Đề thi HSG lớp 9 năm học 2018 2019 (1)

UBND HUYỆN THANH SƠN
PHÒNG GD &ĐT

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN

Năm học: 2018 - 2019
Môn: Toán
Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề có 02 trang)
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm).
Hãy chọn các phương án trả lời đúng rồi ghi vào bài làm
Câu 1. Cho a > b > 0 thỏa mãn 2a2 + 2b2 = 5ab. Giá trị của biểu thức P =
A.1

B. 2

C. 3



a − a 

Câu 2. Cho biểu thức P =  2 −
÷1 +
a − 1 ÷



a+b
bằng:
a−b

D. 5

a + 2 a +1
÷+ 4 a . Giá trị lớn nhất của P là:
a + 1 ÷

A. 0
B. 4
C. 8
D. 10
Câu 3. Cho x = 3 5 + 2 6 + 3 5 − 2 6 . Giá trị của biểu thức A = x3 − 3 x + 2009 bằng:
A. 2019
B. 2020
C. 2018
D. 2017
Câu 4. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x − 4 x + 2 bằng:
B. – 2
C. −3
D. − 6
A. −4 2
Câu 5. Giá trị x = 3 2 + 5 + 3 2 − 5 là nghiệm của phương trình:
A. x3 + 3x + 4 = 0
B. x3 + 3x − 4 = 0
C. x3 − 3x − 4 = 0
D. x 2 − x = 0
Câu 6. Biết ( x + x 2 + 2018)( y + y 2 + 2018) = 2018 thì giá trị x 2019 + y 2019 bằng:

A. 2018
B. 1
C. 4036
D. 0
2
Câu 7. Cặp số (x; y) thỏa mãn phương trình 3x – 6x + y – 2 = 0 để y đạt giá trị lớn nhất
là:
A. (1; 5)
B. (-1; 5)
C. (1; -5)
D. (5; 1)
Câu 8. Giá trị x thỏa mãn 2 x − 1 − 5 < 2 là:
1
1
1
A. x < 25
B. ≤ x < 4
C. x ≥
D. ≤ x < 25
2

2

2

Câu 9. Cho a, b, c dương thỏa mãn a a + b b + c c = 3 abc . Giá trị của biểu thức



P =  1 +



A. 0

a 
 1 +
b 

b 
 1 +
c 

c
 bằng:
a 

B. 2

C. 8

D. 27

Câu 10. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, có AH = 12 cm và tanB =
Khi đó độ dài đoạn HB bằng:
24
A. 16 cm
cm
B.

C. 8 cm

3
.
4

D. 9 cm

3

Câu 11. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Gọi D và E lần lượt là hình
chiếu vuông góc của H trên cạnh AB, AC . Biết BH = 4 cm , CH = 9 cm . Khi đó độ dài
đoạn thẳng DE là:
A. 36 cm
B. 6 cm
C. 13 cm
D. 5 cm
Câu 12. Cho hình thang ABCD vuông tại A và D , biết AB = 4 cm , AD = 6 cm , hai
đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Khi đó diện tích hình thang ABCD là:

1


A. 24 cm 2
B. 30 cm 2
C. 39 cm 2
D. 40 cm 2
Câu 13. Cho tam giác ABC, đường phân giác AD, AB = 4cm, AC = 6cm. Điểm O chia
trong đoạn AD theo tỉ số 2:1. Gọi K là giao điểm của BO và AC. Tỉ số
A.

2
3

B.

1
2

C.

