Bài tập trắc nghiệm toán CC2

BÀI TẬP
TOÁN CAO CẤP 2


Đạo hàm riêng và vi phân, Gradient
1/ Cho hàm f ( x, y ) = 3x / y . Tính df (1,1) .
A. 3ln 3(−dx + dy )
B. 3ln 3(2dx − dy )
C. 3ln 3(−dx + 2dy )
D. 3ln 3(dx − dy )
2/ Cho hàm f ( x, y ) =

x+ y
. Tính df (1,1) .
2+ y

A.

1
(−dx + dy ) .
9

B.

1
(3dx − dy )
9

C.

1

(−2dx + dy ) .
3

D.

1
(3dx + dy ) .
9

3/ Hàm hai biến z = xy + xe y

x

có đạo hàm riêng thỏa:

A. yz′x + xzy′ = xy + z
B. xz′x + yz′y = xy + z
C. yz′x + xzy′ = xy − z
D. xz′x + yzy′ = xy − z
4/ Vi phân toàn phần của hàm hai biến z = sin 2 x + cos2 y là:

A. dz = sin ( 2 x ) dx + sin ( 2 y ) dy
B. dz = sin ( 2 x ) dx − sin ( 2 y ) dy
C. dz = cos ( 2 x ) dx − sin ( 2 y ) dy
D. dz = cos ( 2 x ) dx + sin ( 2 y ) dy
5/ Vi phân toàn phần cấp 1 của hàm số z = e y + e x + 1 là:
2


A. dz = e x dx + e y dy .

B. dz = e y dx + e x dy .
C. dz = e x dx − e y dy .
D. dz = e y dx − e x dy .
6/ Tìm vi phân cấp 1 của hàm z = f(x, y) = x2 +4y.
A. dz = 2xdx + 4yln4dy.
B. dz = 2xdx + 4ydy.
C. dz = 2xdx + y4y-1dy.
D. dz = x2dx + y4yln4dy.
7/ Cho

f ( x, y, z) = xy 2 z xy . Giá trị

∂f
(1,3,1) là:
∂x

A. 27.
B. 6.
C. 0.
D. 9.
8/ Cho f ( x, y, z ) = x 2 y + y 2 x + z 2 x + 2 z . Giá trị
A.

ln 2
.
2

B.

ln 2

−2.
2

∂f
1, 2, −1 là:
∂z

(

C. 0.
D.

ln 2
+ 2.
2

9/ Cho hàm f(x,y) = 3x + y3. Tìm ∇f (0,-1).
A. ∇f (0,-1) = (ln3, 3).
B. ∇f (0,-1) = (1, -1).
C. ∇f (0,-1) = (ln3, -3).
D. ∇f (0,-1) = (0, 3).
10/ Cho hàm f(x,y) = ex+2y. Tìm ∇f (1,0).
A. ∇f (1,0) = (e, 2e).
3

)


B. ∇f (1,0) = (e, e).
C. ∇f (1,0) = (e, e2).

D. ∇f (1,0) = (e, 1).
11/ Cho hàm f ( x, y, z ) =

y
xe z . Tìm ∇f (x, y, z).


x
xy 
A. ∇f ( x, y , z ) =  e z , e z , − 2 e z  .
z
y

y

y



z



 yz x yz xy yz 
B. ∇f ( x, y, z ) =  e , e ,
e 
z
z



y
y
 y
C. ∇f ( x, y, z ) =  xe z , xye z , xze z  .




y
y
 y
z
z
D. ∇f ( x, y, z ) =  e , xe , xe z  .





12/ Cho hàm f ( x, y ) = x + x cos y. Tìm ∇ f (x, y).
2

2

(
B. ∇f ( x, y ) = ( 2 x + cos
C. ∇f ( x, y ) = ( 2 x + cos
D. ∇f ( x, y ) = ( 2 x + cos

A. ∇f ( x, y ) = 2 x + cos y, − x sin(2 y )

2

)

)

2

y, x sin(2 y )

2

y − x sin(2 y ), − x sin(2 y ) .

2

y, −2 x sin(2 y ) .

