Đề thi & đáp án Toán HSG lớp 9 V1- V2

UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh
Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS năm học 2004 - 2005
Môn : Toán (Vòng 1)
Đề chính thức Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (8 điểm)
Cho parabol
2
1
( ) :
3
P y x=
.
1. Viết phơng trình các tiếp tuyến của (P), biết các tiếp tuyến này đi qua điểm
(2;1)A
.
2. Gọi d là đờng thẳng đi qua điểm
(2;1)A
và có hệ số góc m. Với giá trị nào
của m thì đờng thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N, khi đó tìm quĩ
tích trung điểm I của đoạn thẳng MN khi m thay đổi.
3. Tìm quĩ tích các điểm M
0
từ đó có thể kẻ đợc hai tiếp tuyến của parabol (P)
và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau.
Bài 2: (4điểm)
Giải hệ phơng trình:
2 2
19
7
x y xy
x y xy

+ =

+ + =

Bài 3: (8 điểm)
Cho nửa đờng tròn đờng kính AB cố định. C là một điểm bất kì thuộc nửa đ-
ờng tròn. ở phía ngoài tam giác ABC, vẽ các hình vuông BCDE và ACFG. Gọi Ax,
By là các tiếp tuyến của nửa đờng tròn.
1. Chứng minh rằng khi C di chuyển trên nửa đờng tròn đã cho thì đờng thẳng
ED luôn đi qua một điểm cố định và đờng thẳng FG luôn đi qua điểm cố
định khác.
2. Tìm quĩ tích của các điểm E và G khi C di chuyển trên nửa đờng tròn đã
cho.
3. Tìm quĩ tích của các điểm D và F khi C di chuyển trên nửa đờng tròn đã
cho.
Hết
UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh
Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS năm học 2004 - 2005
Môn : toán (Vòng 1)
Đáp án và thang điểm:
Bài 1
ý
Nội dung Điểm
1. 8,0
1.1
(2,0 điểm)
Phơng trình đờng thẳng d
1
đi qua A(2; 1) có dạng: y = ax + b và 1 = 2a + b,

suy ra b = 1 - 2a, do đó d
1
: y = ax - 2a+1.
0,50
Phơng trình cho hoành độ giao điểm của d
1
và (P) là:
2 2
1
2 1 3 6 3 0
3
x ax a x ax a= + + =
0.50
Để d
1
là tiếp tuyến của (P) thì cần và đủ là:

' =
2
2
9 24 12 0
2
3
a
a a
a
=


= + =

=

2,0
Vậy từ A(2; 1) có hai tiếp tuyến đến (P) là:
1 2
2 1
: 2 3; :
3 3
d y x d y x= =
0,50
1.2
(4,0 điểm)
Phơng trình đờng thẳng d đi qua A(2; 1) có hệ số góc m là:
1 2y mx m= +
0,50
Phơng trình cho hoành độ giao điểm của d và (P) là:
2 2
1
2 1 3 6 3 0 (2)
3
x mx m x mx m= + + =
0,50
Để d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thì cần và đủ là:
2 2
8 4
9 24 12 0 9 0
3 3
m m m m

= + > + >
ữ

2
4 4 4 2
0
3 9 3 3
m m

> >
ữ

4
3
4 2
2
3 3
(*)
3
4
2
3
4 2
3 3
m
m
m
m
m
m

>



<







>
<

>




1,5
Với điều kiện (*), d cắt (P) tại 2 điểm M và N có hoành độ là x
1
và x
2
là 2
nghiệm của phơng trình (2), nên toạ độ trung điểm I của MN là:
1 2
2
2 2 2 2
; 2 1; 3
3
3 3 3 3
2 2
2 4
1 2
1
3 3
x x x
m x x
x x
m
x

I
y mx m
y x x


= < > < >
+

ữ

= =





= +
= +



1,0
Vậy khi m thay đổi, quĩ tích của I là phần của parabol
2
2 4
1
3 3
y x x= +
,
giới hạn bởi

