®a thøc mét biÕn – nghiÖm cña ®a thøc mét biÕn.

Chuyên đề: đa thức một biến nghiệm của đa thức
một biến.
1.Tóm tắt lý thuyết:
- Nếu tại x = a, đa thức f(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói a là một nghiệm của đa thức f(x).
- Một đa thức (khác đa thức 0) có thể có một nghiệm, hai nghiệm,hoặc không có nghiệm
nào.
- Số nghiệm của một đa thức (khác đa thức 0) không vợt quá bậc của đa thức đó.
2.Bài tập:
Bài 1: Cho đa thức f(x) = 2x x
2
+ 2|x + 1|.
a) Thu gọn đa thức f(x).
b) Tính giá trị của f(x) khi x = 3/2.
Bài 2: Hãy lập một đa thức có:
a) Một nghiệm duy nhất là 7.
b) Hai nghiệm là 1 và 2.
c) Ba nghiệm là 1; 2 và 3.
Bài 3: a) Cho đa thức f(x) = x
3
+ 2x
2
+ ax + 1. Tìm a biết rằng f(x) có nghiệm
là 2.
b) Biết đa thức f(x) = x
2
+ bx + c có hai nghiệm là 1 và 2. Hãy tìm b và
c.
Bài 4: Cho đa thức f(x) = ax
2
+ bx + c. Tìm a, b, c biết rằng f(0) = 2 và f(x) có
hai nghiệm là 1 và 1.

Bài 5: Cho đa thức bậc hai: f(x) = ax
2
+ bx + c, trong đó a, b, c là những hằng
số.
a) Biết a + b + c = 0. Chứng minh f(x) có một nghiệm là x = 1, áp dụng
để tìm các nghiệm của đa thức f(x) = 8x
2
6x 2.
b) Biết a b + c = 0. Chứng minh f(x) có một nghiệm là x = 1, áp
dụng để tìm các nghiệm của đa thức f(x) = 7x
2
+ 11x + 4.
Bài 6: a) Cho đa thức f(x) = ax + b (a 0). Chứng minh rằng nếu có hai số x
1
,
x
2
là hai nghiệm của đa thức f(x) thì x
1
= x
2
.
b) Chứng minh rằng nếu đa thức f(x) = ax + b có hai nghiệm x
1
, x
2
khác
nhau thì f(x) là đa thức 0.
Bài 7: Cho đa thức f(x) = (3x 1)
2

(x
2
4) (8x
2
+ 2x 3) và g(x) = ax
2
+
bx 4.
a) Thu gọn đa thức f(x).
b) Tìm a và b của đa thức g(x) biết rằng g(x) = 0 tại x = 1 và x = 4.
c) Chứng minh: g(x) = (1 x)(x 4).
d) Viết đa thức h(x) = f(x) + g(x) thành một tích.
e) Tìm nghiệm của h(x). (Tìm đủ các nghiệm)
Bài 8: Chứng minh rằng đa thức sau không có nghiệm trên tập hợp R:
a) f(x) = 2x
2
3. b) g(y) = y
2
4y 4. c) h(x) = |x + 3| + |5 x|
+ 7.
Bài 9: Cho hai đa thức f(x) = x
2
+ 2mx + m
2
và g(x) = x
2
+ (2m + 1)x +m
2
.
Hãy tìm m biết rằng f(1) = g(1).

Bài 10: Tính tổng các hệ số của các hạng tử của đa thức nhận đợc sau khi đã
khai triển và viết đa thức dới dạng thu gọn:
a) f(x) = (x
4
+ 4x
2
5x + 1)
2004
.(2x
4
4x
2
+ 4x 1)
2005
.
b) g(x) = (x
3
+ 7x
2
6x +5)
2005
.(3x
3
9x
2
+ 9x 3)
2006
.
Bài 11
*

