SKKN dạy học CHỦ đề bất ĐẲNG THỨC THEO HƯỚNG rèn LUYỆN NĂNG lực tự học CHO học SINH lớp 10

Céng hoµ x· héi chñ nghÜa ViÖt Nam
§éc lËp - Tù do - H¹nh phóc
--------------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:

DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
THEO HƯỚNG RÈN LUYỆN NĂNG LỰC TỰ HỌC
CHO HỌC SINH LỚP 10

Quảng Bình, tháng 1 năm 2019


Céng hoµ x· héi chñ nghÜa ViÖt Nam
§éc lËp - Tù do - H¹nh phóc
--------------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:

DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
THEO HƯỚNG RÈN LUYỆN NĂNG LỰC TỰ HỌC
CHO HỌC SINH LỚP 10

Họ và tên: Dương Thị Hải Liên
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THPT Đào Duy Từ

Quảng Bình, tháng 1 năm 2019

MỤC LỤC
Trang
I. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài .......................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................... 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................. 2
4. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................. 2
5. Giả thuyết khoa học..................................................................................... 2
II. NỘI DUNG SKKN
1. Cơ sở lí luận và thực tiễn ............................................................................ 2
1.1. Một số hình thức tự học .......................................................................... 2
1.2. Những biểu hiện năng lực tự học Toán của học sinh ............................ 3
1.3. Một số yếu tố ảnh hưởng đến quá trình tự học của học sinh ................. 4
1.4. Quy trình thiết kế và tổ chức dạy học tự học cho học sinh .................... 5
1.5. Thực trạng của vấn đề dạy - tự học hiện nay ......................................... 8
2. Một số biện pháp rèn luyện năng lực tự học cho học sinh thông qua
dạy học nội dung Bất đẳng thức ........................................................... 10
3. Hiệu quả của SKKN .................................................................................. 30
3.1. Mục đích thực nghiệm .......................................................................... 30
3.2. Nhiệm vụ thực nghiệm .......................................................................... 30
3.3. Tổ chức thực nghiệm ............................................................................ 30
3.4. Bài kiểm tra đánh giá ........................................................................... 31
3.5. Phân tích kết quả thực nghiệm sư phạm .............................................. 32
III. KẾT LUẬN............................................................................................ 33
TÀI LIỆU THAM KHẢO


I. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

1.1. Đại hội Đảng đã xác định mục tiêu đến năm 2020, nước ta cơ bản trở thành
một nước công nghiệp, hiện đại và hội nhập quốc tế. Chương trình giáo dục (GD) phổ
thông cấp THPT quy định về phương pháp dạy học (PPDH) phải tăng cường rèn luyện
kĩ năng làm việc với SGK, tài liệu tham khảo và rèn luyện năng lực tự học (NLTH).
Việc tự học (TH), tự nghiên cứu ngày càng có vai trò quan trọng đối với GD cũng như
nhu cầu nắm vững tri thức của mỗi cá nhân. Việc tìm ra các biện pháp hữu hiệu và tổ
chức có hiệu quả hoạt động TH để trang bị cho người học là nhiệm vụ quan trọng của
người GV. NLTH là nhu cầu bức thiết và mang ý nghĩa chiến lược đối với lợi ích
trước mắt và lâu dài của ngành GD nói riêng và của quốc gia nói chung.
1.2. Chương trình SGK hiện nay đã góp phần thực hiện GD toàn diện đức, trí,
thể, mĩ, bảo đảm tính hệ thống, sự liên tục giữa các cấp học, liên thông giữa GD phổ
thông với GD chuyên nghiệp. Tuy nhiên, thực tiễn cho thấy việc dạy và học môn Toán ở
trường phổ thông, việc rèn luyện NLTH môn Toán cho HS còn nhiều hạn chế, PPDH
chưa phát huy được tính tích cực của HS, sức ỳ trong học tập của HS rất lớn; việc hướng
dẫn HS TH còn hạn chế về tần suất và hiệu quả. GV chưa thực sự chú ý đến việc phát
huy NLTH cho HS, chưa có quy trình khoa học để tổ chức cho HS TH một cách có hệ
thống. HS phần lớn chưa xác định được ý nghĩa và tầm quan trọng của TH nên chưa có
được động cơ, hứng thú, chưa xây dựng được kế hoạch học tập cũng như chưa biết sử
dụng phương pháp TH một cách có hiệu quả và khoa học để lĩnh hội tri thức. Tình trạng
này làm hạn chế việc hoàn thành mục tiêu đổi mới PPDH nói chung và hiệu quả giảng
dạy môn Toán ở trường THPT nói riêng.
1.3. Trong chương trình toán THPT, bất đẳng thức là một trong những nội dung
hay, có khả năng rèn luyện trí tuệ cho HS, có nhiều ứng dụng trong giải toán và thực
tiễn tuy nhiên số lượng tiết học trên lớp rất ít, nhiều HS chưa biết cách TH có hiệu quả.
Vì vậy, người GV phải đổi mới PPDH, hình thành và rèn luyện NLTH cho HS để rút
ngắn thời gian học tập trên lớp mà vẫn đạt kết quả cao. Qua đó, kích thích tư duy biện
chứng, tính độc lập và sáng tạo cho các em.
Xuất phát từ những lý do trên tôi chọn đề tài nghiên cứu của SKKN là: “Dạy học
chủ đề Bất đẳng thức theo hướng rèn luyện năng lực tự học cho học sinh lớp 10”.
2. Mục đích nghiên cứu

1


Nghiên cứu NLTH, những biểu hiện cụ thể về NLTH của HS THPT. Từ đó đề
xuất một số biện pháp cơ bản trong dạy học chủ đề Bất đẳng thức nhằm rèn luyện
NLTH cho HS, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường phổ thông.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
3.1. Hệ thống hóa và làm rõ hơn lý luận về PPDH TH. Từ đó, xác định rõ các yếu
tố tác động đến quá trình TH, góp phần tạo cơ sở đề ra giải pháp nhằm rèn luyện NLTH.
3.2. Tìm hiểu chương trình và nội dung chủ đề Bất đẳng thức lớp 10.
3.3. Khảo sát thực trạng dạy học toán và xây dựng một số biện pháp phù hợp
nhằm rèn luyện NLTH cho HS thông qua dạy học nội dung chủ đề Bất đẳng thức.
3.4. Tổ chức thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của
việc rèn luyện NLTH đối với nội dung dạy học cụ thể.
4. Phương pháp nghiên cứu
4.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu chương trình, SGK và sách bài tập môn Toán lớp 10. Các tạp chí
GD, bài viết có liên quan đến đề tài nhằm hoàn thành cơ sở lí luận cho đề tài.
4.2. Phương pháp quan sát, điều tra
- Thông qua điều tra, dự giờ thăm lớp để có kết luận về thực trạng TH của HS
và việc rèn luyện NLTH thông qua chủ đề Bất đẳng thức.
4.3. Thực nghiệm sư phạm
- Tổ chức thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của một
số biện pháp đã đề xuất.
5. Giả thuyết khoa học
Trong quá trình dạy học môn Toán ở trường THPT nói chung, dạy học nội dung
Bất đẳng thức lớp 10 nói riêng, trên cơ sở nội dung chương trình SGK đại số lớp 10
hiện hành nếu xây dựng được một số biện pháp rèn luyện NLTH thì sẽ góp phần nâng
cao chất lượng học tập môn Toán cho HS ở trường THPT.

