(gv đặng thanh nam) 64 câu oxyz image marked image marked

(Gv Đặng Thành Nam 2018) Trong không gian Oxyz, một véctơ chỉ phương của

Câu 1

x = 1 + t

đường thẳng d :  y = 2 − 3t là
 z = −1 + t

A. u1 (1;2; −1).

B. u2 (1;2;1).

C. u3 (1;3;1).

D. u4 (1; −3;1).

Đáp án D
(Gv Đặng Thành Nam 2018 )Trong không gian Oxyz, mặt phẳng qua ba điểm

Câu 2:

M (−1;0;0), N (0; 2;0), P(0;0; −3) là

A.

x y z
x y z
+ +
= −1. B. + + = −1.
−1 2 −3

1 2 3

C.

x y z
+ +
= 1.
−1 2 − 3

D.

x y z
+ + = 1.
1 2 3

Đáp án C
(Gv Đặng Thành Nam 2018): Trong không gian Oxyz, diện tích của mặt cầu

Câu 3

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 = 1 là

A. 4 .

B.

4
.
3

C. 8 .

D.

8
.
3

Đáp án A
Câu 4

(Gv Đặng Thành Nam 2018)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình

mặt phẳng qua A(2;1;3) và vuông góc với đường thẳng Δ :

x y z
= = là
1 2 3

A. x + 2 y + 3z − 14 = 0.

B. 2 x + y + 3z − 13 = 0.

C. x + 2 y + 3z − 13 = 0.

D. 2 x + y + 3z − 14 = 0.

Đáp án C
Câu 5

(Gv Đặng Thành Nam 2018)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm

A(1; −2;3) và hai mặt phẳng ( P) : x + y + z + 1 = 0;(Q) : x − y + z − 2 = 0. Phương trình nào

dưới đây là phương trình đường thẳng qua A, song song với

 x = 1 + 2t

A.  y = −2 .
 z = 3 + 2t

Đáp án D

 x = −1 + t

.
B.  y = 2
 y = −3 − t


(P) và (Q).

x = 1

C.  y = −2 .
 z = 3 − 2t


x = 1 + t


D.  y = −2 .
z = 3 − t



x = 1+ t

Có u =  nP , nQ  = (2;0; −2)   :  y = −2 .
z = 3 − t

(Gv Đặng Thành Nam 2018)Trong không gian Oxyz, cho hai điểm

Câu 6

A(1; −2;3), B(−3;0;1) và đường thẳng d :

x − 2 y +1 z +1
=
=
. Điểm M (a; b; c) thuộc d sao
1
2
−2

cho MA2 + MB 2 nhỏ nhất. Giá trị biểu thức a + b + c bằng
A. −1.

B. 2.

C. 1.

D. −2.

Đáp án A
Có M (2 + t ; −1 + 2t; −1 − 2t )  d
MA2 + MB 2 = (t + 1) 2 + (2t + 1) 2 + (2t + 4) 2  + (t + 5) 2 + (2t − 1) 2 + (2t + 2) 2 

= 18t 2 + 36t + 48 = 18(t + 1)2 + 30  30.

Dấu bằng đạt tại t = −1 khi đó a + b + c = t = −1.
(Gv Đặng Thành Nam 2018)Trong không gian Oxyz, cho ba điểm

Câu 7

A(1;0;0), B(0; 2;0), C (0;0;3). Mặt phẳng

(ABC),

(P) chứa BC và cùng tạo với hai mặt phẳng

(OBC) một góc   45 có một véctơ pháp tuyến n (a; b; c) với a,b,c là các số

nguyên và c là một số nguyên tố. Giá trị biểu thức ab + bc + ca bằng
A. 1.

B. 18.

C. 4.

D. 71.

Đáp án D
Tứ diện OABC là tứ diện vuông do đó góc nhị diện

(( ABC ) , (OBC ))  90 .

Mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng phân giác của góc nhị diện này có điểm O, A nằm khác phía
với

(P).

x y z
Có ( ABC ) : + + = 1; ( OBC ) : x = 0.
1 2 3

Vậy mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi hai mặt phẳng này có phương trình:
x y z
+ + −1
1 2 3
2

2

1  1   1 
  +  + 
1  2   3 

2

=

13x + 3 y + 2 z − 6 = 0

1
 x − 3 y − 2z + 6 = 0

x

2

Đối chiếu điều kiện O, A nằm khác phía nhận ( P ) :13x + 3 y + 2z − 6 = 0
Vậy a = 13, b = 3, c = 2 và ab + bc + ca = 71 .


(Gv Đặng Thành Nam 2018)Trong không gian Oxyz, cho ba điểm

Câu 8

A(0;0; 4), B(3; 2;6), C (3; −2;6). Gọi M là điểm di động trên mặt cầu (S ) : x 2 + y 2 + z 2 = 4. Giá

trị lớn nhất của biểu thức MA + MB + MC bằng
A. 24. B. 30. C. 22. D. 26.
Đáp án C
Với điểm M ( x; y; z )  ( S ) thì x 2 + y 2 + z 2 − 4 = 0 và điểm I ( 0;0;6) là trung điểm BC và
MA + MB + MC = MA + 2 MI = MA + 2MI .

(

)

3
3
Ta có OI = OA  MI − MO = MA − MO  MO = 3MA − 2MI .
2
2

Do đó MO 2 = 3MA2 − 2MI 2 + 6 IA2  4 = 3MA2 − 2MI 2 + 24  3MA2 − 2MI 2 + 20 = 0
Đặt MA = a, MI = b có
4
 a − b = MA − MI  IA = 2
2
2
2
 3 a  b  2a

 2
2
b
−
3
a

5
a
−
b

(
)
2



3a − 2b + 20 = 0
P
=
a
+
2
b

 P = a + 2b
 P  3 b + 2b = 11 b  22




4
4

Trong đó b = MI  MO + OI = 2 + 6 = 8 . Dấu bằng đạt tại M ( 0;0; −2 ) .
Câu 9

(Gv Đặng Thành Nam 2018)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho

điểm A(−1; −1;1). Hình chiếu vuông góc của A lên trục Ox là ?
A. M (0; −1;1).

