Tài liệu ôn tập toán tổng hợp cả năm lớp 9 mới nhất

Tài liệu ôn tập tổng hợp lớp 9

Năm học: 2018 -2019

PHẦN MỘT: ĐẠI SỐ
§1.CÁC BÀI TOÁN VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT CÁC BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
A- Các kiến thức cần nhớ:
1. Các phép tính về luỹ thừa:
x.x.x...x
a) Định nghĩa: x n =    (x ∈ Q, n ∈ N, n > 1).
n

b)Các phép tính: Với a,b ∈ R và m,n ∈ Z ta có:
m n
a .a =am + n
am: an =am - n (a ≠ 0 , m > n )
(am)n = am.n
(a.b)m = am .bm
m
am
a
( b ≠ 0)
=
 
bm
b
2.Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
(A +B)2 = A2 + 2AB + B2
(A - B)2 = A2 - 2AB + B2
A2 - B2 = (A + B)(A - B)
(A +B)3 = A3 + 3A2B +3AB2 + B3

(A - B)3 = A3 - 3A2B +3AB2 - B3
A3 - B3 = (A - B)(A2 +AB + B2)
A3 + B3 = (A + B)(A2- AB +B2)
Chú ý:
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc +2ca
(a - b + c)2 = a2 + b2 + c2 - 2ab - 2bc + 2ca
A2 + B2 = (A +B)2 - 2AB
A2 + B2 = (A - B)2 + 2AB
3.Biến đổi đồng nhất các phân thức đại số:
- Cộng hai phân thức cùng mẫu thức:
A B
A± B
±
=
M M
M
- Cộng và trừ hai phân thức khác mẫu thức:
A B AN ± BM
± =
M N
MN
- Nhân hai phân thức :
A C A.C
. =
B D B.D
- Chia hai phân thức:
A C A D A.D
: = . =
B D B C B.C
- Đổi dấu của phân thức:

A
−A
A
=−
=−
B
B
−B

Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang

1

Trường THCS Bình Nguyên


Tài liệu ôn tập tổng hợp lớp 9
4. Bốn tính chất của luỹ thừa bậc hai:
Tính chất 1: a2 ≥ 0, ∀a ∈ R
Tính chất 2: a2 = b2 ⇔ a = ± b.
Tính chất 3: a > b > 0 : a > b ⇔ a2 > b2
Tính chất 4:
a) (a.b)2 = a2. b2
2
a2
a
b)   = 2 ( b ≠ 0)
b
b

Năm học: 2018 -2019

5. Biến đổi đồng nhất các căn thức:
A = A
2

A. B (với A ≥ 0 , B ≥ 0)

A.B =
A
=
B

A
B

( Với A ≥ 0 , B > 0 )

A2 B = A

B ( B ≥ 0)

2

 A B ( A ≥ 0, B ≥ 0)
A B =
2

− A B ( A < 0, B ≥ 0)

A
1
=
B
B

A.B ( A.B ≥ 0, B ≠ 0)

A
A B
=
( B > 0)
B
B
C
C ( A B )
=
( A ≥ 0; A ≠ B 2 )
2
A
−
B
A ±B
C
C( A  B )
=
( A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B )
A −B
A± B
A + A2 − B

A − A 2 − B (A > 0, B > 0; A2 –B > 0 )
A± B =
±
2
2
B: CÁC BÀI TOÁN:
1. Tính giá trị của biểu thức:
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a) 4 − 2 3 − 3
b) 11 + 6 2 − 3 + 2
kq: a) -1
b) 2 2
Bài 2:Tính: 8 − 2 15 − 8 + 2 15
Bài 3: Tính giá trị của biểu thức:
1
1
+
A=
a +1 b +1
1
1
với a =
và b =
2+ 3
2− 3

Kq: - 2 3

Kq: A = 1

Bài 4: Tính giá trị của biểu thức: A = x - y với: x = 6 − 2 5 , y = 9 + 4 5 . kq: A = - 3
2( x − y )
Bài 5: Cho biểu thức A=
; với x > 0; y > 0 .Rút gọn biểu thức A, rồi tính giá trị của
x+ y
biểu thức khi x = 3 ; y = (1 - 3 )2 kq: A = 2
Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang

2

Trường THCS Bình Nguyên


Tài liệu ôn tập tổng hợp lớp 9
2.Thực hiện phép tính:
Bài 1: Thực hiện phép tính:
a) 2 ( 2 − 3 )( 3 + 1)
b) 2 2 ( 3 − 2) + (1 + 2 2 ) 2 − 2 6
Bài 2: Thực hiện phép tính:
2 +1
3 +1
1
:
a)
;Kq:
2 −1
2
4−2 3

Năm học: 2018 -2019

Kq: 2
Kq: 9
 14 − 7
15 − 5 
1
:
+
; b) 
; Kq: -2
1 − 3 
7− 5
 1− 2

Bài 3: Thực hiện phép tính:
275
. 0.04
a)
kq: 1 b) 3 2 − 18 (1 + 2 ) kq: - 6
11
Bài 4: Rút gọn biểu thức:
15 − 6
666
−
a)
kq: 0 b) ( 2 + 3 )( 2 − 3 ) kq: -1
10 − 2
444
Bài 5: Rút gọn biểu thức:
15 + 10

35 − 10
2 248
−
a)
b) ( 2 + 1)( 2 − 3) +
kq: a) 0 ; b) -1
3+ 2
7− 2
124
Bài 6: Rút gọn
6 + 14
2 + 3 + 6 + 8 + 16
2
a)
b)
kq:a)
b) 1 + 2
2
2 3 + 28
2+ 3+ 4
3. Chứng minh đẳng thức:
Bài 1: Chứng minh:
( x y + y x )( x − y )

= x − y với x >0 và y > 0;
xy
Bài 2: Chứng minh rằng:
x3 −1
= x + x + 1 với x ≥ 0 và x ≠ 1.
x −1

Bài 3: a) Chứng minh hằng đẳng thức:
2
40 2 + 57 = 4 2 + 5 HD: Chứng minh: ( 4 2 + 5 ) = 40 2 + 57
b) Tính hiệu số sau:
Bài 4: a) Cho x =
HD:

40 2 − 57 − 40 2 + 57 kq: -10
8 − 28 . Chứng minh rằng: ( 7 + 1).x = 6
8 − 28 = ( 7 − 1) 2 = 7 − 1

b) Chứng minh rằng:
2 3− 6
216  1

.
−
 8−2
 6 = −1,5 .
3


Bài 5: Chứng minh: 9 − 17 . 9 + 17 = 8
4. Rút gọn biểu thức :
2
2
x+2
 2 − 4 x 3x − x + 1
+
− 3 :

−
Bài 1: Cho A = 
x +1  x +1
3x
 3x
a) Với giá trị nào của x thì giá trị của biểu thức A được xác định. Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A với x = 6019.
c) Với giá trị nào của x thì A < 0 ?
Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang

3

Trường THCS Bình Nguyên


Tài liệu ôn tập tổng hợp lớp 9
Năm học: 2018 -2019
d) Với giá trị nào của x thì A có giá trị nguyên ?
1
HD: a) A xác định khi x ≠ 0 ; x ≠ -1 ; x ≠ .
2
( x + 2)( x + 1) + 6 x − 9 x( x + 1) 2 − 4 x 3 x − x 2 + 1
:
−
A=
3 x( x + 1)
x +1
3x
2
2

