CHUYEN DE 12

Chuyên đề: Bất đẳng thức và các ứng dụng
CHUYÊN ĐỀ 12: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC ỨNG DỤNG
Câu 1. Cho
, , 0a b c ≥
, chứng minh rằng:
a)
2
( ) 3( )a b c ab bc ca+ + ≥ + +
b)
3 3 3
3( ) ( )( )a b c a b c ab bc ca+ + ≥ + + + +
Câu 2. a) Cho
, , 0a b c >
và
a b c+ =
, chứng minh rằng:
4 4 4
5 5 5
a b c+ >
.
b) Độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn hệ thức
3 3 3
a b c+ =
. Hỏi tam giác đó là tam
giác nhọn hay tù?
c) Cho
,m n
là các số thực không nhỏ hơn 2, chứng minh rằng:
sin cos 1
m n
x x x R+ ≤ ∀ ∈

.
Câu 3. a) Tìm tập giá trò của hàm số
| sin | | cos |,y x x x R= + ∈
b) Tìm giá trò nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số
4 4
1 1y x x= − + +
c) Chứng minh rằng:
|sin | |cos |
4 2 3,
x x
x R+ ≥ ∈
Câu 4. a) Cho
, , 0a b c >
, chứng minh rằng
1 2
a b c
b c c a a b
< + + <
+ + +
b) Cho
, , , 0a b c d >
, chứng minh rằng:
1 2
a b c d
a b c b c d c d a d a b
< + + + <
+ + + + + + + +
1
c) Cho
, , 0a b c >

, chứng minh rằng:
2 2
2 2
1
3
a ab b
a ab b
− +
≥
+ +
d) Cho
, , 0a b c >
, chứng minh rằng:
3 3 3
2 2 2 2 2 2
3
a b c a b c
a ab b b bc c c ca a
+ +
+ + ≥
+ + + + + +
e) Chứng minh rằng với mọi số thực
,a b
ta luôn có:
| | | | | |
1 | | 1 | | 1 | |
a b a b
a b a b
+
≤ +

+ + + +
Câu 5. a) Cho
, , 0a b c ≥
, chứng minh rằng
3
3
a b c
abc
+ +
≥
b) Cho
, , 0a b c >
, chứng minh rằng:
1 1 1 9
a b c a b c
+ + ≥
+ +
c) Cho
, ,x y z
là 3 số thỏa
0x y z+ + =
, chứng minh rằng:
3 4 3 4 3 4 6
x y z
+ + + + + ≥
d) Cho
1 1 1
, , 0 và 4x y z
x y z
> + + =

. Tìm GTLN của
1 1 1
2 2 2
P
x y z x y z x y z
= + +
+ + + + + +
e) Cho
, , 0 và 1a b c a b c> + + ≤
, tìm GTNN của các biểu thức sau:
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
P
ab bc ca
a b c
S
ab bc ca
a b b c c a
Q
ab bc ca
a bc b ca c ab
= + + +
+ +
= + + + + +
+ + +
= + + + + +

+ + +
Bài tập luyện thi Đại học 1
Chuyên đề: Bất đẳng thức và các ứng dụng
f) Cho
1 2
, ,..., 0
n
a a a >
, chứng minh rằng:
2
1 2 1 2
1 1 1
n n
n
a a a a a a
+ + + ≥
+ + +
L
L
g) Cho
, ,a b c
là độ dài ba cạnh của tam giác, chứng minh rằng:
3
2
2
a b c
b c c a a b
≤ + + <
+ + +
Câu 6. a) Cho

, , 0a b c >
, chứng minh rằng:
2 2 2
3
a b c a b c
b c c a a b
+ +
+ + ≥
+ + +
b) Cho
, , 0a b c >
, chứng minh rằng:
2
ab bc ca a b c
a b b c c a
+ +
+ + ≤
+ + +
c) Cho
, , , 0a b c d >
, chứng minh rằng:
2
a b c d
b c c d d a a b
+ + + ≥
+ + + +
Câu 7. a) Cho
, , 0a b c >
và
3a b c+ + ≤

, chứng minh rằng:
2 2 2
3 1 1 1
2 1 1 1
1 1 1
a b c
a b c
a b c
+ + ≤ ≤ + +
+ + +
+ + +
b) Cho
, , 0a b c >
, chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2 3 3 3
2 2 2
a b b c c a a b c
a b c
c a b bc ca ab
+ + +
+ + ≤ + + ≤ + +
c) Cho
, , 0a b c >
, chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1
2
a b c
abc
a bc b ca c ab

+ +
+ + ≤
+ + +
d) Cho
, , 0a b c >
, chứng minh rằng:
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
abc
a b abc b c abc c a abc
+ + ≤
+ + + + + +
Câu 8. a) Cho
, 1a b ≥
, chứng minh rằng:
2 2
1 1 2
1
1 1
ab
a b
+ ≥
+
+ +
b) Cho
1 1 1 1
, , ,
2 3 4 5
x y z t≥ ≥ ≥ ≥
, chứng minh rằng:

2 2 2 2
1 1 1 1 1
1 120
1 4 1 9 1 16 1 25
xyzt
x y z t
+ + + ≥
+
+ + + +
c) Cho
, , 1a b c ≥
, chứng minh rằng:
3 3 3
1 1 1 3
1
1 1 1
abc
a b c
+ + ≥
+
+ + +
Câu 9. a) Cho
0, 0, 1a b a b> > + =
, chứng minh rằng:
2 2
1 1 25
2
a b
a b
   

+ + + ≥
 ÷  ÷
   
b) Giải phương trình hai ẩn số:
2 2
2 2
2 2
1 1 1
sin cos 12 sin
2
sin cos
x x y
x x
   
+ + + = +
 ÷  ÷
   
Câu 10. a) Nếu
1 0 log ( )
a
và thì log
a c
a b c b b c
+
< < > > +
b)
6 7 8
log 7 log 8 log 9 3,3+ + <
c) Nếu
1

, , , 1
4
a b c a< <
thì
1 1 1 1
log log log log 8
4 4 4 4
a b c d
b c d a
       
− + − + − + − ≥
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
d) Nếu
2 2 2
, , 2 log log log 3 thì
b c c a c a
a b c a b c
+ + +
≥ + + ≥
Câu 11. a) Chứng minh rằng nếu
1 2 3 1 2 3
, , , , , 0a a a b b b ≥
thì:
3 3 3
1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3
( )( )( )a b a b a b a a a b b b+ + + ≥ +
Bài tập luyện thi Đại học 2
Chuyên đề: Bất đẳng thức và các ứng dụng
Suy ra

( )
3
3
1 1 1 1 2 3
(1 )(1 )(1 ) 1a b c a a a+ + + ≥ +
b) Cho
, , , 0a b c d >
, và
1 1 1 1
3
1 1 1 1a b c d
+ + + ≥
+ + + +
, chứng minh rằng
1
81
abcd ≤
c) Cho
0 , , 1a b c≤ ≤
, chứng minh rằng:
(1 )(1 )(1 ) 1
1 1 1
a b c
a b c
b c c a a b
+ + + − − − ≤
+ + + + + +
Câu 12. a) Cho
0; ,a b m n N
+

+ ≥ ∈
, chứng minh rằng:
2 2 2
m m n n m n m n
a b a b a b
+ +
  
+ + +
≤
 ÷ ÷
  
b) Cho
, 0;a b n N
+
≥ ∈
, chứng minh rằng:
2 2
n
n n
a b a b+ +
 
≤
 ÷
 
c) Cho
0a b+ ≥
, chứng minh rằng:
2 2 4 4 8 8 12 12
( )( )( )( ) 8( )a b a b a b a b a b+ + + + ≤ +
Câu 13. a) Cho

1 3 1 2
, , ,a a b b
là các số thực bất kỳ, chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( )a b a b a a b b+ + + ≥ + + +
b) Cho
1 2 3 1 2 3
, , , , ,a a a b b b
là các số thực bất kỳ, chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 3 2 2
1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3
( ) ( )a b a b a b a a a b b b
+ + + + + ≥ + + + + +
c) Chứng minh rằng với mọi
,x y R∈
ta luôn có:
2 2 2 2 2 2
4cos cos sin ( ) 4sin sin sin ( ) 2x y x y x y x y+ − + + − ≥
d) Chứng minh rằng với mọi
, ,x y z R∈
ta luôn có:
2 2 2 2 2 2
x xy y y yz z x xz z+ + + + + ≥ + +
e) Chứng minh rằng
2 2
1 1 2,a a a a a R+ + + − + ≥ ∀ ∈
f) Cho
, , 0x y z >
, chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2
3( )x xy y y yz z z zx x x y z+ + + + + + + + ≥ + +
g) Cho
, , 0 1 và a b c ab bc ca> + + =
, chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
3
b a c b a c
ab bc ca
+ + +
+ + ≥
h) Giả sử hệ
2 2
2 2
3
16
x xy y
y yz z

+ + =


+ + =


có nghiệm. Chứng minh rằng:
8xy yz zx+ + ≤
.
i) Cho

, ,x y z
là ba số dương và
1x y z+ + ≤
, chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
1 1 1
82x y z
x y z
+ + + + + ≥
Câu 14. a) Cho
, ,x y z
là các số thực khác 0. Chứng minh rằng
2 2 2
2 2 2
x y z x y z
y z x
y z x
+ + ≥ + +
b) Cho
, , 0a b c >
, chứng minh rằng:
a b c a b c
a b b c c a b c c a a b
+ + < + +
+ + + + + +
Câu 15. Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số
(
)
2

2004 2006y x x= + −
Bài tập luyện thi Đại học 3