B. N (−1; −1; 0).

D. Q(−1;0;0).

C. P(0; −1;0).

Đáp án D
Câu 10

(Gv Đặng Thành Nam 2018)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt

phẳng ( P) : 2 x − 2 y + z + 5 = 0. . Mặt phẳng ( P ) có một véctơ pháp tuyến là
A. n1 = (2; −2;1).

B. n2 = (1;1;0).

C. n3 = (2; −2;5).

D. n4 = (−2;1;2).

Đáp án A
Câu 11

(Gv Đặng Thành Nam 2018)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt

phẳng ( P) : 2 x − y + 2 z − 3 = 0,(Q) : x + y + z − 3 = 0.

Giao

tuyến

của

hai

mặt

phẳng ( P ), (Q ) là một đường thẳng đi qua điểm nào dưới đây ?
A. M (2; −1;0).

B. N (0; −3;0).

C. P (1;1;1).

D. Q(−1;2; −3).

Đáp án C
Dễ thấy điểm P(1;1;1) thuộc cả hai mặt phẳng nên nó thuộc đường thẳng giao tuyến của hai
mặt phẳng này.


Câu 12 (Gv Đặng Thành Nam 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
A(−1; 2;0), B(3; −2; 2). Mặt phẳng cách đều hai điểm A, B và vuông góc với đường

thẳng AB có phương trình là
A. 2 x − 2 y + z + 6 = 0. B. x + z +1 = 0.

C. x + z − 5 = 0.

D. 2 x − 2 y + z − 3 = 0.

Đáp án D
Ta có AB(4; −4;2) // (2; −2;1) và trung điểm đoạn thẳng AB là I (1;0;1).

Mặt phẳng cần tìm có phương trình 2( x − 1) − 2 y + 1( z − 1) = 0  2 x − 2 y + z − 3 = 0.
Câu 13 (Gv Đặng Thành Nam 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường
thẳng d1 :

x +1 y −1 z
x −1 y −1 z +1
=
= . Đường thẳng qua điểm M (1;1;1) và
=
=
và d 2 :
2
−1 2
1
1
1

cắt d1, d2 lần lượt tại A, B. Tính tỉ số
A.

MA 3
= .
MB 2

B.

MA
.
MB

MA
=2
MB

C.

MA 1
= .
MB 2

D.

MA 2
= .
MB 3

Đáp án B
Gọi A(1 + a;1 + a; −1 + a)  d1 , B(−1 + 2b;1 − b; 2b)  d 2 .
Ta có MA = (a; a; a − 2), MB = (2b − 2; −b; 2b − 1) và điều kiện thẳng hàng

4

a = 3
a = k (2b − 2)
a − 2kb + 2k = 0,

4




 a + kb = 0,
 kb = − .
MA = k MB  a = −kb
3
a − 2kb + k = 2

a − 2 = k (2b − 1)


k = −2


Khi đó

MA
= k = 2.
MB

Câu 14:

(Gv Đặng Thành Nam 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm

A(1; −2;1), B(−2; 2;1), C (1; −2; 2). Đường phân giác trong góc A của tam giác ABC cắt mặt

phẳng (Oyz) tại điểm nào dưới đây ?
4 8

A.  0; − ;  .
3 3


2 4

B.  0; − ;  .
3 3


2 8

C.  0; − ;  .
3 3


 2 8
D.  0; ; −  .
 3 3

Đáp án C
Ta có véctơ chỉ phương của phân giác trong góc A là

u=

1
1
1
1
3 4
AB +
AC =
( −3; 4;0 ) + 2 2 2 (0;0;1) =  − ; ;1

2
2
2
AB
AC
 5 5 
(−3) + 4 + 0
0 + 0 +1


3

x = 1 − 5 t

4
5
2 8


 AM :  y = −2 + t  (Oyz ) : x = 0  t =  M  0; − ;  .
5
3
3 3


z = 1 + t


Câu 15

(Gv Đặng Thành Nam 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm

A(a;0;0), B(1; b;0), C (1;0; c), với a,b,c là các số thực thay đổi sao cho H (3; 2;1) là trực tâm của

tam giác ABC. Tính S = a + b + c.
B. S = 19

A. S = 2

C. S = 11

D. S = 9

Đáp án B
Ta có I (1; 0; 0) và tứ diện IABC vuông đỉnh I.
Do đó mặt phẳng ( ABC ) ⊥ IH  ( ABC ) : 2 x + 2 y + z − 11 = 0.
 11
  9 
Do đó A  ;0;0  , B 1; ;0  , C (1;0;9).
2
  2 

Vì vậy S =

11 9
+ + 9 = 19.
2 2

Câu 16:

(Gv Đặng Thành Nam 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt

phẳng ( P) : x + y − z − 3 = 0 và hai điểm A(1;1;1), B(−3; −3; −3). Mặt cầu ( S ) đi qua A, B và
tiếp xúc với

(P) tại C. Biết rằng C luôn thuộc một đường tròn cố định. Tìm bán kính R của

đường tròn đó.
A. R = 4.

B. R =

2 33
.
3

C. R =

2 11
.
3

D. R = 6.

Đáp án D
Gọi M = AB

( P), khi đó dễ có M (3;3;3). Gọi tâm mặt cầu là điểm I ta có

MA.MB = MI 2 − R 2 = MI 2 − IC 2 = MC 2 = 36  MC = 6.

Do đó C di động trên đường tròn

(C) nằm trên mặt phẳng

(P) có tâm M và bán kính

r = 6.
Cách 2: Gọi C (a; b; c)  ( P)  a + b − c − 3 = 0.

x = a + t

Phương trình đường thẳng IC ⊥ ( P ) tại C là  y = b + t  I (a + t ; b + t ; c − t ).
z = c − t

Mặt khác IA = IB  I  (Q) : x + y + z + 3 = 0 là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.


