DE THI THU DAI HOC + DAP AN 2009

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2009
Thời gian: 180 phút
( Không kể thời gian giao đề)
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I: ( 2 điểm)
Cho hàm số
3 2
( ) : 1
m
C y x mx
= + −
, m là tham số thực
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 3
2) Xác định m để phương trình
3 2
1 0x mx
+ − =
có nghiệm duy nhất
Câu II: ( 2 điểm)
1) Giải phương trình:
( )
17
tan 1 sin 2 sin 4
4 2
x x x
π π
   
+ − = +
 ÷  ÷
   
2) Tìm m để phương trình

3 6 (3 )(6 )x x x x m+ + − − + − =
có nghiệm
Câu III: ( 2 điểm)
1) Tính tích phân
3
4
4
0
4sin
1 cos
x
I dx
x
π
=
+
∫
2) Cho hình chóp S.ABC có các cạnh đều bằng 1, O là tâm của tam giác ABC, I là trung điểm SO,
mặt phẳng (BIC) cắt SA tại M. Tìm tỉ số thể tích của tứ diện SBCM và SABC.
Câu IV: ( 1 điểm)
Cho
2 2 2
0 , , 1 1.x y z vaø x y z≤ ≤ + + =
Chứng minh rằng
2 2 2
3 3
2
1 1 1
x y z
x y z

+ + ≥
− − −
PHẦN RIÊNG Thí sinh chỉ được chọn môt trong hai phần( phần 1 hoặc phần 2 )
1) Theo chương trình chuẩn:
Câu Va: (2 điểm)
1) Cho hình vuông có đỉnh A(-4, 5) và một đường chéo đặt trên đường thẳng
7x – y 8 0+ =
. Lập
phương trình các cạnh và đường chéo thứ hai của hình vuông.
2) Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 người ta lập ra được các số có 4 chữ số khác nhau. Tính tổng tất
cả các số này.
Câu VI a: (1 điểm) Cho mặt cầu (S)
2 2 2
2 4 6 5 0x y z x y z+ + − − − + =
và mặt phẳng (P):
2 2 20 0x y z+ − + =
. Tìm điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ điểm M đến mp(P) ngắn
nhất.
2) Theo chương trình nâng cao
Câu Vb: (1 điểm) Giải bất phương trình
2
3 1
4
log log 0
3
x
x x
x
π
−

 
+
>
 
−
 
Câu VIb: (2 điểm) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng
3 6 1
( ) :
1 2 1
x y z− − −
∆ = =
−
và mặt phẳng (P)
2 2 6 0x y z− + − =
a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d) và đi qua điểm O( O là góc tọa độ )
b) Viết phương trình mặt cầu có tâm I là giao điểm của đường thẳng (d) với mặt phẳng (P) và mặt
phẳng (P) cắt mặt cầu theo thiết diện là đường tròn có chu vi bằng
16
π
. . . . . . .Hết . . . . .
( Chúc các em làm bài tốt )
HƯỚNG DẪN GIẢI
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I: ( 2 điểm)
1) Khi m = 3
3 2
( ) : 3 1C y x x→ = + −
2 2
0 1

' 3 6 , ' 0 3 6
2 3
x y
y x x y x x
x y

= → = −
• = + = ⇔ + =⇔

= − → =

• Giới hạn:
lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞
• Bảng biến thiên
• Đồ thị
2) Đặt
3 2
1y x mx
= + −
2
0
' 3 2 , ' 0
2 / 3
x
y x mx y
x m


=
• = + = ⇔

= −

TH1: hàm số không có cực trị ⇒ m = 0
TH2:
. 0
CD CT
y y >
2
3 2
. ' 1
9 9
x m m x
y y
+ −
= + −
3 3
3
4 3 2
. 1 0
27 2
3 2
: 0;
2
CD CT
m
y y m

