(GV đặng thành nam) 64 câu hình học không gian

Câu 1 (Gv Đặng Thành Nam 2018) Cho hình trụ có thiết diện qua trục là một hình chữ nhật
có diện tích bằng 8. Diện tích xung quanh của hình trụ bằng
A.

16π .

B.

4π .

C.

8π .

D.

12π .

Đáp án C
2r × h = 8 ⇒ S xq = 2π rh = 8π .

Có
Câu 2: (Gv Đặng Thành Nam 2018) Thể tích của khối hộp đứng có diện tích đáy bằng S, độ
dài cạnh bên bằng h là

A.

Sh.

B.

Sh
.
3

C.

Sh
.
6

D.

Sh
.
2

Đáp án A
Câu 3: (Gv Đặng Thành Nam 2018)Cho hình lập

ABCD. A′B ′C ′D ′

thẳng BD và

A.

phương

cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai

A′D ′

đường

bằng

a 2
.
2

B. a.
C.

a 2.
a 3.

D.
Đáp án B
Câu 4(Gv Đặng Thành Nam 2018)Cho hình chóp tứ giác đều
bằng a. Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) bằng

S . ABCD

có tất cả các cạnh


A.

45°.

B.

60°.

C.

30°.

D.

90°.

Đáp án A
SO ⊥ ( ABCD)

Gọi O là tâm mặt đáy có
OD =

Có

và

·
SDO
= ( SD, ( ABCD ) ) .

a 2
a 2
SO
·
·

, SO = SD 2 − OD 2 =
⇒ tan SDO
=
= 1 ⇒ SDO
= 450.
2
2
OD

Câu 5(Gv Đặng Thành Nam 2018)Cho hình lăng trụ tam giác đều

ABC. A′B ′C ′

có tất cả các

cạnh bằng a. Côsin góc giữa hai đường thẳng AB′ và BC′ bằng

A.

1
.
4

2
.
4

B.

C.

1
.
2

D.

3
.
4

Đáp án A
uuur uuuu
r uuur uuuu
r uuur
AB′2 + AC ′2 − B′C ′2 AB′2 + AB 2 − BB′2 a 2
AB′.BC ′ = AB′ AC ′ − AB =
−
= .
2
2
2

(

Có

)

uuur uuuu

r
AB′.BC ′

a2
uuur uuuu
r
1
2
cos ( AB′, BC ′ ) = cos AB′, BC ′ =
=
= .
AB′.BC ′
2a. 2a 4

(

)

Do đó
Câu 6(Gv Đặng Thành Nam 2018)Cho tứ diện ABCD đều cạnh 3a. Tính diện tích xung
quanh của hình nón có đỉnh là A, đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.


A.

3 3π a 2 .

B.

3 2π a 2

.
2

C.

3 3π a 2
.
2

D.

9π a 2
.
4

Đáp án A
r = RBCD =

3a
= 3a.
3

Bán kính đáy của hình nón bằng bán kính ngoại tiếp đáy
2
h = cb 2 − RBCD
= 9a 2 − 3a 2 = 6a.

Chiều cao nón bằng chiều cao của tứ diện

S xq = π rl = π 3a 6a 2 + 3a 2 = 3 3π a 2 .

Vậy
Câu 7(Gv Đặng Thành Nam 2018): Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có
AB = 1, BC = 2, AA′ = 3.

Côsin góc giữa hai mặt phẳng (ACD′) và (BCD′A′) bằng

A.

2 10
.
7

B.

3
.
7

C.

3 35
.
35

Đáp án A
DC , DA, DD′

Ox, Oy, Oz

Chọn gốc tọa độ tại D, các tia

trùng với các tia

uuuuuu
r 1 1 1 
C ( 1; 0; 0 ) , A ( 0; 2; 0 ) , D′ ( 0; 0;3 ) ⇒ n( ACD′) =  ; ; ÷
1 2 3 
Có
.
uuuuuuur
uuu
r uuuu
r
B ( 1; 2;0 ) ⇒ n( BCD′A′) = CB, CD′ = ( 6;0; 2 ) .
Và

D.