Do đó (a + t ) + (b + t ) + (c − t ) + 3 = 0  t = −3 − a − b − c.
Mặt khác IA = IC = R nên
(a + t − 1)2 + (b + t − 1)2 + (c − t − 1)2 = 3t 2

 (a − 1)2 + (b − 1)2 + (c − 1)2 +



 a − 1 + b − 1 − c + 1 = 0
2( −3− a −b − c ) 
2


2t

 (a − 1)2 + (b − 1)2 + (c − 1)2 − 4(3 + a + b + c) = 0
 (a − 3)2 + (b − 3)2 + (c − 3)2 = 36.
2

3+3−3−3
Vậy bán kính đường tròn giao tuyến là r = 36 − 
 = 6.
 1+1+1 
Câu 17 (Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2; 2;1).
Tính độ dài đoạn thẳng OA.
A. OA = 5.

B. OA = 3.

C. OA = 9.

D. OA = 5.

Đáp án B
Câu 18 (Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình nào
dưới đây là phương trình của mặt phẳng toạ độ
A. x = 0.

B. y + z = 0.

(Oyz)?
C. y − z = 0.

D. z = 0.

Đáp án A
Câu 19

(Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm

A(1; 2;1), B(2;3; −1). . Đường thẳng qua hai điểm A,B có phương trình là

 x = 1 + 3t

A.  y = 2 + 5t
z = 1


x = 1 + t

B.  y = 2 + t
 z = 1- 2t


x = 3 + t

C.  y = 5 + 2t
z = t


x = 1 + t

D.  y = 1 + 2t

 z = -2 + t


Đáp án B

x = 1+ t

Ta có: u = AB(1;1; −2)  AB :  y = 2 + t
 z = 1 − 2t

Câu 20

(Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường

thẳng cắt nhau d1 :

x −1 y +1 z
x − 3 y z +1
=
=
, d2 :
= =
. Viết phương trình mặt phẳng
2
1
−1
−1
2
1

chứa hai đường thẳng d1 , d 2 .


A. 3x − y + 5 z − 4 = 0. B. 3x − y + 5 z + 4 = 0. C. 3x − y − 5 z − 4 = 0. D. 3x − y − 5 z + 4 = 0.
Đáp án A
Ta có A(−1;1;0)  d1  A  ( P) và nP = u1 , u2  = (3; −1;5).
Vậy 3 x − y + 5 z − 4 = 0.
Câu 21 (Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba đường thẳng

x = 3
x y −1 z +1
x −1 y +1 z

d1 : =
=
; d2 :
=
=
; d3 :  y = 1 − 3t .
1
2
−1
2
1
−2
 z = 4t

Đường thẳng d có véctơ chỉ phương u (a; b; −2) cắt d1 , d 2 , d3 lần lượt tại A, B, C sao cho B là
trung điểm của đoạn thẳng AC. Tính T = a + b.
A. T = 15.

B. T = 8.

C. T = −7.

D. T = 13.

Đáp án A
 a + 3 2a − 3c + 2 −a + 4c − 1 
Gọi A ( a;1 + 2a; −1 − a )  d1 , C ( 3;1 − 3c; 4c )  d 3  B 
;
;
.
2
2
 2


a+3
2a − 3c + 2
−a + 4c − 1
−1
+1
7
2
2
Vì B  d 2 nên 2
=
=
 a = − , c = 0.

2
1
−2
3
 16 14 4 
Do đó u // AC  ; ; −  / /(8;7; −2)  a = 8, b = 7  T = 15.
3
 3 3

Câu 22:

(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, có bao nhiêu mặt

phẳng qua M (−4; −9;12) và cắt các trục toạ độ x Ox, y Oy, z Oz lần lượt tại A(2;0;0), B, C
sao cho OB = 1 + OC.
A. 2.

B. 1.

C. 4.

Đáp án A
x y z
Ta có B(0; b;0), C (0;0; c) và mặt phẳng ( P ) : + + = 1.
2 b c

 −4 −9 12
+ = 1,
 M  ( P)
 +

b
c
 2
Theo giả thiết ta có 
OB = 1 + OC
 b = 1+ c


4b

c = b + 3
b = 3, c = 2


b = −4 − 13, c = 3 + 13
 b = 1 + 4b

b+3
Vậy có tất cả hai mặt phẳng thoả mãn.

D. 3.


(Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng

Câu 23

( P ) : x + 2 y + z − 4 = 0. Có tất cả bao nhiêu mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng

(P) và tiếp

xúc với ba trục toạ độ xOx, yOy, z Oz ?
A. 8 mặt cầu.

B. 4 mặt cầu.

C. 3 mặt cầu.

D. 1 mặt cầu.

Đáp án C
Giả sử I ( x; y; z ) là tâm mặt cầu cần tìm; ta có hình chiếu vuông góc của I lên các trục toạ độ
lần lượt là A( x;0;0), B(0; y;0), C (0;0; z) và theo giả thiết, ta có:


 I  ( P)
x + 2 y + z − 4 = 0
 2

2
2
2
2
2
 IA = IB = IC = R

 x +y = y +z = z +x

x + 2 y + z − 4 = 0


 x = −2, y = z = 2
x = y = z
x
+
2
y
+
z
−
4
=
0

 

  x = y = −z
  x = y = z = 1

 x = y = z
 x = z = − y
 x = y = 2, z = −2

  y = z = − x
Vậy có tất cả 3 mặt cầu thoả mãn.
(Gv Đặng Thành Nam)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm

Câu 24

A(1; 2; −1), M (2; 4;1), N (1;5;3). Tìm toạ độ điểm C nằm trên mặt phẳng ( P) : x + z − 27 = 0

sao cho tồn tại các điểm B,D tương ứng thuộc các tia AM, AN để tứ giác ABCD là hình thoi.
A. C (6; −17; 21).

