SKKN giúp học sinh THCS sử dụng máy tính casio fx 570ES plus và fx 570VN plus trong học tập và ôn luyện

Giúp học sinh sử dụng máy tính casio fx-570ES Plus và fx-570VN Plus trong học tập và ôn luyện

GIÚP HỌC SINH SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO FX-570ESPLUS và FX570VN PLUS TRONG HỌC TẬP VÀ ÔN LUYỆN
HI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO Fx – 570 MS
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Bồi dưỡng, phát triển trí tuệ và năng lực sáng tạo của học sinh là nhiệm
vụ trọng tâm của nhà trường.Sử dụng MTCT(máy tính cầm tay) để giải toán
cũng là một hoạt động phát triển trí tuệ và năng lực sáng tạo của học sinh rất
hiệu quả.Xuất phát từ những kỹ năng đơn giản về sử dụng máy tính cầm tay để
tính giá trị của biểu thức,tìm nghiệm của phương trình,hệ phương trình bậc hai,
bậc ba hay tìm tỉ số lượng giác của góc nhọn,….học sinh còn được rèn luyện lên
một mức độ cao hơn đó là rèn luyện tư duy thuật toán, một thao tác tư duy cực
kỳ cần thiết cho một lập trình viên sau này, thông qua các bài tập như: Phân tích
một số ra thừa số nguyên tố, tìm UCLN, BCNN hay phân tích đa thức thành
nhân tử,…..
Trong những năm gần đây khoa học trên thế giới phát triển rất mạnh mẽ,
và được ứng dụng rất nhiều trong đời sống. Trong dạy học việc ứng dụng khoa
học củng rất phổ biến cụ thể như giải toán có sự trợ giúp máy tính cầm tay, và
trong giáo dục đã xem việc ứng dụng này là một sân chơi bổ ích cho các em học
sinh cấp THCS và THPT thông qua cuộc thi giải toán bằng máy tính cầm tay.
Nhằm giúp tất cả các em học sinh trong trường biết sử dụng máy tính vào
giải toán;giúp các em trong đội tuyển ôn luyện đạt kết quả tốt nhất nên tôi mạnh
dạn viết sáng kiến kinh nghiệm này.
B.NỘI DUNG:
SƠ LƯỢC CÁCH SỬ DỤNG MÁY TÍNH fx – 570 ES và fx – 570 VN PLUS
1. Mở, Tắt máy:
Mở máy : ấn ON
Tắt máy: ấn SHIFT

OFF

Xoá màn hình để thực hiện phép tính khác : ấn AC
Xóa kí tự cuối vừa ghi: ấn DEL

1


Giúp học sinh sử dụng máy tính casio fx-570ES Plus và fx-570VN Plus trong học tập và ôn luyện

2. Mặt phím:
Các phím chữ trắng & DT : ấn trực tiếp
Các phím chữ vàng: ấn sau SHIFT
Các phím chữ đỏ: ấn sau
Hoặc

ALPHA
SHIFT

Hoặc

STO

RCL

3. Tính chất yêu tiên của máy và cách sử dụng:
- Máy thực hiện trước các phép tính có tính chất yêu tiên ( ví dụ: Phép
nhân, chia thì ưu tiên hơn cộng, trừ)
- Nên ấn liên tục để đến kết quả cuối cùng, tránh tối đa việc chép kết quả
trung gian ra giấy rồi ghi lại vào máy vì việc đó có thể dẫn đến sai số lớn ở kết
quả cuối.
- Máy có ghi biểu thức tính ở dòng trên màn hình, khi ấn phím nên nhìn

để phát hiện chỗ sai. Khi ấn sai thì dùng phím

REPLAY



hay



đưa con trỏ đến chỗ sai để sửa bằng cách ấn đè hoặc ấn chèn ( ấn SHIFT INS
trước).
- Khi đã ấn = mà thấy biểu thức sai ( đưa đến kết quả sai) ta dùng
hay



 đưa con trỏ lên dòng biểu thức để sửa sai và ấn = để tính lại.

- Khởi đầu thiết đặt máy tính ấn SHIFT 9 3 =
-Tính toán thông thường mod e 1
NỘI DUNG CHÍNH
Máy tính cầm tay hỗ trợ rất nhiều trong việc học tập của học sinh.
Những bài toán thường gặp :
Bài 1: Tìm tất cả các ước của một số A

 Phương pháp :Lấy A chia cho tất cả các số từ 1 đến A
•

Quy trình ấn phím: 1 SHIFT STO A

A ÷ A : A = A + 1 CALC = = =

A là một ước, chọn các kết quả là số nguyên, đó chính là ước cần tìm.
2


Giúp học sinh sử dụng máy tính casio fx-570ES Plus và fx-570VN Plus trong học tập và ôn luyện

Ví dụ: Tìm tất cả các ước của 60
Ấn: 1 SIHFT STO A
60 ÷ A : A = A + 1 CALC = = =

Ư(60) = { ±60, ±30, ±20, ±15, ±12, ±10, ±6, ±5, ±4, ±3, ±2, ±1}
Bài 2: Kiểm tra một số có là số nguyên tố không?

 Phương pháp: a là số nguyên tố nếu nó không chia hết cho mọi số
nguyên tố không vượt quá a
Nhận xét:Mọi số nguyên tố điều là số lẻ(trừ số 2) nên ta dùng phép chia a
cho các số lẻ không vượt quá a
Cách làm:
1/Tính a
2/ Lấy phần nguyên b của kết quả
3/ Lấy số lẻ c lớn nhất không vượt quá b
4/ Lập qui trình
c→ A
a ÷ A : A = A − 2 CALC = = = ........