Ñaùp soá m m
= − > ⇔ >
= >
Câu II: ( 2 điểm)
1) Điều kiện
,
4
x k k Z
π
π
≠ + ∈
Ta có:
2 2
1 tan
(1 sin 2 ) cos 4 (sin cos ) cos 4 2sin 2 sin 2 0
1 tan
sin 2 0 ,
2
1
12
sin 2 ( )
2
5
12
x
x x x x x x x
x
k
x x k Z
x l

x l Z
x l
π
π
π
π
π
+
− = ⇔ + = ⇔ + =
−

= → = ∈




⇔
= +


= → ∈




= +





2) Điều kiện
3 6x
− ≤ ≤
Đặt
3 6t x x= + + −
,
3, 6 3, 3 2Khi x t
 
 
∈ − → ∈
 
 
Ta có phương trình
2 2
9 2 9
2 2
t t t
t m m
− − + +
− = ⇔ =
Đáp số:
9 6 2
5
2
m
− +
≤ ≤
Câu III: ( 2 điểm)
1) Đặt t = cosx
2 / 2 2 / 2 2 / 2

2 2
2
4 4
2
1 1 1
2
3 2 /2
2
1
1
4(1 )
4( 1) 4( 1)
1
1 1
1 4
2
dx
t dt x dx
x
I
t x
x
x
dt
Ñaët t x I
x
t
−
− −
→ = = =

+ +
+
= + → =
−
∫ ∫ ∫
∫
Đáp số:
3 2 4
20
I
−
=
2) Lời giải:
Chọn hệ trục Oxyz sao cho O là gốc tọa độ
A∈Ox, S ∈Oz, BC//Oy
Tọa độ các điểm:
3
( ;0;0)
3
A
;
3 1
( ; ;0)
6 2
− −B
;
3 1
( ; ;0)
6 2
−C

;
6
(0;0 )
3
S
;
6
(0;0; )
6
I
Ta có:
(0;1;0)=
uuur
BC
;
3 1 6
( ; ; )
6 2 6
= − −
uur
IC
;
6 3
, ( ;0; )
6 6
 
⇒ = −
 
uuur uur
BC IC

⇒ Phư¬ng trình mặt phẳng (IBC) là:
6 3 6
( 0) 0( 0) ( ) 0
6 6 6
− − + − + − =x y z
Hay:
6
2 0
6
− + − =z
mà ta lại cú:
3 6
( ;0; ) // (1;0; 2)
3 3
= − ⇒ −
uur uur r
SA
SA SA u
Phương trình đường thẳng SA:
3
;
3
= +x t
0; 2= = −y z t
.
+ Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:
3
(1)
3
0 (2)

2 (3)
6
2 0(4)
6

= +


=



= −



− + − =


x t
y
y t
x z
Thay (1) (2) (3) vào (4) có:
3 6 3 6
; 0; ( ;0; )
12 4 12 4
⇒ = = = ⇒x y z M
;
3 6

( ;0; ) 4
12 12
⇒ = − ⇒ =
uuur uur uuur
SM SA SM
⇒ M nằm trên đoạn SA và
1
4
=
SM
SA
( )
1
( ) 4
⇒ =
SBCM
SABC
V
V
.
Câu IV: ( 1 điểm)
* Ta chứng minh:
2 2
2
3 3 3 3
0 1 (1) (1 ) 1
2 2
1
x
Neáu x thì x x x

x
≤ ≤ ≥ ⇔ − ≤
−
Xét hàm số
3
3 3 3 3
( ) 0 1
2 2
f x x x vôùi x= − ≤ ≤
* Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên [0, 1]
2
: [0,1]
3
3 3 9 3
3
'( ) , '( ) 0
2 2
3
3
3
(0) 0; (1) 0; 1
3
TXĐ D
t D
f x x f x
t D
f f f
+ =