)

)

13/ Cho hàm hai biến z = sin ( xy ) . Tính z′′xy .
A. z′′xy = cos ( xy ) − xy sin ( xy ) .
B. z′′xy = cos ( xy ) + xy sin ( xy ) .
C. z′′xy = cos ( xy ) − y sin ( xy ) .
D. z′′xy = cos ( xy ) − x sin ( xy ) .
14/ Cho hàm hai biến z = e 2 x − y . Kết quả nào sau đây sai?
A. z′′xy = 2e 2 x − y .
4

B. z′′yy = e 2x − y .
C. z′′xy = −2e 2 x − y .
D. z′′xx = 4e2 x − y .
15/ Cho hàm hai biến z = sin ( x + y ) . Tính đạo hàm riêng z x( 63 )y3 ?
A. z x( 63 )y3 = − sin ( x + y ) .
B. z x( 63 )y3 = sin ( x + y ) .
C. z x( 3 )y3 = − cos ( x + y ) .
6

D. z x( 63 )y3 = cos ( x + y ) .
16/ Tìm vi phân cấp hai của hàm hai biến z = 3 x3 + 4 xy 2 − 2 y 3 .
A. d 2 z = 18 xdx 2 + 16 ydxdy + ( 8 x − 12 y ) dy 2
B. d 2 z = 18 xdx 2 + 8 ydxdy + ( 8 x − 12 y ) dy 2
C. d 2 z = 18 xdx 2 + 16 ydxdy + ( 8 x − 6 y ) dy 2
D. d 2 z = 9 xdx 2 + 16 ydxdy + ( 8 x − 12 y ) dy 2
17/ Tìm vi phân cấp hai của hàm hai biến z = x 2 + x sin 2 y.
A. d 2 z = 2dx 2 + 2sin ( 2 y ) dxdy + 2 x cos ( 2 y ) dy 2
B. d 2 z = 2dx 2 + 2 x cos ( 2 y ) dy 2
C. d 2 z = 2dx 2 + 2sin ( 2 y ) dxdy + 2 x sin ( 2 y ) dy 2
D. d 2 z = 2dx 2 + 2sin ( 2 y ) dxdy − 2 x cos ( 2 y ) dy 2
18/ Cho hàm f ( x, y ) = x 2e2 y . Tính d 2 f (1, 0) .
A. 2dx 2 + 8dxdy + 4dy 2
B. 2dx 2 + 4dxdy + 4dy 2
C. 2dx 2 + 10dxdy + 4dy 2
D. 2dx 2 + 5dxdy + 4dy 2
19/ Cho hàm f ( x, y ) = y ln x . Tính d 2 f (1, 2) .
A. 2 ( −dx 2 + dxdy )
5

1
B. − dx 2 + dxdy
2
C. 2dx 2 − dxdy
D. −2dx 2 + dxdy .
20/ Vi phân toàn phần cấp 2 của hàm số z = ye x + xe y là:
A. d 2 z = ye x dx 2 + 2(e x + e y )dxdy + xe y dy 2
B. d 2 z = ye x dx 2 + (e x + e y )dxdy + xe y dy 2
C. d 2 z = xe x dx 2 + 2(e x + e y )dxdy + ye y dy 2
D. d 2 z = ye x dx 2 − 2(e x + e y )dxdy + xe y dy 2
21/ Tìm vi phân cấp 2 của hàm z = x + x sin y.
2

2

A. d z = 2sin(2 y )dxdy + 2dx + 2 x cos(2 y )dy .
2

2

2

B. d z = 2dx − 2sin(2 y )dxdy − 2 x cos(2 y )dy .
2

2

2

C. d z = 2sin(2 y )dxdy − 2 x cos(2 y )dy + 2dx .
2

2

2

D. d z = 2dx + sin(2 y )dxdy + 2 x cos(2 y )dy .
2

2

2

22/ Tìm zxy(0, π/2) của hàm z = cos( xy − cos y ) .

π
 π
=− .
2
 2

A. z xy  0,

 π
 = 0.
 2

B. z xy  0,

 π π
= .
 2 2

C. z xy  0,

 π
 = 1.
 2

D. z xy  0,

23/ Cho f ( x, y ) = xy ln x . Biểu thức d2f(1, 2) là:
A. d 2 f (1, 2) = 2dx 2 + 2dxdy
B. d 2 f (1, 2) = 2dx 2 + dxdy
C. d 2 f (1, 2) = 2dx 2
6


D. d 2 f (1, 2) = dx 2 + 2dxdy + dy 2
24/ Cho hàm f ( x, y ) = 2 x 2e xy − xy + 2 x + 1 . Tính

A.

∂f
= 2 x 3e xy − x .
∂y

B.

∂f
= 2 x 2 ye xy − x .
∂y

C.

∂f
= 4 xye xy − x .
∂y

D.

∂f
= 4 xe xy − x .
∂y

25/ Cho f ( x, y ) =

∂f
.
∂y

e xy
∂f
Tính (1,1) .
y
∂y
x +y

A.

∂f
e
(1,1) = .
∂y
4

C.

∂f
e
(1,1) = .
∂y
2

B.