B. C (20;15;7).

C. C (6; 21; 21).

D. C (18; −7;9).

Đáp án C
Theo giả thiết thì AC = AB + AD //
=
=

1
1
AM +
AN
AM
AN

1
1
(1; 2; 2) +
(0;3; 4)
1+ 4 + 4
0 + 9 + 16
1
1
1 19 22

(1; 2; 2 ) + ( 0;3; 4 ) =  ; ;  // (5;19; 22).
3
5
 3 15 15 

Nên AC = (5t ;19t ; 22t ) và suy ra điểm C (1 + 5t;2 + 19t; −1 + 22t ) .
Mặt khác C  ( P) : x + z − 27 = 0  27t − 27 = 0  t = 1  C (6; 21; 21).
Câu 25:

(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm

A ( 0;0; −2) , B ( 4;0;0) . Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là
A. M ( 0;4; −2) .

B. N ( 4;0; −2 ) .

C. P ( 2;0; −1) .

D. Q ( 0;2; −1)


Đáp án C
Tam giác OAB vuông tại O nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh AB, tức điểm
P(2;0; −1).

Câu 26:
d:

(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

x − 2 y −1 z
=
= . Đường thẳng d đi qua điểm nào dưới đây ?
−1
2
1

A. M ( −1;2;1) .

B. N ( 2;1;1) . C. P ( −2; −1;0) .

D. Q ( 2;1;0 )

Đáp án D
Câu 27:

(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng qua

điểm A (1;2;3) và song song với mặt phẳng toạ độ
A. x −1 = 0 .

B. y − 2 = 0 .

(Oxy) có phương trình là
C. z + 3 = 0 .

D. z − 3 = 0 .

Đáp án D
Câu 28

(Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm

M ( 3; −1;1) . Gọi M1M 2 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các trục yOy, zOz .
Đường thẳng M1M 2 có véctơ chỉ phương nào dưới đây ?
A. u1 ( 0;1;1) . B. u2 ( 3;1;0 ) . C. u3 ( 0; −1;1) . D. u4 ( 3; −1;0 ) .
Đáp án A
Ta có M1 (0; −1;0), M 2 (0;0;1)  M1M 2 = (0;1;1).
Câu 29

(Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm

A (1;2;1) , B ( −2;1;3) , C ( 2; −1;3) , D ( 0;3;1) . Mặt phẳng ( P ) : ax + by + cz − 10 = 0 đi qua hai
điểm A, B và cách đều hai điểm C, D và hai điểm C, D nằm khác phía so với mặt phẳng ( P )
. Tính S = a + b + c .
A. S = 7 .

B. S = 15 .

C. S = 6 .

D. S = 13 .

Đáp án A
Vì

(P) cách đều hai điểm C,D và hai điểm C,D nằm khác phía so với mặt phẳng

(P) đi qua điểm E (1;1; 2) là trung điểm của đoạn thẳng CD.
Vậy mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1; 2;1), B(−2;1;3), E (1;1; 2) có phương trình là

x + 3 y + 3z − 10 = 0.

Do đó S = 1 + 3 + 3 = 7.

(P). Nên


Câu 30:

(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 3;1;3)

, mặt phẳng ( P ) : x + y + z − 7 = 0 và đường thẳng ( d ) :

x −1 y z
= = . Mặt cầu
2
1 3

(S) có tâm

I ( a; b; c ) thuộc ( P ) , bán kính R = 6 và tiếp xúc với ( d ) tại A với a,b,c là các số thực
dương. Giá trị của biểu thức a + 2b + 3c bằng
A. 11.

B. 17.

C. 16.

D. 12.

Đáp án B
Vì

(S) tiếp xúc

(d) tại I nên IA = R = 6 và IA ⊥ (d ). Gọi (Δ) là đường thẳng qua A,

nằm trong (P) và vuông góc với

(d). Khi đó (Δ) có véctơ chỉ phương

uΔ =  nP , ud  = (−2;1;1)(  nP = (1;1;1), ud = (2;1;3)).

 x = 3 − 2u

Suy ra (Δ) có phương trình:  y = 1 + u
z = 3 + u

Vì I  ( P),   IA ⊥ (d )  I  (Δ)  I ( 3 − 2u;1 + u;3 + u )  AI = ( −2u; u; u ) .
Suy ra AI 2 = 6u 2 = 6  u = 1  I (1; 2; 4), I (5;0; 2).
Đối chiếu điều kiện có a = 1, b = 2, c = 4 và a + 2b + 3c = 1 + 4 +12 = 17.
Câu 31

(Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn đường

thẳng có phương trình
d1 :

x −1 y − 2
z

x−2 y−2
z
x y z −1
x − 2 y z −1
=
=
, d2 :
=
=
; d3 : = =
, d4 :
= =
.
1
2
−2
2
4
−4
2 1
1
2
2
−1

Biết rằng đường thẳng  có véctơ chỉ phương u ( 2; b; c ) cắt cả bốn đường thẳng đã cho. Giá
trị của biểu thức 2a + 3b bằng
B. −1 .

A. 5.

C. −

3
.
2

Đáp án B
Ta có d1 //d2 . Gọi

(P) là mặt phẳng chứa d1,d2 ta có

A(1; 2;0)  d1 , B(2; 2;0)  d 2 , A, B  ( P) và n( P ) =  AB, u1  = (0; 2; 2).

Do đó ( P) : y + z − 2 = 0.
Tọa độ giao điểm M = d3  ( P) là nghiệm của hệ

D. −

1
.
2


 x y z −1
1
3
 = =
 1 3
1  x = 1, y = , z =  M 1; ;  .

2 1
2
2
 2 2
 y + z − 2 = 0
Toạ độ giao điểm N = d4  ( P) là nghiệm của hệ

 x − 2 y z −1
= =

2
−1  x = 4, y = 2, z = 0  N (4; 2;0).
 2
 y + z − 2 = 0
Đường thẳng cần tìm đi qua hai điểm M, N.
 3 3
Do đó có véctơ chỉ phương là u // MN =  3; ; −  // (2;1; −1).
 2 2

Vậy a = 1, b = −1 và 2a + 3b = −1.
Câu 32:

(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

( P ) : x − 2 y + 2z − 3 = 0

và hai điểm A (1;2;3) , B ( 3;4;5) .Gọi M là một điểm di động trên

(P). Giá trị lớn nhất của biểu thức

MA + 2 3
bằng
MB

B. 3 3 + 78 .

A. 3 6 + 78

C.