= ∈



+ = − = ⇒

= − ∉


 
+ = = =
 ÷
 ÷
 
3
max ( ) 1, 0 1
3
Vậy f x f x
 
= = ≤ ≤
 ÷
 ÷
 
3 2 2
2
3 3 3 3 3 3 3 3
( ) 1 1 (1 ) 1 (1)
2 2 2 2
1
x
f x x x x x x
x

⇒ ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≥
−
Tương tự
2 2
2 2
3 3 3 3
(2); (3)
2 2
1 1
y z
y z
y z
≥ ≥
− −
Từ (1); (2); (3)
2 2 2
2 2 2
3 3 3 3
( )
2 2
1 1 1
x y z
x y z
x y z
⇒ + + ≥ + + =
− − −
PHẦN RIÊNG Thí sinh chỉ được chọn mơt trong hai phần( phần 1 hoặc phần 2 )
1) Theo chương trình chuẩn:
Câu Va: (2 điểm)
1) + Vì

:7 8 0A d x y∉ − + =
nên phương trình đường chéo đi qua A(-4, 5) là: x + 7y – 31 = 0
+ Tọa độ tâm hình vuông là nghiệm của hệ
7 8 0
1 7
, . (3,4)
7 31 0
2 2
x y
O Tọa độ điểm C là C
x y
− + =

−
 
⇔

 ÷
+ − =
 

Vì AB, AD tạo với AC 1 góc 45
0
nên nếu gọi hệ số góc của AB, AD là k thì ta có
3
7 1
4
1 1
4
1 . 7

3
AC
AC
k
k k
k
k k k
k

=

−
+
= ⇔ = ⇔

−
+ −

=


Phương trình đường thẳng AB, AD là: 3x – 4y + 32 = 0; 4x + 3y + 1 = 0
Phương trình đường thẳng CB, CD là: 3x – 4y - 7 = 0; 4x + 3y -24 = 0
2) + Số các số cần tìm
4
9
3024A =
+ Nếu
1 2 3 4 1 2 3 4
' ' ' ' ' ' 10 , 1, 4

i i
a a a a a thỏa mản bài toán thì a a a a a với a a i= = = − =
cũng thỏa mản bài
toán và
'a a≠
+ Ta có
3 2
' 10.10 10.10 10.10 10 11110a a+ = + + + =
+ Tất cả có 1512 cặp (a, a’) nên tổng các số thỏa mản bài toán là: 1512.11110=16798320
Câu VIa: (1 điểm)
Mặt cầu (S) có tâm I(1, 2, 3), bán kính R = 3
17
[ ,( )]
3
d I P R= >
suy ra mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) khơng có điểm chung
+ Gọi mp(Q) là mặt phẳng // mp(P) và tiếp xúc mặt cầu (S). Suy ra mp(Q1): x + 2y – 2z +10 = 0 và
mp(Q2): x + 2y – 2z - 8 = 0
+ Gọi
1 2
( ) ( ); ( ) ( );A Q S B Q S= ∩ = ∩
+ A là hình chiếu vng góc của I lên mp(Q1)
(0,0,5)A→
+ I là trung điểm AB
(2,4,1)B→
10 28
[ ,( )] ; [ ,( )]
3 3
d A P d B P= =
Vậy điểm cần tìm là M(0, 0, 5)

2) Theo chương trình nâng cao
Câu Vb: (1 điểm)
Ta có
2
2
2
2
3 1
2
3 1
2
2
2
3 1 1
0
3
1
3
9 33
3 1
log 0
1
3
3
8
0 3 1 1
1 9 33
log 1
3
3 8

0
3
1
3
3 1
3
x
x
x
x x
x
x x
x
x x
x x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x x
x
x x
x
x x
x
x

−
−


− >


+


>


−



+

>


−





+
+

+

< −
>
< <





−

−

⇔ ⇔




< − <
+
−


<
< <





−


+

>


−




+
<


−




+
> −


−


Câu Vb: (2 điểm)

a) (d) có điểm M(3, 6, 1) và VTCP
(1,2, 1)u = −
r
Mp(Q) có cặp VTCP
, ( ) : 2 0OM u mp Q x y→ + =
uuuur r
b)
( ) ( ) (1,2, 1)I P d I= ∩ → −
Mp(P) qua tâm mặt cầu nên cắt mặt cầu theo đường tròn lớn. Bán kính đường tròn chính là bán kính
mặt cầu.
2 2 2
8 :( 1) ( 2) ( 1) 64R pt mc x y z→ = → − + − + + =