∂f
(1,1) = e .
∂y

D.

∂f
e
(1,1) = .
∂y
3

26/ Cho hàm số z = x 2 y + cos( xy ) + y . Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. z′y = 2 xy + sin( xy ) + 1 .
B. z′y = 2 xy − y sin( xy ) + 1 .
C. z′y = x 2 − x sin( xy ) + 1 .
D. z′y = x 2 + x sin( xy ) + 1 .

)

(

27/ Cho z ( x, y ) = ln x + x 2 + y 2 . Hãy tính z’x.
A.

∂z
=
∂x

x + y2

B.

∂z
=
∂x

x + y2

C.

∂z

=
∂x

x + y2

1
2

−1
2

2x
2

.

.

.

7


D.

∂z
=
∂x

28/ Hãy tính

x
x + y2
2

.

∂2 f
với f ( x, y ) = xy sin 2 x .
∂x∂y

∂2 f
A.
= sin 2 x + x sin(2 x) .
∂x∂y
B.

∂2 f
= sin 2 x + sin(2 x) .
∂x∂y

C.

∂2 f
= sin x(sin x + x) .
∂x∂y

D.

∂2 f

= sin x + x sin(2 x) .
∂x∂y

29/ Tìm đạo hàm riêng cấp hai

A.

∂2 z
= − y sin x .
∂x 2

B.

∂2 z
= y sin x .
∂x 2

C.

∂2 z
= e y + y cos x .
2
∂x

D.

∂2 z
= e y − y sin x .
2
∂x

∂2 z
của hàm z = xe y + y 2 + y sin x .
∂x 2

30/ Cho hàm hai biến z = e x+ 2 y . Kết quả nào sau đây đúng?
(1)

∂2 z
= e x+ 2 y .
∂x 2

(2)

∂2 z
= 4e x + 2 y .
∂y 2

(3)

A. (1), (2) và (3) đúng.
B. (1) đúng, (2) và (3) sai.
C. (1) và (2) đúng, (3) sai.
D. (1) và (3) đúng, (2) sai.
31/ Tìm đạo hàm riêng z ′′xy của hàm z = ln( x 4 + y 2 + 1) .
A. z′′xy = 0 .

8

∂2 z

= 2e x + 2 y .
∂x∂y


B. z′′xy = −
C. z′′xy =

8x3 y
.
( x 4 + y 2 + 1) 2

8x3 y
.
( x 4 + y 2 + 1)2

D. z′′xy = −

16 x 3 y
.
( x 4 + y 2 + 1) 2

 π
32/ Tìm đạo hàm riêng cấp hai z′′xy  0,  của hàm z = cos( xy − cos y ) .
 2
 π
A. z′′xy  0,  = 0 .
 2

 π π
C. z′′xy  0,  = .

 2 2

π
 π
B. z′′xy  0,  = − .
2
 2

 π
D. z′′xy  0,  = 1 .
 2

33/ Tìm vi phân của hàm z = x 2 - 2 xy + sin ( xy ) .
A. dz = ( 2 x - 2 y + y cos ( xy ) ) dx .
B. dz = ( -2 x + x cos ( xy ) ) dy .
C. dz = ( 2 x - 2 y + y cos ( xy ) ) dx + ( -2 x + x cos ( xy ) ) dy .
D. dz = ( 2 x - 2 y + cos ( xy ) ) dx + ( -2 x + cos ( xy ) ) dy .
y
34/ Tìm vi phân cấp hai của hàm z = xe .

A. d 2 z = e y dx 2 + e y dxdy + xe y dy 2 .
B. d z = e dxdy + xe dy .
2

y

y

2

C. d 2 z = e y dx 2 + 2e y dxdy + xe y dy 2 .
2
y
y
2
D. d z = 2e dxdy + xe dy .

35/Tìm vi phân cấp hai của hàm z = e

xy

tại M 0 (1, 2) .

A. d 2 z (1, 2) = e 2 (4dx 2 + 6dxdy + dy 2 ) .
B. d 2 z (1, 2) = e 2 (4dx 2 + 6dxdy + 4dy 2 ) .
C. d z (1, 2) = e (4dx + 3dxdy + 4dy ) .
2