2 − 8x
2(1 − 2 x) 3 x − x + 1
2(1 + 2 x)(1 − 2 x) x + 1
3x − x 2 + 1
:
−
.
−
=
=
3 x( x + 1)
x +1
3x
3 x( x + 1)
2(1 − 2 x)
3x
1 + 2 x 3 x − x 2 + 1 1 + 2 x − 3 x + x 2 − 1 x 2 − x x( x − 1) x − 1
−
=
=
=
=
3x
3x
3x
3x
3x
3
b) A = 2006
c) A < 0 khi x -1 < 0, tức là x < 1. Kết hợp với các điều kiện nêu trên, biểu thức A nhận

1
số trị âm với mọi giá trị của x < 1 trừ các giá trị
, 0 , -1
2
d) A có giá trị nguyên khi x -1 : 3 tức là x -1 = 3k (k ∈ Z ) . Suy ra x có dạng 3k + 1 thì
A có giá trị nguyên.
Bài 2: Cho hai biểu thức:
( x − y ) 2 + 4 xy
x y−y x
B=
và C =
(x > 0,y > 0)
x+ y
xy
a) Rút gọn B và C.
b) Tính tích B.C với x =2y và y = 3 .
a) B= x + y , C = x − y b) B. C = 3
Bài 3: Cho biểu thức:
1
3
2
−
+
D=
(x ≥ 0)
x +1 x x +1 x − x +1
a) Rút gọn D.
b) Chứng minh D ≤ 1.
x
HD: a) D =

b) Cm D - 1 ≤ 0 ⇒ D ≤ 1.
x − x +1
x − 11
Bài 4: Cho E =
x−2 −3
a) Tìm điều kiện của x để E có nghĩa.
b) Rút gọn E bằng cách loại dấu căn ở mẫu thức.
c) Tính giá trị của E tại x = 23 -12 3 .
HD:
a) đk của x để E có nghĩa là: x ≥ 2 , x ≠ 11
b) E = x − 2 + 3 ;
c) E= 2 3
=

x −1− 2 x − 2
x − 2 −1
a) Tìm điều kiện của x để F có nghĩa
b) Tính F2
c) Rút gọn F.
Bài 5: Cho F =

Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang

4

Trường THCS Bình Nguyên


Tài liệu ôn tập tổng hợp lớp 9
HD:

Năm học: 2018 -2019
x − 2 ≥ 0
x ≥ 2


⇔ x − 1 − 2 x − 2 ≥ 0 ⇔ x − 2 − 2 x − 2 + 1 ≥ 0


 x − 2 −1 ≠ 0
 x−2 ≠1

a) F có nghĩa ⇔
x ≥ 2

x ≥ 2
⇔ ( x − 2 − 1) 2 ≥ 0 ⇔ 
x ≠ 3
x − 2 ≠ 1

2

 x −1− 2 x − 2 
 = x −1− 2 x − 2 = x −1− 2 x − 2 = 1
b) F2 = 

x − 2 − 1 
x − 2 − 2 x − 2 +1 x −1− 2 x − 2

c) F2 = 1 ⇔ F = ± 1 ; x − 1 − 2 x − 2 ≥ 0 .

Do đó:
•F= 1 nếu x − 2 − 1 > 0 ⇔ x − 2 > 1 ⇔ x − 2 > 1 ⇔ x > 3 .
•F= -1 nếu x − 2 − 1 < 0 ⇔ x − 2 < 1 ⇔ 0 ≤ x − 2 < 1 ⇔ 2 ≤ x < 3
1(neu x > 3)

Vậy F = - 1(neu 2 ≤ x < 3)
Vo nghia ( neu x = 3 ; x < 2)

Bài 6: Xét biểu thức
2 x −9
x + 3 2 x +1
−
−
G=
x−5 x +6
x − 2 3− x
a) Tìm điều kiện của x để G có nghĩa .
b) Rút gọn G.
c) Tìm các giá trị của x sao cho G < 1.
d) Tính giá trị nguyên của x sao cho G cũng là số nguyên.
HD: a) Điều kiện x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ 9
b) Ta có:
 x + 3 2 x +1
2 x −9
=
− 
+
G=
x − 5 x + 6  x − 2 3 − x 
=

( x + 3)( x − 3) − ( x − 2)(2 x + 1)
2 x −9
−
( x − 2)( x − 3)
x −5 x + 6

=
c) G < 1 ⇔
⇔

4
x −3

( x − 2)( x + 1)
( x − 2)( x − 3)

x +1
x −3

<0⇔

<1 ⇔

x +1
x −3

x −3< 0 ⇔

=

x +1
x −3

- 1< 0

x < 3 ⇔ x < 9.

0 ≤ x < 9
Kết hợp với điều kiện ta có: 
x ≠ 4
x +1
4
= 1+
d) Ta có G =
.
x −3
x −3
4
∈ Z ⇔ x − 3 là ước của 4 ⇔ x − 3 nhận các giá trị ± 1, ±
Dể thấy G ∈ Z ⇔
x −3
2, ± 4.
Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang
Trường THCS Bình Nguyên
5


Tài liệu ôn tập tổng hợp lớp 9
Năm học: 2018 -2019

Giải ta được các giá trị 1; 4; 16; 25; 49. Vì x = 4 không thỏa mãn ĐKXĐ nên x nhận các giá trị
nguyên là: 1; 16; 25; 49 thì biểu thức G có giá trị nguyên.

C.BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Tính
1
147
7
 a + a  a − a 
1 −

b) 1 +


a
+
1
a
−
1



a)

48 − 2 75 + 108 −

Bài 2: a) Chứng minh

kq: − 3

Với ( a ≥ 0, a ≠ 1 )

kq: 1 - a

29 − 12 5 = 2 5 − 3

b) Tính 29 + 12 5 − 29 − 12 5 kq: 6
Bài 3: Tính tổng
a) 14 + 6 5 + 14 − 6 5 kq: 6
b) 6 + 4 2 + 11 − 6 2
kq: 5
Bài 4: Rút gọn cácbiểu thức
1
1
1
1
+
+
a)
b)
2+ 5 2− 5
10 − 72 10 + 6 2
5
Kq: a) -4
b)
7
Bài 5: Tìm x, biết:
a) 3 + x = 3
b) 3 x = 36 . kq: a) x = 36 b) x = 144
Bài 6: Rút gọn biểu thức:

4
4
3− 5
3+ 5
−
a)
b) 2 + 3 + 2 − 3
c)
+
2
(2 − 5 )
(2 + 5 ) 2
3+ 5
3− 5
Kq: a) 3

b)

c) 8

6
2

1
3

Bài 7: a) Chứng minh rằng: x − x + 1 =  x −  + với x > 0.
2
4


b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Kq: b) Biểu thức

1
x − x +1

1
x − x +1

lớn nhất là

.

4
1
khi x = .
3
4

Bài 8: ( Dành cho HSG).Tìm số x nguyên để biểu thức
HD: Ta có

x +1
x −3

=

x −3+ 4
x −3

= 1+

4
x −3

x +1
x −3

nhận giá trị nguyên.

.

Do x nguyên nên x là số vô tỉ hoặc là số nguyên.
Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang
6

Trường THCS Bình Nguyên


Tài liệu ôn tập tổng hợp lớp 9
Với

Năm học: 2018 -2019
4

x − 3 là số vô tỉ nên

x là số vô tỉ thì

x −3

không thể là số nguyên.
4

x là số nguyên thì x − 3 là nguyên . Vậy để

Với

x −3

nguyên ta phải có

x − 3 phải là

ước của 4.
Mặt khác, theo định nghĩa căn bậc hai thì x ≥ 0 và

x ≥ 0.

