Le minh hoang bai giang cac chuyen de

{ 1z

Bài tốn li t kê

M CL C
§0. GI I THI U...................................................................................................................................... 2
§1. NH C L I M T S KI N TH C I S T H P....................................................................... 3
I. CH NH H P L P ...........................................................................................................................................3
II. CH NH H P KHƠNG L P...........................................................................................................................3
III. HỐN V ......................................................................................................................................................3
IV. T H P.........................................................................................................................................................3
§2. PH
NG PHÁP SINH (GENERATE) ............................................................................................ 5
I. SINH CÁC DÃY NH PHÂN
DÀI N.......................................................................................................6
II. LI T KÊ CÁC T P CON K PH N T ........................................................................................................7
III. LI T KÊ CÁC HOÁN V .............................................................................................................................9
§3. THU T TỐN QUAY LUI ............................................................................................................. 12
I. LI T KÊ CÁC DÃY NH PHÂN
DÀI N...............................................................................................13
II. LI T KÊ CÁC T P CON K PH N T ......................................................................................................14
III. LI T KÊ CÁC CH NH H P KHÔNG L P CH P K ..............................................................................15
IV. BÀI TỐN PHÂN TÍCH S .....................................................................................................................16
V. BÀI TỐN X P H U.................................................................................................................................18
§4. K THU T NHÁNH C N.............................................................................................................. 22
I. BÀI TOÁN T I U......................................................................................................................................22
II. S BÙNG N T H P...............................................................................................................................22
III. MƠ HÌNH K THU T NHÁNH C N.....................................................................................................22
IV. BÀI TOÁN NG I DU L CH...................................................................................................................23

V. DÃY ABC ....................................................................................................................................................25

Lê Minh Hoàng


{ 2z

Bài tốn li t kê

§0. GI I THI U
Trong th c t , có m t s bài tốn yêu c u ch rõ: trong m t t p các đ i t ng cho tr c có bao
nhiêu đ i t ng tho mãn nh ng đi u ki n nh t đ nh. Bài tốn đó g i là bài tốn đ m c u hình t
h p.
Trong l p các bài tốn đ m, có nh ng bài tốn cịn u c u ch rõ nh ng c u hình tìm đ c tho
mãn đi u ki n đã cho là nh ng c u hình nào. Bài toán yêu c u đ a ra danh sách các c u hình có th
có g i là bài toán li t kê t h p.
gi i bài toán li t kê, c n ph i xác đ nh đ c m t thu t tốn đ có th theo đó l n l t xây d ng
đ c t t c các c u hình đang quan tâm. Có nhi u ph ng pháp li t kê, nh ng chúng c n ph i đáp
ng đ c hai u c u d i đây:
• Khơng đ c l p l i m t c u hình
• Khơng đ c b sót m t c u hình
Có th nói r ng, ph ng pháp li t kê là ph ng k cu i cùng đ gi i đ c m t s bài toán t h p
hi n nay. Khó kh n chính c a ph ng pháp này chính là s bùng n t h p.
xây d ng 1 t c u
hình (con s này khơng ph i là l n đ i v i các bài tốn t h p - Ví d li t kê các cách x p n≥13
ng i quanh m t bàn tròn) và gi thi t r ng m i thao tác xây d ng m t kho ng 1 giây, ta ph i m t
quãng 31 n m m i gi i xong. Tuy nhiên cùng v i s phát tri n c a máy tính đi n t , b ng ph ng
pháp li t kê, nhi u bài tốn t h p đã tìm th y l i gi i. Qua đó, ta c ng nên bi t r ng ch nên dùng
ph ng pháp li t kê khi khơng cịn m t ph ng pháp nào khác tìm ra l i gi i. Chính nh ng n
l c gi i quy t các bài toán th c t không dùng ph ng pháp li t kê đã thúc đ y s phát tri n c a

nhi u ngành toán h c.
Cu i cùng, nh ng tên g i sau đây, tuy v ngh a không ph i đ ng nh t, nh ng trong m t s tr ng
h p ng i ta có th dùng l n ngh a c a nhau đ c. ó là:
• Ph ng pháp li t kê
• Ph ng pháp vét c n trên t p ph ng án
• Ph ng pháp duy t toàn b

Lê Minh Hoàng


{ 3z

Bài tốn li t kê

§1. NH C L I M T S

KI N TH C

IS

T

H P

Cho S là m t t p h u h n g m n ph n t và k là m t s t nhiên.
G i X là t p các s nguyên d ng t 1 đ n k: X = {1, 2, ..., k}
I. CH NH H P L P
M i ánh x f: X → S. Cho t ng ng v i m i i ∈ X, m t và ch m t ph n t f(i) ∈ S.
c g i là m t ch nh h p l p ch p k c a S.
Nh ng do X là t p h u h n (k ph n t ) nên ánh x f có th xác đ nh qua b ng các giá tr f(1), f(2),

..., f(k).
Ví d : S = {A, B, C, D, E, F}; k = 3. M t ánh x f có th cho nh sau:
i
1
2
3
f(i)
E
C
E
Nên ng i ta đ ng nh t f v i dãy giá tr (f(1), f(2), ..., f(k)) và coi dãy giá tr này c ng là m t
ch nh h p l p ch p k c a S. Nh ví d trên (E, C, E) là m t ch nh h p l p ch p 3 c a S. D dàng
ch ng minh đ c k t qu sau b ng quy n p ho c b ng ph ng pháp đánh giá kh n ng l a ch n:
S ch nh h p l p ch p k c a t p g m n ph n t :
k

