Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của một hàm số

Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của một biểu thức

PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Từ thực tế giảng dạy của mình, tôi thấy học sinh rất lúng túng khi gặp phải các
bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức
có hai hoặc ba biến số, đó lại thường là các bài toán hay và khó đối với mỗi học
sinh. Để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
có rất nhiều phương pháp nhưng không có phương pháp nào là vạn năng, mỗi
phương pháp chỉ phù hợp với một nhóm bài mà thôi. Một trong các phương pháp
khá hiệu quả là dùng đạo hàm khảo sát sự biến thiên của hàm số để tìm giá trị lớn
nhất và nhỏ nhất của một biểu thức. Chính vì thế tác giả đã chọn đề tài “Vận dụng
phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của một biểu thức”.
Trong đề tài, tác giả đã cố gắng đưa ra một số bài toán thường gặp, các bài
toán trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng tương đối điển hình nhằm
bước đầu tạo cho học sinh những cách suy luận, cách biến đổi để vận dụng một
cách có hiệu quả phương pháp khảo sát hàm số vào bài toán tìm giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất của một biểu thức nhiều biến.
Trong quá trình thực hiện đề tài này, mặc dù đã rất cố gắng nhưng không thể
tránh được những hạn chế, thiếu sót. Tác giả rất mong muốn nhận được sự đóng
góp ý kiến của thầy giáo, cô giáo để đề tài này tốt hợn.
Xin chân thành cảm ơn!
II. ĐÔI TƯỢNG THỰC NGHIỆM VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CỦA
ĐỀ TÀI.
1) Đối tượng thực nghiệm:
Trong năm học 2011-2011 tác giả đã chọn học sinh lớp 12A2 và 12A5 để thực
nghiệm, học sinh lớp 12A2 được học các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất dựa
vào ứng dụng của đạo hàm theo hướng của đề tài và học sinh lớp 12A5 được chọn
làm đối chứng, thì kết quả cuối năm học 2011-2012 có 80 - 90% học sinh lớp

1

Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của một biểu thức

12A2 giải quyết tốt các bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức,
trong khi đó chỉ có khoảng 30% học sinh lớp 12A5 làm tốt việc đó.
Trong năm học vừa qua, tác giả đã trao đổi đề tài với các đồng nghiệp trong tổ
chuyên môn để áp dụng vào giảng dạy tại các lớp khối 12 và kết quả đạt được đều
rất tốt và đề tài được đánh giá cao .
2) Phương pháp nghiên cứu của đề tài:
Tác giả đã lựa chọn các phương pháp như:
+) Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết.
+) Phương pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm.
+) Phương pháp phân loại, hệ thống hóa.
Các phương pháp này đan xen lẫn nhau, bổ xung cho nhau nhằm mục đích giúp tác
giả hệ thống hóa, tổng kết, phân tích, phân loại từ lý thuyết đến các dạng bài tập.

PHẦN NỘI DUNG
I. NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.
Để có thể giải tốt các bài toán bằng phương pháp khảo sát hàm số yêu cầu
trước tiên là học sinh phải nắm vững và biến vận dụng các kiến thức ban đầu về
hàm số, quy tắc tính đạo hàm, đạo hàm của một số hàm số thường gặp, quy tắc tìm
giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số một biến bằng phương pháp đạo hàm.
Ngoài ra học sinh cần nắm chắc và biết vận dụng một cách linh hoạt, sáng tạo một
số bất đẳng thức cơ bản .
1. Quy tắc tính đạo hàm:
Cho hàm số u  u ( x ) và v  v ( x ) có đạo hàm trên D. Khi đó

 u  v  '  u ' v '
 u  v  '  u ' v '

 uv  '  u ' v  v ' u

( ku ) '  k .u '( k �R )
u � u 'v  v 'u
�

(v �0)
��
v�
v2
�

2. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp:
2


Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của một biểu thức

 C '  0
 x '  1

n

 x  '  n.x
n





x '

e 'e
x

 u  '  n.u

n 1

n 1

.u '

 u  '  2u 'u

1

 e  '  e .u '

2 x

u

x

1
( x  0)
x
 s inx  '  cos x

 ln x  ' 

u

u'
u
 sinu  '  u '.cos u

 ln u  '   u ( x)  0 

 cosx  '   s inx

 cosu  '  u '.s inu

1
 1  tan 2 x  cos x �0 
cos 2 x
1
 cosx  '  2  (1  cot 2 x)  sin x �0 
sin x

 t anu  ' 

 t anx  ' 

u'
 u '  1  tan 2 u 
2
cos u
u '

 cosu  '  2  u '  1  cot 2 u 
sin u

3. Định nghĩa giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
Cho hàm số y  f ( x ) xác định trên tập D.
+) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y  f ( x) trên D nếu
f ( x ) �M với

x �D và tồn tại x0 �D sao cho f ( x0 )  M .