Quan sát đến khi A=1 thì dừng
5/ Trong quá trình ấn =

- Nếu tồn tại kết quả nguyên thì khẳng định a là hợp số.
- Nếu không tồn tại kết quả nguyên nào thì khẳng định a là số nguyên tố.
VD1: Xét xem số 8191 là số nguyên tố hay hợp số
Tính 8191 = 90,50414355
Lấy phần nguyên là 90
Lấy số lẻ lớn nhất không vượt quá 90 là 89
Lập qui trình ấn phím
89 → A
8191 ÷ A : A = A − 2

3


Giúp học sinh sử dụng máy tính casio fx-570ES Plus và fx-570VN Plus trong học tập và ôn luyện

ấn CALC quan sát kết quả ta thấy điều không nguyên. Nên 8191 là số
nguyên tố
VD2: Xét xem số 99873 là số nguyên tố hay hợp số
Cách làm như VD1 quan sát thấy kết quả nguyên là 411 nên 99873 là
hợp số
*Đối với máy fx-570vn Plus ta kiểm tra số nguyên tố như sau:
Ví dụ: Kiểm tra số 8191;99873
Ấn 8191 = SHIFT FACT kết quả vẫn là 8191 ta kết luận 8191 là số
nguyên tố.
Ấn 99873 = SHIFT FACT Kết quả 36.137 ta kết luận 99873 không phải là
số nguyên tố.
Bài 3: Giải phương trình bậc hai, bậc ba trên máy
*Gọi chương trình giải phương trình bậc hai
Ấn MODE 5 ấn 3 nhập hệ số a,b,c đọc kết quả

*Gọi chương trình giải phương trình bậc ba
Ấn MODE 5 ấn 4 nhập hệ số a,b,c,d rồi đọc kết quả
Lưu ý:
sau mỗi lần nhập hệ số ấn phím = giá trị mới được ghi vào bộ nhớ của
máy tính.
Khi giải bằng chương trình cài sẳn trên máy nếu phía sau giá trị của
nghiệm có chữ i thì nghiệm đó là nghiệm phức.Trong chương trình THCS
nghiệm này chưa được học do đó không trình bày nghiệm này trong bài
giải.
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử
Nếu tam thức bậc hai ax2+bx+c có hai nghiệm là x1 và x2 thì nó viết
được dưới dạng ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
Bài 5: Giải hệ phương trình hai ẩn, ba ẩn

4


Giúp học sinh sử dụng máy tính casio fx-570ES Plus và fx-570VN Plus trong học tập và ôn luyện

 a1 x + b1 y = c1
 a2 x + b2 y = c2

*Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng 
Gọi chương trình giải hệ hai ẩn
Ấn MODE 5 1

Nhập hệ số a1,b1,c1,a2;b2;c2 rồi đọc kết quả x;y
 a1 x + b1 y + c1 z = d1

*Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng a2 x + b2 y + c2 z = d 2

a x + b y + c z = d
3
3
3
 3

Gọi chương trình giải hệ ba ẩn
a1 , b1 , c1 , d1

Ấn MODE 5 2 nhập hệ số a2 , b2 , c2 , d 2
a3 , b3 , c3 , d3

Đọc kết quả x,y,z
Bài 6: Tìm góc nhọn khi biết tỉ số lượng giác của góc đó
*Tìm góc nhọn của các tỉ số sin, cos, tan thì cách làm giống nhau
7
Ví dụ: Tìm góc nhọn α biết tan α =

4


−1 
Ấn SHIFT tan  ÷ = o '''
4
7

α ≈ 60015'18.43''
4
Tìm góc nhọn α khi biết cot α =
7

4
1
4
4
⇔
= ⇔ tan α = 1 ÷
7
tan α 7
7
Ta làm như sau:
0
α ≈ 60 15'18.43''
cot α =

Bài 7: Làm tròn số
Ấn SHIET SETUP 6 máy xuất hiện Fix 0~9 nếu làm tròn kết quả đến chữ
số thập phân thứ ba thì ấn số 3
CÁC DẠNG TOÁN ÔN LUYỆN
DẠNG 1 : TÌM SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA SỐ A CHO SỐ B.
5


Giúp học sinh sử dụng máy tính casio fx-570ES Plus và fx-570VN Plus trong học tập và ôn luyện

1/ Trường hợp số A có tối đa không quá 10 chữ số.

 Phương pháp :
 A

A

 A

Số dư của số A chia số B là : B = A − B.  B  trong đó  B  là phần nguyên
 
 
của

A
B

 Thao tác trên máy :
A

÷

B = kết quả là số thập phân, ta dùng

lên sửa phép chia A

÷

<

của phím REPLAY đưa con trỏ

 A
B thành A − B.   =
B

 Ví dụ : Tìm số dư của phép chia số 246813579 cho số 234
Giải :
246813579

÷

234= 1054758,885 dùng

<

của phím REPLAY đưa con trỏ sửa lại

như sau : 246813579 – 234 × 1054758=207.
Vậy Số dư tìm được là 207
Bài tập: Tìm số dư của phép chia 143946 cho 23147
Cách làm: 143946:23147=6,218775651
Chỉnh lại thành 143946-23147 x 6=5064
Vậy Số dư tìm được là 5064
2/ Trường hợp số A có nhiều hơn10 chữ số.