Vậy giá trị x nguyên cần tìm phải không âm và phải thoả mãn điều kiện

x ≥ 0 và

x − 3 là

ước của 4. Ta thấy 4 có các số là: ± 4 ; ± 2; ± 1 .
x − 3 = 4; suy ra x = 49;

Với ước là 4, ta có

x − 3 = − 4 ; không tồn tại x;

Với ước là -4, ta có
Với ước là 2, ta có

x − 3 = 2 ; suy ra x = 25;

Với ước là -2, ta có

x − 3 = −2 ; suy ra x =1;
x − 3 = 1 ; suy ra x = 16;

Với ước là 1, ta có

x − 3 = −1 ; suy ra x = 4.

Với ước là -1, ta có
Bài 9: Cho biểu thức
H=

( a + b ) 2 − 4 ab
a− b

−

a b +b a
ab

a) Tìm điều kiện để H có nghĩa .
b) Khi H có nghĩa, Chứng tỏ giá trị của H không phụ thuộc vào a.

a) Điều kiện để H có nghĩa là a > 0 , b > 0 và a ≠ b

HD:

b) H = -2 b . Vậy giá trị của H không phụ thuộc vào a mà chỉ phụ thuộc vào b.
Bài 10: Cho biểu thức

x
x + 9   3 x +1 1 
:

+
I = 
  x − 3 x − x  với x > 0 , và x ≠ 9.
9
−
x
3
+
x

 

a) Rút gọn I;
b) Tìm x sao cho I < -1.
HD: a) I =

−3 x
2( x + 2)

b) I < -1 khi

−3 x
2( x + 2)

+1 =

4− x
2( x + 2)

có giá trị âm.

Do 2( x + 2 ) dương nên 4 - x phải âm.Ta tìm được x > 16.
Bài 11: Chứng minh các đẳng thức sau:
a)

2+ 3 + 2− 3 = 6

Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang

b)

4
(2 − 5 )

7

2

−

4
(2 + 5 ) 2

=8

Trường THCS Bình Nguyên


Tài liệu ôn tập tổng hợp lớp 9
a
b
2b
−
−
= 1 ( với a > 0 , b > 0 ; a ≠ b )
c)
a− b
a + b a−b

Năm học: 2018 -2019

Bài 12: Chứng minh các bất đẳng thức:
a)
c)

x2 + 5
x2 + 4

>2

b)

(a + c)(b + d ) ≥ ab + cd (a,b,c,d đều dương)

1 1 1
1
1
1
+ + ≥
+
+
( a, b,c đều dương).
a b c
ab
bc
ca

Bài 13: Tính
a) A =

(2 + 3 ) 2 − 3

b) B = 17 − 3 32 + 17 + 3 32

2+ 3

c) C = (4 + 15 )( 10 − 6 )( 4 − 15 )

Kq: a) A= 1

b) B = 6

c) C = 6

Bài 14: Cho biểu thức:
 x+ y
x− y 
 : 1 + x + y + 2 xy 
+
K = 

1 − xy 
1 + xy  
 1 − xy
a) Rút gọn K;
b) Tính giá trị của K với x =

2
2+ 3

;

c) Tìm giá trị lớn nhất của K.
2 x
6 3+2
; b) K =
;
1+ x
13

HD:

a) ĐKX Đ: x ≥ 0; y ≥ 0; xy ≠ 1 ; K =

c) K =

2 x 1+ x
≤
= 1 .Suy ra max K= 1 ⇔ 1 + x = 2 x ⇔ x = 1
1+ x 1+ x

Bài 15: Cho biểu thức:
 x
1  x − x x + x 


−
L = 
 x + 1 − x − 1 
2
2
x



a) Rút gọn L;
b) Tìm gía trị của x để L > - 6.
HD: a) Đkxđ: x > 0 ; x ≠ 1 .Đặt

x = a; L = −2 x (0 < x ≠ 1)

b) 0< x < 1 v à 1< x < 9

Bài 16: Cho biểu thức:
 x
2
+
+
M = 
 x−4 2− x

 
10 − x 
 :  x − 2 +


x + 2 
x + 2
1

a) Rút gọn M;
b)Tìm gía trị của x để M > 0.

Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang

8

Trường THCS Bình Nguyên

Tài liệu ôn tập tổng hợp lớp 9

Năm học: 2018 -2019

HD: a) Đkxđ: 0 ≤ x ≠ 4; M =

1
2− x

b) M > 0 ⇔

1
2− x

>0⇔0≤ x<4

Bài 17: Cho biểu thức:
N=

x x −3
2( x − 3)
x +3
−
+
x−2 x −3
x +1
3− x
a) Rút gọn N;
b) Tính gía trị của N với x = 14 - 6 5 .

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của N
HD: a) Đkxđ: x ≥ 0; x ≠ 9 ; N =

c) N =

x+8
x +1

= x +1+

= x −1 +

9
x +1

x+8
x +1

b) N =

58 − 2 5
11

9
x +1

− 2 ≥ 2 ( x + 1).

9
x +1

−2=2 9 −2= 4

Suy ra min N = 4 ⇔ x = 4
Bài 18: Cho biểu thức:
P=

1
x +2

−

5
x− x −6

−

x −2
3− x

a) Rút gọn P;
b) Tìm giá trị lớn nhất của P.
HD:a) Đkx đ: x ≥ 0; x ≠ 9 .P =
b)

P = 1+

Thật vậy:

2

x +2

x +4
x +2
2

.Suy ra P có GTLN ⇔

x + 2 ≥ 2 . Suy ra:

x +2

có GTLN ⇔

x + 2 có GTNN.

x + 2 có GTNN bằng 2 khi x = 0

Lúc đó max P = 2 khi x = 0.
Bài 19: Cho biểu thức:
 1
1   2x + x − 1 2x x + x − x 

−
 : 
+
Q = 

1
−

x
1
−
x
x
1
+
x
x

 

a) Rút gọn Q;
b) Tính gía trị của Q với x = 7 - 4 3 ;
c) Chứng minh rằng Q > 1.
HD: a) Đkx đ: x > 0; x ≠ 1 , Q =

Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang

1− x + x
x

b) Q = 3

9

Trường THCS Bình Nguyên


Tài liệu ôn tập tổng hợp lớp 9

Năm học: 2018 -2019
1
1
+ x −1 ≥ 2
. x − 1 = 1 . Dấu “=” xảy ra khi x =1 nhưng x = 1 thì biểu thức Q
c) Q =
x
x
không thoả mãn . Vậy Q > 1.

Bài 20: Cho biểu thức:
 m −1
1
8 m   3 m −2
 : 1 −
 V ới m ≥ 0; m ≠ 1
−
+
R = 


9
3 m + 1 
 3 m − 1 1 + 3 m 9m − 1  
a) Rút gọn R ;
b) Tính các giá trị của m đ ể R = 1.
HD: a) Với m ≥ 0; m ≠

1
m+ m

R=
b) R = 1 ⇔ m = 1
9
3 m −1

Bài 21: Cho biểu thức:
S=

x
x −1

+

2x − x
x−x

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức S xác định;
b) Rút gọn biểu thức S;
c) Tính giá trị của S khi x = 4 + 12 .
HD: a) S xác định khi x > 0; x ≠ 1 b) S =
Bài 22: Cho biểu thức:

x − 1 c) S =

3


x +2
x − 2  x +1
.

−
T = 

x
−
1
x
+
2
x
+
1
x



a) Rút gọn biểu thức T;
b) Tính giá trị của T khi x = 16 − 6 7 + 7 .

Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang

x > 0; x ≠ 1

HD : a) 
b) T =1
2
T = x - 1

10

Trường THCS Bình Nguyên


Tài liệu ôn tập tổng hợp lớp 9

Năm học: 2018 -2019

§2. CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1.Phương trình bậc nhất một ẩn:
Xét phương trình ax + b = 0 (*)
- Nếu a ≠ 0 thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất x = -

b
a

- Nếu a = 0 thì phương trình (*) có dạng 0x + b = 0.
• Nếu b ≠ 0 thì phương trình (*) vô nghiệm .
• Nếu b = 0 thì phương trình (*) có vô số nghiệm.
2. Phương trình bậc hai một ẩn số :
a) Xét phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có biệt thức ∆ = b2 - 4ac
- Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
−b+ ∆
−b− ∆
x1 =
; x2 =
2a
2a
b
- Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1= x2 = 2a

- Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm .
b) Hệ thức Vi-ét và ứng dụng:
1) Hệ thức Vi-ét: Nếu phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm là x1, x2 thì tổng và
b
c
tích hai nghiệm đó là S = x1 + x2 = - ;
P = x1.x2 = .
a
a
2) Tính nhẩm nghiệm:
c
• Nếu a + b + c = 0 thì x1 = 1 v à x2 = .
a
c
• Nếu a - b + c = 0 thì x1 = -1 và x2 = a
3) Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và
v là nghiệm của phương trình bậc hai x2 - Sx + P = 0 (điều kiện S2 - 4P ≥ 0).

Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang

11

Trường THCS Bình Nguyên


Tài liệu ôn tập tổng hợp lớp 9

Năm học: 2018 -2019

3. Một số dạng toán liên quan đến phương trình ax 2 + bx + c = 0 (1) trong đó

a, b, c phụ thuộc vào tham số m.
Dạng 1: Định giá trị của tham số m để phương trình (1) có nghiệm.
Phương pháp giải: Có hai khả năng để pt (1) có nghiệm:
a = 0
a ≠ 0
a) 
giải tìm m. b) 
giải tìm m . Lấy toàn bộ giá trị của m tìm được ở câu a)
b ≠ 0
∆ ≥ 0
và b)
Dạng 2: Tim điều kiện của tham số m để phương trình (1) có hai nghiêm phân biệt.
a ≠ 0
Phương pháp giải:Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ 
Giải tìm m.
∆ > 0
Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình (1) có 1 nghiệm.
Phương pháp giải: Có hai khả năng xảy ra để phương trình (1) có 1 nghiệm:
a = 0
a ≠ 0
a) 
Giải tìm m
b) 
Giải tìm m.
b ≠ 0
∆ = 0
Lấy toàn bộ m tìm được ở câu a) và b).
Dạng 4:
a) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu.
a ≠ 0


Phương pháp giải: Pt (1) có hai nghiệm cùng dấu ⇔ ∆ ≥ 0 Giải tìm m
P > 0

b) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương.
a ≠ 0
∆ ≥ 0

Phương pháp giải: Pt (1) có hai nghiệm cùng dương ⇔ 
Giải tìm m
P > 0
S > 0
c) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm.
a ≠ 0
∆ ≥ 0

⇔
Phương pháp giải: Pt (1) có hai nghiệm cùng âm
Giải tìm m

P > 0
S < 0
d) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
a ≠ 0
Phương pháp giải: Pt (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ 
Giải tìm m.
 P < 0 hoac a.c < 0
e) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm đối nhau.

Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang

12

Trường THCS Bình Nguyên


Tài liệu ôn tập tổng hợp lớp 9

Năm học: 2018 -2019

a ≠ 0

Phương pháp giải: Pt (1) có hai nghiệm đối nhau ⇔  P < 0 Giải tìm m.
S = 0

g) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị
tuyệt đối lớn hơn.
Phương pháp giải:
a ≠ 0

Pt(1) có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔  P < 0 .Giải tìm m.
S < 0

h) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có
giá trị tuyệt đối lớn hơn.
Phương pháp giải:
a ≠ 0

Pt(1) có hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔  P < 0 .
S > 0


Giải tìm m.
Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình (1) có một nghiệm x = x 1. Tìm
nghiệm kia.
Phương pháp giải: Thay x = x 1 vào phương trình (1) ta được: ax 12 + bx1 + c = 0 . Giải tìm m .
Tìm x2 bằng 3 cách:
Cách 1: Thay m vào phương trình (1) giải phương trình bậc hai tìm x2.
Cách 2: Tính x2 theo S: x2 = S – x1.
P
Cách 3: Tính x2 theo P: x2 =
.
x2
Dạng 6: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x 1, x2 thoả mản
một trong các điều kiện sau:
a) a1x1 + b1x2 = c1
b) x12 + x22 = k
1
1
+
=n
c)
d) x12 + x22 ≥ h
e) x13 + x23 = t.
x1 x 2
Phương pháp giải:
a) Trường hợp: a1x1 + b1x2 = c1:
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 : ∆ ≥ 0
(*)
b


S = x1 + x2 = − a (1)

c

( 2)
P = x1.x2 =
a

(3)
a1 x1 + b1 x2 = c1



Giải hệ (1) và (3) tìm x 1 và x2 thay vào (2) giải
tìm m. Chọn m thoả mãn điều kiện (*).
b) Trường
hợp
x12
+
x22
=
k
2
(4)
Thay
S
và
P
⇔ ( x1 + x 2 ) − 2 x1 x 2 = k
vào (4) ta được:

S2 -2P = k giải tìm m. Chọn m thoả mãn (*).
c) Trường
hợp:

1
1
+
= n ⇔ x1 + x 2 = nx1 x 2 ⇔ −b = nc (5) Giải tìm m.
x1 x 2
Chọn m thoả mãn (*).
d) Trường hợp: x12 + x22 ≥ h ⇔ S 2 − 2 P − h ≥ 0 (6) giải tìm m thoả mãn (*).
e) Trường hợp x13 + x23 = t ⇔ S 3 − 3PS = t (7) giải tìm m. Chọn m thoả mãn (*).
Dạng 7:
Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang

13

Trường THCS Bình Nguyên


Tài liệu ôn tập tổng hợp lớp 9
Năm học: 2018 -2019
a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số
m
phương pháp giải: Ta chứng minh ∆ ≥ 0 với mọi giá trị của m.
b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị
của tham số m
phương pháp giải: Ta chứng minh ∆ > 0 với mọi giá trị của m.
c) Chứng minh rằng phương trình (1) vô nghiệm với mọi giá trị của tham số m
phương pháp giải: Ta chứng minh ∆ < 0 với mọi giá trị của m.

