CHUYEN DE 14

Chuyên đề: Các bài toán về Elíp
CHUYÊN ĐỀ 14: CÁC BÀI TOÁN VỀ ELIP
Câu 1. Cho
(3cos ;0); (0;2sin )A t B t
, tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn
5 0AM MB+ =
uuuur uuur r
Câu 2. Cho
2
2
( ) : 1
9
x
E y+ =
a) Tìm các điểm
( )M E∈
sao cho M nhìn 2 tiêu điểm của (E) dưới một góc
0
120
b) Lập phương trình tiếp tuyến với (E) biết tiếp tuyến đi qua điểm
( 4;3)A −
Câu 3. Cho
2 2
( ) : 5 5E x y+ =
a) Viết phương trình tiếp tuyến với (E) tạo với
( ) : 2 6 0d x y− − =
một góc
0
45
.
b) Giả sử

0 0 0
( ; )M x y
nằm ngoài (E), từ
0
M
kẻ tới (E) 2 tiếp tuyến phân biệt
0 1
M M
và
0 2
M M
(
1 2
,M M
là 2 tiếp điểm). Viết phương trình đường thẳng qua
1 2
M M
.
Câu 4. a) Cho
2 2
( ) : 4 9 36E x y+ =
và
(1;1)M
, lập phương trình đường thẳng qua M và cắt
(E) tại
1 2
,M M
sao cho
1 2
MM MM=

b) Cho
2 2
( ) : 3 6 18E x y+ =
, viết phương trình các đường thẳng chứa cạnh hình vuông
ngoại tiếp (E) đó.
Câu 5. Cho
2 2
( ) : 4 4E x y+ =
và
( 2; ); (2; )M m N n−
a) Gọi
1 2
;A A
là hai đỉnh trên trục lớn của (E). Viết phương trình 2 hai đường thẳng
1 2
;A N A M
. Tìm tọa độ của giao điểm I của 2 đường thẳng trên.
b) Cho
MN
thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với (E). Tìm quỹ tích điểm I.
Câu 6. Cho
2 2
( ) : 1
16 9
x y
E + =
, từ M nằm ngoài (E) vẽ hai tiếp tuyến
1
MT
và

2
MT
đến
1 2
( ).( ; ( ))E T T E∈
a) Tìm qũy tích các điểm M sao cho
1 2
MT MT⊥
.
b) Khi M di động trên đường thẳng
( ) : 4 3 24 0d x y+ − =
. Chứng minh rằng
1 2
T T
luôn đi
qua một điểm cố đònh.
Câu 7. Cho
2
( ) : 2P y x x= −
và
2
2
( ) : 1
9
x
E y+ =
a) Chứng minh rằng (P) cắt (E) tại bốn điểm phân biệt A, B, C, D.
b) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn. Xác đònh tâm
và bán kính.
Câu 8. Cho

2 2
( ) : 9 16 144E x y+ =
a) Gọi M, N là hai điểm di động trên 2 tia
,Ox Oy
sao cho MN tiếp xúc với (E). Tìm tọa
độ M, N sao cho độ dài MN ngắn nhất.
b) Đường thẳng
( )∆
tiếp xúc với (E) căt hai trục tọa độ tại A và B, tìm M sao cho diện
tích tam giác OAB nhỏ nhất.
Câu 9. Cho
2 2
( ) : 1
8 4
x y
E + =
và
( ); 2 2 0d x y− + =
.
( )d
cắt (E) tại B, C. Tìm
( )A E∈
sao
cho diện tích tam giác ABC lớn nhất.
Câu 10. Cho
2
2
( ) : 1
4
x

E y+ =
và hai điểm
( 2; ); (2; )M m N n−
Bài tập luyện thi Đại học 1
Chuyên đề: Các bài toán về Elíp
a) Gọi
1 2
( 2;0); (2;0)A A−
, hãy viết phương trình các đường thằng
1
A N
và
2
A M
. Xác
đònh giao điểm của chúng.
b) Tìm điều kiện đối với
,m n
để đường thẳng M tiếp xúc với (E).
Câu 11. Cho
2 2
( );5 16 80E x y+ =
và
( 5; 1); ( 1;1)A B− − −
, gọi M là điểm bất kỳ trên (E).
a) Tiếp tuyến của (E) tại M cắt trục hoành và trục tung tại P và Q. Tìm M sao cho diện
tích tam giác OPD nhỏ nhất.
b) Tìm M sao cho diện tích tam giác MAB lớn nhất.
Câu 12. Trong mặt phẳng tọa độ cho 2 elíp
2 2 2 2

1 2
( ) : 4 16 64,( ) : 5 15 50E x y E x y+ = + =
a) Viết phương trình các tiếp tuyến chung của 2 elíp trên.
b) Viết phương trình đường tròn đi qua giao điểm của hai elíp trên.
Câu 13. Cho Elíp
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
, tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng từ đó kẻ được hai tiếp
tuyến vuông góc với nhau tới (E).
Câu 14. Cho Elíp
2 2
( ) : 9 25 225E x y+ =
và
( 5;0)A −
.
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm
(1;1)M
v2 cắt elíp tại hai điểm
1 2
,M M
sao cho M là trung điểm của
1 2
M M
.
b) Giả sử M là điểm di động trên Elíp. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên trục
Oy. Giả sử AH cắt OM tại P. Chứng minh rằng khi M thay đổi trên Elíp thì P luôn

chạy trên một đường cong (C) cố đònh. Vẽ đồ thò đường cong (C).
Câu 15. Cho Elíp
2
2
( ) : 1
4
x
E y+ =
và điểm
3 2 3 2
;
8 8
A
 
−
 ÷
 
a) Tìm điểm M trên Elíp sao cho tiếp tuyến của (E) tại M đi qua A.
b) Điểm N di động trên (E). Tìm giá trò nhỏ nhất của độ dài đoạn AN.
Câu 16. Cho Elíp (E):
2 2
9 4 36 0x y+ − =
và hai điểm
24 15
1; ; ;1
5 4
A B
   
−
 ÷  ÷

   
a) Xét vò trí tương đối của đường thẳng AB và Elíp.
b) Các điểm M và N lần lượt di động trên elíp (E) và đường thẳng AB. Tìm giá trò nhỏ
nhất của độ dài đoạn MN.
Câu 17. Cho hai điểm
( 3;0), (3;0)A B−
. Hai điểm C, D di động sao choABCD là hình thang
với CD = 2 và AD + BC = AB. Tìm phương trình quỹ tích của:
a) Trung điểm M của đoạn CD;
b) Đỉnh C;
c) Giao điểm I của 2 đường chéo AC và BD;
d) Giao điểm J của hai đường thẳng AD và BC;
Câu 18. Cho Elíp
2 2
2 2
( ) : 1(0 )
x y
E b a
a b
+ = < <
. Gọi A, B là hai điểm tù ý thuộc (E) sao cho
OA OB⊥
. Chứng minh rằng
2 2
1/ 1/OA OB+
không đổi.
Bài tập luyện thi Đại học 2
Chuyên đề: Các bài toán về Elíp
Câu 19. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm
(2;0)C

và Elíp
2 2
2 2
( ) : 1
x y
E
a b
+ =
. Tìm
tọa độ các điểm
,A B
thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hoành
và tam giác ABC là tam giác đều.
Bài tập luyện thi Đại học 3