Đề thi HSG 18 môn Toán lớp 7 (có đáp án chi tiết)

---------------------Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 (có đáp án chi tiết)--------------ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN - LỚP 7
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ SỐ: 01

ĐỀ BÀI
Bài 1 (4,0 điểm):
a) Thực hiện phép tính:

A

212.35  46.92

 2 .3
2

6

 84.35



510.73  255.492

125.7 

3

 59.143

b) Cho a, b, c là ba số thực khác 0, thoả mãn điều kiện: a  b  c  b  c  a  c  a  b .

c

a

b

b
a
c
Hãy tính giá trị của biểu thức B  1  1  1   .


a 

c 

b

Bài 2 (4,0 điểm):
a) Số C được chia thành 3 số tỉ lệ theo 1:2:3. Biết rằng tổng các bình phương của
ba số đó bằng 350. Tìm số C.
b) Tìm x, biết: x 2  x  1  x 2  2 .
Bài 3 (4,0 điểm):
a) Cho x2 +y2 = 1. Hãy tính giá trị của đa thức:
M = 2x4 + 3x2y2 + y4 + y2
b) Tìm x, y  Z biết: 2xy – 3x + y = 3
Bài 4 (6,0 điểm):
Cho tam giác ABC cân tại A có AB =13 cm; đường cao AH = 12 cm. Trên cạnh
AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho BM=CN. Gọi D và E lần lượt
là hình chiếu của M và N trên BC, MN cắt BC tại I.

a) Tính BC.
b) Chứng minh I là trung điểm của MN.
c) Chứng minh các đường thẳng vuông góc với AC tại C; vuông góc với MN tại I
và AH đồng quy tại một điểm.
Bài 5 (2,0 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

K=

n 2  4n  4
n 2  4n  5

------------------------Hết-------------------- Họ và tên thí sinh:……………………………………..; Số báo danh:…………..
Chú ý: Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.

1


---------------------Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 (có đáp án chi tiết)--------------HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP 7
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ SỐ: 01

( Gồm có 04 trang )
I. Một số chú ý.
1. Tổng số điểm của 5 bài trong đề thi là 20 điểm.
2. Không được làm tròn điểm của từng câu (bài) và tổng điểm đạt được của thí
sinh.
3. Thí sinh có thể giải bằng các cách khác với lời giải trong hướng dẫn chấm, nếu
lời giải đúng, đủ bước thì người chấm vẫn có thể cho điểm tối đa theo biểu điểm quy

định cho từng câu.
II. Đáp án, biểu điểm và hướng dẫn chấm.
Bài Câu
1

a

212.35  46.92

510.73  255.492

b
2,0
điểm

10

212.35 212.34 510.73 5 .74
A

 12 6 12 5  9 3 9 3 3
3
9
3
2 6
4 5
2 .3  2 .3 5 .7 5 .2 .7
125.7

5

.14
 2 .3 8 .3  
212.34. 31 510.73.17
 12 5

2 .3. 31 59.73.1 23 

2,0
điểm

Mức
điểm

Yêu cầu cần đạt và lời giải tóm tắt

0,5đ

0,5đ

10 3
212.34.2 5 .7 . 6
 12 5  9 3
2 .3.4 5 .7 .9
1 10 7
 

6 3 2

0,5đ
0,5đ

1) Nếu a + b + c  0
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có:
a  b  c b  c  a c  a  b a  b  c  b  c  a  c  a b
=
=1


a b  c
c
a
b

mà

a b  c
bc a
c  a b
1 
1 
1
c
a
b

=>

a b b  c c  a
=2



c
a
b

=2



0.25đ
0.25đ
0.25đ

b
a
c ba ca bc
Vậy B = 1   1  
)(
)(
) =8
 1    (
a
c
b
a
c
b


0.25đ





2

0.25đ


---------------------Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 (có đáp án chi tiết)--------------2) Nếu a+b+c = 0
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
=> a + b = - c; a + c = - b; b + c = - a

2
a

2,0
điểm

2

3

3

4

b)

0.25đ
0.25đ

b
a
c  ba ca bc
=> B = 1   1  
)(
)(
) = -1
 1    (
a
c
b
 a   c  b 

0.25đ

Vậy B = 8, nếu a + b + c  0; B = - 1 nếu a + b + c = 0
(2,5 điểm)
Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số C.
Theo đề bài ta có: a : b : c = 1:2:3 (1)
và a2 +b2 +c2 = 350 (2)

0,25đ
0,25đ

Từ (1) 

a b c

   k  a = k; b = 2k; c = 3k
1 2 3

Do đó (2)  k2 ( 1+4+9) = 350
 k = 5 và k = -5
+ Với k = 5, ta được: a = 5; b = 10; c = 15.
Khi đó ta có số C = 5 + 10+ 15 = 30.
+ Với k =-5, ta được: a = -5; b =-10; c =-15
Khi đó ta có só C = (-5) +(-10) +(-15) = -30
Vì x 2  x  1  0 nên (1) => x 2  x  1  x 2  2 hay x  1  2 (*)