An = nk
II. CH NH H P KHÔNG L P
Khi f là đ n ánh có ngh a là v i ∀i, j ∈ X ta có f(i) = f(j) ⇔ i = j. Nói m t cách d hi u, khi dãy giá
tr f(1), f(2), ..., f(k) g m các ph n t thu c S khác nhau đơi m t thì f đ c g i là m t ch nh h p
không l p ch p k c a S. Ví d m t ch nh h p không l p (C, A, E):
i
1
2
3
f(i)
C
A
E
S ch nh h p không l p ch p k c a t p g m n ph n t :

n!
A kn = n (n − 1)(n − 2)...(n − k + 1) =
(n − k )!
III. HOÁN V
Khi k = n. M t ch nh h p không l p ch p n c a S đ c g i là m t hoán v các ph n t c a S.
Ví d : m t hốn v : (A, D, C, E, B, F) c a S = {A, B, C, D, E, F}
i
1
2
3
4
5
6
f(i)
A
D
C
E
B
F
ý r ng khi k = n thì s ph n t c a t p X = {1, 2, .., n} đúng b ng s ph n t c a S. Do tính ch t
đơi m t khác nhau nên dãy f(1), f(2), ..., f(n) s li t kê đ c h t các ph n t trong S. Nh v y f là
toàn ánh. M t khác do gi thi t f là ch nh h p không l p nên f là đ n ánh. Ta có t ng ng 1-1 gi a
các ph n t c a X và S, do đó f là song ánh. V y nên ta có th đ nh ngh a m t hoán v c a S là m t
song ánh gi a {1, 2, ..., n} và S.
S hoán v c a t p g m n ph n t = s ch nh h p không l p ch p n:
Pn = n!
IV. T

H P

M t t p con g m k ph n t c a S đ
Lê Minh Hoàng

c g i là m t t h p ch p k c a S.


{ 4z

Bài toán li t kê

L y m t t p con k ph n t c a S, xét t t c k! hoán v c a t p con này. D th y r ng các hoán v đó
là các ch nh h p khơng l p ch p k c a S. Ví d l y t p {A, B, C} là t p con c a t p S trong ví d
trên thì: (A, B, C), (C, A, B), (B, C, A), ... là các ch nh h p không l p ch p 3 c a S. i u đó t c là
khi li t kê t t c các ch nh h p không l p ch p k thì m i t h p ch p k s đ c tính k! l n. V y:
S t h p ch p k c a t p g m n ph n t :
A kn
n!
C =
=
k! k!(n − k )!
k
n

S t p con c a t p n ph n t :
C 0n + C1n + ... + C nn = (1 + 1) n = 2 n

Lê Minh Hoàng

{ 5z

Bài tốn li t kê

§2. PH

NG PHÁP SINH (GENERATE)

Ph ng pháp sinh có th áp d ng đ gi i bài toán li t kê t h p đ t ra n u nh hai đi u ki n sau
tho mãn:
1. Có th xác đ nh đ c m t th t trên t p các c u hình t h p c n li t kê. T đó có th xác
đ nh đ c c u hình đ u tiên và c u hình cu i cùng trong th t đã xác đ nh
2. Xây d ng đ c thu t tốn t c u hình ch a ph i c u hình cu i, sinh ra đ c c u hình k
ti p nó.
Ph ng pháp sinh có th mơ t nh sau:
<Xây d ng c u hình đ u tiên>;
repeat
< a ra c u hình đang có>;
until <h t c u hình>;

ti p n u còn>;

Th t t đi n
Trên các ki u d li u đ n gi n chu n, ng i ta th ng nói t i khái ni m th t . Ví d trên ki u s
thì có quan h : 1 < 2; 2 < 3; 3 < 10; ..., trên ki u ký t Char thì c ng có quan h 'A' < 'B'; 'C' < 'c'...
Xét quan h th t toàn ph n "nh h n ho c b ng" ký hi u "≤" trên m t t p h p S, là quan h hai
ngôi tho mãn b n tính ch t:
V i ∀a, b, c ∈ S
• Tính ph bi n: Ho c là a ≤ b, ho c b ≤ a;

• Tính ph n x : a ≤ a
• Tính ph n đ i x ng: N u a ≤ b và b ≤ a thì b t bu c a = b.
• Tính b c c u: N u có a ≤ b và b ≤ c thì a ≤ c.
Trong tr ng h p a ≤ b và a ≠ b, ta dùng ký hi u "<" cho g n, (ta ng m hi u các ký hi u nh ≥, >,
kh i ph i đ nh ngh a)
Ví d nh quan h "≤" trên các s nguyên c ng nh trên các ki u vô h ng, li t kê là quan h th t
toàn ph n.
Trên các dãy h u h n, ng i ta c ng xác đ nh m t quan h th t :
Xét a = (a1, a2, ..., an) và b = (b1, b2, ..., bn); trên các ph n t c a a1, ..., an, b1, ..., bn đã có quan h
th t "≤". Khi đó a ≤ b n u nh
• Ho c ai = bi v i ∀i: 1 ≤ i ≤ n.
• Ho c t n t i m t s nguyên d ng k: 1 ≤ k < n đ :
=
b1
a1
a2
=
b2
...
ak-1 =
bk-1
ak
=
bk
ak+1 <
bk+1
Trong tr ng h p này, ta có th vi t a < b.
Th t đó g i là th t t đi n trên các dãy đ dài n.
Khi đ dài hai dãy a và b không b ng nhau, ng i ta c ng xác đ nh đ c th t t đi n. B ng cách
thêm vào cu i dãy a ho c dãy b nh ng ph n t đ c bi t g i là ph n t ∅ đ đ dài c a a và b b ng

Lê Minh Hoàng


{ 6z

Bài toán li t kê

nhau, và coi nh ng ph n t ∅ này nh h n t t c các ph n t khác, ta l i đ a v xác đ nh th t t
đi n c a hai dãy cùng đ dài. Ví d :
• (1, 2, 3, 4) < (5, 6)
• (a, b, c) < (a, b, c, d)
• 'calculator' < 'computer'
I. SINH CÁC DÃY NH PHÂN Đ

DÀI N

M t dãy nh phân đ dài n là m t dãy x = x1x2...xn trong đó xi ∈ {0, 1} (∀i : 1 ≤ i ≤ n).
D th y: m t dãy nh phân x đ dài n là bi u di n nh phân c a m t giá tr nguyên p(x) nào đó n m
trong đo n [0, 2n - 1]. S các dãy nh phân đ dài n = s các s nguyên ∈ [0, 2n - 1] = 2n. Ta s l p
ch ng trình li t kê các dãy nh phân theo th t t đi n có ngh a là s li t kê l n l t các dãy nh
phân bi u di n các s nguyên theo th t 0, 1,..., 2n-1.
Ví d : Khi n = 3, các dãy nh phân đ dài 3 đ c li t kê nh sau:
p(x)
0
1
2
3
4
5
6