1; 3x x< >
.
0,50
1.3
(2,0 điểm)
Gọi
0 0 0
( ; )M x y
là điểm từ đó có thể vẽ 2 tiếp tuyến vuông góc đến (P). Phơng
trình đờng thẳng d' qua M
0
và có hệ số góc k là:
y kx b= +
, đờng thẳng này đi
qua M
0
nên
0 0 0 0
y kx b b y kx= + =
, suy ra pt của d':
0 0
y kx kx y= +
.
0,50
Phơng trình cho hoành độ giao điểm của d và (P) là:
2 2
0 0 0 0
1
3 3 3 0
3

x kx kx y x kx kx y= + + =
(**)
0,50
Để từ M
0
có thể kẻ 2 tiếp tuyến vuông góc tới (P) thì phơng trình:
2
0 0
9 12 12 0k kx y = + =
có 2 nghiệm phân biệt
1 2
,k k
và
1 2
1k k =
0
0
12
3
1
9 4
y
y = =
0,50
Vậy quĩ tích các điểm M
0
từ đó có thể vẽ đợc 2 tiếp tuyến vuông góc của (P) là
đờng thẳng
3
4

y =
0,50
2.
(4,0 điểm)
( )
2
2 2 2
19 3 19
3 19
7 7
7
S x y
x y xy S P
x y xy
P xy
x y xy S P
x y xy

= +

+ = =

+ =



ữ
=
+ + = + =
+ + =

(1)
1,0
Giải hệ (1) ta đợc:
( 1; 6), ( 2; 5)S P S P= = = =
1,0
Giải các hệ phơng trình tích, tổng:
1
6
x y
xy
+ =


=

và
2
5
x y
xy
+ =


=

ta có các

nghiệm của hệ phơng trình đã cho là:

3 2 1 6 1 6
; ; ;
2 3
1 6 1 6
x x x x
y y
y y

= = = = +



= =
= + =



2,0
3. 8,0
3.1
Gọi K là giao điểm của Ax và GF, I là giao điểm của By
và ED. Ta có:
ã
ã
0
90BEI BCA= =
ã
ã

EBI CBA=
(góc có các cạnh tơng ứng vuông góc)
BE BC=
,
Do đó:
BEI BCA BI BA = =
mà By cố định, suy ra điểm I
cố định.
+ Tơng tự, K ccố định.
+ Vậy khi C di chuyển trên nửa đờng tròn (O) thì dờng
thẳng ED đi qua điểm I cố định và đờng thẳng GF đi qua
điểm K cố định. 3,0
3.2 Suy ra quĩ tích của I là nửa đờng tròn đờng kính BI (bên phải By,
,C A E I C B E B
); quĩ tích của K là nửa đờng tròn đờng kính
AK(bên trái Ax,
,C A G A C B G K
).
2,0
3.3 Xét 2 tam giác BEI và BDK, ta
có:
1
2
BE BI
BD BK
= =
ã
ã
ã
ã

ã
ã
0
45EBI IBD KBD IBD
EBI KBD
+ = + =
=
Do đó:
ã
ã
0
90
BEI BDK
BDK BEI

= =
:
+ Vậy: Quĩ tích của D là nửa đờng tròn đờng kính BK.
+ Tơng tự, quĩ tích của F là nửa đờng tròn đờng kính AI. 3,0
UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh
Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS năm học 2004 - 2005
Môn : Toán (Vòng 2)
Đề chính thức Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (7 điểm)
1. Giải phơng trình:
4 4
1 2 9 6 2x x x x+ + + =
2. Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số không âm và b là số trung bình cộng
của a và c thì ta có:
1 1 2

a b b c c a
+ =
+ + +
Bài 2: (6 điểm)
1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
2
2
3 5
1
x x
y
x
+ +
=
+
.
2. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
2 2
2 3 2 4 3 0x y xy x y+ + + =
Bài 3: (7 điểm)
Cho đờng tròn tâm O, bán kính R, hai đờng kính AB và CD vuông góc với
nhau. E là điểm bất kì trên cung AD. Nối EC cắt OA tại M, nối EB cắt OD tại N.
1. Chứng minh rằng tích
OM ON
AM DN
ì
là một hằng số. Suy ra giá trị nhỏ nhất của
tổng
OM ON
AM DN

+
, khi đó cho biết vị trí của điểm E ?
2. Gọi GH là dây cung cố định của đờng tròn tâm O bán kính R đã cho và GH
không phải là đờng kính. K là điểm chuyển động trên cung lớn GH. Xác
định vị trí của K để chu vi của tam giác GHK lớn nhất.
Hết
UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh
Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS năm học 2004 - 2005