+) Nếu x  1 thì (*) = > x -1 = 2 => x = 3 (T/m ĐK)
2,0
điểm
+) Nếu x <1 thì (*) = > x -1 = -2 => x = -1 (T/m ĐK)
Vậy x=3; x=-1
Ta
có:
M
= 2x4 + 3x2y2 + y4 + y2 = 2x4 + 2x2y2 +x2y2 + y4 + y2
a)
= 2x2 ( x2 + y2 ) + y2 ( x2 + y2 ) + y2
2,0
= 2x2.1 +y2.1 +y2 = 2 ( x2 + y2 )
điểm
= 2.1 = 2. ( Vì x2 + y2 = 1 )
Ta có: 2xy – 3x + y = 3
b
4xy – 6x + 2y = 6
2x ( 2y – 3) + ( 2y – 3 ) = 3

2,0
(2x +1)(2y – 3) =3
điểm
Vì x,y nguyên nên 2x+1 và 2y-3 là ước của 3.
Học sinh tính được các nghiệm là:(-1;0),(0;3),(-2;1),(1;2)
a

điểm
3

0,5đ
0,5đ
0,5đ
1,0đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,75đ


---------------------Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 (có đáp án chi tiết)--------------A

M

I
B

D

H

C

E

K

1,0
1,0
N

a). (2,0 điểm)
- Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông AHB.
Học sinh tính được BH = 5 cm
- Học sinh chứng minh được hai tam giác AHB và AHC bằng
nhau
Suy ra: HB = HC = ½ BC; BC = 10 cm
b/ (2,0 điểm )
- HS chứng minh được hai tam giác BMD và ENC bằng
nhau
Suy ra: MD = EN
- HS chứng minh được tam giác MDI và tam giác NEI bằng
điểm

nhau
Suy ra: MI = IN.Vậy I là trung điểm MN.
c/ (2,0 điểm )
c
- Đường thẳng qua I vuông góc với MN cắt AH tại điểm K
- HS chứng minh được tam giác MIK và tam giác NIK bằng
điểm nhau. Suy ra MK = NK
- HS chứng minh được tam giác AKB và tam giác AKC bằng
nhau.Suy ra KB = KC
Và ABK  ACK
- HS chứng minh được tam giác MKB và tam giác NCK bằng
nhau. Suy ra: ABK  NCK
- Suy ra: NCK  ACK  900 . => CK  AC
KL: Đường thẳng vuông góc với AC tại C; vuông góc với MN
tại I và AH đồng quy tại một điểm
b

4

1,0
1,0

0,5
0,5

0,5

0,5

---------------------Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 (có đáp án chi tiết)--------------5

K=
Ta có: K=
2,0
điểm

n 2  4n  4
n 2  4n  5

(n 2  2n  5)  9
9
= 1- 2
2
n  2n  5
n  2n  5

Do n2-4n+5=(n2-2n)-(2n-4) +1= (n-2)(n-2)+1 = (n-2)2 +1  1 với
mọi n

(
0,5đ
0,5 đ
0,5đ

1
9
9
Nên 2
1 2

 9  1  2
 1  9  8 với
n  2n  5
n  2n  5
n  2n  5

mọi n
Dấu “=” xảy ra khi n - 2 = 0, suy ra n = 2.
Vậy Giá trị nhỏ nhất của K là -8 khi n = 2
------------------------------Hết-----------------

5

0,5đ


---------------------Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 (có đáp án chi tiết)--------------ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN - LỚP 7
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ SỐ: 02

ĐỀ BÀI
Bài 1 (4 điểm)

1
1
1
1



 ... 
2.4 4.6 6.8
2012.2014
2
3
4
100
101
b/ So sánh S  3  2  2  2  ...  2 và P  2
a/ Tính giá trị biểu thức : A 

Bài 2 (4 điểm):
a/ Tìm x biết 3x  2x  1  2
b/ Tìm x, y, z biết 2x  3y;5x  7z và 3x - 7y + 5z = 30
Bài 3 (4 điểm)
a/ Tìm đa thức bậc hai f(x) biết rằng : f(0)=10; f(1)=20 và f(3)=58
b/ Chứng minh rằng nếu m2 + mn + n2 chia hết cho 9 với m,n là các số tự nhiên
thì m, n chia hết cho 3.
Bài 4 (6 điểm):
Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh BC, trên tia đối của tia CB lấy
điểm E sao cho CE=BD. Các đường thẳng vuông góc với BC tại D và E lần lượt cắt các
đường thẳng AB và AC theo thứ tự tại M, N. Gọi I là giao điểm của MN với BC.
a/ Chứng minh rằng I là trung điểm của MN.
b/ Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định
Bài 5 (2 điểm):
Tìm các số tự nhiên x, y, z  0 thoả mãn điều kiện: x + y + z = xyz
-------------------------------------HẾT------------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

6

---------------------Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 (có đáp án chi tiết)--------------HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP 7
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ SỐ: 02

.
Bài
ý
Bài 1 a

Nội dung

Điểm

1
1 1
1 
*
  
 với k  N
k  k  2 2  k k  2 
Cho k chạy từ 2 đến 2012 và k là số chẵn ta được

0,5

Ta có :

1

1
1
1


 ... 
2.4 4.6 6.8
2012.2014
11 1 1 1 1 1
1
1 
        ... 