2

2

2

D. d 2 z (1, 2) = e 2 (4dx 2 + 3dxdy + dy 2 ) .

9


Đạo hàm riêng đối với hàm hợp, hàm ẩn

1/ Cho hàm z = uev trong đó u = u ( x, y ) , v = v ( x, y ) . Đạo hàm riêng z ′x được tính theo công
thức nào sau đây:
A. z′x = ev u′x + uev v′x
B. z ′x = uev u ′x + ev v′x
C. z ′x = v′x + e v u ′x
D. z′x = u ′x ev v′x
y
dz
2/ Hàm hợp z = x + sin( ) với y = x 2 có đạo hàm riêng z′x và
lần lượt là:
x
dx
A. z′x = 1 +

y
y dz
cos( ),
= 1 − cos x
2
x dx
x

B. z′x = 1 −

y
y dz
cos( ),
= 1 − cos x
2
x dx

x

C. z′x = 1 +

y
y dz
cos( ),
= 1 + cos x
2
x dx
x

D. z′x = 1 −

y
y dz
cos( ),
= 1 + cos x
2
x dx
x

u
3/ Hàm hợp z = arctan( ) với u = x sin y , v = x cos y có đạo hàm riêng:
v
A. z′x = 1, z′y = 0
B. z′x = 0, z′y = 1
C. z′x = 0, z′y = 0
D. z′x = 1, z′y = 1
4/ Hàm ẩn y = y( x ) xác định từ phương trình xe y + ye x − e xy = 0 có:

A. y′( x ) =

xe xy − xe x − e y
ye y + e x − ye xy

B. y′( x ) =

xe y + e x − xe xy
ye xy − ye x − e y

C. y′( x ) =

ye xy − ye x − e y
xe y + e x − xe xy

D. y′( x ) =

ye xy − ye x − e y
ye y − e x − ye xy

5/ Hàm ẩn z = z( x , y ) xác định từ phương trình e z − xyz = 0 có các đạo hàm riêng:
A. z′x =

yz
xz
, z′y = z
.
e − xy
e − xy
z

10


B. z′x =

− yz
xz
, z′y = z
.
e − xy
e − xy

C. z′x =

yz
xz
, z′y =
.
z
xy − e
xy − e z

D. z′x =

z
z
, z′y =
.
x ( z − 1)

y( z − 1)

z

6/ Tính vi phân toàn phần cấp 1 của hàm số: z = x 3 + y 3 .
A. dz =
B. dz =
C. dz =

2x 2
3 x3 + y 3
3x 2
2 x3 + y 3

dx+

dx+

3x 2
2( x 3 + y 3 )2

D. dz = −

3x 2
2 x3 + y 3

2 y2
3 x3 + y 3
3y2
2 x3 + y 3

dx+

dx -

dy

dy

3y2
2( x 3 + y 3 )2
3y2
2 x3 + y 3

dy

dy

7/ Cho f ( x, y ) = xy sin(2 y ) , với y = e x + x . Tính

df
.
dx

A. y sin(2 y ) + x ( sin(2 y) + 2 y cos(2 y ) ) (e x + 1) .
B. y sin(2 y ) .
C. x ( sin(2 y) + 2 y cos(2 y ) ) .
D. y sin(2 y) + x ( sin(2 y) + 2 y cos(2 y ) ) .
8/ Tìm

y
∂f
2
2
2
biết f (u , v) = u sin v, u = x + y , v = .
∂x
x
∂f
yu 2
= 4 xu sin v − 2 cos v.
∂x
x
∂f
yu 2
= 2 xu sin v − 2 cos v.
B.
∂x
x
∂f
yu 2
= −4 xu sin v − 2 cos v.
C.
∂x
x
∂f
yu 2
= 4 xu sin v + 2 cos v.
D.
∂x

x
A.

9/ Cho các hàm: u =

r 2 + s 2 , r = y + x cos z , s = x + y sin z. Giá trị của đạo hàm riêng

tại x=1, y=2, z= 0 là:
11

∂u
∂x


4
10
3
B.
10

1
10
2
D.
.
10

A.

C.

10/ Hàm ẩn y = y( x ) xác định từ phương trình cos( x − y ) = xe y có y’(x) là:

sin( x − y ) + e y
A. y '( x) =
.
sin( x − y ) − xe y
B. y '( x) = −

sin( x − y) + e y
.
sin( x − y ) − xe y

sin( x − y) − e y
C. y '( x) = −
.
sin( x − y ) − xe y
D. y '( x) =

sin( x − y ) + e y
.
sin( x − y ) + xe y

11/ Cho hàm z = u sin ( v ) trong đó u = u ( x, y ) , v = v ( x, y ) . Đạo hàm riêng z ′x được tính theo
công thức nào sau đây:
A. z′x = sin ( v ) u′x + u cos ( v ) v′x
B. z′x = sin ( v ) u ′x − u cos ( v ) v′x
C. z′x = sin ( v ) v′x + u cos ( v ) u ′x
D. z′x = u ′x cos ( v ) v′x
12/ Cho hàm số z = z ( x, y ) xác định từ phương trình z 3 − 4 xz + y 2 − 4 = 0 . Tính z′x , z′y tại