f ( x)
Kí hiệu: M  max
D

+) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f ( x) trên D nếu
f ( x ) �m với

x �D và tồn tại x0 �D sao cho f ( x0 )  m .

f ( x)
Kí hiệu: m  min
D

4. Định lí: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất trên đoạn đó.
5. Quy tắc tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số liên tục trên đoạn

 a; b
+) Tìm các điểm x1 , x2 ,..., xn thuộc khoảng (a; b) mà tại đó f '( x) bằng 0 hoặc
f '( x ) không xác định.

3


Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của một biểu thức

+) Tính f (a), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ), f (b) .
+) Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.
f ( x) , m  min f ( x) .
Khi đó: M  max
D
D

Đối với việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng
thì ta khảo sát sự biến thiên của hàm số và dựa vào bảng biến thiên hoặc tính đơn
điệu của hàm số, để kết luận. Ngoài ra, ta còn sử dụng một số các kiến thức có liên
quan như bất đẳng thức Cauchy, các bất đẳng thức đúng.
IV. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH
1. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số.
Trước hết, tác giả cho học sinh làm quen và vận dụng một cách nhuần nhuyễn
bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một hàm số bằng phương pháp khảo sát
hàm số. Sau đây là một số ví dụ.
Ví dụ 1: ( Đề thi Đại học Khối D - 2011)
2 x 2  3x  3
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: f ( x) 
trên  0; 2 .
x 1

Bài làm:

2x2  4x
f '( x)  0 � 2 x 2  4 x  0 �
Ta có: f '( x) 
2 ;
( x  1)
Lại có f (0)  3 ; f (2) 

x0
�
�
x  2(loai)
�

17
3

f ( x)  f (0)  3 ; m ax f ( x)  f (2)  17
Suy ra : min
 0;2
 0;2
3
Ví dụ 2: ( Đề thi Đại học Khối B - 2003)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: f ( x)  x  4  x 2
Bài làm: Tập xác định: D   2;2 . Ta có f '( x)  1 

(1)

x
4  x2

4


Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của một biểu thức

�x �0
f '( x )  0 � 4  x  x � � 2
�x 2
2
4

x

x
�
2

Bảng biến thiên:

2

x

f '( x )

2

2
+

f ( x)



0

2 2
2

2

f ( x)  f ( 2)  2 .
Từ bảng biến thiên suy ra : min
2;2
m ax f ( x)  f ( 2)  2 2
 2;2

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) 

2x  1
x2  4

trên

khoảng  �; 2 
Bài làm: Tập xác định: D   �; 2  � 2; �

f '( x) 

x  8

x

2

4



3

 ;    f '( x)  0 � x  8

Bảng biến thiên:

�

t

f '(t )
f (t )

+

8
0



2

2

 15
2

�
�

-2
Từ bảng biến thiên suy ra :



max f ( x)  f (8) 

 �;2 

�

2

 15
.
2

Hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng  �; 2 

.

2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức có hai biến.

5


Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của một biểu thức

Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức có hai biến, ta có thể đưa vê
bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức một biến số bằng phương
pháp thể, phương pháp đặt ẩn phụ và khảo sát theo một biến.
2.1 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức có hai biến bằng phương
pháp thể.
Ví dụ 1: Cho x, y  0 thỏa mãn: x  y 
4
x

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  

5
.
4
1
.
4y

Với bài toán cho điêu kiện như trên ta có thể rút x theo y hoặc y theo x thế vào
biểu P ta sẽ có biểu thức với một biến số. Đặc biệt lưu ý phải tìm điêu kiện của biến
cần khảo sát.
Bài làm: Từ giả thiết x  y 
Do x, y  0 và x  y 

Xét hàm số f ( x) 
Ta

có

2

5
5
nên 0  x, y  .
4
4

4
1
� 5�
0; �

trên �
.
� 4�
x 5  4x

f '( x) 

� x   5  4x 
2

5
5

4
1
� y   x . Khi đó P  
.
4
4
x 5  4x

4
4

x2  5  4 x  2

f '( x)  0 �

4
4

0
x2  5  4 x  2

x0
�
�� 5
�
x   l
� 3

Bảng biến thiên:
x

0

f '( x)
f ( x)

+

1
0

�

5
4

-

�
5

6


Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của một biểu thức

Từ bảng biến thiên suy ra :

min f ( x)  f (1)  5
� 5�

0; �
�
� 4�

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là 5 khi x  1, y 

.