2 2 4 4 6 6 8
2012 2014 
11
1  503
  

2  2 2014  2014
503
A
2014
Vậy
Ta có:
S  3  22  23  24  ...  2100  1  2  22  23  24  ...  2100
 2S  2  22  23  24  ....  2100  2101
 2S  S  2101  1
 S  2101  1  2101

S P
Vậy S < P
A

2,0đ

4,0 đ b

2,0đ

Bài 2 a

2,0đ

+ Với x 

1
 2x  1  0  2x  1  2x  1
2

Ta có
3x  2x  1  2  3x   2x  1  2
 x  3 (thoả mãn đk)
1
+ Với x 
 2x  1  0  2x  1    2x  1
2
Ta có
3x  2x  1  2  3x   2x  1  2
1

 5x  1  x  (không thoả mãn ĐK)
5
Vậy x=3
7

0,75
0,5

0,25

0,25
0,75
0,25
0,5
0,25
0,25

0,5
0,25
0,25
0,25

025
0,25


---------------------Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 (có đáp án chi tiết)--------------b

2,0đ

Bài 3 a

x y
x
y
(1)
  
3 2
21 14
x z
x
z
(2)
5x  7z    
7 5
21 15
x
y z
Từ (1) và (2)   
21 14 15
3x 7y 5z 3x  7y  5z 30 3






63 98 75 63  98  75 40 4
x 3
63


 x
21 4
4
y 3
21
z 3
45
 y
;
 z
14 4
2
15 4
4
63
21
45
Vậy x  , y  ,z 
.
4
2
4

0,25

Gọi đa thức bậc hai là f  x   ax 2  bx  c với a  0
Ta có : f  0   10  c  10
f 1  20  a  b  c  20  a  b  10 (1)

0,5
0,25

Ta có 2x  3y 

0,25

0,25
0,5

0,75

0,25

f  3  58  9a  3b  c  58

2,0đ

 9a  3b  48  3a  b  16  2 
Từ (1) và (2)  2a  6  a  3
 b  10  3  7
Vậy đa thức cần tìm là f  x   3x 2  7x  10

b

Ta có : m 2  mn  n 2   m  n   3mn (1)

0,5

Vì m 2  mn  n 2 M

9
2
2
2
 m  mn  n M
3  m  n M
3  m  nM
3  2

0,5

2

0,25
0,5
0,25

2

2,0đ

 m  n M
9
9  mn M
3 (3)
Kết hợp với (1)  3mn M
Vì 3 là số nguyên tố nên từ (2) và (3) suy ra m và n đều chia
hết cho 3.
Suy ra đpcm

8

0,5
0,5


---------------------Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 (có đáp án chi tiết)--------------Bài 4 a

A

M

3,0
I
B

C
E

D

O

N

1,0

b

6,0

điểm
3,0

Bài 5

Chứng minh
DBM  ECN
 DM = EN
Chứng minh DMI  ENI
 IM = IN
Hay I là trung điểm của MN
Gọi O là giao điểm của đường trung trực của BC với đường
thẳng vuông góc với MN tại I.
Vì AB = AC  AO là đường trung trực của BC  OB=OC
Vì I là trung điểm của MN  OI là đường trung trực của MN
 OM = ON
Vì DBM  ECN  BM = CN
Xét OBM và OCN có
OB = OC, OM = ON, BM = CN
 OBM = OCN (C.C.C)
·
·
 OCN
(1)
 OBM
·
·
Vì AO là đường trung trực của BC  OBA
(2)
 OCA

·
·
Từ (1) và (2)  OCN
 OCA
 OC  AC
Vì vậy O là giao điểm của đường trung trực của cạnh BC với
đường thẳng vuông góc với AC tại C nên điểm O cố định
Suy ra điều phải chứng minh
Không mất tính tổng quát của bài toán giả sử x  y  z
9

0,25
1,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,5

0,5
0,5
0,5
0,25
0,5


---------------------Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 (có đáp án chi tiết)---------------

2,0đ

Vì x, y, z là các số tự nhiên khác 0  1  x  y  z
Ta có x  y  z  xyz *
1
1
1
 

1
yz xz xy
1
1
1
3
1 2  2  2  2
x
x
x
x
2
 x  3 x 1
Thay vào (*) ta được
1+ y + z = yz
  y  1 z  1  2

0,25
0,25

0,5
0,5
0,5

y  1  1 y  2
0,25


z  1  2 z  3
  x, y, z   1;2;3
Vì vai trò của x, y, z như nhau nên các bộ số (x,y,z) thoả mãn bài
toán là : 1;2;3 ; 1;3;2  ;  2;1;3 ;  2;3;1 ;  3;1;2  ;  3;2;1
0,25
Chú ý: Học sinh làm cách khác vẫn cho điểm tối đa.
-----------------------------Hết--------------------

10


---------------------Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 (có đáp án chi tiết)--------------ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN - LỚP 7
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ BÀI