 Phương pháp : Trong trường hợp này số bị chia A có nhiều hơn 10
chữ số ta ngắt số A ra thành nhóm tối đa có 10 chữ số (tính từ bên trái sang). Ta
tìm số dư của nhóm đó khi chia cho số B (cách tìm số dư như phần a) được dư
bao nhiêu gắn vào đầu của nhóm còn lại, nếu nhóm còn nhiều hơn 10 chữ số ta
tiếp tục chia ra thành nhóm mới có tối đa 10 chữ số, rồi tiếp tục tìm số dư của
phép chia của nhóm mới cho số B được dư bao nhiêu gắn vào đầu của phần còn
lại, ... cứ thực hiện như thế cho đến khi nhóm cuối cùng không quá 10 chữ số.

6

Giúp học sinh sử dụng máy tính casio fx-570ES Plus và fx-570VN Plus trong học tập và ôn luyện

Số dư của phép chia nhóm cuối cùng cho số B chính là số dư cần tìm của phép
chia.

 Ví dụ : Tìm số dư của phép chia số 12345678987654321 cho số
123456
Giải :
Ta tìm số dư của phép chia 1234567898 (nhóm đầu tiên) cho 123456 được dư là
7898
Ta tìm số dư của phép chia 7898765432 (nhóm thứ hai) cho 123456 được dư là
50552
Ta tìm số dư của phép chia 505521 (nhóm cuối cùng) cho 123456 được dư là
11697.
Vậy số dư của phép chia số 12345678987654321 cho số 123456 là 11697
* Cách tìm số dư đối với máy fx-570vn Plus
-

Tìm

số

dư

của

phép

chia

103103103cho

2006

ta

ấn

103103103 ÷ R 2006 = 51397, R = 721

Vậy số dư cần tìm là 721
- Tìm số dư của phép chia 103200610320061032006 cho 2010 ta làm như sau:
1032006103 ÷ R 2010 = 513435, R = 1753
1753200610 ÷ R 2010 = 872239, R = 220
22032006 ÷ R 2010 =,10961R = 396

Vậy số dư cần tìm là 396
3/ Trường hợp số A cho dưới dạng lũy thừa quá lớn.

 Phương pháp : Ta dùng đồng dư thức
* Khái niệm : a ≡ b (mod m) ⇔ ( a − b ) Mm
* Tính chất :
n.a ≡ n.b ( mod m )


+ a ≡ b (mod m) ⇒  a n ≡ bn mod m
(
)


 a ≡ b ( mod m )

 a ± c ≡ b ± d ( mod m )

+ c ≡ d mod m ⇒  a.c ≡ b.d mod m
(
) 
(
)


7


Giúp học sinh sử dụng máy tính casio fx-570ES Plus và fx-570VN Plus trong học tập và ôn luyện

 Ví dụ1 : Tìm số dư của phép chia số 20112012 cho số 1975
Giải :
Theo (mod 1975) ta có :
2011 ≡ 36
20112 ≡ 1296
20113 ≡ 1231
20115 ≡1296.1231≡ 1551
201110 = ( 20115 ) ≡ 15512≡ 51
2

201120 = ( 201110 ) ≡ 512≡ 626
2

201140 = ( 201120 ) ≡ 6262≡ 826
2

201180 = ( 201140 ) ≡ 8262≡901
2

2011100 = 201180.201120 ≡ 901.626≡ 1151
2011300 = ( 2011100 ) ≡ 11513 ≡ 1776
3

2011600 = ( 2011300 ) ≡ 17762≡ 101
2

20111800 = ( 2011600 ) ≡ 1013 ≡ 1326
3

20112000 = 20111800.2011100.2011100 ≡ 1326.1151.1151≡1751
20112012 = 20112000.201110.20112 ≡ 1751.51.1296 ≡ 1071

Vậy số dư của phép chia số 20112012 cho số 1975 là 1071
Ví dụ 2: Tìm số của tổng 13 + 23 + 33 + ...... + 20103 Chia cho 123456
Giải: Áp dụng công thức
 n ( n + 1) 
=
÷
2 


2

1 + 2 + 3 + ...... + n = ( 1 + 2 + 3 + .... + n )
3

3

3

3

2

 2010 ( 2010 + 1) 
=
÷
2



2

⇒ 1 + 2 + 3 + ...... + 2010 = ( 1 + 2 + 3 + .... + 2010 )
3

3

3

3

2

= 4084663313025
Mà: 4084663313025 = 123456.33085984 + 72321

8


Giúp học sinh sử dụng máy tính casio fx-570ES Plus và fx-570VN Plus trong học tập và ôn luyện

Vậy số dư cần tìm là 72321
DẠNG 2 : TÍNH TÍCH ĐÚNG MÀ KẾT QUẢ TRÀN MÀN HÌNH

 Phương pháp : Kết hợp giữa tính trên máy và trên giấy.
 Ví dụ : Tính tích sau : A=2222255555 × 3333344444
Giải :
Ta viết số 2222255555 = 22222.105 + 55555 và
3333344444 = 33333.105 + 44444
5
5
Ta có A = ( 22222.10 + 55555) × ( 33333.10 + 44444 )

= 22222 × 33333.1010 + 22222 × 44444.105 + 55555 × 33333.105 + 55555 × 44444

Tính trên máy và ghi kết quả ra giấy như sau :
22222 × 33333.1010 = 7407259260000000000
22222 × 44444.105 =

98763456800000

55555 × 33333.105 =

55555 × 44444
=

185181481500000
2469086420

A = 7407543207407386420

DẠNG 3 : TÌM ƯCLN VÀ BCNN

 Phương pháp :
a)Tìm ƯCLN; BCNN của hai số A và B, ta làm như sau :
Tối giản

A a
= . Khi đó ƯCLN ( A, B ) = A ÷ a ; BCNN ( A, B ) = A × b
B b

 Ví dụ1 : Tìm ƯCLN, BCNN của 209865 và 283935
Giải :
Ghi vào màn hình 209865 ┘283935 = 17 ┘23 sau đó dời con trỏ lên
dòng biểu thức và sửa lại 209865

