Ôn thi ĐH chuyên đề Lượng giác

BÀI TẬP ÔN LƯỢNG GIÁC 1
Bài 1.
Cho tam giác ABC có các góc A, B, C và các cạnh tương ứng a, b, c. Chứng minh:
1. sin(A+B) = sinC
2. cos(A+B) = - cosC
3. tan(A+B) =- tanC
4. sin
2
A B+
= cos
2
C
5. cos
2
A B+
= sin
2
C
6. tan
2
A B+
= cot
2
C
7. a = b.cosC + c.cosB
8. a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC
9. a
2
= b
2
+ c

2
– 2bc.cosA.
10. S = pr =
1
2
ab.sinC =
1
2
bc.sinA =
1
2
ac.sinB.
(p là nửa chu vi, r là bán kính của đường tròn nội tiếp của tam giác ABC).
11. sinA + sinB + sinC = 4
os os os
2 2 2
A B C
c c c
12. cosA + cosB + cosC = 1 + 4
sin sin sin
2 2 2
A B C
13.sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC
14. cos2A + cos2B + cos2C = - 1 - 4cosA.cosB.cosC
15. sin
2
A + sin
2
B + sin
2

C = 2 + 2cosA.cosB.cosC
16. cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C = 1 - 2cosA.cosB.cosC
17. tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC ( tam giác ABC không vuông)
18.
tan tan tan .tan tan tan 1
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
+ + =
19.
cot cot cot cot cot cot
2 2 2 2 2 2
A B C A B C
+ + =
20.cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 1.
Bài 3.
Chøng minh
1. tana + cota =
2
sin 2a
2. cota – tana = 2cot2a
3. sinx + cosx =
2
sin
4

x
π
 
+
 ÷
 
=
2
cos
4
x
π
 
−
 ÷
 
4. sinx – cosx =
2
sin
4
x
π
 
−
 ÷
 
= -
2
cos
4

x
π
 
+
 ÷
 
5. 3 sinx + cosx = 2sin
6
x
π
 
+
 ÷
 
= 2cos
3
x
π
 
−
 ÷
 

6. sinx - 3 cosx = 2sin
3
x
π
 
−
 ÷

 
= - 2cos
6
x
π
 
+
 ÷
 
Biªn tËp: Ths. NguyÔn Trung Kiªn
BI TP ễN LNG GIC 2
7. sina.sin
1
sin sin 3
3 3 4
a a a


+ =
ữ ữ

8. cosa.cos
1
cos cos3
3 3 4
a a a


+ =
ữ ữ

9. cos
2
a + cos
2
3
a



ữ

+ cos
2
2 3
3 2
a


=
ữ

10. sin
2

2
2
sin sin 2
8 8 2
a a a

+ =
ữ ữ

Bài 4. Tính (không dùng bảng số hay máy tính)
A = cos
sin
8 8

+
B = cos
3 5
cos cos
7 7 7

C = sin6
o
.sin42
o
sin66
o
sin78
o
D = cos10
o
cos50
o
cos70
o

E =
1 3
sin10 cos10
o o

F = 8(sin
3
18
o
+ sin
2
18
o
)
Bài 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = sin
2
A + sin
2
B - sin
2
C, với A, B, C là ba góc của tam giác.
Bài 6. Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C.
Biết (sinB + sinC)sin2A = (sin2B + sin2C)sinA. Chứng minh cosB + cosC = 1.
Bài 7. Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C. Chứng minh rằng nếu:
a) sin2A + sin2B = 4sinAsinB thì tam giác ABC vuông tại C.
b)
sin ( 2 cos )sin
sin ( 2 cos )sin
B C A

C B A

=


=


thì tam giác ABC vuông cân tại A.
Bài 8. Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C. Chứng minh:
a) cosA + cosB + cosC

sin
sin sin
2 2 2
A B C
+ +
b) sinA + sinB + sinC < 2(cosA + cosB + cosC)
Bài 9. Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C, đờng cao AH. Gọi p, p
1
, p
2
lần lợt là nửa
chu vi của các tam giác ABC, ABH, ACH. Chứng minh nếu p
2
= p
1
2
+ p
2

