ĐỊNH THỨC bài GIẢNG điện tử
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.46 MB, 120 trang )
ĐỊNH THỨC
Bài giảng điện tử
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email:
TP. HCM — 2015.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
ĐỊNH THỨC
TP. HCM — 2015.
1 / 47
Bài toán thực tế
Bài toán thực tế - Tính diện tích tam giác
−→ −→
1
1
S = abs|[AB, AC ]| = abs
2
2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
ĐỊNH THỨC
2, 5 1 1
5
3 2 1 =
4
1 3 1
TP. HCM — 2015.
2 / 47
Bài toán thực tế
Tính thể tích của hình lăng trụ
→
−
a = (a1, a2, a3);
→
−
−
b = (b1, b2, b3); →
c = (c1, c2, c3)
a1 a2 a3
→
− →
→
−
−
⇒ V = abs([ a × b ], c ) = abs b1 b2 b3
c1 c2 c3
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
ĐỊNH THỨC
TP. HCM — 2015.
3 / 47
Bài toán thực tế
Nội dung
1
Khái niệm và tính chất của định thức
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
ĐỊNH THỨC
TP. HCM — 2015.
4 / 47
Bài toán thực tế
Nội dung
1
2
Khái niệm và tính chất của định thức
Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
ĐỊNH THỨC
TP. HCM — 2015.
4 / 47
Khái niệm định thức
Định nghĩa định thức
Định nghĩa định thức
Định nghĩa
Cho A = (aij ) ∈ Mn (K ) là ma trận vuông cấp n.
Định thức của ma trận A = (aij ) là một số, được
ký hiệu là detA hoặc |A|.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
ĐỊNH THỨC
TP. HCM — 2015.
5 / 47
Khái niệm định thức
Định nghĩa định thức
Định nghĩa định thức
Định nghĩa
Cho A = (aij ) ∈ Mn (K ) là ma trận vuông cấp n.
Định thức của ma trận A = (aij ) là một số, được
ký hiệu là detA hoặc |A|.
Vậy
det : Mn (K ) → K
A → detA.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
ĐỊNH THỨC
TP. HCM — 2015.
5 / 47
Khái niệm định thức
Định nghĩa định thức
Định nghĩa
Cho A = (aij ) ∈ Mn (K ) là ma trận vuông cấp n.
Ta gọi Mij là định thức con phụ của phần tử aij .
Định thức Mij là định thức cấp (n − 1) thu được
bằng cách gạch bỏ hàng thứ i và cột thứ j của
định thức |A|
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
ĐỊNH THỨC
TP. HCM — 2015.
6 / 47
Khái niệm định thức
a11
..
.
|A| =
a(i−1)1
ai1
a(i+1)1
..
.
an1
Định nghĩa định thức
...
a1(j−1)
a1j
a1(j+1)
..
..
..
..
.
.
.
.
. . . a(i−1)(j−1) a(i−1)j a(i−1)(j+1)
...
ai(j−1)
aij
ai(j+1)
. . . a(i+1)(j−1) a(i+1)j a(i+1)(j+1)
..
..
..
...
.
.
.
. . . an)(j−1)
anj
an(j+1)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
ĐỊNH THỨC
...
a1n
..
..
.
.
. . . a(i−1)n
...
ain
. . . a(i+1)n
..
...
.
. . . ann
TP. HCM — 2015.
n×n
7 / 47
Khái niệm định thức
a11
..
.
|A| =
a(i−1)1
ai1
a(i+1)1
..
.
an1
Định nghĩa định thức
...
a1(j−1)
a1j
a1(j+1)
..
..
..
..
.
.
.
.
. . . a(i−1)(j−1) a(i−1)j a(i−1)(j+1)
...
ai(j−1)
aij
ai(j+1)
. . . a(i+1)(j−1) a(i+1)j a(i+1)(j+1)
..
..
..
...
.
.
.
. . . an)(j−1)
anj
an(j+1)
...
a1n
..
..
.
.
. . . a(i−1)n
...
ain
. . . a(i+1)n
..
...
.
. . . ann
n×n
Khái niệm định thức
a11
..
.
|A| =
a(i−1)1
ai1
a(i+1)1
..
.
an1
Định nghĩa định thức
...
a1(j−1)
a1j
a1(j+1)
..
..
..
..
.
.
.
.
. . . a(i−1)(j−1) a(i−1)j a(i−1)(j+1)
...
ai(j−1)
aij
ai(j+1)
. . . a(i+1)(j−1) a(i+1)j a(i+1)(j+1)
..
..
..
...
.
.
.
. . . an)(j−1)
anj
an(j+1)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
ĐỊNH THỨC
...
a1n
..
..
.
.
. . . a(i−1)n
...
ain
. . . a(i+1)n
..
...
.
. . . ann
TP. HCM — 2015.
n×n
7 / 47
Khái niệm định thức
Mij =
a11
..
.
a(i−1)1
a(i+1)1
..
.
an1
...
...
a1(j−1)
..
.
Định nghĩa định thức
a1(j+1)
..
.
. . . a(i−1)(j−1) a(i−1)(j+1)
. . . a(i+1)(j−1) a(i+1)(j+1)
..
..
...
.
.
. . . an(j−1)
an(j+1)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
ĐỊNH THỨC
...
...
a1n
..
.
. . . a(i−1)n
. . . a(i+1)n
..
...