÷

17 = 12345

Vậy ƯCLN : 12345
Tương tự dời con trỏ lên dòng biểu thức sửa lại 209865

×

23 = 3567705

Vậy BCNN : 3567705
Ví dụ 2: Tìm UCLN và BCNN của A=2419580247 và B=3802197531
9


Giúp học sinh sử dụng máy tính casio fx-570ES Plus và fx-570VN Plus trong học tập và ôn luyện

HD: Ghi vào màn hình :

2419580247
7
=
3802197531
11

UCLN(A,B)= 2419580247 : 7 = 345654321
BCNN(A,B)= 2419580247 . 11 = 2.661538272 . 1010 (tràn màn hình)
Cách tính đúng: Đưa con trỏ lên dòng biểu thức xoá số 2 để chỉ còn
419580247 . 11
Kết quả : BCNN(A,B)= 26615382717
b) Tìm ƯCLN; BCNN của ba số A; B và C ta làm như sau:
D=ƯCLN(A,B)
ƯCLN(A,B,C)=ƯCLN(D,C)
E=BCNN(A,B)
BCNN ( A, B, C ) = BCNN ( E , C ) =

E.C
UCLN(E,C)

Ví dụ: Cho ba số A=1193984; B=157993; C=38743
a) Tìm ƯLN(A,B,C)
b) Tìm BCNN(A,B,C)
Giải
a) D=ƯCLN(A,B)=583
ƯCLN(A,B,C)=ƯCLN(D,C)=53
E=BCNN(A,B)=323569664
E.C

BCNN(A,B,C)=BCNN(E,C)= UCLN ( E , C ) = 236529424384

 Lưu ý : Nếu trường hợp ta không tối giản được

A
khi đó muốn tìm
B

ƯCLN ta dùng thuật toán Euclide
a.b

a = b.q + r ( r ≠ 0 ) ⇒ ƯCLN ( a, b ) = ƯCLN ( b, r ) ; BCNN ( a, b ) = UCLN ( a, b )

 Ví dụ : Tìm ƯCLN, BCNN của A=323569664 và B=38743.
10


Giúp học sinh sử dụng máy tính casio fx-570ES Plus và fx-570VN Plus trong học tập và ôn luyện

Ấn 323569644 ÷ 38743 = 8351, 69357
Chỉnh lại thành

323569644 − 38743 × 8351 = 26871
38743 ÷ 26871 = 731 ÷ 507

ƯCLN(A,B)= 38743 ÷ 731 = 53
A.B

BCNN ( A, B ) = UCLN ( A, B )
=

323569644 × 38743
= 323569644 × 731 = 236529424384
53

* Đối với máy fx570vnplus ta tìm UCLN,BCNN của hai hay ba số như
sau
a) Tìm ƯCLN của hai, ba số
+Tìm

ƯCLN

của

1754298000

và

75125232

ta

bấm

GCD(1754298000,75125232)=825552
+ Tìm ƯCLN của ba số 113984; 157993; 38743 bấm
GCD(GCD(1193984,11157993),38742)=53
b) Tìm BCNN của hai,ba số
+Tìm BCNN của 195 và 1890
LCM(195,1890)=24570
+ Tìm BCNN của 195; 189; 1975
LCM(LCM(195,189),1975)=9705150
Trong trường hợp tìm BCNN của ba số 1193984;157993;38743 máy báo
Math Error ta khắc phục như sau:
1193984 SHIFT STO A
157993 SHIFT STO B
38743 SHIFT STO C
LCM ( A, B) = 323569664 SHIFT STO D
CD
= 2.365294244 ×1011 − 2.36 × 1011 = 236529424384
GCD(C , D)

DẠNG 4: LIÊN PHÂN SỐ
11


Giúp học sinh sử dụng máy tính casio fx-570ES Plus và fx-570VN Plus trong học tập và ôn luyện

1/ Tính liên phân số kết quả được viết dưới dạng phân số.
1

M = 1+

 Ví dụ: Biểu diển số sau dưới dạng phân số

2+

1
3+

1
2

Giải:
Nhập vào màn hình như sau: 1+1 ÷ (2+1 ÷ (3+1 ÷ 2)) =

23
16

2/ Biểu diễn phân số dưới dạng liên phân số:

 Phương pháp:
Cho a, b ( a > b ) là hai số tự nhiên. Dùng thuật toán Ơclit chia a cho b, thì
b
a
1
= a0 + 0 = a0 +
a

b .
b
phân số có thể viết dưới dạng: b
b
b0
Vì b0 là phần dư của a khi chia cho b, nên b > b 0. Lại tiếp tục biểu diễn
b
a
1
b1
= a0 + 0 = a0 +
b
1
= a1 +
=a +
1
b
b
a1 +
b0 1 b0 ⇒
dưới dạng phân số: b0
b0
b1
b1

Tiếp tục quá trình này sẽ kết thúc sau n bước và ta được:
b
a
= a0 + 0 = a 0 +
b

b
a1 +

1
1
...an −1 +

1

an

Cách biểu diển này gọi là cách biểu diễn số hữu tỉ dưới dạng liên phân số,
nó được viết gọn là: a0 , a1 ,..., an 

 Ví dụ 1: Biểu diễn phân số

32
dưới dạng liên phân số
17

12


Giúp học sinh sử dụng máy tính casio fx-570ES Plus và fx-570VN Plus trong học tập và ôn luyện