910
.
35


1
1
1
uuuuuu
r uuuuuuur
.6 + .0 + .2
n( ACD′) .n( BCD′A′)

2 10
1
2
3
cos α = uuuuuu
=
r uuuuuuur =
2
2
2
7
n( ACD′) . n( BCD′A′)
1  1   1 
2
2
2
+
+
6
+
0
+
2
 ÷  ÷  ÷
1  2   3 
Do đó
Câu 8(Gv Đặng Thành Nam 2018)Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm các cạnh AB, BC. Điểm P trên cạnh CD sao cho

PC = 2 PD.

Mặt phẳng (MNP)

cắt cạnh AD tại Q. Thể tích của khối đa diện BMNPQD bằng

A.

11 2
.
216

B.

2
.
27

C.

5 2
.
108

D.

7 2
.
216

Đáp án D

MN //AC ⇒ ( MNP ) ∩ ( ACD ) = PQ //MN
Có

. Ta chia khối đa diện thành các khối tứ diện

VBMNPQD = VD. PQB + VB.MNQ + VB .PQN

V0 =

Thể tích khối tứ diện đều đã cho là

2
.
12

2

VD. PQB

Có

DP DQ DB
1
1
=
.
.
V0 =  ÷ V0 = V0
DC DA DB

9
3

VB.MNQ =

BM BN BQ
1
1 S
1 AQ
1
.
.
VB. ACQ = VB. ACQ = . ACQ V0 = .
V0 = V0 .
BA BC BQ
4
4 S ACD
4 AD
6

VB.PQN =

BP BQ BN
1
1 S
1 2
1
.
.
VB. PQC = VB.PQC = . PQC V0 = . V0 = V0

BP BQ BC
2
2 S ADC
2 9
9

Và

Và


Vậy

1 1 1
1 1 1 2 7 2
VBMNPQD =  + + ÷V0 =  + + ÷
=
.
9 6 9
 9 6 9  12 216

Câu 9Gv Đặng Thành Nam 2018)Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy bằng B và
chiều cao bằng h là

A.

1
V = Bh.
3

V=

B.

1
Bh.
2

V=

C.

1
Bh.
6

D.

V = Bh.

Đáp án D
Câu 10(Gv Đặng Thành Nam 2018)Cho hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông
và diện tích toàn phần bằng

A.

r = 4a.

64π a 2 .

B.

Bán kính đáy của hình trụ bằng

r = 2a.

r=

C.

8 6a
.
3

r=

D.

4 6a
.
3

Đáp án D

Ta có

 Stp = 2π rh + 2π r 2 = 64π a 2
4 6a
8 6a
⇒r=

,h =
.

3
3
2r = h

Câu 11: (Gv Đặng Thành Nam 2018)Cho tứ diện
góc với nhau và

OB = OC.

OABC

OA, OB, OC

có

đôi một vuông

BC , OM = a

Gọi M là trung điểm

(tham khảo hình vẽ bên).

Khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC bằng

A. a.

B.

2a.

C.

a 2
.
2

D.

a 3
.
2

Đáp án A
OM ⊥ OA, OM ⊥ BC ⇒ d (OA, BC ) = OM = a.

Câu 12: (Gv Đặng Thành Nam 2018)Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh
bằng nhau. Gọi M là trung điểm của SD (tham khảo hình vẽ bên). Côsin góc giữa hai đường
thẳng BM và AD bằng


A.

3 5
.
10

B.

3 5
.
20

C.

55
.
10

D.

155
.
20

Đáp án A
AD //BC ⇒ ( AD, BM ) = ( BC , BM ).

