tính chất cơ lý của nền đất yếu như: Giảm hệ số rỗng, giảm tính nén lún, tăng độ
chặt, tăng trị số modun biến dạng, tăng cường độ chống cắt của đất...
Chính vì vậy, việc xử lý nền móng thường chiếm tỷ trọng công việc cũng như
kinh phí khá lớn khi xây dựng công trình. Trong lĩnh vực xây dựng cơ bản thì móng
của hầu hết các công trình đều được đặt trên đất, bản thân đất có nhiều loại khác
nhau, trong đó nền đất yếu không đủ khả năng chịu tải trọng lại chiếm đa số, thế
nên cho đến nay các nhà khoa học đã nghiên cứu và đưa ra rất nhiều hình thức xử lý
nền móng, phù hợp với từng loại nền đất và kết cấu công trình.

12

Đối với công trình thủy lợi, việc xử lý nền đất yếu còn làm giảm tính thấm của
đất, đảm bảo ổn định cho khối đất đắp. Các biện pháp xử lý nền thông thường:
- Các biện pháp cơ học: Bao gồm các phương pháp làm chặt bằng đầm, đầm chấn
động, phương pháp làm chặt bằng giếng cát, các loại cọc (cọc cát, cọc đất, cọc
vôi...), phương pháp thay đất, phương pháp nén trước, phương pháp vải địa kỹ
thuật, phương pháp đệm cát...
- Các biện pháp vật lý: Gồm các phương pháp hạ mực nước ngầm, phương pháp
dùng giếng cát, phương pháp bấc thấm, điện thấm...
- Các biện pháp hóa học: Gồm các phương pháp keo kết đất bằng xi măng, vữa xi
măng, phương pháp Silicat hóa, phương pháp điện hóa...
Sau đây tác giả xin giới thiệu một số công trình trong nước có kết cấu trên nền
đàn hồi.

Hình 1.1: Cống Liêm Mạc(Hà Nội – Việt Nam)

Hình 1.2: Cống Vân Cốc (Hà Nội – Việt Nam)


13

Hình 1.3: Cống Nghi Quang (Việt Nam)

Hình 1.4: Trạm bơn Ghềnh Nghé (Việt Nam)

Hình 1.5: Cống và Âu thuyền (Hà Nam – Việt Nam)

14

Kết luận
Nền đất yếu có nhiều tác hại và nguy cơ gây mất an toàn cho các công trình
xây dựng. Khi mà nền thiên nhiên không đủ sức chịu, không đủ độ bền và bị biến
dạng nhiều, thì người ta xử lý nhân tạo.
Việc nghiên cứu nền đất yếu và xác định biện pháp xử lý phù hợp có một ý
nghĩa quan trọng. Trong thực tế, có nhiều phương pháp gia cố nền đất yếu, tùy
thuộc vào tính chất của từng loại công trình, tùy thuộc vào điều kiện kinh tế - kỹ
thuật mà lựa chọn phương pháp thích hợp. Có thể là các biện pháp xử lý về kết cấu
công trình, các biện pháp xử lý về móng hay các biện pháp xử lý nền, hoặc sử dụng
kết hợp tổ hợp nhiều biện pháp, giải pháp phù hợp có liên quan.
Tuy có nhiều phương pháp xử lý nền, song trong khuôn khổ luận văn tác giả
chỉ đi sâu nghiên cứu vị trí cọc hợp lý để giảm chênh lệch lún của công trình xây
dựng trên nền đất yếu.


15

CHƯƠNG 2
CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ PHÂN TÍCH MÔ HÌNH TOÁN
2.1. Giới thiệu chung.
Để tính các kết cấu đặt trên nền phải xác định được lực tương tác giữa kết cấu
với nền hay còn gọi là phản lực nền. Các nghiên cứu đã chỉ ra rằng lực này phụ
thuộc vào tính chất cơ học của vật liệu kết cấu, vào chiều sâu của tầng đất chịu nén,
vào hình dạng và kích thước bề mặt tiếp xúc của kết cấu với nền… Để xác định
phản lực nền, người ta đã mô phỏng nền bằng những mô hình nền. Mức độ chính
xác của các kết quả tính toán kết cấu trên nền đàn hồi phụ thuộc vào nhiều loại kết
cấu cũng như loại mô hình nền được sử dụng…Trong đó mô hình nền ảnh hưởng
đến kết quả tính toán nhiều hơn cả. Song cho đến nay chỉ có một số dạng mô phỏng