3
4

AK
bằng:
KC
4
D.
5

Câu 14. Cho tam giác vuông có chu vi 72cm, hiệu giữa đường trung tuyến và đường cao
ứng với cạnh huyền bằng 7cm. Diện tích tam giác vuông đó là:
A. 72 cm 2
B. 112 cm 2
C. 144 cm 2
D. 162 cm 2
Câu 15. Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm. Biết hai đường trung tuyến từ đỉnh
B và C vuông góc với nhau. Khi đó độ dài cạnh BC là:
A. 10 cm

D. 12 cm
B. 2 5 cm
C. 2 3 cm
Câu 16. Một cột đèn cao 7m có bóng trên mặt đất dài 4m.
Gần cột đèn có một tòa nhà cao tầng có bóng trên mặt đất là 80m.
Biết mỗi tầng cao 2m thì số tầng của tòa nhà là:
A. 80
B. 70
C. 32
D. 28
7m

II. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm).

80m
4m

Câu 17 (3,0 điểm).
a) Tìm số tự nhiên n để ( n 2 − 8 ) + 36 có giá trị là số nguyên tố.
2

b) Cho số nguyên dương n thỏa mãn n và 10 là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng
4
minh rằng ( n − 1) M40.
Câu 18 (3,0 điểm). Cho biểu thức A =

x2 − x
2 x + x 2 ( x − 1)
−
+

x + x +1
x
x −1

a) Rút gọn biểu thức A;
b) Tìm x để biểu thức B =

2 x
nhận giá trị là một số nguyên.
A

Câu 19 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH = 12cm,
BC = 25cm.Vẽ trung tuyến AM.
a) Tính ·AMH (làm tròn kết quả đến phút);
b) Tính diện tích tam giác AHM.
Câu 20 (3,0 điểm). Cho tam ABC cân tại A, AH là đường cao, gọi D là trung điểm của
đoạn thẳng AH. Vẽ HE vuông góc với CD tại E. Chứng minh rằng ·AEB = 900 .
Câu 21 (1,0 điểm). Cho a, b, c dương, thỏa mãn a + b + c = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của
S = a +b + b+c + c +a .
---------------------HẾT-------------------Họ và tên thí sinh:..................................................... Số báo danh:......................
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm./.

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
Năm học: 2018 - 2019. Môn: Toán 9

2


Lưu ý: Nếu học sinh làm cách khác, tổ chấm thống nhất cho điểm. Học sinh
không vẽ hình hoặc vẽ sai không tính điểm.

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm). Mỗi câu trả lời đúng được 0,50 điểm
Câu

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15

16

Đáp
án

C

C

A D

B

D A

D

C

A

B

B

C

D

C

B

II. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)
Câu 17 (3,0 điểm).
2
a) Tìm số tự nhiên n để ( n 2 − 8 ) + 36 có giá trị là số nguyên tố.

b) Cho số nguyên dương n thỏa mãn n và 10 là hai số nguên tố cùng nhau. Chứng
4
minh rằng ( n − 1) M40.

Nội dung cần đạt

Điểm

a) Phân tích được: ( n2 − 8) + 36 = ( n 2 − 6n + 10 ) ( n 2 + 6n + 10 )
2

0,50

2
Vì n là số tự nhiên nên n 2 + 6n +A
10 > n 2 − 6n + 10 . Khi đó, để ( n − 8 ) + 36
F
2
2

có giá trị là số nguyên tố thì n 2 − 6n + 10 = 1 ⇔ ( n − 3) = 0 ⇔ n = 3

Thử lại: với n = 3 thì ( n2 − 8) + 36 = 37 là số nguyên tố. Vậy n = 3 thỏa

0,50

2

mãn.

b) Vì n và 10 là hai số nguyên tố cùng nhau nên n không chia hết cho 2 và 5
4
⇒ n 2 chia 5 dư 1 hoặc
K 4 ⇒ n − 1 chia hết cho 5 (1)
Mặt khác, do n không chiaDhết cho 2 nên

0,50
0,50

E
n = 2k + 1 ⇒ n 4 − 1 = ( n − 1) ( n + 1) ( n 2 + 1) = 4k ( k + 1) ( n 2 + 1) M
8 (2)