II. NỘI DUNG SKKN
1. Cơ sở lí luận và thực tiễn
1.1. Một số hình thức tự học
Trong quá trình TH, người học có thể tiến hành các hoạt động TH dưới nhiều
hình thức và trong những điều kiện khác nhau. Xét về mức độ, cách thức biểu hiện sự
2


giao tiếp giữa người học và GV, tài liệu học tập, trường học… mà có các hình thức TH
cơ bản sau:
- Hình thức 1: Là hình thức TH ở mức độ cao nhất đòi hỏi người học có những
kiến thức nhất định - là cốt lõi của hoạt động học và là quá trình kết hợp cá nhân với
học hợp tác. Người học tự tìm kiếm tri thức, tự đọc tài liệu, tự suy nghĩ rút ra kinh
nghiệm nhằm đáp ứng nhu cầu tìm tòi và mở rộng tri thức ngoài chương trình.
- Hình thức 2: TH diễn ra không có sự điều khiển của GV bên cạnh. Người học
trực tiếp làm việc với tài liệu hướng dẫn và các phương tiện học tập khác để tự lập kế
hoạch, để nắm các kiến thức qua đó sẽ phát triển về tư duy. Hình thức này nhấn mạnh
và đề cao vai trò quyết định của nội lực - NLTH của người học.
- Hình thức 3: TH được diễn ra ngay trong quá trình dạy học với các hình thức
hướng dẫn trực tiếp HS bằng cách đặt câu hỏi, bằng cách giao việc hay hướng dẫn HS
đọc để TH. Trong quá trình học tập, người thầy là nhân tố hỗ trợ chất xúc tác, thúc đẩy
và tạo điều kiện để trò tự chiếm lĩnh tri thức, phát huy những phẩm chất và năng lực
của mình nhằm đạt được mục tiêu đã xác định trước để tiếp thu và lĩnh hội tri thức.
Thực tế của việc TH cho thấy các hình thức, đối tượng của việc TH khá đa
dạng, phong phú và thường đan xen lẫn nhau. Trong suốt cuộc đời của mỗi con người,
sẽ có những cơ hội chọn lựa cho mình các cách học khác nhau và đó cũng là con
đường vươn tới trí tuệ đặt ra thử thách cho mỗi cá nhân.
1.2. Những biểu hiện năng lực tự học Toán của học sinh
Toán học là môn khoa học suy diễn nên có tính logic, tính hệ thống và tính kế
thừa rất cao. Môn Toán cần nhiều tới khả năng TH của HS, nó đòi hỏi tính kiên trì,

tinh thần khắc phục khó khăn khi đứng trước một bài toán mà kiến thức là vô hạn, do
đó HS cần phải có động cơ học tập đúng để thúc đẩy sự phát triển năng lực toán.
Trong quá trình dạy học, GV phải biết tạo dựng cho HS lòng ham học toán, làm
cho các em thấy được sự cần thiết của Toán học đối với các môn học khác và trong
thực tiễn cuộc sống. Theo tác giả Đào Tam [10], NLTH Toán được biểu hiện như sau:
* Năng lực nhận biết, tìm tòi, phát hiện vấn đề: Năng lực này đòi hỏi mỗi người
học phải biết quan sát, phân tích, tổng hợp, so sánh, suy luận, khái quát hóa các tài
liệu, kiến thức Toán học; suy xét từ nhiều góc độ, có hệ thống trên cơ sở những tri
thức, kinh nghiệm cá nhân, phát hiện các khó khăn, mâu thuẫn, các điểm chưa hoàn
chỉnh cần được giải quyết, cần bổ sung và làm sáng tỏ.
3


* Năng lực giải quyết vấn đề: Là khả năng xác định, cách thức trình bày và lập
kế hoạch giải quyết vấn đề.
* Năng lực vận dụng kiến thức đã được học vào thực tiễn cuộc sống: Kết quả
cuối cùng của việc học tập phải được thể hiện ở ngay trong thực tiễn cuộc sống đó là:
HS biết vận dụng kiến thức đã được học để nhận thức, cải tạo thực tiễn hoặc trên cơ sở
kiến thức và phương pháp đã có HS tiến hành tự nghiên cứu, khám phá và bổ sung
thêm kiến thức mới.
* Năng lực đánh giá và tự đánh giá: Dạy học đề cao năng lực tự chủ của người
học, nó đòi hỏi phải tạo điều kiện, cơ hội và khuyến khích người học biết đánh giá và
tự đánh giá chính bản thân mình. Khi bản thân mỗi người tự đánh giá được kết quả học
tập thì sẽ tự đánh giá được năng lực học tập của mình, biết cái gì mình làm được, cái gì
mình chưa làm được để từ đó có hướng phát huy hoặc khắc phục nó.
Các năng lực trên vừa đan xen, vừa tiếp nối nhau tạo nên NLTH ở người học và
cũng là năng lực của người nghiên cứu khoa học.
1.3. Một số yếu tố ảnh hưởng đến quá trình tự học của học sinh
Có rất nhiều yếu tố ảnh hưởng, tác động đến hoạt động TH của người học. Phải
điều khiển, phối hợp những yếu tố ấy trong quá trình tổ chức TH mới đạt được chất

lượng và hiệu quả mong muốn. Qua tổng hợp các nghiên cứu của các nhà khoa học
cho thấy yếu tố ảnh hưởng đến TH gồm nhóm nhân tố bên trong và nhân tố bên ngoài.
1.3.1. Nhóm nhân tố bên trong
Được hình thành và phát triển chủ yếu thông qua các hoạt động sống, trải
nghiệm của bản thân và bị chi phối nhiều bởi yếu tố tâm lí. Chính vì điều đó người dạy
nên tạo môi trường để người học được thử nghiệm và kiểm chứng bản thân, đôi khi chỉ
cần phản ứng đúng sai trong nhận thức hoặc nhận được lời động viên, khích lệ cũng
tạo ra được động lực để người học phấn đấu, cố gắng học tập. Các nhân tố như: Năng
lực tự học; Ý thức học tập và động cơ nhận thức hay phương pháp học tập của HS.
Trong TH, yếu tố quan trọng để đảm bảo thành công là phương pháp TH. Nếu
người học rèn luyện được thói quen, phương pháp, kĩ năng TH thì sẽ tạo cho họ lòng
ham học, khơi dậy tiềm năng vốn có trong mỗi người, từ đó góp phần hình thành
phương pháp học tập làm cho kết quả học tập được nâng cao. Như nhà sinh lí học
người Pháp Penna từng nói: “Phương pháp học tốt giúp ta phát huy được tài năng
vốn có, phương pháp học dỡ sẽ cản trở tài năng phát triển”.
4