được chấp nhận ứng dụng vào tính toán thực tế. Với mục đích để phân tích chọn lựa
mô hình nền cho việc thiết lập thuật toán tính tấm đặt trên nền hoặc vừa đặt trên nền
và trên cọc. Dưới đây sẽ trình bày các nét chính về ba mô hình nền đàn hồi thường
được sử dụng:
 Nền biến dạng đàn hồi cục bộ;
 Nền biến dạng đàn hồi tổng quát;
 Mô hình hỗn hợp.
2.2. Cơ sở lý thuyết và phân tích lựa chọn mô hình.
2.2.5. Mô hình nền biến dạng đàn hồi cục bộ - mô hình nền Winkler
Giả thiết nền biến dạng đàn hồi cục bộ là giả thiết mối quan hệ bậc nhất giữa
phản lực và độ lún do giáo sư người Đức Winkler đề xuất năm 1867. Theo lý thuyết
này, nhiều nhà bác học đã phát triển và đưa ra những phương pháp tính đơn giản,
được áp dụng phổ biến trong thực tế. Mô phỏng nền bằng một hệ thống lò xo thẳng
đứng, mỗi lò xo mô phỏng một cột đất, khi có lực nén tác động trực tiếp trên lò xo
theo phương thẳng đứng, lò xo sẽ bị lún. Song các lò xo làm việc độc lập nhau, biến
dạng của lò xo này không ảnh hưởng đến lò xo kia và ngược lại. Lực nén dọc theo
trục lò xo xuất hiện khi lò xo bị biến dạng được gọi là phản lực nền. Với giả thiết
các lò xo có biến dạng đàn hồi tuyến tính, phản lực nền được xác định theo công
thức:
P n = k.w
R

Trong đó:

R

(2.1)


16

k: Hằng số phụ thuộc vào đặc trưng cơ học của vật liệu nền xác định bằng thí
nghiệm bàn nén, có thể lấy theo bảng 2-1.
w: độ lún của lò xo hay độ võng của móng tại thời điểm xét
Mô hình nền Winkler được minh họa trên hình 2.1.

Hình 2.1. Mô hình nền Winkler
Những kết quả tính toán và thí nghiệm kiểm chứng cho thấy mô hình nền
Winkler mô phỏng khá gần ứng xử của nền trong phạm vi đặt móng nếu xác định
được hệ số nền k đúng đắn. Mô hình nền Winkler tạo điều kiện đơn giản cho việc
thiết lập thuật toán giải bằng tay cũng như lập chương trình giải trên máy. Tuy vậy
nhược điểm của mô hình nền Winkler là đã bỏ qua ma sát giữa các cột đất nền, đã
không tính đến ảnh hưởng của lực đặt tại vị trí một lò xo đến biến dạng của các lò
xo lân cận. Do vậy mô hình nền Winkler không thể dùng để nghiên cứu ảnh hưởng
của lực đặt ngoài phạm vi móng đến kết cấu đặt trên móng hoặc ảnh hưởng của
công trình mới xây đến công trình hiện có. Đây là những tình huống xảy ra khá phổ
biến trong các công trình xây dựng nói chung cũng như công trình thuỷ lợi. Ví dụ
như ảnh hưởng của đất đắp hoàn thổ hố móng đến công trình vừa xây của bể xả
trạm bơm.
Phương pháp nền biến dạng đàn hồi cục bộ chỉ xét đến độ lún ở trong phạm vi
đặt lực, không xét đến biến dạng ở ngoài diện tích gia tải. Điều đó cho phép coi nền
đàn hồi như một hệ gồm các lò xo đàn hồi không liên quan đến nhau.