Ta có
Tam giác BCM có
2 ( BS 2 + BD 2 ) − SD 2
2 ( a 2 + 2a 2 ) − a 2
3a
5a
BC = a, CM =
, BM =
=

=
.
2
4
4
2

·
cos( BM , AD) = cos MBC
=

BM + BC − CM
2 BM .BC
2

2

2

5a 2
3a 2
+ a2 −
4 = 3 5.
= 4
10
5
2 a2
4

Vậy

Câu 13(Gv Đặng Thành Nam 2018)Cho hình lập phương

ABCD. A′B′C ′D′

(tham khảo hình

( ADD′A′)

vẽ bên). Tang góc giữa đường thẳng BD′BD′ và mặt phẳng

A.

3
.
3

Đáp án C

B.

6
.
3

C.

2
.
2

bằng

D.

2
.
6


AB ⊥ ( ADD′A′) ⇒ AD′

Ta có

( ADD′A′).

là hình chiếu của BD′ lên mặt phẳng
· ′A = AB = 1 .
tan ( BD′,( ADD′A′) ) = tan BD
AD′
2

Vì vậy
Câu 14(Gv Đặng Thành Nam 2018) Cho hình nón đỉnh S. Xét hình chóp S.ABC có
AB = BC = 10a, AC = 12a

đáy ABC là tam giác ngoại tiếp đường tròn đáy của hình nón và
, góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAB)) và (ABC) bằng
A.

9π a 3

B.

12π a 3

450.

Thể tích khối nón đã cho bằng

27π a 3

C.

D.

3π a 3

Đáp án A
r = rd =

S
( p − a )( p − b)( p − c )
=
= 3a.
p
p

Ta có bán kính nội tiếp đáy
Tâm O của đường tròn đáy là tâm nội tiếp tam giác ABC.
h = SO = r tan 450 = 3a ⇒ V =

Do đó chiều cao

π r 2h
= 9π a 3 .
3

Câu 15: (Gv Đặng Thành Nam 2018)Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy
bằng 1, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
của A,B,C qua S. Thể tích của khối đa diện
V =

A.
Đáp án A

2 3
.
3

B.

V = 2 3.

600.

A′, B ′, C ′

Gọi

ABCA′B ′C ′

lần lượt là các điểm đối xứng
bằng

V =

C.

4 3
.
3

V =

D.

3
.
2


Ta có
Câu

1 3 1
 2 3
V = 8VS . ABC = 8  .
.
. 3÷
÷= 3 .
3

4
3



16(Gv

Đặng

Thành

Nam

2018)Cho

khối

tứ

diện

ABCD

·
BC = 3, CD = 4, ·ABC = BCD
= ·ADC = 900.
Góc giữa hai đường thẳng AD và BC bằng

có
600.

Côsin góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACD) bằng

A.

2 43
.
43

B.

43
.
86

C.

4 43
.
43

D.

43
.
43

Đáp án A
AH ⊥ ( BCD )

Hạ

tại

H

ta

có

CD ⊥ AD
⇒ CD ⊥ ( AHD) ⇒ CD ⊥ HD.

CD ⊥ AH

 BC ⊥ AB
⇒ BC ⊥ ( AHB) ⇒ BC ⊥ HB

 BC ⊥ AH

và


·ADH = ( AD, HD) = ( AD, BC ) = 600 ⇒ AH = HD 3 = 3 3.
Vậy HBCD là hình chữ nhật và

Suy ra

1 1
VABCD = . .3.4.3 3 = 6 3.

3 2

HC = 5, AC 2 = 27 + 25 = 52.
Và
2
BC = 3, AC = 52, AB = 27 + 16 = 43 ⇒ S ABC
=

Tam giác ABC có

387
.
4

2
CD = 4, AC = 52, AD = 27 + 9 = 6 ⇒ S ACD
= 144.

Tam giác ACD có

cos α = 1 −
Vậy

9 × 52 × 36 × 3 2 43
=
.
387
43
4×
× 144

4

Câu 17Gv Đặng Thành Nam): Thể tích của khối chóp có diện tích đáy bằng 10 và chiều cao
bằng 3 là:
A. 30.

B. 10.

C. 3.

D. 5.

Đáp án B
V=

Ta có

Sh 10.3
=
= 10.
3
3

Câu 18(Gv Đặng Thành Nam) Cho hình nón có bán kính đáy bằng a, chiều cao bằng 2a. Độ
dài đường sinh của hình nón là
A.

l = 3a.