7
x
000
001
010
011
100
101
110
111
Nh v y dãy đ u tiên s là 00...0 và dãy cu i cùng s là 11...1. Nh n xét r ng n u dãy x = (x1, x2, ...,
xn) là dãy đang có và khơng ph i dãy cu i cùng thì dãy k ti p s nh n đ c b ng cách c ng thêm 1
( theo c s 2 có nh ) vào dãy hi n t i.
Ví d khi n = 8:
Dãy đang có:
c ng thêm 1:
Dãy m i:

10010000
+ 1

10010001

Dãy đang có:
c ng thêm 1:
Dãy m i:

10010111
+ 1


10011000

Nh v y k thu t sinh c u hình k ti p t c u hình hi n t i có th mơ t nh sau: Xét t cu i
dãy v đ u (xét t hàng đ n v lên), g p s 0 đ u tiên thì thay nó b ng s 1 và đ t t t c các ph n
t phía sau v trí đó b ng 0.
i := n;
while (i > 0) and (xi = 1) do i := i - 1;
if i > 0 then
begin
xi := 1;
for j := i + 1 to n do xj := 0;
end;

D li u vào (Input): nh p t file v n b n BSTR.INP ch a s nguyên d ng n ≤ 30
K t qu ra(Output): ghi ra file v n b n BSTR.OUT các dãy nh phân đ dài n.
BSTR.INP
3

BSTR.OUT
000
001
010
011
100
101
110
111

PROG02_1.PAS * Thu t toán sinh li t kê các dãy nh
program Binary_Strings;

const
max = 30;
Lê Minh Hoàng

phân đ

dài n


{ 7z

Bài toán li t kê
var
x: array[1..max] of Integer;
n, i: Integer;
begin
{ nh ngh a l i thi t b nh p/xu t chu n}

Assign(Input, 'BSTR.INP'); Reset(Input);
Assign(Output, 'BSTR.OUT'); Rewrite(Output);
ReadLn(n);
FillChar(x, SizeOf(x), 0);
{C u hình ban đ u x1 = x2 = ... = xn := 0}
repeat
{Thu t toán sinh}
for i := 1 to n do Write(x[i]);
{In ra c u hình hi n t i}
WriteLn;
i := n;
{xi là ph n t cu i dãy, lùi d n i cho t i khi g p s 0 ho c khi i = 0 thì d ng}

while (i > 0) and (x[i] = 1) do Dec(i);
if i > 0 then
{Ch a g p ph i c u hình 11...1}
begin
x[i] := 1;
{Thay xi b ng s 1}
FillChar(x[i + 1], (n - i) * SizeOf(x[1]), 0);
{ t xi + 1 = xi + 2 = ... = xn := 0}
end;
until i = 0;
{ ã h t c u hình}

{ óng thi t b nh p xu t chu n, th c ra khơng c n vì BP s t đ ng đóng Input và Output tr

c khi thốt ch

ng trình}

Close(Input); Close(Output);
end.

II. LI T KÊ CÁC T P CON K PH N T
Ta s l p ch ng trình li t kê các t p con k ph n t c a t p {1, 2, ..., n} theo th t t đi n
Ví d : v i n = 5, k = 3, ta ph i li t kê đ 10 t p con:
1.{1, 2, 3}
6.{1, 4, 5}

2.{1, 2, 4}
7.{2, 3, 4}

3.{1, 2, 5}
8.{2, 3, 5}

4.{1, 3, 4} 5.{1, 3, 5}
9.{2, 4, 5} 10.{3, 4, 5}

Nh v y t p con đ u tiên (c u hình kh i t o) là {1, 2, ..., k}.
C u hình k t thúc là {n - k + 1, n - k + 2, ..., n}.
Nh n xét: Ta s in ra t p con b ng cách in ra l n l t các ph n t c a nó theo th t t ng d n. T
đó, ta có nh n xét n u x = {x1, x2, ..., xk} và x1 < x2 < ... < xk thì gi i h n trên (giá tr l n nh t có
th nh n) c a xk là n, c a xk-1 là n - 1, c a xk-2 là n - 2...
C th : gi i h n trên c a xi = n - k + i;
Còn t t nhiên, gi i h n d i c a xi (giá tr nh nh t xi có th nh n) là xi-1 + 1.
Nh v y n u ta đang có m t dãy x đ i di n cho m t t p con, n u x là c u hình k t thúc có ngh a là
t t c các ph n t trong x đ u đã đ t t i gi i h n trên thì quá trình sinh k t thúc, n u khơng thì ta
ph i sinh ra m t dãy x m i t ng d n tho mãn v a đ l n h n dãy c theo ngh a khơng có m t t p
con k ph n t nào chen gi a chúng khi s p th t t đi n.
Ví d : n = 9, k = 6. C u hình đang có x = {1, 2, 6, 7, 8, 9}. Các ph n t x3 đ n x6 đã đ t t i gi i
h n trên nên đ sinh c u hình m i ta không th sinh b ng cách t ng m t ph n t trong s các x6, x5,
x4, x3 lên đ c, ta ph i t ng x2 = 2 lên thành x2 = 3.
c c u hình m i là x = {1, 3, 6, 7, 8, 9}. C u
hình này đã tho mãn l n h n c u hình tr c nh ng ch a tho mãn tính ch t v a đ l n mu n v y
ta l i thay x3, x4, x5, x6 b ng các gi i h n d i c a nó. T c là:
• x3 := x2 + 1 = 4
• x4 := x3 + 1 = 5
• x5 := x4 + 1 = 6
• x6 := x5 + 1 = 7
Ta đ c c u hình m i x = {1, 3, 4, 5, 6, 7} là c u hình k ti p. N u mu n tìm ti p, ta l i nh n th y
r ng x6 = 7 ch a đ t gi i h n trên, nh v y ch c n t ng x6 lên 1 là đ c x = {1, 3, 4, 5, 6, 8}.
V y k thu t sinh t p con k ti p t t p đã có x có th xây d ng nh sau:

Lê Minh Hồng


{ 8z

Bài tốn li t kê

•

Tìm t cu i dãy lên đ u cho t i khi g p m t ph n t xi ch a đ t gi i h n trên n - k + i.
i := n;
while (i > 0) and (xi = n - k + i) do i := i - 1;

(1, 2, 6, 7, 8, 9);
•

N u tìm th y:
if i > 0 then

♦ T ng xi đó lên 1.
xi := xi + 1;