1
4

Ví dụ 2: Cho x, y �R thỏa mãn: y �0 và x 2  x  y  12 .
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P  xy  x  2 y .
Rõ ràng với bài toán cho điêu kiện như trên ta nên rút y theo x.
Bài làm: Từ giả thiết x 2  x  y  12 � y  x 2  x  12
Do y �0 nên x 2  x  12 �0 � 4 �x �3 . Khi đó P  x 3  3x 2  9 x  24
Xét hàm số f ( x )  x 3  3 x 2  9 x  24 trên  4;3 .

x  3
�
f '( x)  0 � �
x 1
�

Ta có f '( x)  3 x 2  6 x  9 suy ra
Bảng biến thiên:
x

-4

f '( x)
f ( x)

+

-3
0
3

-

1
0

3
+
3

-4

-29

f ( x)  f (1)  29 .
Từ bảng biến thiên suy ra : min
4;3
m ax f ( x)  f (3)  f (3)  3
 4;3

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là -29 khi x  1, y  10
P đạt giá trị lớn nhất là 3 khi x  3, y  6 hoặc x  3, y  0

Ví dụ 3: Cho x, y  0 thỏa mãn: x  y  1 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 

x
y

.
1 x
1 y

7


Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của một biểu thức

Do vai trò của x và y trong bài toán là như nhau nên ta có thể rút y theo x hoặc
ngược lại.
Bài làm:

x
1 x

.
1 x
x

Từ giả thiết x  y  1 � y  1  x . Khi đó P 
Do x, y  0 và x  y  1 nên 0  x, y  1 .

x

1 x

trên  0;1 .
1 x
x

Xét hàm số f ( x) 
Ta có f '( x ) 

2 x
1 x

.
2(1  x) 1  x 2 x x

f '( x )  0 �

2 x
1 x
1

0� x
2
2(1  x) 1  x 2 x x

Bảng biến thiên:
x

f '( x)
f ( x)

1
2

0
-

0

�

1
+

�
2

�1 �
Từ bảng biến thiên suy ra : min f ( x)  f � � 2 .
 0;1
�2 �
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là

2 khi x  y 

1
2

2.2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức đối xứng có hai biến bằng
phương pháp đặt ẩn phụ .

Với các bài toán có biểu thức đối xứng với hai biến ta thường đặt ẩn phụ

t  x  y hoặc t  xy , tuy nhiên phải căn cứ vào giả thiết đê bài cho, để tìm điêu
kiện của biến mới.
Ví dụ 1: Cho x, y �R thỏa mãn: 2 x 2  2 y 2  x  y .

8


Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của một biểu thức

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P  x3  y 3  x 2 y  xy 2 .
Đặt t  x  y . Từ giả thiết

Bài làm:

2x2  2 y2  x  y

1
1
1
� xy  ( x  y ) 2  ( x  y )  2t 2  t .
2
4
4



Lại có: ( x  y ) 2 �2( x 2  y 2 )  x  y hay t 2 �
t



0 t 1

t2
Khi đó P  ( x  y )  2 xy ( x  y )  .Do 0 �t �1 nên 0 �t 2 �1 .
2
3

� 1
�x  y  1 �x 
1
�
� 2
Vậy P đạt giá trị lớn nhất là 1 khi t  � �
1 ��
2
xy 
�
�y  1
�
4
� 2
�x  y  0
�x  0
��
P đạt giá trị nhỏ nhất là 0 khi t  0 � �
�xy  0
�y  0

Ví dụ 2: Cho x, y �R thỏa mãn:

x

2

 y2



2





 3 x 2  y 2  2   x 2  3x 2 y 2 . .

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P  x 2  2 y 2  3 x 2 y 2 .
Nhận xét:

Thoạt nhìn thấy biểu thức P là không đối xứng, xong nhìn vào giả thiết

ta thấy biểu thúc P hoàn toàn có thể đưa vê một biểu thức đối xứng, Hơn nữa đây
lại là bài toán có biểu thức đối xứng với hai biến với x 2 và y 2 nên ta có thể đặt ẩn
phụ t  x 2  y 2 để làm giảm bậc của biểu thức.
Bài làm:
Đặt t  x 2  y 2 .