ĐỀ SỐ: 03

Bài 1. (4,0 điểm).
13
19  23
2
8
.  0,5  .3    1  :1
15
 15 60  24

20
100
b) So sánh: 16 và 2

a) Tính: A = 1

Bài 2. (3,0 điểm).
a) Tìm x biết: 2 x  7 

1
1
1
2
2

b) Tìm số tự nhiên n biết: 31.3n  4.3n  13.35
Bài 3. (4,5 điểm).
2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d



a
b
c
d
ab bc cd d a
Tính giá trị biểu thức Q, biết Q =




cd d a ab bc

a) Cho dãy tỉ số bằng nhau:

x
y
z
t
với x, y, z, t là các số



x y z x yt y z t x zt
tự nhiên khác 0. Chứng minh M 10  1025 .

b) Cho biểu thức M 

Bài 4. (6,5 điểm).
1) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm BC, D là điểm thuộc
đoạn BM (D khác B và M). Kẻ các đường thẳng BH, CI lần lượt vuông góc với đường
thẳng AD tại H và I. Chứng minh rằng:
·
·
a) BAM
và BH = AI.
= ACM

b) Tam giác MHI vuông cân.
2) Cho tam giác ABC có góc  = 900. Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Tia
phân giác của góc HAC cắt cạnh BC ở điểm D và tia phân giác của góc HAB cắt cạnh

BC ở E. Chứng minh rằng AB + AC = BC + DE.
Bài 5. (2,0 điểm).
Cho x, y, z là 3 số thực tùy ý thỏa mãn x + y + z = 0 và 1  x  1 , 1  y  1 ,
1  z  1 . Chứng minh rằng đa thức x 2  y 4  z 6 có giá trị không lớn hơn 2.
-------------------------Hết----------------------------11


---------------------Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 (có đáp án chi tiết)--------------HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP 7
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu
Bài 1.

ĐỀ SỐ: 03

Nội dung
7
5

47 47
:
60 24
7 2
= 
5 5

+ Biến đổi: A  
a) 2,0 đ

1,0
1,0

=1

+ Biến đổi: 1620  24.20  280

0,5

80
100
b) 2,0 đ + Có 2  2 vì (1 < 2 ; 80 < 100)

20

Điểm
4,0 đ

1,0
0,5

100

Vậy 16  2
Bài 2.

3,0 đ

1
1

 1 => 2 x  7  1
2
2
a) 2,0 đ => 2 x  7  1 hoặc 2 x  7  1

+ Ta có 2 x  7 

=> x  4 hoặc x  3
Vậy x  4 hoặc x  3 .
+ Biến đổi được 3n.(31  4)  13.35
=> 3n  36
b) 1,0 đ => n = 6
KL: Vậy n = 6

0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
4,5 đ

Bài 3.
2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d



a

b
c
d
2a  b  c  d
a  2b  c  d
a  b  2c  d
a  b  c  2d
1 
1 
1 
1
a
b
c
d
abcd abcd abcd abcd



a
b
c
d
+ Nếu a + b + c + d  0 thì a = b = c = d => Q = 1 + 1 +1 +1 = 4

+ Biến đổi:

a)
(2,5 đ) + Nếu a + b + c + d = 0
thì a + b = - (c + d); b + c = - (d + a); c + d = - (a + b); d + a = - (b + c)

=> Q = (-1) + (-1) + (-1) +(-1) = - 4
+ KL : Vậy Q = 4 khi a + b + c + d  0
Q = - 4 khi a + b + c + d = 0

0,5

0,25
0,25
1,0
0,25
0,25

12


---------------------Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 (có đáp án chi tiết)--------------+ Ta có:

x
x

x y z x y
y
y

x yt x y
z
z

y z t z t

0,1

t
t

x z t zt

b)
(2,0 đ)
M < (

x
y
z
t

)(

)
xy xy
zt zt

=> M < 2
0,25

+ Có M10 < 210 (Vì M > 0) mà 210 = 1024 < 1025
Vậy M10 < 1025

0,5
0,25

A

I

Bài 4.

0,25
D
B

C

M
H

1.a/
2,75 đ

·
* Chứng minh: BAM
·
ACM
+ Chứng minh được: ABM = ACM (c-c-c)
·
·
+ Lập luận được: BAM
 CAM
 450
+ Tính ra được ·

ACM  450
·
=> BAM
·
ACM

0,25

* Chứng minh: BH = AI.
·
·
 ·ACI (cùng phụ DAC
+ Chỉ ra: BAH
)
+ Chứng minh được AIC = BHA (Cạnh huyền – góc nhọn)
=> BH = AI (2 cạnh tương ứng)

0,5

b) Tam giác MHI vuông cân.
1.b/ + Chứng minh được AM  BC
2,0 đ + Chứng minh được AM = MC
·
·
+ Chứng minh được HAM
 ICM

0,5
0,25
0,25

0,75
0,25
0,25
0,25
0,25

13


---------------------Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 (có đáp án chi tiết)--------------+ Chứng minh được HAM = ICM (c-g-c)
=> HM = MI
·
·
·
·
+ Do HAM = ICM => HMA
=> HMB
(do
 IMC
 IMA

(*)

·
AMB  ·
AMC  900
·
+ Lập luận được: HMI
 900

(**)

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

Từ (*) và (**) => MHI vuông cân

A

0,25

2)
1,5đ

B

E

H

D

C

+ Chứng minh được :
·AEC  ·

·
·
·
·
·
·
·
·
ABC  BAE
 HAD
 DAC
 BAE
 EAH
 HAD
 DAC
 EAC
·
·
(Vì Bµvà HAC
cùng phụ với BAH
)