B.CÁC BÀI TOÁN:
1. Phương trình bậc nhất:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) ( x - 2)2 - (x + 3)2 = 2(x - 5) ; b) 2x 2 - 1 = 3 + 2 6 ;c) 1 + 3x = 2 2 - x 2
x +1
2 x 3( x − 1)
= 2 + 3 ; e)
+
=5
d)
x −1
x +1
x
1
2x + 1
3
− 2
+
=0
f)
2x − 2 x + x + 1 2x + 2
5
3
Kq: a) x =
; b) x = 2 + 3 ; c) x = 2 − 1 ; d)x = 3 ;e) Đk: x ≠ 0,x ≠ -1; kq: x = 12
5
f) đk: x ≠ ±1 , kq: x = 0
Bài 2: Giải phương trình:
2

a) x − 3 − 5 x = 7
b) x + 3 = 5 − x
HD: a) x = - b) x =1
3
2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ ax2 + bx + c = 0
Bài 1: Cho hai phương trình x2 + x + a = 0 , x 2 + ax + 1 = 0.Tìm các giá trị của a để cho hai
phương trình trên có ít nhất một nghiệm chung.
HD: Gọi x0 là nghiệm chung của hai phương trình;
Ta có: x02 + x0 + a = 0 (1) ; x02 + ax0 + 1 = 0 (2)
Từ (1) và (2) ta có x0 + a - ax0 -1 = 0 ⇔ x0(1 - a) - (1 - a) = 0 ⇔ (1 - a)(x0 - 1) = 0
1 − a = 0
a = 1
⇔
⇔
 x0 − 1 = 0
 x0 = 1

a = 1: cả hai phương trình trở thành x2 + x + 1 = 0 có ∆ = 1 - 4 = -3 < 0 . Phương trình vô
nghiệm , a =1 (loại)
x0 = 1 thay vào (1) ta có 12 +1 + a = 0 ⇔ a = -2, a = -2 cả hai phương trình có một nghiệm
chung là 1. Vậy a = - 2 là giá trị cần tìm.
Bài 2: Cho phương trình x2 - (2m - 3)x + m2 -3m = 0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm khi m thay đổi.
b) Định m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn: 1< x1 < x2 < 6.
HD: a) ∆ = (2m - 3)2 - 4(m2 - 3m) = 4m2 -12m + 9 - 4m2 +12m = 9, ∆ = 9 > 0 . Phương trình
luôn luôn có hai nghiệm phân biệt khi m thay đổi.
2m − 3 − 3
2m − 3 + 3
= m − 3 ; x2 =
= m.

b) ∆ = 3 . Hai nghiệm của phương trình là: x1 =
2
2
Ta có : 1 < x1 < x2 < 6. Do đó 1 < m - 3 < m < 6 ⇔ 4 < m < 6.
Bài 3: Cho phương trình: (m + 1)x2 - 2(m + 2)x + m - 3 = 0 (có ẩn số là x)
Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang
Trường THCS Bình Nguyên
14


Tài liệu ôn tập tổng hợp lớp 9
Năm học: 2018 -2019
a) Định m để phương trình có nghiệm.
b) Định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18
HD: a) Với m = -1 Phương trình trở thành -2x - 4 = 0 ⇔ x = -2
Với m ≠ -1 ; ∆' = (m + 2)2 - (m + 1)( m - 3) = 6m + 7. Phương trình có nghiệm ⇔ ∆' ≥ 0 ⇔
7
7
6m + 7 ≥ 0 ⇔ m ≥ .Kluận: Phương trình có nghiệm ⇔ m ≥ 6
6
7
b) Điều kiện m ≥ ; m ≠ -1.
6
2(m + 2)

S = x1 + x 2 = m + 1
Theo hệ thức Vi-ét ta có: 
.Do đó: (4x1+1)(4x2+1) = 18 ⇔
 P = x .x = m − 3
1 2

m +1

16( m − 3) 8(m + 2)
⇔ 16x1x2+ 4(x1+ x2)- 17 = 0 ⇔
+
− 17 = 0
m +1
m +1
m ≠ −1

⇔ 16(m -3) + 8(m + 2) -17( m+1) = 0 ⇔ m = 7. Vậy m = 7 thoả điều kiện: 
7
m ≥ − 6
Vậy m = 7 thì phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn (4x1+1)(4x2+1) = 18.
Bài 4: Cho phương trình x2 - (2m+1)x + m2 + m - 6 = 0.
a) Định m để phương trình có hai nghiệm đều âm.
3

3

b) Định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 − x 2 = 50 .
HD: ∆ = (2m + 1) 2 − 4(m 2 + m − 6) = 4m2 + 4m +1 - 4m2 - 4m + 24 =25, ∆ = 25 = 5 .
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
2m + 1 + 5
2m + 1 − 5
= m + 3; x =
= m− 2
x=
2
2

m + 3 < 0
 m < −3
⇔
⇔ m < −3
a) Phương trình có hai nghiệm đều âm ⇔ 
m − 2 < 0
m < 2
3

3

3
3
b) x1 − x2 = 50 ⇔ (m − 2) − (m + 3) = 50

3m2 + 3m + 7 = 10 (1)
⇔ 3m + 3m + 7 = 10 ⇔ 
2
3m + 3m + 7 = −10 (2)
2

−1+ 5
−1− 5
; m2 =
2
2
− 1+ 5
− 1− 5
Giải (2) : phương trình vô nghiệm.Vậy m =
hoặc m =

thì phương trình đã
2
2
3
3
cho có hai nghiệm x1, x2 thoả mản x1 − x2 = 50 .
Giải (1) ta được: m1 =

Bài 5: Các nghiệm x1, x2 của một phương trình bậc hai thỏa mãn:
 x1 + x 2 − 2 x1 x 2 = 0

mx1 x 2 − ( x1 + x 2 ) = 2m + 1
a) Tìm phương trình bậc hai đã nói;
b) Với giá trị nào của m thì phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt đều dương.
HD: a) Từ giả thiết, ta tìm được:
Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang

15

Trường THCS Bình Nguyên


Tài liệu ôn tập tổng hợp lớp 9
2m + 1

 x1 x2 = m − 2

 x + x = 2(2m + 1)
2
 1

m− 2

Năm học: 2018 -2019

2
Do đó: x1, x2 là nghiệm của phương trình x −

2(2m + 1)
2m + 1
x+
= 0 (1)
m− 2
m− 2

b) Phương trình (1) có hai nghiệm đều dương
(2m + 1)(m + 3)

≥ 0 ( 2)
∆ ' =
(m − 2) 2
1


m ≤ −3; m ≥ −



 2m + 1 
2 ⇔ m ≤ −3; m > 2
⇔ S = 2

(3) ⇔ 
>0
 m−2 

m < − 1 ; m > 2


2
2m + 1
P
=
>
0
(
4
)

m−2


(

m ≠ 2

Để ý rằng (2) ⇔ 
1
m ≤ −3 hoac m ≥ - 2

)

Bài 6: Cho hàm số y = f(x) = (x - 1)(x - 2)(x + 3)(x + 4)
a) Giải phương trình f(x) = 24
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số .
HD: a) (x -1)(x - 2)(x + 3)(x + 4) = 24 ⇔ (x2 + 2x − 3)(x2 + 2x − 8) = 24
Đặt x2 +2x - 8 = t ⇔ t (t + 5) =24 ⇔ t2 + 5t - 24 = 0 (1)
Giải phương trình (1), ta có: t =-8 ; t = 3
• Với t = - 8, ta có: x2 + 2x - 8 = - 8 ⇔ x(x + 2) = 0 ⇔ x = 0 ; x = - 2.
− 1 − 2 3
.
• Với t = 3, ta có : x2 + 2x - 8 = 3 ⇔ x2 + 2x - 11 = 0 ⇔ x = 
Vậy phương trình
− 1 + 2 3
có bốn nghiệm: -1 - 2 3 ; -2; 0 ; -1 + 2 3 .
2

25
 5  25
b) f ( x ) = t + 5t =  t +  −
≥− .
4
4
 2
25
5
− 2 ± 26
Suy ra :GTNN của hàm số f(x) bằng −
.
⇔ t = − ⇔ 2 x 2 + 4 x − 11 = 0 ⇔ x1, 2 =
4
2

