SKKN kỹ năng sử dụng máy tính CASIO fx – 570VN PLUS để giải một số dạng bài toán trong chương i phân môn đại số giải tích 12

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong những năm trở lại đây việc thi THPT Quốc gia bằng hình thức thi
trắc nghiệm khách quan (trừ môn Ngữ Văn), thì việc sử dụng thành thạo máy
tính cầm tay là một kỹ năng vô cùng quan trọng đối với các em học sinh trong
quá trình làm bài. Đặc biệt với các môn khoa học tự nhiên như Toán; Vật lý;
Hóa và Sinh thì lại càng quan trọng hơn bao giờ hết.
Tuy nhiên, việc vận dụng máy tính cầm tay giải toán của học sinh mới
chỉ dừng lại ở mức độ đơn giản là thực hiện phép tính có sẵn như cộng, trừ,
nhân, chia, logarit, giải phương trình bậc hai... Còn việc khai thác và sử dụng
máy tính cầm tay ở mức độ cao hơn như tìm nghiệm của phương trình bất kỳ,
định hướng giải cho một bài toán, nhóm nhân tử chung biểu thức một ẩn, hai
ẩn, lưu kết quả để sử dụng nhiều lần… thì đa phần các em chưa biết khai thác
và vận dụng sáng tạo để sử dụng triệt để các chức năng của máy tính cầm tay.
Trên tinh thần đó, tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu: “Kỹ năng sử dụng máy
tính CASIO fx – 570VN PLUS để giải một số dạng bài toán trong chương I
phân môn Đại Số & Giải tích 12”. Mục tiêu của đề tài nghiên cứu đó là:
- Giúp học sinh giải toán tốt hơn khi có sự trợ giúp của máy tính.
- Trong quá trình giải toán bằng sử dụng máy tính các em còn có thể sáng
tạo thêm nhiều phương pháp, nhiều cách giải mới hay hơn bằng máy tính.
- Khơi dậy niềm đam mê Toán học nói riêng và các môn khoa học tự
nhiên nói chung ở các em học sinh.
1.2. Những điểm mới của SKKN
- Cung cấp cho các em học sinh hệ thống kiến thức cơ bản về cách sử
dụng và những tính năng của máy tính cầm tay CASIO fx – 570VN PLUS nói
riêng và máy tính cầm tay nói chung.
- Khai thác các tính năng ưu việt của máy tính cầm tay CASIO fx - 570VN
PLUS trong việc giải và định hướng cách giải cho một số dạng bài toán trong
chương trình Toán THPT hiện hành.
- Với hình thức thi trắc nghiệm khách quan, thì đề tài nghiêm cứu của tôi có
Trang 1

vai trò quan trọng đối với giáo viên, cũng như các em học sinh trong quá trình
dạy và học.
1.3. Phạm vi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
- Hệ thống kiến thức lý thuyết cơ bản về cách sử dụng và các tính năng
của máy tính cầm tay CASIO fx - 570VN PLUS trong giải toán.
- Sử dụng máy tính cầm tay CASIO fx – 570VN PLUS để giải một số
dạng bài tập thuộc chương I phân môn Đại Số & Giải tích 12” chương trình
toán THPT.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Qua thực tế giảng dạy bản tôi thấy rằng khi học sinh giải một bài toán nào
đó thì các em thường gặp phải một số vấn đề khó khăn sau:
Thứ nhất là vẫn còn một số lượng lớn các học sinh nắm được phương pháp
giải toán nhưng yếu về kỹ năng tính toán. Nên khi giải các bài toán sẽ cho kết quả
sai, hoặc các em phải mất rất nhiều thời gian thì mới hoàn thành bài giải.
Thứ hai là đa phần học sinh yếu về khả năng phân tích, định hướng tìm lời
giải cho bài toán. Vì thế khi đứng trước một bài toán mới các em rất lúng túng
trong việc tìm hướng giải cho bài toán đó.
Thứ ba là việc dạy học sinh sử dụng máy tính cầm tay tuy đã đưa vào trong
chương trình học ở bậc THPT nhưng số tiết còn ít nên chưa được giáo viên và
học sinh quan tâm đúng mức.
Những khó khăn kể trên đối với học sinh sẽ được tháo gỡ nếu học sinh biết
sử dụng máy tính cầm tay hỗ trợ mình trong quá trình giải toán, đặc biệt với hình
thức thi trắc nghiệm khách quan. Chỉ cần học sinh hiểu được máy tính sẽ giúp
mình tìm được gì từ yêu cầu của bài toán đã cho. Sau đó chuyển tải những điều
mình muốn sang ngôn ngữ của máy tính và yêu cầu máy tính thực thi. Đó chính
là điều mà tác giả mong muốn trình bày trong đề tài này.
2.2. Giới thiệu cơ bản về máy tính cầm tay CASIO fx - 570VN PLUS

Máy tính cầm tay hỗ trợ cho việc giải toán của học sinh có rất nhiều loại,
nhưng thông dụng nhất hiện nay là máy tính CASIO với các phiên bản máy
Trang 2


như: CASIO fx - 570 ES PLUS, CASIO fx - 570 VN PLUS, …..
Trong đề tài này, tôi sử dụng máy tính CASIO fx - 570 VN PLUS để giải
toán và định hướng tìm lời giải cho các bài toán. Bởi đây là dòng máy mà đại
đa số các học sinh đang sử dụng trong học tập và đây cũng là dòng máy tính
cầm tay có tính năng ưu việt hơn các dòng máy tính cầm tay phổ thông khác.
Tuy nhiên, nếu học sinh dùng các dòng máy khác có chức năng tương đương
vẫn thực hiện được các yêu cầu giải toán của đề tài này như: VINACAL
570ES, CASIO fx-580VN X Ver.2.00 ….