Suy ra tam giác AEC cân tại C =>AC = CE
+ Tương tự chứng minh được AB = BD
+ Từ (*) và (**) => AB + AC = BD + EC = ED + BC
+) Trong ba số x, y, z có ít nhất hai số cùng dấu. Giả sử x; y  0
=> z = - x - y  0
2
4
6

Bài 5. +) Vì 1  x  1 , 1  y  1 , 1  z  1 = > x  y  z  x  y  z
=> x 2  y 4  z 6  x  y  z
2,0 đ => x 2  y 4  z 6  2 z
+) 1  z  1 và z  0 => x 2  y 4  z 6  2
KL: Vậy x 2  y 4  z 6  2
Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
------------------------------Hết----------------------

14

0,25
(*)
(**)

0,25
0,50
0,25
0,25
0,50
0,25
0,25
0,50
0,25


---------------------Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 (có đáp án chi tiết)---------------

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN - LỚP 7
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ BÀI

ĐỀ SỐ: 04

Câu1: (1 điểm)
2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d



a
b
c
d
ab
bc
cd
d a



Tìm giá trị biểu thức: M=
cd
d a
ab
bc

Cho dãy tỉ số bằng nhau:

Thực hiện phép tính:

Câu 2:(2điểm)

1 
1  
1

A= 1 
 . 1 
 ... 1 

1 2
1 2  3
1  2  3  ...  2006




 



Câu3:(2 điểm)

Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2.
Câu 4: (2 điểm) Tìm một số có 3 chữ số biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số
của nó tỷ lệ với 3 số 1; 2; 3.
Câu 5 : ( 3 điểm )
Cho tam giác ABC ,trung tuyến AM .Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AM, BI cắt
cạnh AC tại D.
a. Chứng minh AC=3 AD

b. Chứng minh ID =1/4BD
--------------------------------------Hết---------------------------

15


---------------------Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 (có đáp án chi tiết)--------------HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP 7
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ SỐ: 04

Câu 1:
Mỗi tỉ số đã cho đều bớt đi 1 ta được:
2a  b  c  d
a  2b  c  d
a  b  2c  d
a  b  c  2d
1 
1 =
1 
1
a
b
c
d
abcd abcd abcd abcd




a
b
c
d

( 0,5đ)

+,

Nếu a+b+c+d  0 thì

a = b = c = d lúc đó M = 1+1+1+1=4

+,

Nếu a+b+c+d = 0 thì

a+b = - (c+d); b+c = - (d+a); c+d = - (a+b);

d+a = -(b+c), lúc đó M = (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = -4.
Câu 2: (2điểm) Thực hiện phép tính:

( 0,25đ)



 




 

1
1
1
A = 1 
. 1 
... 1 


(1  2).2
(1  3).3
(1  2006)2006 


 


2

2
 
2


=

2 5 9 2007.2006  2 4 10 18 2007.2006  2
. . ....
 . . ....

3 6 10
2006.2007
6 12 20
2006.2007

Mà: 2007.2006 - 2 = 2006(2008 - 1) + 2006 - 2008
= 2006(2008 - 1+ 1) - 2008 = 2008(2006 -1) = 2008.2005
Từ (1) và (2) ta có:
A=

( 0,5đ)

(1)

( 0,5đ)
(2)

4.1 5.2 6.3 2008.2005 (4.5.6...2008)(1.2.3...2005)
2008 1004
.
.
....



2.3 3.4 4.5 2006.2007 (2.3.4...2006)(3.4.5...2007) 2006.3 3009

Câu 3 :(2 điểm)
Trong tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn hơn cạnh thứ 3. Vậy có:
b + c > a.

Nhân 2 vế với a >0 ta có:
a.b + a.c > a2.
(1)
2
Tương tự ta có :
b.c + b.a > b
(2)
2
a.c + c.b > c
(3).
Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta được:
2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2.
Câu 4:
Gọi chữ số của số cần tìm là a, b, c. Vì số càn tìm chia hết 18
16

( 0,25đ)

( 0,5đ)

( 0,5đ)

( 0,5đ)
( 0,25đ)
( 0,25đ)
( 0,25đ)
( 0,75đ)


---------------------Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 (có đáp án chi tiết)-------------- số đó phải chia hết cho 9.

Vậy (a + b + c ) chia hết cho 9. (1)
(0,5đ).
Tacó: 1  a + b + c  27
(2)
( 0,5đ).
Vì 1  a  9 ; b  0 ; 0  c  9
Từ (1) và (2) ta có (a + b + c) nhận các giá trị 9, 18, 27 (3).
(0,25đ)
Suy ra: a = 3 ; b = 6 ; c = 9
(0,25đ).
Vì số càn tìm chia hết 18 nên vừa chia hết cho 9 vừa chia hết cho 2  chữ số hàng đơn
vị phải là số chẵn.
(0,25đ)
Vậy ssố cần tìm là: 396 ; 963

(0,25đ).