Đáp án C

Theo giả thiết và hệ thức lượng cho tam giác, ta có
P=

=

=

MA + 2 3 MA + AB 2 R sin B + 2 R sin M
=
=
MB
MB
2 R sin A

sin B + sin M
=
sin A

2sin

B+M
B−M
cos
2
2
A
A
2sin cos
2
2

B−M
1
2  1 
= 54 + 6 78.
A
A


AB
,
(
P
)
sin
sin
2
2 sin  2 




cos

54 + 6 78 .

D. 3 3 .


Trong đó sin( AB,( P)) =
Câu 33

1.2 − 2.2 + 2.2
3.2 3

=

 AB,( P) 
3
18 − 2 78
 sin 
.
 =

9
6
 2 

(Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm

A ( −1;2; −1) . Hình chiếu vuông góc của A trên trục toạ độ xOx là
A. M ( 0;2; −1) .

B. N ( −1;0;0 ) .

C. P ( 0;2;0) .

D. Q ( 0;0; −1) .

Đáp án B
Câu 34

(Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

( ) : x + 2 y + 3z − 6 = 0 . Hỏi điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng ( ) ?
A. M (1;2;3) .

B. N (1;1;1) .

C. P ( 3;2;0 ) .

D. Q (1;2;1) .

Đáp án B
Câu 35:
d:

(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

x −1 y −1 z
=
=
. Hỏi d song song với mặt phẳng nào dưới đây ?
2
1
−2

A. 2 x + y − 2 z = 0 .

B. x + z −1 = 0 .

C. x + 2 y + 2 z − 3 = 0 . D. 2 y + z = 0 .

Đáp án D

 A  ( P)
Đường thẳng d qua điểm A(1;1;0), u (2;1; −2). Để d / /( P)  

u .nP = 0

Câu 36

(Gv Đặng Thành Nam)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình

mặt phẳng đi qua điểm M (1;1;1) và vuông góc với hai mặt phẳng ( Oxy ) , ( Ozx ) .
A. y − 1 = 0 .

B. x −1 = 0 .

C. z −1 = 0 .

D. x + z − 2 = 0 .

Đáp án B

n ⊥ k (0;0;1)
(Oxy ) : z = 0, (Ozx) : y = 0  
 n =  k , j  = ( −1;0;0)  ( P) : x − 1 = 0.
n
⊥
j
(0;1;0)



Câu 37:

(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm

M ( −1;1;3) và hai đường thẳng  :

x −1 y + 3 z −1
x +1 y
z
=
=
,  :
= =
. Phương trình nào

3
2
1
1
3 −2

dưới đây là đường thẳng qua M và vuông góc với  và   .
A.

x +1 y −1 z −1
=
=
.
−1
1
3

B.

x
y −1 z − 3
=
=
.
−1
1
1

C.

x +1 y −1 z − 3
=
=
.
−1
−1
1

D.

x +1 y −1 z − 3
=
=
.
−1
1
1

Đáp án D


 x = −1 − t

Có u = uΔ , uΔ  = (−7;7;7). Vậy  y = 1 + t
z = 3 + t

Câu 38:

(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm

A ( 2;0;0) , M (1;2;3) . Có bao nhiêu mặt phẳng qua A, M và cắt các trục toạ độ yOy , z Oz lần
lượt tại B,C khác gốc toạ độ O và toạ độ các điểm B và C là các số nguyên.
A. 8.

B. 15.

C. 13.

D. 16.

Đáp án B
Gọi B(0; b;0), C (0;0; c) phương trình mặt phẳng là
Vì M (1; 2;3) thuộc mặt phẳng nên

x y z
+ + = 1.
2 b c

1 2 3
6b
24
+ + =1 c =
= 6+
.
2 b c
b−4
b−4

Do đó b, c  Z  b − 4 là ước của 24.
Do đó b − 4  24; 12; 8; 6; 4; 3; 2; 1 với chú ý b  0  b − 4  −4.

Vậy có tất cả 15 số nguyên b thoả mãn, tức có 15 mặt phẳng thoả mãn.
Câu 39:

(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

x = 0

d :  y = t và điểm A ( 0;4;0) . Gọi M là điểm cách đều đường thẳng d và trục xOx . Khoảng
z = 1

cách ngắn nhất giữa A và M bằng
A.

1
.
2

B. 3 2 .

C.

6.

D.

65
.
2

Đáp án C

Gọi M (a; b; c) có d ( M , Ox) = b2 + c 2 và d ( M , d ) = a 2 + (c − 1) 2 .
Vậy d (M , Ox) = d (M , d )  b2 + c 2 = a 2 + (c − 1)2  a 2 = b2 + 2c − 1.
Khi đó AM = a 2 + (b − 4) 2 + c 2 = b 2 + 2c − 1 + (b − 4) 2 + c 2
= 2(b − 2) 2 + (c + 1) 2 + 6  6.

Dấu bằng đạt tại b = 2, c = −1, a = 1.
Câu 40:

(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm

H ( a; b; c ) với a,b,c là các số thực thay đổi thoả mãn ab + bc + ca = −1 . Mặt phẳng ( ) qua


H và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B,C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC. Mặt
cầu tâm O tiếp xúc với ( ) có bán kính nhỏ nhất bằng
A. 1.

B. 2.

C.

2.

D.

3.

Đáp án C
Vì H là trực tâm tam giác ABC nên OH ⊥ ( ), do đó R = OH = a2 + b2 + c2 .
Ta có a 2 + b 2 + c 2 = (a + b + c)2 − 2(ab + bc + ca ) = (a + b + c ) 2 + 2  2  R  2.