Tôi xin giới thiệu một số phím chức năng của máy tính CASIO fx –
570VN PLUS. Đồng thời để cho đơn giản trong trình bày, tôi sẽ gọi máy tính
cầm tay CASIO fx – 570VN PLUS ngắn gọn hơn là máy tính CASIO hoặc
máy tính cầm tay (MTCT) ở trong đề tài này.
A. HƯỚNG DẨN SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO fx - 570 VN PLUS
1. Kí hiệu và chức năng các loại phím loại phím trên máy tính.
1.1 Phím chung.
Phím
ON
SHIFT

OFF

< ∆ ∇ >
0 1…9
.

Chức năng
Mở máy.
Tắt máy.
Cho phép di chuyển con trỏ đến vị trí dữ liệu hoặc
phép toán cần sửa.
Nhập các chữ số ( Nhập từng số).
Dấu ngăn cách phần nguyên với phần thập phân của
số thập phân.
Trang 3


+ − × ÷

Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia.

AC
DEL

Xóa hết.
Xóa kí tự vừa nhập

( −)

Dấu trừ của số âm.

CLR

Xóa mà hình.

1.2 Phím nhớ.
Phím
RCL
STO
A

B C D

E F X Y M
M+

M−

Chức năng
Gọi số ghi trong ô nhớ.
Gán (Ghi) số vào ô nhớ.
Các ô nhớ, mỗi ô nhớ này chỉ ghi được một số riêng.
Riêng ô nhớ M thêm chức năng nhớ M+; M- gán
cho.
Cộng thêm vào ô nhớ M hoặc trừ bớt ra ô nhớ M.

1.3 Phím đặc biệt.
Phím
SHIFT
ALPHA

Chức năng
Chuyển sang kênh chữ Vàng.
Chuyển sang kênh chữ Đỏ.
Ấn định ngay từ đầu kiểu, trạng thái, loại hình tính

MODE

toán, loại đơn vị đo, dạng số biểu diễn kết quả…cần

( ; )

dùng.
Mở; đóng ngoặc.

EXP

π
,,,

o

DRG >
Rnd
nCr
nPr

Nhân với lũy thừa nguyên của 10.
Nhập số π .
Nhập hoặc đọc độ, phút, giây.
Chuyển đơn vị giữa độ, rađian, grad.
Làm tròn giá trị.
Tính tổ hợp chập r của n.
Tính chỉnh hợp chập r của n.

1.4 Phím hàm.
Phím
sin cos tan
sin −1 cos −1 tan −1

Chức năng
Tính các giá trị của sin, côsin, tang khi biết số đo của
một góc, một cung.
Tính số đo của một góc, một cung khi biết giá trị của
sin, côsin, tang.
Trang 4


log

ln

ex

10e

x2

x3

W

3

W

∧
x!
%
Abs
b d
;
c c

CALC
SOLVE
d
W
dx

∫

W

W

W

ENG
Pol (

Lôgarit thập phân, Lôgarit tự nhiên.
Hàm số mũ cơ số e, cơ số 10.
Bình phương, lập phương…

xW

x −1

a

log WW

n

W

Căn bậc 2, Căn bậc 3, căn bậc n
Số nghịch đảo.
Số mũ.
Giai thừa.
Phần trăm.
Giá trị tuyệt đối
Nhập hoặc đọc phân số, hỗn số, Đổi phân số ra số
thập phân, hỗ số.
Tính giá trị của hàm số.
Dò nghiệm của phương trình.
Tính đạo hàm của hàm số tại x0.
Tính tích phân
Chuyển sang dạng a*10n
Đổi tọa độ Decac ra tọa độ cực

Re c(

Đổi tọa độ cực ra tọa độ do Decac

Ran #
Nhập số ngẫu nhiên
FACT
Phân tích một số nguyên ra thừa số nguyên tố.
2. Các hình thức nhập dữ liệu
Để nhập dữ liệu (biểu thức chứa biến hay chữ số) từ bàn phím vào màn
hình máy tính có ba hình thức nhập đó là:
- Ấn phím gọi trực tiếp dạng biểu thức (chủ yếu dùng cho các dạng biểu thức
đã được ghi màu trắng trên phím).
- Ấn tổ hợp phím SHIFT và phím chỉ biểu thức tương ứng nếu dạng biểu
thức được ghi màu nâu ở góc trên bên trái của phím.
- Ấn tổ hợp phím ALPHA và phím chỉ biểu thức tương ứng nếu dạng biểu
thức được ghi màu đỏ ở góc trên bên phải của phím.
3. Một số tính năng của máy tính