A
Câu 5.(3đ)

D
E
C

B
M
Ghi GT-KL và vẽ hình (0,5 đ)
Chứng minh: a (1,5đ)
Gọi E là trung điểm CD trong tam giác BCD có ME là đường trung bình
=> ME//BD

(0,25đ)
Trong tam giác MAE có I là trung điểm của cạnh AM (gt) mà ID//ME(gt)
Nên D là trung điểm của AE => AD=DE (1)
(0,5đ)
Vì E là trung điểm của DC => DE=EC (2)
(0,5đ)
So sánh (1)và (2) => AD=DE=EC=> AC= 3AD
(0,25đ)
b.(1đ)
Trong tam giác MAE ,ID là đường trung bình (theo a) => ID=1/2ME (1)
(0,25đ)
Trong tam giác BCD; ME là Đường trung bình => ME=1/2BD (2)
(0,5đ)
So sánh (1) và (2) => ID =1/4 BD
(0,25đ)
------------------------------------------Hết-----------------------------

17


---------------------Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 (có đáp án chi tiết)--------------ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN - LỚP 7
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ BÀI
Câu 1 ( 1,5 điểm)
a) Thực hiện phép tính:

A=

ĐỀ SỐ: 05

212.35  46.92
510.73  255.492

(22.3)6  84.35 (125.7)3  59.143

b) Cho hàm số: y  f ( x)  ax 2  bx  c
Cho biết: f (0)  2010;
f (1)  2011;

f (1)  2012 .

Tính f (2) ?

Câu 2 ( 2 điểm) Tìm x , y , biết :
a) ( x  5) x1  ( x  5) x11  0
c) x  5   3 y  4 
Câu 3 ( 1,5điểm)

2010

b)
d)

0

5x  1
3



7y 6
5



5x  7 y  7
4x

x 1 x  2 x  3 x  4



2019 2018 2017 2016

a) Cho 3 số x ,y , z khác 0 thỏa mãn điều kiện :

y zx z x y x yz
. Hãy tính giá trị của biểu thức : B =


x
y
z

 x 
y 
 1  1  1 
y 
z 


z

x

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A  x  2010  ( y  2011)2010  2011 và giá trị
của x, y tương ứng.
Câu 4 ( 1 điểm) Tìm số tự nhiên M nhỏ nhất có 4 chữ số thỏa mãn điều kiện:
M = a + b = c +d = e + f
Biết a,b,c,d,e,f thuộc tập N* và

a 14 c 11 e 13
;  ; 

b 22 d 13 f 17

Câu 5 ( 3 điểm ) Cho tam giác ABC có góc B và góc C là hai góc nhọn .Trên tia đối của
tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB , trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE =
AC. a) Chứng minh rằng : BE = CD.
b) Gọi M là trung điểm của BE , N là trung điểm của CD. Chứng minh M,A,N thẳng
hàng.
c)Ax là tia bất kỳ nằm giữa hai tia AB và AC. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của B và C
trên tia Ax . Chứng minh BH + CK  BC.
d) Xác định vị trí của tia Ax để tổng BH + CK có giá trị lớn nhất.
Câu 6: (1điểm) Cho A(x) = x+ x2 +x3 + ... + x99 +x100
a) Chứng minh rằng x = -1 là nghiệm của A(x).
b) Tính A(x) tại x =

1
2

..................................................................Hết....................................................................
Họ và tên : ..................................................... Số báo danh:...................................
Lưu ý : Cán bộ cọi thi không giải thích gì thêm.
18


---------------------Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 (có đáp án chi tiết)--------------HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP 7
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
.Câu

Ý
câu

ĐỀ SỐ: 05

Biểu
điểm

Đáp án
10

1
(1,5đ)

212.35  212.34 510.73  5 .7 4
A  12 6 12 5  9 3 9 3 3
2 .3  2 .3 5 .7  5 .2 .7
12 4

2 .3 .  3  1 510.73. 1  7 
 12 5

2 .3 .  3  1 59.73. 1  23 

a

10

0,25

3

212.34.2 5 .7 .  6 

212.35.4
59.73.9
1 10 7
 

6
3
2

0,25



0,25

Theo giả thiết ta có: f (0)  2010  c  2010
(1)
(2)

f (1)  2011  a  b  c  2011  a  b  2010  2011  a  b  1
f (1)  2012  a  b  c  2012  a  b  2010  2012  a  b  2

0,25

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có: 2a = 3 => a = 3/2
b

Thay vào (2) ta được: b =

0,25

1
2
3
2

1
2

Do đó: Hàm số đã cho có dạng: y  f ( x)  x 2  x  2010
3
1
2
2
x 1

10
 ( x  5) 1  ( x  5)   0

0,25

( x  5) x 1  0

10
1  ( x  5)  0

0,25

Vậy: f (2)  .(2) 2  .(2)  2010  6  1  2010  2017
2
(2đ)

a

x  5  0

10
( x  5)  1
x  5
  x  4
 x  6

5x  1
3



7y  6
5



0,25
5x  7 y  7
4x

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
5x  1
3

b



7y 6

Do đó:

5



5x  7 y  7

5x  7 y  7
8

8




5x  7 y  7
4x

5x  7 y  7
4x

- Nếu 5 x  7 y  7  0 thì 8 = 4x => x = 2, thay vào tính được y = 3
6
7

- Nếu 5 x  7 y  7  0 => 5x – 1 = 0 và 7y – 6 =0  y  ; x 
19

1
(thỏa
5

0,25
0,25


---------------------Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 (có đáp án chi tiết)--------------mãn)
Ta có x  5  0 với mọi x và (3 y  4)2010  0 với mọi y
c

Vậy x  5   3 y  4

2010

 0  x+5 =0 và 3y - 4 = 0

0,25
0,25

4
 x = -5 và y =
3

d

0,25

x 1   x  2   x  3   x  4 
Ta cã : 
 1  
 1  
 1  
 1

 2019   2018   2017   2016 
x  2020 x  2020 x  2020 x  2020




0
2019
2018
2017
2016
1
1
1
1
x - 2020 = 0 ( V×



 0 )  x = 2020
2019 2018 2017 2016
y zx z x y x yz
Từ


x
y
z
yz
zx
x y

1 
1 
1
x

y
z
yz zx x y



x
y
z

0,25

0,25

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
y  z z  x x  y 2( x  y  z )



 2 với x + y + z  0
x
y
z
x yz

0,25

Do đó :
3

 x
y
z yz zx x y
B = 1  1  
= 2 .2 .2 = 8
.
.
1   =
y 
z  x 
x
y
z


a
b

(1,5đ)
4
(1đ)

0,25

Ta thấy: x  2010  0 với mọi x và (y + 2011)2010  0 với mọi y
Do đó: A  x  2010  ( y  2011)2010  2011  2011 với mọi x, y.
Vậy: AMin = 2011. Khi đó: x = 2010 và y = -2011
Từ giả thiết ta có:
a 7


b 11
c 11

d 13
e 13

f 17
a b ab M
  

7 11 7  11 18

0,25
0,25
0,25

0,5

0,25

Tương tự ta có:
20


---------------------Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 (có đáp án chi tiết)--------------c d
cd
M
 

11 13 11  13 24

(2)
e
f
e f
M



13 17 17  13 30

 M  BC 18; 24;30 

kết hợp (1); (2)

Mặt khác M là số tự nhiên nhỏ nhất có 4 chữ số nên:

0,25
M là 1080

0,5

D
E

M

N

A

k

K

0,25

I

B

C

H

x

c/m được  ABE =  ADC (c.g.c)
5
(3,0đ)

0,25

a

b
c

d

6( 1,0 đ) a

 BE = DC ( 2 cạnh tương ứng)
c/m được  ABM =  ADN (c.g.c)  AM = AN
và MAB  NAD
0
Mà BAN  NAD  180  BAN  BAM  1800

Vậy M,A,N thẳng hàng.
Gọi I là giao điểm của BC và Ax, ta có BH  BI ; CK  CI
 BH + CK  BI + CI = BC
Theo câu c) BH + CK  BC nên giá trị lớn nhất của BH+ CK bằng BC
khi BH = BI và CK = CI
 H  I; K  I
Do đó Ax  BC
Ta có : A (-1) = (-1) +(-1)2 +( -1)3 + ... + (-1)99 + (- 1)100
A( -1) = -1 +1 + (-1) +1 +...+ (-1)+1 = 0 ( Vì có 50 số 1 và 50 số -1 )
Do đó : x = -1 là nghiêm của A(x)
Tại x =

b

1
thì
2

A =

1 1
1
 2  ....  100

2 2
2

21

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25


---------------------Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 (có đáp án chi tiết)--------------Do đó :

2A = 2 .(

Khi đó : 2A - A = 1 Vậy : A = 1 -

1
100

2

1

100

2

1 1
1
1 1
1
 2  ....  100 ) = 1+  2  ....  99
2 2
2 2
2
2

Hay A = 1 -

1
100

2

1
tại x =
2

Lưu ý: Học sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa
------------------------------------Hết----------------------

22

0,25

0,25


---------------------Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 (có đáp án chi tiết)--------------ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN - LỚP 7
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ BÀI

ĐỀ SỐ: 06

Câu 1: (4,5 điểm)
4 1 2 4  1 5 
   :  
9  15 3  9  11 22 

1) Tính giá trị của biểu thức: A  : 
3
12
1
2) Tìm x, biết:  1  x  :  2


5

 13

6

3) Tính giá trị của biểu thức M = 21x2y + 4xy2 với x, y thoả mãn:

(x - 2)4 + ( 2y - 1)2014  0
Câu 2: (4,5 điểm)
x y
y z
và 2 x  y  z  14.
 ;

3 4
6 8
2
2) Tìm x , biết: (x - 2)(x + ) > 0.
3
3
1 3 2
1
1
1
3) Tìm số nguyên x, biết rằng: .15  .5  x   3 : 7  6  .  2 
7
3 7 5
2  3
 2

1) Tìm các số x, y, z biết:

Câu 3: (5,0 điểm)
a/ Chứng minh rằng: Nếu 0 < a1 < a2 < ….. < a9 thì:
a1  a2  ....  a9
 3
a3  a6  a9

b/ Tìm x biết rằng. (x – 7)x + 1 - (x – 7) x + 11 = 0
Câu 4: (4,5 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D ( D khác B, C). Trên tia
đối của tia CB, lấy điểm E sao cho CE = BD. Đường vuông góc với BC kẻ từ D cắt BA
tại M. Đường vuông góc với BC kẻ từ E cắt tia AC tại N. MN cắt BC tại I.
1) Chứng minh rằng: DM = EN.
2) Chứng minh rằng IM = IN; BC < MN.
3) Gọi O là giao của đường phân giác góc A và đường thẳng vuông góc với MN tại
I. Chứng minh rằng: BMO  CNO . Từ đó suy ra điểm O cố định.
Câu 5: (1,5 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên đường trung tuyến BD lấy điểm E sao cho
·
·
·
.
DAE
 ·ABD (E nằm giữa B và D). Chứng minh rằng DAE
 ECB
.............. Hết.............

23


---------------------Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 (có đáp án chi tiết)--------------HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP 7
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu

ĐỀ SỐ: 06

Hướng dẫn
4 3 4 3 4  5 22 
 :
 .

  4
9 5 9 22 9  3
3 
3
13 12
3
2) (1,5đ) Ta có:  1  x  .  x  3
5
6 13
5
3) (1,5đ) Vì (x - 2)4  0; (2y – 1) 2014  0 với mọi x, y nên
(x - 2)4 + (2y – 1) 2014  0 . Mà (x - 2)4 + (2y – 1) 2014  0
1
Suy ra (x - 2)4 = 0 và (2y – 1) 2014 = 0 suy ra x = 2, y =
2

1,5

Khi đó M = 44.

0,25
0,5

1) (1,5đ) A  :

Câu 1:
4,5đ

x y
y z
x y
z
 ;

 

3 4
6 8
9 12 16
x y
z 2x y
z
2 x  y  z 14
Vậy:      

 1
9 12 16 18 12 16 18  12  16 14

1) (1,5đ) Từ

Suy ra x = -9; y = -12; z = -16.
2) (1,5đ) Từ (x - 2)(x +
Dễ thấy x – 2 < x +

Câu 2:
4,5đ

Điểm

2
2
) > 0 suy ra x – 2 và x + cùng dấu.
3
3

0,5
0,25
0,5

0,5
0,5
0,25

2
nên ta có:
3

2
cùng dương  x – 2 > 0  x > 2.
3
2
2
2
 x – 2 và x + cùng âm  x + < 0  x < 3

3
3
2
Vậy x > 2 hoặc x < .
3
3
1 3 2 3
1
2
31
3)(1,5đ) Ta có .15  .5  . 15  5   8
7
3 7 5 7  3
5
35
1  1
 1
 3 : 7  6  .  2   14
2  3
 2

 x – 2 và x +

Do đó: 8

1,5

31
 x  14 , vì x nguyên nên x  9;10;11;12;13;14
35

Câu 3:
(5.0đ) a(2,0đ)
Ta có: 0 < a1 < a2 < ….. < a9 nên suy ra:
a1 + a2 + a3 < 3a3 (1)
a4 + a5 + a6 < 3a6 (2)
a7 + a8 + a9 < 3a9 (3)
24

0,5
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5

0,25
0,25


---------------------Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 (có đáp án chi tiết)--------------Cộng vế với vế của (1) (2) (3) ta được:
a1 + a2 + …..+ a9 < 3(a3 + a6 + a9)
b

Vì a1 + a2 + ….. + a9 > 0 nên ta được:

0,5
0,5
0,5

a1  a2  ....  a9
 3
a3  a6  a9

b(3,0 đ) (x – 7)x + 1 - (x – 7) x + 11 = 0
= > (x – 7)x + 1 - (x – 7) x + 1 + 10 = 0
= > (x – 7)x + 1 - (x – 7) x + 1 . (x – 7) 10 = 0
= > (x – 7)x + 1 [1 - (x – 7) 10 ] = 0
Do đó (x – 7)x + 1 = 0 hoặc 1 - (x – 7) 10 = 0
* (x – 7)x + 1 = 0 = > x = 7
*1 - (x – 7) 10 = 0 => (x – 7) 10 = 1 = > x – 7 = ±1
=> x = 8 hoặc x = 6
Vậy x = 6; x = 7; x = 8

0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5

A

M

B

C

I

E

D

N

Câu 4:
(4,5đ)

O
1) (1,5đ)
Tam giác ABC cân tại A nên ·ABC  ·ACB;
Do đó: MDB  NEC ( g.c.g )  DM  EN

·
NCE
 ·ACB; (đối đỉnh)

2) (1,5đ)Ta có MDI  NEI ( g.c.g )  MI  NI
Vì BD = CE nên BC = DE .
Lại có DI < MI, IE < IN nên DE = DI + IE < MI + IN = MN
Suy ra BC < MN.
3)(1,5đ) Ta chứng minh được:
ABO  ACO(c.g .c)  OC  OB, ·ABO  ·
ACO.

1,5

0,5
0,5
0,5

0,5

MIO  NIO(c.g .c )  OM  ON .

Lại có: BM = CN, do đó BMO  CNO(c.c.c)
·
·
·
·
·
 MBO
 NCO
·
ACO suy ra NCO
 ACO
, Mà: MBO
,

25

0,25