1.3.2. Nhóm nhân tố bên ngoài
Chính là phương pháp học chứa đựng kĩ năng học tập cần phải có của người
học, chủ yếu được hình thành và phát triển trong quá trình học, do đó phương pháp
dạy của người thầy sẽ có tác động rất lớn đến phương pháp học của trò, tạo điều kiện
để hình thành, phát triển và duy trì NLTH. Theo Nguyễn Bá Kim [6], phương pháp
giảng dạy của GV “Là cách thức hoạt động và giao lưu của thầy gây nên những hoạt
động và giao lưu cần thiết của trò nhằm đạt được những mục đích dạy học”. Như vậy,
có thể thấy rằng cách dạy học của GV là yếu tố ảnh hưởng quyết định đến hình thức và
phương pháp TH của HS.
Bên cạnh đó còn nhiều yếu tố ảnh hưởng đến quá trình TH của HS như: Yêu
cầu của xã hội, nhà trường và gia đình, cơ sở vật chất và cả thời gian
Hai nhóm yếu tố trên có mối quan hệ qua lại, tác động lẫn nhau, hỗ trợ và bổ

sung cho nhau tạo điều kiện để TH đạt kết quả cao. Như vậy, quá trình TH của HS là
một quá trình tự thân vận động, tự phát triển và nó được quyết định bởi chính bản thân
người học với tư cách là chủ thể của hoạt động học tập và TH.
1.4. Quy trình thiết kế và tổ chức dạy học tự học cho học sinh
Chúng tôi tiến hành xây dựng hai giai đoạn của quy trình thiết kế và tổ chức bài
học theo hướng rèn luyện NLTH cho HS.
1.4.1. Thiết kế bài học
Thiết kế bài học (TKBH) là giai đoạn mà GV tiến hành chuẩn bị, thiết kế nội
dung, tiến trình tổ chức các hoạt động để thông qua đó HS chiếm lĩnh được nội dung
kiến thức môn học, đồng thời rèn luyện NLTH. Giai đoạn này gồm 4 bước như sau [4]:
- Bước 1. Phân tích cấu trúc nội dung, xác định mục tiêu bài, dự kiến tài liệu

+ Phân tích cấu trúc nội dung bài học: Xác định vị trí của bài, số tiết giảng dạy;
Xác định nội dung kiến thức trong bài, những kiến thức mới, những kiến thức cũ đã
học làm nền tảng lĩnh hội kiến thức mới, mối liên hệ giữa kiến thức cũ và mới; Xác
định kiến thức trọng tâm của bài, thấy được cấu trúc logic của bài học; Xác định đặc
điểm của nội dung kiến thức: Nội dung kiến thức thuộc loại nào (kĩ năng, phương
pháp, bài tập,...), kiến thức nào HS có thể TH không cần sự hỗ trợ của GV, kiến thức
nào HS TH cần hỗ trợ của GV; Xác định các kĩ năng cơ bản, phù hợp cần tập trung rèn
luyện cho HS.
+ Xác định mục tiêu của bài: Để xác định mục tiêu của bài, GV cần căn cứ
5


vào việc phân tích cấu trúc nội dung của bài học, cần lưu ý đến mục tiêu rèn luyện
NLTH cho HS. Ngoài ra, để xác định mục tiêu của bài học, GV cần căn cứ vào trình
độ của HS.
+ Dự kiến tài liệu học tập: GV cần giới thiệu tài liệu cụ thể và kịp thời để HS
định hướng cho hoạt động học tập. Để đáp ứng nhu cầu tìm hiểu thông tin kiến thức về
bài học của HS cũng như khuyến khích HS quan tâm đến những vấn đề liên quan,

ngoài phạm vi nội dung học tập, GV có thể giới thiệu cho HS nguồn tài liệu học tập
như sách tham khảo cần đọc thêm, có tài liệu cơ bản bổ sung cho SGK, có tài liệu
nâng cao cho HS khá, giỏi. Tuy nhiên, số lượng không nên quá nhiều và cần có sự
hướng dẫn để HS có khả năng đọc tài liệu tham khảo một cách hiệu quả.
- Bước 2. Thiết kế câu hỏi, yêu cầu cho các hoạt động: NLTH chỉ có thể được

hình thành thông qua các hoạt động TH. Câu hỏi, bài tập là “giá mang" hoạt động, vì
vậy, ở bước này, GV cần xác định các hoạt động TH phù hợp với mỗi nội dung, sau đó
thiết kế các nhiệm vụ với các câu hỏi và yêu cầu tương ứng. Các câu hỏi, yêu cầu được
xây dựng dựa trên việc phân tích cấu trúc nội dung và mục tiêu của bài học. Các câu
hỏi ngoài việc tập trung vào nội dung môn học, cần chú ý đến rèn luyện NLTH cho HS
như: đọc hiểu, nghe hiểu, tóm tắt ghi ý chính, tự lưu trữ thông tin... Khi thiết kế câu
hỏi, cần xác định các hoạt động phù hợp với mọi nội dung thành phần trong bài cũng
như hoạt động cho toàn bài. Các hoạt động thường gặp là: nhận biết chủ đề cần học,
huy động kiến thức đã học có liên quan, tìm hiểu thông tin, hệ thống hóa và vận dụng
kiến thức, tự đánh giá, tự điều chỉnh. Sau khi đã có câu hỏi, yêu cầu tương ứng với
từng hoạt động, GV cần dự kiến hình thức và PPDH phù hợp. Với mục đích TKBH
theo hướng rèn luyện NLTH, những hình thức và PPDH chủ đạo cần được sử dụng là
phương pháp TH, thảo luận nhóm,...
- Bước 3. Xây dựng phương án đánh giá kết quả học tập: Việc xây dựng

phương án đánh giá kết quả học tập của HS hay phương án đánh giá kết quả lĩnh hội
kiến thức và hình thành kĩ năng của HS cần bám sát vào mục tiêu đã đặt ra. Trước
hết, cần xác định, trong các mục tiêu đã đặt ra sẽ đánh giá kết quả ở mục tiêu nào
(thường là mục tiêu trọng tâm), sau đó thiết kế các câu hỏi nhằm đánh giá mức độ
đạt mục tiêu đó.
- Bước 4. Dự kiến kế hoạch học tập: Trên cơ sở mục tiêu bài học, nội dung bài,

6

thời gian học tập và các hoạt động đã xây dựng, GV cần dự kiến kế hoạch học tập phù
hợp để mỗi cá nhân hay nhóm có định hướng cụ thể về những việc cần làm theo một
trình tự, từ đó xây dựng được kế hoạch TH của bản thân nhằm hoàn thành tốt công
việc được giao, nâng cao chất lượng bài học. Kế hoạch học tập bao gồm: những nội
dung cơ bản, hoạt động cần thực hiện, thời gian thực hiện, sản phẩm tạo thành.
1.4.2. Tổ chức hoạt động tự học trong dạy học
Dạy học là một quá trình thực hiện những biện pháp có cơ sở khoa học nhằm
đảm bảo hiệu suất cao nhất của quá trình học tập với điều kiện sử dụng hợp lí thời
gian, sức lực và phương tiện của GV và HS. Đích cuối cùng của dạy học chính là tổ
chức dạy TH; là quá trình nâng cao tính tự giác, tự quản lí, TH của HS trong quá trình
học tập ở nhà trường; là quá trình chuyển hóa yêu cầu, nhiệm vụ học tập có tính khách
quan thành nhu cầu chủ quan. Từ quan niệm về dạy học nêu trên, chúng tôi cho rằng:
Tổ chức dạy TH là quá trình GV định hướng và điều khiển các hoạt động học của HS,
nhằm tối ưu hóa quá trình TH để chiếm lĩnh tri thức.
Trong dạy TH, người thầy phải luôn đóng vai trò là người tổ chức, định hướng,
điều khiển các hoạt động nhận thức, tìm tòi khám phá tri thức của HS. Để làm tốt việc
đó, GV cần cung cấp con đường, cách thức để HS tự tìm ra kiến thức và tự lĩnh hội,
chiếm lĩnh kiến thức mới. GV cũng phải làm cho HS thấy được những mâu thuẫn giữa
cái đã biết với cái chưa biết, cái cần phải chiếm lĩnh. Chính những xung đột ấy là động
lực thúc đẩy tính chủ động, tích cực trong hoạt động học của HS, làm cho HS ý thức
được cái cần lĩnh hội và biết giải quyết các mâu thuẫn nội tại, tạo ra sự cân bằng mới
trong việc chiếm lĩnh tri thức. Mục tiêu của dạy TH là thông qua việc tổ chức các hoạt
động cho HS chiếm lĩnh tri thức, HS được rèn luyện, hoàn thiện các kĩ năng cơ bản
của NLTH để có thể TH suốt đời.
1.4.3. Căn cứ vào lí luận và thực tiễn dạy học toán, việc tổ chức hoạt động tự
học toán cho học sinh cần đảm bảo các tiêu chí sau:
- Nội dung TH phải mang tính vừa sức, phù hợp với đối tượng HS, thiết thực,
gắn với thực tiễn cuộc sống hàng ngày mà HS thường gặp.
- Phải tạo được môi trường sư phạm thuận lợi cho các hoạt động TH. Ví dụ: Sĩ

