Câu 1: [2H1-1-4] (THPT TRẦN PHÚ ĐÀ NẴNG – 2018)Cho hình chóp S.ABCD có đáy
ABCD là hình thoi cạnh a , BAD 60 và SA vuông góc với mặt phẳng ABCD
. Góc giữa hai mặt phẳng SBD và ABCD bằng 45 . Gọi M là điểm đối xứng
của C qua B và N là trung điểm của SC . Mặt phẳng MND chia khối chóp
S.ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh S có thể tích V1 ,
khối đa diện còn lại có thể tích V2 (tham khảo hình vẽ bên).
Tính tỉ số
A.
V1
.
V2
V1 12
.
V2 7
B.
V1 5
.
V2 3
C.
V1 1
.
V2 5
D.
V1 7
.
V2 5
Lời giải
Chọn D
Goi O AC BD .
Khi đó góc giữa hai mặt phẳng SBD và ABCD bằng 45 SOA 45 .
BAD đều AO
a 3
a 3 2 a 6
.
SA AO.tan 45
.
2
2
2
4
1
2 a 6 a 2 3 a3 2
Thể tích khối chóp S.ABCD bằng: V SA.2 S ABD .
.
.
3
3 4
4
8
Thể tích khối chóp N.MCD bằng thể tích khối chóp N.ABCD bằng:
1
a3 2
.
V V
2
16
1 1
1 a 6 a 2 3 a3 2
Thể tích khối chóp KMIB bằng: V . SA.S MBI .
.
.
3 3
9 4
8
96
Khi
V1 V V2
Vậy
V2 V V
đó:
a3 2 a3 2 5 2a3
;
16
96
96
a3 2 5 2a3 7a3 2
.
8
96
96
V1 7
.
V2 5
Câu 2: [2H1-1-4] (THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho khối
hộp chữ nhật ABCD.ABCD có thể tích bằng 2110 . Biết AM MA ; DN 3ND
; CP 2PC . Mặt phẳng MNP chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện. Thể
tích khối đa diện nhỏ hơn bằng
A.
7385
.
18
B.
5275
.
12
C.
8440
.
9
D.
5275
.
6
Lời giải
Chọn D
Ta có:
VMNPQ. ABCD
VABCD. ABCD
1 AM CP 1 1 1 5
.
2 AA CC 2 2 3 12
5
5
5275
VABCD . ABC D 2110
. [2H1-1-4] (Chuyên
Hùng
12
12
6
Vương - Phú Thọ - 2018 - BTN) Cho hình thập nhị diện đều (tham khảo hình vẽ
bên). Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng có chung một cạnh của thập nhị diện đều
bằng
Câu 3: Vnho VMNPQ. ABC D
A.
5 1
.
2
B.
5 1
.
4
C.
1
.
5
D.
1
.
2
Lời giải
Chọn C
Bước 1: Lập mối quan hệ giữa bán kính mặt cầu và cạnh khối 12 mặt đều:
Gọi O là tâm khối 12 mặt đều, xét 3 mặt phẳng chung đỉnh A là ABEFC , ACGHD, ABJID
.
Khi đó A.BCD là chóp tam giác đều và OA vuông góc với BCD .
3 1 5
a.
Ta có BC CD DB a 2 a 2 2a 2 cos
2
5
AH AB 2
BC 2
5 1
a.
3
2 3
AB 2
a 3
.
2 AH
5 1
Bước 2: Tính khoảng cách từ tâm một mặt đến cạnh của nó:
Ta có AH .AO AB.AM R AO
A
a
M
B
T
C
E
F
3
a
. AM .
10
2
3
Suy ra MT AM .tan
.
10
Bước 3: Tính góc:
Gọi tâm của các mặt ABEFC và ABJID là T , V .
Có OT , OV vuông góc với hai mặt này nên góc giữa hai mặt bằng góc giữa OT và OV .
Lại có O, T , M , V cùng thuộc một mặt phẳng (trung trực của AB ).
Ta có BAT
O
V
T
M
Có OT TM và OV VM .
2
5 1 a
a 3 a2
3
; MT AM .tan
.
OM OA AM
10
4
2 5 1
5 1
2
Suy ra sin TOM
2
TM
OM
5 1 tan 54
5 1
Vậy cos TOV 1 2sin 2 TOM
.
5 1 1
.
5 5
5