Trang 5


3.1. Phím CALC:
Khi nhập biểu thức đại số chứa biến, phím CALC sẽ hỏi giá trị biến và
tính ra giá trị biểu thích ứng với giá trị biến ta vừa nhập. Phím chức năng này
cho phép ta tính một biểu thức cồng kềnh với nhiều giá trị khác nhau chỉ với
một lần nhập, tiết kiệm khoảng thời gian đáng kể.
3.2. Phím SHIFT CALC hay ta thường gọi là SOLVE:
Nguyên tắc hoạt động của chức năng này là khi ta nhập một giá trị bất kì
thì màn hình hiển thị ”X=?” thì bộ xử lý sẽ quay một hình tròn có tâm là điểm
ta vừa nhập trên trục hoành, với bán kính lớn dần. Khi gặp giá trị gần nhất
thỏa mãn thì máy sẽ dừng lại và hiển thị giá trị đó dưới dạng phân số tối giản
hoặc số thập phân. Nếu trong một thời gian nhất định mà máy vẫn chưa tìm
được nghiệm thì máy sẽ hiển thị giá trị gần nhất máy tìm được thỏa mãn

phương trình với sai số hai vế là thấp nhất. L-R ở hàng thứ hai trên màn hình
chính là sai số ở hai vế (thông thường sai số này rất bé khoảng

10−6

trở

xuống).
3.3. Chức năng TABLE: (MODE 7)
Chức năng này cho phép hiển thị đồng thời các kết quả của một biểu thức
trong đó các giá trị biến ta gán là cấp số cộng. Chức năng này cho phép ta
nhìn tổng thể các giá trị của biểu thức, thuận lợi cho việc sử dụng tính liên tục
và dấu của biểu thức để dự đoán khoảng chứa nghiệm một cách tiết kiệm thời
gian.
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP.
1. Dạng 1: Tính đơn điệu của hàm số.
Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K (K là khoảng hoặc
đoạn hoặc nửa khoảng). Xét tính đơn điệu của hàm số trên K.
1 Cơ sở lý thuyết:
- Nếu f '( x) ≥ 0, ∀x ∈ K và f '( x) = 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn thì f ( x) đồng
biến trên K.
- Nếu f '( x) ≤ 0, ∀x ∈ K và f '( x) = 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn thì f ( x) nghịch
biến trên K.
Trang 6


2. Giải pháp: Sử dụng phương pháp loại trừ.
d

- Dùng chức năng dx ( f ( x) )

x = x0

để tính f '( x0 ) với x0 ∈ K .

+ Nếu f '( x0 ) < 0 thì f ( x) không đồng biến trên K.
+ Nếu f '( x0 ) > 0 thì f ( x) không nghịch biến trên K.
 Ví dụ 1: Hàm số y = x3 − 2 x 2 + x + 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
1



A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;1÷
3 


B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  −∞; ÷
3
1



1





C. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;1÷
3 

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1; + ∞ )
Bài giải:
Bước 1: Nhập biểu thức x3 − 2 x 2 + x + 1. lên màn hình bằng cách bấm liên tiếp
các phím sau:
SHIFT

∫

W

X ALPHA ) xW 3 > − 2 ALPHA ) x 2 + ALPHA ) + 1 > ALPHA )

W

Khi đó màn hình xuất hiện như sau:

Bước 2: Thử phương án A.
- Nhấn phím

1

1



máy hỏi X? Ta chọn giá trị 2 ∈  3 ;1÷ và nhấn dấu = được

kết quả:

- Từ kết quả trên chưa kết luận được tính đúng, sai của phương án A. Nhưng

loại được C
Bước 2: Thử phương án B.
Trang 7


- Nhấn phím



máy hỏi X? Ta chọn giá trị 0 ∈  −∞; 3 ÷ và nhấn dấu = được
1

kết quả:

- Từ kết quà này ta loại được phương án B.
Bước 3: Thử phương án D.
- Nhấn phím

máy hỏi X? Ta chọn giá trị 2 ∈ ( 1; + ∞ ) và nhấn dấu = được

kết quả:

- Từ kết quả này loại D.
 Qua các phép thử trên ta thấy các phương án B, C, D đều sai, vậy đáp án
đúng là A. Chọn đáp án A.
Chú ý: Cách làm trên chỉ tìm phương án sai, không dùng để tìm phương
án đúng. Vì nó đúng với một giá trị thì nó chưa chắc đúng với mọi giá trị.
 Ví dụ 2: Cho hàm số y =

x4

− 4 x 2 − 4. Mệnh đề nào sau đây đúng?
2

A. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −2; 0 ) và ( 2; + ∞ ) .
B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −2; 0 ) và ( 2; + ∞ ) .
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞; − 2 ) .
D. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( 0; 2 ) .
Bài giải
Bước 1: Nhập biểu thức

x4
− 4 x 2 − 4. lên màn hình bằng cách bấm liên tiếp các
2

phím sau:
SHIFT

∫

W

X

W

W
ALPHA ) xW 4 ∇ 2 > − 4 ALPHA ) x 2 − 4 > ALPHA )
W

Khi đó màn hình xuất hiện như sau:

Trang 8


Bước 2: Thử phương án A và B.
- Nhấn phím

máy hỏi X? Ta chọn giá trị −1∈ ( −2; 0 ) và nhấn dấu = được

kết quả:

- Từ kết quà trên loại B.
- Nhấn phím

máy hỏi X? Ta chọn giá trị 3 ∈ ( 2; + ∞ ) và nhấn dấu = được

kết quả:

- Chưa kết luận được tính đúng sai của mệnh đề A.
Bước 2: Thử phương án C.
- Nhấn phím

máy hỏi X? Ta chọn giá trị −3 ∈ ( −∞; − 2 ) và nhấn dấu =

được kết quả:

- Từ kết quà này loại phương án C.
Bước 3: Thử phương án D.
Nhấn phím

máy hỏi X? Ta chọn giá trị 1∈ ( 0; 2 ) và nhấn dấu = được kết

quả:

- Từ kết quà trên loại D. Vậy chọn A.
Nhân xét: Qua hai ví dụ trên ta thấy trong 4 phương án đưa ra chỉ có một
phương án đúng thì phương pháp thử để loại trừ 3 phương án sai là khả thi.
Trang 9


Nhưng nếu trong trường hợp thử mà chỉ loại trừ được một hoặc hai phương
án sai thì sao? Lúc này còn tùy thuộc vào từng dạng hàm số mà ta có thể tìm
ra một vài tính chất của hàm số đó để tìm cách xử lý. Chúng ta cùng tìm hiểu
ví dụ sau:
 Ví dụ 3: Hàm số y = 2 + x − x 2 nghịch biến trên khoảng nào?
1



A.  ; 2 ÷
2 

−1



B.  ; 2 ÷
 2 

C. ( 2; + ∞ )

D. ( −1; 2 )

Bài giải:
Bước 1: Nhập biểu thức
tiếp các phím sau: SHIFT

(

d
dx

∫

2+ X − X2

W

X

W

)

x= X

lên màn hình bằng cách bấm liên

W 2 + ALPHA ) − ALPHA ) x 2 > > ALPHA )

Khi đó màn hình xuất hiện như sau:

Bước 2: Thử phương án A.
- Nhấn phím



máy hỏi X? Ta chọn giá trị 0.6 ∈  2 ; 2 ÷ và nhấn dấu = được
1

kết quả:

- Suy ra f '(0.6) < 0 nhưng chưa thể khẳng định được A là đáp án đúng.
Bước 3: Thử phương án B và D.
- Nhấn phím

−1



máy hỏi X? Ta chọn giá trị 0 ∈  2 ; 2 ÷ và nhấn dấu = được

kết quả:

Trang 10


- Suy ra f '(0) = 0.3535... > 0 Vậy hàm số không nghịch biến trên các khoảng
 −1 
 ; 2 ÷ và ( −1; 2 ) . Loại B và D.
 2 

Bước 4: Thử phương án C.
máy hỏi X? Ta chọn giá trị x = 3 ∈ ( 2; + ∞ ) và nhấn dấu =

Nhấn phím

Máy báo lỗi như sau:

- Suy ra không tồn tại f '(3) . Loại C.
Tóm lại Chọn A.
Bài toán 2: Cho hàm số y = f(x,m) (m là tham số) có đạo hàm trên K (K là
khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng). Tìm m để hàm số đồng biến
(nghịch biến) trên K.
1 Cơ sở lý thuyết:
- Nếu ∃x0 ∈ K sao cho: f '( x0 ) > 0 thì f ( x) không nghịch biến trên K.
- Nếu ∃x0 ∈ K sao cho: f '( x0 ) < 0 thì f ( x) không đồng biến trên K.
2. Giải pháp: Sử dụng phương pháp loại trừ.
d

- Dùng chức năng dx ( f ( x) )

x = x0

để tính f '( x0 , m).

- Dựa vào tính chất trên đề loại những phương án sai.
 Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 − 3mx + 5 đồng biến trên khoảng (-1; 1) thì giá trị
của m bằng?
A. 1

B. 2

C. 3

D. -1

Bài giải:
Bước 1: Nhập biểu thức

d
( X 3 − 3MX + 5)
dx

x= X

lên màn hình bằng cách bấm

liên tiếp các phím sau
SHIFT

∫

W

X ALPHA ) xW 3 > − 3 ALPHA M + ALPHA ) + 5 > ALPHA )

W

Khi đó màn hình xuất hiện như sau:
Trang 11

Bước 2: Thử phương án A.
- Nhấn phím

máy hỏi X? Ta chọn giá trị 0 ∈ ( −1;1) và nhấn dấu = máy

hỏi M? Ta nhập 1 (1 giá trị của m trong phương án A) nhấn tiếp dấu = được
kết quả:

x = 0
thì f '( x) = −3 < 0
m = 1

- Từ kết quả trên loại A. vì với 
Bước 3: Thử phương án B.
- Nhấn phím

máy hỏi X? Ta chọn giá trị 0 ∈ ( −1;1) và nhấn dấu = máy

hỏi M? Ta nhập 2 (2 giá trị của m trong phương án B) nhấn tiếp dấu = được
kết quả:

x = 0
thì f '( x) = −6 < 0
m = 2

- Từ kết quả trên loại B. vì với 
Bước 4: Thử phương án C.
- Nhấn phím

máy hỏi X? Ta chọn giá trị 0 ∈ ( −1;1) và nhấn dấu = máy

hỏi M? Ta nhập 3 (3 giá trị của m trong phương án B) nhấn tiếp dấu = được
kết quả:

x = 0
thì f '( x) = −9 < 0
m = 3

- Từ kết quả trên loại B. vì với 
Bước 5: Thử phương án D.