♦

(1, 3, 6, 7, 8, 9)
t t t c các ph n t phía sau xi b ng gi i h n d i:
for j := i + 1 to k do xj := xj-1 + 1;

(1, 3, 4, 5, 6, 7)
Input: file v n b n SUBSET.INP ch a hai s nguyên d ng n, k (1 ≤ k ≤ n ≤ 30) cách nhau ít nh t

m t d u cách
Output: file v n b n SUBSET.OUT các t p con k ph n t c a t p {1, 2, ..., n}
SUBSET.INP
5 3

SUBSET.OUT
{1, 2, 3}
{1, 2, 4}
{1, 2, 5}
{1, 3, 4}
{1, 3, 5}
{1, 4, 5}
{2, 3, 4}
{2, 3, 5}
{2, 4, 5}
{3, 4, 5}

PROG02_2.PAS * Thu t toán sinh li t kê các t p con k ph n t
program Combinations;
const
max = 30;
var
x: array[1..max] of Integer;
n, k, i, j: Integer;
begin
{ nh ngh a l i thi t b nh p/xu t chu n}

Assign(Input, 'SUBSET.INP'); Reset(Input);
Assign(Output, 'SUBSET.OUT'); Rewrite(Output);
ReadLn(n, k);

for i := 1 to k do x[i] := i;
{x1 := 1; x2 := 2; ... ; x3 := k (C u hình kh i t o)}
{Bi n đ m}
Count := 0;
――repeat
{In ra c u hình hi n t i}

Write('{');
for i := 1 to k - 1 do Write(x[i], ', ');
WriteLn(x[k], '}');
{Sinh ti p}

i := k;
{xi là ph n t cu i dãy, lùi d n i cho t i khi g p m t xi ch a đ t gi i h n trên n - k + i}
while (i > 0) and (x[i] = n - k + i) do Dec(i);
if i > 0 then―
{N u ch a lùi đ n 0 có ngh a là ch a ph i c u hình k t thúc}
――
begin
Inc(x[i]);
{T ng xi lên 1, t các ph n t đ ng sau xi b ng gi i h n d i c a nó}
for j := i + 1 to k do x[j] := x[j - 1] + 1;
end;
until i = 0;
{Lùi đ n t n 0 có ngh a là t t c các ph n t đã đ t gi i h n trên - h t c u hình}
Close(Input); Close(Output);
end.
Lê Minh Hoàng

{ 9z

Bài toán li t kê

III. LI T KÊ CÁC HỐN V
Ta s l p ch ng trình li t kê các hoán v c a {1, 2, ..., n} theo th t t đi n.
Ví d v i n = 4, ta ph i li t kê đ 24 hoán v :
1.1234
7.2134
13.3124
19.4123

2.1243
8.2143
14.3142
20.4132

3.1324
9.2314
15.3214
21.4213

4.1342
10.2341
16.3241
22.4231

5.1423
11.2413
17.3412

23.4312

6.1432
12.2431
18.3421
24.4321

Nh v y hoán v đ u tiên s là (1, 2, ..., n). Hoán v cu i cùng là (n, n-1, ... , 1).
Hoán v s sinh ra ph i l n h n hoán v hi n t i, h n th n a ph i là hoán v v a đ l n h n hốn v
hi n t i theo ngh a khơng th có m t hốn v nào khác chen gi a chúng khi s p th t .
Gi s hoán v hi n t i là x = (3, 2, 6, 5, 4, 1), xét 4 ph n t cu i cùng, ta th y chúng đ c x p gi m
d n, đi u đó có ngh a là cho dù ta có hốn v 4 ph n t này th nào, ta c ng đ c m t hoán v bé
h n hoán v hi n t i!. Nh v y ta ph i xét đ n x2 = 2, thay nó b ng m t giá tr khác. Ta s thay b ng
giá tr nào?, không th là 1 b i n u v y s đ c hốn v nh h n, khơng th là 3 vì đã có x1 = 3 r i
(ph n t sau không đ c ch n vào nh ng giá tr mà ph n t tr c đã ch n). Còn l i các giá tr 4, 5,
6. Vì c n m t hoán v v a đ l n h n hi n t i nên ta ch n x2 = 4. Còn các giá tr (x3, x4, x5, x6) s
l y trong t p {2, 6, 5, 1}. C ng vì tính v a đ l n nên ta s tìm bi u di n nh nh t c a 4 s này gán
cho x3, x4, x5, x6 t c là (1, 2, 5, 6). V y hoán v m i s là (3, 4, 1, 2, 5, 6).
(3, 2, 6, 5, 4, 1) → (3, 4, 1, 2, 5, 6).
Ta có nh n xét gì qua ví d này: o n cu i c a hoán v đ c x p gi m d n, s x5 = 4 là s nh nh t
trong đo n cu i gi m d n tho mãn đi u ki n l n h n x2 = 2. N u đ i ch x5 cho x2 thì ta s đ c x2
= 4 và đo n cu i v n đ c s p x p gi m d n. Khi đó mu n bi u di n nh nh t cho các giá tr
trong đo n cu i thì ta ch c n đ o ng c đo n cu i.
Trong tr ng h p hoán v hi n t i là (2, 1, 3, 4) thì hốn v k ti p s là (2, 1, 4, 3). Ta c ng có th
coi hốn v (2, 1, 3, 4) có đo n cu i gi m d n, đo n cu i này ch g m 1 ph n t (4)
V y k thu t sinh hoán v k ti p t hốn v hi n t i có th xây d ng nh sau:
• Xác đ nh đo n cu i gi m d n dài nh t, tìm ch s i c a ph n t xi đ ng li n tr c đo n cu i đó.
i u này đ ng ngh a v i vi c tìm t v trí sát cu i dãy lên đ u, g p ch s i đ u tiên th a mãn xi
< xi+1. N u toàn dãy đã là gi m d n, thì đó là c u hình cu i.
i := n - 1;

while (i > 0) and (xi > xi+1) do i := i - 1;

•

Trong đo n cu i gi m d n, tìm ph n t xk nh nh t tho mãn đi u ki n xk > xi. Do đo n cu i
gi m d n, đi u này th c hi n b ng cách tìm t cu i dãy lên đ u g p ch s k đ u tiên tho mãn
xk > xi (có th dùng tìm ki m nh phân).

