Phương pháp khảo sát hàm số

Biên Soạn : Nguyễn Thị Ngọc Nhung

PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT HÀM SỐ
BẬC 3: y = f(x) = ax
3
+ bx
2
+ Cx + d
Bước 1: MXĐ : D = R
Bước 2: y’ = f’(x) = 3ax
3
+ 2bx
2
+ C
Bước 3: y’ = 0
↔
3ax
3
+ 2bx
2
+ C = 0

∆
’ = .......?.
* Nếu
' 0

>0 a
∆ ≤





→
y’> 0
→
hàm số đồng biến trên R và không có cực trị
* Nếu
' 0

< 0 a
∆ ≤




→
y’ < 0
→
hàm số nghịch biến trên R và không có cực trị

* Nếu
∆
’>
→
y’= 0 có 2 nghiệm phân biệt

→

1 1
2 2

?; ?
?; ?
x y
x y
= =


= =

Bảng xét dấu y’

x -
∞
x
1
x
2
+
∞
y’ cùng dấu với a 0 trái dấu với a 0 cùng dấu với a


→
Tuyên bố đồng biến, nghịch biến và hàm số có 2 cực trị
Bước4: y”= f”(x) = 6ax +2b
y” = 0
↔
x = -
3
a

b
; y =?
Bước 5: Bảng xét dấu y”
x -
∞
-b/3a +
∞

y” cùng dấu với a 0 trái dấu vơi a

lồi hoặc lõm điểm uốn lõm hoặc lồi
(-b/3a ; ? )
Bước 6: Giới hạn
a > 0 :
lim
x→±∞
y =
±∞
a < 0:
lim
x→ ∞m
y =
∞m

Bước 7 : Bảng Biến Thiên (BBT)
x -
∞
+
∞

y’
y
Bước 7: Vẽ đồ thị .

- 1 -
Biên Soạn : Nguyễn Thị Ngọc Nhung
+ Giao điểm của toạ độ với 2 trục toạ độ.
x = 0
→
y = d
y = 0
→
......
+ Một số điểm khác ( bảng giá trị )

x ( 3 điểm ) -b/3a ( 3 điểm )
y ?
* Chú ý trong bảng giá trị phải có nghiệm y’ và y’’ nếu có.
Bước 8: Đồ thị hàm số rơi vào 1 trong 4 dạng sau.

y y
x x
0 0
a > 0 , Có 2 cực trị a > 0 , không có cực trị .

y y
x x

0 0
a < 0 , có 2 cực trị . a < 0 , khong có cực trị .

Bước 9:* Nhận xét : Đồ thị hàm số nhận điểm uốn .
I
;?
3
b
a
−
 
 ÷
 
làm tâm đối xứng .
BÀI TẬP ÁP DỤNG

- 2 -
Biên Soạn : Nguyễn Thị Ngọc Nhung
KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1) y = 4x
3
– 2x
2
– 3x + 1 ; 2) y = x
3
– 3x
2
– 4x + 12 ; 3) y = x
3
– 3x
2
+ 6x – 8
4) y = x

3
+ 15x
2
+68x - 96 ; 5) y = x
3
-4x + 3 ; 6) y = x
3
+ 6x
2
+9x - 4
7) y = -x
3
– 3x
2
+ 4 8) y = -2x
3
+ 3x
2
- 4 ; 9) y = x
3
- 3x
2
+5x -2
10) y = -
3
3
x
+ 2x
2
– 3x -1 ; 11) y = 4x

3
– 3x ; 12) y = x
3
-3x
13) y = x
3
– 3x
2
+ 2x ; 14) y = - 2x
2
+ 1 ; 15) y = x
3 _
1
16) y = - x
3
– 2x
2 ;
17) y = -x
3
+ 3x
2
+ 9x -1 ; 18) y = - x
3
– 2x
2
+ x
19) y = x
3
– 4x
2

+ 4x ; 20) y = -
1
3
x
2
– 2x
2
– 3x + 1 ; 21) y = x
3
– 3x
2
+ 2x
22) y = x
3
– 3x
2
+ 3x + 1 ; 23) y = x
3
– 6x
2
+9x – 1 ; 24) y = - x
3
– 3x
2
– 4
25) y = x
3
– 7x + 6 ; 26) y = x
3
+ 1

PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT HÀM SỐ
BẬC 4: y = f(x) = ax
4
bx
2
+ c
( TRÙNG PHƯƠNG )
Bước1: MXĐ : D = R
Bước2: y’(x) = 4ax
3
+ 2bx
y’(x) = ax
3
+ 2bx = 0
* Nếu a,b cùng dấu

⇒
x = 0 ; y = C
BXD y’
x -
∞
0 +
∞
y’ Trái dấu a 0 cùng dấu a

→
Tuyên bố đồng biến,nghịch biến,và h/s có 1 cực trị
*nếu a,b trái dấu

x = 0 ; y = C

y’ =0
→
x =
/ 2b a−
; y = ?
x = -
/ 2b a−
; y = ?
BXD y’
A>0
x -
∞
-
/ 2b a−
0
/ 2b a−
+
∞
y’ - 0 + 0 + 0 +

→
Tuyên bố khoảng đồng biến,nghịch biến,hàm số có 3 cực trị
A<0
x -
∞
-
/ 2b a−
0
/ 2b a−
+

∞
y’ + 0 - 0 + 0 -

→
Tuyên bố khoảng đồng biến,nghịch biến h/s có 3 cực trị
Bước3: y’’= 12ax
2
+ 2b .
* Nếu a , b > 0
→
y’’> 0
→
h/s luôn lồi trrên R & không có điểm uốn .
* Nếu a , b < 0
→
y’’< 0
→
h/s luôn lồi trên R & không có điểm uốn .
* Nếu a,b trái dấu

- 3 -
Biên Soạn : Nguyễn Thị Ngọc Nhung
y” = 0
→
x =
±

/ 6b a−
; y = ?
BXD y”

x
−∞
-
/ 6b a−

/ 6b a−
+
∞

y” cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a
(c) lồi hoặc Điểm uốn lõm hoặc Điểm uốn lồi hoặc
lõm (
/ 6b a− −
;?) lồi (
/ 6b a−
; ? ) lõm
Bước4 : Giới hạn
A>0
lim
x→±∞
= +
∞
A>0
lim
x→±∞
= -
∞
Bước5 BBT
x -
∞

+
∞

y
y”

Bước6 : Vẽ đồ thị
+ Giao điểm của đồ thị hàm số với 2 trục toạ độ
x = 0
→
y = C
y = 0
↔
ax
4
+ bx
2
+ C = 0
+ Một số điểm khác ( bảng giá t
x (7điểm) gồm điểm của y’ , y’’ nếu có
y
Bước7 : đồ thị hàm số rơi vào 1 trong 4 trường hợp sau

y y
x x
o o
a > 0 , b
≥
0 a > 0 , b< 0

- 4 -
Biên Soạn : Nguyễn Thị Ngọc Nhung
y y



x x
o o
a < 0 , b
≥
0 a < 0 , b< 0
Bước8: * Nhận xét : Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng .

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau.
1) y = x
4
– 2x
2
+ 1 ; 2) y = - x
4
– 2x
2
; 3) y = x
4
– 3x
2
+ 2
4) y = x

4
– 4x
2
+ 3 ; 5) y = x
4
– 5x
2
+ 4 ; 6) y = x
4
– 4x
2

7) y = -x
4
+ 2 ; 8) y = -x
4
+ 3 ; 9) y = x
4
– 2x
2

10) y = x
4
– 1

PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ
HÀM NHẤT BIẾN
y = f(x) =
ax+b
cx+d

.
Bước 1: MXĐ: D = R\ {-d/c}.
Bước 2: y’= f’(x) =
2 2
. .
( . ) ( . )
a d a c D
c x d c x d
−
=
+ +
.
* Nếu D > 0
→
h/s đồng biến trên từng khoảng xác định .
* Nếu D < 0
→
h/s nghịch biến trên từng khoảng xác định .
Bước 3: Giới hạn và tiệm cận.

/
lim
x d c
y
→−
= ∞
→
x = - d/c là tiện cận đứng.
lim
x

y
→∞
= a/c
→
x = a/c là tiệm cận ngang.
Bước 4: BBT:
D > 0 D < 0
x -
∞
- d/c +
∞
x -
∞
- d/c +
∞

y’ + + y’ – –
y +
∞
a/c y a/c +
∞

a/c -
∞
-
∞
a/c
Bước 5: Vẽ đò thị :
+ Giao điểm của đồ thị (c) với 2 trục toạ độ .
x = 0

→
y = b/d ; y = 0
→
x = - b/a .

- 5 -