Trang 12


- Nhấn phím

máy hỏi X? Ta chọn giá trị 0 ∈ ( −1;1) và nhấn dấu = máy

hỏi M? Ta nhập -1 (-1 giá trị của m trong phương án B) nhấn tiếp dấu =
được kết quả:

x = 0
thì f '( x) = 3 > 0 . Vậy chọn D.
 m = −1

- Từ kết quả trên nhận D vì với 

 Ví dụ 2 (Đề thi thử nghiệm lần 2 của Bộ GD & ĐT 2018).

2
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = ln ( x + 1) − mx + 1 đồng biến

trên ( −∞; + ∞ ) .
A. ( −∞; − 1] .

C. [ −1;1] .

B. ( −∞; − 1) .

D. [ 1; + ∞ ) .

Bài giải:
Bước 1: Nhập biểu thức

(

)

d
ln ( X 2 + 1) − MX + 1
dx

x= X

lên màn hình bằng cách

bấm liên tiếp các phím sau:
SHIFT

∫

W

X ln ALPHA ) x 2 + 1 ) − ALPHA M + ALPHA ) + 1 > ALPHA )

W

Khi đó màn hình xuất hiện như sau:

Bước 2: Thử phương án C và D, vì trong hai phương án này đều chứa m =1.
- Nhấn phím

máy hỏi X? Ta chọn giá trị 2 ∈ ( −∞; + ∞ ) và nhấn dấu =

máy hỏi M? Ta nhập 1 vì ( 1∈ [ −1;1] và 1∈ [ 1; + ∞ ) ) nhấn tiếp dấu = được kết
quả:

x = 2
thì f '( x) = −0, 2 < 0
m = 1

- Từ kết quả trên loại C và D. vì với 

Trang 13


Bước 3: Thử phương án B.
- Nhấn phím

máy hỏi X? Ta chọn giá trị 2 ∈ ( −∞; + ∞ ) và nhấn dấu =

máy hỏi M? Ta nhập
−2 ∈ ( −∞; − 1) nhấn tiếp dấu = được kết quả:

- Từ kết quả có thể phương án B đúng?
Bước 4: Thử phương án A.
- Nhấn phím

máy hỏi X? Ta chọn giá trị 2 ∈ ( −∞; + ∞ ) và nhấn dấu =

máy hỏi M? Ta nhập
−1∈ ( −∞; − 1] nhấn tiếp dấu = được kết quả:

- Nhận thấy với m = −2 ∈ ( −∞; − 1) và m = −1∈ ( −∞; − 1] thì f '( x) > 0 nhưng

( −∞; − 1) ⊂ ( −∞; − 1]
- Nên chọn đáp án A. Vì nếu A sai thì B cũng sai.
 Ví dụ 3: (Đề minh họa 2019 của Bộ GD & ĐT).
Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
y = − x 3 − 6 x 2 + ( 4m − 9 ) x + 4 nghịch biến trên khoảng (−∞ ; -1) là

A. ( −∞;0]


B.  − ; +∞ )
3
 4



3
C.  −∞; − 


4

D. 0; +∞ )

Bài giải:
Bước 1: Nhập biểu thức

d
( − X 3 − 6 X 2 + (4M − 9) X + 4 )
dx

x= X

lên màn hình bằng

cách bấm liên tiếp các phím sau:

Trang 14


SHIFT

∫

W

X − ALPHA X W 3 ∇ − 6 ALPHA X 2 + ( 4 ALPHA M + − 9 ) ALPHA X + 7 )

W

∇ ALPHA X

Khi đó màn hình xuất hiện như sau:

Bước 2: Thử các phương án A; B và D.
- Nhấn phím

máy hỏi X? Ta chọn giá trị −1, 00001∈ ( −∞; − 1) và nhấn dấu

= máy hỏi M? Ta nhập 1 (Chọn m = 1 thỏa cả hai điều kiện trong phương án

B và D) nhấn tiếp dấu = được kết quả:

 x = −1, 00001
thì f '( x) = 4, 00059997 > 0
m = 1

- Từ kết quả trên loại B và D vì với 

nên hàm số không nghịch biến với các giá trị vừa thử.
Bước 3: Thử các phương án A và C.
- Nhấn phím

máy hỏi X? Ta chọn giá trị −1, 00001∈ ( −∞; − 1) và nhấn dấu

= máy hỏi M? Ta nhập -1 (Chọn m = -1 thỏa cả hai điều kiện trong phương

án A và C) nhấn tiếp dấu = được kết quả:

- Từ kết quả trên

A và C thỏa mãn vì với

 x = −1, 00001

 m = −1

thì

f '( x ) = −3,99940003 < 0 nên hàm số nghịch biến với các giá trị vừa thử.

Bước 4: Thử phương án A.
- Nhấn phím

máy hỏi X? Ta chọn giá trị −1, 00001∈ ( −∞; − 1) và nhấn dấu

= máy hỏi M? Ta nhập -0,0001 (Chọn m = -1 nhấn tiếp dấu = được kết

quả:
Trang 15


- Từ kết quả trên

A không thỏa mãn vì với

 x = −1, 00001

 m = −0, 0001

thì

f '( x) = 1,9997.10 −4 > 0 nên hàm số không nghịch biến với các giá trị vừa thử.