2
Bài 7: Chứng minh rằng: x2 - 2(m -1)x + m - 3 = 0 luôn có nghiệm với mọi m. Tìm m để
phương trình đó có hai nghiệm là hai số đối nhau.
32 7
2
2
HD: ∆' = (m − 1) − m + 3 = m − 3m + 4 = (m − ) + > 0 . Vậy pt luôn luôn có nghiệm
2
4
P < 0
m − 3 < 0
m < 3
⇔
⇔
⇔ m = 1.
với mọi m. Pt có hai nghiệm đối nhau ⇔ 
S = 0
2(m − 1) = 0
m = 1
2

(hai nghiệm đối nhau là x = ± 2 )
Bài 8: Giải các phương trình
a) x2 - 4x - 21 = 0

b)

21
− (x2 − 4x + 6) = 0 ; kq: a) {7;−3} ; b) {1;3}
x − 4x + 10

2

Bài 9: Chứng minh rằng: x 2 + ( m + 1)x + m = 0 luôn luôn có nghiệm, nhưng không thể có hai
nghiệm dương.
Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang

16

Trường THCS Bình Nguyên


Tài liệu ôn tập tổng hợp lớp 9
Năm học: 2018 -2019
2
2
2
HD: ∆ = (m + 1) − 4m = m + 2m + 1 − 4m = (m − 1) ≥ 0 . Pt luôn có nghiệm với mọi m.
c
b
ta có: P = = m ; S = − = −(m + 1) .
a
a
• Nếu m < 0 pt có hai nghiệm trái dấu tức là không thể có hai nghiệm dương,
• Nếu m > 0 thì S = -(m+1) < 0 nên pt có hai nghiệm âm tức là không thể có hai nghiệm dương.
• Nếu m = 0 thì pt có hai nghiệm : x = 0 và x = -1.
Vậy với mọi m pt luôn có nghiệm nhưng không thể có hai nghiệm dương.
Bài 10: Cho phương trình (m-2)x2 – 3x + m + 2 = 0
a) Giải phương trình (1) với m = 1.
b) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.
Bài 11: Định giá trị của tham số m để phương trình x2 + m(m + 1)x + 5m + 20=0

Có một nghiệm x1 = -5 .Tìm nghiệm kia.
Bài 12: Cho phương trình x2 + mx + 3 = 0
a) Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
b) Với giá trị nào của m thì pt có một nghiệm bằng 1. Tìm nghiệm kia.
Bài 13: Cho phương trình x2 – 8x + m + 5 = 0
a) Xác định mọi giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Với giá trị nào thì phương trình có một nghiệm gấp ba lần nghiệm kia? Tìm các nghiệm của
phương trình trong trường hợp này.
Bài 14:
a) Định m để phương trình chỉ có một nghiệm mx2 + 2(m-1)x +2 = 0
b) Tìm nghiệm của phương trình trong các trường hợp đó.
Bài 15: Cho phương trình x2 + (m + 1)x + 5 – m = 0
a) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng -1 . Tìm nghiệm kia.
b) Giải phương trình khi m = -6.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
d) Với m tìm được ở câu c) . Viết hệ thức giữa x1 và x2 độc lập đối với m.
Bài 16: Cho phương trình x2 + (4m + 1 )x + 2(m – 4) = 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện x2 – x1 = 17.
b) Tìm m để biểu thức A = (x1 – x2)2 có giá trị nhỏ nhất.
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghịêm không phụ thuộc m.
Bài 17: Cho phương trình : x2 – 2(m + 3)x + 4m -1 = 0
a) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương.
b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
Bài18: Chứng minh rằng phương trình x2 - (m - 2)x - 2m = 0 luôn luôn có nghiệm với mọi
tham số m.
Bài 19:Với giá trị nào của a, tổng các nghiệm của phương trình
x2 + (2 - a - a2)x -a2 = 0 bằng không?
Bài 20:Cho phương trình ẩn x: x2 - (2m - 3)x + m2 - 3m = 0
a) Chứng minh rằng với mọi m phương trình đã cho luôn có hai nghiệm. Tìm các nghiệm của
phương trình đã cho theo m.

b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu.
Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang

17

Trường THCS Bình Nguyên


Tài liệu ôn tập tổng hợp lớp 9
Năm học: 2018 -2019
c) Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm m sao cho x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 21:Cho phương trình ẩn x: 2x2 + (2m - 1)x + m -1 = 0
a) Chứng minh rằng với mọi m phương trình đã cho luôn có nghiệm Tìm m để phương trình đã
cho có một nghiệm x = 2.
b) Tìm m để cả hai nghiệm của phương trình đều là số âm.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện:
2x1 - 2x2 =11.
Bài 22: Gọi hai nghiệm của phương trình x2 -7x - 11 = 0 là x1, x2. Hãy lập một phương trình
bậc hai có các nghiệm là x1 + x2 và x1x2.
Bài 23: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x 2 - (2m + 1)x + m2 + m - 6 = 0. Tìm m để phương trình
có hai nghiệm đều là số dương.
Bài 24: Gọi hai nghiệm của phương trình x2 - 5x - 7 = 0 là x1 và x2. Hãy lập một phương trình
bậc hai có các nghiệm là: x1 +1 và x2 +1.
Bài 25: Cho phương trình bậc hai: x2 - 2(m -1)x + 2m - 5 = 0.
a) Chứng minh rằng với mọi m phương trình luôn có nghiệm.
b) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó hai nghiệm mang dấu
gì?.
Bài 26: Cho phương trình bậc hai: x2 - 2(m + 2)x +2m +3 = 0 .
a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của m;
b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn (4x1 + 1)(4x2 +1) = 25.

HD: a) ∆' = (m + 2) 2 − 2m − 3 = m 2 + 4m + 4 − 2m − 3 = m 2 + 2m + 1 = (m + 1) 2 ≥ 0
Vậy pt luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
d) x1+x2= 2(m+2);
x1.x2=2m+3
⇔
(4x1 + 1)(4x2 +1) = 25 16x1x2 + 4(x1+x2 ) + 1 = 25
⇔ 16(2m + 3) + 4.2(m + 2) = 24 ⇔ 32m + 48 + 8m + 16 = 24
⇔ 40m = 24 – 64 = - 40
⇔m=-1.
Bài 27:Cho phương trình x2 - 5x + 6 = 0 . Hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là
tổng và tích các nghiệm của phương trình đã cho.
Bài 28: Gọi hai nghiệm của phương trình bậc hai x 2 + (m - 3)x -1 = 0 là x 1, x2. Tìm giá trị nhỏ
nhất của x12 + x22 .
Bài 29:Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 - 2(m + 1)x + m2 +3 = 0 .
a) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn:
2(x1 +x2) -3 x1x2 + 9 = 0.
Bài 30:Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình x2 -5x - 6 = 0. Hãy lập một phương trình có
các nghiệm là x1 + 2 và x2 + 2.
Bài 31: Giải các phương trình sau:
a) x2 -2( 3 -1)x - 2 3 = 0

b) x 2 − 2( 3 + 1) x + 2 3 = 0

c) x 2 − 2( 2 + 1) x + 4 + 3 2 = 0

d) 3x2 +12x -66 = 0

e) x 2 − x( 2 + 3 ) + 6 = 0
Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang

18

Trường THCS Bình Nguyên


Tài liệu ôn tập tổng hợp lớp 9
kq: a) 3 + 1; 3 − 3 b)