Do giả thiết x 2  y 2



2





 3 x 2  y 2  2   x 2  3x 2 y 2 nên t 2 �

3�
t 2 0

1 t

2

Khi đó P  ( x 2  3 x 2 y 2 )  2( x 2  y 2 )  t 2  t  2 .
Xét hàm số f (t )  t 2  t  2 trên  1;2 .
Ta có f '(t )  2t  1; f '(t )  0 t � 1;2

9


Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của một biểu thức

f (t )  f (1)  2 ; max f (t )  f (2)  4
Suy ra : min
 1;2
 1;2
Vậy P đạt giá trị lớn nhất là 4 khi t  2 � x  0; y  � 2 .
P đạt giá trị nhỏ nhất là 2 khi t  1 � x  0; y  �1 .
Ví dụ 3: Cho x, y �R thỏa mãn: x  y �1 và x 2  y 2  xy  x  y  1.
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P 

xy
.
x  y 1

Bài làm:
Đặt t  x  y . Từ giả thiết

x 2  y 2  xy  x  y  1
� ( x  y ) 2  xy  ( x  y )  1 � xy  t 2  t  1 .

2
Lại có: ( x  y ) 2 �0 � ( x  y )2 �4 xy suy ra 3t  4t  4 �0 � 

2
�t �2
3

�2 �
t2  t 1
t2  t 1
 ;2 �

Khi đó P 
. Xét hàm số f (t ) 
trên �
.
3 �
�
t 1
t 1

t 2  2t
Ta có f '(t ) 
(t  1) 2

t0
�
� f '(t )  0 � �
t  2(l )
�

Bảng biến thiên:
t

f '(t )
f (t )

2
3

0
-

0

2
+
1
3

1
3

-1
Suy ra:

min f (t )  f (0)  1

�2 �
 ;2
�
�3 �
�

1
� 2�
m
ax
f
(
t
)


f


f
(2)

�
�
; �2 �
3
� 3�
 ;2 �
�
�3 �

�x  y  0
�x  1
��
Vậy : MinP  1 khi t  2 � �
hoặc
�xy  1
�y  1

�x  1
�
�y  1

10

Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của một biểu thức

1
2
1
� x y
khi t  2 � x  y  1hoặc t 
3
3
3
Ví dụ 4: Cho x, y là các số thực khác 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
MaxP 

x 4 y 4 �x 2 y 2 � x y
P  4  4  � 2  2 �  .
y
x �y
x � y x
Nhận xét: Dễ dàng nhận ra biểu thức P là đối xứng và có thể đưa vê một biến

t

x y
 . Phải thật lưu ý khi đánh giá biến t vì x, y không cùng dấu nên không thể
y x

dùng bất đẳng thức Cauchy ngay, chỉ lưu ý rằng
Bài làm: Đặt t 

x
y
và cùng dấu.
y
x

x y
x y
x
y
 . Ta có t     �2
y x
y x
y x
4

2

�x y � �x y � x y
Khi đó P  �  � 5 �  �   4  t 4  5t 2  t  1.
�y x � �y x � y x
Xét hàm số f (t )  t 4  5t 2  t  1 trên  �; 2 � 2; � .
Ta có f '(t )  4t 3  10t 2  1  2(2t 2  5)  1
Nếu t �2 � 2t 2  5 �3 � f '(t )  2t (2t 2  5)  1 �13
Nếu t �2 � 2t 2  5 �3 � f '(t )  2t (2t 2  5)  1 �11





4
2
Lại có lim f (t )  lim t  5t  t  1  �
t ��

t ��

Bảng biến thiên:
t

f '(t )
f (t )

�

-2

�

2

-

�

+

�

-2

2
f (t )  f ( 2)  2
Từ bảng biến thiên suy ra : min
t �2

11


Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của một biểu thức

Vậy MinP  2 khi t  2 �

x y
  2 � x   y .
y x

Ví dụ 5: Cho x, y �R thỏa mãn: 0  x, y �1 và x  y  4 xy .
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P  x 2  y 2  xy .
( x  y )2
Nhận xét: Hãy lưu ý rằng ta luôn có một bất đẳng thức đúng xy �
.
4
Bài làm:
t
Đặt t  x  y . Từ giả thiết x  y  4 xy � xy 
4
( x  y)2
xy
��
 

Lại có
4

t
4

t2
4

t �1
�
mà 0  x, y �1 nên 1 �t �2 .
�
t
�
0
�

3
4

2
2
Khi đó P  ( x  y )  3xy  t  t .