Giải:
32
15
1
1

1
1
= 1+ = 1+
= 1+
= 1+
= 1+
17
2
1
1
17
17
1+
1+
1+
15
1
15
15
7+
2
2

 Ví dụ 2: Tìm a, b, c, d, e, f biết:
A=

1761
= a+
382

5
b+

4
c+

5
d+

4
e+

5
f

Giải:
Ta có:
A=

1761
615
5
5
5
5
5
= 3+
= 3+
= 3+
= 3+

= 3+
= 3+
382
136
4
4
4
382
382
2+
2+
2+
2+
123
55
5
123
123
2+
2+
34
34
34
11
5

=3 +
2+

4

2+

5

= 3+

5
12
2+
11

2+

4
2+

5

= 3+
2+

5
2+

4
11
3

4
2+

5
2+

4
2+

5
3

Vậy a = 3; b = c= d = e = 2; f = 3.
VD2
Cho

A = 30 +

A = ao +

12
5 . Viết lại
10 +
2003

1
a1 +

1
... + an −1 +

1

an

Viết kết quả theo thứ tự [ a0 , a1 ,..., an −1 , an ] = [ ...,...,...,...]
Giải:
Ta có

A = 30 +

12
10 +

5
2003

= 3+

12.2003
24036
4001
1
= 30 +
= 30 + 1 +
= 31 +
20035
20035
20035
20035
4001

13

Giúp học sinh sử dụng máy tính casio fx-570ES Plus và fx-570VN Plus trong học tập và ôn luyện

= 31 +

1
30 .
5+
4001

Tiếp tục tính như trên, cuối cùng ta được:
A = 31 +

1
5+

1
133 +

1
2+

1
1+

1
2+

1

1+

1
2

Viết kết quả theo ký hiệu liên phân số [ a0 , a1 ,..., an −1 , an ] = [ 31,5,133, 2,1, 2,1, 2]
DẠNG 5:Giải phương trình
Ví dụ 1: Tìm nghiệm của phương trình viết dưới dạng phân số
4+

x
1+

=

1
2+

1
3+

1
4

x
4+

1
3+

1
2+

1
2
1

Hướng dẫn: Đặt A =

1+

1
1

2+

3+

Ta có 4 + Ax = Bx. Suy ra x =
Kết quả x = −8

, B=

1
1
4

4+

1

3+

1
2+

1
2

4
.
B− A

844
12556
=−
.
1459
1459

Ví dụ 2: Tìm nghiệm của phương trình viết dưới dạng phân số

14


Giúp học sinh sử dụng máy tính casio fx-570ES Plus và fx-570VN Plus trong học tập và ôn luyện

4


 


2 ÷ 
4
2
+
x − 1 +

÷
4
1
 1+ ÷  2 +
7
5 

1+

8

4


 

2 ÷ 
4
x − 1 +
2+
÷
4
1

 1+ ÷  2 +

7
5

1+

8


+

1

= 4+

2

8
 2+ 1
1+
÷
1
9
3+
÷
4
÷
÷
÷

÷

2
1
= 4+
−
8
1

1+
2+
÷
1
9
3+
÷
4
÷
`
÷
÷
÷




÷




÷

2 ÷
4
4

÷
2
+
x
=
+
1
+

÷
2
1
1 ÷

 1+ 4 ÷
4+
−
2+

8
1
7÷
5


1+
2+
1+ ÷

1 
9
8
3+
4
28
2040 49 2040 ×19 + 49 × 2359
x=
+
=
9
2359 19
2359 × 19

28
154351
x=
9
44821
154351 9 1389159
x=
× =
44821 28 1254988

DẠNG 6: Đa thức
Một số kiến thức cần nhớ:

1. Định lý Bezout
Số dư trong phép chia f(x) cho nhị thức x – a chính là f(a)
Hệ quả: Nếu a là nghiệm của f(x) thì f(x) chia hết cho x – a
2. Sơ đồ Hor nơ
Ta có thể dùng sơ đồ Hor nơ để thìm kết quả của phép chia đa thức f(x) cho
nhị thức x – a.
Ví dụ:

15


Giúp học sinh sử dụng máy tính casio fx-570ES Plus và fx-570VN Plus trong học tập và ôn luyện

Thực hiện phép chia (x3 – 5x2 + 8x – 4) cho x – 2 bằng cách dùng sơ đồ Hor
nơ.
Bước 1: Đặt các hệ số của đa thức bị chia theo thứ tự vào các cột của dòng
trên.
1

-5

8

-4

a=2

Bước 2: Trong 4 cột để trống ở dòng dưới, ba cột đầu cho ta các hệ số của
đa thức thương, cột cuối cùng cho ta số dư.
- Số thứ nhất của dòng dưới = số tương ứng ở dòng trên

- Kể từ cột thứ hai, mỗi số ở dòng dưới được xác định bằng cách lấy a nhân
với số cùng dòng liền trước rồi cộng với số cùng cột ở dòng trên
a=2

1

-5

8

-4

1

-3

2

0

Vậy (x3 – 5x2 + 8x – 4) = (x – 2)(x2 – 3x + 2) + 0
* Nếu đa thức bị chia là a0x3 + a1x2 + a2x + a3 , đa thức chia là x – a, ta được
thương là b0x2 + b1x + b2 dư là r. Theo sơ đồ Hor nơ ta có:
a0
a

a1

a2

a3

b1

b2

r

ab0 + a1

ab1 + a2

b0
a0

ab2 + a3

Bài tập 1: Tìm số dư trong các phép chia sau:
a) P(x)=3x4 +5x3 – 4x2 +2x-7 cho x – 5
Ta có: P(x)=Q(x).(x-5)+R ⇒ R = P(5)=2403
b) Tính a để P(x)=x4 + 7x3 + 2x2 + 13x + a chia hết cho x + 6

16


Giúp học sinh sử dụng máy tính casio fx-570ES Plus và fx-570VN Plus trong học tập và ôn luyện

Ta có: P(x)=P’(x)+a=Q(x)(x+6)+a ⇒ a = − P '(−6) = 222
Bài tập 2:
Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 +cx +d .