17

Bảng 2.1. Trị số của hệ số nền k
Loại nền

Hệ số nền k (KN/m3)

- Đá bazan

8.106

P

12.106

-

P

P

P

- Granit (đá hoa cương),đá pocfia,đá 3,5. 106 -5. 106
P

P

P

đisrit
- Đá cá kết sa thạch

8. 106 -2,5. 106

- Đá vôi (chặt),goolomit,đá phiến cát

4. 105

- Đá phiến sét

2. 105 -6. 105

- Túp

1. 105

- Đất hòn lớn

5. 104

- Cát hạt to và cát hạt trong

3. 104

- Cát hạt nhỏ

2. 104

- Cát bụi

1. 104

- Sét cứng

1. 105

- Đất loại sét dẻo

1. 104

- Nền cọc

5. 104

- Gạch

4.105

- Đá xây

5.106

- Bê tông, bê tông cốt thép

8. 106

P

P

P

- 8. 105

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

- 5. 104
P

P

- 1,5. 104
P

P

- 2. 105

P

P

P

P

P

P

- 10. 104

- 3. 104

P

P

P

- 3. 105

P

P

P

P

P

P

P

P

- 4. 104
P

- 15. 104
P

- 50. 105

P

P

- 6. 106

P

P

P

-15. 106
P

P


18

Cần lưu ý rằng các hệ số nền trong bảng 2-1 chỉ có tính chất tương đối.
Để có hệ số nền sát thực tế chúng ta cần tiến hành thí nghiệm nén tại hiện trường.
Khi tính móng, hệ số nền k cũng có thể xác định theo các công thức của tiến sĩ
E. Rausch, giáo sư O.A.Xavinop dựa vào mô đun biến dạng của nền, bề rộng và
diện tích đáy dầm.
Mô hình nền biến dạng đàn hồi cục bộ có những đặc điểm sau:
Quan niệm cho rằng độ lún chỉ xảy ra trong phạm vi diện gia tải chỉ đúng một
cách chặt chẽ trong một số ít trường hợp, thí dụ như khi ép phao xuống nước hoặc
trường hợp móng cứng đặt trên nền mềm. Trong thực tế, dưới tác dụng của tải
trọng, biến dạng xảy ra cả trong và ngoài phạm vi diện gia tải. Các thí nghiệm cho
thấy độ lún ngoài phạm vi diện gia tải tắt đi rất nhanh và nó ảnh hưởng rất nhiều
đến trị số của hệ số nền k trong điều kiện thí nghiệm khi diện tích của bàn nén nhỏ,
còn trong thực tế khi móng có diện tích đáy móng lớn thì chúng ít ảnh hưởng.
2.2.6. Mô hình nền biến dạng đàn hồi tổng quát
Mô hình nền nửa không gian biến dạng đàn hồi tuyến tính: Mô phỏng nền là
một môi trường liên tục, đồng chất, đẳng hướng có biến dạng đàn hồi tỷ lệ bậc nhất
với lực tác dụng. Kết cấu được đặt ở mặt trên của nền còn mặt dưới của nền được
xem là ở cách xa mặt trên vô hạn. Về mặt lý thuyết sự mô phỏng này dường như
được xem là chặt chẽ và có thể sử dụng những kết quả có sẵn trong lý thuyết đàn
hồi để tính toán, song mô phỏng này quá lý tưởng hoá vì môi trường thực tế không
đúng như thế, nó có nhiều lớp với các loại vật liệu khác nhau và thực tế chỉ một bề

dày giới hạn của nền tham gia làm việc cùng với kết cấu.
Tính chất biến dạng của nền được đặc trưng bởi mô đun biến dạng E và hệ số
nở ngang µ của đất, trong đó đặc biệt trị số của E ảnh hưởng rất lớn đến kết quả
tính toán độ lún của nền và mô men uốn trong kết cấu, do đó cần xác định chính
xác.
Mô hình nền biến dạng nền đàn hồi tổng quát xét tới biến dạng của nền ở
trong và ngoài phạm vi diện gia tải nên nó phù hợp với thực tế. Tuy nhiên phương
pháp này có những nhược điểm sau:
- Theo phương pháp này thì ứng suất ở vùng mép móng đạt trị số vô cùng lớn
thậm chí khi tải trọng không đáng kể, điều này không đúng với thực tế.