Dấu bằng đạt tại a + b + c = 0.
Câu 41 (Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, tìm một véctơ chỉ

x = 2 − t

phương của đường thẳng d :  y = 3 + 2t
 z = −1 + t

A. u1 (2;3; −1).

B. u2 (−1;2;1).

C. u3 (2;3;2).

D. u1 (−1; −2;1).

Đáp án B
Câu 42 (Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng đi qua
ba điểm A(1;0;0), B(0; −2;0); C (0;0;3) là
A.

x y z
+ + = 1.
1 2 3

B.

x y z
+ + = 1.
1 2 3

C.

x y z
− + = 1.
1 2 3

D.

x y z
+ + = −1.
1 2 3

Đáp án C
Câu 43 (Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt cầu tâm O và
tiếp xúc với mặt phẳng ( P) : x + 2 y − 2 z + 18 = 0 có bán kính bằng
A. 2.

B. 6.

C. 18.

D. 9.

Đáp án B
Có R = d (O, ( P)) =

18
= 6.
1+ 4 + 4

(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng

Câu 44:

( P) : x + 3 y − 2 z + 2 = 0 và đường thẳng d :

và cắt

x −1 y + 1 z − 4
=
=
. Đường thẳng qua A(1; 2; −1)
2
−1
1

(P), d lần lượt tại B và C (a; b; c ) sao cho C là trung điểm của AB. Giá trị của biểu

thức a + b + c bằng
A. −5.

B. −12.

C. −15.

D. 11.

Đáp án A
Giả sử C (1 + 2t; −1 − t; 4 + t )  d . vì C là trung điểm của AB nên B(4t + 1; −2t − 4; 2t + 9).

9
7 1
Mặt khác B  ( P)  (4t + 1) + 3(−2t − 4) − 2(2t + 9) + 2 = 0  t = −  C (−8; ; − ).
2
2 2

Do đó a + b + c = −8 +

7 1
− = −5.
2 2

(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm

Câu 45:

A(6; −3; 4), B(a; b; c). . Gọi M,N,P lần lượt là giao điểm của đường thẳng AB với các mặt

phẳng toạ độ

(Oxy),

(Oyz),

(Ozx) sao cho M,N,P nằm giữa A và B thoả mãn

AM = MN = NP = PB. . Giá trị của biểu thức a+b+c bằng
B. −34

A. −17

C. −19

D. −38

Đáp án A
Theo giả thiết có AM =
Tương tự có AN =
Và AP =

1
c
c
9 a 9 b
AB  M  + ; − + ;3 +   (Oxy )  3 + = 0  c = −12.
4
4
4
2 4 4 4

1
a 3 b
c
a

AB  N  3 + ; − + ; 2 +   (Oyz )  3 + = 0  a = −6.
2
2 2 2

2
2


3
3c 
3 3b
 3 3a 3 3b
AB  P  + ; − + ;1 +   (Ozx)  − +
= 0  b = 1.
4
4 4
4
4 4
2 4

Khi đó a + b + c = −17.
Câu 46: (Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba mặt phẳng
( ) : x + 2 y − z − 1 = 0, (  ) : 2 x + y − z − 3 = 0, ( ) : ax + by + z + 2 = 0 cùng đi qua một đường

thẳng. Giá trị của biểu thức a + b bằng
A. 3.

B. 0.

C. −3. D. 6.

Đáp án C
Ta tìm hai điểm thuộc giao tuyến của ( ), (  ) và điều kiện để ba mặt phẳng này cắt cùng đi
qua một đường thẳng là hai điểm này thuộc ( ).

x + 2 y − z −1 = 0
Xét hệ 
cho x = 0; x = 1 ta có lần lượt hai điểm
2 x + y − z − 3 = 0
A(0; −2; −5), B(1; −1; −2)  ( )  (  ).

3

a=−

−
2
b
−
5
+
2
=
0


2

.
Vậy A(0; −2; −5), B(1; −1; −2)  ( )  
a − b − 2 + 2 = 0
b = − 3

2

Suy ra a + b = −3.


Câu 47:

(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC

với A(1; −2;1), B(−2; 2;1), C (1; −2; 2). Hỏi đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC
cắt mặt phẳng (Oyz) tại điểm nào sau đây ?
4 8

A.  0; − ;  .
3 3


2 4

B.  0; − ;  .
3 3


 2 8
D.  0; ; −  .
 3 3

2 8

C.  0; − ;  .
3 3


Đáp án C
Ta có véctơ chỉ phương của phân giác trong góc A là

u=

1
1
1
1
 3 4 
AB +
AC =
−3; 4;0 ) +
(0;0;1) =  − ; ;1
(
AB
AC
 5 5 
(−3)2 + 42 + 02
02 + 02 + 12

3

x = 1− 5 t

4
5
2 8



 AM :  y = −2 + t  (Oyz ) : x = 0  t =  M  0; − ;  .
5
3
3 3


z = 1+ t


Câu 48

(Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, xét ba điểm

A(a;0;0), B(0; b;0), C (0;0; c) với a,b,c là các số thực thay đổi thoả mãn

rằng mặt cầu ( S ) : ( x − 2)2 + y 2 + ( z − 4)2 = 25 cắt mặt phẳng

1 2 2
− + = 1. Biết
a b c

(ABC) theo giao tuyến là một

đường tròn có bán kính bằng 4. Giá trị của biểu thức a + b + c bằng
A. 5.

B. 1.

C. 2.

D. 4.

Đáp án C
Có ( ABC ) :
Mặt cầu

1 2 2
x y z
+ + = 1 và − + = 1  M (1; −2; 2)  ( ABC ).
a b c
a b c

(S) có tâm I ( 2;0;4) , R = 5 và theo giả thiết có

d ( I , ( ABC )) = R 2 − r 2 = 25 − 16 = 3.