Vậy chọn C.
2. Dạng 2: Cực trị của hàm số.
Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên khoảng (a; b). và
có đạo hàm trên (a; b). Tìm điểm cực trị của hàm số.
1. Cơ sở lý thuyết: Sử dụng qui tắc tìm cực trị.
- Tìm TXĐ
- Tính f’(x). Tìm các giá trị xi ( i =1,2,3…n) mà tại đó f '( xi ) = 0 hoặc
f '( xi ) không xác định.

- Lập bảng biến thiên.
- Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
 Nếu giải quyết bài toán theo hướng tự luận thì chúng ta cần phải thực
hiện đầy đủ các bước trong qui tắc trên.
 Đối với bài toán trắc nghiệm thì chúng ta chỉ cần thực hiện hai bước
chính sau:
+ Tính f’(x). Tìm các giá trị xi ( i =1,2,3…n) mà tại đó f '( xi ) = 0
hoặc f '( xi ) không xác định.
+ Xét dấu f’(x).
2. Giải pháp bấm máy:
d

- Dùng tổ hợp chức năng dx ( f ( x) )

x = x0

và CALC để dò nghiệm x0 của

f '( x ) = 0.

- Dùng chức năng CALC để kiểm tra x0 là điểm cực đại hay cực tiểu.
 Chú ý:
- Nếu f '( x0 ) = 0 và f '( x) đổi dấu từ dương sang âm khi qua x0 thì x0 là điểm
Trang 16


cực đại của hàm số.
- Nếu f '( x0 ) = 0 và f '( x) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x0 thì x0 là điểm
cực tiểu của hàm số.
 Ví dụ 1: Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = − x3 + 3x + 4 là?
A. x = −1

C. ( −1; 2 )

B. x = 1

D. ( 1; 6 )

Bài giải:
Bước 1: Nhập biểu thức

d
− X 3 + 3X + 4)

(
dx

tiếp các phím sau: SHIFT

∫

x= X

lên màn hình bằng cách bấm liên

W

X − ALPHA ) xW 3 + 3 ALPHA ) + 4 > ALPHA )

W

Khi đó màn hình xuất hiện như sau:

Bước 2: Thử phương án A.
- Nhấn phím

máy hỏi X? Ta nhập giá trị −1 (Kiểm tra x0 = −1 trong

phương án A có là điểm cực trị không?) và nhấn dấu = được kết quả:

- Suy ra x = −1 là điểm cực trị của hàm số.
0

Bước 3: Kiểm tra x0 = −1 là cực đại hay cực tiểu.

- Tiếp tục nhấn phím

máy hỏi X? Ta nhập giá trị −1 − 0,1 (Kiểm tra dấu

f '( x ) phía trái x0 = −1 ) và nhấn dấu = được kết quả:

- Tiếp tục nhấn phím

máy hỏi X? Ta nhập giá trị −1 + 0,1 (Kiểm tra dấu

f '( x ) phía phải x0 = −1 ) và nhấn dấu = được kết quả:

Trang 17


Thấy f '( x) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x0 = −1 . Vậy x0 = −1 là điểm cực
tiểu của hàm số.
Bước 4: Tìm yCT .
- Dùng phím < di chuyển con trỏ tới vị trí móc mở trong biểu thức
d
( − X 3 + 3X + 4)
dx

x= X

( Như hình minh họa ở dưới đây)

- Nhấn phím DEL để xóa chức năng

- Tiếp tục nhấn phím

d
(
dx

) x = khi đó màn hình có dạng:

máy hỏi X? Ta nhập giá trị −1 (Tính yCT = f (−1) )

và nhấn dấu = được kết quả: 2

Suy ra điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là: ( −1; 2 ) . Vậy chọn C.
 Chú ý:
- Nếu ở bước 2 cho kết quả f '(−1) ≠ 0 hoặc ở bước 3 cho kết quả f '(−1 − 0.1) > 0
thì chuyển qua thử phương án B
- Cần nắm vững hai khái niệm điểm cực tiểu của hàm số và điểm cực tiểu của
đồ thị hàm số, nếu không sẽ chọn A là sai.
1
2

 Ví dụ 2: Điểm cực đại của hàm số y = x 4 − 2 x 2 − 3 là?
A. x = 0.

B. x = − 2; x = 2.

C. ( 0; − 3)

D. ( − 2; − 5 ) ; ( 2; − 5 ) .
Trang 18

Bài giải:

d  X4
− 2 X 2 − 3÷
Bước 1: Nhập biểu thức
lên màn hình bằng cách bấm

dx  2
 x= X

liên tiếp các phím sau:
SHIFT

∫

W

X

W

W
ALPHA ) x W 4 ∇ 2 > − 2 ALPHA ) x 2 − 3 > ALPHA )
W

Khi đó màn hình xuất hiện như sau:

Bước 2: Thử phương án A.
- Nhấn phím

máy hỏi X? Ta nhập giá trị 0 ( Kiểm tra x0 = 0 trong

phương án A có là cực trị không?) và nhấn dấu = được kết quả:

- Suy ra x = 0 là cực trị của hàm số.
0

Bước 3: Kiểm tra x0 = 0 là cực đại hay cực tiểu.
- Tiếp tục nhấn phím

máy hỏi X? Ta nhập giá trị 0 − 0,1 (Kiểm tra dấu

f '( x ) phía trái x0 = 0 ) và nhấn dấu = được kết quả:

- Tiếp tục nhấn phím

máy hỏi X? Ta nhập giá trị 0 + 0,1 (Kiểm tra dấu

f '( x ) phía phải x0 = 0 ) và nhấn dấu = được kết quả:

Thấy f '( x) đổi dấu từ dương sang âm khi qua x0 = 0 . Vậy x0 = 0 là điểm cực
đại của hàm số.
Trang 19


Vậy chọn A.
Nhận xét: Rất may trong bài toán này là do sự sắp xếp x = 0 ở phương
án A. nên việc kiểm tra không mất nhiều thời gian mà chọn được ngay đáp án
đúng. Trong trường hợp x = 0 nằm ở phương án khác thì kinh nghiệm chúng

ta nên kiểm tra phương án chứa x = 0 trước.
Bài toán 2: Cho hàm số y = f(x, m) (với m là tham số) xác định, liên tục
trên khoảng K , và có đạo hàm trên K . Tìm m để hàm số đạt cực đại
(cực tiểu) tại x = x0 , ( x0 ∈ K ) .
1 Cơ sở lý thuyết:
- Bước 1: Tính f '( x, m) và giải phương trình f '( x0 , m) = 0 để tìm m.
- Bước 2: Thử lại với giá trị của m vừa tìm được để kiểm tra xem x0 là điểm
cực đại hay là điểm cực tiểu.
- Bước 3: Kết luận
2. Giải pháp: Bấm máy
d

- Dùng tổ hợp chức năng dx ( f ( x) )

x = x0

và chức năng CALC để dò nghiệm m

của phương trình f '( x0 , m) = 0 .
- Dùng chức năng CALC để kiểm tra x0 là điểm cực đại hay cực tiểu.
 Chú ý:
- Nếu f '( x0 ) = 0 và f '( x) đổi dấu từ dương sang âm khi qua x0 thì x0 là điểm
cực đại của hàm số.
- Nếu f '( x0 ) = 0 và f '( x) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x0 thì x0 là điểm
cực tiểu của hàm số.
 Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 − 2mx + 1 (m là tham số). Tìm m để hàm số đạt
cực tiểu tại x = 1. ?
A. m =

−3

.
2

3
2

B. m = .

C. m =

−2
.
3

2
3

D. m = .

Bài giải:

Trang 20


Bước 1: Nhập biểu thức

d
X 3 − 2 MX + 1)
(
dx

x= X

(tham số m được thay bởi biến M

trong máy tính) lên màn hình bằng cách bấm liên tiếp các phím sau:
SHIFT

∫

W

X ALPHA ) x W 3 − 2 ALPHA M + ALPHA ) + 1 > ALPHA )

W

Khi đó màn hình xuất hiện như sau:

Bước 2: Thử phương án A.
+ Để kiểm tra với x = 1; m =
- Nhấn phím

3
có thỏa f '( x, m) = 0 ? Ta thực hiện thao tác sau:
2

máy hỏi X? Ta nhập giá trị 1 (Vì đề cho x = 1 là điểm cực

tiểu).
- Nhấn = máy hỏi M? Ta nhập

−3
−3
. ( Nhập giá trị của m =
để kiểm tra)
2
2

-Nhấn tiếp dấu = được kết quả hiện thị như sau:

- Thấy với x = 1; m =

−3
−3
thì f '( x, m) = 6 ≠ 0 suy ra m =
không thỏa. Loại A.
2
2

Bước 3: Thử phương án B.
+ Bước 3.1: Kiểm tra với x = 1; m =

3
có thỏa f '( x, m) = 0 ? Ta thực hiện các
2

thao tác sau:
- Nhấn phím

máy hỏi X? Ta nhập giá trị 1 (Nhập giá trị của x = 1 để

kiểm tra).
3
2

- Nhấn = máy hỏi M? Ta nhập . ( Nhập giá trị của m =

3
để kiểm tra)
2

-Nhấn tiếp dấu = được kết quả hiện thị như sau:

Trang 21


 Thấy với x = 1; m =

3
3
thì f '( x, m) = 0 suy ra m = có thể là đáp án đúng.
2
2

+ Bước 3.2: Để thử lại với m =

3
xem hàm số có đạt cực tiểu tại x = 1 hay
2

không? Ta thực hiện các thao tác sau:
- Nhấn phím

máy hỏi X? Ta nhập giá trị 1-0.1 (Nhập giá trị của

x = 1 − 0.1 ).
3
2

3
2

- Nhấn = máy hỏi M? Ta nhập . ( Nhập giá trị của m = )
-Nhấn tiếp dấu = được kết quả hiện thị như sau:

 Suy ra f '(0.9) =
- Nhấn phím

−57
<0
100

( 1)

máy hỏi X? Ta nhập giá trị 1+0.1 (Nhập giá trị của

x = 1 + 0.1 ).