B.

l = 2 3a.

C.

l = 5a.

D.

l = 4a.

Đáp án C
Ta có:

l = r 2 + h 2 = a 2 + 4a 2 = 5a.

Câu 19(Gv Đặng Thành Nam): Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ (tham khảo hình vẽ
bên). Góc giữa hai đường thẳng AC và BD′ bằng


A. 900.

B. 300.

C. 600.

D. 450.

Đáp án A
AC ⊥ BD, AC ⊥ BB′ ⇒ AC ⊥ ( BDD ′B′) ⇒ AC ⊥ BD′.

Ta có:
Câu 20(Gv Đặng Thành Nam): Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ với
AB = 2 3, AA′ = 2

(tham khảo hình vẽ bên). Tang góc giữa đường thẳng AB′ và mặt phẳng
(BCC′B′) bằng

1
3.
A.

3
B.

3

.

7

.

C.

Đáp án C
BC ⇒ AM ⊥ ( BCC ′B′) ⇒ ( AB′, ( BCC ′B′) ) = ·AB′M

Gọi M là trung điểm

D.

7
.
3


và

3
.2 3
AM
3
tan ·AB′M =
= 2
=
.
B′M
4+3
7

Câu 21(Gv Đặng Thành Nam): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả cạnh bằng a
(tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng

A.

a 6
.
6

B.

a 3
.
3

C.

a 3
.
6

D.

a 6
.
3

Đáp án D
CD //AB ⇒ CD //( SAB ) ⇒ d (CD, SA) = d ( D, ( SAB )) = 2d (O, ( SAB )).

Có

Mặt khác S.OAB là tứ diện vuông đỉnh O nên


1
1
1
1

1
1
1
6
=
+
+
=
+
+
= 2.
2
2
2
2
2
2
d (O, (SAB )) SO OA OB
a
 a   a   a 

÷ 
÷ 
÷
 2  2  2
2

d (CD, SA) =

2a a 6

=
.
3
6

Vậy
Câu 22: (Gv Đặng Thành Nam) Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi E là điểm đối
xứng của A qua D. Mặt phẳng qua CE và vuông góc với mặt phẳng (ABD) cắt cạnh AB tại
điểm F. Tính thể tích V của khối tứ diện AECF.

A.

2a 3
V=
.
30

B.

2a 3
V=
.
60

C.

2a 3
V=
.
40

D.

2a 3
V=
.
15

Đáp án D
ABD ⇒ CG ⊥ ( ABD ).

Gọi G là trọng tâm tam giác
F = EG ∩ AB ⇒ (CEF )

Do đó

là mặt phẳng cần dựng.

Ta tính được

AF 2
AF AE
2
2a 3
2a 3
= ⇒V =
.
VABCD = .2.
=
.

AB 5
AB AD
5
12
15

Câu 23: (Gv Đặng Thành Nam) Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành,

·
AB = 3, AD = 4, BAD
= 1200.
Cạnh bên

SA = 2 3

vuông góc với đáy. Gọi M,N,P lần lượt là

trung điểm các cạnh SA, AD và BC (tham khảo hình vẽ bên). Tính góc giữa hai mặt phẳng
(SBC) và (MNP).

A.

60°

B.

45°

C.

90°

D.

30°


Đáp án B
 MN / / SD
⇒ ( MNP ) / /( SCD ) ⇒ (( SBC ), ( MNP )) = (( SBC ), ( SCD)).

 NP / /CD

Ta có

Tính được

Ta có

1 1
3
VS .BCD = . .3.4.
.2 3 = 6.
3 2
2

1
AC 2 = 32 + 4 2 − 2.3.4. = 13 ⇒ SC 2 = 12 + 13 = 25.
2
2

BC = 4, SC = 5, SB = 12 + 9 = 21 ⇒ S SBC
= 75.