3 + 3; 3 − 1

Bài 32: Giải các phương trình sau:
a) x4 -13x2 + 36 = 0

Năm học: 2018 -2019
c) vn d) − 2 ± 26 e) 2 ; 3

b) 3 x − 7 x + 4 = 0
21
− x 2 + 4x − 6 = 0
d) 2
x − 4 x + 10

x + x−5
3x
+ 2
+4=0
x
x + x−5
16

kq: a) ± 2;±3 b) 1;
c) − 1 ± 6 ;1;−5
d) 1; 3
9
Bài 33: Chứng minh rằng khi m thay đổi, họ đường thẳng 2x + (m-1)y = 1 luôn luôn đi qua một
điểm cố định.
2

c)

a)
1/

Bài 34: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x2 − x +1
P= 2
b)Tìm GTNN và GTLN của các biểu thức:
x − 2x + 1
4x − 3
x 2 + 2x − 1
Q= 2
2/
R= 2
x +1
x − 2x + 3

Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang

19

Trường THCS Bình Nguyên


Tài liệu ôn tập tổng hợp lớp 9

Năm học: 2018 -2019

3. Hệ phương trình:
A. Hai cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số:
ax + by = c (1)
Xét hệ phương trình 
(*)
a ' x + b' y = c' ( 2)
Mỗi nghiệm của hệ phương trình (*) là một cặp số (x 0,y0) đồng thời nghiệm đúng cả hai phương trình
(1) và (2) .
a) Giải hệ phương trình (*) bằng phương pháp thế:
- Rút x (hoặc y) từ một trong hai phương trình của hệ .
- Thay x (hoặc y) theo y (hoặc x) vào phương trình kia.
- Giải phương trình bậc nhất ẩn y (hoặc x) , tìm giá trị của y (hoặc x) rồi thay giá trị này vào một trong
hai phương trình của hệ để tìm x (hoặc y).
b) Giải hệ phương trình (*) bằng phương pháp cộng đại số:
- Bằng phép biến đổi tương đương để đi đến một ẩn cùng tên ở hai phương trình có hệ số bằng nhau về
giá trị tuyệt đối.
- Cộng vế theo vế nếu hai hệ số đó đối nhau, trừ vế với vế nếu hai hệ số đó bằng nhau.
- Đưa hệ đã cho tương đương với hệ gồm một phương trình của ẩn và một trong hai phương trình của
hệ đã cho.
B. Các bài toán về hệ phương trình:
Bài 1: Giải hệ phương trình:
1
 2

3

+
=5
x= −


2x + y = 5
x = 4
x+ 1 y− 1

4
a) 
b) 
a) Kq: 
b) 
3x − 2y = 18
 y = −3
 3 − 2 = 18
y = 2
 x + 1 y − 1
3

Bài 2: Giải các hệ phương trình:
y
 7x
+
 6 − x 10 + y = 3
7x + y = 3
x = 1

x = 3

a) 
b) 
kq: a) 
b) 
 x + 3y = −11
 y = −4
 y = −8
 x + 3y = −11
 6 − x 10 + y
Bài 3: Định giá trị của tham số m để hệ phương trình sau vô nghiệm:
mx + y = 3 (1)
 m = ±1
⇔
⇔ m = -1

 x + my = 3 ( 2)
m ≠ 1

(2m + 1) x + y = 2m − 2
Bài 4: Cho hệ phương trình  2
trong đó m ∉ Z ; m ≠ −1 .
2
m x − y = m − 3m
Xác định m để hệ phương trình có nghiệm nguyên.
m−2

 x = m + 1
kq: 

(m≠-1).
 y = 3m

m +1
Để x,y ∈ Z thì m+1 ∈ Ư(3). Suy ra: m ∈ {-4;-2;0;2} thì hệ phương trình có nghiệm nguyên.
Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang

20

Trường THCS Bình Nguyên


Tài liệu ôn tập tổng hợp lớp 9
Bài 5: Giải hệ phương trình sau:
x + y = 8
a)  2
b)
2
 x + y = 34
x = 5
x = 3
hoac 
kq: a) 
y = 3
y = 5

Năm học: 2018 -2019
 xy = 10
 2
2

 x + y = 29
x = 2
 x = 5  x = −2  x = −5
; 
; 
; 
b) 
y = 5
 y = 2  y = −5  y = −2

Bài 6: Giải hệ phương trình:
 x = 2 − 1
3 x + y = 2
kq: 

 y = 3 − 2 2
2 x + y = 1

Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang

21

Trường THCS Bình Nguyên


Tài liệu ôn tập tổng hợp lớp 9

Năm học: 2018 -2019

4. Giải bài toán bằng cách lập phương trình:

A. Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Bước 1: Lập phương trình.
- Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình.
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán
và kết luận.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP:
Dạng 1: TOÁN VỀ QUAN HỆ GIỮA CÁC SỐ:
Bài 1: Một vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 20 m,diện tích 3500m 2. Tính chiều dài của
hàng rào xung quanh vườn, biết rằng người ta chừa 1 m để làm cổng ra vào.
KQ: Chu vi vườn là 240m,độ dài hàng rào 239m.
Bài 2:
Dạng 2: TOÁN PHẦN TRĂM:
Bài 1:
Dạng 3: TOÁN CHUYỂN ĐỘNG:
Bài 1:
Một người đi bộ khởi hành từ vị trí A đến vị trí B. Sau đó 5 giờ 20 phút một người đi xe đạp bắt đầu
từ A đuổi theo người đi bộ với vận tốc nhanh hơn người đi bộ 12 km mỗi giờ và cả hai cùng đến B một
lúc. Tính vận tốc của người đi bộ, biết rằng đoạn đường AB dài 20 km.
HD: Gọi x (km/h) là vận tốc của người đi bộ ( x > 0 ) thì vận tốc của người đi xe đạp là x + 12 (km/h).
20
20
16
−
=
pt:
⇔ x2 + 12x − 45 = 0 . Suy ra: x1 = 3; x2 = -15(loại).Vậy vận tốc của người đi
x x + 12 3

bộ là 3 km/h.
Bài 2:
Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A . Sau 5 giờ 20 phút ca nô chạy từ bến A đuổi theo và đuổi
kịp thuyền cách bến A 20 km. Hỏi vận tốc của thuyền , biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12km/h?
HD: Gọi vận tốc của thuyền là x (km/h), điều kiện x > 0 , vận tốc của ca nô là x +12 (km/h)
20
20
16
⇔ x2 +12x - 45 = 0 , x1 = 3; x2 = -15 (loại) . Vậy vận tốc của thuyền là 3km/h.
−
=
pt:
x x + 12 3
Bài 3:
Một tầu thủy chạy trên một khúc sông dài 80 km. Cả đi và về mất 8 giờ 20 phút. Tính vận tốc của tầu
thủy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4 km/h.
HD: Gọi vận tốc của tầu thuỷ khi nước yên lặng là x ( km/h), (x > 4).
Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang

22

Trường THCS Bình Nguyên


Tài liệu ôn tập tổng hợp lớp 9
80
80
25
4
+

=
pt:
⇔ 5x2 − 96x − 80 = 0 , x1 = 20; x2 = - ( loại).
x+ 4 x− 4
3
5
Vậy vận tốc của tầu thủy là 20km/h.