3
2

3
2

- Nhấn = máy hỏi M? Ta nhập . ( Nhập giá trị của m = )
-Nhấn tiếp dấu = được kết quả hiện thị như sau:

 Suy ra f '(1.1) =

63
>0
100

( 2)

+ Từ (1) và (2) suy ra f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x = 1 vậy hàm số
đạt cực tiểu tại x = 1 ⇒ m =

3
thỏa mãn. Vậy chọn B.
2

Trang 22


 Ví dụ 2: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y =

x 2 + mx + 1
đạt cực
x+m

đại tại x = 2?
A. m = −1.

B. m = −3.

C. m = −3; m = −1.

D. m = 1; m = 3.

Bài giải:
Bước 1: Nhập biểu thức

d  X 2 + MX + 1 

÷ (tham số m được thay bởi biến M
dx  X + M  x = X

trong máy tính) lên màn hình bằng cách bấm liên tiếp các phím sau:
SHIFT

∫

W

X

W

W

ALPHA ) x 2 + ALPHA M + ALPHA ) + 1 ∇ ALPHA ) + ALPHA M +
W

> > ALPHA )

Khi đó màn hình xuất hiện như sau:

Bước 2: Thử phương án A và C.
+ Bước 2.1: Để kiểm tra với x = 2; m = −1 có thỏa f '( x, m) = 0 ? Ta thực hiện
các thao tác sau:
- Nhấn phím

máy hỏi X? Ta nhập giá trị 2 (Nhập giá trị của x = 2 để

kiểm tra).
- Nhấn = máy hỏi M? Ta nhập −1. ( Nhập giá trị của m = −1 để kiểm tra)
-Nhấn tiếp dấu = được kết quả hiện thị như sau:

- Thấy với x = 2; m = −1 thỏa f '( x, m) = 0 .
+ Bước 2.2: Để thử lại với m = −1 xem hàm số có đạt cực đại tại x = 2 hay
không? Ta thực hiện các thao tác sau:
- Nhấn phím

máy hỏi X? Ta nhập giá trị 2-0.1 (Nhập x = 1.9 < 2 để kiểm

tra dấu y’).
Trang 23


- Nhấn = máy hỏi M? Ta nhập −1 ( Nhập giá trị của m = −1 )

-Nhấn tiếp dấu = được kết quả hiện thị như sau:

Suy ra f '(1.9) < 0 ( 1)
- Nhấn phím

máy hỏi X? Ta nhập giá trị 2+0.1 (Nhập x = 2.1 > 2 để kiểm

tra dấu y’).
- Nhấn = máy hỏi M? Ta nhập −1 ( Nhập giá trị của m = −1 )
-Nhấn tiếp dấu = được kết quả hiện thị như sau:

Suy ra f '(2.1) > 0 ( 2 )
+ Từ (1) và (2) suy ra f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x = 2 vậy hàm
số đạt cực tiểu tại x = 2 . Vậy Loại A và C.
Bước 3: Thử phương án B.
+ Bước 3.1: Kiểm tra với x = 2; m = −3 có thỏa f '( x, m) = 0 ? Ta thực hiện các
thao tác sau:
- Nhấn phím

máy hỏi X? Ta nhập giá trị 2 (Nhập giá trị của x = 2 để

kiểm tra).
- Nhấn = máy hỏi M? Ta nhập −3 ( Nhập giá trị của m = −3 để kiểm tra)
-Nhấn tiếp dấu = được kết quả hiện thị như sau:

 Thấy với x = 2; m = −3 thỏa f '( x, m) = 0
+ Bước 3.2: Để thử lại với m = −3 xem hàm số có đạt cực đại tại x = 2 hay
không? Ta thực hiện các thao tác sau:
Trang 24

- Nhấn phím

máy hỏi X? Ta nhập giá trị 2-0.1 (Nhập x = 1.9 < 2 để kiểm

tra dấu y’).
- Nhấn = máy hỏi M? Ta nhập −3 ( Nhập giá trị của m = −3 )
- Nhấn tiếp dấu = được kết quả hiện thị như sau:

 Suy ra f '(1.9) > 0 ( 3)
- Nhấn phím

máy hỏi X? Ta nhập giá trị 2+0.1 (Nhập x = 2.1 > 2 để kiểm

tra dấu y’)
- Nhấn = máy hỏi M? Ta nhập −3 ( Nhập giá trị của m = −3 )
-Nhấn tiếp dấu = được kết quả hiện thị như sau:

Suy ra f '(2.1) < 0 ( 4 )
+ Từ (3) và (4) suy ra f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi qua x = 2 vậy hàm
số đạt cực đại tại x = 2 ⇒ m = −3 thỏa mãn. Vậy chọn B.
 Chú ý: Có nhiều học sinh không nắm vững thuật toán chỉ thực hiện bước
 m = −3
(không thử lại) từ
 m = −1

tính f '( x, m) và giải phương trình f '(2, m) = 0 ⇔ 
đó chọn phương án C thì đó là một sai lầm.

1.3 Dạng: Giá trị lớn nhất và Giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Bài toán : Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên đoạn [ a; b] . Tìm
GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [ a; b] .
1 Cơ sở lý thuyết:
- Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá tri lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
trên đoạn đó.
2. Giải pháp: Dùng chức năng TABLE (Chức năng lập bảng giá trị của
Trang 25