3
4

Xét hàm số f (t )  t 2  t trên  1;2 .
Ta có f '(t )  2t 

3
4

3
� f '(t )  0 � t  (l )
8
t

1

f '(t )
f (t )

2
+
5
2

1
4

Suy ra : min f (t )  f (1) 
 1;2

Vậy MinP 
MaxP 

1
5

; max f (t )  f  2  
 1;2
2
4

1
1
khi t  1 � x  y 
4
2

�2  2 2  2 �
�2  2 2  2 �
5
;
;
khi t  2 �  x; y   �
�;  x; y   �
�
2
2
2
2
2 �
�
�
�

Ví dụ 6: Cho x, y �R thỏa mãn: x; y �0 và ( xy  1)( x  y )  x 2  y 2  2 .
12

Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của một biểu thức

1 1
 .
x y

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 
Bài làm:

Đặt t  x  y . Từ giả thiết ( xy  1)( x  y )  x 2  y 2  2

t2  t  2
� xy ( x  y )  ( x  y )  ( x  y )  2 xy  2 � xy 
t2
2

Do ( x  y ) 2 �0 � ( x  y ) 2 �4 xy suy ra t 2 �4.

t2  t  2
� t  2 hoặc t �2
t2

x y
t 2  2t
 2
Khi đó P 
.
xy

t t  2
t 2  2t
Xét hàm số f (t )  2
trên  �; 2  � 2; � .
t t 2
Ta có f '(t ) 
t

t0
�
� f '(t )  0 � � 2
�
t   (l )
� 3

3t 2  4t  4

t

2

t 2



�

f '(t )
f (t ) 1

2

-2
-

2
3

0

�

2
+

0

-

2


2
7

1

t 2  2t
lim f (t )  lim 2
1

t ��
t ��t  t  2
Từ bảng biến thiên suy ra : mDax f (t )  f (2)  2 ;
Vậy MaxP  2 khi t  2 � x  y  1
Hãy lưu ý rằng ta chỉ tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên  �; 2  � 2; �
Ví dụ 7: ( Đề thi Đại học Khối D - 2009)
Cho các số thực x, y không âm thay đổi và thỏa mãn: x  y  1 .

13


Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của một biểu thức
2
2
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P   4 x  3 y   4 y  3 x   25 xy .

Bài làm:
2
2
2 2
3
3
Ta có: P   4 x  3 y   4 y  3 x   25 xy  16 x y  12( x  y )  34 xy

P  16 x 2 y 2  12( x  y )3  36 xy( x  y )  34 xy

P  16 x 2 y 2  2 xy  12
Đặt t  �
xy 0 t

 x  y
4

2

1.
4
� 1�

0; .
Xét hàm số f (t )  16t 2  2t  12 trên �
� 4�
�

1
.
16

Ta có f '(t )  32t  2 ; f '(t )  0 � t 

�1 � 191
�1 � 25
f (0)  12 , f � �
, f � �
.
16 � 16
�
�4 � 2
�1 � 25
1

MaxP  m ax f (t )  f � �
x

y

khi
� 1�
�4 � 2
0; �
2
�
� 4�

� 2 3
� 2 3
x

x
�
�
�1 � 191
�
�
4
4
MinP  min f (t )  f � �
khi
hoặc
�
�

� 1�
16 � 16
�
0;
�
�y  2  3
�y  2  3
� 4�
�
�
�
�
4
�
4

Ví dụ 8: Cho x, y  0 thỏa mãn: x 2  y 2  1 .
� 1�
� 1�
1  �  1  y  �
1 �
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P   1  x  �
.
y
x
�

�

�

�

Bài làm:
t2 1
2
2
t

x

y
x
,
y

0
x

y

1
Đặt
. Từ giả thiết
và
và t  1.
� xy 
2

Lại có: ( x  y )2  ( x  y ) 2 �0 � 2( x 2  y 2 ) �( x  y )2 � 1  t � 2

14


Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của một biểu thức

�x  y � t 2  t
Khi đó P   1  ( x  y )  xy  �
.
�
� xy � t  1



t2  t
Xét hàm số f (t ) 
trên 1; 2 �
�
t 1
Ta có f '(t ) 

t 2  2t  1

 t  1

� f '(t )  0 � t  1 � 2 (loại)

2

Bảng biến thiên

t

1

f '(t )
f (t )

2

�

43 2

f (t )  f ( 2)  4  3 2 ;
Từ bảng biến thiên suy ra : min
1; 2 �
�

Vậy MinP  4  3 2 khi t  2 � x  y 

1
2

Ví dụ 9: Cho x, y không đồng thời bằng 0 thỏa mãn: x  y  1 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 

1
x2
y2



.
x2  y 2 1  y 2 1  x2

Bài làm:
Đặt t  x 2  y 2 . Ta có

x  y  1 � x 2  y 2  2 xy  1 � xy 

) 2��
( x 
y )2
Lại có: ( x y�



0

2( x 2

 

y2 ) (x

y)2

t

1 t
2

1
2



x4  y 4  x2  y 2
1
1 2t 2  8t  2
Khi đó P  2
.
 2 2
  2
t t  2t  5
x  y2
x y  x2  y2  1