Tam giác SBC có
2
CD = 3, SC = 5, SD = 12 + 16 = 28 ⇒ S SCD
= 54.

Tam giác

cos α = 1 −
Vì vậy

9 × 25 × 36
2
=
.
4 × 75 × 54
2

Câu 24(Gv Đặng Thành Nam): Cho hai điểm A,B cố định,

AB = 1.

. Tập hợp các điểm M

trong không gian sao cho diện tích tam giác MAB bằng 4 là một mặt trụ. Tính bán kính r của
mặt trụ đó.
A.

r = 4.

B.

r = 2.

C.

r = 1.

D.

r = 8.

Đáp án D
S MAB =

Ta có

AB.d ( M , AB )
2S
2.4
⇒ d ( M , AB ) = MAB =
= 8.
2
AB
1

Vậy M thuộc mặt trụ có trục AB và bán kính

r = 8.

Câu 25 (Gv Đặng Thành Nam) Thể tích của khối lập phương có độ dài cạnh bằng 6 là
A. 72. B. 216.C. 108.D. 36.
Đáp án B
Có

V = 63 = 216.

Câu 26: (Gv Đặng Thành Nam) Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều
cạnh bằng 1. Tìm chiều cao của hình nón.


h=

A.

2
2

h=

.

B.

3
4

h=

.

C.

1
2

h=

.

D.

3
2

.

Đáp án D
Thiết diện qua trục là một tam giác cân có độ dài cạnh 2r, l, l vậy theo giả thiết có

2r = l = 1 ⇒ h = l 2 − r 2 = 1 −

1
3
=
.
4
2

Câu 27(Gv Đặng Thành Nam) Cho hình hộp
và các góc đỉnh A bằng

60°

ABCD. A′B′C ′D′

có tất cả các mặt là hình thoi

(tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai đường thẳng BD và A′C

bằng

A.

90°

.

B.

30°

.

C.

45°

.

D.

60°

Đáp án A
AB = AD, CB = CD, C ′B = C ′D ⇒ ( ACC ′)

Ta có

là mặt phẳng trung trực của BD.
BD ⊥ ( ACC ′) ⇒ BD ⊥ AC ′.

Do đó
Câu 28(Gv Đặng Thành Nam): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng
a (tham khảo hình vẽ bên). Côsin góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng


3
3

A.

.

B.

1
2

.

C.

3
2

.

D.

3
6

.

Đáp án A
Gọi H là tâm mặt đáy và M là trung điểm cạnh

·
CD ⇒ ( SHM ) ⊥ CD ⇒ SMH
= (( SCD ), ( ABCD )).

Ta có

a
a 3
a
HM

3
·
SM =
, HM = ⇒ cos SMH
=
= 2 =
.
2
2
SM
3
a 3
2

Câu 29(Gv Đặng Thành Nam): Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh AC
(tham khảo hình vẽ bên). Tang góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng (BCD) bằng

A.

3
6

.

B.

2
3

.

C.

14
7

.

D.

14
2

.

Đáp án C
AH ⊥ ( BCD )

Gọi H là tâm mặt đáy, ta có

·
( BM ,( BCD )) = MBN
.
Do vậy

CH ⇒ MN ⊥ ( BCD ).

và gọi N là trung điểm

2

 a 
a −
÷
a 6
 3
=
.
2
6
2

AB = a ⇒ BM =

Ta có

a 3
AH
, MN =
=
2
2

MN
·
tan BMN
=
=
BN

MN
BM 2 − MN 2

=

a 6
14
6
=
.
7
3a 2 a 2
−
4
6

Do đó

(T)
Câu 30(Gv Đặng Thành Nam): Cho hình trụ

có MN , PQ vuông góc với nhau lần lượt

là hai đường kinh nằm trên hai đường tròn đáy của hình trụ. Thể tích khối tứ diện MNPQ

(T)
bằng 10. Tính thể tích của khối trụ
A.

60π

.

B.

30π

.

.
C.

45π

.

D.