19

- Độ lún của nền xác định theo phương pháp này chậm tắt so với quan trắc
thực tế đối với vùng xa diện gia tải.
- Theo phương pháp này nền được coi là đồng nhất trong toàn bộ nửa không
gian nhưng thực tế thì độ chặt và tính đàn hồi tăng lên theo chiều sâu.
2.2.7. Mô hình hỗn hợp
Ngoài những mô hình nền biến dạng đàn hồi cục bộ và tổng biến dạng đàn
hồi, một số tác giả đã kiến nghị mô hình hỗn hợp, trong đó có xét đến cả biến dạng
đàn hồi cục bộ và tổng biến dạng đàn hồi của nền. Trong số những mô hình đó, có
thể kể ra:
-

Mô hình Philônhencô-Bôrôđich:
Mô hình này giống như mô hình cục bộ, xung quanh gắn một màng đàn hồi vô

hạn, với giả thuyết coi lực căng của màng có giá trị không đổi σ 0 .
Philonhenco-Bôrodich đưa ra phương trình:

 ∂2 z ∂2 z 
+ 2  -C z z = - p
2
 ∂x ∂y 

σ0 =

R

R

(2.2)

Trong đó:
p - tải trọng
C z - hệ số nền.
R

-

R

Mô hình nền của I.A.Xternan:
Ông đề xuất mô hình có thể mô tả như một hệ lò xo nằm trên bán không gian

đàn hồi. Theo Xternan, vấn đề là ở chỗ một bề mặt bất kỳ bao giờ cũng có độ gồ
ghề và trong thực tế khi các vật tiếp xúc với nhau, các mặt tiếp xúc của chúng
không hoàn toàn trùng khít lên nhau. Vì vậy quá trình biến dạng khi ép các mặt tiếp
giáp nhau sẽ diễn ra theo hai giai đoạn:
+ Biến dạng cục bộ tại chỗ gồ ghề;

+ Biến dạng chung của hai vật thể.
-

Mô hình Pasternak:
Mô hình nền hai hệ số Pasternak: Mô phỏng nền bằng một hệ thống lò xo

thẳng đứng níu kéo nhau bằng những lò xo xiên. Lò xo đứng mô phỏng biến dạng
lún của một cột đất, lò xo xiên mô phỏng ma sát giữa hai cột đất liền kề (xem hình
2.2)


20

Hình 2.2. Mô hình nền hai hệ số Pasternak
Do kể đến lực ma sát giữa hai cột đất nên phản lực nền sẽ bao gồm hai thành phần:
Phản lực nền thẳng đứng:

-

P 1n = k 1 .w
R

R

R

R

(2.3)

Trong đó:
k 1 là hệ số nền thứ nhất tương tự với hệ số k của mô hình nền Winkler.
R

R

Phản lực nền là lực ma sát giữa hai cột đất:

-

t x = k2 x

∂w
∂x

t y = k2 y

(2.4a)
∂w
∂y

(2.4b)

Trong đó:
k 2x ; k 2y là hệ số nền thứ hai cũng được xác định bằng thí nghiệm, còn
R

R

R

R

∂w
∂w
và
∂x
∂y

chính là góc trượt giữa hai lò xo theo hướng x và y.
Do kể đến lực ma sát giữa hai cột đất kề liền, mô hình nền hai hệ số cho phép
xét ảnh hưởng của lực đặt ngoài phạm vi móng đến kết cấu đặt trên móng hoặc của
công trình mới xây bên cạnh công trình hiện có. Về ý nghĩa vật lý có thể thấy mô
hình nền hai hệ số chỉ khác mô hình nền Winkler ở hệ số k 2 . Theo [12], nếu móng
R

R

không chịu tác dụng của tải trọng bên thì hệ số này ít ảnh hưởng đến kết quả tính
chuyển vị và nội lực trong phạm vi móng. Do đó ý nghĩa thực sự của hệ số này là
phản ánh tác dụng của tải trọng bên đến chuyển vị và nội lực của móng. Trường


21

hợp không phải đề cập đến tác dụng của tải trọng này thì có thể bỏ qua hệ số này, có
nghĩa là có thể sử dụng mô hình nền Winkler.
Mô hình này có hai hệ số nền ký hiệu là c 1 và c 2 , trong đó c 1 là hệ số nén liên
R