1
�
�
1 2t 2  8t  2
Xét hàm số f (t )   2
trên � ; ��
.
2
t t  2t  5
�
�

15

Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của một biểu thức

1 4t 2  24t  44
2
Ta có f '(t )  t 2  2
t  2t  5



� f '(t )  0 � t  1; t  5; t  1(l )



Bảng biến thiên:
t

f '(t )
f (t )

1
2

1
-

0

�

5
+

0

12
5

-

12
5

2
Từ bảng biến thiên suy ra :

2

min f (t )  f (1)  2

1
�
�
; ��
�
2
�
�

Vậy MinP  2 khi t  1 � x  0; y  1 hoặc x  1; y  0
Ví dụ 10: Cho x, y  0 thỏa mãn: x  y �2 .

x 2  y 2  xy 1
 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 
x y
xy
Bài làm:
Đặt t  x  y . Do giả thiết nên 0  t �2 .
Ta có

y
 x �

Khi đó P 

2

4 xy

t2
4

xy

x 2  y 2  xy 1 3t 4

�  .
x y

xy 4 t 2

Xét hàm số f (t ) 

3t 4
 trên  0;2 .
4 t2

3 8 3t 3  32
Ta có f '(t )   3 
 0 t � 0;2
4 t
t3

Bảng biến thiên:
t

f '(t )

0

2
-

16


Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của một biểu thức

�

f (t )

5
2

Từ bảng biến thiên suy ra : min f (t )  f (2)
 0;1

Vậy MinP 

5
2

P

5
2

5
khi t  2 � x  y  1.
2

Ví dụ 11: Cho x, y �R thỏa mãn: x 2  y 2  1 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  x 1  y  y 1  x .
( x  y )2  1 t 2  1
x  y  1 � xy 

2
2

Bài làm: Đặt t  x  y . Ta có

2

2

Lại có: ( x  y ) 2  x 2  y 2  2 xy �2( x 2  y 2 ) �  2 �t � 2
P 2   x  y   2 xy  2 xy ( x  y )  2 xy 1  ( x  y )  xy
2

.

2
t 3  t (t  1) t  1
P  1

2
2
2

2
t 3  t (t  1) t  1

Xét hàm số f (t )  1 
2
2









1
1  2 t 3  2t 2  1  2 t  2  2 �
*) Nếu 1 �t � 2 thì f (t )  �
�
2�





1
1 2
f '(t )  �
3 1  2 t 2  2 2t  1  2 � � f '(t )  0 � t  1  2; t  
�
2�
3









1
1  2 t 3  2t 2  1  2 t  2  2 �
*) Nếu  2 �t �1 thì f (t )  �
�
�
2





1
f '(t )  �
3 1  2 t 2  2 2t  1  2 �
�
�
2

� f '(t )  0 � t  1  2(l ); t 

1 2
(l )
3

Bảng biến thiên:

17

Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của một biểu thức

t



-1

2

f '(t )
f (t )



+

+

1 2
3

1 

0

-

2

2

0

+

38  6 2
27

2 2

1
0

2 2

Từ bảng biến thiên suy ra :




 max
 f (t )  f ( 2)
�
1; 2 �
�
�

Vậy

2

2

P2

2

2

MaxP  2  2 khi t  2 � x  y 

P

2

2

2
.
2

2.3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức đẳng cấp với hai biến
bằng phương pháp đặt ẩn phụ .
Đối với các biểu thức đồng bậc ta cũng có cách đưa vê một biến số bằng phương
pháp đặt ẩn phụ tương tự như khi giải hệ phương trình đẳng cấp hay các phương
trình đẳng cấp đã được học.
Ví dụ 1: Cho x, y  0 thỏa mãn:

x 2  y 2  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P  y( x  y) .

Bài làm:
Nếu x  0 � y 2  1 � P  1
Nếu x �0 . Đặt y  tx . Do x, y  0 nên t  0 .
2
2
2
Do x  y  1 � x 

1
1 t2

t2  t
t2  t
Khi đó P  2
. Xét hàm số f (t )  2
trên (0; �) .
t 1
t 1

18


Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của một biểu thức

t 2  2t  1

Ta có f '(t ) 





t2 1

2

; f '(t )  0 � t  1  2; t  1  2(l ) .

Bảng biến thiên:
t

0

�

1 2

f '(t )
f (t )

+

0

-

1 2

2

0
MaxP  m ax f (t )  f (1  2) 
 1;2

1
1 2
khi t  1  2 � x 
2

2 1
;y 
2 2

2 1
.
2 2

Ví dụ 2: Cho x, y là các số thực không đồng thời bằng không.
x2  y 2
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P  2
4 x  xy  y 2
Bài làm:
Nếu x  0� y

0

P 1

Nếu x �0 , Đặt y  tx . Khi đó P 

x2  t 2 x2
t2 1
.