2
thì tam
giác ABC vuông tại A.
Bài 10.
a) Cho tam giác ABC không tù, thoả mãn điều kiện
cos2A + 2
2
cosB + 2
2
cosC = 3. Tính ba góc của tam giác.
Biên tập: Ths. Nguyễn Trung Kiên
BÀI TẬP ÔN LƯỢNG GIÁC 3
b) Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc A, B, C tho¶ m·n cos2A + cos2B + cos2C
≥
-1.
Chøng minh sinA + sinB + sinC
≤
1 +
2
.
Biªn tËp: Ths. NguyÔn Trung Kiªn
BÀI TẬP ÔN LƯỢNG GIÁC 4
Bµi 11. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh lîng gi¸c sau:
1) sin
4
x + cos
4
x = cos2x
2) 2sin
2

2 sin 2 0
2 2
x x
+ − =
3)
3
tanx – 6cotx + 2
3
- 3 = 0
4) 2sin
2
x – 5sinx.cosx – cos
2
x = -2
5) cos2x –
3
sin2x = 1
6)
2
sin
4
x
π
 
−
 ÷
 
=1 – sin2x
7) 3(sinx + cosx) – 2sin2x +2 – 3
2

= 0
8) 3tan
2
x -
2
2
cos x
- 5 = 0
9) (2cosx -1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx
10) 4cos
3
x + 3
2
sin2x = 8cosx
11) 4sin2x – 3cos2x = 3(4sinx - 1)
12) tanx – tan3x = 2sin2x
13) cotx – tanx + 4sin2x =
2
sin 2x
14) cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0
15) sinx + cosx – sin2x = 1 + cos2x
16) 2
2
(sinx + cosx)cosx = 3 + cos2x
17) 6sinx – 2cos
3
x = 5sin2x.cosx
18)
1 1 2
cos sin 2 sin 4x x x

+ =

19) cos
3
x – 4sin
3
x – 3sin
2
x.cosx + sinx = 0
20) 1+tan2x =
2
1 sin 2
cos 2
x
x
−
21) sin3x +sin2x = 5sinx
22) sinx +
3
cosx = 2cos3x
23) 2(1-sin2x) – 5(sinx - cosx) + 3 = 0
24) cotx = tanx +
2cos 4
sin 2
x
x
25) sin
3
x – cos
3

x = cos2x.
tan tan
4 4
x x
π π
   
+ −
 ÷  ÷
   
26) 8sinx =
3 1
cos sinx x
+

27) tan
3
x
π
 
−
 ÷
 
tan
3
x
π
 
+
 ÷
 

.sin3x = sinx + sin2x
Biªn tËp: Ths. NguyÔn Trung Kiªn
BI TP ễN LNG GIC 5
28) (cos
2
x
+sin
2
x
)
2
+
3
cosx = 2
29) cos
2
3x.cos2x cos
2
x = 0
30) 5sin3x = 3sin5x
31) tan
2
x - tanx.tan3x = 2
32) sinxcos4x - sin
2
2x = 4sin
2
7
4 2 2
x

ữ


33) 8cos
3
3
x


+
ữ

= cos3x
34) 4sin
2
2x + sin
2
6x - 4sin2xsin
2
6x = 0
35)
10 10 6 6
2 2
sin cos sin cos
4 4cos 2 sin 2
x x x x
x x

+ +
=
+
36) (1+cosx)(1+cos2x)(1+cos3x) =
1
2
37) sin
2008
x + cos
2009
x = 1
38) tan
2
x =
1 cos
1 sin
x
x
+

39) sin
5
x + cos
5
x = 2 - sin
4
x
40)
3 1 3
sin sin

10 2 2 10 2
x x


= +
ữ ữ

Bài 12. Cho phơng trình: cos2x +(2m+1)sinx + m = 0
a) Giải phơng trình khi m = 1.
b) Xác định m để phơng trình có nghiệm thuộc đoạn [0;

].
Bài 13. Tìm mọi nghiệm nằm trong khoảng (-

;

) của phơng trình:
3(1 sin 3 )
2cos2 7
sin cos2
x
x
x x

=

. HD sin3x = 3sinx 4sin
3
x
Bài 14. Giải và biện luận phơng trình: 2m(cosx + sinx) = 2m

2
+ cosx - sinx +
3
2

Bài 15. Với giá trị nào của m thì phơng trình sau có nghiệm
(m+1)sin
2
x sin2x + 2cos
2
x = 1.
Bài 16. Tìm m để phơng trình
2sin 1
sin 3
x
m
x

=
+
có đúng hai nghiệm thuộc [0;

].
Bài 17. Tìm m để phơng trình: (2sinx -1)(2cos2x + 2sinx +m) = 3 - 4cos
2
x có đúng
hai nghiệm phân biệt thuộc [ 0 ;

] .
Bài 18. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau:

Biên tập: Ths. Nguyễn Trung Kiên