số HS trong lớp không được quá đông để đảm bảo GV có thể bao quát hoạt động TH
của từng cá nhân; HS có đầy đủ các điều kiện, phương tiện học tập.
- Kế hoạch dạy học cần thiết kế khoa học, linh hoạt, đảm bảo tất cả HS đều
được giao nhiệm vụ và mục tiêu học tập cụ thể phù hợp với năng lực bản thân. Mỗi
7


HS là một chủ thể của quá trình học tập.
- HS có đủ thời gian thực hiện nhiệm vụ TH của bản thân và tham gia các hoạt
động nhóm.
- Quá trình hướng dẫn, kiểm tra, đánh giá,... của GV phải linh hoạt dựa trên kết
quả TH và sự tiến bộ của HS.
1.5. Thực trạng của vấn đề dạy - tự học hiện nay
Qua việc tổng kết kinh nghiệm dạy học của bản thân, của các đồng nghiệp, qua trao
đổi trực tiếp với các em HS cũng như kết quả thu được từ phiếu thăm dò, dự giờ thăm
lớp, tôi nhận thấy những biểu hiện về thực trạng hoạt động dạy - TH cụ thể như sau:
1.5.1. Thực trạng hoạt động tự học của học sinh
Thực trạng việc dạy và học ở các trường phổ thông hiện nay chủ yếu theo
phương pháp truyền thống. Việc TH của HS cũng chỉ ở mức độ học bài cũ và làm bài
về nhà, cố gắng làm hết các bài tập của GV giao; chưa chú trọng đến việc TH để phát
hiện, khám phá những kiến thức mới, những lời giải hay, độc đáo và sáng tạo.
- Về mục đích tự học của học sinh
Muốn TH đạt kết quả tốt, trước hết cần phải xác định được mục đích và động
cơ học tập đúng đắn, cần phải có ý chí và quyết tâm cao từ đó mới xây dựng được kế
hoạch và phương pháp TH ở trên lớp cũng như học ở nhà. Tuy nhiên, hầu hết HS hiện
nay mục đích học tập là nhằm để đối phó với việc kiểm tra bài của GV lấy điểm, đối
phó với thi cử; một số để nắm vững những kiến thức cơ bản chứ ít có nhu cầu mở
rộng, hiểu sâu và nâng cao kiến thức cho bản thân. HS ngoài việc học ở trên lớp thì
thời gian còn lại chủ yếu tham gia các lớp học thêm, luyện thi nên không có thời gian
cho việc TH ở nhà.

- Về tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh
Tình trạng khá phổ biến của HS là đến trường, đến lớp, theo bạn học thêm theo
phong trào chứ không xuất phát từ nhu cầu ham học hỏi, mở rộng kiến thức. Phần
đông HS chưa có ý thức tự giác trong học tập, chưa chuẩn bị bài vở khi đến trường mà
chỉ thiên về ghi nhớ. Về hoạt động trong giờ học là phần nhiều HS đến lớp chỉ nghe
giảng, ghi chép thụ động, ít suy nghĩ, chỉ trả lời khi GV yêu cầu và không dám hỏi khi
có những vấn đề thắc mắc không hiểu.
- Về việc xây dựng kế hoạch học tập và phương pháp tự học
Qua điều tra tôi nhận thấy HS ít tự xây dựng được kế hoạch học tập cho mình
8


hàng ngày mà đa số các em thực hiện kế hoạch do GV đặt ra. Chỉ được một số ít HS
được khảo sát là có kế hoạch học tập hàng ngày. Tuy nhiên với kế hoạch đã được vạch
ra, nhiều HS không tự xác định được tiến độ và tự điều chỉnh kế hoạch học tập.
Việc vận dụng phương pháp TH ở HS còn rất thấp, nhận thức của HS về TH
chưa đồng đều và không có khả năng liên kết những kiến thức toán học thành hệ
thống. Nhiều HS chưa có phương pháp, thói quen TH nên trong quá trình giảng dạy
của GV các em khó tiếp thu, còn lúng túng trong khi thảo luận nhóm. Từ đó các em
mất căn bản, không muốn học.
1.5.2. Thực trạng việc hướng dẫn tự học cho học sinh của giáo viên
Trong việc đổi mới PPDH lấy HS làm trung tâm thì việc TH của HS vô cùng
quan trọng. Tuy nhiên, thực tế dạy học hiện nay, việc áp dụng PPDH hướng dẫn HS
TH của GV ở tất cả các môn học nói chung và môn Toán nói riêng còn gặp nhiều lúng
túng và khó khăn. PPDH phổ biến hiện nay ở trường phổ thông là thuyết trình thiên về
truyền thụ kiến thức một chiều, HS thụ động tiếp thu khi nghe giảng và hướng dẫn của
GV để giải bài tập. Chính phương pháp dạy và học đó đã hạn chế rất nhiều đến tính
độc lập, sự phát triển tư duy và năng lực sáng tạo của HS.
Hầu hết GV thấy rõ vai trò quan trọng của TH trong quá trình học tập ở trường
và quá trình lập nghiệp của HS. Đặc biệt đối với bộ môn Toán kiến thức phong phú, đa

dạng và khó đối với trình độ HS thì việc rèn luyện và nâng cao NLTH càng có ý nghĩa
quan trọng. Tuy nhiên việc rèn luyện và nâng cao NLTH cho HS phụ thuộc vào nhiều
điều kiện như thời gian, năng lực sư phạm của người thầy, động cơ thái độ và năng lực
học tập của mỗi HS.
Phần lớn GV chưa thực sự quan tâm, hướng dẫn phương pháp học tập và rèn
luyện kĩ năng TH cho HS. Trong các giờ lý thuyết thì nặng về thuyết trình, diễn giải và
tập trung truyền thụ cho hết kiến thức bài học. Với các tiết luyện tập thì nặng cung cấp
và giải các dạng bài tập mẫu mang tính luyện thi nhằm mục đích đạt khối lượng kiến
thức mà ít chú ý tập cho HS cách phát hiện và giải quyết vấn đề, khai thác kiến thức
của SGK theo hướng TH. Mỗi tiết dạy của GV vẫn chưa phát huy tính tích cực của
HS, một trong những thể hiện rõ nhất là trong việc soạn giáo án hệ thống câu hỏi còn
mang tính hình thức, chưa có tính gợi mở hay đòi hỏi HS phải tích cực suy nghĩ.
Kết quả trên cho thấy, trong quá trình dạy học GV đã cố gắng rèn luyện kĩ năng
TH cho HS nhưng chưa được thường xuyên cũng như chưa giúp HS tự mình phát hiện,