15π

Đáp án D
MN = PQ = 2r , d ( MN , PQ) = h, ( MN , PQ) = 90 0.
Ta có

Do đó

1
1
2hr 2

VMNPQ = .MN .PQ.d ( MN , PQ).sin( MN , PQ ) = .2r.2r.h.1 =
= 10.
6
6
3

.


r 2 h = 15 ⇒ V(T ) = π r 2h = 15π .
Vì vậy
Câu 31: (Gv Đặng Thành Nam) Cho hình vuông ABCD. Dựng khối da diện ABCDEF ,
trong đó

EF = 2a

và song song với AD (tham khảo hình vẽ bên). Tất cả các cạnh còn lại của

khối đa diện ABCDEF bằng a. Tính thể tích V của khối đa diện ABCDEF.

V=

A.

2a 3
6

V=

.

B.

5 2a 3
6

V=

.

C.

2a 3
3

V=

.

D.

2a 3
12

.

Đáp án C
EF ⊥ ( ABH ), EF ⊥ (CDK ).

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, D lên EF ta có

2

a2 a 3
 EF − AD 
2
AH = BH = BK = CK = AF − 
=
a
−
=
.
÷
2
4
2


2

Ta có
2
a2
2 a
2a 3
V = VAHB.DKC + 2VF . AHB = S AHB . AD + S AHB .HF = S AHB .EF =
(a + . ) =
.
3
3 2

3
2 2
Vì vậy
Câu 32: (Gv Đặng Thành Nam) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C’ có
AB = 2, AA′ = 2 3

(tham khảo hình vẽ bên). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB’ và
A’C


2 17
17

A.

.

B.

2 39
13

.

C.

2 33
11

.

D.

3
2

.

Đáp án B
Gọi I, M lần lượt là trung điểm AB′, BC
⇒ A′C / / IM ⇒ A′C / /( AB′M ) ⇒ d ( AB′, A′C )) = d (C , ( AB′M )) = d ( B, ( AB′M )).

BH ⊥ B′M ( H ∈ B′M ) ⇒ BH ⊥ ( AB′M ).

Kẻ
d ( B, ( AB′M )) = BH =

Do đó

BB′.BM
BB′ + BM
2

2

=

2 3.1 2 39
=
.

13
12 + 1
a , b, c

Câu 33Gv Đặng Thành Nam)Thể tích của khối hộp chữ nhật có độ dài các cạnh bằng
là
V=

A.

1
abc
6

V=

.

B.

1
abc
2

.

C.

V = abc

.

D.

1
V = abc
3

.

Đáp án C
Câu 34: (Gv Đặng Thành Nam) Cho hình nón có bán kính đáy bằng a, độ dài đường sinh
bằng 2a. Góc ở đỉnh của hình nón bằng
A.

30°

.

B.

120°

.

C.

60°

.

D.

150°

.

Đáp án C

cos α =

l 2 + l 2 − (2r ) 2 (2a) 2 + (2a) 2 − (2a) 2 1
=
= ⇒ α = 600.
2
2
2l
2(2a)
2

Ta có
Câu 35: (Gv Đặng Thành Nam) Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M , N lần lượt là trung điểm
các cạnh AB và CD. Biết

AB = CD = AN = BN = CM = MD = a

Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng

(tham khảo hình vẽ bên).

A.

a 3
3

.

B.

a 3
2

.

C.

a 3
6

.

D.

a 2
2

.

Đáp án B

Δ ABN , Δ CDM

Giả thiết có

đều cạnh

 MN ⊥ AB
a 3
a⇒
⇒ d ( AB, CD) = MN =
.
2
 MN ⊥ CD

Câu 36: (Gv Đặng Thành Nam) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a,
SA = 3a

và vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SB (tham khảo hình vẽ bên).

Côsin góc giữa hai đường thẳng AM và SC bằng

A.

5
16

.

Đáp án C

B.

11
16

.

C.

5
8

.

D.

3
8

.


MN //SC ⇒ ( SC , AM ) = ( AM , MN ).