R

R

R

R

R

quan đến cường độ phản lực nền thẳng đứng và độ lún w; c 2 là hệ số trượt, biểu
R

R

diễn quan hệ giữa cường độ lực trượt thẳng đứng với đạo hàm của chuyển vị. Ở
đây, sự tắt dần của biến dạng ở ngoài miền chịu tải xảy ra nhanh hay chậm phụ
thuộc vào giá trị của hệ số α =

c1
. Khi nền rất yếu, khả năng chống cắt thấp thì c 2
c2
R

R

coi như bằng 0, mô hình nền của Pasternak lại quay trở về giống như mô hình biến
dạng đàn hồi cục bộ của Winkler.
Mỗi loại mô hình vừa nêu đều có những ưu điểm và nhược điểm. Ở đây do
khối lượng hạn chế của luận văn nên không đề cập đến đầy đủ.

Tuy nhiên cho đến nay chưa có mô hình nền nào thể hiện được những tính
chất của nền trong mọi trường hợp và ý kiến của các chuyên gia trong lĩnh vực này
cũng không thống nhất. Do vậy việc đi tìm một mô hình thể hiện đúng tính chất của
đất trong mọi trường hợp là một việc làm vô cùng cần thiết. Hiện nay, trong thực tế
được ứng dụng nhiều hơn cả là các phương pháp dựa theo mô hình Winkler, sau đó
là mô hình nửa không gian biến dạng tổng quát và lớp đàn hồi có chiều dày hữu hạn
trên đá cứng.
2.2.8. Các loại mô hình khác
Ngoài ra còn nhiều mô hình nền khác nữa, như mô hình lớp đàn hồi có chiều
dày hữu hạn của K. E Igorov, mô hình nữa không gian đàn hồi có E 0 biến đổi theo
R

R

độ sâu của G. K. Klêin, các mô hình nền hỗn hợp mô hình nền Winkler và mô hình
nữa không gian đàn hồi trong đó có mô hình của I. Ia. Staeman với ba thông số đặc
trưng, mô hình Rivkin cũng đặc trưng bởi ba thông số...
2.2.9. Lựa chọn mô hình
Từ những năm ba mươi, ở Liên Xô các phương pháp tính toán dựa trên mô
hình nền đất là nữa không gian đàn hồi đã phát triển mạnh mẽ. Mô hình nền
Winkler ít được chú ý.
Năm 1961 L. I. Manvelov và E. X. Bartosevits công bố kết quả một công trình
nghiên cứu thực tiễn rộng lớn. Hai ông đã tiến hành thử nén đất tại hiện trường với
những tấm nén tròn đường kính D=500 – 2000mm. Các đất nén thử bao quanh gồm


22

nhiều loại khác nhau ở hầu khắp các vùng của liên xô, thời gian thí nghiệm là cả
mùa Xuân, mùa Hè, mùa Thu, áp lực trên tấm nén tăng từng cấp 0.2 KG/cm2 và đạt

P

P

đến 0.8 – 2.0 KG/cm2.
P

P

Trên cơ sở những kết quả thực nghiệm như vậy, L. I. Manvelov và E. X.
Bartosevits đã đưa ra kết luận sau:
- Độ lún mặt đất ngoài đặt tải tắt rất nhanh. Như vậy là đất có tính phân phối
rất yếu.
- Khi độ ẩm của đất tăng thì tính cấp phối của đất giảm.
- Mặt biến dạng của nền khi xem nền n hư một bán không gian đàn hồi tắt quá
chậm so với mặt biến dạng của đất nền quan sát thấy trong thí nghiệm nén hiện
trường.
Như vậy, phải đi đến kết luận cuối cùng là mô hình nền Winkler phù hợp với
nền đất hơn. Về thiếu sót của mô hình này ở chổ hệ số nền k không có ý nghĩa rõ
ràng. Về thực chất biến dạng của đất là phi tuyến ngay từ những tải trọng nhỏ đầu
tiên, cho nên dù hình nền thế nào cũng không thể có đặc trưng cho tính biến dạng
của đất là một hằng số, mà nó phải thay đổi, phụ thuộc độ cứng của công trình và
khoảng tác dụng của tải trọng.
Còn những mô hình nền khác, chẳng hạn mô hình hai hệ số nền, có thể phản
ánh gần đúng hơn quang cảnh biến dạng thực tế của nền, nhưng thêm thông số dặc
trưng nên sẽ thêm phức tạp do việc xác định trị số thông số đặc trưng đấy không
phải dễ dàng.
Cho nên mô hình Winkler vừa gần đúng vừa thực tế, vừa đơn giản tiện dùng
trong thiết kế.
2.3. Phân tích lựa chọn phương pháp tính và các thông số mô hình tính