k := n;
while xk < xi do k := k - 1;

•
i ch xk và xi, l t ng c th t đo n cu i gi m d n (t xi+1 đ n xk) tr thành t ng d n.
Input: file v n b n PERMUTE.INP ch a s nguyên d ng n ≤ 12
Output: file v n b n PERMUTE.OUT các hoán v c a dãy (1, 2, ..., n)
PERMUTE.INP
3

Lê Minh Hoàng

PERMUTE.OUT
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1


Bài toán li t kê

{ 10z

PROG02_3.PAS * Thu t toán sinh li t kê hoán v
program Permute;
const
max = 12;
var
n, i, k, a, b: Integer;
x: array[1..max] of Integer;
procedure Swap(var X, Y: Integer); {Th t c đ o giá tr hai tham bi n X, Y}
var
Temp: Integer;
begin
Temp := X; X := Y; Y := Temp;
end;
begin
Assign(Input, 'PERMUTE.INP'); Reset(Input);
Assign(Output, 'PERMUTE.OUT'); Rewrite(Output);
ReadLn(n);
for i := 1 to n do x[i] := i;―
{Kh i t o c u hình đ u: x1 := 1; x2 := 2; ..., xn := n}
――repeat
{In ra c u hình hốn v hi n t i}
――――for i := 1 to n do Write(x[i], ' ');
WriteLn;
i := n - 1;
while (i > 0) and (x[i] > x[i + 1]) do Dec(i);
if i > 0 then
{Ch a g p ph i hoán v cu i (n, n-1, ... ,1)}

――――――begin
{xk là ph n t cu i dãy}
k := n;
――――
while x[k] < x[i] do Dec(k);―
{Lùi d n k đ tìm g p xk đ u tiên l n h n xi }
Swap(x[k], x[i]);
{ i ch xk và xi}
―――――― a := i + 1; b := n;
{L t ng c đo n cu i gi m d n, a: đ u đo n, b: cu i đo n}
――
while a < b do
begin
Swap(x[a], x[b]);
{ i ch xa và xb}
Inc(a);
{Ti n a và lùi b, đ i ch ti p cho t i khi a, b ch m nhau}
Dec(b);
end;
end;
until i = 0;―{Toàn dãy là dãy gi m d n - không sinh ti p đ c - h t c u hình}
Close(Input); Close(Output);
end.

Bài t p:
1. Các ch ng trình trên x lý không t t trong tr ng h p t m th ng, đó là tr ng h p n = 0 đ i
v i ch ng trình li t kê dãy nh phân c ng nh trong ch ng trình li t kê hốn v , tr ng h p k = 0
đ i v i ch ng trình li t kê t h p, hãy kh c ph c đi u đó.
2. Li t kê các dãy nh phân đ dài n có th coi là li t kê các ch nh h p l p ch p n c a t p 2 ph n t
{0, 1}. Hãy l p ch ng trình:

Nh p vào hai s n và k, li t kê các ch nh h p l p ch p k c a {0, 1, ..., n -1}.
G i ý: thay h c s 2 b ng h c s n.
3. Hãy li t kê các dãy nh phân đ dài n mà trong đó c m ch s "01" xu t hi n đúng 2 l n.
Bài t p:
4. Nh p vào m t danh sách n tên ng i. Li t kê t t c các cách ch n ra đúng k ng i trong s n
ng i đó.
G i ý: xây d ng m t ánh x t t p {1, 2, ..., n} đ n t p các tên ng i. Ví d xây d ng m t m ng
Tên: Tên[1] := 'Nguy n v n A'; Tên[2] := 'Tr n th B';.... sau đó li t kê t t c các t p con k ph n t

Lê Minh Hoàng


Bài toán li t kê

{ 11z

c a t p {1, 2, ..., n}. Ch có đi u khi in t p con, ta không in giá tr s {1, 3, 5} mà thay vào đó s in
ra {Tên[1], Tên [3], Tên[5]}. T c là in ra nh c a các giá tr tìm đ c qua ánh x
5. Li t kê t t c các t p con c a t p {1, 2, ..., n}. Có th dùng ph ng pháp li t kê t p con nh trên
ho c dùng ph ng pháp li t kê t t c các dãy nh phân. M i s 1 trong dãy nh phân t ng ng v i
m t ph n t đ c ch n trong t p. Ví d v i t p {1, 2, 3, 4} thì dãy nh phân 1010 s t ng ng v i
t p con {1, 3}. Hãy l p ch ng trình in ra t t c các t p con c a {1, 2, ..., n} theo hai ph ng pháp.
5. Nh p vào danh sách tên n ng i, in ra t t c các cách x p n ng i đó vào m t bàn
6. Nh p vào danh sách n ng i nam và n ng i n , in ra t t c các cách x p 2n ng i đó vào m t
bàn trịn, m i ng i nam ti p đ n m t ng i n .
7. Ng i ta có th dùng ph ng pháp sinh đ li t kê các ch nh h p không l p ch p k. Tuy nhiên có
m t cách là li t kê t t c các t p con k ph n t c a t p h p, sau đó in ra đ k! hốn v c a nó. Hãy
vi t ch ng trình li t kê các ch nh h p không l p ch p k c a {1, 2, ..., n}.
8. Li t kê t t c các hoán v ch cái trong t MISSISSIPPI theo th t t đi n.
9. Li t kê t t c các cách phân tích s nguyên d ng n thành t ng các s ngun d ng, hai cách

phân tích là hốn v c a nhau ch tính là m t cách.
Cu i cùng, ta có nh n xét, m i ph ng pháp li t kê đ u có u, nh c đi m riêng và ph ng pháp
sinh c ng không n m ngồi nh n xét đó. Ph ng pháp sinh khơng th sinh ra đ c c u hình th
p n u nh ch a có c u hình th p - 1, ch ng t r ng ph ng pháp sinh t ra u đi m trong tr ng
h p li t kê toàn b m t s l ng nh c u hình trong m t b d li u l n thì l i có nh c đi m và
ít tính ph d ng trong nh ng thu t toán duy t h n ch . H n th n a, khơng ph i c u hình ban đ u
lúc nào c ng d tìm đ c, khơng ph i k thu t sinh c u hình k ti p cho m i bài toán đ u đ n gi n
nh trên (Sinh các ch nh h p không l p ch p k theo th t t đi n ch ng h n). Ta sang m t chuyên
m c sau nói đ n m t ph ng pháp li t kê có tính ph d ng cao h n, đ gi i các bài toán li t kê
ph c t p h n đó là: Thu t tốn quay lui (Back tracking).