Gọi N là trung điểm BC, có
AM =

Ta có

SB

a 3
SC
= a, AN =
, MN =
= a.
2
2
2

cos ·AMN =

Do đó

AM + MN − AN
=
2 AM .MN
2

2

2

3a 2
4 = 5.
2
2a
8

2a 2 −

Câu 37(Gv Đặng Thành Nam): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng
a. Gọi G là trọng tâm tam giác SCD (tham khảo hình vẽ bên). Tang góc giữa đường thẳng AG
và mặt phẳng (ABCD) bằng

A.

17
17

.

B.

2 5
5

.

C.

5
5

.

D.

2 17
17

.

Đáp án A
SO =

Gọi O là tâm hình vuông ABCD và M là trung điểm CD có
vuông góc của G lên mặt phẳng (ABCD).
AM =

Có

a 5
a 3
, SM =
2
2

GH =

và

1
a 2
SO =
.
3
6

a 2
2

và H là hình chiếu


uuu
r
uuuu
r
uuu
r uuur
uuuu
r uuur
GS = −2GM ⇒ AS − AG = −2 AM − AG

(

Vì
Nên

)

uuur
uuuu
r uuu
r
uuuu
ruuu
r
3 AG = 2 AM + AS ⇒ 9 AG 2 = 4 AM 2 + AS 2 + 4 AM AS

9 AG 2 = 4 AM 2 + AS 2 + 2 ( AM 2 + AS 2 − SM 2 ) = 6 AM 2 + 3 AS 2 − 2SM 2

Và
2

2

a 5
a 3
2
2
2
2
= 6 
+
3
a
−
2
÷

÷
÷
÷ = 9a ⇒ AG = a .
2
2





GH =

a 2
, AH =
6

AG 2 − GH 2 = a 2 −

a 2 a 34
=
18
6

Vì vậy

.

a 2
GH
17
⇒ tan α =
= 6 =
.
AH a 34
17
6
Câu 38: (Gv Đặng Thành Nam) Cho hình trụ (T) có diện tích đáy bằng 48π và hai dây cung
AB,CD lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy của (T) sao cho ABCD là một hình vuông có độ
dài cạnh bằng 10 và các cạnh của hình vuông này không song song với đường sinh của (T)
(tham khảo hình vẽ bên). Tính thể tích của khối trụ (T).

A.

288π

.

B.

96 2π

.

C.

192 2π

.

D.

384π

.

Đáp án B
Giả sử hình vuông ABCD có độ dài cạnh a.

Kẻ các đường sinh AH,BK ta có

CD ⊥ AD
⇒ CD ⊥ ( AHD ) ⇒ CD ⊥ HD ⇒ HC = 2 R.

CD ⊥ AH

Theo pitago ta có
AD 2 = AH 2 + HD 2 = AH 2 + ( AC 2 − CD 2 ) ⇔ a 2 = h 2 + 4 R 2 − a 2 ⇒ h = 2a 2 − 4 R 2 .


h = 2a 2 − 4 R 2 = 2 ( 10 ) − 4 ( 48 ) = 2 2 ⇒ V = Sh = 48π .2 2 = 96 2π .
2

Vậy
Câu 39: (Gv Đặng Thành Nam) Cho hình hộp chữ nhật

ABCD. A′B′C ′D′

AB = 4, AD = 5, AA′ = 6

A′D′, C ′D′

. Gọi M , N , P lần luợt là trung điểm các cạnh

( AB′D′ )
(tham khảo hình vẽ bên). Côsin góc giữa hai mặt phẳng

A.

181
469

.

B.

120 13
469

.

C.

19
469

và

có
DD′

( MNP )
và

.

bằng

D.

60 61

469

.

Đáp án A
Chọn hệ trục toạ độ sao cho
A(0; 0;0), B (4;0;0), C (4;5;0), D (0;5; 0), A′(0; 0;6), D ′(0;5; 6), C ′(4;5;6).