2.3.1. Các phương pháp giải bài toán tấm
Có hai phương pháp giải bài toán tấm:
- Phương pháp giải tích
- Phương pháp số
2.3.1.1. Phương pháp giải tích
Nội dung của phương pháp này là giải trực tiếp phương trình Sophie
Gerrmain-Lagrange với những điều kiện biên cụ thể cho từng bài toán. Xét về khía
cạnh toán học, đây là một nhiệm vụ hoàn toàn không đơn giản. Ở đây, chúng ta chỉ


23

nhắc đến lời giải của Navier và Levy đối với tấm chữ nhật chịu uốn và phương pháp
biến phân.
a. Lời giải của Navier cho tấm có biên tựa
+ Xét tấm chữ nhật có biên tựa, chịu tải trọng phân bố q(x, y).
Khi đó ta có các điều kiện biên như sau:
- Tại x = 0 và x = a

w = 0 và

∂2w
=0
∂x 2

- Tại y = 0 và y = b

w = 0 và

∂2w

=0
∂y 2

Navier đề nghị khai triển hàm độ võng w(x, y) và hàm tải trọng q(x, y) thành các
chuỗi lượng giác kép:
∞

mπ x
nπ y
sin
a
b

(1.16)

mπ x
nπ y
sin
a
b

(1.17)

∞

∑∑

W(x,y) =

A mn sin

R

R

=
m 1=
n 1
∞

∞

∑∑

Q(x,y) =

B mn sin
R

R

m 1=
n 1
=

Trong đó:
A mn và B mn , là các hằng số.
R

R

R

R

A mn =
R

R

a b

4
 m2 n2 
π Dab  2 + 2 
b 
a

2

0 0

4

4
B mn =
ab
R

R

a b

∫ ∫ q( x, y) sin
0 0

∫ ∫ q( x, y) sin

mπ x
nπ y
sin
dxdy
a
b

mπ x
nπ y
sin
dxdy
a
b

(1.18)

(1.19)

Biết được độ võng w, ta có thể tìm được nội lực trong tấm.
b. Lời giải của Levy cho tấm có hai bên tựa song song
Xét tấm chữ nhật có hai biên tựa song song và hai biên tựa còn lại có điều kiện
biên bất kỳ, chịu tải trọng phân bố q(x, y).
Ta có điều kiện biên sau:

Tại y = 0 , y = b

w = 0 và

∂2w
=0
∂y 2

(1.19)

Levy đề nghị khai triển hàm độ võng w(x, y) và hàm tải trọng q(x, y) thành chuỗi
lượng giác đơn.


24
∞

W(x, y) = ∑ Ym ( y ) sin
m =1

2
q(x, y) =
aD

mπ x
a

∞ a

∑ ∫ q( x, y) sin

m =1 0

(1.20)
mπ x
dx
a

(1.21)

Thay (1.20) và (1.21) vào phương trình Sophie Germain-Lagrange ta nhận được
phương trình vi phân.
d 4Ym  mπ  d 2Ym  mπ 
2
-2 
+
 Y m=

4
2
dy
aD
 a 
 a  dy
2

4

R

R

a

∫ q sin
0

mπ x
dx
a

(1.22)

Nghiệm của phương trình (1.22) là
Y m (y)=A m sh
R

R

R

R

mπ y
mπ y
mπ y
mπ y
+B m ch
+C m ysh
+D m ych
+f m (y)

a
a
a
a
R

R

R

R

R

R

R

R

(1.23)

Trong đó:
A m, B m, C m, D m là các hằng số được xác định theo các điều kiện biên còn lại;
R