Lê Minh Hồng


{ 12z

Bài tốn li t kê

§3. THU T TỐN QUAY LUI
Thu t toán quay lui dùng đ gi i bài tốn li t kê các c u hình. M i c u hình đ c xây d ng
b ng cách xây d ng t ng ph n t , m i ph n t đ c ch n b ng cách th t t c các kh n ng.
Gi thi t c u hình c n li t kê có d ng (x1, x2,..., xn). Khi đó thu t tốn quay lui th c hi n qua các
b c sau:
1) Xét t t c các giá tr x1 có th nh n, th cho x1 nh n l n l t các giá tr đó. V i m i giá tr th
gán cho x1 ta s :
2) Xét t t c các giá tr x2 có th nh n, l i th cho x2 nh n l n l t các giá tr đó. V i m i giá tr
th gán cho x2 l i xét ti p các kh n ng ch n x3 ... c ti p t c nh v y đ n b c:
n) Xét t t c các giá tr xn có th nh n, th cho xn nh n l n l t các giá tr đó, thơng báo c u hình
tìm đ c (x1, x2, ..., xn).
Trên ph ng di n quy n p, có th nói r ng thu t tốn quay lui li t kê các c u hình n ph n t d ng

(x1, x2, .., xn) b ng cách th cho x1 nh n l n l t các giá tr có th . V i m i giá tr th gán cho x1 l i
li t kê ti p c u hình n - 1 ph n t (x2, x3, ..., xn).
Mơ hình c a thu t tốn quay lui có th mơ t nh sau:
{Th t c này th cho xi nh n l n l

t các giá tr mà nó có th nh n}

procedure Try(i: Integer);
begin
for (m i giá tr V có th gán cho xi) do
begin
<Th cho xi := V>;
if (xi là ph n t cu i cùng trong c u hình) then
<Thơng báo c u hình tìm đ c>
else
begin
<Ghi nh n vi c cho xi nh n giá tr V (N u c n)>;
Try(i + 1); {G i đ quy đ ch n ti p xi+1}
――
end;
end;
end;

khác>;

Thu t toán quay lui s b t đ u b ng l i g i Try(1)
Ta có th trình bày q trình tìm ki m l i gi i c a thu t tốn quay lui b ng cây sau:
Try(1)

Try(2)

Try(3)

Try(2)

Try(3)

Try(3)

Hình 1: Cây tìm ki m quay lui

Lê Minh Hồng

Try(3)


{ 13z

Bài toán li t kê

I. LI T KÊ CÁC DÃY NH PHÂN Đ

DÀI N

Input/Output v i khuôn d ng nh trong PROG2_1.PAS
Bi u di n dãy nh phân đ dài N d i d ng (x1, x2, ..., xn). Ta s li t kê các dãy này b ng cách th
dùng các giá tr {0, 1} gán cho xi. V i m i giá tr th gán cho xi l i th các giá tr có th gán cho
xi+1.Ch ng trình li t kê b ng thu t tốn quay lui có th vi t:
phân đ

PROG03_1.PAS * Thu t toán quay lui li t kê các dãy nh
program BinaryStrings;
const
max = 30;
var
x: array[1..max] of Integer;
n: Integer;
procedure PrintResult;
{In c u hình tìm đ
var
i: Integer;
begin
for i := 1 to n do Write(x[i]);
WriteLn;
end;
procedure Try(i: Integer);
var
j: Integer;
begin
for j := 0 to 1 do
――――begin
x[i] := j;
if i = n then PrintResult
―――― else Try(i + 1);
end;
end;

dài n

c, do th t c tìm đ quy Try g i khi tìm ra m t c u hình}

{Th các cách ch n xi}

{Xét các giá tr có th gán cho xi, v i m i giá tr đó}
{Th đ t xi}
{N u i = n thì in k t qu }
{N u i ch a ph i là ph n t cu i thì tìm ti p xi+1}

begin
Assign(Input, 'BSTR.INP'); Reset(Input);
Assign(Output, 'BSTR.OUT'); Rewrite(Output);
{Nh p d li u}
ReadLn(n);
Try(1);
{Th các cách ch n giá tr x1}
Close(Input);
Close(Output);
end.

Ví d : Khi n = 3, cây tìm ki m quay lui nh sau:
Try(1)
x1 := 0

x1 := 1

Try(2)
x2 := 0

Try(3)

x3 := 0

000

x3 := 1

001

Try(2)

x2 := 1

x2 := 0

Try(3)
x3 := 0

010

Try(3)

x3 := 1

011

x3 := 0

100

x2 := 1

Try(3)

x3 := 1

101

x3 := 0

x3 := 1

110

Hình 2: Cây tìm ki m quay lui trong bài toán li t kê dãy nh phân
Lê Minh Hoàng

111

result


Bài toán li t kê

{ 14z

II. LI T KÊ CÁC T P CON K PH N T
Input/Output có khn d ng nh trong PROG02_2.PAS
li t kê các t p con k ph n t c a t p S = {1, 2, ..., n} ta có th đ a v li t kê các c u hình (x1, x2,
..., xk) đây các xi ∈ S và x1 < x2 < ... < xk. Ta có nh n xét:
• xk ≤ n

• xk-1 ≤ xk - 1 ≤ n - 1
• ...
• xi ≤ n - k + i
• ...
• x1 ≤ n - k + 1.
T đó suy ra xi-1 + 1 ≤ xi ≤ n - k + i (1 ≤ i ≤ k) đây ta gi thi t có thêm m t s x0 = 0 khi xét i = 1.
Nh v y ta s xét t t c các cách ch n x1 t 1 (=x0 + 1) đ n n - k + 1, v i m i giá tr đó, xét ti p t t
c các cách ch n x2 t x1 + 1 đ n n - k + 2,... c nh v y khi ch n đ c đ n xk thì ta có m t c u
hình c n li t kê. Ch ng trình li t kê b ng thu t toán quay lui nh sau:
PROG03_2.PAS * Thu t toán quay lui li t kê các t p con k ph n t
program Combinations;
const
max = 30;
var
x: array[0..max] of Integer;
n, k: Integer;
procedure PrintResult; (*In ra t p con {x1, x2, ..., xk}*)
var
i: Integer;
begin
Write('{');
for i := 1 to k - 1 do Write(x[i], ', ');
WriteLn(x[k], '}');
end;
procedure Try(i: Integer); {Th các cách ch n giá tr cho x[i]}
var
j: Integer;
begin
for j := x[i - 1] + 1 to n - k + i do
begin

x[i] := j;
if i = k then PrintResult
else Try(i + 1);
end;
end;
begin
Assign(Input, 'SUBSET.INP'); Reset(Input);
Assign(Output, 'SUBSET.OUT'); Rewrite(Output);
ReadLn(n, k);
x[0] := 0;
Try(1);
Close(Input); Close(Output);
end.