Biết P(1) = 7 , P(2) =28 , P(3) = 63 .Tính P =

P ( 100 ) + P (−96)
8

Giải:
Xét đa thức Q(x) = P(x) – 7x2 (1)
Dễ thấy Q(1) = Q(2) = Q(3) = 0
Chứng tỏ Q(x) chia hết cho (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – r)
Q(x) =(x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – r) (2)
Từ (1) và (2) ta có : P(x) =(x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – r) +7x2
P(100)=99.98.97.(100-r)+7.1002
P(-96)=(-97).(-98).(-99).(-96-r)+7.(-96)2
99.98.97(100 − r + 96 + r ) + 7.1002 + 7.962
8
P = 23073617
P=

Bài tập 3: Cho đa thức P(x)=x5+ax4+bx3+cx2+dx+f
Biết P(1)=1 ; P(2)=8 ; P(3)=27 ; P(4)=64 ; P(5)=125
Tính P(6) ; P(7) ; P(8) ; P(9) ; P(10) và nêu công thức tính P(n) khi n ≥ 6 ( n ∈ N )
Giải
Ta có : P(1)=1=13 ; P(2)=8=23 ; P(3)=27=33 ; P(4)=64=43 ; P(5)=125=53
Xét P’(x)=P(x)-x3 (1)
Ta thấy : P’(1)=P’(2) =P’(3)=P’(4)= P’(5)=0
Do hệ số cao nhất của x5 bằng 1 nên P’(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) (2)
Từ (1) và (2) suy ra :P(x)=( x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+x3
Do đó : P(6)=(6-1)(6-2)(6-3)(6-4)(6-5)+63=336
Tương tự tính được : P(7)=1063 ; P(8)=3032 ; P(9)=7449 ; P(10)=16120
Khi

n≥6

ta có P(7)=6.5.4.3.2+73=

6.5.4.3.2 3 ( 7 − 1) ! 3
+7 =
+7
1
( 7 − 6) !

17


Giúp học sinh sử dụng máy tính casio fx-570ES Plus và fx-570VN Plus trong học tập và ôn luyện

P (8) = 7.6.5.4.3 + 83 =

7.6.5.4.3.2.1 3 ( 8 − 1) ! 3
+8 =
+8
2.1
( 8 − 6) !

................
(n − 1)! 3
P ( n) =
+ n ( n ≥ 6, n ∈ N )
( n − 6)!

Bài 4 : Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 +cx +d .
Biết P(1) = 3 , P(3) =11 , P(5) = 27
Tính A=7f(6)+f(-2)
Giải: Đặt g(x)=x2 +2
Ta có: g(1)=g(3)=g(5)=0
f(x)=(x-1)(x-3)(x-5)(x-r)+x2+2
f(6)= (6-1)(6-3)(6-5)(6-r)+62+2=5.3.1(6-r)+62+2=128-15r
f(-2)=(-2-1)(-2-3)(-2-5)(-2-r)+(-2)2+2=(-3)(-5)(-7)(-2-r)+6=216+105r
Vậy: A=7f(6)+f(-2)=7(128-15r)+216+105r=896-105r+216+105r=1112
DẠNG 7: Dãy số
Bài tập 1:
Cho dãy số với số hạng tổng quát được cho bởi công thức

Un =

(13 + 3 ) n − (13 − 3 ) n
2 3

với n = 1 , 2 , 3 , . . . k , . . .

a) Tính U 1 ,U 2 ,U 3 ,U 4 ,U 5 ,U 6 ,U 7 ,U 8
b) Lập công thức truy hồi tính U n+1 theo U n và U n−1
c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính U n+1 theo U n và U n−1
Giải:
a) Quy trình bấm phím (Máy fx-570ES)
1 SIHFT STO A
((13 +

3 ) ∧ alpha A - (13 −

3 ) ∧ alpha A ) ÷ 2

3)

alpha : alpha A alpha = alpha A + 1 CALC = = ...

18


Giúp học sinh sử dụng máy tính casio fx-570ES Plus và fx-570VN Plus trong học tập và ôn luyện

U1 = 1; U2 = 26 ; U3 =510; U4 =8944; U5 = 147884
U6 = 2360280; U7 = 36818536; U 8= 565475456.
b) Giả sử Un+1 = a. Un + b. Un-1 + c
Theo phần a ta có hệ
510 = a.26 + b.1 + c
a = 26


⇔ b = −166
8944 = a.510 + b.26 + c
147884 = a.8944 + b.510 + c
c = 0


⇒ Un+1 = 26 Un -166 Un-1

c)
1 SIHFT STO A
26 SIHFT STO B

2 6 alpha B - 1 1 6 alpha A SHIFT STO A
` 2 6 alpha A - 1 1 6 alpha B SHIFT STO B