9


khám phá kiến thức mới, cách làm việc độc lập, TH với SGK. Việc hướng dẫn cho HS
chuẩn bị bài ở nhà nhiều GV chưa thật quan tâm mặc dù có thể nói rằng khâu này có
vai trò quan trọng trong việc hướng dẫn HS TH, nâng cao tính tích cực chủ động, sáng
tạo trong quá trình học bài mới ở trên lớp. Hầu hết GV chỉ nhắc các em về học bài cũ
và chuẩn bị bài mới theo câu hỏi và bài tập ở SGK, chứ không hướng dẫn cụ thể các
em học bài cũ và chuẩn bị bài mới như thế nào.
Trong dạy học hiện nay, tôi nhận thấy các GV bước đầu đã có sự đổi mới về
PPDH, các PPDH truyền thống đã dần được thay thế bằng các PPDH tích cực. Tuy
nhiên, số GV sử dụng các PPDH tích cực vẫn còn hạn chế và chưa có chiều sâu, chưa
triệt để đặc biệt là các phương pháp tạo điều kiện rèn luyện NLTH cho HS mà chỉ mới
dừng lại ở việc cải tiến phương pháp bằng cách sử dụng các câu hỏi tái hiện, nêu vấn
đề. PPDH hiện nay ở các trường phổ thông đúng như Giáo sư Hoàng Tụy nhận xét “Ta

còn chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trí nhớ, dùng mẹo vặt để giải những bài toán oái
oăm, giả tạo, chẳng giúp gì mấy để phát triển trí tuệ mà làm cho HS thêm xa rời thực
tế, mệt mỏi và chán nản”.
2. Một số biện pháp rèn luyện năng lực tự học cho học sinh thông qua dạy
học nội dung Bất đẳng thức
Hiện nay, nhiều HS vẫn chưa chọn được cho mình hình thức, kĩ năng và phương
pháp học tập phù hợp. Đồng thời, tâm lý sợ học và chán học cũng ảnh hưởng rất nhiều
tới việc học tập và kết quả của các em. Vậy làm thế nào để có thể hướng cho các em yêu
môn học và có kĩ năng, phương pháp học tập hiệu quả? Đó là những vấn đề, những câu
hỏi đặt ra cho người TH, cho cả GV là những người đang hướng dẫn và dạy HS TH. Có
rất nhiều phương pháp học tập khác nhau, bằng các cách thức và phương tiện khác nhau
nhưng kĩ năng quan trọng nhất là TH; khả năng tư duy, độc lập, sáng tạo trong học tập
sẽ giúp người học tiếp thu kiến thức nhanh và đạt hiệu quả cao.
* Biện pháp1: Gợi động cơ, hứng thú trong học tập và kích thích nhu cầu tự
học cho HS
Trong dạy học nói chung và dạy học toán nói riêng, động cơ học tập của HS có
vai trò và ý nghĩa vô cùng quan trọng trong việc nâng cao chất lượng học tập và hình
thành phương pháp TH cho các em. Động cơ học tập chính là nguyên nhân bên trong
có tác dụng phát huy sức mạnh về tinh thần của HS, thúc đẩy lòng khát khao được mở
rộng tri thức, say mê với quá trình giải quyết các nhiệm vụ học tập, nỗ lực vượt qua
10


mọi khó khăn. Hứng thú học toán của HS nhìn chung vẫn còn bị hạn chế, kiến thức vô
cùng phong phú và phức tạp nên không ít các em thấy sợ toán, coi việc học toán là một
công việc khó khăn và căng thẳng. Độ khó của kiến thức Toán học là rào cản ảnh
hưởng trực tiếp đến sự hứng thú của HS trong quá trình tiếp nhận tri thức. Chính vì
vậy, bồi dưỡng cho HS hứng thú và kích thích nhu cầu TH toán, làm toán là một việc
làm cần thiết.
Người GV cần hiểu rõ những điều mà HS mong muốn, những nhu cầu nảy sinh

trong công việc học tập của họ, để tạo ra mối liên hệ thống nhất giữa các nhu cầu với
mục tiêu học tập. Vì vậy, mỗi bài toán đưa ra phải chứa đựng các vấn đề vừa gợi được
nhu cầu nhận thức vừa kích thích, khơi dậy được ở người học niềm tin vào bản thân.
Trong khâu soạn giáo án, trong mỗi tiết dạy GV cần sắp xếp bài tập phù hợp với mọi
đối tượng HS nhằm gây hứng thú, đòi hỏi tính tích cực suy nghĩ trong học tập.
Ví dụ 1: Hệ thống bài toán rèn luyện cho HS vận dụng bất đẳng thức Cô-si vào
chứng minh từ đơn giản đến phức tạp, từ dễ đến khó như sau:
a) Chứng minh:  a  b  ab  1  4ab , với mọi a, b dương
b) Chứng minh:

bc ca ab
 
 a  b  c , với mọi a, b, c dương
a
b
c

c) Chứng minh:

ab
bc
ca
a bc
, với mọi a, b, c dương



ab bc ca
2

d) Cho a > b > 0, chứng minh rằng: a 

1
3
 a  b b

Mức độ vận dụng bất đẳng thức Cô-si vào chứng minh ở các bài toán trên khó
dần, từ rèn luyện kĩ năng cơ bản và khắc sâu kiến thức đến biến đổi, tổng hợp đa dạng
kiến thức với sự hướng dẫn của GV:
- Câu (a), HS chỉ cần vận dụng trực tiếp bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a
và b; cho hai số dương ab và 1
- Với câu (b), GV gợi ý để HS biết cần phải ghép đôi, khi đó việc chứng minh
bất đẳng thức đã cho đơn giản hơn
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

bc ca
bc ca

2

 2c
a
b
a b

11


Tương tự:

ca ab
ca ab
ab bc
ab bc

2

 2a ;

2

 2b
b
c
b c
c
a
c a

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức cùng chiều trên ta có điều phải chứng minh.
- Câu (c), vừa áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, vừa biến đổi vế
trái của bất đẳng thức
Ta có: a  b  2 ab nên

Tương tự:

Suy ra:

ab
ab

ab


a  b 2 ab
2

bc
bc
ca
ca
;


bc
2
ca
2

ab
bc
ca
ab  bc  ca a  b  c




ab bc ca
2
2
(vì

ab  bc  ca  a  b  c )

- Câu (d), GV hướng dẫn HS cần dựa vào điều kiện bài toán để biến đổi biểu
thức đã cho về dạng biểu thức dương bằng cách thêm bớt các số hạng để áp dụng được
bất đẳng thức Cô-si.
Ta thấy b + a - b = a, không phụ thuộc vào biến b do đó ta phân tích như sau:
a