Lê Minh Hoàng


{ 15z

Bài toán li t kê

N u đ ý ch ng trình trên và ch ng trình li t kê dãy nh phân đ dài n, ta th y v c b n chúng
ch khác nhau th t c Try(i) - ch n th các giá tr cho xi, ch ng trình li t kê dãy nh phân ta
th ch n các giá tr 0 ho c 1 còn ch ng trình li t kê các t p con k ph n t ta th ch n xi là m t
trong các giá tr nguyên t xi-1 + 1 đ n n - k + i. Qua đó ta có th th y tính ph d ng c a thu t tốn
quay lui: mơ hình cài đ t có th thích h p cho nhi u bài tốn, khác v i ph ng pháp sinh tu n t ,
v i m i bài tốn l i ph i có m t thu t toán sinh k ti p riêng làm cho vi c cài đ t m i bài m t khác,
bên c nh đó, khơng ph i thu t toán sinh k ti p nào c ng d cài đ t.
III. LI T KÊ CÁC CH NH H P KHÔNG L P CH P K
li t kê các ch nh h p không l p ch p k c a t p S = {1, 2, ..., n} ta có th đ a v li t kê các c u

hình (x1, x2, ..., xk) đây các xi ∈ S và khác nhau đôi m t.
Nh v y th t c Try(i) - xét t t c các kh n ng ch n xi - s th h t các giá tr t 1 đ n n, mà các giá
tr này ch a b các ph n t đ ng tr c ch n. Mu n xem các giá tr nào ch a đ c ch n ta s d ng
k thu t dùng m ng đánh d u:
• Kh i t o m t m ng c1, c2, ..., cn mang ki u logic. đây ci cho bi t giá tr i có cịn t do hay đã
b ch n r i. Ban đ u kh i t o t t c các ph n t m ng c là TRUE có ngh a là các ph n t t 1
đ n n đ u t do.
• T i b c ch n các giá tr có th c a xi ta ch xét nh ng giá tr j có cj = TRUE có ngh a là ch
ch n nh ng giá tr t do.
• Tr c khi g i đ quy tìm xi+1: ta đ t giá tr j v a gán cho xi là đã b ch n có ngh a là đ t cj :=
FALSE đ các th t c Try(i + 1), Try(i + 2)... g i sau này không ch n ph i giá tr j đó n a
• Sau khi g i đ quy tìm xi+1: có ngh a là s p t i ta s th gán m t giá tr khác cho xi thì ta s đ t
giá tr j v a th đó thành t do (cj := TRUE), b i khi xi đã nh n m t giá tr khác r i thì các ph n
t đ ng sau: xi+1, xi+2 ... hồn tồn có th nh n l i giá tr j đó. i u này hồn tồn h p lý trong
phép xây d ng ch nh h p khơng l p: x1 có n cách ch n, x2 có n - 1 cách ch n, ...L u ý r ng khi
th t c Try(i) có i = k thì ta khơng c n ph i đánh d u gì c vì ti p theo ch có in k t qu ch
không c n ph i ch n thêm ph n t nào n a.
Input: file v n b n ARRANGES.INP ch a hai s nguyên d ng n, k (1 ≤ k ≤ n ≤ 20) cách nhau ít
nh t m t d u cách
Output: file v n b n ARRANGES.OUT ghi các ch nh h p không l p ch p k c a t p {1, 2, ..., n}
ARRANGES.INP
3 2

ARRANGES.OUT
1 2
1 3
2 1
2 3
3 1
3 2

PROG03_3.PAS * Thu t toán quay lui li t kê các ch nh h p không l p ch p k
program Arranges;
const
max = 20;
var
x: array[1..max] of Integer;
c: array[1..max] of Boolean;
n, k: Integer;
procedure PrintResult;
Lê Minh Hoàng

{Th t c in c u hình tìm đ

c}


{ 16z

Bài toán li t kê
var
i: Integer;
begin
for i := 1 to k do Write(x[i],' ');
WriteLn;
end;

procedure Try(i: Integer); {Th các cách ch n xi}
var
j: Integer;

begin
for j := 1 to n do
if c[j] then
{Ch xét nh ng giá tr j còn t do}
begin
x[i] := j;
if i = k then PrintResult {N u đã ch n đ c đ n xk thì ch vi c in k t qu }
――
else
begin
c[j] := False; { ánh d u: j đã b ch n}
――――――――
Try(i + 1);
{Th t c này ch xét nh ng giá tr còn t do gán cho xi+1, t c là s không ch n ph i j}
――
c[j] := True;
{B đánh d u: j l i là t do, b i s p t i s th m t cách ch n khác c a xi}
―――――――― end;
end;
end;
begin
Assign(Input, 'ARRANGES.INP'); Reset(Input);
Assign(Output, 'ARRANGES.OUT'); Rewrite(Output);
ReadLn(n, k);
FillChar(c, SizeOf(c), True); {T t c các s đ u ch a b ch n}
Try(1);
{Th các cách ch n giá tr c a x1}
Close(Input); Close(Output);
end.