M 0 (1, −2, 2) .
A. z′x = 1, z ′y =

C. z′x = 0, z ′y = −1 .

1
.
2

1
D. z′x = , z ′y = 1 .
2

B. z ′x = 0, z ′y = 1 .
13/ Tính f x′ , biết f (u , v) = u 2 sin v, u = x 2 + y 2 , v =
A. f x′ = 4 xu sin v −
B. f x′ = xu sin v −

yu 2
cos v .
x2

y
.
x
C. f x′ = 4 xu sin v +

yu 2
cos v .
x2

D. f x′ = 2u sin v + u 2 cos v .

yu 2
cos v .
x2

12


Cực trị tự do
1/ Cho hàm hai biến z = − x 2 + 4 x − 4 y 2 + 4 y + 4. Khẳng định nào sau đây đúng:
 1
A. z đạt cực đại tại M  2;  .
 2
 1
B. z đạt cực tiểu tại M  2; 
 2
C. z không có điểm dừng.
D. z không có cực trị.
2/ Cho hàm hai biến z = x 2 − 4 x + 4 y 2 − 8 y + 3. Khẳng định nào sau đây đúng:
A. z đạt cực tiểu tại M ( 2;1) .
B. z đạt cực đại tại M ( 2;1) .
C. z có một điểm dừng là M (1;2 ) .
D. z không có cực trị.
3/ Cho hàm số z = x 3 − y 2 − 3 x + 6 y . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại M(1,3).
B. Hàm số đạt cực tiểu tại N (−1, 3)
C. Hàm số có hai điểm dừng.
D. Hàm số không có điểm dừng.

4/ Với hàm số z = xe y + 5 , khẳng định nào sau đây đúng?
A. M(0,1) là điểm dừng.
B. M(1,0) là điểm dừng.
C. M(0,0) là điểm dừng.
D. Không có điểm dừng.
5/ Cho hàm số z = xe y + ye x + 2 và điểm M(-1,-1). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. M là điểm cực đại.
B. M không là điểm dừng.
C. M là điểm cực tiểu.
D. M là điểm dừng nhưng không là điểm cực trị.
13


6/ Cho hàm số z = 4( x − y ) − x 2 − y 2 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đạt giá trị cực đại là ZCD=8.
B. Hàm số đạt giá trị cực tiểu là ZCT=8.
C. Hàm số không có giá trị cực đại hay cực tiểu.
D. Hàm số đạt giá trị cực đại là ZCD=9.
7/ Cho hàm số z = 2 x 3 − xy 2 + 5 x 2 + y 2 + 2 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại O(0,0).
B. Hàm số đạt cực tiểu tại O(0,0).
C. Hàm số đạt cực tiểu tại N(1,0).
D. Hàm số không có cực trị.
8/ Cho hàm số z = − x − y + xe y + 5 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại M(1,0).
B. Hàm số đạt cực tiểu tại M(1,0).
C. Hàm số không có cực trị.
D. Hàm số đạt cực đại tại M(1,1).
9/ Hàm hai biến z = x 3 + 2 xy − 8 y 3 :
1 1

1
A. Đạt cực đại tại M ( , − ) và z ( M ) = −
.
3 6
27
B. Đạt cực tiểu tại M (0, 0) và z ( M ) = 0 .
1 1
1
C. Đạt cực tiểu tại M ( , − ) và z ( M ) = −
.
3 6
27
D. Không có cực trị.
10/ Tìm cực trị của hàm số: f ( x, y ) = x 2 + xy + y 2 − 3 x − 6 y .
A. f đạt cực tiểu tại (0,3).
B. f đạt cực đại tại (0,3).
C. f không có cực trị.
D. f có điểm dừng là (0,3) nhưng điểm này không là cực trị.
11/ Cho hàm z = x4 - 8x2 +y2 + 5. Và các điểm I(0,0), J(2,0), K(-2,0), L(1,1). Khẳng định nào sau
đây đúng?
A. z đạt cực tiểu tại J, K.
B. z đạt cực đại tại I, L.
14


C. z đạt cực tiểu tại J, K và đạt cực đại tại I, L.
D. z đạt cực tiểu tại I, J, K.
12/ Cho hàm z = x3 + y2 + 27x + 2y + 1. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z không có cực trị.
B. z có 2 điểm dừng.