1
1 Co s i
1
 b   a  b 
 3 3 b   a  b 
 3 , với mọi a > b > 0
 a  bb
a  bb
a  bb

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi b  a  b 

1
 a = 2 và b = 1
 a  b b

Với cách xây dựng các bài tập theo hướng gợi mở như trên bằng cách tăng dần độ
phức tạp sẽ tạo sự hứng thú, giúp các em nắm vững kiến thức và đạt được mục tiêu
GV đặt ra.
Các em chỉ hứng thú học tập khi các em hiểu bài, tự làm bài và giải quyết được
yêu cầu của GV giao cho. HS khá, giỏi hay yếu kém có nhu cầu và mức độ hứng thú

với các nội dung toán học là khác nhau cũng như mỗi HS có lòng tự tin vào khả năng
tư duy toán học khác nhau.
Trong hoạt động dạy học, GV cần làm cho mỗi HS nhận thấy được sự thiếu hụt
kiến thức của bản thân, đó chính là yếu tố kích thích HS tự tìm kiếm để bổ sung, thỏa
mãn nhu cầu nhận thức của chính mình. Chẳng hạn dạy học bài bất đẳng thức, khi vào
12


bài học GV đưa ra bài toán sau:
Ví dụ 2: Một chủ trang trại muốn nuôi một bầy dê và ông mua tôn về để làm
hàng rào. Ông muốn xây dựng một hàng rào với một không gian rộng rãi để bảo vệ các
chú dê. Mỗi tấm tôn có chiều dài 1m, cao 1,6m với giá là 62.000đ một tấm nhưng ông
chỉ có 1.500.000đ để mua. Em hãy tìm cách giúp chủ trang trại xây dựng hàng rào?
- H1: Hãy lựa chọn mô hình chuồng trại sao cho hợp lý và phù hợp với thực tế?
+ Hình chữ nhật, Hình tròn, Hình vuông,…
GV: Đưa ra lí do tại sao ta chọn mô hình chuồng là hình chữ nhật
- H2: Xác định và tính chu vi của chuồng dê tương ứng với số tấm tôn mua được?
HS: Các nhóm thảo luận và đưa ra kết quả
+ Số tấm tôn mua được ứng với số tiền 1.500.000đ là 24 tấm. Chuồng có chu vi là
24x1 = 24(m)
GV: Dẫn dắt đến bài toán
+ Gọi x(m) là chiều rộng, y(m) là chiều dài của chuồng (y > x > 0)
+ Ta có 2(x + y) = 24 nên x + y = 12
Từ đó ta có bài toán: Cho hai số x, y thoả mãn x + y = 12 và 0 < x < y. Tìm x, y để
biểu thức P = xy đạt giá trị lớn nhất
 Để giải quyết bài toán trên chúng ta lần lượt đi nghiên cứu các nội dung của
bài học và từ những kiến thức đã học các em sẽ hiểu và giải được bài toán đã đặt ra.
Theo G. Polya việc giải toán xem như thực hiện một hệ thống các hành động:
tìm hiểu nội dung bài toán, xây dựng một chương trình giải, thực hiện chương trình,
kiểm tra và nghiên cứu lời giải đã tìm được. Cũng theo ông điều quan trọng trong quá

trình giải toán là qua đó HS nảy lòng say mê, khát vọng giải toán, hình thành và sáng
tạo tri thức mới.
* Biện pháp 2: Xây dựng hệ thống câu hỏi, phiếu học tập và bài tập nhằm
rèn luyện năng lực tự học cho học sinh
2.1. Xây dựng hệ thống câu hỏi
Đặt câu hỏi là công việc thường xuyên diễn ra trong quá trình dạy học của GV;
nó có vai trò quan trọng, là yếu tố quyết định đến việc lĩnh hội kiến thức của HS. Hoạt
động xây dựng hệ thống câu hỏi của GV nếu được tổ chức tốt thì có thể tạo ra cầu nối

13


giữa dạy và học, làm cho quá trình dạy học trở nên hiệu quả hơn. Thay cho việc thuyết
trình, đọc chép, nhồi nhét kiến thức thì GV nên chuẩn bị hệ thống các câu hỏi để HS
suy nghĩ tự phát hiện kiến thức mới, phát triển nội dung đồng thời khuyến khích HS
tích cực tham gia thảo luận bài học.
Những câu hỏi GV đưa ra mang yếu tố nhận biết, gợi mở, khám phá bằng cách
tìm ra mối liên hệ, quy tắc hay con đường chứ không phải đơn thuần là câu trả lời để
kiểm tra trí nhớ. Sử dụng hệ thống câu hỏi giúp GV không chỉ kiểm tra về mặt kiến
thức, kĩ năng của HS mà còn thu được những thông tin ngược chiều để điều chỉnh hoạt
động dạy học cho phù hợp. Như vậy, trong dạy học chức năng cơ bản nhất của câu hỏi
là tổ chức quá trình lĩnh hội, quá trình tương tác giữa GV và HS, giữa các HS với nhau.
Việc đặt câu hỏi cho HS trong mỗi tiết học cũng như hướng HS tự đặt ra câu
hỏi và trả lời nó là phương tiện rất hiệu quả trong việc tích cực hóa hoạt động tư duy
của HS, qua đó HS có thể tự đánh giá xem mình đã hiểu ở mức độ nào, vấn đề nào
chưa rõ cần giải quyết tiếp. Trong học tập, GV nên khuyến khích HS sử dụng các hình
thức hỏi sau:
- Tự nêu ra câu hỏi và tự trả lời: Theo G. Polya trong hoạt động giải toán
thường gợi ý cho HS thực hiện các câu hỏi: Cái gì chưa biết, đã biết? Cái gì là điều
kiện của bài toán? Có gì liên quan đến cái đã biết và cái chưa biết? Cũng như cung cấp

cho HS các câu hỏi gợi ý để tìm kiếm lời giải, cách chứng minh một bài toán.
- Hỏi thầy, hỏi bạn: Trong quá trình tự nghiên cứu, tự đặt câu hỏi cho mình
nhưng không giải quyết được thì khi đó cần hỏi thầy, hỏi bạn để được giúp đỡ kịp thời,
có khi chỉ cần một gợi ý nhỏ là HS có thể giải quyết được ngay vấn đề.
2.2. Phiếu học tập
Trong quá trình dạy học, bên cạnh việc sử dụng hệ thống câu hỏi thì sử dụng
phiếu học tập cũng được xem là một biện pháp nhằm rèn luyện NLTH cho HS. Đối
với hoạt động TH, phiếu học tập là một biện pháp hữu hiệu để hỗ trợ cho HS trong
việc tự lực tiếp nhận và chiếm lĩnh tri thức. Nó có tác dụng định hướng cho HS cần
nắm bắt nội dung bài học như thế nào? Nội dung nào là nội dung trọng tâm? Mỗi
phiếu học tập có thể giao trong đó một hoặc một vài nhiệm vụ cụ thể cho HS, nhằm
hướng tới việc rèn luyện kiến thức, kĩ năng hay thao tác tư duy. Phiếu học tập sau khi
được HS hoàn thành sẽ phản ánh kết quả của quá trình TH và dựa vào đó mà GV có

14


thể đánh giá HS cũng như HS tự kiểm tra, tự đánh giá chính mình. Với vai trò đó
phiếu học tập giúp đỡ GV rất nhiều trong các hoạt động dạy và học, làm cho chất
lượng dạy học ngày càng được nâng cao, bao gồm các hình thức sau:
* Sử dụng phiếu học tập trong khâu hình thành kiến thức mới
* Sử dụng phiếu học tập để ôn tập, củng cố, hoàn thiện kiến thức
* Sử dụng phiếu học tập hướng dẫn HS tự đọc trước bài và điền thông tin vào
phiếu học tập: Đọc trước bài mới để xem bài học có những nội dung gì? Vận dụng
kiến thức đã học ở đâu? Những vấn đề nào em thấy khó và chưa hiểu? Như vậy, đến
khi vào tiết học các em sẽ tập trung vào nội dung bài học và thấy hứng thú hơn khi
học.
Ví dụ 3: Để chuẩn bị cho học bài “Bất đẳng thức”, GV sẽ giao cho các em một
số câu hỏi trắc nghiệm để về nhà làm, trong đó có vận dụng một số tính chất đã học
của bất đẳng thức và yêu cầu các em có giải thích sự lựa chọn đáp án của mình. Đến

lớp khi vào giờ học các em trao đổi, tự kiểm tra lẫn nhau. Những phần nào chưa hiểu
thì đánh dấu để sau đó cả lớp cùng thảo luận và trả lời đáp án.