.
. . . ann
(n−1)×(n−1)
TP. HCM — 2015.
8 / 47
Khái niệm định thức
Định nghĩa định thức
Định nghĩa
Cho A = (aij ) ∈ Mn (K ) là ma trận vuông cấp n.
Ta gọi Aij = (−1)i+j Mij là phần bù đại số của
phần tử aij .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
ĐỊNH THỨC
TP. HCM — 2015.
9 / 47
Khái niệm định thức
Định nghĩa định thức
Định nghĩa
Cho A = (aij ) ∈ Mn (K ) là ma trận vuông cấp n.
Ta gọi Aij = (−1)i+j Mij là phần bù đại số của
phần tử aij .
Định nghĩa
(Khai triển theo hàng.) Định thức của ma trận
vuông cấp n A = (aij ) là một số bằng
n
a1j A1j = a11A11 + a12A12 + . . . + a1n A1n .
j=1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
ĐỊNH THỨC
TP. HCM — 2015.
9 / 47
Khái niệm định thức
a11
...
detA = ai1
...
an1
...
...
a1j
...
. . . aij
. . . ...
. . . anj
Định nghĩa định thức
. . . a1n
. . . ...
. . . ain =
. . . ...
. . . ann
n
a1j A1j =
j=1
n
a1j .(−1)1+j M1j .
=
j=1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
ĐỊNH THỨC
TP. HCM — 2015.
10 / 47
Khái niệm định thức
1
Định nghĩa định thức
n = 1, A = (a11 ) ⇒ |A| = a11 .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
ĐỊNH THỨC
TP. HCM — 2015.
11 / 47
Khái niệm định thức
1
2
Định nghĩa định thức
n = 1, A = (a11 ) ⇒ |A| = a11 .
a11 a12
⇒ |A| =
n = 2, A =
a21 a22
(−1)1+1 a11 M11 + (−1)1+2 a12 M12 = a11 a22 − a12 a21 .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
ĐỊNH THỨC
TP. HCM — 2015.
11 / 47
Khái niệm định thức
1
2
3
Định nghĩa định thức
n = 1, A = (a11 ) ⇒ |A| = a11 .
a11 a12
⇒ |A| =
n = 2, A =
a21 a22
(−1)1+1 a11 M11 + (−1)1+2 a12 M12 = a11 a22 − a12 a21 .
a11 a12 a13
n = 3, A = a21 a22 a23 ⇒ |A| =
a31 a32 a33
1+1
(−1) a11 M11 + (−1)1+2 a12 M12 + (−1)1+3 a13 M13
a a
a a
= (−1)1+1 a11 22 23 + (−1)1+2 a12 21 23 +
a32 a33
a31 a33
a a
(−1)1+3 a13 21 22 .
a31 a32
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
ĐỊNH THỨC
TP. HCM — 2015.
11 / 47
Khái niệm định thức
Định nghĩa định thức
Ví dụ
1 2 3
Tính định thức detA với A = 4 2 1
3 1 5
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
ĐỊNH THỨC
TP. HCM — 2015.
12 / 47
Khái niệm định thức
Định nghĩa định thức
Ví dụ
1 2 3
Tính định thức detA với A = 4 2 1
3 1 5
Giải. Khai triển theo hàng 1: |A| = 1.A11 + 2.A12 + 3.A13 .
2 1
A11 = (−1)1+1
= 2.5 − 1.1 = 9,
1 5
4 1
A12 = (−1)1+2
= −(4.5 − 1.3) = −17,
3 5
4 2
= 4.1 − 2.3 = −2.
A13 = (−1)1+3
3 1
Vậy |A| = 1.9 + 2.(−17) + 3.(−2) = −31.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
ĐỊNH THỨC
TP. HCM — 2015.
12 / 47
Khái niệm định thức
Tính chất của định thức
Tính chất của định thức
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
ĐỊNH THỨC
TP. HCM — 2015.
13 / 47
Khái niệm định thức
Tính chất của định thức
Tính chất của định thức
Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo 1
hàng bất kỳ.
a11
...
detA = ai1
...
an1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
...
...
a1j
...
. . . aij
. . . ...
. . . anj
. . . a1n
. . . ...
. . . ain =
. . . ...
. . . ann
ĐỊNH THỨC
n
aij Aij
j=1
TP. HCM — 2015.
13 / 47
Khái niệm định thức
Tính chất của định thức
Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo 1
cột bất kỳ.
a11
...
detA = ai1
...
an1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
...
...
a1j
...
. . . aij
. . . ...
. . . anj
. . . a1n
. . . ...
. . . ain =
. . . ...
. . . ann
ĐỊNH THỨC
n
aij Aij
i=1
TP. HCM — 2015.
14 / 47
Khái niệm định thức
Tính chất của định thức
Chú ý. Để việc tính toán định thức đơn giản thì
ta nên khai triển theo hàng hoặc cột có càng
nhiều số 0 càng tốt.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
ĐỊNH THỨC
TP. HCM — 2015.
15 / 47
Khái niệm định thức
Tính chất của định thức
Chú ý. Để việc tính toán định thức đơn giản thì
ta nên khai triển theo hàng hoặc cột có càng
nhiều số 0 càng tốt.
1 2 3
Tính định thức detA với A = 0 2 0
3 1 5
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
ĐỊNH THỨC
TP. HCM — 2015.
15 / 47