4 x 2  tx 2  t 2 x 2 t 2  t  4

t2 1
Xét hàm số f (t )  2
.
t t 4
Ta có f '(t ) 

t 2  6t  1

t

2

t

t 4



2

; f '(t )  0 � t  3 � 10 .

�

f '(t )
f (t )

+

0

-

0

10  2 10
15

1

�

3  10

3  10

+
1

10  2 10
15

t2 1
lim f (t )  lim 2
1
t ��
t ��t  t  4
19


Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của một biểu thức

MaxP  m ax f (t )  f ( 3  10) 
t�R

MinP  min f (t )  f ( 3  10) 
t�R





10  2 10
khi y  3  10 x
15

10  2 10
khi y   3  10  x .
15

Ví dụ 3: Cho x, y �R thỏa mãn: x 2  xy  y 2  2 .
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P  x 2  2 xy  3 y 2 .

Bài làm:
Nếu x  0 � y 2  2 � P  6
2
2
2
Nếu x �0 , Đặt y  tx . Do x  xy  y  2 � x 

2
t2  t 1

2(3t 2  2t  1)
2(3t 2  2t  1)
Khi đó P 
. Xét hàm số f (t ) 
.
t2  t 1
t2  t 1

Ta có f '(t ) 

2(5t 2  4t  3)

t

t

2



 t 1

2

; f '(t )  0 � t 

�

f '(t )
f (t )

2  19
5

2  19
5

+

2 � 19
.
5

0

-

0

�

+

20  4 19
3

6
20  4 19
3

6
2(3t 2  2t  1)
lim f (t )  lim
6
t ��
t ��
t2  t 1
MaxP  max f (t )  f (

2  19
20  4 19
)
5
3

MinP  min f (t )  f (

2  19
20  4 19
.
)

5
3

t�R

t�R

Ví dụ 4: Cho x, y là các số thực dương thoả mãn: x 2  1 �y .

20


Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của một biểu thức

x2
y3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2  9 3 .
y
x
Bài làm:
Đặt x  ty , (t  0) . Do x, y >0 và x 2  1 �y nên y 1�t 2 y 2
�
1 t 2 y
Khi đó P  t 2 

1
y

t 2 y2 1

y
2t

t

1
2

9
9
� 1�
. Xét hàm số f (t )  t 2  3 trên �0; �
3
� 2�
t
t

Ta có f '(t )  2t 

9�
27
27 lim f (t )  lim �
2
5
t

;
;
f
'(

t
)

0
�
t

�
� �
t �0 �
t3 �
t4
2 t �0

t

f '(t )
f (t )

1
2

0
�

289
4

�1 � 289
MinP  min f (t )  f � �

x  1; y  2 .
� 1�
�2 � 4 khi
0; �
�
� 2�

3. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức có ba biến.
Trong phần này tác giả muốn trình bày một số bài toán tìm giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất của một số biểu thức chứa ba biến bằng phương pháp đặt ẩn phụ hoặc
phương pháp dồn biến thông qua một biến còn lại, rồi chuyển bài toán tìm giá trị
lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
Ví dụ 1: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x 2  y 2  z 2  3 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  2( x  y  z )  xy  yz  zx .
Bài làm:
2
Đặt t  x  y  z . Do  x ��
y z�
x 2 y 2
 3(�

z2 )

t2

9

3 t

3.

21


Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của một biểu thức

1
1
  t 2  4t  3  .
Khi đó P  2( x  y  z )  �
�x  y  z  2   x 2  y 2  z 2  �
� 2
2

Xét hàm số f (t ) 

1 2
t  4t  3 trên  3;3 .
2





Ta có f '(t )  t  2 ; f '(t )  0 � t  2 .

3

t

f '(t )
f (t )

2


0

3
+
9

3

7
2

MaxP  m ax f (t )  f (3)  9 khi x  y  z  1
 3;3

Nhận xét: Từ bảng biến thiên, ta thấy giả thiết đê bài có thể thay đổ thành tìm
giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức.
Ví dụ 2: Cho x, y , z là các số không âm trong đó không có hai số nào đồng thời
bằng không. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

x
y
z

xy  yz  zx


4 2 2
.
yz zx x y
x  y2  z2

Bài làm:

x
y
z
x2  y 2  z 2


�
Trước hết ta đi chứng minh
(*)
y  z z  x x  y xy  yz  zx

�x
y
z �


 xy  yz  zx  �x 2  y 2  z 2
�
�y  z z  x x  y �

Thật vậy, ta có (*) � �

�1
1
1 � 2
� x 2  y 2  z 2  xyz �


�x  y 2  z 2 (**)
�
�y  z z  x x  y �
Ta thấy (**) luôn đúng. Dấu bằng xảy ra khi x=0 hoặc y=0 hoặc z=0.

x2  y 2  z 2
xy  yz  zx
4 2 2
Khi đó P �
xy  yz  zx
x  y2  z2
22


Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của một biểu thức

Đặt t 

x2  y2  z 2
4 2
. Khi đó P �t 2 
.

t
xy  yz  zx

y 2�
z2
Lại có x 2 

xy

Xét hàm số f (t )  t 2 

yz

zx

t 1.