Vậy

Và

 5 
M  0; ; 6 ÷, N (2;5; 6), P(0;5;3).
 2 

uu
r
uuuu
r uuuu
r
uu
r
uuuu
r uuur
 15

n1 =  AB ′, AD ′ = (−30; −24; 20), n2 =  MN , MP  =  − ; 6;5 ÷.
 2


uu
ruu
r
n1 n2
cos ( ( AB ′D ′), ( MNP ) ) = uu
r uu
r =
n1 n2

 15 
−30  − ÷ − 24 ( 6 ) + 20 ( 5 )
 2
2

 15 
302 + 242 + 20 2  ÷ + 62 + 52
 2

=

181
.
469

Vậy
Câu 40(Gv Đặng Thành Nam)Cho hai tam giác đều ABC và ABD có độ dài cạnh bằng 1 và
nằm trong hai mặt phẳng vuông góc. Gọi S là điểm đối xứng của B qua đường thẳng DC.
Tính thể tích của khối đa diện ABDSC.

A.

3
4

.

B.

3
8

.

C.

1
2

.

D.

1
4

.

Đáp án D
Gọi I,H lần lượt là trung điểm của CD,AB.

Ta có

1 3
VABDSC = VS . ABD + VS . ABC = .
( d ( S , ( ABD)) + d ( S , ( ABC )) ) .
3 4
d ( S , ( ABD )) = 2d ( I , ( ABD )) = d (C , ( ABD )) = CH =

Trong đó
d ( S , ( ABC )) = 2d ( I , ( ABC )) = d ( D, ( ABC )) = DH =

Và

Vậy

3
.
2

3
.
2

1 3 3
3
3
1
VABDSC = .
+

=
. 3= .

÷
÷
3 4  2
2  12
4

Câu 41Gv Đặng Thành Nam): Khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng 1 có thể
tích bằng

A.

3
.
12

B.

3
.
4

C.

4 3
.
3

D.

4 3
.
9

Đáp án B
V = S .h =

Có

3
3
.1 =
.
4
4

Câu 42(Gv Đặng Thành Nam): Một khối nón và một khối trụ có chiều cao và bán kính đáy
đều bằng 1. Tổng thể tích của khối nón và khối trụ đó bằng


A.

4π
.
3

B.

10π
.
3

C.

4π .

D.

2π
.
3

Đáp án A
Câu 43: (Gv Đặng Thành Nam) Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a. Góc
giữa hai đường thẳng AB′ và BC′ bằng (tham khảo hình vẽ bên).

A.

60°.

B.

90°.

C.

45°.

D.

30°.

Đáp án A

AD′//BC ′ ⇒ ( AB′, BC ′) = ( AB′, AD′) = 60 0
Có

vì tam giác ABD′ đều cạnh bằng

2a.

Câu 44(Gv Đặng Thành Nam): Tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc và
OA = 1, OB = 2, OC = 3.

. Tang của góc giữa đường thẳng OA và mặt phẳng (ABC) bằng


A.

6
.
7

B.

13
.
6

C.

6 13
.
13

D.

6 7
.
7

Đáp án C
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (ABC), có
1
1
1
1
1 1 1 49
6
=
+
+
= + + =
⇒ OH = .
2
2
2
2

OH
OA OB OC
1 4 9 36
7

(OA, ( ABC )) = (OA, HA) = ·AOH
Khi đó

và

·
sin OAH
=

OH 6
= ⇒ tan ·AOH =
OA 7

6
7
2

6
1−  ÷
7

=

6 13
.

13

Câu 45: (Gv Đặng Thành Nam)Cho hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Côsin của góc
tạo bởi hai mặt có chung một cạnh của tứ diện đều bằng

A.

2
.
3

B.

1
.
3

C.

2
.
4

D.

2
.
8

Đáp án B

Gọi O,M lần lượt là trọng tâm tam giác BCD, trung điểm cạnh CD. Khi đó
·AMO = ( ( ACD), ( BCD) ) .

Do đó

a 3
OM
1
cos ( ( ACD ), ( BCD) ) =
= 6 = .
AM a 3 3
2