C. z đạt cực tiểu tại A(3,-1).
D. z đạt cực trị tại A(3,-1) và B(-3,-1).
13/ Xét hàm số f ( x, y ) = − x + xy + y + x − y + 5 . Khẳng định nào sau đây đúng?
2

2

A. f đạt cực tiểu tại (3/5, 1/5).
B. f đạt cực đại tại (3/5, 1/5)
C. f đạt cực tiểu tại (1/5, 3/5).
D. f không có cực trị.
14/ Xét hàm số f ( x, y, z ) = x +

y z 1
+ + . Điểm dừng của hàm số này là những điểm nào
x y z

trong các điểm sau: M(0;0;0), N(1;1;1), P(-1; 1; -1), Q(1; -1; 1)?
A. Cả 4 điểm.
B. P và Q.
C. N và P.
D. M, N và P.
15/ Xét hàm số z = x2 – y4 - 2x + 32y. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z không có cực trị.
B. z đạt cực tiểu tại M(1,2).
C. z không có điểm dừng.
D. z đạt cực đại tại M(1,2).
16/ Điểm dừng của hàm f ( x, y ) = ( x − 1) 2 + 2 y là:
2

A. (1,0).
B. (0,1).
C. (0,0).
D. (1,1).
17/ Tìm điểm dừng của hàm f(x,y) = ysinx.
A. x= kπ , y = 0 , ∀k ∈ Z
15


B. x = k

π
, y = 0 , ∀k ∈ Z
2

C. x = k

π
, y = 0 ∀k ∈ Z
3

D. x= k

π
,y = 0, ∀k ∈ Z
4

18/ Tìm giá trị cực đại M của hàm f ( x, y ) = 4( x − y ) − x 2 − y 2 .
A. M= 8.
B. M= 9.

C. M = 10.
D. M= 7.
19/ Tìm giá trị cực trị M của hàm f ( x, y ) = x 2 + xy + y 2 − 3 x − 6 y .
A. M= -9.
B. M = -10.
C. M= -8.
D. M = -11.
20/ Cho hàm z = x 2 − y 4 − 2 x + 32 y . Khẳng định nào sau đây đúng?
A.z đạt cực tiểu tại M(1,2).
B. z đạt cực đại tại M(2,1).
C. z không có điểm dừng.
D. z không có cực trị.
21/ Cho hàm z = x 2 - 2 y + y 2 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z đạt cực đại tại (0,1).
B. z đạt cực tiểu tại (0,1).
C. z có một cực đại và một cực tiểu.
D. z không có cực trị.
22/ Cho hàm z = 3 x 2 -12 x + 2 y 3 + 3 y 2 -12 y . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z có một cực đại và một cực tiểu.
B. z chỉ có một cực đại.
C. z không có điểm dừng.
D. z chỉ có một cực tiểu.
16


23/ Tìm cực trị của hàm z = x 2 - 4 x + 4 y 2 - 8 y + 3 .
A. z đạt cực tiểu tại (2,1).
B. z đạt cực đại tại (2,1).
C. z có một điểm dừng là (1,2).
D. z không có cực trị.

24/ Tìm cực trị của hàm z = - x 2 + 4 xy -10 y 2 - 2 x + 16 y .
A. z đạt cực tiểu tại (1,1).
B. z đạt cực đại tại (1,1).
C. z đạt cực tiểu tại (-1,-1).
D. z đạt cực đại tại (-1,-1).
25/ Cho hàm z = x 2 - y - ln y - 2 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. z đạt cực tiểu tại (0,-1).
B. z đạt cực đại tại (0,-1).
C. z luôn có các đạo hàm riêng trên ¡ 2 .
D. z có điểm dừng nhưng không có cực trị.

17


Cực trị có điều kiện
1/ Tìm cực trị của z = x 2 ( y − 1) − 3 x + 2 thỏa điều kiện x − y + 1 = 0 .
A. z đạt cực đại tại A(−1;0) và đạt cực tiểu tại B(1;2) .
B. z đạt cực tiểu tại A(−1;0) và đạt cực đại tại B(1;2) .
C. z đạt cực đại tại A(−1;0) và B(1;2) .
D. z đạt cực tiểu tại A(−1;0) và B(1;2) .
2/ Tìm cực trị của hàm hai biến z =

x3
− 3 x + y − 3 thỏa điều kiện − x 2 + y + 4 = 0 .
3

A. z đạt cực tiểu tại A(1; −3) và đạt cực đại tại B(−3;5) .
B. z đạt cực đại tại A(1; −3) và đạt cực tiểu tại B(−3;5) .
C. z đạt cực tiểu tại A(1; −3) và B(−3;5) .
D. z đạt cực đại tại A(1; −3) và B(−3;5) .

