Ôn thi ĐH chuyên đề PT, BPT

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN 1
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG THƯỜNG GẶP
I. Phương pháp biến đổi tương đương
1) Phương pháp giải
a) Phương trình:
[ ]
2
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
g x
f x g x
f x g x
≥


= ⇔

=


(1)
( ) 0, ( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
f x g x
≥ ≥

= ⇔


=

(2)
[ ]
2
( ) 0
( ) 0
( ) ( ) ( )
( ) 0
( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )
f x
g x
f x g x h x
h x
f x g x f x g x h x
≥


≥

+ = ⇔

≥


+ + =

(3)
( ) 0

( ) 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )
g x
h x
f x g x h x f x g x h x
h x g x h x g x f x
≥


≥
− = ⇔ = + ⇔


+ + =

(4)
( ) 0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ( ) ( ))
f x
f x g x h x g x
f x g x h x f x g x

≥

− = ⇔ ≥


− = +


(5)
b) Bất phương trình:
[ ]
2
( ) 0
( ) ( ) 1:
( ) 0
( ) 0
2:
( ) ( )
g x
f x g x TH
f x
g x
TH
f x g x
<

>

≥

≥



>



(6).
[ ]
2
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
g x
f x g x f x
f x g x

>


< ⇔ ≥


<


(7)
2) Các ví dụ
VD 1. Giải PT:
2
3 20 16 4x x x− + = −
ĐS: x = 6.
VD 2. Giải PT: 3 4 2 1 2x x x+ − + = + ĐS: x =
1
2
−
.

VD 3. Giải PT:
2 2 2
2 2x x x x x− − + =
ĐS: x = 0; x =
9
8
.
VD 4. Giải PT:
3
4 1 3 2
5
x
x x
+
+ − − =
ĐS: x = 2.
VD 5. Giải PT:
2
3 2 1
3 2
x
x x
x
− − = −
−
ĐS: x = 1.
VD 6. Giải BPT: 2x – 5 <
2
4 3x x− + −
ĐS:

14
1;
5
x
 
∈
 
 
VD 7. Giải BPT:
( 5)(3 4) 4( 1)x x x+ + > −
ĐS:
4
( ; 5] [ ;4)
3
x∈ −∞ − ∪ −
VD 8. Giải BPT: 1 1x x x+ − − ≥ ĐS:
[ ]
0;1x∈
HD: Nhân liên hợp.
VD 9. (ĐH K D-2002):
2 2
( 3 ) 2 3 1 0x x x x− − + ≥
ĐS:
1
( ; ] {2} [3; )
2
x
∈ −∞ − ∪ ∪ +∞
VD 10. (ĐH K A-2004):
2

2( 16)
7
3
3 3
x
x
x
x x
−
−
+ − >
− −
ĐS:
(10 34; )x∈ − +∞
Luyện Thi ĐH-CĐ ThS. Nguyễn Trung Kiên – ĐT: 0984804176
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN 2
II. Phương pháp đặt ẩn phụ
1) Phương pháp giải
a) Đặt ẩn phụ đưa về việc giải PT bậc cao:
Chú ý điều kiện của ẩn
Đặt t =
( )g x
; điều kiện t
≥
0. Ta có: t
2
= g(x).
b) Đặt ẩn phụ đưa về giải hệ PT:
Thường đưa về hệ PT đơn giản.
Chú ý điều kiện của ẩn

2) Các ví dụ
Đặt ẩn phụ đưa về PT bậc 2, bất PT bậc 2:
VD 1. GPT:
2 2
2( 2 ) 2 3 9x x x x
− + − − =
ĐS: x = 1 + 5
VD 2. (ĐH TM - 99): GPT:
2 2
3 3 3 6 3x x x x
− + + − + =
ĐS: x = 1, x =
2.
VD 3. (ĐH QGHN-2000): 1 +
2
2
1
3
x x x x− = + −
ĐS: x = 0, x =
1.
VD 4. (HVKTQS-99): GPT:
2
3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x− + − = − + − +
ĐS: x = 2.
VD 5. (ĐHQGHN-2001): GPT: x
2
+ 3x +1 = (x+3)
2
1x +

ĐS: x =
2 2±

VD 6. Cho PT: (x-3)(x+1) + 4(x-3)
1
3
x
x
+
−
= m
a) GPT với m = -3 ĐS: x = 1 – 13 , x = 1 – 5
b) Tìm m để PT có nghiệm Đặt t = (x-3)
1
3
x
x
+
−
m
≥
- 4
VD 7. (HVQHQT-2000): Giải BPT: (x+1)(x+4) <
2
5 5 28x x+ +
ĐS: x
∈
(-9; 4)
VD 8. (ĐHXD-99): Giải BPT: x
3

+ x
2
+ 2 + 3x
1x +
> 0. ĐS: x
≥
- 1.
VD 9. Giải BPT:
1
2 3
1
x x
x x
+
− >
+
ĐS:
4
1
3
x− < < −
VD 10. Giải BPT:
2
7 7 7 6 2 49 7 42 181 14x x x x x+ + − + + − < −
ĐS:
Đặt ẩn phụ đưa về giải PT hai ẩn, hệ PT hai ẩn:
VD 1. Giải PT: 2(x
2
-3x +2) = 3
3

