Đề thi HSG lớp 9 năm học 2008-2009 môn toán của tp Hà Nội

Sở Giáo dục đào tạo Kỳ thi HSG Thành phố lớp 9
Hà Nội Năm học 2008 2009
Môn : Toán
Ngày thi : 27 3 2009
Thời gian làm bài : 150 phút.
Câu I ( 4 điểm)
1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên a ta đều có ( a
3
+ 5a) là số nguyên chia hết cho 6.
2) Cho A =
2 3 10
10 10 10 10
2730 927309 27309 ... 27309+ + + +
. Tìm số d trong phép
chia A cho 7.
Câu II ( 4 điểm)
1) Chứng minh
1 1 4
x y x y
+
+
với x>0 và y>0. Xảy ra đẳng thức khi nào?
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P, biết
2 2
2 35
2P ab
a b ab
= + +
+
với a>0 , b>0 và a+b4.
Câu III ( 4điểm)

Cho phơng trình x + m -1 = m
3
2 1x
( với x là ẩn số).
1) Giải phơng trình khi m=3.
2) Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho có nghiệm lớn hơn 1.
Câu IV ( 4 điểm)
Cho đờng tròn (O;3) và điểm A cố định ( A khác O). Chứng minh :
1) Nếu HK là đờng kính của đờng tròn (O;3) thì AH 3 hoặc AK 3.
2) Tồn tại hình thang cân MNPQ nội tiếp đờng tròn (O;3) thoả mãn đồng thời hai điều kiện
MA + NA + PA + QA >12 và MN + NP +PQ +QM <12.
Câu V ( 4 điểm)
Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R và C là điểm chính giữa của cung AB. Lấy điểm
M tuỳ ý trên cung BC ( M khác B). Gọi N là giao điểm của hai tia OC và BM; H, I lần lợt là
trung điểm của các đoạn thẳng AO, AM ; K là giao điểm các đờng thẳng BM và HI.
1) Chứng minh các điểm A, H, K và N cùng nằm trên một đờng tròn.
2) Xác định vị trí của điểm M trên cung BC ( M khác B) sao cho AK =
10
2
R
.