Mặt khác d ( I , ( ABC ))  IM = 12 + 22 + 22 = 3.
Điều đó chứng tỏ IM ⊥ ( ABC )  ( ABC ) : x + 2 y + 2 z − 1 = 0.
1
1
 1  
Do đó A(1;0;0), B  0; ;0  , C  0;0;  và a = 1, b = c =  a + b + c = 2.
2
2
 2  

Câu 49

(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm

M (−2;1;3). Đường thẳng qua M và vuông góc với mặt phẳng ( ) : x − 2 y + 2 z − 1 = 0 là


 x = 1 − 2t

A.  y = −2 + t .
 z = 2 + 3t


 x = −2 + t

B.  y = 1 − 2t .
 z = 3 + 2t


x = 1 + t

D.  y = −2 + 2t .
 z = 2 + 3t


 x = −2 + t

C.  y = 1 + 2t .
 z = 3 − 2t


Đáp án B
Câu 50 (Gv Đặng Thành Nam)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng qua ba

điểm M (1;0;0), N (0; −2;0), P(0;0; −3) là
A. x −

y z
− = −1.
2 3

B. x +

y z
+ = 1.
2 3

C. x −

y z
− = 1.
2 3

D. x +

y z
+ = −1.
2 3

Đáp án C
Câu 51:

(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đường thẳng nào

dưới đây song song với mặt phẳng ( ) : x + y + z − 3 = 0.

 x = 1 + 2t

A.  y = 1 − t .
 z = 1− t


 x = 2+t

B.  y = −1 + t .
 z = −1 + t


 x = −1 + 2t

C.  y = −1 − t .
 z = −1 − t


x = 3 + t

D.  y = −2t .
 z=t


Đáp án C
Câu 52:

(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm

A(1;0;0), B(0; 2;0), C (0;0;3). Mặt cầu tâm I (2; 2; 2) tiếp xúc với mặt phẳng

(ABC) có bán

kính bằng
A. 4.

B.

14
.
3

C.

4 14
.
21

D.

16
.
7

Đáp án D

Có ( ABC ) :

x y z
+ + − 1 = 0  R = d ( I , ( ABC )) =
1 2 3

Câu 53:

2 2 2
+ + −1
1 2 3
2

1 1
1+   +  
 2  3

2

=

16
.
7

(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm

A(−3; −1;3) và đường thẳng d :

x −1 y −1 z − 5
=
=

, mặt phẳng ( P) : x + 2 y − z + 5 = 0.
3
2
2

Đường thẳng Δ qua A và cắt d tại điểm B(a; b; c) và tạo với mặt phẳng

(P) góc 30 . Tính

T = a + b + c.
A. T = 14.

B. T = 0.

C. T = 21.

Đáp án D
Ta có B(1 + 3t ;1 + 2t ;5 + 2t ) và AB(3t + 4; 2t + 2; 2t + 2).

D. T = 7.


Theo giả thiết ta có

1(3t + 4) + 2(2t + 2) − 1(2t + 2)
12 + 22 + 12 (3t + 4) 2 + (2t + 2) 2 + (2t + 2) 2

=

1

 t = 0.
2

Vậy a = 1, b = 1, c = 5 và T = 7 .
Câu 54 (Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng
( P) : 2 x + z − 2 = 0, (Q) : 4 y + 5 z − 8 = 0. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa giao tuyến của

(P),

(Q) và cắt các trục x Ox, z Oz lần lượt tại A, B thoả mãn OA = OB  0.
A. 3.

B. 4.

C. 2.

D. 1.

Đáp án C
Mặt phẳng cần tìm có phương trình
a(2 x + z − 2) + b(4 y + 5 z − 8) = 0  2ax + 4by + (a + 5b) z − 2a − 8b = 0.

2a + 8b 
 a + 4b
 
Toạ độ các giao điểm với các trục Ox, Oz lần lượt là A 
;0;0  , B  0;0;
.
a + 5b 
 a

 

Theo giả thiết có

a + 4b
2a + 8b
=
 0  a = 5b;3a = −5b.
a
a + 5b

Vậy có 2 mặt phẳng thoả mãn.
Câu 55

(Gv Đặng Thành Nam)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm

A(1; 2;3), B(3; 4;5) và mặt phẳng ( ) : x + 2 y + 3z − 14 = 0. Gọi Δ là đường thẳng thay đổi

nằm trong mặt phẳng

(α), các điểm M,N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A,B trên Δ.

Biết rằng khi AM = BN thì trung điểm của MN luôn thuộc một đường thẳng cố định. Viết
phương trình đường thẳng cố định đó.

 x = 4+t

A.  y = 5 − 2t .
 z = 1+ t


 x = 5+t

B.  y = 3 − 2t .
 z = 1+ t


 x = 2+t

C.  y = 1 − 2t .
 z = 3+t


 x = 4+t

D.  y = 5 + 2t .
 z=t


Đáp án B
Gọi I là trung điểm MN. Theo giả thiết có
Δ BNM = Δ AMN (c − g − c)  IA = IB.

Do đó I thuộc mặt phẳng trung trực (Q) của AB. Mặt khác I thuộc
Do đó I  d = (Q)  ( P) là đường thẳng cố định. Ta có:

 x = 5+t

(Q) : x + y + z − 9 = 0   y = 3 − 2t .
 z = 1+ t



(P).


Câu 56 (Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d
là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) : x − my + z + 2m − 1 = 0;(  ) : mx + y − mz + m + 2 = 0.
Gọi Δ là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng

(Oxy). Biết rằng với mọi số thực m thay

đổi thì Δ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. Tính bán R của đường tròn đó.
A. 2.

B. 1.

C. 4.

D. 3.

Đáp án A
Gọi

(P) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với (Oxy ) : z = 0. Phương trình của

(P) là

x − my + z + 2m − 1 + a ( mx + y − mz + m + 2) = 0
 (ma + 1) x + (a − m) y + (1 − ma) z + ma + 2m + 2a − 1 = 0.

Theo điều kiện vuông góc có 1.(1 − ma) = 0  a =

1
.
m

Suy ra:
2
1

( P) : 2 x +  − m  y + 2m + = 0  ( P) : 2mx + (1 − m 2 ) y + 2m 2 + 2 = 0.
m
m


2mx + (1 − m2 ) y + 2(m2 + 1) = 0
Khi đó:  : 
= ( P)  (Oxy).
z=0

Trong mặt phẳng (Oxy ) có d (O, Δ) =

2(m 2 + 1)
(2m) 2 + (1 − m 2 ) 2

= 2  Δ luôn tiếp xúc với đường

tròn tâm O bán kính bằng 2 trong mặt phẳng toạ độ ( Oxy ) .
Câu 57:

(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai véctơ

( )

a (1; 2; −2), b (2; −1; 2). Tính cos a , b .