: Cho đa thức f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d. Với f(0) và f(1) là các số lẻ.
Chứng minh rằng f(x) không có nghiệm là số nguyên.
Hớng dẫn làm bài tập:
Bài 11: Giả sử f(x) có nghiệm nguyên là n. Ta có f(n) = an
3
+ bn
2
+ cn + d = 0.
f(0) = d là số lẻ.
f(1) = a + b + c + d là số lẻ.
Nếu n là số chẵn: Suy ra an
3
+ bn
2
+ cn là số chẵn mà d lẻ
f(n) là số lẻ. Điều này vô lý vì f(n) = 0.
Nếu n là số lẻ: Suy ra n
3
1; n
2
1; n 1 là số chẵn.
Xét f(n) f(1) = a(n
3
1) + b(n
2
1) + c(n 1) là số chẵn.

Nhng f(n) f(1) = 0 f(1) = f(1) là số lẻ. Điều này vô lý.
Vậy f(x) không có nghiệm nguyên.
Đơn thức đồng dạng .Tổng và hiệu các đơn thức
đồng dạng
I.Kiến thức cơ bản
- Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác không và có cùng
phần biến
- Để cộng hay (trừ) hai đơn thức đồng dạng ta cộng hay (trừ ) các hệ số với
nhau và giữ nguyên phần biến
II.Bài tập
Bài 1: Cộng và trừ các đơn thức :
a)3a
2
b+ (- a
2
b) + 2a
2
b (- 6a
2
b) b)(-7y
2
) + (-y
2
) (- 8y
2
)
c)(-4,2p
2
) + ( - 0,3p
2

) + 0,5p
2
+ 3p
2
d) 5a
n
+ (- 2a)
n
+ 6a
n

Bài 2: Thực hiện các phép tính sau :
a)
2
3
63
xxx
++
b) 3ab.
5
2
ac 2a.abc -
3
1
a
2
bc
c)
2
3

2






ac
.c
2
-
5
2
a
2
.(c.c)
2
+
3
2
ac
2
.ac -
4
1
a
2
c
2

Bài 3: Cho các đơn thức A = x
2
y và B = xy
2
.Chứng tỏ rằng nếu x,y

Z và x +
y chia hết cho 13 thì A + B chia hết cho 13
Bài 4: Cho biểu thức :
P = 2a
2n+1
3a
2n
+ 5a
2n+1
7a
2n
+ 3a
2n+1+
( n

N)
Với giá trị nào của a thì P > 0
Bài 5: Cho biểu thức: Q = 5x
k+2
+ 3x
k
+ 2x
k+2
+ 4x

k
+ x
k+2
+ x
k
( k

N)
Với giá trị nào của x và k thì Q < 0
Bài 6: Tìm x biết : x
n
2x
n+1
+ 5x
n
4x
n+1
= 0 ( n

N; n

0)
Bài 7: Biết A = x
2
yz , B = xy
2
z ; C = xyz
2
và x+ x + z = 1
Chứng tỏ rằng A + B + C = xyz

Bài 8: Tìm các đơn thức đồng dạng với nhau trong các đơn thức sau:

yxyaxxyxyx
3352335
9
1
;;5;4;3;
7
1

Bài9: Tính tổng :
a)
525252
3
4
4
3
2
1
zyzyzy
+
b)
333
3
7
xybxyaxy
+
Bài10: Rút gọn các biểu thức sau :
a) 10
n+1

- 66.10
n
b) 2
n+ 3
+ 2
n +2
2
n + 1
+ 2
n
c)90.10
k
10
k+2
+ 10
k+1
d) 2,5.5
n

3
.10 + 5
n
6.5
n- 1


Nâng cao
Bài 1: Cho biểu thức M = 3a
2
x

2
+ 4b
2
x
2
- 2a
2
x
2
3b
2
x
2
+ 19 ( a

0; b

0)
Tìm GTNN của M
Bài 2 : Cho A = 8x
5
y
3
; B = - 2x
6
y
3
; C = - 6x
7
y

3
.Chứng tỏ rằng : Ax
2
+ Bx + C
= 0
Bài 3: Chứngminh rằng với n

N
*

a) 8.2
n
+ 2
n+1

có tận cùng bằng chữ số không
b) 3
n+3
2.3
n
+ 2
n+5
7.2
n
chia hết cho 25
c)4
n+3
+ 4
n+2
4