8x +
. ĐS: x = 3
13±

HD: Đặt u =
2x +
; v =
2
2 4x x− +
, PT
⇔
(u+2v)(u-2v) = 0
VD 2. Giải PT: x
2
+ 5 5x + = ĐS: x =
1 21 1 17
;
2 2
x
− − +
=

HD: Đặt t = 5x + đk t
≥
0 và x
≥
- 5
VD 3. (ĐH TCKT-2000):
3
2 1 1x x− = − − ĐS: x = 1; x = 2; x = 10

HD: Đặt u =
3
2 ; 1 0x v x− = − ≥
. Ta có hệ
3 2
1
1
u v
u v
− −


+ =

VD 4. Giải PT: x
2
– 4x + 2 = 2x + với x
≥
2 ĐS: x =
5 17
2
+

HD: Đặt t =
2x +
+ 2 đưa về hệ
VD 5. (ĐHYHN-1996): Giải và biện luận PT:
2 2
2 2 1x a x x− + − =

Luyện Thi ĐH-CĐ ThS. Nguyễn Trung Kiên – ĐT: 0984804176
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN 3
HD: x = 0 không TM, chia 2 vế cho x. Đặt u =
2 2
2 1
1 0; 1 0
a
v
x x
− ≥ = − ≥
.
III. Phương pháp khác
1) Phương pháp hàm số: Hàm số f(x) luôn đồng biến trên tập D, x
0

∈
D
Nếu f(x
0
) = 0 thì
PT f(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = x
0
trên D
Bất PT f(x) > 0 có nghiệm x > x
0
; x
∈
D.
VD 1. Giải PT:
1 3 1 6x x− + + =

ĐS: x = 5
VD 2. (ĐH QGHN-2001)Giải PT:
2
4 1 4 1 1x x− + − =
ĐS: x =
1
2

VD 3. x + 1 2 2 7x x x+ + − > − ĐS x > 3.
VD 4. Giải BPT:
2 2
2 3 6 11 3 1x x x x x x− + − − + > − − −
HD: Xét hàm số: f(t) =
2t t+ +
t
≥
-2.
VD 5. Giải BPT: 1x −
≥
- x
3
- 4x + 5. ĐS: x
≥
1
2) Phương pháp đánh giá (Theo bất đẳng thức)
VD 6. Giải PT:
2
(4 )(6 ) 2 6x x x x+ − = − +
ĐS: x = 1
VD 7. Giải PT:

3 36 4
5 2 3 1x x− + − =
ĐS: x = - 1, x = 1.
VD 8. Giải PT:
2 1 2 1 2x x x x+ − − − − =
ĐS: x
≥
2.
VD 9.Giải PT:
2 2
2 2 1 3 4 1x x x x x+ + − = + +
ĐS: x =
1 5
2
+

HD: Áp dụng bất đẳng thức BNA
VD 10. Giải PT:
2
7
8 2 2 1
1
x
x x
x
+
+ = + −
+
ĐS: x = 2
B. BÀI TẬP LÀM THÊM

Bài tập 1. Giải các PT sau:
1) (ĐH KD-2005): 2
2 2 1 1 4x x x+ + + − + =
. ĐS: x = 3
2) (ĐH KD-2006):
2
2 1 3 1 0x x x− + − + = ĐS: x = 1, x = 2 –
2
3) (HVKTQS):
1 1
1
4 2 2x x x x
+ =
+ + + + +

4) x +
1 1
2
2 4
x x+ + + = ĐS: x = 2 -
2
5)
2
2
1 1
2 2 4 ( )x x
x x
− + − = − +
ĐS: x = 1.
Bài tập 2. Giải các bất PT sau:

6) (ĐH K A- 2005): 5 1 1 2 4x x x− − − > − ĐS: 2
≤
x < 10.
7) (ĐH KTHN - 2001):
2 2
4 3 2 3 1 1x x x x x− + − − + ≥ −
ĐS: x =1, x
≤

1
2

8) (ĐH YHN-2000): 2x
2
+
2
5 6 10 15x x x− − > +
ĐS:
9) 4(x+1)
2

≤
(2x+10)(1-
2
3 2 )x+
ĐS:
10)
3
1 3 4 2 10x x x x x− + − + ≤ +
Bài tập 3. Tìm m để PT:

2
9 9x x x x m+ − = − + +
có nghiệm
∈
R
Luyện Thi ĐH-CĐ ThS. Nguyễn Trung Kiên – ĐT: 0984804176
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN 4
Bài tập 4. (ĐH KA-2007).Tìm m để PT: 3
2
4
1 1 2 1x m x x− + + = −
có nghiệm
∈
R
Bài tập 5. Tìm a để PT: x = (a-x)
2
1x −
có nghiệm
∈
R. ĐS:
2 2a ≥
Luyện Thi ĐH-CĐ ThS. Nguyễn Trung Kiên – ĐT: 0984804176