0,50

Từ (1) và (2) và (5;8) = 1 nên n 4 − 1M40

0,50

Câu 18 (3,0 điểm). Cho biểu thức A =

B

a) Rút gọn biểu thức A;
b) Tìm x để biểu thức B =

H

x2 − x
2 x + x 2 ( x − 1)

−
+
x + x +1
x
x −1
C

2 x
nhận giá trị là một số nguyên.
A

Nội dung cần đạt

Điểm

a) Với điều kiện x > 0, x ≠ 1 ,

0,25
1,25

rút gọn được A = x − x + 1

b) Khi đó

0≤B=

2 x
=
x − x +1

nguyên nên B ∈ { 0;1; 2}

2
≤
1
x+
− 1 2.
x

2
1
x × −1
x

=2

. Vì B là số

0,50

3


+ Nếu B = 0 thì

2 x
= 0 ⇔ x = 0 (loại)
x − x +1

0,25

+ Nếu B = 1 thì

2 x
= 1 ⇔ x = 7 ± 3 5 (thỏa mãn)
x − x +1

0,50

+ Nếu B = 2 thì

2 x
= 2 ⇔ x = 1 (không thỏa mãn).
x − x +1

0,25

Vậy: x = 7 ± 3 5 thì B có giá trị là một số nguyên.
Câu 19 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH = 12cm,
BC = 25cm.Vẽ trung tuyến AM.
a) Tính ·AMH (làm tròn kết quả đến phút);
b) Tính diện tích tam giác AHM.

Nội dung cần đạt
Vẽ hình:

Điểm

B
H

M

C

A
a) Trong tam giác vuông ABC, ta có : AM =

BC 25
=
= 12,5 (cm)
2
2

Trong tam giác vuông AMH, ta có: SinM =

AH
12
=
AM 12,5

0,25
0,50

Suy ra ·AMH ; 74o 44 '

0,25

b) Trong tam giác vuông AMH, ta có: MH = 12,52 − 122 = 3,5 (cm)
A
1

1
S ∆AHM = AH .HMF = .12.3,5 = 21 (cm2).

0,50
0,50

2
2
Câu 20 (3,0 điểm). Cho tam ABC cân tại A, AH là đường cao, gọi D là trung điểm của
đoạn thẳng AH. Vẽ HE vuông góc với CD tại E. Chứng minh rằng ·AEB = 900 .

Nội dung cần đạt
K

• Vẽ hình:

D

Điểm
E

4
B

H

C


Dựng hình bình hành ACHF, suy ra AF = CH; AF//CH

0,50

Ta có, BH = CH ⇒ AF = BH; AF//BH, mà ·AHB = 900 nên AHBF là hình
chữ nhật.

0,50

Gọi K là giao điểm của AB và HK ⇒ AK = KB = KH = KF (1)

0,50

Vì ACHF là hình bình hành, D là trung điểm của AH nên C, D, F thẳng
hàng.
Tam giác HEF vuông tại E, có EK là đường trung tuyến ứng với cạnh
huyền nên KE =

1
1
FH = AB (Tính chất hình chữ nhật).
2
2

Suy ra tam giác AEB vuông tại E. Hay ·AEB = 900 .

0,50
0,50
0,50

Câu 21 (1,0 điểm). Cho a, b, c dương, thỏa mãn a + b + c = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của

S = a +b + b+c + c +a .

Nội dung cần đạt
Viết lại S =

3 
.
2 

( a + b) .

2
+
3

( b + c) .

2
+
3

( c + a) .

Điểm
2
÷
3÷


2

2
2

a+b+
b+c+
c+a+ ÷
3 
3+
3+
3 = 6
Áp dụng BĐT Cosi, ta có S ≤ . 
÷
2 
2
2
2
÷


(do a + b + c = 1 )
1
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =
3
1
Vậy, MaxS = 6 ⇔ a = b = c =
3

0,25

0,25

0,25
0,25

--------------------------HẾT----------------------

5