R

R

R

R

R

R

R

f(y) là hàm số một biến y và được xác định theo tải trọng q(x, y) và độ cứng D.
Lời giải (1.20) và (1.23) của Levy có tính tổng quát hơn, cho kết quả hội tụ tốt hơn
nhưng phức tạp hơn lời giải của Navier đã trình bày ở trên.
c. Phương pháp biến phân
Bài toán biến thân là bài toán tìm cực trị của phiếm hàm. Phiếm hàm là một
đại lượng mà giá trị của nó phụ thuộc vào một hoặc nhiều hàm số của một hoặc
nhiều biến số độc lập. Trong cơ học nói chung và trong lý thuyết đàn hồi nói riêng,
năng lượng của hệ là những phiếm hàm của các đối số nội lực, chuyển vị và biến
dạng. Nguyên lý biến phân của lý thuyết đàn hồi là các điều kiện cực trị (điều kiện
dừng) của những phiếm hàm này. Bài toán biến phân liên quan đến nguyên lý năng
lượng cực tiểu trong cơ học nói chung và trong lý thuyết đàn hồi nói riêng. Theo
nguyên lý tổng quát thì trường ứng suất, biến dạng và chuyển vị thực là trường làm
phiếm hàm năng lượng toàn phần đạt giá trị cực tiểu. Để giải bài toán này, người ta
thiết lập trực tiếp các điều kiện cực trị của phiếm hàm khảo sát bằng cách giả thiết
dạng của các hàm dừng.
Các phương pháp biến phân là các phương pháp gần đúng để giải bài toán tấm
nói riêng và bài toán kết cấu nói chung.
Chúng ta sẽ đề cập đến hai phương pháp giải trực tiếp bài toán biến phân,
đó là phương pháp Ritz-Timoshenko và phương pháp Boubnov-Galerkin.
Phương pháp Ritz-Timoshenko

25

Nội dung của phương pháp này là: để tìm cực trị của phiếm hàm thế năng toàn
phần Π (thường được biểu diễn dưới dạng tích phân xác định) là hàm của độ võng
w, ta chọn nghiệm dưới dạng:
n

w(x,y)= ∑ ai f ( x, y )

(1.24)

i =1

với a i là các hàm số tạm thời chưa xác định, f(x, y) là các hàm tọa độ tự chọn thỏa
R

R

mãn các điều kiện biên của tấm, n là số bậc tự do của tấm. Thay (1.24) vào biểu
thức của phiếm hàm thế năng toàn phần, sau khi tích phân ta nhận được giá trị
phiếm hàm Π là một hàm của các trị số a i . Điều kiện cực trị của Π được biểu diễn
R

R

bởi hệ các phương trình đại số
∂Π
=0

∂ai

với i=1,2,3…,n.

(1.25)

Giải hệ phương trình ta tìm được các hệ số a i , thay chúng trở lại quan hệ (1.24)
R

R

Ta tìm được nghiệm w(x, y) của bài toán biến phân.
Phương pháp Boubnov-Galerkin
Chọn hàm độ võng có dạng (1.24). Từng số hạng f i (x, y) của chuỗi này phải
R

R

thỏa mãn các điều kiện biên về động học và tĩnh học nhưng không nhất thiết phải
thỏa mãn phương trình Sophie Germain-Lagrange
D ∇ 4 w = p z (x,y)
R

R

Vì phương trình Sophie Germain-Lagrange chính là phương trình cân bằng
nội lực và ngoại lực theo phương z nên tổng các công của chúng trên những chuyển
vị khả dĩ vô cùng nhỏ δ w phải bằng 0.

∫∫

[D ∇ 4 w - p z (x,y)] δ wdxdy = 0
R

R

(1.26)

Ω

Đây là phương trình biến phân của tấm chịu uốn. Từ phương trình này và từ
những điều kiện bắt buộc đối với các hàm f i (x, y), ta nhận được hệ phương trình
R

∫∫

R

(D ∇ 4 w - p z )f i (x,y) dxdy = 0
R

R

R

R

Ω

……………………..

∫∫
Ω

(D ∇ 4 w - p z )f n (x,y) dxdy = 0
R

R

R

R

(1.27)