3/ Tìm cực trị của hàm z = 2x2 + y2 - 2y – 2 thỏa điều kiện y – x +1 = 0.
A. z đạt cực tiểu tại (2/3, -1/3).
B. z đạt cực đại tại (2/3, -1/3).
C. z có 1 điểm dừng và không có cực trị.
D. z không có điểm dừng.
4/ Tìm cực trị của hàm hàm z = x2(y+1) - 3x + 2 thỏa điều kiện x + y + 1 =0.
A. z không có cực trị.
B. z đạt cực đại tại (-1,0) và (1,-2).
C. z đạt cực tiểu tại (-1,0) và (1,-2).
D. z đạt cực đại tại (-1,0) và cực tiểu tại (1,-2).
5/ Tìm cực trị của hàm z = xy thỏa điều kiện x + y − 1 = 0 .
A. z không có cực trị.
1 1
B. z đạt cực đại tại  ,  .
2 2
1 1
C. z đạt cực tiểu tại  ,  .
2 2
 −1 −1 
D. z đạt cực tiểu tại  ,  .
 2 2 
18


6/ Tìm cực trị của hàm z = 2 x 2 + y 2 - 2 y - 2 thỏa điều kiện - x + y + 1 = 0 .
 2 1
A. z đạt cực tiểu tại  , −  .
 3 3
 2 1
B. z đạt cực đại tại  , −  .

 3 3
1 2
C. z đạt cực đại tại (1,0) và  , −  .
3 3
1 2
D. z đạt cực tiểu tại (1,0) và  , −  .
3 3
7/ Tìm cực trị của hàm z =

x3
- 3 x + y thỏa điều kiện - x 2 + y = 1 .
3

A. z đạt cực đại tại (-3,10) và (1,2).
B. z đạt cực tiểu tại (-3,10) và (1,2).
C. z đạt cực đại tại (-3,10) và đạt cực tiểu tại (1,2).
D. z đạt cực tiểu tại (-3,10) và đạt cực đại tại (1,2).
8/ Tìm cực trị của hàm z = x 2 + y 2 thỏa điều kiện x + y = 1 .
1 1
A. z đạt cực đại tại  ,  .
2 2
1 1
B. z đạt cực tiểu tại  ,  .
2 2
C. z không có cực trị.
 −1 −1 
D. z đạt cực tiểu tại  ,  .
 2 2 

19

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
1/ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm z = − x + 2 y + 3 trên tập D = [ 0;1] × [ 0;1] .
A. Giá trị lớn nhất của z là 5 và nhỏ nhất là 2.
B. Giá trị lớn nhất của z là 5 và nhỏ nhất là 3.
C. Giá trị lớn nhất của z là 4 và nhỏ nhất là 3.
D. Giá trị lớn nhất của z là 4 và nhỏ nhất là 2.
2/ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm z = x + 2 xy + 3 y − 6 trên tập D = [ 0;1] × [ 0; 2] .
A. Giá trị lớn nhất của z là 5 và nhỏ nhất là -6.
B. Giá trị lớn nhất của z là 5 và nhỏ nhất là -5.
C. Giá trị lớn nhất của z là 0 và nhỏ nhất là -6.
D. Giá trị lớn nhất của z là 0 và nhỏ nhất là -5.
3/ Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm z = lnx - 2y trong miền D = [½,1]×[0,1].
A. m = ln(½) – 2.
B. m = ln(½).
C. m= 0.
D. m = -ln(½) – 2.
4/ Xét hàm z = x + 2xy +3y - 6 trong miền D = [0,1]×[1,2] và những phát biểu sau:
(1) z đạt giá trị lớn nhất bằng 5 tại M(1,2).
(2) z đạt giá trị nhỏ nhất bằng -3 tại N(0,1).
(3) z có điểm dừng P(-3/2, -1/2).
Các phát biểu nào ở trên là đúng?
A. (1) và (2).
B. (1) và (3).
C. (2) và (3).
D. (1), (2) và (3).
5/ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm z = x 2 − 2 x − y + 4 trên tập D = [ 0;1] × [ 0;1] .
A. Giá trị lớn nhất của z là 4 và nhỏ nhất là 2.
B. Giá trị lớn nhất của z là 4 và nhỏ nhất là 3.