PHIẾU HỌC TẬP
Họ và tên: …………………………………… Lớp: ………...........................
Em hãy khoanh tròn trước đáp án đúng của mỗi câu
* Câu 1: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng với mọi giá trị của a?
A. 8a > 4a

B. 4a > 8a

C. 8 + a > 4 + a

D. 8a 2  4a 2

* Câu 2: Nếu a > b và c > d thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?
A. ac > bd

B. a + c > b + d

C. a - c > b - d

D. - ac > - bd

* Câu 3: Cho a < b bất đẳng thức nào sau đây đúng?
A. a - 5 > b - 5

B. 2a + 3 < 2b + 3

C. - 3a < - 3b

D. -a - 5 < -b - 5

* Câu 4: Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?
A. Nếu a  b thì 3  a  3  b

B. Nếu a > b thì ac > bc

C. Nếu 2a  3  2b  3 thì a  b

D. Nếu a  b và b > 3 thì a  3

15


* Câu 5: Nếu a > b > 0 và c > d > 0 thì bất đẳng thức nào sau đây không đúng?
A. ac > bc

B. ac > bd

C. a2 > b2

D. a - c > b - d

* Câu 6: Hãy điền đúng - sai vào các câu sau:
A. Nếu 2018 > 2017 và a > b thì 2018a > 2017b
B. Nếu 2018 > 2017 và a < b thì 2018a < 2017b
C. Nếu 2018 > 2017 và a > b thì 2018 + a > 2017 + b
D. Nếu 2018 > 2017 và a > b thì

2018 2017

a
b

2.3. Xây dựng hệ thống bài tập
Trong dạy học, có thể rèn luyện NLTH cho HS thông qua việc xây dựng hệ
thống bài tập. Hệ thống bài tập toán vừa là nội dung vừa là phương tiện để giúp HS
nắm vững kiến thức, rèn luyện kĩ năng cũng như phát triển tư duy sáng tạo.
- Xây dựng hệ thống bài tập có sự sắp xếp phù hợp, nâng dần độ khó của bài toán
Xem ví dụ 1 đã trình bày, với cách xây dựng hệ thống bài tập như vậy sẽ giúp
HS linh hoạt trong cách thêm bớt các số hạng sao cho áp dụng được bất đẳng thức
Cô-si vào chứng minh. Qua đó củng cố, khắc sâu kiến thức cơ bản và sáng tạo trong
cách giải.
- Xây dựng hệ thống bài tập theo chủ đề: Làm cho HS nắm chắc kiến thức lý
thuyết và việc vận dụng các kiến thức toán học vào giải bài tập thuận lợi hơn.
- Xây dựng bài tập theo hướng giải: Giúp HS định hướng tìm nhiều giải pháp,
độc lập đưa ra cách giải khác nhau khi đứng trược một bài toán hay một vấn đề. Qua
đó HS không những củng cố, khắc sâu kiến thức mà còn hứng thú, sáng tạo hơn trong
học tập. Như khi đứng trước bài toán chứng minh bất đẳng thức, GV cần dẫn dắt, gợi ý
để HS khai thác bài toán, nhận biết được nên sử dụng phương pháp nào: xét hiệu, biến
đổi tương đương hay áp dụng bất đẳng thức Cô-si vào chứng minh. Mỗi hệ thống bài
tập có thể sử dụng làm tài liệu hướng dẫn cho HS TH ở trên lớp trong các tiết tự chọn,
ôn tập chương cũng như học ở nhà.
Trong hoạt động dạy học, GV có thể sử dụng một trong các biện pháp nêu trên
hoặc sử dụng đồng thời tất cả nhằm giúp HS khai thác bài học một cách tích cực, hiệu
quả nhất.
16

* Biện pháp 3: Rèn luyện một số hoạt động trí tuệ cơ bản cho học sinh
Môn Toán là một trong những môn học đòi hỏi HS phải thường xuyên thực
hiện các hoạt động trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp, tổng quát hóa, khái
quát hóa,...
3.1. Phân tích và tổng hợp
Theo tác giả Nguyễn Cảnh Toàn [11]: Phân tích là chia một chỉnh thể ra thành
nhiều bộ phận để đi sâu vào các chi tiết trong từng bộ phận đó. Tổng hợp là cách nhìn
bao quát lên một chỉnh thể gồm nhiều bộ phận, tìm mối liên hệ giữa các bộ phận của
chỉnh thể đó với môi trường xung quanh.
Như vậy, phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhau nhưng
không bao giờ tách rời nhau bởi vì trong phân tích đã có tổng hợp, phân tích cái toàn
thể đồng thời là tổng hợp các phần của nó. Trong hoạt động giải toán, HS thường phải
thực hiện các thao tác phân tích, tổng hợp xen kẽ với nhau nhằm hướng vào mục đích
tìm ra các mắt xích logic, mối quan hệ kết nối giả thiết với kết luận.
Ví dụ 4: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a3  b3  a  b .
Chứng minh rằng: a 2  b2  ab  1
* Phân tích: Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy vế trái có biểu thức

a 2  b2  ab , trong khi đó giả thiết bài toán lại xuất hiện biểu thức a - b. Vậy hai biểu
thức trên có mối liên hệ như thế nào? Tìm hằng đẳng thức nào áp dụng?
- HS: a3  b3  (a  b)(a 2  ab  b2 )
- GV: Em hãy biến đổi để xuất hiện được biểu thức trên?
- HS: Nhân hai vế của điều kiện giả thiết với cùng biểu thức a 2  b2  ab
- GV: Khi đó ta được đẳng thức nào?

a 3  b3
- HS: (a  b )(a  b  ab)  a  b hay a  b  ab  3 3
a b
3

3

2

2

- GV: Ta chỉ cần chứng minh

3

3

2

2

a 3  b3
1
a 3  b3

* Tổng hợp: Biến đổi giả thiết đã cho, ta được:

a3  b3  a  b  (a3  b3 )  a 2  b2  ab    a  b   a 2  b2  ab 

17


 (a3  b3 )  a 2  b2  ab   a3  b3  a 2  b2  ab 

a 3  b3

a 3  b3

a 3  b3
 1  a3  b3  a3  b3  0  2b3 hay b > 0
Ta cần chứng minh được: 3
3
a b
Do b > 0 đúng theo giả thiết nên bất đẳng thức đã cho được chứng minh.
Đứng trước một bài toán, để tìm cách giải HS thường sử dụng một trong hai
phép phân tích:

 Phép phân tích đi lên (suy ngược lùi), ta có sơ đồ sau:
B  B0  B1  B2 

 Bn  A

Ví dụ 5: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn: abc = 1 và a3  36 .
Chứng minh rằng:

a2
 b2  c 2  ab  bc  ca
3

a2
B  B0 :  b 2  c 2  ab  bc  ca
3

a2
B1 :  b 2  c 2  ab  bc  ca  0
3


a2 a2
B2 :   b 2  c 2  ab  bc  ca  0
4 12

a2
a2
2
2
B3 : (  b  c  ab  2bc  ca )   3bc  0
4
12

2
a
 a  36bc
B4 :   b  c  
0
12
2


2

3
a
 a  36abc
B5  A :   b  c  
0
12a

2

2

Do abc = 1 và a3  36 nên a > 0. Suy ra bất đẳng thức B5 đúng khi abc = 1 và

a3  36 . Suy ngược lại là từ B5  B4  B3 

B1  B0 . Vậy bất đẳng thức B đúng

 Phép phân tích đi xuống (suy ngược tiến)