Nh n xét: khi k = n thì đây là ch

ng trình li t kê hốn v

IV. BÀI TỐN PHÂN TÍCH S
Bài tốn
Cho m t s ngun d ng n ≤ 30, hãy tìm t t c các cách phân tích s n thành t ng c a các s
ngun d ng, các cách phân tích là hốn v c a nhau ch tính là 1 cách.
Cách làm:
1. Ta s l u nghi m trong m ng x, ngồi ra có m t m ng t. M ng t xây d ng nh sau: ti s là t ng
các ph n t trong m ng x t x1 đ n xi: ti := x1 + x2 + ... + xi.
2. Khi li t kê các dãy x có t ng các ph n t đúng b ng n, đ tránh s trùng l p ta đ a thêm ràng
bu c xi-1 ≤ xi.
3. Vì s ph n t th c s c a m ng x là không c đ nh nên th t c PrintResult dùng đ in ra 1 cách
phân tích ph i có thêm tham s cho bi t s in ra bao nhiêu ph n t .
4. Th t c đ quy Try(i) s th các giá tr có th nh n c a xi (xi ≥ xi - 1)
5. Khi nào thì in k t qu và khi nào thì g i đ quy tìm ti p ?
L u ý r ng ti - 1 là t ng c a t t c các ph n t t x1 đ n xi-1 do đó
• Khi ti = n t c là (xi = n - ti - 1) thì in k t qu
• Khi tìm ti p, xi+1 s ph i l n h n ho c b ng xi. M t khác ti+1 là t ng c a các s t x1 t i xi+1
không đ c v t quá n. V y ta có ti+1 ≤ n ⇔ ti-1 + xi + xi+1 ≤ n ⇔ xi + xi + 1 ≤ n - ti - 1 t c là xi

Lê Minh Hoàng


{ 17z

Bài toán li t kê

≤ (n - ti - 1)/2. Ví d đ n gi n khi n = 10 thì ch n x1 = 6, 7, 8, 9 là vi c làm vơ ngh a vì nh

v y c ng không ra nghi m mà c ng không ch n ti p x2 đ c n a.
M t cách d hi u ta g i đ quy tìm ti p khi giá tr xi đ c ch n còn cho phép ch n thêm m t
ph n t khác l n h n ho c b ng nó mà khơng làm t ng v t q n. Cịn ta in k t qu ch khi
xi mang giá tr đúng b ng s thi u h t c a t ng i-1 ph n t đ u so v i n.
6. V y th t c Try(i) th các giá tr cho xi có th mơ t nh sau: (đ t ng quát cho i = 1, ta đ t x0 =
1 và t0 = 0).
• Xét các giá tr c a xi t xi - 1 đ n (n - ti-1) div 2, c p nh t ti := ti - 1 + xi và g i đ quy tìm ti p.
• Cu i cùng xét giá tr xi = n - ti-1 và in k t qu t x1 đ n xi.
Input: file v n b n ANALYSE.INP ch a s nguyên d ng n ≤ 30
Output: file v n b n ANALYSE.OUT ghi các cách phân tích s n.
ANALYSE.INP
6

ANALYSE.OUT
6 = 1+1+1+1+1+1
6 = 1+1+1+1+2
6 = 1+1+1+3
6 = 1+1+2+2
6 = 1+1+4
6 = 1+2+3
6 = 1+5
6 = 2+2+2
6 = 2+4
6 = 3+3
6 = 6

PROG03_4.PAS * Thu t toán quay lui li t kê các cách phân tích s
program Analyses;
const
max = 30;

var
n: Integer;
x: array[0..max] of Integer;
t: array[0..max] of Integer;
procedure Init;
begin
ReadLn(n);
x[0] := 1;
t[0] := 0;
end;

{Kh i t o}

procedure PrintResult(k: Integer);
var
i: Integer;
begin
Write(n,' = ');
for i := 1 to k - 1 do Write(x[i], '+');
WriteLn(x[k]);
end;
procedure Try(i: Integer);
var
j: Integer;
begin
for j := x[i - 1] to (n - T[i - 1]) div 2 do
begin
x[i] := j;

Lê Minh Hồng

{Tr

ng h p cịn ch n ti p xi+1}


{ 18z

Bài toán li t kê
t[i] := t[i - 1] + j;
Try(i + 1);
end;
x[i] := n - T[i - 1];
{N u xi là ph n t cu i thì nó b t bu c ph i là ... và in k t qu }
PrintResult(i);
end;
begin
Assign(Input, 'ANALYSE.INP'); Reset(Input);
Assign(Output, 'ANALYSE.OUT'); Rewrite(Output);
Init;
Try(1);
Close(Input);
Close(Output);
end.

Bây gi ta xét ti p m t ví d kinh đi n c a thu t tốn quay lui:
V. BÀI TỐN X P H U
Bài tốn
Xét bàn c t ng qt kích th c nxn. M t quân h u trên bàn c có th n đ c các quân khác n m
t i các ô cùng hàng, cùng c t ho c cùng đ ng chéo. Hãy tìm các x p n quân h u trên bàn c sao

cho không quân nào n quân nào.
Ví d m t cách x p v i n = 8:

Hình 3: X p 8 quân h u trên bàn c 8x8

Phân tích
Rõ ràng n quân h u s đ c đ t m i con m t hàng vì h u n đ c ngang, ta g i quân h u s đ t
hàng 1 là quân h u 1, quân h u hàng 2 là quân h u 2... quân h u hàng n là quân h u n.
V y m t nghi m c a bài toán s đ c bi t khi ta tìm ra đ c v trí c t c a nh ng quân h u.
• N u ta đ nh h ng ông (Ph i), Tây (Trái), Nam (D i), B c (Trên) thì ta nh n th y r ng:
♦ M t đ ng chéo theo h ng ông B c - Tây Nam ( B-TN) b t k s đi qua m t s ơ, các ơ
đó có tính ch t: Hàng + C t = C (Const). V i m i đ ng chéo B-TN ta có 1 h ng s C và
v i m t h ng s C: 2 ≤ C ≤ 2n xác đ nh duy nh t 1 đ ng chéo B-TN vì v y ta có th đánh
ch s cho các đ ng chéo B- TN t 2 đ n 2n
♦ M t đ ng chéo theo h ng ông Nam - Tây B c ( N-TB) b t k s đi qua m t s ơ, các ơ
đó có tính ch t: Hàng - C t = C (Const). V i m i đ ng chéo N-TB ta có 1 h ng s C và
v i m t h ng s C: 1 - n ≤ C ≤ n - 1 xác đ nh duy nh t 1 đ ng chéo N-TB vì v y ta có th
đánh ch s cho các đ ng chéo N- TB t 1 - n đ n n - 1.
•

Lê Minh Hồng