2
A. − .
3

B.

4
.
9

C.

2
.
3

4
D. − .
9

Đáp án D

( )

Có cos a, b =

Câu 58:

a.b
a b

=

2−2−4
4
=− .
3.3
9

(Gv Đặng Thành Nam) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm

A(2;3; 4). . Khoảng cách từ A đến trục toạ độ Ox bằng

A. 2.

B. 4.

C. 3.

D. 5.


Đáp án D
Hình chiếu vuông góc của A lên Ox là H (2;0;0)  d ( A, Ox) = AH = 32 + 42 = 5.

Câu 59

(Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm

A(0; −1;3), B(1;0;1), C (−1;1; 2). Phương trình đường thẳng qua A và song song với BC là

 x = −2t

A.  y = −1 + t .
 z = 3+t


 x = −2t

B.  y = −1 + t .
 z = 3−t


 x = −2

C.  y = 1 − t .
 z = 1 + 3t


 x = 1 − 2t

D.  y = t .
 z = 1+ t


Đáp án A
Câu 60

(Gv Đặng Thành Nam)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình mặt

phẳng trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm A(2;1;3), B(−2;1; −1) là
A. y + z − 2 = 0.

B. x − z + 1 = 0.

C. x + z + 2 = 0.

D. x + z − 1 = 0.

Đáp án D
Câu 61 (Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A,B,C
lần lượt di động trên ba trục toạ độ Ox,Oy,Oz
1
1
1
1
+
+
= . Biết mặt phẳng
2
2
2
4
OA
OB

OC

(không trùng với gốc toạ độ O) sao cho

(ABC) luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định.

Tính bán kính của mặt cầu đó.
A. 4.

B. 3.

C. 1.

D. 2.

Đáp án D
Có

1
1
1
1
1
=
+
+
=  d (O, ( ABC )) = 2.
2
2
2

4
d (O, ( ABC )) OA
OB
OC
2

luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm O có bán kính bằng 2.
Câu 62

(Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm

A(2;0; 2), B(0; 2; −2). Các điểm M, N lần lượt di động trên các đoạn thẳng OA, OB sao cho

MN chia tam giác OAB thành hai phần có diện tích bằng nhau. Khi MN ngắn nhất thì toạ độ
trọng tâm của tam giác OMN là
 2 2 
;
;0  .
A. 
 4 4


 2 2 
;
;0  .
B. 
 3 3


Đáp án B

OM = mOA(0  m  1)  M (2m;0; 2m)
.
Có 
 ON = nOB(0  n  1)  N (0; 2n; −2n)

1 1 
C.  ; ; 0  .
3 3 

1 1 
D.  ; ; 0  .
4 4 


Theo giả thiết có

SOMN 1
OM .ON 1
1
= 
=  mn = .
SOAB 2
OA.OB 2
2

1
 1
Khi đó M ( 2m;0; 2m ) , N  0; ; −  và
 m m

2

MN = 4m 2 +

1 
1
2
2
+  2m +  = 8m 2 + 2 + 4  2 8m 2 . 2 + 4 = 2 3.
2
m
m 
m
m

 0  m 1
1
1

Dấu bằng xảy ra khi  2
n=
.
2 m=
2
2
8m = m 2

Câu 63:

(Gv Đặng Thành Nam)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm

A(1;1;0), B(0;1;1), C (2;1; 2) và mặt phẳng ( P ) : x + y − z − 6 = 0. Điểm M (a; b; c) thuộc

(P)

sao cho MA2 + MB 2 + MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị biểu thức ab + bc + ca bằng
A.

16
.
3

B.

80
.
9

C.

32
.
3

D.

32
.
9

Đáp án D
Gọi G (1;1;1) là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó

(

) + (GB − GM ) + (GC − GM )
− 2GM ( GA + GB + GC )

MA2 + MB2 + MC 2 = GA − GM
= 3MG 2 + GA2 + GB 2 + GC 2

2

2

2

= 3MG 2 + GA2 + GB 2 + GC 2  3d 2 (G,( P)) + GA2 + GB 2 + GC 2 = const.

Dấu bằng đạt tại M là hình chiếu của G lên

(P), toạ độ là nghiệm của hệ

 x+ y− z−6 = 0

8 8 2
 x − 1 y − 1 z − 1  ( x; y; z ) =  ; ; −  .
3 3 3
 1 = 1 = −1
2

 8   8   2   8   2  32
Vậy ab + bc + ca =   +    −  +    −  = .
 3   3  3   3  3  9

Câu 64

(Gv Đặng Thành Nam): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm

A(−2;0;0), B(0; −2;0), C (0;0; −2). Các điểm M, N, P lần lượt trên ba cạnh OA, OB, OC sao

cho

OA OB OC
+
+
= 4 và khối tứ diện OMNP có thể tích nhỏ nhất. Mặt phẳng
OM ON OP

( ) : ax + by + cz − 1 = 0 đi qua ba điểm M, N, P. Tính S = a + b + c.

9
A. S = − .
2

B. S = −4.

C. S = −2.

D. S = −3.

Đáp án C
3

Ta có 4 =

V
OA OB OC
OA OB OC
3
+
+
 33
.
.
= 3 3 OABC  VOMNP    VOABC .
OM ON OP
OM ON OP
VOMNP
4

Dấu bằng đạt tại

OA OB OC 4
3
3
3
=
=

=  OM = OA; ON = OB; OP = OC.
OM ON OP 3
4
4
4

3  
3
x
y
z
 3
 
+
+
= 1.
Do đó M  − ;0;0  , N  0; − ;0  , P  0;0; −   ( MNP) :
3
3
3
2  
2
 2
 
−
−
−
2
2
2

2 2 2
Do đó S = − − − = −2.
3 3 3