4 2
trên  1;� .
t

4 2 2t 3  4 2
Ta có f '(t )  2t  2 
; f '(t )  0 � t 
t
t2

2

Bảng biến thiên

t

1



f '(t )
f (t )

�

2

0

+

�

1 4 2

6
Từ bảng biến thiên suy ra P �f (t ) �6 .
Dấu bằng xảy ra khi x=0; y=z hoặc y=0, x=z hoặc z=0, x=y
Vậy biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất là 6.
Ví dụ 3: Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác thỏa mãn: a  b  c  3 .





2
2
2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  3 a  b  c  4abc .

Bài làm:
Do vai trò của a,b,c là như nhau nên không mất tính tổng quát giả sử 0  a �b �c

bc
Do a  b  3  c mà a �



1 c



3
.
2

2
2
2
2
Ta có: P  3 a  b  c  4abc  3  a  b   6ab  3c  4abc
2

P  3  3  c   3c 2  2ab(2c  3)

2

2

2

2

3
�3  c �
�a  b � �3  c �
Do ab ��
� �
� và c  nên ab(2c  3) ��
�(2c  3)
2
� 2 � �2 �
�2 �

23


Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của một biểu thức

Suy ra P �3  3  c 

2

2

3 2 27
�3  c �
3
 3c  2 �
�(2c  3)  c  c 
2
2
�2 �
2

3
27
�3�
1; .
Xét hàm số f (c)  c 3  c 2 
trên �
�2�
�
2
2
� f '(c)  0 � c  1; c  0(l )

Ta có f '(c)  3c 2  3c
Bảng biến thiên:
x

3
2

1

f '( x)
f ( x)

0

+

27
2
13

Từ bảng biến thiên suy ra :

P �f  c  �f  1  13 .Dấu bằng xảy ra khi

a  b  c  1.

Vậy MinP  13 khi a  b  c  1 .
Ví dụ 4: Cho x, y , z �0 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P

1
1

.
x  y  z  1 (1  x )(1  y )(1  z )

Bài làm:
Đặt t  x  y  z , t �0 .

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho hai và ba số không âm, ta có

x 2  y 2  z 2 �xy  yz  zx và x  y  z �3 3 xyz
�  x  y  z  �3( xy  yz  zx ) và  x  y  z  �27 xyz
2

P

3

1
1
1
1
1
27

�
 3


2
x  y  z  1 xyz  xy  yz  zx  ( x  y  z )  1 t  1 t
t  1 (t  3)3
t
  t 1
27 3

Xét hàm số f (t ) 

1
27

trên  0;� .
t  1 (t  3)3

24


Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của một biểu thức

Ta có f '(t ) 

1
81

; f '(t )  0 � t  0; t  3 .
(t  1) 2 (t  3) 4
t

0

�

3

f '(t )
f (t )

+

0

-

1
8

0

0

�1
27 �
lim f (t )  lim � 
0
3�
t ��
t � � t  1
(
t

3)
�
�

Vậy MaxP  m ax f (t )  f (3) 
 0; �

1

khi x  y  z  1
8

Nhận xét: Đôi khi thay bằng việc yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một
biểu thức ta có thể yêu cầu chứng minh một bất đẳng thức.
Ví dụ 5: Cho

x, y, z �0 thỏa mãn x  y  z  1. Chứng minh rằng:
7
0 �xy  yz  zx  2 xyz �
27

Bài làm:
Đặt

P  xy  yz  zx  2 xyz �0

*) Do giả thiết nên xy  yz  zx  2 xyz  xy (1  z )  yz (1  x )  zx �0

x  1; y  z  0
�
�
Suy ra: P  xy  yz  zx  2 xyz �0 . Dấu bằng xảy ra khi y  1; x  z  0
�
�
z  1; x  y  0
�
*) Không mất tính tổng quát giả sử

1

3

x �y, z .

Do giả thiết nên 0 �x � , y  z  1  x . Lại có:  y  z  �4 yz
2

( y  z )2
P  xy  yz  zx  2 xyz  x ( y  z )  yz (1  2 x ) �x (1  x ) 
(1  2 x )
4

25