n+1
4
n
chia hết cho 300
Bài 4: Cho A = ( - 3x
5
y
3
)
4
và B = ( 2x
2
z
4
)
5
.Tìm x,y,z biết A + B = 0
Bài 5: Rút gọn:
a) M + N P với M = 2a
2
3a + 1 , N = 5a
2
+ a , P = a
2
4
b) 2y x -
( )
[ ]
{ }
xyxyyx

+
532
với x =a
2
+ 2ab + b
2
, y = a
2
2ab + b
2

c) 5x 3 -
12

x
Bài 6: Tìm x,biết :
a) (0,4x 2) (1,5x + 1) ( - 4x 0,8) = 3,6
b) (
3
4
3
+
x
)

4
3
2
x
-






+
1
6
1
x
=






+
4
3
1
x
-

3
3
1
x
Bài 7: Tìm số tự nhiên
abc
( a > b > c) sao cho :
cabbcaabc
++
= 666
Bài 8: Có số tự nhiên
abc
nào mà tổng
cabbcaabc
++
là một số chính phơng
không ?
Bài9 : Tính tổng :
a) (- 5x
2
y + 3xy
2
+ 7) + ( - 6x

2
y + 4xy
2
5)
b) (2,4x
3
-10x
2
y) + (7x
2
y 2,4x
3
+3xy
2
)
c) (15x
2
y 7xy
2
-6y
2
) + (2x
2
- 12x
2
y + 7xy
2
)
d) (4x
2

+x
2
y -5y
3
)+(
yxxyx
223
6
3
5

)+(
3
3
10
3
y
x
+
)+ (
3223
104156 xyxxyy

)
Bài 10: Rút gọn biểu thức sau
a/ (3x +y -z) (4x -2y + 6z)

( ) ( )
( ) ( )
3232

33323
83,29,681,37,5/
75256/
yyxxyyxyyxc
yxxyxxb
++
+++

d)K= 2x.(-3x + 5) + 3x(2x – 12) + 26x e)






−−






−
−
−+
−
=
5
4
52

5
5
7
9
2
6
3
3
2 xxx
x
x
M
Bài 11: Tìm x biết:
a) x +2x+3x+4x+…..+ 100x = -213
b)
6
1
4
1
3
1
2
1
−=−
xx
c) 3(x-2)+ 2(x-1)=10 d)
4
2
3
1

−
=
+
xx

e)
12
11
11
10
10
9
9
8
8
7
7
6
−
+
−
+
−
=
−
+
−
+
−
xxxxxx

f)
14
27
13
38
12
23
11
32
+
+
+
=
+
+
+
xxxx
g)
132
=−
x
h)
3
1
28423
−−=−+−
xx
i)
3
2

3523
1
−+=+−
−
xx
k)
2
+
x
+
2
−
x
=3
m) (2x-1)
2
– 5 =20 n) ( x+2)
2
=
3
1
2
1
−
p) ( x-
1)
3
= (x-1)
q*) (x-1)
x+2

= (x-1)
2
r*) (x+3)
y+1
= (2x-1)
y+1
với y là
một số tự nhiªn

Tam gi¸c c©n.
Bµi 1: Chøng minh r»ng: “Trong mét tam gi¸c vu«ng, ®êng trung tuyÕn thuéc c¹nh
huyÒn
b»ng mét nöa c¹nh huyÒn”.
Bµi 2: Chøng minh r»ng: “Trong mét tam gi¸c, ®o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm cña hai
c¹nh th×
song song víi c¹nh thø ba vµ b»ng nöa c¹nh thø ba”.
“TÝnh chÊt ®êng trung b×nh cña tam gi¸c”