Bài tập 2:Cho hai dãy số với các số hạng tổng quát được cho bởi công
thức
u1 = 1; v1 = 2

un +1 = 22vn − 15un Với n=1;2;3;....;k;.....
v = 17v − 12u
n
n
 n +1

a) Viết qui trình bấm phím liên tục tính un+1 và vn+1 theo un và theo vn
b) Tính u5;u10 ; u15;v5;v10 ; v15;
Giải
1 SIHFT STO A
2 SIHFT STO B
1 SIHFT STO D
D = D + 1 : C = A : A = 22 B - 15 A 1 : B = 17
` B - 12 C CALC = = =

b)
U5
-

U10
-

U15

-

767 192547 47517071

U18
V5
1055662493 -

V10
-

V15
-

V18
673575382

526 135434 34219414
19


Giúp học sinh sử dụng máy tính casio fx-570ES Plus và fx-570VN Plus trong học tập và ôn luyện

*Bài tập về dãy số đối với máy fx-570vn Plus
Bài 1: Cho dãy số

u1 = 17; u2 = 29
un + 2 = 3un +1 + 2un (u ≥ 1)

Tính u15?

Giải
17 = 29 = 3 Ans + 2 Pr eAns u3 = .... u15

Vậy u15 =493981609
DẠNG 8. Tìm chữ số hang đơn vị, hàng chục, hàng trăm ... của một lũy
thừa.
Bài 1: Tìm chữ số hàng đơn vị của số 172002

17 2 ≡ 9(mod10)

( 17 )
2

1000

= 17 2000 ≡ 91000 (mod10)

Giải: 92 ≡ 1(mod10)
91000 ≡ 1(mod10)
17 2000 ≡ 1(mod10)

Vậy 17 2000.17 2 ≡ 1.9(mod10) . Chữ số tận cùng của 172002 là 9
Bài 2: Tìm chữ số hàng chục, hàng trăm của số 232005.
Giải
+ Tìm chữ số hàng chục của số 232005
231 ≡ 23(mod100)
232 ≡ 29(mod100)
233 ≡ 67(mod100)
234 ≡ 41(mod100)

Do đó:

(

2320 = 234

)

5

≡ 415 ≡ 01(mod100)

232000 ≡ 01100 ≡ 01(mod100)
⇒ 232005 = 231.234.232000 ≡ 23.41.01 ≡ 43(mod100)

20


Giúp học sinh sử dụng máy tính casio fx-570ES Plus và fx-570VN Plus trong học tập và ôn luyện

Vậy chữ số hàng chục của số 232005 là 4 (hai chữ số tận cùng của số 232005 là 43)
+ Tìm chữ số hàng trăm của số 232005
231 ≡ 023(mod1000)
234 ≡ 841(mod1000)
235 ≡ 343(mod1000)
2320 ≡ 3434 ≡ 201(mod1000)
232000 ≡ 201100 (mod1000)
2015 ≡ 001(mod1000)
201100 ≡ 001(mod1000)
232000 ≡ 001(mod1000)

232005 = 231.234.232000 ≡ 023.841.001 ≡ 343(mod1000)

Vậy chữ số hàng trăm của số 232005 là số 3 (ba chữ số tận cùng của số 232005 là số
343)
DẠNG 9: Tìm chữ số thập phân thứ n sau dấu phẩy
Bài 1: Tìm chữ số thập phân thứ 2001 sau dấu phẩy khi chia 1 cho 49
Giải: Tìm chữ số thập phân thứ 2001 sau dấu phẩy trong phép chia 1 cho 49 là
tìm số dư khi chia 102000 cho 49( Chữ số thứ 2001 sau dấu phẩy thành chữ số thứ
nhất sau dấu phẩy)
102 ≡ 2(mod 49)

Mà:

1042 ≡ 221 ≡ 1(mod 49)
1026 ≡ 9(mod 49)
102000 = 1047.42 + 26 = 1047.42.1026 ≡ 9(mod 49)

Do

9
= 0,183673469
49

Vậy chữ số cần tìm là số 1
Bài 2: : Tìm chữ số thập phân thứ 2001 sau dấu phẩy khi chia 10 cho 23
Giải: Tìm chữ số thập phân thứ 2001 sau dấu phẩy trong phép chia 10 cho 23 là
tìm số dư khi chia 102001 cho 23( Chữ số thứ 2001 sau dấu phẩy thành chữ số thứ
nhất sau dấu phẩy)

21

Giúp học sinh sử dụng máy tính casio fx-570ES Plus và fx-570VN Plus trong học tập và ôn luyện

103 ≡ 11(mod 23)
102001 = 103.667 ≡ 11667 (mod 23)
11667 = 11660.117

Mà:

11660 ≡ 1(mod 23)
117 ≡ 7(mod 23)
11667 ≡ 7(mod 23)
7
Do = 0,304347826
23

Vậy chữ số cần tìm là số 3
*Đối với máy fx-570 vn Plus ta giải bài toán 1 và bài toán 2 như sau:
-Bài toán 1: Ta lấy
1 ÷ 49 = 0.(020408163265306122448979591836734693877551)

Phần tuần hoàn có chu kỳ là 42
Ta ấn 2001 ÷ R 42 = 47, R = 27
Vậy chữ số thập phân thứ 2001 sau dấu phẩy khi chia 1 cho 49 là số 1
- Bài toán 2: Cách làm tương tự bài toán 1( Phần thập phân có chu kỳ là 22, số
dư R=21, chữ số cần tìm là số 3
DẠNG 10. Các bài toán kinh tế
*Lãi suất đơn: Tiền lãi không được gộp vào vốn để tính.
*Lãi suất kép: Tiền lãi gộp vào vốn để tính.