C. Giá trị lớn nhất của z là 3 và nhỏ nhất là 2.
D. Giá trị lớn nhất của z là 5 và nhỏ nhất là 2.
20


6/ Xét hàm z = x 3 − y 3 + 5 trên miền D = [0,1] × [1, 2] . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Giá trị nhỏ nhất của z là -3.
B. Giá trị lớn nhất của z là 6.
C. Giá trị nhỏ nhất của z là -2.
D. Giá trị lớn nhất của z là 4.
7/ Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm z = x 2 y 2 trong miền −1 ≤ x ≤ 1 ,
−1 ≤ y ≤ 1 .
A. m=-1, M=0.
B. m=-1, M=1.
C. m=0, M=1
D. m=-1, M=1.
8/ Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm z = x 2 + 2 x + 2 y + 4 trong miền
− 2 ≤ x ≤ 1 , −1 ≤ y ≤ 1 .
A. M=9, m=1.
B. M=8, m=-1.
C. M=10, m=2.
D. M=12, m=-2.
9/ Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm z = 2 x 2 + y 2 - 2 trên D = [0,1] × [1, 2] .
A. M=1, m=0.
B. M=5, m=-3.
C. M=3, m=-2
D. M=4, m=-2.
10/ Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm z = x 2 − y 2 trên D : x 2 + y 2 ≤ 4 .
A. M=4, m=0.
B. M=4, m=-2.

C. M=2, m=-2.
D. M=4, m=-4.

21


Tính tích phân kép
1/ Tính tích phân I =

dxdy

∫∫ ( x + y )

2

với D : {( x, y) | 3 ≤ x ≤ 5;1 ≤ y ≤ 2}

D

A. I = ln

15
.
14

B. I = ln

14
.
15

4
C. I = ln .
5
D. I = ln

5
4

2/ Tính tích phân I =

∫∫ (x

2

+y2 )dxdy với D = [−1,1] × [0,3] .

D

A. I=20.
B. I=13.
C. I= 6.
D. I=30.
0 ≤ x ≤ 4
3/ Tính tích phân I = ∫∫ x ln ydxdy với D : 
.
0 ≤ y ≤ e
D
A. I = 0.
B. I = e.

C. I = 1.
D. I = 8.
4/ Tính tích phân I = ∫ dx ∫
2

1

A. I =

28
.
3

B. I =

20
.
3

C. I =

4
.
3

2x

x

( x + 2 y ) dy .

D. I = 12 .
22


4

2x

∫ ∫

5/ Tính tích phân I = dx

y
dy .
x

2

x

2

ln y

A. I = 9.
B. I =

3
.

2

C. I = 18.
D. I = 12.

∫ ∫ e dx .

6/ Tính tích phân I = dy
1

A. I =

1
.
2

B. I =

3
.
2

x

0

C. I = 2 .
D. I = e .
2

7/ Tính I =

∫∫ ( 2 x − 3) dxdy .

x + y 2 ≤1
2

A. I = −3π .
B. I = 3π .
C. I = −

3π
.
2

D. I = −π .
8/ Tính I =

∫∫ ( 3 − 2 y ) dxdy .

x 2 + y 2 ≤ 4, x ≥ 0

A. I = 6π .
B. I = 3π .
C. I = 12π .
D. I = 2π .

23

∫∫

9/ Tính I =

x 2 + y 2 dxdy .

x2 + y 2 ≤ 4

A. I =

16π
.
3

B. I = 16π .
C. I = 2π .
D. I = 4π .

∫∫

10/ Tính I =

3 ydxdy .

x 2 + y 2 ≤ 4, y ≥ 0

A. I = 16 .
B. I = 8 .
C. I = 12 .
D. I = 0 .

11/ Tính I = ∫∫ 12 ydxdy với D là miền phẳng kín giới hạn bởi các đường x = y 2 , x = y.
D

A. I = 1 .
B. I = 4 .
C. I =

3
.
20

D. I =

20
.
3

12/ Tính tích phân I =

∫∫ ( x

2

+ y)dxdy với D là miền giới hạn bởi các đường:

D

x
x
y = − − 1; y = + 1; x = 0.

2
2
A. I =

4
.
3

B. I =

1
.
3

C. I =

2
.
3

D. I =

8
.
3

24


13/ Tính tích phân I =

∫∫ (2 x

2

− 8 xy)dxdy với D là hình tam giác MNP có các đỉnh:

D

M(-1,-2); N(-1,0); P(3,0).
A. I = 8.
B. I = 6.
C. I = 2.
D. I = 9.
14/ Tính I = ∫∫ dxdy với D là miền giới hạn bởi các đường y=x-1; x = y2.
D

A.

13 5
.
6

B.

5 5
.
6

C.

13 5
.
8

D.

17 5
.
8

15/ Tính tích phân I =

ln y

∫∫ x + 1 dxdy , với D là miền xác định bởi: x = 0, x = 1, y = 1, y = e.
D

A. I = ln 2.
B. I = e ln 2.
C. I = 0.
D. I =

1
ln 2.
e

25