18


Được diễn đạt theo sơ đồ như sau: B  B0  B1  B2 
Ví dụ 6: Cho a, b > 0. Chứng minh

 Bn  A

a
b

 a b
b
a

(Bài 10, trang 107, SGK Đại số 10 cơ bản)

B  B0 :

a
b

 a b
b
a


B1 :

a a b b
 a b
a b


B2 : a a  b b  a b  b a

B3 : a( a  b )  b





a b 0


B4 : ( a  b )(a  b)  0

B5  A : ( a  b ) 2 ( a  b )  0

Ta có bất đẳng thức A luôn đúng  a, b > 0, suy ra điều phải chứng minh
Trong quá trình dạy học, GV cần hướng dẫn HS dùng phép suy ngược để tìm
lời giải bài toán còn dùng phép suy xuôi để trình bày lời giải đồng thời kết hợp các suy
luận đó trong quá trình giải toán
3.2. So sánh
So sánh là sự xác định những đặc điểm chung và đặc điểm khác nhau giữa các
sự vật và hiện tượng. Trong hoạt động Toán học, so sánh giữ một vai trò hết sức quan
trọng. Thường xuyên thực hiện phép so sánh trong dạy học sẽ giúp HS có cách nhìn
toàn diện, hiểu sâu hơn vấn đề cần giải quyết.
Ví dụ 7: GV phân tích và đưa ra lời giải của 2 bài toán sau cho HS so sánh để
thấy hướng giải quyết khác nhau của mỗi bài toán.
* Bài 1: Cho a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh của một tam giác, chứng minh rằng:

19


a
b
c


1
bc
ca
ab

- Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh có chứa căn và giả thiết a, b, c là độ
dài ba cạnh của một tam giác, nó có mối liên hệ như thế nào với phân số
Do b + c > a nên ta thấy được 0 
bằng cách đánh giá

a
?
bc

a
 1 và với kết quả đó ta có thể khử căn
bc

a
a

bc bc

Mặt khác, a là số dương nên theo tính chất của tỉ số ta được:

a
a

bc abc

Đến đây thì bài toán đã được giải quyết
* Bài 2: Cho a, b, c là các số thực dương bất kì, chứng minh rằng:
a
b
c


2
bc

ca
ab

- Phân tích: Trong bài toán 1, ta đã chứng minh bất đẳng thức bằng phương
pháp sử dụng tính chất của tỉ số nhưng ở đó giả thiết của bài toán cho a, b, c là độ dài
ba cạnh của một tam giác. Với bài toán 2, ta không chứng minh theo cách trên được.
Quan sát bất đẳng thức đã cho ta thấy cần phải khử các căn bậc hai bên vế trái.
+ Cách thứ nhất là bình phương hai vế của bất đẳng thức, tuy nhiên lúc đó vế
trái vẫn còn chứa căn bậc hai, do đó không đi theo hướng này được.
+ Cách thứ hai là sử dụng bất đẳng thức Cô-si dạng
chiều của bất đẳng thức ta biến đổi
đẳng thức xảy ra nên ta có kết quả

ab 

ab
. Để ý đến
2

a
a
và vì không quan tâm đến dấu

bc
a(b  c)

a
2a

a(b  c) a  b  c

Áp dụng tương tự cho hai căn thức còn lại ta có điều cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 0, điều này trái với giả thiết a, b, c là
các số thực dương. Do đó đẳng thức không xảy ra hay

20

a
b
c


2
bc
ca
ab


Vậy bài toán 2 được chứng minh
Việc tìm nhiều lời giải khác nhau cho cùng một bài toán giúp HS hiểu sâu
sắc vấn đề hơn, biết nhìn một sự việc dưới nhiều khía cạnh khác nhau, biết so sánh
các cách giải để tìm ra lời giải tốt nhất cho một bài toán. Qua đó phát triển ở HS
năng lực học tập và vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học vào giải
quyết bài toán mới.
Ví dụ 8: Chứng minh rằng x3  y3  x2 y  xy 2 , x  0, y  0
(Bài 4, trang 79, SGK Đại số 10 cơ bản)
Hãy chứng minh bài toán trên bằng nhiều cách khác nhau?
* Cách 1: Sử dụng định nghĩa
Đây là bài toán đơn giản mà phương pháp đầu tiên HS có thể nghĩ đến đó là sử
dụng định nghĩa vào chứng minh.

Ta có: x3  y3  x2 y  xy 2  x3  y 3  x 2 y  xy 2  0

 x2  x  y   y 2  x  y   0  ( x2  y 2 )  x  y   0
 ( x  y)2  x  y   0 (*)
Bất đẳng thức (*) luôn đúng x, y  0 nên bất đẳng thức đã cho được chứng minh.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y hoặc x = y = 0
* Cách 2: (Áp dụng phép biến đổi tương đương)
Ta có: x3  y3  x 2 y  xy 2   x  y   x 2  xy  y 2   xy  x  y 

  x  y   x 2  xy  y 2  xy   0   x  y  ( x  y)2  0 (Bất đẳng thức cuối đúng)
GV có thể hướng dẫn HS phân tích như giả thiết, điều cần chứng minh của bài toán là
gì? Có phương pháp nào áp dụng chứng minh được nữa không để HS có hướng suy
nghĩ khác.
* Cách 3: Ta thấy các số hạng ở vế bên phải có bậc cao nhất là 3 nên ta áp dụng
bất đẳng thức Cô-si cho 3 số không âm vào chứng minh. Chẳng hạn, số hạng x 2 y sẽ
ứng với bộ ba số là x3 , x 3 , y 3 .
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

21


x 3  x 3  y 3  3 3 x 3  x 3  y 3  3x 2 y
y3  y3  x3  3 3 y 3  y 3  x3  3xy 2

Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh.
* Cách 4: Nhận xét mối liên hệ giữa các số hạng của vế trái và vế phải
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm là x 3 và xy 2 , y 3 và x 2 y
Ta có:

x3  xy 2  2 x3  xy 2  2 x 2 y

y 3  x 2 y  2 y 3  x 2 y  2 xy 2

Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh.
* Cách 5: Ta biến đổi vế trái của bất đẳng thức đã cho:
Vế trái = x3  y 3   x  y   x 2  xy  y 2 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm là x 2 và y 2
Ta có: x2  y 2  2 xy
Do đó, vế trái =  x  y   x 2  xy  y 2    x  y  2 xy  xy 

  x  y  xy  x2 y  xy 2 = vế phải
Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh
* Cách 6: Ta xét các trường hợp sau:
- Nếu x = 0 hoặc y = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng
- Nếu x > 0 và y > 0, khi đó chia cả hai vế của bất đẳng thức cho xy > 0 ta được:
x2 y 2

 x y
y
x

y2
x2
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương là
và y,
và x
x
y
x2
x2
y2

y2
y2
 y  2x ;
Ta được:
x2
 x  2y
y
y
x
x
Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh.
Sử dụng thao tác so sánh một cách thích hợp trong dạy học sẽ giúp HS nắm kiến thức
22