1. Bài toán 1: Lãi suất đơn
Một công nhân gởi vào ngân hàng a đồng, lãi suất m% trên 1 tháng theo
hợp đồng tiền gốc và tiền lãi hàng tháng được thanh toán 1 lần ( tiền lãi hàng
tháng không được cộng vào gốc cho tháng sau).
Tính số tiền lãi sau n tháng.
Giải:
Tiền lãi mỗi tháng: a.m%
Tiền lãi sau n tháng: n.a.m%
2. Bài toán 2: Lãi suất kép
22


Giúp học sinh sử dụng máy tính casio fx-570ES Plus và fx-570VN Plus trong học tập và ôn luyện

* Bài toán 2.1: Lãi suất kép 1
Gửi số tiền a đồng, lãi suất m% trên tháng (lãi mỗi tháng cộng vào gốc
tháng sau) tính số tiền có được sau n tháng.
Giải:
Đầu tháng 1 số tiền là: a
Cuối tháng 1 số tiền là: a + a.m% = a(1+m%).
Đầu tháng 2 số tiền là: a(1+m%)1
Cuối tháng 2 số tiền là: a(1+m%)1 + a(1+m%).m%
= a(1+m%) (1+m%)
= a(1+m%)2
…
Đầu tháng n số tiền là: a(1+m%)n
Cuối tháng n số tiền là: a(1+m%)n.
* Bài toán 2.2: Lãi suất kép 2
Hàng tháng 1 người gửi vào ngân hàng a đồng, lãi suất m% trên một
tháng (tiền lãi mỗi tháng + gốc cho tháng sau). Tính số tiền gốc cộng lãi sau n

tháng.
Giải:
Đầu tháng 1 số tiền là: a
Cuối tháng 1 số tiền là: a + a.m%= a(1+m%).
Đầu tháng 2 số tiền là: a(1+m%) +a = a[(1+m%)+1]
Cuối tháng 2 số tiền là: a[(1+m%)+1]+ a[(1+m%)+1]m%
= a[(1+m%)+1](1+m%)
a (1 + m%) + 1 (1 + m%) −1 (1 + m%)
= 
1 + m% −1
(1 + m%)2 − 1 (1 + m%)


=
m%
a 
=
(1 + m)3 − (1 + m%) 



m%
a
=
(1 + m%)  (1 + m)2 −1


m%
23

Giúp học sinh sử dụng máy tính casio fx-570ES Plus và fx-570VN Plus trong học tập và ôn luyện

…
Cuối tháng n số tiền là:
a 
(1 + m%)n+1 − (1 + m%) 

m% 
a
=
(1 + m%)  (1 + m%)n −1
m%
=

BT1: a) Dân số nước ta tính đến năm 2001 là 76,3 triệu người. Hỏi đến năm
2010 dân số nước ta là bao nhiêu nếu tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm là
1,2 ?
b)Đến năm 2020, muốn cho dân số nước ta có khoảng 100 triệu người thì
tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm là ?
Giải : a) 76300000(1+1,2%)9=76300000(1+0,012)9= 84947216,06
 Dân số nước ta năm 2010 là : 84947216 người
a) 100000000=76300000(1+r)19

 (1+r)19 =100000000 ÷ 76300000
 1+r = 19

 r = 19

100000000

76300000

100000000
-1
76300000

= 0,014338521…
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm là :
1,433852166%
BT2: Một người gửi ngân hàng theo lãi suất kép. Muốn có 1 triệu sau 15 tháng
thì phải gửi ngân hàng mỗi tháng một số tiền bằng nhau là bao nhiêu nếu lãi
suất là 0,6%.
24


Giúp học sinh sử dụng máy tính casio fx-570ES Plus và fx-570VN Plus trong học tập và ôn luyện

Giải : Số tiền sau n tháng được tính :
A=

a
(1 + m%) (1 + m%)n − 1
m%

⇒ 1000000 =

a
(1 + 0, 6%) (1 + 0.6%)15 − 1
0, 6%

⇒ a = 1000000 × 0, 6% ÷ (1 + 0, 6%) (1 + 0.6%)15 − 1
⇒ a = 63530

BT3: Một người được thuê làm tạp vụ với mức lương là 700000 đồng một
tháng.Cứ ba năm, người này được tăng thêm 7% lương.Hỏi sau 36 năm làm
việc(mỗi năm 12 tháng) người này nhận được tất cả bao nhiêu tiền.
Giải
Số tiền lương khởi điểm là a đồng
Số tiền được lãnh sau 3 năm đầu là: A0=36ª
Số tiền được lãnh trong 3 năm kể từ lần tăng lương thứ n là An
A1 = A0 ( 1 + 0.07 )
A2 = A1 ( 1 + 0.07 ) = A0 ( 1 + 0.07 )
An = A0 ( 1 + 0.07 )

2

n

Trong 36 năm người đó được tăng

36
− 1 = 11 (lần)
3

Vậy tiền được lãnh sau 36 năm là:
2
11
T = A0 + A1 + ...... + An = A0 1 + ( 1 + 0.07 ) + ( 1 + 0.07 ) + .... + ( 1 + 0.07 ) 



= A0

( 1 + 0.07 )

12

−1

0.07

( 1 + 0.07 )
= 36a

0.07

12

−1

= 450788972

Vậy sau 36 năm người đó nhận tổng cộng số tiền là 450788972 đồng
DẠNG 11:Tính tổng hữu hạn:
Muốn tính tổng S =

3
5
7
19

+ 2 2 + 2 2 + .... + 2 2
2
1 .2 2 .3 3 .4
9 .10
2

9

Ta xây dựng công thức như sau: S = ∑
x =1

2x +1
= 0.99
x ( x + 1) 2
2

Bài tập tương tự

25