Năm học: 2018 -2019

Bài 4: Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30 km. Một ca nô đi từ A đến B, nghỉ 40 phút ở B,rồi
trở về bến A.Thời gian kể từ lúc đi đến lúc về đến A là 6 giờ. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng,
biết rằng vận tốc của dòng nước là 3km/h.
HD: Gọi vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là x (km/h), x > 3.
3
Pt: ` hay 4x2 - 45x -36 = 0. Giải x1 = 12, x2 = - (loại).
4
Vận tốc ca nô khi nước yên lặng là 12 km/h.
Bài 5: Một xuồng máy xuôi dòng sông 30km và ngược dòng 28km hết một thời gian bằng thời gian mà
xuồng đi 59,5km trên mặt hồ yên lặng. Tính vận tốc của xuồng khi đi trên hồ biết vận tốc của nước
chảy trong sông là 3km/h.
Dạng 4: TOÁN NĂNG SUẤT:
Bài 1:
Một tổ công nhân dự định làm xong 240 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Nhưng khi thực
hiện, nhờ cải tiến kĩ thuật nên mỗi ngày tổ đã làm tăng thêm 10 sản phẩm so với dự định. Do đó, tổ đã
hoàn thành công việc sớm hơn dự định 2 ngày. Hỏi khi thực hiện, mỗi ngày tổ đã làm được bao nhiêu
sản phẩm?
Giải: Gọi x(sản phẩm) là số sản phẩm làm được trong một ngày theo dự định,(x nguyên dương)
Số sản phẩm khi thực hiện trong một ngày là x + 10 (sản phẩm)
240

Thời gian dự định làm xong công việc là
(ngày)
x
240
Thời gian thực tế làm xong công việc là
(ngày)
x + 10
Vì thực tế đã hoàn thành sớm hơn dự định 2 ngày nên ta có phương trình:
240 240
−
= 2 . Biến đổi ta được phương trình x2 + 10x – 1200 = 0.
x
x + 10
Giải phương trình x2 + 10x – 1200 = 0, ta được x1 = 30 (nhận); x2 = - 40 (loại).
Vậy thực tế, mỗi ngày tổ đã hoàn thành được 30 + 10 = 40 (sản phẩm).
Dạng 5: TOÁN VỀ SỰ THAY ĐỔI CÁC THỪA SỐ TÍCH:
Bài 1:
Một phòng họp có 500 chỗ ngồi. Do phải xếp 616 chỗ ngồi, người ta kê thêm ba dãy ghế và mỗi dãy
xếp thêm 2 chỗ. Tính số dãy ghế lúc đầu của phòng họp.
616 500
−
= 2 ⇒ x2 - 55x + 750 = 0 ; x 1= 25, x2 = 30. Loại giá
HD: Gọi số dãy ghế lúc đầu là x. Pt:
x+ 3
x
500
∉ N. Vậy số dãy ghế lúc đầu là 25 dãy.
trị x = 30 làm cho số người trên mỗi dãy ghế là
30
Dạng 6: TOÁN CÓ NỘI DUNG HÌNH HỌC:

Bài 1:
Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 10m. Hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 2m. Tìm các cạnh
góc vuông của tam giác.

Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang

23

Trường THCS Bình Nguyên


Tài liệu ôn tập tổng hợp lớp 9

Năm học: 2018 -2019

3
cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 3dm và cạnh đáy giảm đi
4
2dm thì diện tích của nó tăng thêm 12dm2. Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác đó.
Bài 2: Một tam giác có chiều cao bằng

Bài 3:
Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 280m, người ta làm một lối đi xung quanh vườn (thuộc đất
của vườn) rộng 2m. Diện tích đất còn lại để trồng trọt là 4256 m2. Tính các kích thước của vườn.
13
Bài 4: Tỉ số giữa cạnh huyền và một cạnh góc vuông của một tam giác vuông là
cạnh còn lại bằng
12
15m. Tính cạnh huyền.
Dạng 7: TOÁN CÓ NỘI DUNG LÝ HÓA:

Bài 1:
Người ta hòa lẫn 4 kg chất lỏng I với 3 kg chất lỏng II thì được một hỗn hợp có khối lượng riêng là
700 kg/m3 . Biết rằng khối lượng riêng của chất lỏng I lớn hơn khối lượng riêng của chất lỏng II là 200
kg/m3. Tính khối lượng riêng mỗi của chất lỏng.
HD: Gọi khối lượng riêng của chất lỏng I là x (kg/m3), x > 200,pt:
4
3
7 2
+
=
,x – 900x + 80000 = 0, x1= 800, x2 = 100 (loại) KQ: 800 kg/m3 và 600 kg/m3
x x − 200 700
Bài 2:
Dạng 8: TOÁN VỀ TÌM THỜI GIAN MỖI ĐƠN VỊ LÀM MỘT MÌNH XONG CÔNG VIỆC:
Bài 1:
Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể thì sau 1 giờ 30 phút đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy
1
trong 15 phút và vòi thứ hai chảy trong 20 phút thì đầy
bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì phải
5
bao lâu mới đầy bể?.
HD: Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x(giờ), (x>0).
Thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là y(giờ), (y > 0).
1 1 2
x + y = 3

Ta có hệ pt: 
1 + 1 =1
 4x 3y 5
3

Đáp số: Thời gian vời thứ nhất chảy một mình đầy bể là x = 3 giờ, vòi thứ hai chảy một mình đầy bể
4
1
là y = 2 giờ.
2
Bài 2:
Hai người thợ cùng xây một bức tường trong 7 ngày 12 phút thì xong ( vôi vữa và gạch có công nhân
khác vận chuyển). Nếu người thứ nhất làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai xây
3
dụng được
bức tường. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xây xong bức tường?
4
HD: Gọi thời gian người thứ nhất xây một mình xong bức tường là x (giờ), thời gian người thứ hai xây
một mình xong bức tường là y (giờ), (x > 0, y > 0).
5
1 1
 x + y = 36
 x = 12

⇔
Ta có hệ pt: 
 y = 18
5 + 6 = 3
 x y 4
Kluận: Người thứ nhất xây một mình trong 12 giờ thì xong bức tường.
Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang

24

Trường THCS Bình Nguyên

Tài liệu ôn tập tổng hợp lớp 9
Người thứ hai xây một mình trong 18 giờ thì xong bức tường.

Năm học: 2018 -2019

Bài 3:
Hai nhà máy cùng đóng một chiếc tầu sắt để phục vụ ngư dân Quảng Ngãi đánh bắt xa bờ tại ngư
trường vùng biển Hoàng Sa của Việt Nam, trong 24 tháng thì xong. Nếu nhà máy thứ nhất làm trong 6
tháng và nhà máy thứ hai làm trong 8 tháng thì chỉ làm được 30% chiếc tầu. Hỏi nếu làm một mình thì
mỗi nhà máy đóng xong chiếc tầu sắt trong thời gian bao lâu?
HD: Gọi thời gian nhà máy thứ nhất đóng tầu riêng hoàn thành chiếc tầu trong x(tháng),x>0;
thời gian nhà máy thứ hai đóng tầu riêng hoàn thành chiếc tầu trong y(tháng), y>0;
1 1 1
 x + y = 24
 x = 60

⇔
Pt: 
 y = 40
6 + 8 = 3
 x y 10
Vậy thời gian nhà máy thứ nhất đóng tầu riêng hoàn thành chiếc tầu trong 60 tháng;
thời gian nhà máy thứ hai đóng tầu riêng hoàn thành chiếc tầu trong 40 tháng.
Bài 4: Nếu mở cả hai vòi nước chảy vào một bể cạn thì sau 2 gời 55 phút bể đầy nước. Nếu mở riêng
từng vòi thì vòi thứ nhất làm đầy nước nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì
mỗi vòi chảy bao lâu đầy bể?
Bài 5: Hai đội công nhân cùng làm một quãng đường thì 12 ngày xong việc. Nếu đội thứ nhất làm một
mình hết nửa công việc, rồi đội thứ hai tiếp tục một mình làm nốt phần việc còn lại thì hết tất cả 25

ngày. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu xong việc?

Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang

25

Trường THCS Bình Nguyên